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Classe III H P.N.I. anno scolastico 2011-2012 Docente: Marica Perini Liceo Scientifico “G. Galilei” -Trento

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La parabola Il percorso in sintesi.

– Considerazioni sulla nascita delle coniche dal punto di vista storico.

– Definizione di parabola come luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco e da una retta, detta direttrice.

– Costruzione della parabola con riga e squadra [alla lavagna].

– Costruzione della parabola con cerchi concentrici [alla lavagna].

– Compito per casa: ricerca di altri metodi per costruire la parabola.

– Costruzione della parabola con carta piegata [dalla cattedra].

– In classe: equazione della parabola (fuoco, vertice, direttrice).

– Proposta di uno studente: proprietà della tangente e della secante e seconda costruzione della parabola con carta piegata.

– Proprietà ottica della parabola [dimostrata utilizzando la proprietà di cui sopra].

– Tangenti ad una parabola, intersezioni, condizioni per determinare l’equazione di una parabola, fasci di parabole, segmento parabolico [argomenti classici che qui non analizzerò nel dettaglio].

– Lettura della scheda relativa alla catenaria.

– Proposta di lavoro: reperire immagini contenenti archi di curve e trovare un metodo per verificare se si tratti o meno di archi di parabola.

– Grafici di funzioni contenenti archi di parabola.

– Risoluzione per via grafica di disequazioni irrazionali.

I ragazzi si sono resi disponibili a dividersi in piccoli gruppi per documentare il lavoro svolto

Qualche dimostrazione presenta una forma non sempre fluida e sintetica, ma si è preferito non apportare modifiche strutturali proprio per dare maggiore spazio e importanza al lavoro svolto dagli studenti.


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Storia e ruolo delle coniche (F.Bonetti, A. Faustini, M. Gardelli). Sembra che lo studio delle coniche abbia avuto inizio durante il IV secolo a.C. con Menecmo, un importante matematico greco allievo di Platone. Esse furono scoperte mentre si cercava di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi (trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio). la prima definizione di una sezione conica fu “l’intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice del cono”: si ottiene infatti una parabola se l’angolo al vertice è retto, un’ellisse se è acuto, un’iperbole se è ottuso. Con Apollonio di Perga (262-190 a.C.), un greco conosciuto come il Grande Geometra, si ha la prima trattazione razionale delle coniche con un opera intitolata Le Coniche, di cui ci rimangono 7 degli 8 tomi scritti originariamente. Fu anche il primo ad attribuire alle diverse figure i nomi parabola, ellissi ed iperbole ( i nomi traggono origine dal confronto di due grandezze di ciascuna curva, infatti significano rispettivamente mancanza, mettere accanto e andare oltre). Apollonio dimostrò che era possibile ottenere tutti e tre i tipi di conica da uno stesso cono cambiando semplicemente l’inclinazione del piano d’intersezione e dedusse successivamente che non serviva che il cono fosse retto (con l’asse perpendicolare alla base), ma che poteva essere anche obliquo. Tuttavia lo studio delle coniche venne ben presto abbandonato a causa del loro scarso impiego pratico. Queste figure geometriche rinacquero durante il rinascimento e il periodo barocco grazie al loro frequente utilizzo nei vari campi riguardanti l’arte. Durante il barocco le ellissi compaiono negli archi, come durante il rinascimento accade per la parabole che spesso furono usate anche da pittori, oltre che da architetti. Successivamente, durante il XV secolo, un celebre astronomo di nome Keplero prenderà spunto dalle scoperte di Apollonio per formulare tre leggi sul moto dei pianeti; formulò per le coniche un principio di continuità secondo il quale i diversi tipi di sezioni coniche come formanti un insieme privo di interruzioni o salti. Keplero sostiene l’'idea che la parabola abbia due fuochi di cui uno improprio, cioè all'infinito, è dovuta a Keplero, così come il termine fuoco (dal latino focus, focolare, derivante dalla proprietà fisica già nota ad Archimede, che, sembra, la utilizzò contro le navi romane che assediavano Siracusa, per cui uno specchio parabolico concentra i raggi paralleli provenienti dal sole in un punto che è il fuoco geometrico). A Galileo si deve la dimostrazione, secondo cui il moto di un proiettile è una parabola.


