Palau, Gladys - El Significado de La Negación Paraconsistente

EL SIGNIFICADO DE LA NEGACIN PARACONSISTENTE

GLADYS PALAUUniversidad de Buenos Aires/Universidad Nacional de La Plata

CECILIA DURANUniversidad Nacional de La Plata

Abstract. This work agrees and supports the I. Hackings thesis regarding the meaningof the logical constants accordingly with Gentzens Introduction and Elimination Rules ofSequent Calculus, corresponding with the abstract conception of the notion of logical conse-quence. We would like to ask for the minimum rules that must satisfy a connective in order tobe considered as a genuine negation. Mainly, we will refer to both da Costas C-Systems andPriests LP system. Finally, we will analyze the presentations of these systems within the Se-quent Logic to show that paraconsistent negation lacks of pure rules of negation-eliminationand negation-introduction rules or that they involve other connectives, thus making difficultto assign an univocal meaning to paraconsistent negation.

Keywords: Paraconsistent logic, negation, sequent calculus.

1. Introduccin

En un artculo fundacional What is Logic? (1979), Ian Hacking, arroja luces decisi-vas sobre el problema clsico en filosofa de la lgica tal como lo es el significado delas constantes lgicas. Hacking comienza definiendo la lgica como transiciones deoraciones a otras oraciones. Estas transiciones deben expresarse en el metalenguaje ydeben considerarse solamente descripciones o codificaciones de cmo nosotros cree-mos que deben hacerse las mismas cuando deseamos decir que ellas son de carcterlgico. Adems, pueden entenderse como casos especiales de transformaciones ypueden ser pensadas tanto semntica como sintcticamente y, de acuerdo con Witt-genstein, nunca pueden calificarse de justificaciones. Para ello adopta el clculo desecuentes de Gentzen, en el cual las reglas estructurales caracterizan el conceptoabstracto de consecuencia lgica mientras que las reglas operatorias caracterizan eluso o significado de las constantes lgicas en concordancia con las reglas estructu-rales. A su vez, las reglas operatorias que caracterizan las constantes lgicas slotienen sentido ledas en el marco de deducibilidad generado por las reglas estructu-rales y slo dentro de esta estructura de conjunto puede decirse que constituyen elsignificado de las constantes lgicas. Esta tesis ha sido rigurosamente fundamenta-da por R. Wjcicki (1988) quien sostiene que toda operacin de consecuencia est

Principia 13(3): 35770 (2009).Published by NEL Epistemology and Logic Research Group, Federal University of Santa Catarina (UFSC), Brazil.

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unvocamente determinada por el conjunto de reglas de inferencia consistentes conella y muestra que hay lgicas que coinciden en el conjunto de sus teoremas perono coinciden en el conjunto de sus reglas de inferencia, tal como es el caso de lalgica intuicionista y de la lgica de la relevancia respecto de la lgica clsica.1 Esprecisamente dentro de este enfoque que analizaremos el significado de la negacinen la lgica paraconsistente ya que actualmente se acuerda que ella es una lgicasubclsica. Hoy en da se acepta en considerar que una lgica es paraconsistente siy slo si no satisface la regla conocida con el nombre de Ex Contradictione SequiturQuodlibet.2

, A,A B, (ECQ).Es decir, los sistemas de lgica paraconsistente son aquellos que admiten con-

tradicciones pero no por ello originan sistemas triviales, lo cual implica distinguirntidamente inconsistencia de trivialidad. En palabras de W. A. Carnielli y J. Marcos(2007: 11), una lgica es paraconsistente si es inconsistente pero no trivial. Coinci-dimos con estos autores en que uno de los argumentos ms fuertes a favor de laimportancia de estos sistemas sea la existencia efectiva de teoras inconsistentes pe-ro no triviales, como por ejemplo, la teora intuitiva de conjuntos.

En el enfoque de Hacking el significado de las conectivas lgicas, incluso el dela negacin, depende de las reglas admitidas o rechazadas que rigen el uso de cadaconectiva. Precisamente el Clculo de Secuentes de Gentzen nombra las reglas querigen la introduccin y la eliminacin de las conectivas como Introduccin en el pos-tsecuente y en el prosecuente respectivamente. Por ello, dada una regla que no debequedar validada por la teora, hay que explorar qu es lo que se debe alterar en elclculo de secuentes a fin de filtrarla. En el caso que nos ocupa, dado que el rechazode ECQ es comn a todo sistema de lgica paraconsistente, todo sistema paraconsis-tente deber rechazar tambin las reglas que permiten derivar ECQ. En particular,desde el marco de la lgica de secuentes, se deberan rechazar o modificar las reglasestructurales o las operatorias que posibilitan la derivacin de tal regla.

