Sociedad Mexicana deIngeniería Geotécnica, A.C.

XVII Reunión Nacional de Profesores de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica

Noviembre 14, 2012 – Cancún, Quintana Roo

Los métodos numéricos en la enseñanza de dinámica de suelosNumerical methods in the teaching of soil dynamics

Roberto MAGAÑA1, Armando HERMOSILLO1 y Marcelo PÉREZ2

1 Instituto de Ingeniería, UNAM2 Centro Tecnológico, FES Aragón

RESUMEN: En el presente trabajo se hace una reflexión acerca de la necesidad de enseñar a los alumnos el manejo de algunos métodos numéricos, que son indispensables para analizar diferentes situaciones en las que se presentan problemas de dinámica no lineal en geotecnia, comentando que éstas involucran mucho más que la interpretación de pruebas dinámicas de laboratorio, ya que comprenden el análisis del comportamiento global dinámico de obras civiles junto con su entorno, en el que intervienen las características del terreno y otros componentes (por ejemplo, máquinas, etc.). Así por ejemplo se tienen los trabajos de compactación o de hincado de pilotes, o bien, situaciones como la licuación de arenas, etc. En general todo esto implica un comportamiento no lineal del suelo ante solicitaciones, lo que obliga a la modelación de problemas con ecuaciones diferenciales no lineales, cuya solución en la mayoría de los casos sólo es posible a través de procedimientos numéricos.

ABSTRACT: In the present paper a reflection is made about the necessity of teach students the management of some numerical methods, which are essential to analyze different situations in where problems are nonlinear dynamics in geotechnics, commenting that they involve much more that the interpretation of laboratory dynamic tests, since they comprise the overall dynamic behavior analysis of civil works together with its surroundings, in the intervening terrain features and other components (e.g., machines, etc..). For example, it is had the compaction work or pile driving, or situations such as the liquefaction of sands, etc.. Generally this involves non-linear soil behavior to solicitations, which requires the modeling of problems with nonlinear differential equations whose solution in most cases is only possible through numerical procedures.

1 INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se hace una reflexión acerca de la necesidad de enseñar a los alumnos el manejo de algunos métodos numéricos, que son indispensables para analizar diferentes situaciones en las que se presentan problemas de dinámica no lineal en geotecnia, comentando que éstas involucran mucho más que la interpretación de pruebas dinámicas de laboratorio, ya que comprenden el análisis del comportamiento global dinámico de obras civiles junto con su entorno, en el que intervienen las características del terreno y otros componentes (por ejemplo, máquinas, etc.). Así por ejemplo se tienen los trabajos de compactación o de hincado de pilotes, o bien, situaciones como la licuación de arenas, etc. En general todo esto implica un comportamiento no lineal del suelo ante solicitaciones, lo que obliga a la modelación de problemas con ecuaciones diferenciales no lineales, cuya solución en la mayoría de los casos sólo es posible a través de procedimientos numéricos.

Por tanto, en este artículo se comentan algunos de estos procedimientos, así como los contextos de

situaciones dinámicas en donde es indispensable su empleo. Asimismo, se hacen sugerencias para considerar su inclusión en los planes de estudio de los ingenieros civiles de nuestro país, ya que esto se está haciendo en otros países, y esto implica un rezago en nuestra ingeniería.

El comportamiento dinámico no lineal de los suelos, exige que los métodos numéricos requeridos para la solución de las ecuaciones diferenciales involucradas, sean con procedimientos de integración paso a paso iterativos, lo que obliga a un proceso de cálculo numérico masivo, el cual además puede cambiar según sea el tipo de no linealidad considerada, por lo cual se requiere habilidad en el manejo de técnicas numéricas, así como de habilidad en programación, ya que es imposible decir que existen paquetes de computadora para todas las posibles variantes. Esto obliga por tanto a que este tipo de enseñanzas sea recomendable.

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2 Título del trabajo

2 DINÁMICA NO LINEAL EN GEOTECNIA

2.1 Oscilaciones linealesUna gran cantidad de sistemas mecánicos y

estructurales pueden ser considerados como sistemas de un grado de libertad. En muchos sistemas prácticos la masa está distribuida. Sin embargo para simplificar el análisis de dichos sistemas la masa puede aproximarse a través de una masa puntual, convirtiendo un problema continuo en uno discreto más fácil de analizar.

