REFLEXÃO

• Uma reflexão no plano é um movimento rígido que move um objecto para uma nova posição, que é imagem pelo espelho da posição inicial. A duas dimensões o espelho é apenas uma linha chamada o eixo da reflexão.

ROTAÇÃO

• A rotação de centro O e amplitude x é a transformação que envia O em si mesmo e envia um ponto P diferente de O num ponto P' tal que |OP| = |OP'| e tal que o ângulo orientado ( OP, OP’ ) tem amplitude x.

TRANSLAÇÃO

• A translação definida por um vector AB é a transformação que a cada ponto C do plano faz corresponder um ponto D tal que:

D = C + AB

REFLEXÃO DESLIZANTE

• Uma reflexão deslizante, tal como o nome sugere, é um movimento rígido que consiste numa translação seguida de uma reflexão ou vice-versa. O eixo da reflexão deve ser paralelo à direcção de translação.

PADRÕES

O que é um padrão?

É a repetição de forma regular de uma figura inicial, denominada o motivo do padrão, obedecendo a uma determinada disposição que caracteriza esse padrão.

Classificação de padrões

Os padrões classificam-se em dezassete tipos diferentes, cada um deles relacionado com um grupo de simetria. Esta classificação é feita atendendo aos tipos de simetria que cada padrão contém.

Grupo 2 - p2

Contém rotações de 180º.

Grupo 1 - p1

Contém apenas translações. Os dois eixos de translação podem fazer um ângulo qualquer entre eles.

Grupo 3 - pm

Contém reflexões, cujos eixos são paralelos

a uma direcção da translação e perpendicular a outra.

Grupo 4 - pg

Contém reflexões deslizantes, cuja direcção

é paralela a uma direcção da translação e

perpendicular a outra.

Grupo 5 - cm

Contém reflexões e reflexões deslizantes

com eixos paralelos. Os eixos de reflexão

bissectam o ângulo formado pelas direcções

das translações.

Grupo 6 - pmm

Contém eixos de reflexão perpendiculares.

Grupo 7 - pmg

Contém reflexões e rotações de 180º .

Grupo 8 - pgg

Contém reflexões deslizantes e rotações de 180º. Os centros de rotação não se encontram nos eixos de reflexão que são perpendiculares.

Grupo 9 - cmm

Contém eixos de reflexão perpendiculares e rotações de 180º. Os centros de rotação não se encontram nos eixos de reflexão.

Grupo 10 - p4

Contém rotações de 90º e de 180º. Os centros de rotação de 180º estão entre os centros de rotação de 90º.

Grupo 11 - p4m

Contém rotações de 90º e de 180º e também reflexões. Os centros de rotação encontram-se nos eixos de reflexão.

Grupo 12 - p4g

Contém rotações de 90º e de 180º e também reflexões. Os eixos de reflexão são perpendiculares.

Grupo 13 - p3

Contém rotações de 120º.

Grupo 14 - p31m

Contém rotações de 120º, mas também reflexões cujos eixos fazem um ângulo de 60º.Alguns centros de rotação encontram-se nos eixos de reflexão, outros não.

Grupo 15 - p3m1

Contém rotações de 120º, mas também reflexões cujos eixos fazem um ângulo de 60º. Os centros de rotação encontram-se todos nos eixos de reflexão.

Grupo 16 - p6

Contém rotações de 60º, de 120º e de 180º.

Grupo 17 - p6m

Todos os centros de rotação estão em eixos de reflexão.

FRISOS

O que é um friso?

Os frisos são padrões em que existem apenas translações de simetria numa direcção.

Existem apenas sete tipos possíveis de frisos. Cada friso é identificado com dois símbolos.

O primeiro símbolo – m ou 1 – indica se o friso tem ou não eixo de simetria vertical.

O segundo símbolo – 1, 2, g ou m – indica se existe outro tipo de simetria.

m: se for o primeiro símbolo, tem uma simetria vertical – reflexão de eixo vertical;

se for o segundo símbolo, tem uma simetria horinzontal – reflexão de eixo horizontal.

1: se for o primeiro símbolo, não tem simetria vertical; se for o segundo símbolo, não tem mais nenhuma simetria além da

indicada pelo primeiro símbolo.

2: rotação de 180º

g: simetria horizontal seguida de translação – reflexão deslizante

Classificação dos frisos

Friso Isometria Notação

1. Translação 11

Exemplo

2. Rotação de 180º 12

Exemplo

3. Reflexão horizontal 1m

Exemplo

                                                   

4. Reflexão deslizante 1g

Exemplo

5. Reflexão vertical m1

Exemplo

6. Reflexão vertical seguida mg

de reflexão deslizante

Exemplo

7. Reflexão vertical seguida mm

de horizontal

Exemplo

          

PAVIMENTAÇÕES

O que é uma pavimentação?

É um conjunto numerável de mosaicos ou ladrilhos (que são conjuntos planos cuja fronteira é uma curva simples fechada, isto é, sem se cruzar a si própria e sem ramos) que cobrem o plano sem espaços intermédios nem sobreposições.