Si se explora en esta lgica qu reglas permiten la demostracin de ECQ, seencuentra que la demostracin en lgica de secuentes de ECQ involucra Introduc-cin de la Negacin en el prosecuente (), Introduccin de la Conjuncin en elprosecuente () y Atenuacin en el postsecuente (At).3 Por ello, se abren doscaminos, o bien se pone en duda (At) o bien falla (). Exploraremos ambasalternativas.

La primera opcin no resulta conveniente ya que si se descarta (At) se res-tringe la potencia lgica de los sistemas paraconsistentes, puesto que esta regla esnecesaria para la demostracin en lgica de secuentes del axioma del sistema Cde N. C. A. da Costa, D. Krause y O. Bueno (2007: 798), (A C) ((B C) ((A B) C)) y para la derivacin de la Ley de Dummett, (A (A B)).4 Adems,Principia 13(3): 35770 (2009).

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quitar (At) no es condicin suficiente para evitar explosin, ya que ello no impidela derivacin de otra forma de explosin, como es el caso de la regla , A,AB,cuya derivacin no emplea (At).

La segunda opcin nos conduce a explorar qu sucede en una lgica paraconsis-tente con la regla operatoria de Introduccin de la negacin en el prosecuente ().Si esta regla fallara en todas sus aplicaciones, la desviacin de la lgica paraconsis-tente respecto de la lgica clsica no estara dada por las reglas estructurales sino poralguna de las reglas operatorias que involucran la negacin, lo cual condicionara elsignificado de esta conectiva en la mencionada lgica. Elucidar estas cuestiones y susconsecuencias para la filosofa de la lgica es uno de nuestros objetivos principales.

Para nuestro trabajo hemos elegido como referencia los sistemas que considera-mos ms representativos de este tipo de lgica en la literatura actual, a saber, losC-sistemas de N. C. A. da Costa et al. (2007), y el sistema LP de Graham Priest(2001), ya que ellos emplean dos estrategias totalmente diferentes, la va de unalgica no veritativo funcional por parte de la escuela de da Costa y la va de unalgica multivaluada por parte de Priest.

2. La Negacin en los C-sistemas de da Costa et al.

Es sabido que en todo sistema lgico paraconsistente, a los efectos de obtener sis-temas no triviales pero que admitan contradicciones se debe satisfacer las reglas delas conectivas positivas pero no debe satisfacerse la ya citada regla ECQ. Respectodel Principio de No Contradiccin la situacin es distinta ya que si se desea que elsistema sea una lgica dialctica, como el sistema DL de da Costa-Wolf (1980) esteprincipio no puede ser vlido, de donde se sigue que su rechazo no constituye unacondicin necesaria para la paraconsistencia. Los sistemas paraconsistentes de daCosta conforman una coleccin jerrquica Cn, 0 n construida a partir de losaxiomas positivos de la axiomtica de Hilbert. C contiene la negacin paraconsis-tente ms dbil y por ello est caracterizado solamente por 11 axiomas, entre losque se incluye el Modus ponens (MP) en tanto regla y dos axiomas especficos parala negacin: la doble negacin no intuicionista A A (DN) y el principio clsi-co Tertium non datur A A (TND). Como en todo C-sistema, adems de ECQ, enC tampoco puede ser vlida la regla clsica Reductio ad absurdum (RAb), A B,A B A debida a Johanssen y Kolmorogov y tan exitosamente usada en lamatemtica, porque si valiera, sera posible demostrar (AA) como teorema porSustitucin Uniforme a partir de los dos primeros axiomas positivos de Cn con dosaplicaciones de MP (Maranho 2001: 13).5

Tampoco puede valer el principio de doble negacin intuicionista AA, por-que si valiera conjuntamente con el axioma A A, la negacin paraconsistentePrincipia 13(3): 35770 (2009).


colapsara nuevamente en la negacin clsica. La falla de la regla (RAb) hace caer to-das las formas de la Transposicin e incluso al Silogismo Disyuntivo (SD)6 y al Modustollens. Tampoco resultan teoremas A (A B), A (A B), A (A B),A (AB), (AA) B) y (AA)B) cuyas demostraciones requieren deECQ. Dado que en lgica de secuentes todas estas reglas utilizan en su demostracinla regla Introduccin de la negacin en el prosecuente (), se podra entonces supo-ner que en todo sistema paraconsistente se debera descartar esta regla. Sin embargoesta alternativa plantea los siguientes dos problemas (i) si se aplica Sustitucin Uni-forme en el primer axioma positivo de C, i.e., A (B A), entonces resultanteoremas los casos de Causa mirabilis A (AA) y A (A A), cuyas demos-traciones en lgica de secuentes involucran la regla () y (ii) la demostracin enlgica de secuentes del axioma de C, A A requiere tanto de Introduccin de lanegacin en el postsecuente ( ) como de la regla de Introduccin en el prosecuente(). Sin embargo se debe tener en cuenta que si se descarta la regla () enton-ces todas las formas de explosin quedan obstruidas, lo cual muestra la utilidad desu rechazo. Por otra parte, es posible resolver los inconvenientes planteados en (i)y (ii) prescindiendo de (). En efecto, los casos de Causa mirabilis planteados en(i) quedan validados en los C-sistemas si se admite que las frmulas fundamentaleso axiomas de los que parte toda derivacin, puedan ser literales (i.e., frmulas at-micas o frmulas atmicas negadas) del tipo AA7 y adems se acepte atenuarcon literales. En relacin con el inconveniente (ii) i.e., el referido a la Eliminacinde Doble Negacin, Andrs Raggio (1968) realiza un anlisis de la negacin en lossistemas C desde la lgica de Secuentes y propone caracterizar la negacin para-consistente de C por la siguiente regla de Introduccin de la doble negacin en elprosecuente () la cual se conserva en todos los C-sistemas, a saber:

