¿PARA QUÉ SIRVEN HOY LOS NÚMEROS? - Real

¿PARA QUÉ SIRVEN HOY LOS NÚMEROS?

PILAR BAYER ISANT

Real Academia de Ciencias

INTRODUCCIÓN

El saber matemático y el potencial de cálculo de las ci-vilizaciones forman parte de su historia. Los conoci-mientos matemáticos forjados a través de siglos repercu-ten en avances científicos y tecnológicos de apreciableimpacto. Sin embargo, y a pesar del carácter universalinherente a las matemáticas, no es extraño que se sosla-ye el papel de esta ciencia en la historia del pensamientohumano. Carentes inexplicablemente de todo eco social,los logros matemáticos persisten veladamente y no sue-len contabilizarse en el haber de los pueblos. A lo sumo,se adscriben a ciertas minorías que tomaron gusto a lodifícil. Pero, bien pensado, conocer con precisión elmovimiento de los astros, lanzar proyectiles, diseñar sis-temas de votación ponderados, elaborar modelos de vi-rus son actividades humanas que requieren el ineludibleconcurso de las matemáticas.

La llamada sociedad de la información conlleva asimis-mo el uso de herramientas matemáticas específicas. Enlas últimas décadas, las nuevas tecnologías se han afianzadoen todos los ámbitos: comercio, administración, ciencias,medicina, ciencias sociales. Continuamente, los mediosde comunicación ponen a nuestro alcance noticias relati-vas a telefonía digital, televisión digital, radio digital. Parabien o para mal, las tecnologías digitales inciden aprecia-blemente en los mercados financieros, por lo que pocos es-capan a su influencia.

Dado que digitales un adjetivo derivado del sustanti-vo latino digitus (dedo) y que la primera calculadora usa-da por el Homo sapiens han sido los dedos de la mano, lamera presencia de este término transluce un componentematemático.

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

Por regla general, elaboramos los cálculos de la vida co-tidiana de acuerdo con el denominado sistema de nume-ración decimal. Nuestro sistema de numeración consta dediez dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, uno de los cuales

es el 0. Es de posición, puesto que el valor de cada cifradepende del lugar que ocupa. Y, en él, diez unidades for-man una decena, diez decenas forman una centena, etc.La ausencia de unidades de un orden determinado seindica por medio del 0, con lo cual números como 37, 370,703 indican cantidades distintas. Aunque hoy nadie cues-tiona la naturalidad de esta manera de denotar los nú-meros, lo cierto es que su derivación y evolución han sidolentas.

Con el sistema de numeración decimal representamosno sólo los números naturales, sino también los núme-ros enteros, los números racionales, los números reales ylos números complejos. Recordemos las notaciones habi-tuales para estos conjuntos de números, así como su des-cripción:

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N = {1, 2, 3, ...}, 1 = {O, ±1, ±2, ±3,...},

Q = { a I ir. a, b enteros, b * o},

IR = \n + O.d^dj...: n entero, 0 s «/, s 9},

C = { a + bi: a, b reales, i = v-1 }.

A pesar de la operatividad del sistema de numeracióndecimal, las tecnologías digitales suelen basarse en eldenominado sistema de numeración binario. El sistemade numeración binario consta únicamente de dos dígi-tos: 0, 1. Es de posición. Y, en él, cada dos unidades deun mismo orden constituyen una unidad del orden su-perior. Los dígitos binarios permiten representar todoslos números. Los siguientes ejemplos muestran la ex-presión binaria del número natural 41, del número ra-cional 117, así como de los números reales raíz cuadra-da de 2 y «pi»:

41 = 1 + 23 + 25 = 1010012,_ l/7 = 0.0010012,

V2= 1.011010100000Í001...2,jt= 11.0010010000111111...2.

Atendiendo a tonalidades de grises, colores, o a fre-cuencias de sonidos, toda información de tipo gráfico oacústico es susceptible de ser digitalizada. Es decir, con-vertida en una sucesión de números representables a suvez por medio de ceros y de unos.

La implantación del sistema binario como instrumen-to idóneo para codificar la información se debe a su sim-plicidad. La simulación física del sistema binario es par-ticularmente sencilla, bastando un soporte materialsusceptible de dos estados. Así, el 1 puede asimilarse a lapresencia de un impulso electromagnético y el 0, a su au-sencia. De esta forma, los dígitos binarios se convierten enla unidad de información básica o ¿z>-acrónimo de binarydigit—. Las tecnologías digitales codifican una conversación,una sinfonía, una película o un partido de fútbol en unasucesión de ceros y unos, idónea para ser transmitida a lavelocidad de la luz y a largas distancias.

ORÍGENES DE LA BASE DOS

El origen de las cifras 0, 1 es muy desigual. En cierta for-ma, el 1 es la primera cifra utilizada en todos los sistemasde numeración y el 0, la más tardía.

El hombre prehistórico se valía ya de trazos verticales paracontar, como han puesto de manifiesto astas de reno mar-cadas con muescas procedentes del Paleolítico superior.A su vez, unía varios trazos verticales para facilitar su re-cuento. Notemos que ningún motivo obliga a unir talestrazos de diez en diez. Podemos, con igual fortuna, utili-zar cualquier cantidad de ellos: cinco, diez, doce, dos. Lacantidad acordada con este fin constituye la base del sis-tema de numeración.

El sistema de numeración egipcio usado en la escriturajeroglífica (hacia 3000 a. C.) era un sistema de base 10, desiete cifras y carecía de 0. Para designar las primeras po-tencias de diez, uno era representado por un palo verti-cal; diez, por un asa; cien, por un caracol; mil, por unaflor de loto; diez mil, por un dedo doblado; cien mil, porun renacuajo; y un millón, por un hombre con los brazosen alto. Mediante la repetición conveniente de estos sím-bolos, los egipcios escribían todos los números naturales.El sistema de numeración egipcio no era de posición puesel orden de las cifras de un número escrito resultaba irre-levante.

Para sumar dos cantidades, los egipcios reunían los gua-rismos correspondientes, sustituyendo diez unidades deun determinado orden por la unidad del orden superior.Así, diez asas equivalían a un caracol, diez renacuajos equi-valían a un hombre con los brazos en alto. El doblar unacantidad era igualmente sencillo: cinco asas y un palo ver-tical multiplicados por dos equivalían a un caracol y dospalos verticales. Pero, ¿cómo proceder en la multiplica-ción y división de cantidades mayores?

Los egipcios resolvieron el problema de la multiplicaciónde una forma espléndida. Puesto que la única multiplica-ción sencilla era la multiplicación por 2, redujeron cual-quier multiplicación de números naturales a una sucesiónde sucesivas multiplicaciones por 2. Para ello, escribían elmultiplicando como suma de potencias de 2 y doblabanel multiplicador tantas veces como fuera necesario, deacuerdo con la descomposición del multiplicando. Veamosun ejemplo, escrito en nuestra notación:

41 x59 = (2°+2 3+2 5)x59 = 59 + (0x 118) ++ (0 x 236) + 472 + (0 x 944) + 1888 = 2419.


A pesar de que carecían del 0, en la constatación de losegipcios de que todo número natural es expresable comosuma de potencias de dos se aprecia un precedente del sis-tema de numeración binario.

La escritura jeroglífica egipcia evolucionó en las escri-turas hierática y demótica. A la hora de representar gráfi-camente los números, estas escrituras evitaban la repeticiónde los símbolos a base de incrementar el número de sus gua-rismos y, por tanto, a costa de incrementar la dificultadnemotécnica de su escritura.

La fuente más valiosa para el conocimiento de la mate-mática egipcia la constituyen las inscripciones de sus mo-numentos y unos pocos papiros, algunos de los cuales po-seen más de 3000 años de antigüedad.

En 1858, el egiptólogo Henry Rhind adquirió en unmercado de Luxor un papiro en escritura demótica, de6 metros de largo por 30 centímetros de ancho, todo élde contenido matemático. Además de abundantes reglasde cálculo, el Papiro Rhind contiene una colección de 84problemas. En ellos, los egipcios se muestran familiari-zados con el cálculo de áreas, volúmenes y con el mane-jo de fracciones de numerador uno -las denominadasfracciones egipcias—. Según consta en el documento, elescriba Ahmes lo copió (hacia 1650 a. C.) de material másantiguo, procedente del Imperio Medio (entre el 2000y el 1800 a. C ) . Se ha especulado que la fuente intelec-tual del Papiro Rhind podría muy bien ser Imhotep,legendario médico y arquitecto del faraón Zoser que di-rigió la construcción de la pirámide que lleva su nombre.En la actualidad, el Papiro Rhind se conserva en el Mu-seo Británico.

ORÍGENES DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

DE POSICIÓN

Alrededor del año 2400 a. C , Mesopotamia conta-ba ya con sistemas de numeración de posición. El sis-tema de numeración sumerio era mucho más elabora-do que el egipcio. Se trataba de un sistema denumeración de posición, de base 60, que, en un prin-cipio, careció del 0.

Los sistemas de numeración de posición permiten escribirlos números con una gran economía de guarismos. El sis-tema de numeración sumerio poseía únicamente dos ci-fras: un clavo vertical denotaba el 1; una cuña horizontaldenotaba el 10. La ausencia de unidades de un determi-nado orden se representaba mediante un espacio vacío, locual era frecuente fuente de errores. De este modo, dos cla-vos verticales seguidos de un espacio en blanco y de doscuñas horizontales podían denotar tanto el número (2 x 60) ++ (2 x 10) = 140 como el número (2 x 602) + (2 x 10) == 7220. Para evitar estos inconvenientes, alrededor del200 a. C. empezaron a usarse dos clavos inclinados paraindicar que faltaban las unidades de un determinado or-den intermedio. Este «0» mesopotámico constituye unprecedente remoto de nuestro 0.