Vibración. Cualquier movimiento que se repite a si mismo en intervalos de tiempo es considerado oscilación o vibración. La teoría de vibraciones estudia este tipo de movimientos y las fuerzas asociadas con los mismos. Los sistemas vibratorios tienen, en general, un medio que almacena energía potencial (resorte o elastómero), un medio que almacena energía cinética (masa o inercia) y un medio a través del cual se disipa energía en forma gradual La vibración de un sistema implica la transferencia de su energía potencial a energía cinética y la de su energía cinética a energía potencial alternadamente. Si el sistema está amortiguado, la energía se irá disipando en cada ciclo de vibración

Grados de libertad. Es el mínimo número de coordenadas independientes necesarias para determinar completamente las posiciones de todas las partes de un sistema en cualquier instante.

2.2 Clasificación de las vibraciones A. Vibración libre. Si un sistema que es perturbado inicialmente se deja vibrando por si mismo se dice que está en vibración libre. No existe una fuerza externa actuando en el sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.

B. Vibración forzada. Si un sistema se sujeta a una fuerza externa, la vibración resultante se conoce como vibración forzada. Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, entonces éste entrará en resonancia.

C. Vibración no amortiguada. Si durante un movimiento oscilatorio no se pierde energía en fricción o cualquier otro tipo de resistencia, la vibración se conoce como vibración no amortiguada.

D. Vibración amortiguada. Si existe pérdida de energía durante un movimiento oscilatorio, la vibración presente se denomina vibración amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede despreciarse para fines prácticos. Sin

embargo, el considerar el amortiguamiento es sumamente importante cuando se analizan sistemas de vibración cercanos a resonancia.

E. Vibración lineal. Si todos los componentes esenciales de un sistema en vibración (resorte, masa y amortiguador) se comportan dentro de su rango lineal, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del sistema son lineales y en consecuencia el principio de superposición puede ser empleado, además existen fundamentos matemáticos para su análisis completamente desarrollado.

F. Vibración no lineal. Si uno de los componentes esenciales de un sistema en vibración se comporta de manera no lineal, la vibración resultante se conoce como vibración no lineal. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del sistema son no lineales y el principio de superposición no es válido y las técnicas para su análisis son más complejas y funcionan a base de aproximaciones.

2.3 Oscilaciones no lineales (caóticas)Un péndulo se modela adecuadamente mediante

un oscilador armónico sólo cuando existen pequeños ángulos de elongación. Se ha observado en el laboratorio que el período de oscilación aumenta al crecer la amplitud de la oscilación. De hecho, el período se aproxima a infinito para el máximo valor del ángulo (de 180 °). En el laboratorio virtual (y en la realidad) nunca se alcanza este límite (Elmer, 1998).

A pesar de que la ecuación de movimiento de un péndulo no amortiguado y no forzado es no lineal, se puede calcular su frecuencia como una función de la máxima amplitud. Con el fin de resolver esta ecuación diferencial no lineal.

d2ϕdt2

+ω02sen ϕ=0

(1)Debido a que el integrando en el lado izquierdo es

una función par, se obtendrá

T=2√2ω0

∫0

ϕmax dϕ√cos ϕ−cos ϕmax (2)

Esta integral no puede ser expresada por funciones elementales como polinomios o funciones trigonométricas. Esto es posible solamente en el límite de cuando el ángulo ϕmax→0 , para el cual se tiene que la función coseno se pude aproximar por una serie de Taylor. Bastando solo con tomar el primer y el segundo término, entonces al integrar se

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(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 3

obtendrá el resultado conocido para el periodo de T=2π /ω0 . Para un valor arbitrario del ángulo ϕmax , la integración define una integral elíptica completa.

Sistema no lineal. En matemáticas, un sistema no lineal es aquel que no satisface el principio de superposición, o cuando su salida no es directamente proporcional a su entrada; ya que un sistema lineal cumple estas condiciones. En otras palabras, un sistema no lineal es cualquier problema en el que la variable o variables de salida (s) no se pueden expresar como una combinación lineal de las componentes independientes.

Los problemas no lineales son de interés para ingenieros, físicos y matemáticos, porque la mayoría de los sistemas físicos son inherentemente no lineales en la naturaleza. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan lugar a fenómenos tan interesantes como el caos. El clima es el fenómeno caótico más conocido, donde los cambios simples en una parte del sistema pueden producir efectos complejos en todas partes.

Ecuaciones algebraicas no lineales. Las ecuaciones algebraicas no lineales, que también se llaman ecuaciones polinómicas, están constituidas por polinomios igualados a cero. En una ecuación polinómica única, para encontrar sus raíces se pueden utilizar los algoritmos conocidos. Sin embargo, para los sistemas de varias ecuaciones algebraicas los métodos de solución son más complicados, su estudio cae en el campo de la geometría algebraica. Tipos de comportamiento no lineal:

Indeterminismo. El comportamiento del sistema no puede predecirse.