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Inoltre le parabole trovarono importanti applicazioni nel campo dei fenomeni ondulatori come il suono. Per la legge della riflessione della luce, un paraboloide rotondo ( una superficie ottenibile facendo ruotare di un giro completo una parabola attorno al proprio asse) presenta particolari proprietà che gli permettono di essere utilizzato come potente telescopio, come riflettore o come antenna per le comunicazioni spaziali. L’uso delle coniche in ambito non strettamente matematico riportò molti studiosi a riprenderne lo studio, soprattutto durante il XVII secolo. Le coniche d’ora in avanti vennero viste proiezione del cerchio su di un altro piano. Solo 1800 anni più tardi, grazie all’introduzione del piano cartesiano ad opera dello stesso Cartesio, si riprenderanno i risultati raggiunti da Apollonio. Infatti questi nuovi metodi basati sulle coordinate cartesiane permettevano di risolvere problemi assai più complicati di quelli precedenti. Cartesio derivò in una delle sue opere (Geometrie) l’equazione generica di una conica passante per l’origine degli assi; inoltre arrivò a determinare quali condizioni l’equazione dovesse soddisfare per essere una retta, una parabola o un ellissi. Successivamente Fermat dimostrò che tale equazione era un’equazione di secondo grado in X e in Y. Le coniche, che sono uno degli argomenti più antichi e vasti della matematica, hanno sempre suscitato domande, le cui risposte hanno permesso grandi progressi a questa stessa scienza e ad altri campi in cui vengono tutt’ora utilizzate come l’architettura.


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La parabola.

Costruzione con squadra e filo (conicografo a filo teso)1 All’inizio, dopo una riflessione sulla nascita della geometria analitica, ho proposto ai ragazzi la costruzione con squadra e filo della parabola, costruzione che sfrutta la definizione di parabola come luogo geometrico.

1 Per approfondimenti si veda il sito “Laboratorio macchine matematiche” in bibliografia.


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Costruzione mediante cerchi concentrici [dal sito http://mathesis.dti.unimi.it/geogebra/costruz_coniche.htm]

“Fissata una distanza k, tracciamo la circonferenza di centro F e raggio k e la retta parallela alla direttrice a distanza k da essa.

I due punti di intersezione tra la circonferenza e la retta hanno distanza k sia dal punto F che dalla retta d, dunque appartengono alla parabola: i due punti sono simmetrici rispetto alla retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice, cioè all’asse del la parabola; quindi possiamo tracciare due punti della parabola per ogni valore k, purché k sia maggiore della metà s della distanza tra F e d.

Per k = s/2 l’unico punto d’intersezione è il vertice della parabola.”


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Costruzione con squadra e compasso(A. Giovannini e G. Salvi) fermoimmagine del filmato realizzato dai due studenti


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Costruzione con origami (F. Segata) Prendiamo un foglio bianco e segniamo un punto che sarà il fuoco (per facilitare il lavoro è preferibile considerare un punto F approssimativamente nel centro del foglio).

Consideriamo il lato del foglio rivolto verso di noi: costituirà la nostra direttrice.

Pieghiamo dunque il foglio affinché la direttrice passi per il fuoco.

Più piegature faremo, tenendo conto di queste regole, più la parabola che si formerà sarà precisa e ben definita.

L’immagine è presa dal sito: http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Giugno_06/origami.htm

]

Spiegazione.

Piegando il lato del foglio verso il punto F, la ripiegatura si trova esattamente a metà tra la direttrice e il fuoco, rispettando la definizione di parabola come “luogo geometrico dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice”.

Equazione della parabola Parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse delle ordinate e con vertice nell'origine degli assi (L. Semborowski e G. Pangrazzi). Il fuoco sarà un punto generico sull'asse delle ordinate, diverso da O, F(0,k) con e la direttrice sarà una retta parallela all'asse delle ascisse, che interseca l'asse delle ordinate in un punto A(0,-k), d: y=-k. Sia P (x, y) un punto generico della parabola: sfruttando la definizione di parabola come luogo geometrico, imponiamo che la distanza tra P e F sia uguale alla distanza tra P e la retta d.