La matemática mesopotámica nos ha llegado a travésde una gran cantidad de tablillas de arcilla grabadas enescritura cuneiforme. Una de las más célebres es la cono-cida con el nombre Plimpton 322, que se conserva en laUniversidad de Columbia. Su contenido equivale a quinceternas pitagóricas o soluciones de la ecuación X2 + Y2 = Z2.Si denotamos por a, b los catetos de un triángulo rectán-gulo y por fsu hipotenusa, las entradas de las tres prime-ras columnas de la tablilla corresponden a las cantidadesc*/a2, a, b, respectivamente. En una columna cuarta de latablilla se aprecia la numeración de sus quince filas. Latablilla Plimpton 322 data de la época de Hammurabi(hacia 1800 a. C.) y, aunque se ignora su finalidad, ponede manifiesto la temprana familiarización de un mate-mático sumerio con el teorema de Pitágoras (h. 540 a. C) ,mucho antes del establecimiento de las comunidadespitagóricas.

BREVE HISTORIA DEL CERO

El sistema de numeración griego era alfabético. En uncontexto matemático, los griegos asignaban a cada letra delalfabeto un valor numérico. El sistema de numeración ro-mano se basaba en principios parecidos. Tanto el sistemade numeración griego como el romano eran muy inope-rantes a la hora de calcular. Su persistencia a lo largo delos siglos se debe a que los cálculos se efectuaban de for-ma mecánica, empleándose los números únicamente paraanotar los resultados. De todos los instrumentos de cálculoutilizados -piedras (calculi), cuentas, cuerdas-, el princi-pal fue el abaco.

Los abacos constan de un marco en el que se insertanalambres con bolas engarzadas, o de cualquier otro me-canismo equivalente, apto para la visualización de las ope-raciones aritméticas. Los abaquistas, o personas especial-mente entrenadas en su uso, no necesitan conocer el porquéde los movimientos de las bolas para efectuar una opera-ción, basta con que sean hábiles en su manejo. En nues-tros días, los abacos todavía son usados en Oriente.

Los astrónomos griegos siguieron utilizando los siste-mas de numeración de posición mesopotámicos de base 60.Tolomeo de Alejandría (h. 90 - h. 160) empleó un sím-

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1 !

Abaco chino.

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bolo parecido a la letra griega ómicron para dar a entenderque faltaban las unidades de un determinado orden. Enel libro primero de su Sintaxis matemática, obra más co-nocida por el nombre árabe de Almagesto (que significa«el más grande»), Tolomeo construye una tabla de cuer-das de arcos desde xl° hasta 180°, de medio en mediogrado, equivalente a una tabla actual de senos de ángulosde 7.4° hasta 90°, de cuarto en cuarto grado. El Almages-to se convirtió en el libro de referencia básico para los as-trónomos durante más de mil años.

Tolomeo introdujo en su Geografía el sistema de longi-tudes y latitudes que todavía usamos hoy para fijar lascoordenadas geográficas; sin embargo, en su época no seconocía ningún sistema para determinar longitudes geo-gráficas. Según Cari C. Boyer, un cálculo de Tolomeo ba-sado en una estimación errónea del radio de la Tierra efec-tuada por Posidonio (h. 135 - h. 50 a. C.) habría inducidoa Cristóbal Colón a subestimar la distancia de Europa ala India navegando hacia el Oeste.

Tolomeo de Alejandría (h. 90 - h. 160 d. C.) consultando elastrolabio.

Euclldes de Alejandría (s. m a. C.) demostró que existen Infinitosnúmeros primos.

PROTOHISTORIA DE LA TEORÍA DE NÚMEROS

Los tratados más antiguos de la matemática griega quehan llegado a nuestros días son las obras de Euclides (h. 315- h. 225 a. O). Euclides, formado probablemente en Ate-nas, no hacía especial hincapié en los aspectos prácticos delas matemáticas. Durante la dinastía de los Lágidas ocu-pó el cargo de profesor del Museo de Alejandría, dondeescribió su obra más famosa, los Elementos, concebidacomo un libro para el aprendizaje de la geometría. La obraconsta de trece libros. El material de los dos primeros sesupone que procede en parte de los pitagóricos. Los LibrosIII y IV podrían estar tomados de Hipócrates (h. 430 a. C),autor de unos Elementos de geometría que se han perdido.De Hipócrates sabemos por Aristóteles que, siendo mer-cader, perdió todo su dinero en Bizancio debido a un frau-de; sin embargo, nunca consideró este hecho como una des-gracia, pues a consecuencia de él pudo dedicarse al cultivode la geometría. Hipócrates se habría dedicado al proble-ma de cuadraturas de lúnulas, con la esperanza de poderun día cuadrar el círculo.

Tres de los trece libros de los Elementos están dedicadosal estudio de los números naturales. En los Libros VII,VIII y IX, Euclides trata cuestiones básicas sobre divisi-bilidad, máximo común divisor y mínimo común múlti-plo; describe el algoritmo para la determinación del má-ximo común divisor que aún usamos en nuestros días ydefine los conceptos de número primo, número perfecto,números amigos, etc., ya conocidos por los pitagóricos. Re-cordemos que un número natural se denomina primo si ca-

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rece de divisores distintos de 1 y él mismo. Los prime-ros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Eu-clides demuestra que existen infinitos números primos:«existen más números primos que en cualquier cantidadde números primos fijada de antemano». El lenguaje delos Elementos es preferentemente geométrico; así, anteuna igualdad n = mk, Euclides nos dice que «« está me-dido por m».

Eratóstenes de Cirene (h. 284 - h. 202 a. O), astróno-mo, matemático y bibliotecario del museo, es recordadopor haber ideado un procedimiento que permite obtenertodos los números primos por debajo de una cantidaddada: la denominada criba de Eratóstenes. También rea-lizó una medida del radio de la Tierra mucho más apro-ximada que la de Posidonio.

En relación con el estudio de los números, la Escuela deAlejandría produjo en el llamado segundo periodo (ha-cia el siglo III) una obra singular: la Aritmética de Dio-fanto. La Aritmética consta de una colección de 150 pro-blemas relativos a propiedades de los números. Losnúmeros son tratados por sus propiedades intrínsecas, sinreferencia alguna a medidas de grano, dimensiones decampos o unidades monetarias (salvo en un problemade mezclas, relativo al precio de unos vinos). En general,Diofanto se limitaba a ofrecer soluciones particulares exac-tas de los problemas, sin pretender ningún método gene-ral. Puesto que el contenido de la obra es eminentementearitmético y en ella no se emplean métodos geométricos,Diofanto está más próximo a la matemática mesopotámicay a la matemática de los pitagóricos que a la matemáticagriega del primer periodo de la Escuela de Alejandría. Porejemplo, en el célebre problema II-8, se ocupa de las ter-nas pitagóricas: «descomponer un cuadrado dado en sumade dos cuadrados».

Otros problemas de la Aritmética conducen a la resolu-ción de ecuaciones de la forma:

X2 = 1 + 30 Y2, o bien X2 = 1 + 26 Y2.

En honor de Diofanto de Alejandría, las ecuaciones po-linómicas de coeficientes enteros (o racionales) de las quese buscan sus soluciones enteras (o racionales) reciben elnombre de ecuaciones diofánticas.

ORÍGENES DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

La cuna del sistema de numeración decimal y de las ci-fras que empleamos en la actualidad se halla en la civili-zación india. Los matemáticos indios lograron reunir enun único sistema de numeración las ventajas que hemosapreciado en distintos sistemas de numeración de la An-tigüedad. Su sistema de numeración es de posición, debase decimal y posee una cifra para cada uno de los dieznumerales básicos, incluido el 0.

El matemático y astrónomo indio Aryabhata (n. 476)escribió alrededor del año 499 el Aryabhatiya, una obra des-

criptiva, versificada en 123 estrofas, en las que se sumi-nistran abundantes reglas de cálculo. El autor procede alcálculo de raíces cuadradas, raíces cúbicas, maneja pro-gresiones aritméticas y proporciona fórmulas para el cálculode áreas y volúmenes, aunque no todas correctas. En elAryabhatiya se encuentra una tabla de senos de ángulos me-nores de 90° para 24 intervalos angulares de 3 3/4° cada uno.De su afirmación «de un lugar a otro, cada uno es diez ve-ces el que le precede» se desprende que Aryabhata estabafamiliarizado con el uso del sistema de numeración deci-mal de posición.

En cuanto a la procedencia de los guarismos que em-pleamos para la representación de los números, se hanformulado hipótesis diversas. Al parecer, nuestras cifrasderivan de las nueve primeras cifras brahmi, de los si-glos III—II a. C , tras haber experimentado múltiples trans-formaciones. En la India se origina asimismo el guarismodel cual deriva nuestro 0: un huevo de oca. El primertestimonio epigráfico indio del 0 es una inscripción delaño 876. La forma actual de las cifras no quedaría fijadaen Occidente hasta el siglo XV, tras la invención de laimprenta.

Un siglo posterior a Aryabhata encontramos al mate-mático Brahmagupta (598 - 665), en cuya obra apare-cen sistematizadas no sólo las reglas de cálculo del sis-tema decimal con el 0, sino también el cálculo connúmeros negativos. Brahmagupta presenta muchas se-mejanzas con Diofanto de Alejandría. El álgebra deambos es sincopada; es decir, las operaciones y las in-cógnitas se representan abreviando las palabras corres-pondientes.

El sistema de numeración decimal de posición y conel 0 fue usado por el matemático y astrónomo Bhaskara(1114-1185), autor del Lilavati, obra que contiene unarecopilación de problemas cuya resolución conlleva el ma-nejo de ecuaciones lineales, cuadráticas, cálculo de áreas,progresiones aritméticas, progresiones geométricas, cálculode raíces y ternas pitagóricas. El nombre del tratado corres-ponde al de la hija de Bhaskara.

LA TRANSMISIÓN A OCCIDENTE DE LOS NUMERALES

INDIOS

Cuenta una leyenda que el califa de Bagdad Al-Mamun(809 - 833), tras haber dialogado en sueños con Aristó-teles, decidió traducir al árabe todas las obras griegas a su

Las cifras nagari del siglo xi.