Os vértices das pavimentações são os pontos de intersecção de três ou mais ladrilhos ( e não, os vértices dos ladrilhos! ).

vértice

As arestas da pavimentação são os arcos, linhas poligonais ou simples segmentos que são intersecção de dois ladrilhos ( e não, os segmentos que constituem os lados dos ladrilhos! ).

aresta

Classificação das pavimentações

Pavimentações monoédricas ou puras: São pavimentações formadas por um único ladrilho.

Pavimentações regulares:

São pavimentações monoédricas em que os ladrilhos são polígonos regulares congruentes (ou seja, com o mesmo tamanho e forma).

Nota: Não são consideradas pavimentações regulares todas aquelas em que a cada vértice concorre, pelo menos, um dos lados do polígono.

Sabias que...

Um polígono regular pavimenta se a soma dos ângulos internos em torno de cada vértice for 360º.

Deste modo, as únicas pavimentações regulares possíveis são aquelas em que o ladrilho é um triângulo equilátero, um quadrado ou hexágono regular.

Assim, um pentágono não pavimenta.

Pavimentações arquimedianas ou semi-regulares: São pavimentações formadas por 2 ou mais polígonos regulares e

em que os vértices da pavimentação são todas do mesmo tipo.

Dois vértices são do mesmo tipo se são da mesma espécie ( isto é, quando os algarismos que constam do seu código são os mesmos, mesmo que por uma ordem diferente ) e têm igualmente ordenados os números dos seus códigos.

Dos 21 tipos de vértices apenas para 11 é possível construir uma pavimentação.

                                

                                   

                                          

                          

 

                      

 

                            

 

                        

 

                              

 

                                

 

                  

 

                      

 

                        

                                

                                   

                                          

                          

Pavimentações demiregulares:

São pavimentações constituídas por mais de um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices.

Pavimentações aperiódicas: São pavimentações onde não existe um padrão que se repita,

apesar de ser possível haver uma cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições.

                                                                                   

                                                                                            

                                                                                   

                                                                                            

                                                                                   

                                                                                            

 

Raphael Robinson apresentou um conjunto de seis ladrilhos que apenas admite pavimentações não periódicas:

De facto, cada um destes ladrilhos isolados, ou com alguns do

mesmo conjunto não admite pavimentações periódicas, mas o conjunto dos seis admite pavimentações não periódicas.

Vejamos agora uma pavimentação aperiódica construída com este conjunto de protoladrilhos, isto é, ladrilhos com os quais é possível construir uma pavimentação do plano.

Conjunto de protoladrilhos aperiódicos de Robinson

 

EMPACOTAMENTOAlgumas aplicações práticas

1. Empacotamento de caixas Considere um contentor de 2 m de largura, 4 m de comprimento e 2.5 m

de altura, para transporte de mercadorias embaladas em caixas na forma de paralelepípedos com 70 cm de comprimento, 50 cm de largura e 30 cm de altura.

Admita que as caixas podem ser colocadas em qualquer uma das três posições

A. B. C.

Pretende-se investigar qual o maior número de caixas que é possível inserir no contentor, se estas forem colocadas na posição B.

Efectuemos os cálculos. Assim, é possível inserir:

- na largura do contentor: 2 / 0.7 = 2.86, ou seja, 2 caixas

- no comprimento do contentor: 4 / 0.5 = 8 caixas

- na altura do contentor: 2.5 / 0.3 = 8.33, ou seja, 8 caixas

Logo, nesta posição, é possível inserir, no contentor, 2*8*8=128 caixas.

Admitindo que as caixas são todas colocadas na mesma posição, pretende-se agora investigar qual das posições indicadas se deveria escolher para transportar o maior número possível de caixas, no contentor.

Relativamente à posição A, é possível colocar:

- na largura do contentor: 2 / 0.7 = 2.86, ou seja, 2 caixas

- no comprimento do contentor: 4 / 0.3 = 13.33, ou seja, 13 caixas

- na altura do contentor: 2.5 / 0.5 = 5 caixas

Portanto, nesta posição, é possível colocar, no contentor, 2*13*5=130

caixas.

No que diz respeito à posição B, já vimos anteriormente que se podiam colocar, no contentor, 128 caixas.

Em relação à posição C, é possível inserir:

-na largura do contentor: 2 / 0.5 = 4 caixas

-no comprimento do contentor: 4 / 0.7 = 5.71, ou seja, 5 caixas

-na altura do contentor:2.5 / 0.3 = 8.33, ou seja, 8 caixas

Isto significa que, ao todo, é possível inserir, no contentor, 4*5*8=160caixas.

Conclusão: É possível transportar maior número de caixas dentro do contentor se estas forem colocadas na posição C.

2. No hipermercadoNuma iniciativa promocional, de um hipermercado,

vendem-se conjuntos de três frascos de shampoo com oferta de um amaciador. O gerente optou por agrupar os quatro frascos cilíndricos, todos de 6 cm de diâmetro, envolvendo-os no mesmo tipo de fita.

Pretende-se determinar qual das disposições apresentadas exige menor quantidade de fita.

F I M