8/15/2019 pag. 503 - 512

1/12

8.7. Regimul deformant în sistemele trifazate

Aşa cum s-a arătat în § 8.5.3, regimul deformant   (sau nesinusoidal) este regimulelectrocinetic alternativ în cadrul căruia forma de undă a cel puin uneia dintre mărimile electricede circuit (t.e.m., curent electric de conducie sau tensiune electrică) nu este sinusoidală.

!n circuitele electronice  (al căror rol constă în procesarea semnalelor) nu se utili"ea"ănoiunea de regim deformant, deoarece multe din aplicaiile electronicii constau în producereaunor semnale electrice cu formă nesinusoidală ( de e#emplu$ dreptung%iulară, triung%iulară sau în

dini de fierăstrău, trenuri de impulsuri, semnale electrice modulate etc. - v. cursul &'emnale,circuite şi sisteme&'').!n alte aplicaii ale electronicii, în care semnalele (mărimile electrice de circuit) tre*uie să-şi

 păstre"e aceeaşi formă de undă, sinusoidală sau nu (cum este ca"ul generatoarelor de semnalsinusoidal, amplificatoarelor, atenuatoarelor etc.), deformarea semnalelor (nedorită în acesteaplicaii) se studia"ă prin aşa numita analiză a distorsiunilor . +istorsiunile se datorescneliniarităii circuitelor electronice şisau caracteristicilor de transfer pe care le au unele dinetaele circuitelor. +eoarece studiul distorsiunilor se face la alte cursuri ('..'., &ăsurărielectronice&, &+ispo"itive şi circuite electronice& ş. a.), în cadrul acestui su*capitol nu va fia*ordat acest ca".

!n circuitele electrice din aplicaţiile industriale (cu puteri mari), regimul deformant apare

cu efecte însemnate în reelele sistemelor energetice locale sau naionale, care toate sunt de tiptrifa"at, cau"ele apariiei acestui regim ( care de la un anumit &nivel& este dăunător şi deciinaccepta*il, tre*uind să fie eliminat) fiind$ alimentarea utili"atorilor cu tensiuni la *ornenesinusoidale (datorate unor imperfeciuni constructive ale alternatoarelor, din centralele electricesau caracteristicilor neliniare ale unor elemente de circuit cu mie"uri magnetice saturate  alternatoare şi transformatoare, aflate în amonte de *arele de alimentare cu energie electrică autili"atorului)/ alimentarea utili"atorilor prin ca*luri trifa"ate su*terane de lungime mare/ efectulcorona (v. 0i"ica) din liniile trifa"ate de transport de înaltă tensiune, de la 1124 în sus/conectarea la reeaua trifa"ată de alimentare cu energie electrică a unor aparate aşa-"is deformante(mutatoare de mare putere, motoare electrice cu &fier& saturat, transformatoare pentru sudare etc.) precum şi a *ateriilor de condensatoare paralel simple folosite la compensarea puterii reactive.

re"ena în reelele electrice trifa"ate a unui regim deformant duce la apariia unor efectenedorite care aduc preudicii, uneori însemnate, at6t consumatorilor c6t şi operatorilor (carereali"ea"ă transportul şi distri*uia energiei electrice), dar şi unor sisteme colaterale (cum ar ficele de telecomunicaii). Aceste efecte dăunătoare constau în aceea că aparatele deformante devingeneratoare de armonici, astfel că între sursele producătoare de tensiuni electromotoaresinusoidale şi între aparatele deformante apare o du*lă circulaie de putere activă$ de la sursă spreaparatul deformant ( pe unda fundamentală) şi în sens invers (pe armonici). 7e"ultă de aici o seriede consecine nefavora*ile reelei şi receptoarelor conectate la reea, care au fost enumerate în §8.5.3 (creşterea puterii aparente prin componenta sa deformantă, creşterea pierderilor de putereactivă în reea şi la consumatori, creşterea impedanei aparente în reea -definită prin  I U   ,

creşterea erorilor aparatelor de măsurat, de comandă - control şi de automati"are, introducerea de para"ii în aparatura şi instalaiile electronice etc.).