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Leonardo de Pisa, Fibonacci (1180-1250).

alcance. De esta forma, el Almagesto de Tolomeo y losElementos de Euclides fueron traducidos al árabe en el si-glo IX.

La Casa de la Sabiduría, fundada por los califas Harunal-Rasid y Al-Mamun se convirtió en el siglo IX en la he-redera del Museo de Alejandría. Muhammad bin Musaal-Khwarizmi (m. hacia 845) fue el matemático más desta-cado de aquella institución. Su texto De numero indorum,escrito alrededor del 820, sirvió para consolidar las cifrasindo-arábigas, el 0, el sistema de numeración de posiciónde base 10, así como sus reglas de cálculo. El originalárabe de dicho texto se ha perdido; tampoco queda clarala autoría de la traducción latina, habiéndose atribuidoésta a Adelardo de Bath y a Juan de Sevilla. En cualquiercaso, parece indudable que la traducción latina se realizóen nuestra Península, por lo que España tuvo un papelrelevante en la transmisión del cálculo a Occidente. Laversión más antigua conservada del texto mencionadode Al-Khwarizmi es del siglo XII y procede de la Escuelade Traductores de Toledo.

Citemos asimismo que Abu-1-Welfa (940 - 998) tradu-jo del griego la Aritmética de Diofanto, adelantándose alas traducciones latinas de la obra, que no verían la luzhasta el siglo XVI.

El hecho de poseer un sistema de numeración operati-vo permitió incrementar la precisión de los cálculos, asícomo conservar los resultados parciales, lo cual facilitabaenormemente la comprobación de los resultados. La apro-ximación del número jt = 3,14159265358979 calculadapor Al-Kasi (1380 - 1429) da cuenta de las posibilidadesque el nuevo sistema de numeración ofrecía. Al-Kasi tra-bajó en el observatorio de Samarcanda. Su récord en elcálculo de JI no sería emulado hasta finales del siglo XVI.(La frase «How I want a drink alcoholic, of course, afterthe heavy lectures involving quantum mechanics» sirve

de recurso nemotécnico, puesto que el número de letrasde cada palabra corresponde a los sucesivos dígitos de ir,calculados por Al-Kasi.)

Leonardo de Pisa (1180 - 1250), más conocido por Fi-bonacci (hijo de Bonaccio), era hijo de un mercader queposeía negocios en el norte de África. Su juventud trans-currió en gran parte en el mundo árabe, en donde Fibo-nacci aprendió el cálculo con las cifras indo-arábigas y es-tudió los Elementos de Euclides. En 1202, Fibonacci dioa conocer su Líber abaci, verdadero compendio de las ma-temáticas medievales. En contra de lo que su título su-giere, el Líber abaci no estaba dedicado al aprendizaje delabaco, sino al del cálculo con las cifras indias. Fibonacciexplica el funcionamiento de las operaciones, así comolas pruebas del 7, 9, 11, 13. Estudia propiedades de divi-sibilidad, reglas sobre compraventas, cambios con las mo-nedas entonces en curso, proporciones, y resuelve ecua-ciones de primer y segundo grados. Con todo, en el cálculocon fracciones, Fibonacci sigue haciendo uso de las frac-ciones egipcias. Se necesitaría más de un siglo para quelas ventajas del sistema de numeración de posición sehicieran extensivas al cálculo con números racionales. ElLíber abaci, anterior a la invención de la imprenta, sir-vió de base para la formación de maestros y alumnos dela escuela toscana durante más de tres siglos, aunque nofue impreso hasta el siglo XIX. En la edición de Bon-compagni, el Líber abaci poseía más de cuatrocientas pá-ginas.

El texto de Luca Pacioli (1445 - 1514) Siimma dearithmetica, geométrica, proportioni etproportionalita se-ría el sucesor del Líber abaci. La Summa contenía unarecopilación de material perteneciente a aritmética, ál-gebra, geometría euclídea elemental y contabilidad. Apartir de la segunda mitad del siglo XV, se imprimió ungran número de textos de aritmética, dirigidos princi-palmente a usos comerciales y escritos ya en lenguasvernáculas.

El matemático francés Francois Viéte (1540 - 1603)hizo una encarecida defensa del uso de las fracciones de-cimales en lugar de las sexagesimales. Su implantación de-finitiva contribuyó enormemente al progreso de la tri-gonometría e hizo posible el cálculo con logaritmos.Durante los reinados de Enrique III y de Enrique IV,Viéte tuvo un destacado papel como criptoanalista. Trascaer políticamente en desgracia, dedicó los últimos añosde su vida al cultivo de la matemática, y realizó impor-tantes contribuciones al estudio de las ecuaciones alge-braicas.

LA INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS

A principios del siglo XVII, el sistema de numeraciónindo-arábigo estaba totalmente introducido en Europaoccidental y con él se sabían representar tanto los núme-ros enteros como los racionales. Las operaciones de mul-tiplicar y dividir realizadas con números altos, costosas en

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tiempo, se verían en gran parte aliviadas mediante la in-vención de los logaritmos.

En sus reflexiones acerca de los términos de una pro-gresión geométrica formada por las potencias enteras de unnúmero dado, el matemático escocés John Napier (1550 -1617), barón de Merchiston, observó que si este número eramuy próximo a uno, entonces los términos de la progresiónestaban muy próximos los unos de los otros. Tomando1 - 10 7 = 0.9999999 y escribiendo n = 107 (1 - 10"7)*,Napier asignó a n el índice k, denominándole el logarit-mo de n. La palabra logaritmo -compuesta de las pala-bras griegas logas (razón) y arithmos (número)— fue acuñadapor el propio Napier. Los logaritmos aplicados a los tér-minos de una progresión geométrica la convertían en unaprogresión aritmética.

Tras un trabajo de más de veinte años, en 1614 Napierpublicó el tratado Miriftci logarithmorum canonis des-criptio, con sus consiguientes tablas. Esta obra popula-rizó asimismo el uso de un punto para separar la parteentera de la parte decimal de los números. Posterior-mente, otros autores utilizarían las comas, con idénticafinalidad.

Henry Briggs, el primer Savilian Professoráe geometríade la Universidad de Oxford, modificó ligeramente ladefinición de Napier de los logaritmos, dando lugar a loslogaritmos vulgares o de base 10: y = log x expresa quex = 1 (F. Briggs publicó sus tablas de logaritmos con catorcecifras decimales en 1624; los nombres característica y man-tisa para designar la parte entera y la parte fraccionariadel logaritmo de un número proceden, asimismo, del li-bro de Briggs.

Las tablas de logaritmos permitieron reemplazar lascomplicadas operaciones de multiplicación y división porlas sencillas operaciones de suma y resta, respectivamen-te. El astrónomo Johannes Kepler (1571 - 1630) opina-ba que la invención de los logaritmos multiplicaba pordos la vida de los astrónomos, puesto que les permitía do-blar el número de cálculos que eran capaces de hacer. Eldeseo de disponer de tablas de logaritmos extensas y fia-bles hizo necesario el trabajo de muchos calculadores a lolargo de todo el siglo XVII.

Evangelista Torricelli (1608 - 1647), matemático y fí-sico nacido en Florencia que ha pasado a la historia porla invención del barómetro, era discípulo de Galileo Ga-lilei (1564 - 1642). Bajo la influencia de su maestro, To-rricelli estudió las trayectorias parabólicas que siguen losproyectiles disparados desde un punto fijo con velocidadinicial constante pero con ángulo de tiro variable. Sus in-vestigaciones prepararon el advenimiento del cálculo di-ferencial.

Uno de los problemas estudiados por Torricelli consis-tía en determinar el área encerrada por la curva y = log x,su asíntota y una ordenada, así como el volumen obtenidoal girar esta superficie alrededor del eje Ox. Esta es la pri-mera representación gráfica que se tiene de la junción lo-garitmo. Hasta entonces los logaritmos no habían sidoconsiderados como una función, sino solamente como

un recurso de cálculo. La función logaritmo posee porfunción inversa la función exponencial. Ambas funcionesson crecientes, pero la función exponencial crece muchomás aprisa que la función logaritmo. (Un crecimiento delos beneficios de tipo exponencial es altamente preferiblea un crecimiento de tipo logarítmico). Las funciones po-linómicas presentan un orden de crecimiento interme-dio entre el logarítmico y el exponencial -unas cuantaspruebas en una calculadora científica no dejarán lugar adudas.

Las tablas de logaritmos y de funciones trigonométri-cas (senos, cosenos, tangentes) resultaron de gran valor paramejorar la seguridad de los viajes de ultramar al permi-tir una aproximación mejor del cálculo de las coorde-nadas. Cartas de navegar con indicaciones de longitudesy latitudes se popularizaron en el mundo occidental apartir del siglo XVI y, a partir del XVII, los cálculos rela-tivos a la resolución de triángulos se beneficiaron enor-memente de la invención de los logaritmos.

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D E LAS TERNAS PITAGÓRICAS AL «TEOREMA»

DE FERMAT

Fierre de Fermat (1601 - 1665), abogado y miembro delconsejo local del Parlamento de Toulouse, cultivaba lasmatemáticas por afición. Estudió con ahínco la Aritmé-tica de Diofanto, gracias a la edición grecolatina que de ellahiciera Claude Gaspard de Bachet (1591 - 1639), en el año1621. Las reflexiones de Fermat sobre distintos proble-mas de Diofanto, enviadas a sus coetáneos en forma de pro-blemas, promovieron el interés por la teoría de númerosen Occidente. Se trataba de investigaciones relativas a laspropiedades de los números enteros, desprovistas de todautilidad aparente, y que se practicaban como entreteni-miento intelectual.

Por medio de su método del «descenso infinito», Fermatprobó que ningún cubo descompone en suma de dos cu-bos; es decir, que la ecuación X3 + Y3 = Z3 carece de so-luciones no triviales en los enteros —en contraposición alcaso de las ternas pitagóricas, o sea del exponente 2.