A,A,

En el clculo de Raggio para C, adems de la regla de la doble negacin se efec-tan dos modificaciones ms: (i) se elimina la regla () de la lgica de secuentesde Gentzen, dejando solamente la mencionada ( ) y (ii) se modifica la regla() de Gentzen mediante una restriccin segn la cual en el postsecuente de lapremisa slo puede aparecer la frmula que es el consecuente del condicional que asu vez es conclusin de la regla. O sea, la regla ()R:

A, B A B

Esta modificacin filtra perfectamente tanto la ley de Dummet como la ley dePeirce que no son teoremas de C dado que ste fue construido sobre el fragmen-to positivo del sistema de Hilbert, segn lo afirman sus propios autores. Adems,

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()R no cumple con toda la restriccin intuicionista (i.e. que el postsecuente nopueda tener ms de una frmula) ya que si lo hiciera quedara comprometida lavalidez de los axiomas para la negacin de C.

Corresponde preguntarnos ahora qu resultados se siguen de nuestro anlisis alos efectos de caracterizar la negacin en C. Ya hemos afirmado que en C no sevalida ECQ pero s DN y TND. Sin embargo, de estos axiomas no se sigue ningunaotra propiedad interesante respecto de la negacin en C. Por ello, ah que lo nicoque parece caracterizar positivamente un sistema tan dbil respecto de la negacincomo C es que C no es finitamente trivializable (da Costa et al. 2007: 809). Sinembargo, a partir de la enumeracin ya dada de las reglas que no se satisfacen en C,es posible aventurar una caracterizacin negativa de la negacin. Otra posibilidadconsiste en encontrar reglas mnimas o puras con las que se pueda determinar elsignificado de la negacin en C. La primera alternativa nos enfrenta al problemalgico filosfico de si es posible inferir lo que cierta cosa es partiendo solamentede lo que ella no es, dado que en una metateora clsica sigue valiendo el dictumaristotlico de que no hay inferencias vlidas con todas sus premisas negativas.

Una caracterizacin precisa de la negacin en C debera tambin tener en cuen-ta ciertas peculiaridades. C carece de una negacin fuerte, es decir no es definiblecomo (n)A =df A A(n). Adems, si bien C no es finitamente trivializable, esposible definir una negacin a partir del fragmento implicativo de C siempre queel conjunto de frmulas de C se construya con elementos de un conjunto finitode variables proposicionales8 (Maranho 2001: 29). Resulta sencillo advertir queal carecer de la regla () no se valida Introduccin de de la Doble Negacin enel postsecuente () ni tampoco es posible validar teoremas negados o probarequivalencia de frmulas negadas.

La escuela de da Costa y l mismo entendieron la debilidad del sistema desdeun principio y por ello, para construir la jerarqua de los C-sistemas, en particular C1,adicionan un nuevo operador denominado estabilizador para estabilizar frmulasy simbolizado por de forma tal que A =df (A A) y dos nuevos axiomas, unoque garantiza que las frmulas compuestas por frmulas estabilizadas tambin seportan bien, llamado Propagacin del Buen Comportamiento A B (A B) (AB)(A B) y otro que dota a la negacin de nuevas propiedades B (AB) ((AB)A)). Este ltimo axioma mediante el converso del Metateoremade a Deduccin, se traduce en la regla conocida como Absurdo Paraconsistente (PAb).

Dado que la invalidez de (RAb) en C precisamente impeda todas las formasde explosin, (PAb) debera conservar esa propiedad. Efectivamente, (PAb) expresala explosin frente a frmulas que respetan el Principio de No Contradiccin perono para frmulas cualesquiera. As, la negacin de una frmula estabilizada es unanegacin fuerte en el sentido de que es explosiva. No es necesario discriminar lagraduacin de propiedades de la negacin en los diversos sistemas Cn, pero s se