Estabilidad múltiple. Alternancia entre dos o más estados

Oscilaciones aperiódicas. Funciones que no repiten valores después de algún tiempo (conocidas como oscilaciones caóticas o caos).

2.4 Vibraciones no lineales en suelosEn lo que sigue se presentan algunos casos en geotecnia donde se presentan condiciones no lineales en geotecnia.

2.4.1Comportamiento caótico de tembloresGrandes terremotos (magnitud> 7) aparentemente

ocurren estocásticamente, pero hay una posibilidad de que la estocasticidad sea debida a algún mecanismo determinista, es decir, debido al caos. El estudio detallado de un modelo simple de terremoto se presenta y muestra un comportamiento caótico. Este es también el modelo más simple de los osciladores de relajación acoplados y tiene topológicamente la misma estructura que el modelo de Lorenz (Thompson et al., 1986)

Los terremotos y las fallas sobre las cuales se producen interactúan a través de una amplia gama de escalas espaciales y temporales. Además, muchos aspectos de la sismicidad regional parecen ser estocásticos, tanto en el espacio y el tiempo. Sin embargo, dentro de esta complejidad, existe una considerable auto-organización. La ocurrencia de terremotos es un problema que puede ser estudiado con los fundamentos de la física estadística.

2.4.2CompactaciónLas vibraciones dinámicas no lineales originadas

por equipos de compactación de suelo se toman como dato para los sistemas de control de retroalimentación, en los sistemas de compactación inteligente (Anderegg et al., 2006). De acuerdo con la compactación alcanzada por el suelo, se varían los parámetros del suelo empleados en el modelo de manera continua. El rodillo vibratorio mide permanentemente la rigidez del terreno. En conjunción con datos obtenidos con GPS. Los datos de rigidez están directamente relacionados a la prueba placa para obtener la resistencia al corte. En la práctica, la compactación inteligente asegura que el trabajo de compactación se complete en un número mínimo de pasadas, de esta manera se controla la energía de compactación la cual se ajusta automáticamente mientras se mide la rigidez del suelo.

Así que la compactación inteligente en el sector de movimiento de tierras permite llevar a cabo un trabajo de compactación en un tiempo muy corto y de manera verificable. La vinculación de los datos de la medida de la rigidez del suelo durante la compactación controlado con los datos obtenidos con el sistema GPS permite la visualización gráfica del proceso que se está llevando a cabo, proporcionándole al operador de la máquina una ayuda sencilla y muy eficaz para trabajar.

2.4.3Hincado de pilotesEn el artículo (Pavlovskaia et al., 2003) se

describe la investigación actual sobre el modelado matemático de un sistema de tierra de vibro-impacto. Debido a la complejidad estructural de tales sistemas, se investigó en primera instancia la respuesta dinámica de un oscilador de impacto idealizado. El modelo se compone de una masa (armónicamente excitada) simulando la parte penetrante del equipo para pilotear y un deslizador visco-elástico, que representa la resistencia del suelo. El modelo ha sido formulado matemáticamente, y se desarrollaron las ecuaciones del movimiento. Un análisis dinámico típico no lineal revela un comportamiento complejo que va desde movimiento periódico hasta un movimiento caótico. Se encontró que la máxima evolución coincide con el final del régimen de periódico.

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4 Título del trabajo

Matemáticamente los sistemas de vibro-impacto pueden ser clasificados como sistemas de movimiento con discontinuidades dependientes. Como puede verse de lo anterior, se ha llevado a cabo una cantidad considerable de investigación centrándose tanto en estudios fundamentales como en aplicaciones prácticas.

2.4.4LicuaciónLa dependencia de la escala y los aspectos

temporales sugieren algún aspecto fractal en el comportamiento (Quinn, 2012). Como un primer intento de una explicación, en términos muy simplistas, a una densidad mayor de lo que algunos llaman "densidad crítica" o estado crítico, no hay conectividad íntima entre todas las partículas del suelo dentro de la matriz del suelo, y por lo menos hay un contacto continuo, a través de varias rutas diferentes, a través del modelo. Por lo tanto una falla de corte puede ocurrir de forma instantánea a lo largo de alguna superficie de falla continua a través de todo el modelo, Por lo tanto, los supuestos de equilibrio limite, y falla instantánea son válidas en una densidad menor que la densidad crítica, la matriz del suelo se desconecta, o al menos no esta totalmente conectada a través del modelo. Sabemos que a partir de simulaciones con computadora relacionadas con los fenómenos de percolación que a medida que aumenta la densidad, la interconexión entre las partículas en la matriz se incrementará, y en algún momento los grupos interconectados de partículas desarrollarán una forma fractal, con la auto-afinidad en todas las escalas (de partícula a escala del modelo) la densidad en la matriz del suelo se ha interconectado en una geometría fractal, y entonces el comportamiento será caótico. La transmisión de esfuerzos y deformaciones a través de la matriz de suelo fractal no será instantánea, sino más bien se producirá con el tiempo, de manera tal que no se puede determinar con precisión a partir del estado inicial.