Fermat se sintió asimismo fascinado por los númerosprimos. Los matemáticos chinos sabían que si pes un nú-mero primo, 2f - 2 es múltiplo de p. Observando mu-chas expresiones de la forma ap — a, para distintos valoresde ay dep, Fermat dedujo que dicha cantidad sería siem-pre un múltiplo de p. Tal afirmación, conocida como el«pequeño teorema de Fermat», sería probada por Gott-fried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Fermat dedujo asi-mismo que todo primo de la forma p = 4k + 1 sería ex-presable como suma de dos cuadrados como, por ejemplo,5= I2 + 22, 41 =42+ 52.

Muchas de las afirmaciones de Fermat acerca del com-portamiento de los números fueron probadas (y algunas,desmentidas) por Leonhard Euler (1707 - 1783), AdrienMarie Legendre (1752 - 1833) y Cari Friedrich Gauss(1777 - 1855). Pero probar su afirmación de que la ecua-ción X" + Y" = Z" carece de soluciones enteras x, y, z,tales que xyz * 0, para todo n > 2, conocida como el«último teorema de Fermat», se convertiría en un acicateconstante para el avance de la teoría de números.

GAUSS, «PRINCEPS MATHEMATICORUM»

La obra de Cari Friedrich Gauss (1777 - 1855) es una delas más impresionantes de la historia de las matemáticas.Nacido en Brunswick en el seno de una familia muy hu-milde, Gauss fue llamado Princeps mathematicorum por sucoetáneos. Gauss reunía en su persona todas las cualidadesque son de desear para el cultivo de la matemática: intui-ción, profundidad de pensamiento, rigor, facilidad de cálculoy constancia en el tratamiento de los problemas. Su estiloera apto tanto para la matemática «fundamental» comopara la matemática «aplicada». Puede decirse que Gausscultivó todas las ramas de la matemática de su época, algunasde las cuales adquirieron una personalidad y apariencia«modernas» a partir de sus planteamientos y metodología.

A los catorce años de edad, Gauss fue presentado alpríncipe Cari Wilhelm Ferdinand de Brunswick-Lüne-berg, quien, impresionado por el talento del joven, le con-cedió una beca que le permitió realizar sus estudios con hol-gura. A los quince años, Gauss ingresó en el CollegiumCarolinum, un centro estatal que contaba escasamentediez años de antigüedad, y que poseía una biblioteca ex-celente. En el Collegium, Gauss estudió latín y griego yse familiarizó con los Principia de Newton, el Algebra deEuler y la Mécanique analytique de Lagrange.

A los dieciocho años de edad, Gauss ingresó en la Uni-versidad de Góttingen. Teniendo en cuenta que esta uni-versidad se encontraba en el estado de Hannover, este he-cho equivalía a estudiar en el extranjero. La Universidadde Góttingen, fundada por el rey Georg II de Inglaterra,seguía el modelo de las universidades inglesas de Oxfordy Cambridge. En Góttingen, Gauss gozó de «libertad aca-démica»: no estuvo guiado por ningún tutor, no tuvo quesometerse a ningún examen y sobre él no se ejerció nin-gún tipo de control curricular. Gauss fue alumno de laUniversidad de Góttingen hasta los veintiún años. Du-rante esta estancia tuvo lugar la eclosión de su talento ma-temático. En sus años universitarios, Gauss dejó prácti-camente terminada la redacción de un libro memorable:Disquisitiones arithmeticae.

Las Disquistiones arithmeticae fueron editadas en 1801en Leipzig, ciudad que poseía una excelente tradición enla edición de libros. El libro contiene 700 páginas, redac-tadas en un hermoso y culto latín, repletas de hallazgos ma-temáticos relativos al comportamiento de los números.En la obra, Gauss agradece a su protector, el príncipe, elhaber sabido sortear todos los obstáculos que retardabanla edición, dedicándole las palabras siguientes:

... nadie ignora que no son excluidas de Vuestro patrocinioaquellas ciencias que son consideradas por la gente más abs-trusas y más alejadas de la utilidad de la vida diaria, porqueVos mismo os dais cuenta perfectamente de la vinculacióníntima y necesaria entre todas las ciencias, con una menta-lidad muy sabia y muy conocedora de todas las cosas que in-teresan para el aumento de la prosperidad de la sociedadhumana.

Las Disquisitiones arithmeticae de Gauss abandonabanel carácter utilitario de las aritméticas renacentistas y seconvertían en el primer libro moderno de teoría de nú-meros. En las Disquisitiones, Gauss retoma la tradición dela aritmética griega (Euclides, Diofanto) y de los mate-máticos indios (Brahmagupta, Bhaskara) para dar un pasode gigante con respecto a las investigaciones efectuadaspor Fermat, Euler y Lagrange. Gauss decía de la matemá-tica que era «la reina de las ciencias» y de la teoría de números,que era «la reina de las matemáticas».

Una de las preguntas más difíciles que cabe formular aun matemático creativo es «para qué sirve» lo que está ha-ciendo. ¿Cuál hubiera sido la respuesta de Gauss a tal pre-gunta? Hoy, transcurridos más de 200 años, sabemos que

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Cari Friedrich Gauss (1777-1855).

las Disquisitiones no sólo representan un hito en la histo-ria del pensamiento humano, sino que contienen, ade-más, el germen de ideas matemáticas presentes en las mo-dernas tecnologías.

El príncipe protector de Gauss murió en la batalla de Jena(1806), luchando contra las tropas de Napoleón. En 1807,Gauss obtuvo el cargo de director del Observatorio deGóttingen, que ocupó hasta el fin de sus días. A lo largode su vida participaría en estudios sobre astronomía, aná-lisis, mecánica celeste, cálculo de probabilidades, mecánica,electromagnetismo y geometría diferencial. Su interven-ción sería clave asimismo en el nacimiento de las geome-trías no euclidianas.

«DISQUISITIONES ARITHMETICAE»

Las Disquisitiones constan de siete secciones. Las cuatroprimeras se dedican al cálculo con congruencias. Si se fijaun entero m y dados enteros a, b, Gauss dice que a y b soncongruentes módulo m cuando su diferencia es un múlti-plo de m

a=b (moa ni) <=> m\(a-b).

De este modo, -16 = 9 (mod 5), - 7 = 1 5 (mod 11). Fijadoun módulo m, cada número entero es equivalente a unnúmero entre 1 y m. A lo largo de 165 páginas, Gauss sededica a investigar las propiedades de las clases de con-gruencia TLImlL cuando con ellas se efectúan las opera-ciones aritméticas habituales.

Un ejemplo de cálculo módulo 12 lo ofrecen las horasde los relojes. Por ejemplo, 8 + 7 = 3 (mod 12). Expresa-mos los años mediante números enteros, pero expre-samos las horas por medio de clases de congruencia deZ/12Z. Si las horas se expresaran por medio de númerosenteros, nos sería muy costoso comunicar la hora que es.

El resultado fundamental de las primeras secciones deltexto que comentamos lo constituye la «ley de reciproci-dad cuadrática». Se trata de un resultado imprescindibleen el estudio de las ecuaciones diofánticas de segundo gra-do, que expresa una sutil relación de dependencia entre losdistintos números primos.

Las 375 páginas de que consta la sección quinta estándedicadas al estudio de las ecuaciones diofánticas de se-gundo grado aX2 + 2bXY + cY2 = d. Notemos que el casoa = c = 1, b = 0 corresponde a las sumas de dos cuadra-dos, ecuación que había sido estudiada por Fermat. Gaussclasifica las ecuaciones, así como sus soluciones. Agrupalas clases de ecuaciones en órdenes y en géneros, lo cualle facilita su tratamiento uniforme. En un tour de forcéimpresionante, Gauss define una composición de clases deformas de discriminante D= b — acy estudia las propie-dades de esta composición, que corresponden a la estruc-tura algebraica de «grupo abeliano». Esta estructura, asícomo su denominación, no seria formalmente estudiadaen álgebra hasta la obra de Evariste Galois (1811 - 1832)y sus sucesores.

Gauss dedica las secciones sexta y séptima de las Dis-quisitiones a aplicaciones diversas de la teoría de las seccionesprecedentes. En la sección sexta, de 50 páginas, Gauss tra-ta el problema de la descomposición de fracciones en frac-ciones simples y en fracciones decimales y estudia el pro-blema de la factorización de los números naturales enproducto de factores primos. Gauss expresa su convicciónde que el problema de distinguir números primos de nú-meros compuestos y de descomponer éstos en sus facto-res primos le parece «uno de los más importantes y útilesde toda la aritmética».

La última sección de las Disquisitiones se dedica a la re-solución de un problema heredado de la matemática grie-ga. Los griegos sabían que los polígonos de n = 3, 4, 5, 6lados se pueden trazar mediante el uso de la regla y elcompás. A los diecinueve años, Gauss había descubiertoque el polígono de 17 lados es asimismo trazable con re-gla y compás, siendo la constatación de este hecho la quele inclinaría definitivamente por el cultivo de las mate-máticas. En las 75 páginas de la sección séptima, Gausscaracteriza todos los polígonos de n lados que son traza-bles con regla y compás. Un polígono de n lados es trazablecon regla y compás si, y solamente si, n = 2'/>,... pr, en don-de los números primos p son de la forma p = T" + 1 y sondos a dos distintos. La metodología empleada constituyeun precedente de la teoría de Galois y prepara, al mismotiempo, las investigaciones de Ernst Eduard Kummer(1810 - 1893) sobre los cuerpos ciclotómicos, realizadascon vistas a la resolución del teorema de Fermat. Las Dis-quisitiones concluyen con varias tablas numéricas.

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PILAR BAYER ISANT

LAS PRIMERAS COMPUTADORAS MECÁNICAS

La complejidad creciente de los cálculos con que debíanenfrentarse los matemáticos y los astrónomos provocó lapaulatina incorporación de instrumentos adecuados parasu elaboración mecánica.

A la edad de dieciocho años, Blaise Pascal (1623 - 1662)ideó una máquina de calcular mecánica con el fin de ayu-dar a su padre, que era recaudador de impuestos. La de-nominada Pascalina constaba de una serie de ruedas den-tadas mediante las cuales se representaban los númerosen base 10, permitiendo su adición y su sustracción. Lasuma de una unidad se simulaba mediante un paso de larueda y la sustracción, mediante un paso en el sentidocontrario. En unos pocos años se vendieron cincuenta deestas máquinas.