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requiere aclarar que An abrevia frmulas con un grado de complejidad creciente,siendo que ello hace variar el tipo de frmula que trivializa esos sistemas. O sea, amedida que incrementa n en Cn tal que 0 n la lgica se debilita, C0 es la lgicaclsica y C1 el sistema ms potente dentro de la jerarqua de clculos paraconsisten-tes. Analizaremos pues la negacin en C1 a fin de completar lo expresado respectode ella. Al adicionar (PAb) a C1, se obtienen las reglas clsicas para la negacin peroa condicin de que queden estabilizadas las frmulas que producen explosin. Sinembargo en C1 sigue sin ser vlido el Silogismo disyuntivo y, a menos que A estestabilizada tampoco es teoremas la frmula (A B (A B). Ms an, tambinse satisface en C1 la regla segn la cual, A

, A, A B. Debemos preguntarnos en-tonces qu reglas en secuentes quedan involucradas en la demostracin de (PAb).La solucin nos lleva a reintroducir en el clculo de secuentes la negacin en el pro-secuente que fuera cancelada para C. Pero, si se introduce la regla de Gentzen,la negacin paraconsistente colapsara con la clsica. Para evitar esto es suficienteemplear la regla () (Benassi et al. 2007).

A,, AA,A,

()

Aplicando () es derivable (PAb) en el Clculo de Secuentes.9 Ntese queesta modificacin no reintroduce Pseudo Scotus ni Explosin puesto que A est esta-bilizada. Adems, es posible redefinir la regla para cada uno de los Cn en funcinde la complejidad de las frmulas para las que vale . Para completar el clculo desecuentes se deberan construir reglas para la introduccin del estabilizador, bajo lagua de la definicin de A como (AA) de modo que se cumpla A(AA)y(AA) A.

Agregando la definicin de la negacin fuerte, i.e., A=df A A se completael sistema C1. Esta negacin permite demostrar en C1 la frmula ((A B) ((AB)A)). Sin embargo, en C1 el teorema 20 afirma que el esquema A (AB), donde B es una frmula cualquiera, trivializa a la teora, por lo cual la reglaA B A B no puede ser vlida en C1. Por ello, la negacin en C1 nocolapsa en la clsica, sino que evidencia solamente fallas en la simetra. De ah que,la negacin paraconsistente de C1 impide que se satisfaga el principio de sustitucinde modo que no siempre ser vlido el Principio de Reemplazo de Equivalentes, puestoque la negacin de frmulas equivalentes no siempre es equivalente, al igual que enC. Esto equivale en lgica de secuentes a modificar ().

La mayor diferencia entre C y C1 reside en que C no es finitamente trivializable(da Costa et al. 2007 p.809) mientras que C1 es finitamente trivializable. De hecho,la frmula A A trivializa C1 ya que siendo clsica, entonces se cumple (AA) B (da Costa et al. 2007: 806). Respecto de la negacin fuerte se validanPrincipia 13(3): 35770 (2009).


todos los teoremas clsicos, es decir siempre que las frmulas que pudieran generarexplosin estn estabilizadas. 10

3. La negacin en el sistema LP de G. Priest

Pasemos ahora a analizar la posicin realista de G. Priest, llamada por l mismodialeteismo y expresada esencialmente en su sistema LP y cuyo supuesto filosficoprincipal consiste en sostener que el mundo real es inconsistente ya que en l existendialetheias, i.e., proposiciones que son verdaderas y falsas al mismo tiempo las cualesconstituyen contradicciones genuinas.

El sistema LP de G. Priest (2001) es un sistema trivalente, ya que contiene untercer valor de verdad i. Respecto de las interpretaciones que ha recibido este ter-cer valor en los sistemas trivalentes, el mismo Priest las agrupa en dos clases. Por unlado, estn aquellos sistemas que interpretan este valor como ni verdadero ni falso,como por ejemplo los sistemas que intentan dar cuenta de los futuros contingentes ode los enunciados que contienen propiedades vagas o conceptos que no denotan. Porel otro lado, estn los sistemas que sostienen que hay proposiciones que pueden serverdaderas y falsas al mismo tiempo. Priest da como ejemplos de estas ltimas a lasproposiciones contradictorias de la tradicin hegeliano- marxista, las paradojas dela autorreferencia y ciertas afirmaciones sobre micro objetos de la mecnica cunti-ca. Precisamente para las conectivas de estas proposiciones Priest propone matricescon un tercer valor, el cual ya no puede ser representado por un lugar vaco, sinopor un atasco (glut), y que se encuentra mejor representado por el valor 01,que significa que las proposiciones atmicas pueden tener el valor verdadero y falsosimultneamente. Los restantes valores tienen el sentido habitual, es decir que el va-lor 1 debe leerse como verdadero y el valor 0 como falso. Lo ms significativo de susistema est dado por la matriz para la negacin ya que ella apareja consecuenciasradicales. Su sistema de lgica de las paradojas LP, es el mismo que el sistema K3de Kleene pero tiene la particularidad de que el conjunto de valores distinguidos es{1,01}. De esta forma el significado de la negacin de LP queda determinado por lasiguiente matriz:

A A0 101 101 0

La matriz caracterstica de LP para el conjunto de las conectivas proposicionalespositivas,11 conjuntamente con el considerar el valor 01 como valor distinguido haceque la regla ECQ no resulte vlida y esto se comprueba cuando en la valuacin de la

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premisa AA se toma el valor 1 de la valuacin 01 y el valor 0 de la conclusin B.Si bien este resultado es esperado, el sistema produce otros resultados, algunos deellos bastante extraos.