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22 )( kyxPF −+=

kyPE +=

22222 )()()( kykyxkykyx +=−+⇒+=−+⇒

0422 222222 =−⇒++=+−+⇒ kyxkkyykkyyx Quindi l’equazione della parabola è

kadoveaxy

4

12 ==

Ricordando che k è l’ordinata del fuoco, ricaviamo le coordinate e l’equazione della direttrice in funzione di a

=a

F4

1,0

ayd

4

1: −=

Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate (S. Gottardi e A. Tessadri).

Premessa. Tutte le rette y = mx+q che hanno lo stesso coefficiente angolare m sono parallele, perciò, al variare del termine noto q, otteniamo una traslazione della retta iniziale. Data, ad esempio, la retta r: y = x, sommando al secondo membro dell’equazione un termine noto, ottengo una traslazione della retta stessa.

Sia xyr =: Sia

vyxyt +=: xyy v =−⇒

Corrisponde ad uno spostamento verticale

Sia xyr =: Sia

vxxyt −=:

Corrisponde ad uno spostamento orizzontale


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Ergo, data la parabola 2: axyP = , ottengo la sua traslazione utilizzando


27

yxx

xyy

v

v

=−=−

dove ),( vv yx saranno le coordinate del nuovo vertice


28

↓++

↓−

↓=

+−+=

−=−

=

vvx

vvv

vv

yaxxaxxay

yaxxaxaxy

xxayy

axy

22

22

2

2

2

2

)(

cba

ayy

a

bayaxc

a

bxaxb

con

cbxaxy

vvvv

vv

42

22

22

2

∆−=⇒+

−=+=

−=⇒−=

++=

Una proprietà della tangente alla parabola

(idea di R. Duò, stesura a cura di R. Duò e A. Mahmood).

IPOTESI: In un piano cartesiano sia P una parabola del tipo 2axy = (con 0≠a ), t la retta

tangente alla parabola in un punto Z e s la retta secante a P passante per il punto Z e per il vertice della parabola. TESI: Il coefficiente angolare ( tm ) della tangente t è doppio del coefficiente angolare (sm )

della secantes . Accorgimenti. L’asse di simmetria di P coincida con l'asse delle ordinate e il vertice coincida con l'origine degli assi: visto che la retta secante alla parabola passa per il suo vertice, passerà per l'origine degli assi, avendo così equazione del tipo mxy = .

DIMOSTRAZIONE: Mettiamo a sistema l'equazione della parabola e l'equazione della retta s per trovare le coordinate del punto di intersezione ),( zz yxZ :


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0)(0222

=−⇒=−⇒=⇒

==

maxxmxaxmxaxmxy

axy

Quindi, o 0=x (coordinata dell’origine degli assi), o a

mx = (coordinata di Z) e, di

conseguenza, o 0=y (coordinata dell’origine degli assi), o a

m

a

maaxy

222 =

==

(coordinata di Z);

perciò a

mxz = e

a

myz

2

= .

Sia k il coefficiente angolare della retta t:

ka

mx

a

my

a

mx

a

my

xx

yyk

z

z

−=−⇒

−

−=

−−

=2

2

L’equazione della retta t sarà: a

km

a

mkxy −+=

2

.

Ora mettiamo a sistema l'equazione della parabola P e l'equazione della retta t :

02

22

22

2

=+−−⇒−+=⇒

−+=

=

a

km

a

mkxax

a

km

a

mkxax

a

km

a

mkxy

axy

Avendo ottenuto un'equazione di secondo grado, poniamo 0=∆ , affinché sia verificata la condizione di tangenza:

0)(404 22

2 =−

−⇒=

−−=∆ mk

a

mak

a

m

a

kmak

0440)(4 222 =+−⇒=−−⇒ mmkkmkmk

mk 2=⇒

Quindi il coefficiente angolare della retta t tangente a una parabola del tipo 2axy = in un punto

Z è doppio del coefficiente angolare della retta s secante alla stessa parabola passante per il suo vertice e per il puntoZ .