3 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

A continuación se presentan situaciones que originan no linealidad en sistemas así como la modelación necesaria mediante ecuaciones diferenciales.

3.1 Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales lineales

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten la característica común de llevar acabo un buen número de tediosos

cálculos aritméticos. Con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos ha aumentado considerablemente en los últimos años, convirtiéndose en herramientas extremadamente poderosas para la solución de problemas de ingeniería. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la práctica de la ingeniería y que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente.

Los métodos numéricos clásicos que son indispensables para tratar los problemas lineales son: obtención de raíces de polinomios (Newton-Rapson, etc), solución de sistemas de ecuaciones lineales (Gauss-Jordan, Gauss-Seidel, etc), solución del problema de vectores y valores característicos, diferenciación e integración numérica, interpolación polinomial, diferencias finitas para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

3.2 Ecuaciones diferenciales no lineales para sistemas dinámicos

Se estudian modernos conceptos geométricos, matemáticos y estadísticos para tratar los sistemas no lineales. Los fenómenos naturales son esencialmente no lineales, característica que les permite diversos de comportamientos; estados estacionarios, oscilatorios, cuasi periódicos y caóticos que en general no puede ser tratada con modelos o ecuaciones lineales.

Se pretende que el estudiante adquiera una visión más amplia de los problemas, que trascienda al predecible comportamiento lineal, y que no quede desorientado al observar comportamientos complicados. Esto le permitirá plantear una solución innovadora no lineal quizás más eficiente o más general que una solución lineal restringiendo el rango de aplicación del modelo. Ver el Programa Académico del Departamento de Ingeniería Electrónica, Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología, Universidad Nacional de Tucumán, Argentina (Savino, 2012)

Se adopta una metodología ingenieril que hace extensivo uso de la computadora que trata Aborda los conceptos matemáticos para tratar los problemas de sistemas no lineales desde un enfoque ingenieril.

3.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales

Un sistema de ecuaciones diferenciales se dice que es no lineal si modela un sistema físico no lineal. Los problemas que involucran ecuaciones diferenciales no lineales son muy diversos, y los métodos de solución o análisis son dependientes del

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problema. Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos, las ecuaciones de Lotka-Volterra en biología, y el Black–Scholes PDE en finanzas.

Una de las mayores dificultades de problemas no lineales es que generalmente no es posible combinar soluciones conocidas en nuevas soluciones. En problemas lineales, por ejemplo, una familia de soluciones linealmente independientes pueden ser utilizados para construir las soluciones generales a través del principio de superposición. A menudo es posible encontrar varias soluciones muy específicas a ecuaciones no lineales, sin embargo la falta de un principio de superposición impide la construcción de nuevas soluciones.

3.4 Soluciones especiales para ecuaciones diferenciales no lineales

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en un gran número de ramas del conocimiento científico para modelar el comportamiento de ciertos fenómenos. Su uso no se limita única y exclusivamente al campo de las matemáticas o al de la física, teniendo gran aplicabilidad en campos como la biología, la química y las ciencias sociales (Rodríguez, 2012).

En muchos de los procesos que se modelizan se estudian tanto los llamados puntos de equilibrio (puntos en lo que el sistema no presenta variación alguna) como la estabilidad de estos puntos (sensibilidad a pequeñas perturbaciones), así como la existencia de soluciones periódicas.

3.5 Métodos numéricos para E.D.O. de primer orden

A menudo, existen problemas prácticos que conducen a ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse mediante los procedimientos expuestos anteriormente o también a ecuaciones cuyas soluciones vienen expresadas en términos tan complicados que, con frecuencia, es preferible obtener una tabla de valores aproximados de la solución en los puntos de un determinado intervalo. Si suponemos que existe una solución de una ecuación diferencial dada, entonces aquélla representa un lugar geométrico (curva) en el plano. En esta sección estudiaremos procedimientos numéricos que utilizan la ecuación diferencial para obtener una sucesión de puntos cuyas coordenadas aproximan las coordenadas de los puntos de la curva que efectivamente es la solución. Dado un problema de valor inicial

y0= f ( x , y ) ; y (x0)= y0

se trata de obtener aproximadamente los valores de la solución, si existe, en un conjunto de puntos

del intervalo [a, b] que interese, entre los cuales ha de estar el punto x=x0 . Para ello, se fija un h>0 y se obtiene un conjunto de puntos {x0 , x1 ,…, xn }⊂ [a ,b ] , de la forma x1=x0+h , x2=x0+2h , x3=x0+3h ,⋯, xn=x0+nh para los que se calcularán los valores aproximados de la solución y1 , y2 ,⋯,yn de la ecuación diferencial, con la condición y (x0)= y0 . A la longitud h de cada subintervalo [ x i , xi+1] se le llama paso.