(i) El Modus Ponens y la Transitividad (TR) no son inferencias vlidas. En efectoMP resulta invlido cuando V (A) = 01 y V (B) = 0 y TR= 0 cuando V (A) = 1,V (C) = 0 y V (B) = 01.

(ii) La contraposicin dbil (A B) (BA) resultan vlida porque su tablaostenta solamente apariciones de los valores 1 y 01, y en LP, 01 es un valordistinguido.

(iii) El principio Tercero Excluido y el Principio de No Contradiccin resultan vli-dos, porque su matriz final contiene solo un caso 01 y este es un valor distin-guido

(iv) La doble negacin AA. es vlida porque su matriz final contiene un caso01 y ste es valor distinguido

(v) Lo paradjico radica en que su sistema permite contradicciones verdaderas.Es decir A A, es verdadera ya que si V (A) = 01 y V (A) = 01, entonces,tomando en cuenta el 1 del valor 01, AA resulta con valor 1 y, por lo tantohay contradicciones verdaderas!

As, la base deductiva de LP queda establecida por las siguientes reglas:12

1) B (A B)2) (A B) (C D) (A D) (C B)3) A C (A B) C4) (A B) C (A C) (B C)5) (A B) A6) A (A B)7) A BBA8) A A9) AA

10) (A B) (AB)A (RAb)Sin embargo se produce el hecho curioso de que son verdades lgicas (teoremas)

pero no inferencias vlidas MP, ECQ y el SD.

((A B) A) B) (AA) B ((A B) A) B

Al igual que otras lgicas subclsicas, en LP el conjunto de las reglas de inferen-cia o inferencias vlidas es menor que el conjunto de verdades lgicas (o teoremas).

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Ahora bien, varias de las reglas de LP requieren de (At), () y ( ), simi-larmente a lo que suceda en varios C-sistemas, en particular con C1. Adems, lavalidez de la transposicin subminimal necesariamente conduce a aceptar en deduc-cin natural la regla RAb y en lgica de secuentes la regla () rechazada en losC-sistemas. Sin embargo, la diferencia fundamental de LP con estos sistemas radicaen la falla en LP del MP como regla. Si ahora nos preguntamos qu implica en unadeduccin no contar con MP como regla de inferencia, estamos en condiciones deresponder que se pierde la regla de Eliminacin del Condicional en Deduccin Na-tural y consecuentemente con la falla de regla de Introduccin del Condicional en elprosecuente () en el clculo de secuentes, pero preservndose ambas reglas deatenuacin. As, es posible afirmar que la caracterizacin del condicional en tantoregla queda manca, lo cual a su vez conlleva a afirmar que el condicional de LP noes el condicional material clsico, sino otro tipo de condicional.

En un trabajo anterior C. Oller y G. Palau (2008) propusieron un sistema desecuentes LP (SLP) sin reglas estructurales En l la negacin de SLP queda caracte-rizada por dos de los siguientes tres axiomas:

Ax.1 , A, A,Ax.2 , A, A,Ax.3 , A, A.

Los dos primeros axiomas garantizan la propiedad de Identidad mientras que eltercer axioma compensa la ausencia de las reglas estndares de la negacin permi-tiendo la prueba de TND mediante la regla operatoria de . Dado que LP carecede MP y que A B es entendida como A B, la regla operatoria () de SLP essustituida por:

, A, B A B,

Las reglas en SLP que contienen solamente la negacin son:

() A, A,

() , A, A

Similarmente a las reglas que A. Avron (2005) enumera como reglas comunes ala negacin de varias lgicas subclsicas, en este sistema se emplean reglas para in-troducir la negacin en combinacin con otras conectivas, a los efectos de bloquearla derivacin en SLP de la regla ECQ y de MP ya que ninguna de ellas permite elpasaje de una frmula del prosecuente al postsecuente ni del postsecuente al prose-cuente. Dado que LP carece de MP, en particular nos interesa destacar las referidasal condicional, ya que ellas se presentan usando la negacin:13

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() , A, B, (A B)

() , A , B, (A B)