GENERALIZZAZIONE: questa proprietà vale per una qualsiasi parabola cbxaxy ++= 2 , perché se la trasliamo i coefficienti angolari delle rette tangenti e secanti non cambiano. Al fine di rendere più facile la dimostrazione abbiamo preso in considerazione il caso in cui b=0 e c=0.


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Applicazioni .

Costruzione mediante piegatura di un foglio di carta.

Il seguente metodo sfrutta la proprietà prima dimostrata. PROCEDURA: 1. Prendiamo un foglio di carta e tracciamo rette parallele al lato più corto in modo da costruire

dei rettangoli lunghi e stretti. Chiamiamo A l'intersezione della linea che divide il foglio a metà con la linea del bordo del foglio. Chiamiamo B e B' le intersezioni delle linee a destra e a sinistra di A con il bordo del foglio. Chiamiamo C e C' le intersezioni delle linee a destra e a sinistra di B e B' con il bordo del foglio, e così via.

2. Tracciamo 2 semirette simmetriche con origine in A (meno inclinate sono, più preciso è il

disegno).


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3. Tracciamo due rette che passino rispettivamente per il punto medio di AB e il punto di intersezione della prima semiretta con la perpendicolare in B, e per il punto medio di AB' e il punto di intersezione della seconda semiretta con la perpendicolare in B '.

4. Tracciamo due rette che passino rispettivamente per il punto medio di AC (cioè B) e il punto

di intersezione della terza retta con la perpendicolare in C, e per il punto medio di AC' (cioè B') e il punto di intersezione della quarta retta con la la perpendicolare in C'.

5. Ripetiamo analogamente il punto 4 tracciando rette successive fino ad arrivare in fondo al

foglio.


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Si tratta di un'approssimazione perché in ogni nuovo punto trovato disegniamo la tangente alla parabola con vertice in A e con asse nella retta verticale centrale (per il teorema prima dimostrato). L'approssimazione diventa una parabola quando le prime due semirette tendono ad essere orizzontali e quando lo spazio fra le linee verticali tende a zero, infatti otterremo così infiniti segmenti infinitamente piccoli con inclinazione corretta. Questa costruzione si può fare analogamente anche piegando un foglio di carta.


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Proprietà focale (J. Franch, R. Sembenico, A. Vanzo).

IPOTESI: Sia P );( pp yx un punto di una parabola con il vertice V nell’origine degli assi, siano t la retta

tangente alla parabola in P, r la retta parallela all’asse delle ordinate passante per P, n la retta normale a t in P. Sia H il punto di intersezione di r con la direttrice d, sia F il fuoco della parabola posto sull’asse delle ordinate. Siano α e β gli angoli, indicati in figura, compresi rispettivamente tra n e FP e tra r ed n. Sia 1t la secante alla parabola passante per V e per P. TESI:

1. FH interseca t nel punto R

0;

2px

.

2. α e β sono congruenti.

DIMOSTRAZIONE:

1.

La parabola è del tipo 2axy = , quindi il punto P lo potremmo scrivere come P );( 2pp axx .

La retta 1t passa per P e per V(0;0) perciò soddisfa le due equazioni:

1100 tt qm += e

11

2ttpp qmxax += ⇒ 0

1=tq e

1

2tpp mxax = ⇒ pt axm =

1;


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per il teorema prima dimostrato ptt axmm 221

== e l’equazione della retta tangente in

funzione di x si scrive come )( ptp xxmyy −=− , quindi come

)(22ppp xxaxaxy −=− ⇒ 22 pp axaxxy −= (1).

La retta s a cui appartiene FH passa per );0( FyF e per il punto );( Fp yxH − , infatti per la

definizione di parabola, V è equidistante da F e d e quindi d ha equazione Fyy −= , allora saranno verificate le due equazioni:

ssF qmy += 0 e - sspF qmxy += , ⇒ Fs yq = e FspF ymxy +=− ⇒ p

Fs x

ym 2−=

pertanto s: FpF yxxyy +−= /2 (2).