8.7.1. Particularităţile regimului deformant în reţelele trifazate 

sursă trifa"ată de tensiuni deformată produce tensiunile$

,sin91

1   ∑=

ω=n

k 

k   t k U u

9:;

8/15/2019 pag. 503 - 512

2/12

(8.39:)

.3

9sin9

,3

9sin9

1

3

1

9

∑

∑

=

=

   

     π+ω=

   

     π−ω=

n

k 

k 

n

k 

k 

k t k U u

k t k U u

 

'e constată că toate armonicele pare sunt nule şi că armonicele de ordin k )   ( ) ( ) ( ) ( )   ....3333 9;959391   ++++=   U U U U U   +acă fa"ele generatorului sunt legate în triung%i ele vor fi parcurse de curentul de circulaie

 produs de tensiunea$

(8.39;)   ,3

9cos91sin91

3912   ∑=         π+ω=++=n

k 

k k t k U uuuu

care este format numai din armonici de ordin trei şi multiplu de trei (pentru 13   ±=   nk   se o*ine2

2 =u ). entru a se evita apariia curenilor de circulaie, generatoarele trifa"ate au, de regulă,

cone#iunea în stea.

8.7.2. Combaterea regimului deformant

+ispo"itivele de compensare a fenomenelor deformante sunt destinate a*sor*iriiarmonicelor. Acest lucru se reali"ea"ă cu compensatoare statice alcătuite din

 *aterii de condensatoare în serie cu *o*ine, alcătuind circuite dipolare  L,C conectate trifa"at (fig. 8.?8) la reeaua de alimentare în curent alternativ.

ondensatoarele şi *o*inele tre*uie să ai*ă factori înali de calitate pentru a nu produce pierderi de putere activă. @le formea"ă circuitere"onante serie, acordate pe frecvena armonicii de compensat. entru ofiltrare eficientă a armonicilor produse de receptoarele deformante tre*uiecunoscute at6t structura armonică a undelor de tensiune şi curent, c6t şi parametrii reali ai circuitelor.

!n principiu, calculul unui compensator static al fenomenelor reactiveşi deformante se face astfel$

- se determină capacitatea C   a condensatorului, în aşa fel înc6t, să fiecompensată puterea reactivă pe fa"ă   f  Q $

(8.398) /9  9

11U   f  QC    f     π=  

- se calculea"ă inductivitatea  ν L  conectată în serie cu condensatorul,astfel înc6t să se o*ină acordul de circuit re"onant serie pe armonica  ν  ce tre*uie a*sor*ită$(8.39?)   ( )   .91   91  f  C  L   πν= ν  

entru o proiectare eficientă tre*uie să se ină seama însă de reactana ec%ivalentă a reeleide alimentare, de toleranele elementelor de circuit, de efectul circulaiei altor armonici, deefectele derivei termice, de re"onana paralel filtrureea etc. @ste posi*il, însă, ca însuşi filtrul să

devină, în anumite condiii de e#ploatare, un aparat deformant prin amplificarea unor armonici de9:8

0ig. 8.?8

8/15/2019 pag. 503 - 512

3/12

ordin superior. +e aceea este necesar ca, în funcie de condiiile locale de lucru, parametriifiltrului să poată fi austai corespun"ător.

+eoarece condiiile locale de lucru ale filtrului pot fi temporare, o e#ploatare raională acompensatoarelor statice necesită verificarea periodică, prin măsurări, a încărcării cu armonici şi aacordului filtrului.

8.8. Cazuri aparte în studiul circuitelor electrice

!n cadrul acestui su*capitol vor fi pre"entate c6teva situaii mai deose*ite care intervin,adeseori, în studiul circuitelor electrice şi anume$- regimul tran"itoriu al circuitelor electrice/- comportarea circuitelor electrice în radiofrecvenă/- circuite electrice cu parametrii de circuit neliniari/- repre"entarea circuitelor electrice ca dipori (cuadripoli)/- liniile electrice lungi.

8.8.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor electrice

+in punctul de vedere al evoluieiB în timp, regimul electrocinetic al circuitelor electrice

(staionar sau nestaionar) poate fi permanent şi tran"itoriu. Regimul permanent  este acela în care mărimile ce caracteri"ea"ă sistemul electrocinetic îşi

 păstrea"ă mereu aceleaşi valori$ în regim staionar (de curent continuu) mărimile electrice decircuit (t.e.m., tensiunile la *orne şi curenii) sunt constante în timp, parametrii de circuit auaceeaşi valoare (re"istene sau conductane) şi structura reelei se păstrea"ă aceeaşi în regimnestaionar, mărimile electrice de circuit au tot timpul aceeaşi formă de undă (cu aceleaşi valorima#ime şi minime, aceleaşi valori efective, aceeaşi fa"ă iniială şi aceeaşi pulsaie), iar componentele electrice de circuit, mereu în aceeaşi structură, au parametrii de circuit(re"isteneconductane, capacităielastane, inductivităi-proprii şi mutuale) nesc%im*ai. +acăcel puin una din caracteristicile electrocinetice (înşiruite anterior) se modifică, atunci circuitulelectric trece la alt regim permanent.