Al igual que las reglas presentadas por Avron (2005) la formulacin de estasreglas rompe drsticamente la tesis filosfica que hemos propuesto al comienzo deeste trabajo, a saber, que el significado de cada conectiva lgica est dado por lasreglas de eliminacin e introduccin correspondientes, las cuales a su vez definen lanocin de consecuencia lgica del sistema lgico en cuestin. En sntesis, toda lgicaqueda determinada por la base deductiva formada por el conjunto de reglas que sesatisfacen. En la literatura actual esta tesis ha dado lugar a la propiedad conocidacomo separabilidad de las conectivas lgicas tanto respecto de sus condiciones deverdad como de las reglas que determinan su uso. Se dice que una base deductivaQ es separable si y slo si ella permite caracterizar cada conectiva del lenguaje enforma independiente de las restantes. Ms precisamente una base deductiva Q esseparable si (i) ninguna regla de Q involucra ms de una conectiva y (ii) para cual-quier conjunto de conectivas Ci de Q, las consecuencias lgicas de Ci son iguales alconjunto de las consecuencias lgicas de Q restringidas a las conectivas de Ci (Wj-cicki 1998: 183). La base deductiva de la lgica clsica es en efecto separable, talcomo queda mostrado tanto en la presentacin axiomtica de Hilbert, como en lossistemas de deduccin natural y de secuentes de Gentzen. Por el contrario, la basedeductiva propuesta para LP adolece de ciertas dificultades: 1) No tiene reglas parala negacin sino que en su lugar figuran las de Introduccin y Eliminacin de la Do-ble Negacin y 2) las reglas del condicional (y de las restantes conectivas) involucranpara su eliminacin o introduccin de la negacin. Ergo, la base deductiva de LP, noes separable y por lo tanto el significado de sus conectivas no queda unvocamentedeterminado. Sin embargo, dado que este sistema y en general los sistemas para-consistentes han sido construidos para dar cuenta de la lgica de dominios vagos odifusos o de los que admiten cierto tipo de contradicciones, que las conectivas lgicasde tales sistemas no tengan la propiedad de separabilidad, no resulta un resultadoescandaloso.

4. Comentarios finales

Ahora bien, hasta aqu, hemos analizado las propiedades que necesariamente nodebe cumplir un operador de negacin en un sistema lgico que pretenda tener encuenta el carcter dialctico de la realidad. Sin embargo, las leyes sobre la negacinrechazadas tanto en los clculos C1, . . . , Cn, C como en el sistema LP de Priest hangenerado una negacin ms dbil que la negacin clsica, lo cual ha derivado enque muchos lgicos se pregunten si constituyen realmente una negacin y nos haconducido a preguntarnos qu propiedades debe cumplir un operador de negacin

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para ser considerado una genuina negacin. Cuestin esta que pasaremos ahora aexaminar.

En el libro tradicional sobre lgicas multivaluadas de N. Rescher, ste proponeuna condicin semntica para que un operador sea realmente una negacin. Talrequisito consiste en prohibir que A y A tengan el mismo valor distinguido. Obvia-mente, este requisito no es satisfecho por la negacin del sistema LP de Priest yaque, como se mostr anteriormente, A y A ambas pueden tener el valor 01. Porsu parte, con la negacin del sistema paraconsistente C1 de da Costa et al., aunquesta no sean veritativo funcional, si la V (A) = 0 entonces V (A) = 1 (da Costa et al.2007: 821) y por ello este requisito se cumple parcialmente. En C slo se satisfaceque si V (A) = 1 entonces V (A) = 1 lo cual determina que el requisito se cumplapero respecto de la doble negacin. En otras palabras por una u otra razn en lossistemas estudiados A y A no aparecen distinguibles respecto de la verdad en unsentido clsico.

Creemos oportuno preguntarnos entonces a manera de conclusin al igual queWolfang Lenzen en el trabajo titulado Necessary conditions for negation operators(with particular applications to paraconsistent negation) cules son las propiedadesesenciales o indispensables para cualquier operador de negacin Segn este autor,debe cumplir con el siguiente principio:

CP: Si A es al menos tan verdadero como B, i.e. si A implica lgicamente a B,entonces conversamente B es a lo sumo tan falso como A, i.e. la falsedad de Bimplica lgicamente la falsedad de A. En smbolos: Si A B entonces B A.

Pedir como condicin indispensable (o suficiente) la contraposicin parece bas-tante sensato ya que ste tiene su origen en el esquema de argumento refutatorioempleado por Platn en sus dilogos. Tiene varias formulaciones y la mencionadacorresponde a la versin caracterstica de la negacin minimal. Adems, esta versines considerada la ms dbil, ya que su demostracin slo requiere el uso de la reglade Reduccin al Absurdo que no implica la doble negacin clsica. Ya hemos dichoque la contraposicin minimal resulta invlida en el sistema C, y s es vlida en C1,pero recordando que este resultado se basa en el supuesto de de que la frmula Best estabilizada. El sistema dado LP de Priest cumple con este principio, dado que,(p q) (q p) nunca toma el valor 0 y toma el valor 01 en los casos en losque V (p) = 1 y V (q) = 01, V (p) = 01 y V (q) = 0 y cuando V (p) = V (q) = 01. Pero,como el valor 01 es distinguido, entonces el requisito de contraposicin es vlido y,an cuando no cumpla con la natural exigencia de Rescher, la negacin del siste-ma LP de Priest aparece como constituyendo una negacin genuina, pese a que noposibilite la derivacin de ECQ pero s permita la validez del principio de No Contra-diccin. Finalmente, dado que tanto C1 como LP cuentan con la validez de la forma

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de Reduccin ad absurdum mencionada, es posible concluir que la negacin de lossistemas C1 y LP, aunque no sea la clsica y su formulacin en lgica de secuentestenga los inconvenientes y restricciones sealadas, constituye una genuina negacin.