Una forma general de efectuar el cálculo de los valores aproximados de la solución en cada paso es mediante el uso de polinomios de Taylor:

y ( x+h )≈ y ( x )+ h1!y ' (x )+ h

2

2 !y' ' ( x )+⋯+ h

k

k !y( k )( x )

(3)teniendo en cuenta que si el valor de h es pequeño, las potencias más altas h

2 ,h3 ,… son muy pequeñas.

3.5.1Aproximación local de TaylorHemos visto que podemos aproximar mediante su

recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase (C

∞ ) cabe la posibilidad de intentar aproximar a la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de "desarrollo polinómico de Taylor" y se define de la siguiente manera:

P( x )=f (a )+ f'( a)

1 !( x−a)+ f

' '( a)2 !

( x−a)2+

f ' ' ' (a )3 !

( x−a )3+⋯+f (n )(a )n !

( x−a )n(4)

Donde P( x ) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a . Nótese que si evaluamos P( x ) en x=a todos los términos salvo el f (a ) se anulan, luego P(a )= f (a ). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso en el que n=1 .

El polinomio de Taylor es un polinomio "osculador". De entre todos los polinomios de orden no mayor que n y que pasan por f (a ) el desarrollo polinómico de Taylor de f ( x ) en x=a es el que posee el contacto de mayor orden con f ( x ) en a .

Puntos singulares. Se denominan puntos singulares ó estacionarios a los valores de la variable en los que se anula la derivada f

'( x ) de una función f ( x ) , es decir, si f

'( x )=0 en x1 ,x2 ,x3

,⋯,xn , entonces x1 ,x2 ,x3 ,⋯,xn son puntos singulares de f ( x ) . Los valores f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) ,⋯, f ( xn) se llaman valores singulares.

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6 Título del trabajo

Puntos críticos. Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

3.6 Oscilaciones no linealesEn este artículo (Mickens 2010), se consideran

sólo los sistemas de un grado de libertad que pueden ser modelados matemáticamente por ecuaciones diferenciales que tienen (en el caso más simple) la forma genérica

x+f ( x )=0 (5)Donde los puntos denotan derivación. Por

ejemplo: x=dx /dt y x≡d2 x /dt2 .

Definición. Si f ( x ) es una función no lineal, entonces la ecuación diferencial de segundo orden diferencial, (ec. 5), es un oscilador no lineal. Utilizando representaciones específicas de f ( x ) los siguientes son ejemplos particulares de osciladores no lineales:

x+x3=0 ,

x+x1 /3=0 ,

x+x+x1/3=0 , (6)

3.7 Control no linealEl control no-lineal es el conjunto de técnicas de

análisis y diseño para sistemas de control no lineales; un sistema de control no-lineal es aquel que tenga al menos un componente no-lineal; un componente es no-lineal si no cumple con las propiedades de homogeneidad o superposición. (Kuo, 1996).

Los sistemas de control prácticamente siempre presentan no-linealidades inevitables, llamadas inherentes. Las siguientes son ejemplos de las más frecuentes de ellas: saturación, zona muerta, histéresis, todo-nada, juego o Huelgo, fricción estática, fricción de Coulomb, etc., resorte no-lineal, compresibilidad de fluido, producto de variables, raíz, polinomio, función trigonométrica, etc.

La presencia de alguna de estas no-linealidades puede afectar muy adversamente el comportamiento del sistema. Así, la zona muerta puede producir error

de régimen estable, y la saturación a su vez puede llevarlo a la inestabilidad. Se describirán a continuación algunas de ellas:

SaturaciónPara señales de entrada pequeñas, la salida de

un elemento de saturación es proporcional a la entrada. Para señales mayores de entrada, la salida no se incrementa proporcionalmente y finalmente para valores muy elevados de las señales de entrada, la salida se mantiene constante. Ver figura 1.

Figura 1: Curva característica de saturación

Figura 2. Curva característica de zona muerta

Zona muertaEn un elemento de zona muerta o no-linealidad de

umbral, no hay salida para entradas que caen dentro de la amplitud de zona muerta. Ver figura 2.