La Pascalina (1642).

Poco después, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)mejoraba la máquina de cálculo de Pascal, al diseñar unamáquina que, basada igualmente en el sistema decimal ypor medios enteramente mecánicos, era ya capaz de sumar,restar, multiplicar y dividir. Sin embargo, de construcciónmucho más compleja que la Pascalina, la máquina de Leib-niz no fue comercializada.

Leibniz se percató de que la representación binaria delos números era igualmente apta para la realización me-cánica del cálculo. La idea de representar todos los nú-meros valiéndose únicamente de los guarismos 0, 1 re-sultó tan sorprendente y desconcertante para el filósofoque llegó a asimilar el 0 a la Nada y el 1 a Dios, por cuan-to que «el uno basta para extraer el todo de la nada» («Óm-nibus ex nihil ducendis sufficit unum»). En 1679, Leibnizredactó un manuscrito sobre el sistema binario titulado Deprogressio dyadica e ideó un instrumento que por medio deun sistema de bolas móviles permitía la simulación delcálculo binario. Pero, a pesar del interés mostrado por Leib-niz y por otros matemáticos de la época -como el inglésThomas Hariot, el francés Thomas Fantet y el propio Pas-cal-, el sistema binario quedó relegado durante más de300 años a la categoría de simple curiosidad o rareza ma-temática.

El aritmómetro de Thomas (1822).

A principios del siglo XIX, la complejidad de las rela-ciones comerciales y el desarrollo de la banca inherentesa la Revolución Industrial hicieron imprescindible la co-mercialización de diversas máquinas de calcular. La primerade ellas fue el aritmómetro de Thomas, construido en 1822.Se trataba de ingenios mecánicos dedicados a facilitar almáximo la labor de los computadores. Paulatinamente,las máquinas mejoraron sus prestaciones, siendo destaca-bles la incorporación de teclados para la entrada de losdatos (una idea tomada de las máquinas de escribir), asícomo dispositivos de impresión. En España destaca el hu-sillo sinfín, una máquina ideada por el ingeniero Leopol-do Torres Quevedo (1852- 1936) que permitía el cálculocon logaritmos y de la cual se conserva un ejemplar en lasede de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas yNaturales.

LA AUTOMATIZACIÓN DEL CÁLCULO

Alrededor de 1820, el matemático británico CharlesBabbage (1791 - 1871) pensó en la necesidad de una má-quina para la confección de tablas que redujera al míni-mo la intervención humana. Hijo de una acomodada fa-milia de banqueros, Babbage estaba exasperado por latremenda cantidad de errores de las tablas matemáticasimpresas. En la mente de Babbage, estas máquinas debíanser capaces de efectuar automáticamente secuencias deoperaciones, erradicar los errores de transcripción y evitarlos errores de composición tipográfica. Los estudiantes dematemáticas de mi generación todavía sabemos por ex-periencia que calcular a mano con números de muchascifras sin cometer errores es harto difícil y copiar núme-ros de muchos dígitos sin equivocarse es prácticamenteimposible.

Durante once años, Charles Babbage ocupó la cátedraLucasian de Matemáticas en la Universidad de Cambrid-ge, la misma que desempeñara Newton en su día y que hoyocupa el físico Stephen W. Hawking. Babbage dedicó granparte de su energía y patrimonio al diseño de dos tipos de

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Babbage (1791-1871).

máquinas de calcular: la máquina de diferencias y la má-quina analítica.

La base matemática de la máquina de diferencias esta-ba constituida por el denominado método de las diferen-cias finitas. El método permite determinar valores de fun-ciones polinómicas utilizando únicamente la operaciónde adición. La máquina de diferencias hubiera calculado,e impreso, tablas de funciones trigonométricas, interéscompuesto, logaritmos, etc. Sin embargo, en 1833, y trasdiez años de apoyo financiero destinado a la manufactu-ración de sus componentes, el gobierno británico se reti-ró del proyecto. Únicamente llegó a ensamblarse una par-te de la máquina, formada por 2000 de las piezas diseñadaspor Babbage, que funcionó a la perfección. Según el pro-yecto de Babbage, la máquina hubiera constado de 25000piezas metálicas y medido dos metros y medio de alto,por dos metros de ancho y por casi un metro de fondo.

En 1801, el mecánico Joseph-Marie Jacquard habíallevado a la práctica la idea de utilizar unas tablillas de ma-dera perforadas para la realización automática de com-plicados dibujos en telas. Jacquard diseñó un telar que te-jía los dibujos automáticamente gracias a las órdenesguardadas en las tarjetas.

Babbage pensó en extrapolar la idea de Jacquard al di-seño de una máquina de calcular, distinta de la máquinade diferencias, cuyas órdenes serían ejecutadas automáti-camente gracias al uso de tarjetas perforadas. La denomi-nó máquina analítica y solicitó el correspondiente apoyofinanciero para su construcción, que le fue denegado.

El proyecto de Babbage sobre la máquina analítica fuepresentado a la Academia de Ciencias de París en 1884 por

el ingeniero y general piamontés L. F. Menabrea, uno delos primeros en comprender su alcance. Un informe sobrela máquina analítica, publicado por Menabrea en el Journalde Geneve en 1842, fue traducido al inglés y comentadocon abundantes notas por Ada Augusta Byron, condesade Lovelace (1815 - 1852), ayudante de investigación deBabbage. Se dice que Ada había heredado de su madre eltalento por las matemáticas y de su padre, Lord Byron, lafacilidad por los idiomas. En su comentario al texto deMenabrea, Lovelace dice que «la máquina analítica tejerámotivos algebraicos exactamente como los telares de Jac-quard tejen flores y hojas».

Sobre los planos, la máquina analítica contaba con undispositivo de entrada y salida (input- output), una serie deengranajes que formaban un «almacén» y un «molino»,que actuaban de forma independiente. El almacén y elmolino constituyen un precedente de la memoria y el pro-cesador, respectivamente, de los ordenadores modernos.La máquina también estaba dotada de un mecanismo quepermitía imprimir los resultados. Lovelace elaboró ins-trucciones codificadas en tarjetas perforadas con vistas asu introducción un día en la máquina analítica. En la Ex-posición Internacional de Londres de 1862 se exhibió unamaqueta de la misma. Con toda justicia se conoce a Bab-bage como el «abuelo» de los ordenadores actuales y a Lo-velace como la primera «programadora» de la historia.

A pesar de repetidos fracasos, Babbage mejoró el proyectode la máquina de diferencias diseñando una segunda. Porencargo del Museo de la Ciencia de Londres, esta segun-da máquina de diferencias fue construida entre 1985 y1991, utilizando veinte planos del propio Babbage. Lamáquina, de tres toneladas de peso, funcionó a la perfec-ción, aunque, con el fin de abaratar los costes la impresorano fue construida.

En la época de Babbage era prácticamente imposibleencontrar la financiación necesaria para la construcción deinstrumentos de cálculo, de interés puramente científico.Sin embargo, la situación cambió drásticamente en el si-glo siguiente, en que los gobiernos emplearían ingentessumas de dinero en la construcción de imponentes inge-nios de cálculo.

El ingeniero y estadístico Hermann Hollerith retomó en1888 la idea de la utilización de tarjetas perforadas, perocon una finalidad disrinta. Hollerith creó un sistema de

Máquina de Hollerith (1890).

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PILAR BAYER ISANT

Máquina perforadora de tarjetas (1890).

codificación alfanumérico que permitía identificar las le-tras del alfabeto y las cifras del 0 al 9 con una sucesión deperforaciones en doce líneas de una tarjeta. La Hollerith'sTabulating Machine Company, fundada en 1896, se de-dicó a la comercialización de máquinas tabuladoras quetenían como base las tarjetas perforadas. Las máquinasfueron empleadas en la elaboración del censo de los EstadosUnidos en 1890 y en 1900. En 1911, la compañía sefusionó con otras dos y, a partir de 1924, la empresa pasóa denominarse IBM (International Business Machines).

EL CÁLCULO EN LA PRIMERA MITAD DEL SIGLO XX

Las necesidades de cálculo experimentaron un creci-miento vertiginoso en el periodo comprendido entre lasdos guerras mundiales. Predecir la trayectoria de los tor-pedos lanzados por los submarinos o de las bombas lan-zadas por los aviones, a fin de mejorar su puntería, son pro-blemas cuya resolución conduce a la integración numéricade ecuaciones diferenciales y, en consecuencia, a proce-sos de cálculo numérico demasiado largos para ser reali-zados a mano. Descifrar las comunicaciones cifradas in-terceptadas al enemigo, mediante métodos eficaces y fiables,sin conocer la clave, conlleva la resolución de sistemas deecuaciones algebraicas y de problemas de combinatoriademasiado largos asimismo para su resolución con los ins-trumentos al uso. La regla de cálculo y las calculadoras desobremesa -primero mecánicas y más tarde eléctricas- re-sultaron muy pronto insuficientes para tales cometidos ycedieron el paso a los primeros ordenadores analógicos.

Antes de la Segunda Guerra Mundial, el ingeniero ale-mán Konrad Zuse (1910 -) había diseñado una familiade computadoras que utilizaron desde el primer momen-to el sistema de numeración binario. Sus modelos Zl y Z2(denominados de acuerdo con la inicial de su apellido)todavía eran mecánicos y tenían por finalidad la resolución

de sistemas de ecuaciones algebraicas. Entre 1941 y 1944,Zuse construyó dos computadoras electromecánicas, losmodelos Z3 y Z4, basadas en el uso de relés electromag-néticos. El Z3 era un ordenador ya controlado por unprograma, que fue usado por el Instituto Alemán deAeronáutica. Zuse fundó su propia compañía que llegóa construir veintiún ordenadores.