Bibliografa

Avron, A. 1999. Negation: Two Points of View. In D .Gabbay & H. Wansing (eds.) What isNegation? Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 321.

. 2003. Classical Gentzen-type Methods in Propositional Many-Valued Logics. En M.Fitting & E. Orlowska (eds.) Beyond Two: Theory and Application of Multiple-valued Logic.Heidelberg, New York: Physica-Verlag, p. 11755.

. 2005. A Non deterministic View on Non-classical Negation. Studia Logica 80: 15994.

Benassi, C. & Gentilini, P. 2007. Paraconsistent Provability Logic and Rational EpistemicAgents. En J.-Y. Bziau, W. Carnielli, and D. Gabbay (eds.) Handbook of Paraconsistency.Studies in Logic, vol. 9. London: Kings College Publications, p. 21557.

Bziau, J.-Y. 2000. What is paraconsistent logic? Frontiers of Paraconsistent Logic ResearchStudies Press, p. 95-112.

. 2005. The future of paraconsistent logic. Publicacin electrnica:www/logic/Russian/LogStud/02/ls.

. 2007. Adventures in the Paraconsistent Jungle. En J.-Y. Bziau, W. Carnielli, andD. Gabbay (eds.) Handbook of Paraconsistency. Studies in Logic, vol. 9. London: KingsCollege Publications, p. 6380.

Carnielli, W. A. & Marcos, J. 2001. A Taxonomy of C-systems.http://arxiv.org/abs/math/0108036.

Carnielli, W. A.; Coniglio, M.; Marcos, J. 2007. Logics of Formal Inconsistency. In D. Gabbayand F. Guenthner (eds.) Handbook of Philosophical Logic, 2nd. ed., vol. 4, p.193.

da Costa, N. C. A. & Wolf, R. 1980. Studies in Paraconsistent Logic I: Dialectical Principle ofthe Unity of Opposites. Philosophia (Philosophical Quarterly of Israel) IX(2): 189217.

da Costa, N. C. A.; Krause, D.; Bueno, O. 2007. Paraconsistent Logics and Paraconsistency.In D. M. Gabbay, P. Thagard, and Woods J. (eds.) Handbook of the Philosophy of Science.Philosophy of Logic Volume, Dale Jaquette (ed.) Amsterdam: Elsevier, p. 791911.

Duran, C. & Palau, G. 2008. Ley de Peirce, negacin y lgica paraconsistente. In C. Duranand A. Hebrard (eds.) Actas de las VI Jornadas de Investigacin en Filosofa, vol. II. LaPlata, Argentina: Ediciones al Margen, p.20714.

Gabbay, D. M.; Thagard P.; Woods, J. (eds.) 2007. Handbook of the Philosophy of Science.Philosophy of Logic. Amsterdam: North-Holland, Elsevier.

Gabbay, D. & Gunthner, F. (eds.) 2007. Handbook of the Philosophical Logic, vol. 14. Nether-lands: Kluwer Academic Publishers.

Hacking, I. 1994. What is Logic? In D. Gabbay (ed.) What is a logical System? Oxford: Claren-don Press, p. 133. Publicado por primera vez en The Journal of Philosophy 6: 285318.

Hunter, A. 1996. Paraconsistent Logics. In J.-Y. Beziau and W. A. Carnielli (eds.) Paraconsis-tency with No Frontiers. Studies in Logic and Practical Reasoning vol.4. Amsterdam: NorthHolland-Elsevier, p. 30111.

Principia 13(3): 35770 (2009).


Lenzen, W. 1998. Necesary conditions for negation operators (with particular applicationsto paraconsistent negation). In D. Gabbay et al. (eds.) Handbook of Defeasible Reasoningand Uncertainty Management, vol. 2, Reasoning with Potential Contradictions. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers, p. 21135.

Maranho, J. S. 2001. Some propositional paraconsistent logics. Electronic publication:http://www.uni-leipzig.de/logik/logikalt/max/nkl2/ks16-10.pdf

Marcos, J. 2003. On negation: Pure local rules. Electronic publication:http://www.cs.math.ist.utl.pt/ftp/pub/MarcosJ/04-M-onplr.pdf

Oller, C. & Palau, G. 2008. A Sequent System for LP. CLE-e-Prints 8(6).Priest, G. 1999. What not? A defence of Dialetheic Theory of Negation. In D. Gabbay and H.