Mettendo a sistema le equazioni (1) e (2) per trovare R, otteniamo

22/2 ppFpF axaxxyxxy −=+− che, risolta, ci permette di ricavare l’ascissa di R 2p

R

xx = :

sostituendo questo valore alla x nella (1), otteniamo 0=Ry , quindi le coordinate di R sono

0;

2px

.

2. Il triangolo FPH è isoscele perché P appartiene alla parabola e per definizione di parabola ogni punto di essa è equidistante dal fuoco e dalla direttrice (in questo FP è la distanza del punto P dal fuoco e PH è la distanza del punto P dalla direttrice). Per la dimostrazione prima effettuata, la

tangente t interseca FH in R

0;

2px

e quindi è mediana della base FH del triangolo isoscele

FPH, inoltre è anche bisettrice dell’angolo FPH e quindi l’angolo FPR è congruente all’angolo RPH. Chiamiamo γ l'angolo opposto al vertice di β, γ è congruente ad α perché angoli complementari degli angoli congruenti staccati dalla bisettrice t (perpendicolare a n) dell’angolo FPH. β è congruente ad α, perché β è congruente a γ che come abbiamo appena dimostrato è congruente ad α.


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Parabole e catenarie Lettura proposta alla classe.


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A caccia di parabole (L. Ceschi, C. Segatta) Servendosi del programma “GeoGebra.exe” si importa l’immagine che si vuole analizzare. Utilizzando il piano cartesiano proposto dal programma, si prendono in considerazione tre punti vicini che sembrino appartenere alla possibile parabola presente nell’immagine. Con le coordinate dei tre punti e la formula generica della parabola si giunge all’equazione della parabola stessa. Dopo aver trovato fuoco e direttrice con le rispettive formule, si inseriscono i dati nel computer per visualizzare il grafico della parabola trovata: in questo modo si può verificare se la curva presente nell’immagine si sovrappone al grafico della parabola.

FIGURA 1. (archi) In questa immagine l’arco intero non segue una traiettoria parabolica ma, se presa localmente la volta questa ha un andamento parabolico.

FIGURA 2. (arco) Il discorso fatto per la figura 1 vale anche per questo caso come si può vedere in figura.


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FIGURA 3. (Bondone) In questo caso l’oggetto preso in esame non segue assolutamente una traiettoria parabolica come illustrato in figura.

FIGURA 4. (foto) Qui il getto dell’acqua colorata segue perfettamente un’andatura parabolica, anche perché è un esempio fisico del moto del proiettile.

FIGURA 5. (lampada) La plafoniera non è perfettamente parabolica, anche se lo è per la maggior parte della zona curvilinea.


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FIGURA 6. (logo A) L’immagine non è parabolica giacché l’ipotetico asse non è parallelo all’asse delle ordinate.

FIGURA 7. (Luna) In figura si nota che la parabola segue solo in parte la falce di luna rappresentata, quindi l’intera figura non rappresenta una parabola.

FIGURA 8. (Torre Eiffel) L’angolazione della foto non ci permette di vedere se realmente l’arco alla base della torre è una parabola. Da quest’immagine possiamo solo attenerci ai risultati dei nostri calcoli che dicono che non ha un andamento parabolico.


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Bibliografia e sitografia.

. - Emmeciquadro n.42 – Scienzainatto / Conoscenza matematica tra regole e libertà, Claudio

Giorgi

- “Geometria analitica analisi matematica”, L. Tonolini – Minerva Italica

- “Lezioni di matematica 1 per il triennio”, L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni – ETAS

- Focus Brain Trianer (numeri vari) per alcuni problemi di matematica ricreativa

- Laboratorio macchine matematiche - Università di Modena e Reggio Emilia http://www.museo.unimo.it/

- Progetto Polymath – matematica e origami (Politecnico di Torino) http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Giugno_06/origami.htm

- http://mathesis.dti.unimi.it/geogebra/costruz_coniche.htm

- Giochi d’acqua -Claudio Citrini - Dipartimento di Matematica - Politecnico di Milano 10/5/2008 www.matematicasenzafrontiere.it/documenti2/atti08/.../Citrini.pdf

– http://nuovilicei.indire.it/content/index.php?action=lettura&id_m=7782&id_cnt=10497

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