En 1937, G. Stibitz (1904 - 1995), ingeniero de losBell Telephone Laboratories, utilizando algunos relés dedesperdicio y un par de bombillas construyó una máqui-na capaz de sumar en binario. Los relés estaban cablea-dos de manera que las bombillas se encendían cuando lasuma era 1 y quedaban apagadas cuando la suma era 0. Pos-teriormente, Stibitz construyó los primeros circuitos bi-narios que permitían la realización de las operaciones arit-méticas elementales y la conversión de números decimalesa números binarios y viceversa.

Stibitz supo interesar a su compañía, que construyó, en1939, el Complex Calculator, basado enteramente en eluso de la aritmética binaria. Los datos se introducían pormedio de un teletipo, con lo cual la máquina no sólo eracapaz de calcular, sino que los datos podían ser introdu-cidos a distancia. En 1942, Stibitz ideó también la técnicade la aritmética flotante, que permite a la máquina trabajarcon números muy grandes.

El Complex Calculator, fabricado en los Bell TelephoneLaboratories, fue la primera calculadora binaria mun-dialmente conocida. En un congreso de la American Ma-thematical Society celebrado en 1940 en Hannover (NewHampshire), Stibitz conectó un teletipo a la máquina,que se encontraba en Nueva York, de manera que los asis-tentes podían encargarle una tarea y obtener la respuestaen menos de un minuto.

En 1943, IBM construyó la máquina ASCC (Automa-tic Sequence Controlled Calculator), más conocida comoHarvard Mark I, una calculadora multifunción que rea-lizaba en gran parte el sueño de Babbage. Su construc-ción pudo coronarse con éxito gracias a un proyecto pio-nero en I + D (como diríamos hoy) entre la Universidadde Harvard y la empresa IBM. El físico H. Aiken, que co-nocía los trabajos de Babbage, se puso en contacto conIBM, que financió el proyecto y aportó su experiencia.La máquina, aunque era esencialmente mecánica, utili-zaba relés y embragues accionados por electroimanes. Pe-saba cinco toneladas y medía 16 metros de largo, 2.60 me-tros de alto y 60 centímetros de fondo. Podía calculartablas de funciones trigonométricas, de logaritmos, defunciones exponenciales, etc. Las órdenes eran introduci-das mediante tarjetas perforadas. En un principio, la má-quina estuvo destinada a cubrir las necesidades de cálcu-lo de la marina de los Estados Unidos. Más adelante secrearon otras calculadoras de la misma serie: Mark II,Mark III y Mark IV. Es importante destacar que estas má-quinas eran más fiables que el ENIAC (del que hablare-mos a continuación) aunque más lentas. Las máquinasutilizaban el código BCD (Binary Coded Decimal), quecodificaba cada cifra dígito decimal de forma binaria, a fin

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Detalle del ENIAC.

de introducir los datos en la calculadora. AI no codificar-se los números, sino sólo cada una de sus cifras, la máquinaefectuaba las operaciones como si trabajara en base 10.

A partir de 1940, el gobierno de los Estados Unidosinició una preparación de personal científico específica-mente orientada a una posible entrada del país en la Se-gunda Guerra Mundial. Parte de la comunidad mate-mática fue entrenada en la resolución de problemas debalística, aeronáutica, criptografía, cálculo de probabilida-des y estadística que surgían constantemente a raíz de la si-tuación bélica. La dirección de estos programas fue con-fiada a los matemáticos John von Neumann (1903-1957),del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y aNorbert Wiener (1894-1964), del Instituto de Tecnolo-gía de Massachusetts (MIT).

Para contrarrestar la superioridad de la artillería alema-na puesta de manifiesta en el transcurso de la PrimeraGuerra Mundial, el ejército de los Estados Unidos fundóel Laboratorio de Investigación Balística (BRL). A fin deque la ingente cantidad de armas fabricada pudiera serusada en los frentes de batalla se hizo necesaria la elabo-ración de tablas de balística. Cada cañón y cada tipo de pro-yectil susceptible de ser empleado requería una tabla conlos datos numéricos de las posibles trayectorias. Cada unade estas tablas contenía entre 2000 y 4000 trayectorias.Al inicio de la Segunda Guerra Mundial, el cálculo de unatrayectoria realizado con una calculadora de sobremesarequería unas veinte horas. Las personas calculadoras (com-puten) procedían de la Escuela Moore de Ingeniería Eléc-

trica, adscrita a la Universidad de Pensilvania. A medidaque avanzaba la guerra, las calculadoras humanas no da-ban a basto.

En 1943 se firmó un contrato por el cual la EscuelaMoore se comprometía a la realización del ENIAC (Elec-tronic Numerical lntegrator and Computer), una máqui-na electrónica, precursora de los primeros ordenadores.La máquina estuvo terminada en 1945 y al principiosu principal usuario fue el personal del Laboratorio de In-vestigación Balística.

La técnica empleada en el ENIAC se basaba en el pasode electrones por tubos de vacío (las válvulas de las anti-guas radios). La máquina incluía 18000 tubos de vacío,así como 1500 relés telefónicos. El tiempo que requeríapara hacer una operación elemental era de 24 milisegun-dos. Pesaba 30 toneladas y estaba constituido por cua-renta paneles de 3 metros de alto, 60 centímetros de an-cho y 30 centímetros de fondo. Puesto que la vida mediade cada válvula era de unas 3000 horas, era de esperarque cada diez minutos se fundiera una, por lo que debíaser reparado constantemente. La máquina utilizaba el sis-tema de numeración decimal. Poseía un lector de tarjetasperforadas capaz de leer 120 tarjetas por minuto. El ENIACfue la primera calculadora analítica multifunción entera-mente electrónica. Una vez finaliza la guerra, el ENIACpudo emplearse para la computación científica y fue uti-lizado en muchos cálculos relativos a física nuclear y en losprimeros cálculos de meteorología numérica. Como he-cho curioso, citemos que el ENIAC fue capaz de calcular

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PILAR BAYER ISANT

VACVUM TVBES

These are gome of the nearly 18,000acuum tubos contained ¡n ENIAC.

<%.%

Detalle del ENIAC.

más de 2000 dígitos de la expresión decimal de Jt. Seestima que en sus diez años de funcionamiento esta máqui-na realizó más cálculos que el resto de la humanidad hasta

entonces.

AVANCES TECNOLÓGICOS

Al finalizar su proyecto con la Armada de los EstadosUnidos, los principales artífices del ENIAC, los físicosJ. Presper Eckert (1919 -) y John William Mauchly (1907 -1980) fundaron en 1947 la primera compañía informá-tica de la historia: Eckert-Mauchly Computer Corpora-tion (EMCC), cuyo principal producto comercializadofue el UNIVAC (Universal Automatic Computer). ElUNIVAC incluía programas para almacenamiento de da-tos, siguiendo una idea de Von Neumann. Poseía una me-moria principal de mil palabras, una memoria secundariasobre una cinta magnética y dispositivos de input-output:máquinas de escribir, tarjetas, impresora. El UNIVAC fueel primer ordenador comercializado.

En el año 1948, la máquina IBM SSEC fue utilizadapara calcular tablas de posición de la Luna, de importanciapara los posteriores viajes espaciales. La calculadora SAGE1950, diseñada en el MIT, sería utilizada en la «guerra fría».

Los elevados costes de las investigaciones encaminadasa la mejora de los ordenadores ocasionaron la fusión de di-versas empresas en grandes compañías. El camino recorridodesde el aparatoso ENIAC hasta los rápidos ordenadoresque pueblan nuestras mesas es realmente espectacular.Durante más de cincuenta años, la informática ha expe-rimentado revoluciones casi ininterrumpidamente.

En 1947, los Bell Telephone Laboratories, adscritos enla época a la compañía AT&T, fabricaron los primerostransistores, con lo que tenía lugar el nacimiento de lamicroelectrónica. Los transistores reemplazaron con ven-tajas a los tubos de vacío, ya que ofrecían un menor con-sumo de corriente, una menor producción de calor, untamaño mucho más reducido y una vida media casi ili-mitada. Sus inventores, W. B. Shockley, J. Bardeen yW. H. Brattain, recibieron por tal motivo el premio No-bel de Física en 1956.

A finales de los años cincuenta, J. Kilby, de Texas Ins-truments, y R. N. Noyce, de Fairchild Semiconductors, en-contraron la manera de integrar todos los constituyentesde un circuito electrónico (transistores, resistencias, con-densadores, etc.) y sus correspondientes interconexionesen la superficie de un chip, lo que supuso la aparición delos primeros circuitos integrados. En 1970, Intel fabrica-ba el primer microprocesador. El constante perfecciona-miento experimentado en el proceso de fabricación de loschips ha determinado la extraordinaria evolución de lamicroelectrónica en los últimos años. Desde la finalizaciónde la Segunda Guerra Mundial, las gentes de Silicon Va-lley han puesto de manifiesto que la paz también puedeser rentable.

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En el año 2000, J. Kilby recibía el premio Nobel de Fí-sica por su invención del chip, compartido con Z. Alfe-rov y H. Kroemer. Estos últimos lo recibían por sus tra-bajos en optoelectrónica -la tecnología que hace posiblela transmisión de señales por cable de fibra óptica.

LA TEORIA MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN

Siguiendo un esquema bien conocido por los lingüistas,en toda transmisión de información cabe distinguir unafuente emisora, un canal de transmisión y una fuente recep-tora. El nacimiento de la teoría matemática de la infor-mación se sitúa en los años 1940 y, desde entonces, estanueva rama de la matemática no ha dejado de progresar.La teoría de los códigos correctores de errores y la cripto-logía numérica son partes integrantes de la misma. El ob-jetivo de la teoría de los códigos correctores de errores esla fidelidad de las transmisiones y el objetivo de la crip-tología es su privacidad.

Capítulos clásicos de la matemática encuentran unaaplicabilidad que hubiera sido impensable hace unos años.Tal es el caso de la teoría de números, que a su carácter dedisciplina básica ha añadido en la actualidad importantesaplicaciones en teoría de códigos y en criptología.