Wansing (eds.) What is Negation? Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 10120.Priest, G. 2001. An Introduction to Non- Classical Logic. New York: Cambridge University

Press.Raggio, A. 1968. Propositional sequence-calculi for inconsistent sytems. In A. Raggio (2002),

Andrs Raggio. Escritos Completos (1927-1991), Moreno, A. & Doffi, M. (eds.) BuenosAires: EUDEBA, p. 17991.

Rescher, N. 1969. Many-valued logics. New York: McGraw-Hill Company.Wjcicki, R. 1988. Theory of Logical Calculi, Basic Theory of Consequence Operations. Dordre-

cht: Kluwer Academic Publishers.

GLADYS PALAUDepartamento de Filosofa

Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educacin (FaHCE)Universidad Nacional de La Plata (UNLP)

Universidad de Buenos AiresArgentina

[email protected]

CECILIA DURANDepartamento de Filosofa

Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educacin (FaHCE)Universidad Nacional de La Plata (UNLP)

[email protected]

Resumo. Neste trabalho concorda-se com a tese de I. Hacking segundo a qual o significadodas constantes lgicas dado pelas Regras de Introduo e Eliminao do clculo de sequen-tes de Gentzen que caracterizam a concepo da noo de consequncia lgica abstrata.Perguntamos quais so as regras mnimas que um conectivo deve satisfazer para que sejaconsiderado uma negao genuna. Tomaremos como referncia para tratar dessa questoos C-sistemas de Newton da Costa e o sistema LP de Graham Priest. Finalmente, analisare-mos esses sistemas na lgica de sequentes a fim de mostrar que a negao paraconsistenteou bem carece das regras puras de eliminao e negao da negao ou ela envolve outrosconectivos, o que torna difcil atribuir um significado unvoco negao paraconsistente.

Palavras-chave: Lgica paraconsistente, negao, clculo de sequentes.

Principia 13(3): 35770 (2009).


Notas

1 La demostracin primera se debe en realidad a Gdel, quien demuestra que todas las le-yes clsicas expresadas en trminos de la conjuncin y negacin son leyes intuicionistas yla segunda a Anderson y Belnap (1975) segn quienes las leyes clsicas expresadas conconjuncin, disyuncin y negacin son todas leyes relevantistas.2 En la literatura sobre el tema tambin se menciona que la lgica paraconsistente no cumple, A, A , denominada Explosin (o Pseudo Scotus), pero en el texto nos referiremossiempre a ECQ ya que ellas no se distinguen en una lgica de conclusin nica.3 Hay otra, de origen medieval, que en deduccin Natural utiliza Adicin y Silogismo Dis-yuntivo y que su demostracin en secuentes involucra tambin la regla ().4 En Carnielli y Marcos (2001) la Ley de Dummett, se agrega al conjunto de axiomas de Cpara obtener Cmin (considerado por ellos el ms dbil de la jerarqua de los C- sistemas).5 Otra razn para rechazar Reductio ad absurdum reside en que esta regla permite derivarreglas de la negacin clsica que haran colapsar la negacin paraconsistente con la clsica.6 El rechazo de SD conduce a un resultado paradjico ya que en los C-sistemas no es posiblederivar la frmula B por SD, pero s puede derivarse a partir de ((A B)A) por MP, lo cualimplica el rechazo de la definicin del condicional en trminos de disyuncin y negacin.7 Como se seala en Benassi y Gentilini (2007: 222), si esto no fuera posible, tampoco podrademostrarse A A a partir de A A. Tambin se requiere de este recurso para derivar(AA)A.8 Dicha negacin permite definir una trivializacin parcial (o positiva).9 Tambin se puede optar por agregarla a las ya dadas como regla derivada:

B,1, A B1 B,2, AB21,2A,1,2

10 Otros anlisis (Carnielli et al. 2007) se han dedicado al detallado anlisis de los sistemasde la Lgica de la Inconsistencia Formal determinando que ya no es posible identificar a losC-sistemas con los sistemas Cn de da Costa sino que abarcan un vastsimo campo de sistemasparaconsistentes dentro de los cuales es posible expresar consistencia.11 La matriz de Priest para las restantes conectivas es la siguiente:

LP AB

A B A B A B@@ 1 01 0 1 01 0 1 01 0

1 1 01 0 1 1 1 1 01 001 01 01 0 1 01 01 1 01 010 0 0 0 1 01 0 1 1 1

12 Si se quiere la validez MP como regla de inferencia, hay que cambiar la matriz del condi-cional y se obtendra el sistema RM3.13 Las reglas propuestas para las restantes conectivas son:

() ,A , B,(A B)

() , A, B,(A B)

() ,A,B,(A B)

() , A , B,(A B)

Principia 13(3): 35770 (2009).

Palau, Gladys - El Significado de La Negación Paraconsistente

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