Conexión-desconexiónLa no-linealidad conexión-desconexión, se

denomina también no-linealidad de dos posiciones, todo-nada (on-off). Sea un elemento todo-nada cuya curva característica de entrada-salida se muestra en la Fig. 3. La salida de este elemento es, o bien una constante positiva o una constante negativa.

Figura 3. Curva característica de conexión- desconexión

Figura 4. Curva característica de Huelgo

HistéresisEs un elemento (conexión-desconexión) con una

banda de histéresis.Huelgo

En este elemento si la entrada cambia de dirección, el cambio inicial no tiene efecto en la

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salida; este fenómeno se presenta en engranajes con desgaste, teniendo separación entre los dientes; su curva característica de entrada- salida, se muestra en la Fig. 4.

Justificación. La necesidad de estudiar los sistemas de control no-lineales se justifica por varias razones:

Los sistemas de control no-lineales presentan mejoras sobre los métodos lineales, particularmente porque son válidos en todo el rango de variación de las variables y no solo en pequeña señal.

Permiten tratar las incertidumbres paramétricas del modelo mediante estrategias de adaptación del control; en control lineal es frecuente utilizar hipótesis de conocimiento e invarianza de los parámetros del modelo.

El análisis y diseño puede ser más simple, particularmente con estrategias basadas en la física del proceso; es más fácil analizar el comportamiento de un péndulo en términos energéticos que en términos de los valores propios del modelo lineal.

El mundo real es inherentemente no lineal

4 MÉTODOS NUMÉRICOS ITERATIVOS Y PROGRAMACION

4.1 Métodos para sistemas de ecuaciones no lineales (Magaña et al. 2006)

Aquí se presentan brevemente las técnicas que permiten resolver este tipo de ecuaciones. Como ejemplo se ilustrará la metodología con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual se puede generalizar a n ecuaciones con n incógnitas. Esto facilita la explicación y la visualización. Se ilustra con el método de Newton Raspón de punto fijo, y se puede generalizar con el método de Gauss Seidel. Por una parte se sabe cómo encontrar las raíces de una ecuación de la forma: f ( x )=0 . Por otro lado, se conocen las técnicas iterativas de solución de un sistema de ecuaciones lineales Ax=b .

Estos dos son casos particulares de la situación más general, donde se tiene un sistema de varias ecuaciones con varias incógnitas, cuya representación es:

f 1( x1 , x2 , x3 ,… , xn )=0

f 2( x1 , x2 , x3 ,… , xn )=0…

f n( x1 , x2 , x3 ,…, xn )=0 (7)

donde f n( x1 , x2 , x3 ,…, xn) para i=n es una función (lineal o no) de las variables independientes x1 , x2 , x3 ,… , xn .

Por todo esto, es fácil entender que los métodos iterativos de solución de la ecuación (7) son extensiones de los métodos para ecuaciones no lineales con una incógnita y emplean ideas que se aplicaron al desarrollar los algoritmos iterativos para resolver Ax=b .

4.2 Osciladores caóticosCon el propósito de lograr una comprensión mejor

de los fenómenos caóticos, se elaboró un programa capaz de generar resultados semejantes a los obtenidos por otros investigadores en el campo de la dinámica no lineal (Magaña et al., 2011). En este caso se logró dicho objetivo y el programa desarrollado es capaz de simular el comportamiento de osciladores lineales y no lineales. En este último caso se presentaron dos ejemplos de osciladores caóticos, el de Duffing y el de Van der Pol, dados por las ecuaciones 8 y 9 respectivamente.

m x+C x+x3=7 .5cos ( t ) (8)

m x+μ(1−x2) x+Kx=Asen(ωt ) (9)

4.2.1Sistema Caótico DuffingEste sistema describe un movimiento caótico, el

cual está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 8) y para la cual f ( t )≠0 . Para este sistema, las condiciones iniciales son y (0 )=3 .0 y y (0 )=4 .0 , con valores de m=1 . 0 , C=0 . 05 y K=1. 0 . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la figura 5, correspondiente a la gráfica t− x que representa el acelerograma. En la figura 6 se presenta el diagrama de fases x− x .

Figura 5. Acelerograma t− x

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8 Título del trabajo

Figura 6. Diagrama de fases x− x

4.2.2Oscilador Van Der PolEste sistema describe un movimiento caótico, el

cual está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 9) y para la cual f ( t )≠0 . Para este sistema, las condiciones iniciales son y (0 )=2 . 0 y y (0 )=4 . 0 , con valores de m=1 . 0 , μ=8 .53 , K=1.0 , A=1. 2 y ω=2π /10 . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la figura 7 correspondiente a la gráfica t− x que representa el acelerograma. En la figura 8 se presenta el diagrama de fases x− x .