Această trecere de la un regim electrocinetic permanent la alt regim electrocinetic permanent nu se poate face instantaneu, ci numai printr-un regim varia*il în timp denumit regimtranzitoriu. 'altulB de la un regim permanent la altul nu poate fi *rusc (de tip treaptă) deoarecesc%im*area stării permanente duce la modificări ale c6mpurilor electromagnetice aferentecircuitului ceea ce implică anumite transferuri de energie electromagnetică, de forma$

∫ =9

1

d P 

 P 

U 

U 

e   uqW    electrică şi ∫ ϕ=9

1

d P 

 P 

 I 

 I 

m  iW    magnetică,

(v. § 1.5.3) în care U  P, U  P!  şi  I  P,  I  P!  sunt valorile caracteristice ale tensiunilor şi curenilor înregimurile permanente şi ! ce încadrea"ăB regimul tran"itoriu. um un transfer instantaneu al

acestei energii (oric6t de mici) ar însemna ca derivatele lor în raport cu timpul (dW e∪ mdt ) să fieinfinite, adică un dt 

8/15/2019 pag. 503 - 512

4/12

a urmare, din punctul de vedere al definiiilor date, funcionarea unui circuit electric poatefi privită ca o înşiruire de regimuri permanente şi tran"itorii. +eşi practic scurt, în unele aplicaii,anali"a regimului tran"itoriu este determinantă, rolul ei const6nd în a e#prima cum varia"ă în timpmărimile de stare electrocinetică şi ce parametru timp îi este caracteristic (care, după cum se vavedea, se numeşte constantă de timp şi se notea"ă mai întotdeauna cu τ).

Modele de calcul ale regimului tranzitoriu

modalitate de descriere a trecerii de la un regim permanent la altul o constituieintroducerea unei modificări *ruşte a unei mărimi de stare a circuitului electrocinetic anali"at (de pildă conectarea *ruscă a unei surse electrice cu t.e.m. continuă sau sinusoidală). Acest lucru se poate face prin utili"area funciei treaptă unitate a lui Deaviside (v. § ?.1.:) definită astfel$

(E7 1)   ( )

>⇒

8/15/2019 pag. 503 - 512

5/12

adică de treapta unitate Deaviside #  definită prin e#presia (E71) multiplicată cu  $ . +upăînc%iderea *ruscă a întrerupătorului  % , urmea"ă regimul tran"itoriu de încărcare acondensatorului, în care sarcina electrică pe armăturile condensatorului (q), curentul electric dincircuit (i) şi tensiunea la *ornele condensatorului (uc) sunt funcii de timp$ q&t', i&t' şi uc&t'/ scopulanali"ei acestui regim tran"itoriu (de încărcare a condensatorului electric) este tocmai acela de adetermina aceste funcii de timp.

odelul original (iniial), al acestui regim tran"itoriu (cu sensurile de referină indicate caîn figura 8.81) este (după cum se ştie din su*cap. 8.:)$

∫ +=   t iC  Riu   d1

,

∫ =   t iq   d    şi i

8/15/2019 pag. 503 - 512

6/12

unde Q este sarcina electrică a condensatorului în noul regim permanent.7epre"entarea grafică a soluiei (E7 ?) este dată în figura 8.89 a/ aşadar condensatorul se

încarcă e#ponenial, vite"a de încărcare depin"6nd de constanta de timp I (aici I

8/15/2019 pag. 503 - 512

7/12

(E7 11)  +,C$ 

 +,

C$ =∴=   I

I,

adică I &constanta de timp' este egală cu su"tangenta la cur"a q&t'  în punctul considerat (îne#emplul din figura 8.89" este su*tangenta  +,  în punctul *, în origine, aşa cum se arată înfigura 8.89c)/

  dacă se consideră t 

8/15/2019 pag. 503 - 512

8/12

( )

