Para Orto Elio

download Para Orto Elio

of 111

  • date post

    20-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    249
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Para Orto Elio

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    1/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Corso di Materia Condensatadella Laurea Specialistica in Fisica

    Paolo Calvani - Mario CapizziUniversita di Roma La Sapienza

    Email: Capizzi@roma1.infn.it

    Tel. 06-4991-4381

    Elementi di Fisica Atomica e Spettroscopia

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    2/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    B. H. Bransden and C. J. Joachain

    Physics of Atoms and Molecules

    (Longman Scientific & Technical, Essex CM20 2JE, England))

    ISBN 0-582-44401-2

    Testi consigliati

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    3/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Figure ed impostazione degli argomentisono state prese dai testi citati e da fonti varie.

    Le trasparenze del corso sono percio a solo uso interno eriservate agli studenti frequentanti il presente corso.

    Queste trasparenze devono essere intese comepro-memoria delle lezioni:

    non vogliono e non devono sostituireil libro di testo e/o gli appunti.

    Avviso

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    4/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    La scienza (e l uomo)

    Things should be made as simple as possible, but not any simpler

    A. Einstein

    Essere umano e colui che sa porre domande, non chi da risposte

    Moni Ovadia

    La scienza avanza in parallelo con gli sviluppi tecnologici,e viceversa

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    5/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    L atomo di elio

    Sistemi a piu di un elettrone sono risolubili solo numericamente. L atomo di H e trattabile

    analiticamente in quanto la sua Hamiltoniana puo essere scomposta in un termine principale

    (energia cinetica e Coulombiana) piu termini perturbativi, relativistici e di struttura fine.

    Eventuali altre perturbazioni esterne (campo B) eliminavano ogni degenerazione

    Invece, gia nel caso di due elettroni, si hanno fenomeni aggiuntivi non trattabili

    perturbativamente: l interazione Coulombiana fra i due elettroni e il principio di esclusione diPauli. In questi sistemi a due elettroni (H-, He, Li+, etc) si possono comprendere e verificare

    molte approssimazioni che verranno poi usate in strutture atomiche piu complesse.

    Programma di lavoro:

    - Trascureremo gli effetti relativistici

    - Analizzeremo le simmetrie spaziali e di spin e la loro relazione con il principio di Pauli

    - Studieremo lo stato fondamentale (principalmente) usando prima il modello a particelle. indipendenti e poi la teoria delle perturbazioni e il metodo variazionale.

    - (Prenderemo in esame i fenomeni di autoionizzazione)

    B 6.1

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    6/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    L atomo di elio: stati para- e orto-elio

    .21 rr

    La separazione del moto del centro di massa in un problema a tre corpi, come l atomo di

    He, e piu complessa che nel caso, a due corpi, dell atomo di H, ma puo essere effettuata

    (B. App. 8) e porta alla Hamiltoniana nel moto degli elettroni relativo al nucleo:

    ove e la massa ridotta del sistema e e la distanza relativa dei

    due elettroni posizionati rispettivamente in e

    120

    2

    20

    2

    10

    222

    22

    2

    21

    14

    14

    1422

    ),(2121 r

    e

    r

    Ze

    r

    Ze

    MrrH rrrr

    MmMm

    2112 rrr

    Se assumiamo massa dei nuclei infinita rispetto a

    quella degli elettroni, la massa ridotta si riduce a

    quella degli elettroni e il termine misto, detto dipolarizzazione di massa, e trascurabile. Pertanto,

    in unita atomiche (m = = e = 4 0 = 1) e a0unita di lunghezza, m di massa, di momento

    angolare, e di carica, mc2 di energia, si ottiene:

    B 6.1

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    7/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    '121

    21),( 0

    1221

    2221 21

    HHrr

    Zr

    ZrrHrr

    con 212121 ,,),( rrErrrrH

    L atomo di elio: stati para- e orto-elio

    La Hamiltoniana del problema e invariante nello scambio delle coordinate dei due elettroni,

    per cui, se introduciamo un operatore P12 che scambia le coordinate spaziali delle due

    particelle, avremo

    e pertanto la soddisfa la stessa equazione di Schroedinger della

    e come questa e continua, uniforme e finita.

    0,12 HP

    211212 ,, rrPrr

    21 , rr

    Se la definisce un autostato non degenere, puo differire dalla solo per un

    fattore moltiplicativo , per cui

    21 , rr 12 , rr

    21211212 ,,, rrrrPrr

    B 6.1

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    8/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    L atomo di elio: stati para- e orto-elio

    cosi che = 1 e

    sono funzioni spazialmente simmetriche (o antisimmetriche).