Figura 7. Gráfica t− x

Figura 8. Diagrama de fases x− x

4.3 PROGRAMA NUMÉRICO PARA OBTENER HISTORIAS DE MOVIMIENTO

Con el propósito de lograr una comprensión mejor de los fenómenos caóticos, se procedió a elaborar un programa capaz de generar resultados semejantes a los obtenidos por otros investigadores

en el campo de la dinámica no lineal. En este caso se logró dicho objetivo y el programa desarrollado es capaz de simular el comportamiento de osciladores lineales y no lineales. En este último caso se presentan dos ejemplos de osciladores caóticos, el de Duffing y el de Van der Pol. Es importante recalcar que las simulaciones se lograron a partir de un mismo procedimiento general, con la misma fórmula de recurrencia con la que se hacen las integraciones paso a paso en el tiempo. Su característica básica es que los parámetros de la ecuación de movimiento clásica (amortiguamiento y rigidez) se pueden manejar como funciones en vez de ser constantes.

Para los análisis dinámicos se resolvió mediante diferencias finitas la ecuación general de movimiento como la presentada en la ec. 3, en donde C y K pueden incluso ser variables o funciones. La solución de la ecuación diferencial es una ecuación de recurrencia como la presentada en la ec. 4. Como se mencionó antes se simuló el comportamiento de los osciladores de Duffing y el de Van der Pol, dados por las ecuaciones 1 y 2 respectivamente.

m x+C x+Kx=f ( t ) (3)

xi+1=(4m−2Kh2

2m+Ch ) xi+(Ch−2m2m+Ch )xi−1+

2h2K2m+Ch

f i(4)

5 PLANTEAMIENTO DE INCLUSIÓN EN PLANES DE ESTUDIO

Se tiene que los métodos numéricos son indispensables para pronosticar el comportamiento de procesos no lineales, como los que se presentan en diversos trabajos en geotecnia. Esto es para poder establecer criterios de toma de decisiones más adecuados a la realidad y con ello generar diseños, con menores gastos por reparaciones, ocasionadas por una valoración insuficiente de modelos matemáticos simplistas.

Para lograr lo anterior, es necesario proporcionar a los ingenieros, herramientas matemáticas que puedan modelar mejor el comportamiento real del medio ambiente geotécnico. De esta manera surge la propuesta de poner más atención a la enseñanza de métodos numéricos iterativos (como el de Gauss-Seidel) para problemas no lineales. Es decir el origen de esto es la no linealidad, la cual origina que en muchas ocasiones no exista determinismo (a lo cual está muy acostumbrado el ingeniero). Esto es un asunto muy importante ya que ocurre la mayoría de las veces en la realidad y en especial en

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geotecnia, por lo que la preparación en estos métodos es indispensable.

Para confirmar lo anterior, en lo que sigue se proporciona una relación de las diferentes causas que dan origen al empleo de métodos numéricos (donde los analíticos no se pueden aplicar): Geometría irregular. Heterogeneidad. No linealidad de los materiales. Inexistencia de métodos únicos en casos no

lineales, sino que hay diferencias que obligan a programaciones diferentes.

En geotecnia abundan los casos no lineales, por ejemplo, en propagación de temblores, compactación, hincado de pilotes, licuación, agrietamiento, etc.

No existen métodos analíticos para tratar casos no lineales; todo esto ya se trabaja en otros países.

En resumen, la habilidad en métodos numéricos y programación son indispensables para el trabajo en dinámica no lineal en geotecnia, y esto será una necesidad muy frecuente en el futuro, sin que exista posibilidad de que se sature el conocimiento en este campo, ya que es muy amplio y no se puede pensar en tener paquetes de computadora para todo.

Finalmente, es conveniente hacer un comentario relevante, en geotecnia los criterios de diseño están regidos por la consideración de evitar la falla total del sistema (capacidad de carga, factor de seguridad, etc.), sin atender mucho a los estados de esfuerzos y deformaciones y mucho menos a la evolución de agrietamientos, cuyo estudio es factible con herramientas matemáticas modernas como la geometría fractal apoyada con métodos numéricos.

6 CONCLUSIONES

6.1 Conclusiones generales En los problemas de dinámica no lineal la curva

de la función de amplificación, sufre un encorvamiento hacia la izquierda o derecha según diferentes no linealidades. Esto provoca que para una cierta frecuencia se tengan dos valores diferentes de amplificación.