( ) ( )[ ]   99II9I9

I9I

9

I9I

9

9

11

9

119

9

1

19I9

1

9

I

9

III

C 

t t t 

t t t t 

 R $ 

Cue $ C ee RC  R

 $ 

ee R

 $ ee

 R

 $ W W 

=−=++−⋅=

=++−⋅=   

   −++−=−

−−−

−−−−

repre"intă energia electrică acumulată în c6mpul electric al condensatorului cu capacitateaelectrică C , corespun"ător valorii uc a tensiuni la *ornele sale.

onsider6ndu-se din nou sc%ema din figura 8.81, dacă se ia R) arată că intensitatea curentului i depinde de valoarea saltului Q-

+eşi distri*uia +irac, R(t ), nu este de tip funcie, se poate calcula cu funcii care sunt  .irurireprezentati/e 0irac şi care converg sla* către distri*uia +irac. onvergena sla*ă face metodainutili"a*ilă în calculul numeric. entru e#emplul condensatorului, la care prin e#presia (E7 19)s-a determinat$

Idd

  t e

 R

 $ t qi  −== ,

dacă se consideră 2→ R , atunci 2→τ    şi se o*ine şirul repre"entativ +irac$

(E7 1;)I

It 

e−

.

95:

8/15/2019 pag. 503 - 512

9/12

7epre"entarea grafică a şirului (E7 1;) e-t II

8/15/2019 pag. 503 - 512

10/12

Gu6ndu-se ecuaia omogenă iτ=didt 

8/15/2019 pag. 503 - 512

11/12

entru a se e#emplifica şi modalitatea de utili"are a calculului operaional *a"at petransformata Gaplace în studiul regimului tran"itoriu al circuitelor electrice, se va determinae#presia curentului i(t) ca soluie a ecuaiei (E7 9:) aplic6ndu-se acestei ecuaii, în fiecaremem*ru, transformata Gaplace (v. § ?.1.:). 'e va o*ine (consider6ndu-se condiiile iniiale nule)$

(E7 95) L   =

++ ∫   t iC t 

i L Ri   d

1

d

dL ,

1)(

1)T(U   $ 

 s sl 

 sc sL Rt  $#   =   

   ++→  

de unde re"ultă transformata Gaplace a curentului Q(s)$

(E7 9>) LC 

 s L

 R s

 L

 $ 

 sc sL R s

 $ 

 s I  1

1

)1()( 9 ++⋅=++=  .

introduc6ndu-se notaiile$ R L < 9M şi 1 LC  < V29 ,

unde M repre"intă atenuarea circuitului şi V2  pulsaţia oscilaţiilor li"ere ale circuitului G, (v. §8.8.9), e#presia transformatei Gaplace a curentului devine$

(E7 9;)   ,9

1)(

9

2

9ω α    ++

⋅= s s L

 $  s I   

care este de forma unei fracii raionale P ( s)Q( s) cu$ P ( s) ≡ 1 şi Q( s) ≡  s9 = 9α s = ω 29 ,

av6nd, deci, originalul (ca funcie de timp) dată de teorema de de"voltare a lui Deaviside (v. §?.1.:) şi anume$

L -1

t  sn

k    k 

k    k 

 sQ

 s P 

 sQ

 s P e)(W

)(

)(

)(

1

∑=

=

  ,unde QX( s) < dQ( s)d s  în ca"ul e#presiei (E7 9;) QX( s) < 9 s  = 9M iar sk (k  < 1,9,...,n) suntrădăcinile simple ale ecuaiei Q( s) < 2, care pentru ca"ul relaiei (E7 9;) sunt$

 s9 = 9M s = V29 < 2 ⇒  s1,9 < −α±   .V

M1VMVM

9

2

2

9

2

9

   

  

 −±−=−   3  

Atunci e#presia curentului i(t ), din regimul tran"itoriu al circuitului  R,  L, C   serie (v. fig.8.8>), este$

+   

 

 

 

 

   

  

 −−−

+

+   

 

 

 

 

   

  

 −+−

= 

 

 

±α−

   

 

 

 

 

   

  

 −±α−

e

  3

e

  3

 L

 $ t i

t  2 ,V

9

2

2

M9V

M1VM9

1

M9V

M1VM9

1)(

9

2

2

V

M1 ,V

9

2

2

sau, în definitiv$

95;

0ig. 8.8>

8/15/2019 pag. 503 - 512

12/12

(E7 98).

V

M1Vsine

V

M1

1

V

9

2

29

2

2

t  L

 $ i   t    

 

  

 −

   

  

 −

⋅=   α− 

958