    212

    211221121212212

    12 ,,,,, rrrrPrrPrrPrrP

    1221 ,, rrrr

    Da cio segue che

    B 6.1

    Qualora gli autostati siano invece degeneri, le relative autofunzioni potranno

    sempre essere combinate in modo tale da dare luogo a funzioni spazialmente simmetriche

    (para) o antisimmetriche (orto), con

    1221

    1221

    ,,21

    ,,21

    rrrr

    rrrr

    21, rr

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    9/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Funzioni d onda di spin e PeP

    Pertanto, se ricorriamo alle funzioni di spin e , che descrivono lo spin di un singolo

    elettrone di componente lungo l assez, avremo 4 possibili combinazioni

    )2()1()2,1()2()1()2,1(

    )2()1()2,1()2()1()2,1(

    43

    21

    Nel caso dell atomo di H, lo spin interveniva solo perturbativamente nel determinare la

    struttura fine dei livelli energetici, via effetti relativistici. Nel caso di atomi a piu

    elettroni, invece, lo spin influenza pesantemente l energia dei livelli a causa del

    principio di esclusione di Pauli, PEP, che introduce anche un accoppiamento fra

    coordinate spaziali e di spin. Vediamo come.

    B 6.2

    Poiche l Hamiltoniana e indipendente dallo spin, l autofunzione dell atomo

    sara descritta completamente una volta data la sua autofunzione spaziale (e le

    componenti dello spin in una direzione data, presa come assez).

    oveq indica coordinate spazialie di spin.)2,1(),(),( 2121 rrqq

    ),( 21 qq

    ),( 21 rr

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    10/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Principio di esclusione di Pauli

    Ricordiamo che gli operatori S1 e S2 operano, rispettivamente, solo su (1), (1) e (2), (2)

    e pertanto commutano. Inoltre, in u.a. ( =1)

    e

    21

    21

    43

    43

    2

    2

    21

    21

    22

    zz

    yy

    xx

    SS

    SSi

    Si

    S

    SS

    B 6.2

    Ora, e sono autofunzioni di S2 e Sz,ove

    )2()1()2,1()2()1()2,1( 41

    212122

    21

    2

    2121

    243

    22 SSSSSSS

    SSSSSSzzz

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    11/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Principio di esclusione di PauliB 6.2

    Es. Poiche

    e un autostato di Sz con autovalore MS = +1 ( con autovalore -1))2,1(

    )2,1()2()1(21

    )2()1(21

    )]2())[(1()2()]1()[()2()1(])()[()2,1(

    1

    1

    21211 zzzzz SSSSS

    )2,1(4

    Analogamente

    e un autostato di Sz con autovalore MS = 0 (come ))2,1(

    0)2()1(21

    )2()1(21

    )]2())[(1()2()]1()[()2()1(])()[()2,1(

    2

    21212 zzzzz SSSSS

    )2,1(3

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    12/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Principio di esclusione di PauliB 6.2

    44

    3

    2

    11

    )2()1(

    0)2()1(

    0)2()1(

    )2()1(

    zz

    zz

    zz

    zz

    SS

    SS

    SS

    SS

    In conclusione, in u.a.,

    ovvero 1, e sono tutte autofunzioni di

    Sz con, rispettivamente, autovalori MS = 1, 0, 0, 1.

    Per quanto riguarda S2 la situazione e diversa in quanto e sono tutte

    autofunzioni di S2. Infatti

    )2()1()2()1()2()1(223

    )2()1(223

    )2()1(223

    223

    2121211

    2121211

    21112112

    zzyyxx

    zzyyxx

    SSSSSS

    SSSSSS

    SSSSS

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    13/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Principio di esclusione di PauliB 6.2

    111441

    2

    1

    221

    23

    41

    41

    41

    223

    )2()1(4

    1

    )2()1(4)2()1(4

    1

    22

    3 i

    322332

    2

    2

    2121212

    2121212

    21222122

    41

    41

    41

    223

    )2()1(41

    )2()1(4

    )2()1(41

    223

    )2()1()2()1()2()1(2

    2

    3

    )2()1(223

    )2()1(223223

    i

    SSSSSS

    SSSSSS

    SSSSS

    zzyyxx

    zzyyxx

    Analogamente

  • 7/24/2019 Para Orto Elio

    14/111

    Materia Condensata 2008/2009 Mario Capizzi

    Principio di esclusione di Pauli

    Le autofunzioni i sono autofunzioni di Sz (con autovalori 1, 0, 0, e -1), solo le autofunzioni1 e 2 sono autofunzioni di S

    2 con autovalore 1 (in quanto S(S+1)=2).

    NON lo sono, invece, le autofunzioni 3 e 4.

    Poiche non vi sono interazioni fra gli spin, introduciamo ora delle autofunzioni di

    e normalizzate, che definiremo, per ovvi motivi, come singoletto e tripletto di spin.

    ,,2 zSSs

    P12

    B 6.2

    In conclusione si ha

    e sono inoltre simmetriche rispetto all operazione di scambio di spin ,

    mentre le autofunzioni e

    non hanno proprieta definite di simmetria nello scambio.

    )2()1()2,1()2()1()2,1( 32

    sP12)2,1(