Por la presencia de atractores múltiples se presenta el fenómeno de bifurcación, en el que a partir de un punto se tienen dos posibles trayectorias de evolución del movimiento. Además se pueden tener a lo largo de la historia de movimiento diferentes puntos de bifurcación generándose una especie de árboles con las posibles trayectorias.

Un mismo procedimiento numérico puede conducir a comportamientos dinámicos

diferentes, al variar los parámetros del modelo simultáneamente con la historia de movimiento.

En un oscilador caótico aunque la entrada sea periódica la salida es irregular (pareciendo aleatoria), pero tiene patrones de comportamiento.

Los espectros de respuesta tienen varios picos, aunque el oscilador sea de un grado de libertad (es decir son de banda ancha)..

Son de esperarse efectos caóticos en el diseño inelástico de estructuras. Asimismo, estos existirán en la interacción suelo-estructura debido a la no linealidad del suelo.

6.2 Conclusiones sobre tembloresGrandes terremotos (magnitud> 7) aparentemente

ocurren estocásticamente, pero hay una posibilidad de que la estocasticidad sea debida a algún mecanismo determinista, es decir, debida al caos. Algunos estudios detallados de modelos simples de terremotos han mostrado un comportamiento caótico. Esto también ocurre con el modelo más simple de los osciladores de relajación acoplados que tiene topológicamente la misma estructura que el modelo de Lorenz.

Los terremotos y las fallas sobre las cuales se producen interactúan a través de una amplia gama de escalas espaciales y temporales. Además, muchos aspectos de la sismicidad regional parecen ser estocásticos, tanto en el espacio y el tiempo. Sin embargo, dentro de esta complejidad, existe una considerable auto-organización. La ocurrencia de terremotos es un problema que puede ser analizada con los fundamentos de la física estadística.

Para abordar el estudio de terremotos, se puede considerar la relación entre la fractura frágil y la física estadística. La fractura frágil de un sólido es un fenómeno complejo que ha recibido una gran atención de los ingenieros, geofísicos y físicos. Un ejemplo límite de fractura frágil es la propagación de una fractura única a través de un sólido homogéneo.

Los sistemas de fallas sísmicas representan una clase de sistemas dinámicos forzados no lineales que se caracterizan por una amplia gama de escalas de espacio y tiempo, de centímetros a miles de kilómetros, y desde segundos hasta varios miles de años. Así entonces los patrones de comportamiento (con dimensión alta) de los sistemas naturales suelen ser caóticos y complejos.

6.3 Conclusiones sobre compactaciónLa vigilancia continua de las propiedades del

suelo usando un rodillo compactador instrumentado requiere modelos matemáticos que pueden captar los rasgos esenciales observados durante la

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10 Título del trabajo

vibración del sistema tambor-suelo. El modelado del sistema (tambor / suelo) considera principalmente la no linealidad observada experimentalmente. La consideración de la rigidez no lineal del suelo, debido al efecto de la curvatura del tambor y el endurecimiento del suelo explican la no-linealidad observada experimentalmente. El análisis de los resultados obtenidos reveló que comúnmente la heterogeneidad observada en el suelo da lugar a una respuesta transitoria que puede tener una influencia significativa en el comportamiento de las vibraciones.

6.4 Conclusiones sobre hincado de pilotesEn la investigación actual sobre el modelado

matemático de un sistema de tierra de vibro-impacto. Se tiene que debido a la complejidad estructural de tales sistemas, se investigó en primera instancia la respuesta dinámica de un oscilador de impacto idealizado. El modelo se compone de una masa (armónicamente excitada) simulando la parte penetrante del equipo para pilotear y un deslizador visco-elástico, que representa la resistencia del suelo. El modelo ha sido formulado matemáticamente, y se desarrollaron las ecuaciones del movimiento. Un análisis dinámico típico no lineal revela un comportamiento complejo que va desde movimiento periódico hasta un movimiento caótico.

6.5 Conclusiones sobre licuaciónMuchas observaciones han demostrado que

después de la licuefacción se tiene una mayor movilidad debido a una cierta forma de fluidización parcial que conduce a movimientos rápidos en distancias más largas de lo que podría esperarse. En la referencia (Quinn, 2012) se investiga un modelo simple para este efecto. El modelo produce una rica variedad de respuestas velocidad-fuerza, incluida la atenuación de la fuerza a altas velocidades. El objetivo en dicha referencia es construir un modelo numérico simple para el flujo de una masa grande saturada y para evaluar el efecto de la velocidad en la fuerza media de rozamiento en la interfaz entre el flujo y su medio de soporte. Existe la motivación por la necesidad de tener una descripción racional para el comportamiento de los flujos en la licuefacción.

7 REFERENCIAS

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