LA TEORÍA DE LOS CÓDIGOS CORRECTORES

DE ERRORES

En los años cuarenta del siglo XX, los Bell TelephoneLaboratories decidieron crear un centro de investigaciónmatemática cuya finalidad principal era la corrección deerrores producidos en la transmisión de señales digitales.Entre los primeros matemáticos contratados por los la-boratorios Bell se encontraban R. W. Hamming (1915 -1998) y C. Shannon (1916 - 2001).

Al digitalizar la información en forma de ceros y unos,los cambios en alguno de estos dígitos eran harto fre-cuentes, llegando incluso a producir una parada de lasmáquinas. Ello era especialmente lamentable durante losfines de semana, puesto que las máquinas podían quedardetenidas durante muchas horas. El propio Hamming re-lata la perplejidad de unos matemáticos colocados al fren-te de unas máquinas que no acababan de funcionar. Te-nían la impresión, nos cuenta, de que «debían hacer algono convencional en un medio no convencional».

La idea de Hamming consistió en completar bloquesde bits, antes de proceder a su transmisión, con bits adi-cionales, de tal forma que los posibles errores de trans-misión pudieran ser detectados y/o corregidos por la fuen-te receptora.

El bit de paridad proporciona un ejemplo de código de-tector de. errores. Imaginemos que codificamos determinadainformación por medio de palabras de siete bits. A con-tinuación, completamos cada palabra con un octavo bit,igual a 0 si la suma de los siete bits anteriores es par, eigual a 1, si es impar. Si en la transmisión de la palabra de

Claude Shannon (1916-2001).

ocho bits se produce un error, éste será detectado por lamáquina, puesto que la palabra recibida no va a satisfacerel criterio de paridad. El denominado bit de paridad esun código detector de un error. No obstante, es incapazde indicarnos cuál es el bit equivocado, por lo que no esun código corrector de errores. Si se hace uso de este có-digo, cada siete bits de información se verán completa-dos con un bit de control.

Los códigos de repetición proporcionan ejemplos de có-digos correctores de errores. Acordemos, por ejemplo, entriplicar cada bit antes de su transmisión. Si se recibe unasecuencia de la forma 111, la máquina la interpretarácomo correcta. Pero si se recibe una secuencia de la for-ma 001, es seguro que se habrá producido algún error.Puesto que es más probable que la secuencia correcta sea000 que 111, podremos programar la máquina para quecorrija el bit equivocado; en este caso, la máquina cambiarála palabra 001 por la palabra 000. Si usamos este código,cada bit de información se completará con dos bits decontrol. El código de repetición triple es capaz de corre-gir un error en cada bloque de tres bits, pero, obviamen-te, triplica el coste de las transmisiones.

En general, tanto los códigos detectores de errores comolos códigos correctores de errores obedecen al mismo prin-cipio: alargan palabras de longitud k en palabras de lon-gitud n mediante la adición de bits de control. La razónk/n se denomina la tasa de transmisión del código.

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PILAR BAYER ISANT

Un concepto básico en teoría de códigos lo constituyela denominada distancia de Hamming. Dos palabras sedice que están a distancia r cuando difieren en rbits exac-tamente. Si la distancia mínima entre dos palabras de uncódigo es d= 2e + 1, o bien d= 2e+ 2, el código será ca-paz de corregir e errores. El cociente din se conoce comola distancia mínima relativa del código.

A igualdad de errores corregidos por bloque, los códi-gos más económicos serán aquellos cuya tasa de transmi-sión sea más alta; es decir, esté más cercana a la unidad.

En 1948, Shannon demostró que en todo canal de trans-misión —expuesto a ruidos y sin memoria— existe un esque-ma de codificación cuya probabilidad de error es tan pequeñacomo se quiera, siempre que la información se transmitacon tasa de rendimiento inferior a la capacidad del canal ylos mensajes a transmitir sean suficientemente largos. (To-dos los conceptos que aparecen en el teorema de Shannonse pueden modelizar matemáticamente.) A pesar de la in-fluencia enorme del teorema de Shannon en teoría de códigos,debemos advertir que este teorema no es constructivo. Dadoun caso particular, el teorema de Shannon nada nos diceacerca de cómo diseñar un código adecuado; únicamentegarantiza su existencia. Con el tiempo se ha visto que el di-seño de códigos cuyas constantes fueran próximas a las quepredice la teoría de Shannon no es nada fácil.

Hamming diseñó en 1950 una familia de códigos co-rrectores de errores que mejoraban los códigos de repeti-ción. El código de Hamming más sencillo alarga palabrasde cuatro bits en palabras de siete bits:

(x, y, z, t) —» (x, y, z, t, x + y + z, y + z + t, x + y + i).

Su tasa de transmisión es, por tanto, 0.57. El conjuntode palabras de longitud cuatro que podemos formar condos bits posee 16 elementos; éste es asimismo el número depalabras codificadas, cuyo conjunto constituye el código.Por otra parte, el conjunto de palabras de longitud sieteque podemos formar con dos bits posee 128 elementos.Cualquiera de estas palabras de siete bits difiere a lo sumoen un bit de una palabra del código. Con ello, el códigode Hamming es capaz de corregir un error en cada bloquede siete bits. Por ejemplo, si se recibe la palabra 1011110,el código la dará por equivocada y la corregirá por la pa-labra 1001110.

Los ejemplos anteriores pertenecen a la amplia familiade los códigos lineales. En los códigos lineales, las palabrasse interpretan como vectores de un espacio vectorial so-bre un cuerpo finito y el alargamiento de las mismas conbits de control se realiza mediante el concurso de una apli-cación lineal cuya matriz se denomina la matriz generadoradel código. La detección de los errores se efectúa asimismopor otra matriz, denominada matriz de control. Otro as-pecto muy importante a tener en cuenta en el diseño delos códigos es que el algoritmo de corrección de errores debeefectuarse sin que sea demasiado costoso en tiempo. En eldiseño de buenos códigos correctores de errores intervieneun gran número de recursos algebraicos.

El cuerpo finito más sencillo es el cuerpo de dos ele-mentos F, = {0,1}. Pero, para cada potencia q = p1'de unnúmero primo />, existe un cuerpo F(/ que posee exacta-mente q elementos. El estudio de los cuerpos finitos seinicia en el siglo XIX, con E. Galois, y está ligado directa-mente al problema de la resolución por radicales de lasecuaciones algebraicas. Los cuerpos finitos más sencillosson los cuerpos ¥p= Z//>Z, formados por las clases de res-tos módulo un número primo. Muchas de sus propieda-des se encuentran ya demostradas en las Disquisitionesarithmeticae de C. F. Gauss.

Los códigos correctores de errores diseñados por I. S. Reedy D. E. Muller, en 1954, fueron utilizados por la nave espa-cial Mariner9, en 1972, para la transmisión de fotografías enblanco y negro de Marte. Los códigos diseñados por M. Go-lay, en 1948 (basados en teoría de grupos), fueron utilizadospor el Voyager, en los años 1979-1981, para la transmisión defotografías en color de Júpiter y Saturno. R. C. Bose, D. K.Ray-Chaudhuri y A. Hocquenghem diseñaron los códigos(BCH) usados por la NASA. Redd Solomon creó los códi-gos (RS) usados por Philips en los discos compactos (CD).

El diseño de los discos en formato DVD representa ungran avance con respecto al de los CD. El método de co-dificación de los discos compactos transforma ocho bitsde usuario en 17 bits de código modulador. En el DVD,ocho bits de usuario se completan en tan sólo 16 bits decódigo modulador. Tal característica hace que su eficaciasea alrededor de un 6 % mayor.

El matemático ruso V. D. Goppa puso de relieve en1977 que la teoría subyacente a los códigos lineales que-daba mejor explicada a la luz de teoremas clásicos de geo-metría algebraica, siempre que éstos fueran trasladados almarco de la geometría algebraica sobre cuerpos finitos.La geometría algebraica sobre cuerpos finitos es una ramade la matemática desarrollada en los últimos cincuentaaños y que ha proporcionado resultados teóricos muy pro-fundos. La idea básica de Goppa consiste en la utilizacióndel clásico teorema de Riemann-Roch para el cómputode las principales constantes asociadas al código.

La construcción efectiva de códigos de Goppa requiere,a su vez, la construcción efectiva de curvas algebraicas so-bre cuerpos finitos con un gran número de puntos sobresu cuerpo de definición, que deben asimismo conocerseefectivamente. Tal hecho ha conllevado un aumento delinterés por la resolución efectiva de problemas diofánticos,constituyendo una de las ramas más activas y atractivasde la teoría de números computacional.

Se ha visto que las fibras de modelos enteros de las lla-madas curvas de Shimura proporcionan curvas definidassobre cuerpos finitos con buenas propiedades para su uti-lización en el diseño de códigos. Las curvas de Shimura,cuyo desarrollo teórico se inició en la década de 1950, sonuna de las herramientas básicas en la célebre demostra-ción de A. Wiles del teorema de Fermat. En su tratamientoconfluyen técnicas de geometría hiperbólica, análisis com-plejo, análisis /sádico, álgebra no conmutativa y aritmé-tica no conmutativa.

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Voyagers 1 y 2

Visor de ángulo estrecho

Visor de ángulo grande

Plasma

Rayo cósmico

Antena de elevada ganancia(3,7 m. ó 12 pies de diámetro)

Magnetómetro decampo intenso (2)

Magnetómetro decampo débil (2)

Espectrómetro de ultravioleta

Espectrómetro de infrarojoy radiómetro

Fotopolarímetro

Detector de partículascargadas de baja energía

Equipo electrónico para el bus

Objetivo y radiadorde calibración

Generador termoeléctricode radioisótopos

Radio astronómica planetariay antena de ondas de plasma (2)

Los códigos de Golay fueron utilizados por el Voyager.

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PILAR BAYER ISANT

MeteorologíaGeodesia

OceanografíaGeología

Navegación

Astronomía

Noticias

Quinientos satélites artificiales orbitan alrededor de la Tierra.

LA SEGURIDAD EN LA RED

En todas las épocas, los humanos han sentido la nece-sidad de enviar mensajes a determinados destinatarios queestuvieran protegidos del acecho de terceros. Los oríge-nes de la criptología, o arte que se encarga del cifrado y des-cifrado de mensajes, se pierden en el tiempo.

Las modernas tecnologías parece que no hacen sino in-crementar las necesidades de cifrado en la transmisión deinformación. Multitud de datos circulan hoy por la red re-quiriendo tratamientos criptográficos seguros. Desde elpunto de vista matemático, ello constituye un reto, pues-to que se trata de lograr criptosistemas que sean a la vezeconómicos y fiables.

Los métodos de cifrado clásicos y los modernos difierenen un punto esencial. En los métodos clásicos, emisor yreceptor acuerdan la clave de cifrado y la clave de desci-frado, antes de la transmisión del mensaje. El conoci-miento de la clave de cifrado es equivalente al de la clavede descifrado, pues basta invertir la primera. Estos siste-mas de cifrado se denominan de clave privada.

Mediante procedimientos combinatorios, por ejemplo,pueden crearse claves privadas que ofrezcan un buen gra-do de seguridad. Sin embargo, todos los sistemas de cla-ve privada adolecen de un defecto: el momento del in-tercambio de claves suele ser altamente inseguro. Ello es

bien sabido por los criptoanalistas, o espías, que harántodo lo posible para hacerse con las claves, mediante pro-cedimientos que suelen tener poco de científicos.

La criptología dio un giro espectacular en 1976, gra-cias a una idea de W. Diffie y M. E. Hellman, quienespropusieron hacer pública la clave de cifrado. En los de-nominados criptosistemas de clave pública, cualquier emi-sor puede mandar información cifrada a un receptor me-diante el uso de la clave pública de éste. El receptor puedeser un banco, Hacienda, un hospital, un particular, o unaentidad comercial cualquiera. Sin embargo, sólo el re-ceptor debe estar en condiciones de leer la información ci-frada que le mandan los emisores. La pregunta es: ¿cómopuede conseguirse esto?

Diffie y Hellman propusieron utilizar en la clave de ci-frado funciones de un solo sentido -en el supuesto que ta-les funciones existan-. Se trata de utilizar una funciónen el cifrado del mensaje que sea poco costosa en tiem-po de computación, pero cuya función inversa sea muycostosa en tiempo de computación mediante los orde-nadores de que se dispone en la actualidad. Sin embar-go, la función de descifrado ha de ser poco costosa decalcular si se dispone de información suplementaria. Estainformación suplementaria está en manos del receptorde los mensajes, pues es quien ha elaborado la clave pú-blica de cifrado.

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La idea de Diffie y Hellman se ha implementado demaneras diversas. En 1977, Rivest-Shamir-Adleman crea-ban el criptosistema de clave pública RSA, uno de los máspopulares. En 1978, McEliece daba a conocer una fami-lia de criptosistemas basados en la teoría de los códigos co-rrectores de errores. En 1985, T. ElGamal ideaba el crip-tosistema del logaritmo discreto. Y, en 1993, A. J. Menezesy S. A. Vanstone implementaban criptosistemas basadosen la aritmética de las curvas elípticas.

En el método RSA, la clave pública está constituida porun par de números (N, a), el primero de los cuales, N, esigual al producto de dos números primos/), q, N=pq. Unavez cortado el mensaje en unidades suficientemente pe-queñas, su cifrado se lleva a cabo mediante la función po-tencial y = x'1, de exponente a, calculada en el grupo mul-tiplicativo de Z/NZ. Este cálculo puede hacerse a granvelocidad, bastando para ello la expresión de a en base 2,que reducirá la potenciación a sucesivas elevaciones al cua-drado. El descifrado se lleva a cabo mediante la potencia-ción con otro exponente, que denotaremos por b. A fin derecuperar el mensaje inicial, la cantidad ab - 1 debe sermúltiplo de (p — \){q- 1). Por tanto, el cálculo del expo-nente b requiere previamente el conocimiento de los fac-tores primos p, q.

Vemos, por tanto, que la seguridad del cifrado RSA estádirectamente relacionada con la dificultad de descompo-ner el entero A en factores primos. Notemos que estadificultad no existe para el receptor de los mensajes,puesto que éste ha creado su clave pública a partir de dosnúmeros primos p, q, suficientemente altos.

El número de claves públicas que podemos crear en elsistema RSA dentro de un intervalo depende de la densi-dad de los números primos en el intervalo citado. Para laelección de estos primos son asimismo necesarios genera-dores de números aleatorios y tests probabilísticos de pri-malidad. A medida que los números crezcan, los cálculosserán más costosos.

El método de ElGamal se basa a su vez en la dificultadde resolver eficazmente el problema del logaritmo discre-to en determinados grupos finitos. Los grupos en cues-tión se construyen mediante grupos multiplicativos declases de restos, de cuerpos finitos, o de puntos de tor-sión de curvas elípticas.

En general, el diseño de sistemas criptográficos de cla-ve pública está directamente relacionado con problemasde complejidad computacional. Un problema se dice declase P(o de tiempo polinómico) si existe un algoritmo quepermite su resolución en un tiempo acotado por una fun-ción polinómica en el número de bits de los datos del pro-blema (input). Se supone que el algoritmo se implementaen una máquina de Turing, idealización de los ordenado-res actuales. Un problema se dice de clase NP (o de tiem-po polinómico no determinista) si en un tiempo polinó-mico se puede comprobar que una pretendida soluciónes, de hecho, una solución. Uno de los problemas funda-mentales que tiene planteada la teoría de la computaciónes saber si P * NP.

Si cogemos un entero Nde unas 30 cifras y lo preten-demos factorizar por el método directo de las divisionessucesivas hasta su raíz cuadrada, teniendo en cuenta queel número de primos inferiores a lO15 es 29844570422669,un ordenador capaz de realizar 10 divisiones por segun-do tardará más de ocho horas. Aunque se conocen diver-sos algoritmos de factorización, como el de D. Shanks(1969), de Fermat-Pollard (1974), de Brilhard-Morrison(1975), de H. W. Lenstra (1985), o los métodos de criba,que reducen el cálculo anterior a segundos en uno de nues-tros ordenadores de sobremesa, el mejor resultado que seha podido demostrar es que tales algoritmos son de tiem-po subexponencial.

Hoy por hoy no se sabe si el problema de la factoriza-ción o bien el problema del logaritmo discreto son de cla-se P, por medio de algoritmos implementados en una má-quina de Turing. Puede decirse que la seguridad de losactuales métodos criptográficos se apoya en la ignoran-cia: por una parte, no se conocen en los medios acadé-micos métodos de factorización suficientemente eficacesy, por la otra, no se saben construir ordenadores suficien-temente rápidos, capaces de convertir tiempos de ejecuciónexponenciales o subexponenciales en tiempos polinómicos.

Desde el punto de vista teórico, tampoco se ha podidoprobar que existan funciones de un solo sentido, que sonlas que preconiza el método de Diffie y Hellman. La ex-periencia indica, sin embargo, que hay funciones que secomportan como tales.

El éxito de los sistemas criptográficos de clave públicano implica, ni mucho menos, que se hayan relegado alolvido los sistemas criptográficos de clave privada. De he-cho, se utilizan ambos a la vez. Los sistemas criptográfi-cos de clave pública son utilizados para transmitir de for-ma segura las claves de los sistemas criptográficos de claveprivada. La razón de obrar así es que, en general, loscálculos en los sistemas criptográficos de clave pública sonmucho más laboriosos.

DEL BIT AL QUBIT

En 1997, la criptología experimentó otro cambio dig-no de tenerse en cuenta. Peter Shor sorprendió a la co-munidad científica con el diseño de un algoritmo para lafactorización de enteros en producto de números primosen tiempo polinómico, caso de que su implementaciónpudiera realizarse en un ordenador cuántico. El mismo Shordio la solución al problema de logaritmo discreto, tam-bién en tiempo polinómico, haciendo uso asimismo dela computación cuántica.

Dicho brevemente: un criptoanalista que estuviera enposesión de un ordenador cuántico podría romper todaslas claves públicas de cifrado empleadas en la actuali-dad. Para romper la clave en el método RSA, Shor «uti-liza» el ordenador cuántico en el cálculo del orden de unentero x módulo N, elegido al azar. Después esta infor-mación es usada en la factorización de N que puede in-

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PILAR BAYER ISANT

Un superordenador.

cluso llevarse a cabo en una máquina de Turing, en tiem-po polinómico.

Siguiendo el paradigma de la mecánica cuántica, un or-denador cuántico no produciría una respuesta, sino unasuperposición de todas las respuestas posibles afectadas dedistintas probabilidades. En la computación cuántica, elformalismo de la computación electromagnética es sustituidopor el de la computación cuántica. El bit es reemplazado porel qubit (o bit cuántico). Un qubit es un estado cuántico

I cp) = ex I 0) + (3 I 1),

en donde a, P denotan números complejos tales quea I2 + I P I2 = 1. Desde el punto de vista matemático, un

qubit es un número cuaternio de Hamilton de norma 1, porlo que su manejo entra de lleno en el terreno de la aritmé-tica no conmutativa. Desde el punto de vista físico, un qu-bit se interpreta como el bit I 0), afectado de la probabili-dad I a I2, y el bit I 1), afectado de la probabilidad I P I2.

La computación cuántica exige cambios sustanciales enel diseño de los algoritmos. Las puertas lógicas empleadasen las máquinas de Turing se ven sustituidas por puertascuánticas. Las primeras tienen por base el álgebra de Boole;las segundas, los espacios de Hilbert y sus transformacio-nes unitarias.

En la actualidad, los ordenadores cuánticos existen úni-camente sobre el papel y en la mente de algunas personas.¿Pero acaso la historia no nos muestra que las visiones de loscientíficos, tarde o temprano, acaban por materializarse?

(Parámetros de la partícula)

1,5 eV

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¿PARA QUÉ SIRVEN HOY LOS NÚMEROS? - Real

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