P.a. e p.g.

Prof.: Rodrigo Carvalho


PROGRESSÃO ARITMÉTICA(P.A.) É uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor adicionado a uma constante r, chamada de razão.

Exemplos:

a) (3, 5, 7, 9, 11,...) P.A.a1 = 3 e r = 2

b) (8, 4, 0, -4, -8,...) P.A.a1 = 8 e r = -4

c) (5, 5, 5, 5, 5,...) P.A.a1 = 5 e r = 0

Tipos de P.A.:a) Crescente: P.A. cuja razão é positiva(r > 0).b) Decrescente: P.A. cuja razão é negativa(r < 0).c) Constante: P.A. cuja razão é nula(r = 0).


Cálculo da razão de uma P.A.: Para determinarmos a razão de uma P.A., basta subtrairmos um termo qualquer(à exceção do 1º) pelo seu antecessor.

r = an – an-1

Exemplo: Se x-1, 2x+1 e 4x são, nesta ordem, termos consecutivos de uma P.A., determine sua razão.


Fórmula do termo geral de uma P.A.

(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.A.

a2 = a1 + ra3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3ra5 = a1 + 4ra6 = a1 + 5r

...an = a1 + (n-1)r

*OBS: an = ak + (n-k)r

a6 = a2 + 4rExs:

a10 = a7 + 3r


Exemplos:

a) Numa progressão aritmética de1º termo igual a 11, sabe-se que a razão vale 3. Determine o 10º termo dessa P.A.

b) Determine a razão da P.A. cujo 1º termo é 22 e o 6º é -32.

c) A soma do 1º com o 3º termos de uma P.A. é igual a 16, e a soma do 4º com o 7º vale -5. Determine o 12º termo dessa progressão.


Propriedades

1ª) (..., a, b, c, ...) P.A.

b =2

a + c

Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética do seu antecessor com seu sucessor.

2ª) (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) P.A.

a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...

Numa P.A. com n termos, a soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.


*OBS: Numa P.A. com um número ímpar de termos, o termo médio(am) é a média aritmética dos termos dos extremos.

am =2

a1 + an

Numa P.A. genérica, podemos representar seus termos de maneira a simplificar nossos cálculos.

- 3 termos em P.A.

- 5 termos em P.A.

- 4 termos em P.A.

(..., x - r, x, x + r, ...)

(..., x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r, ...)

(..., x - 3r, x - r, x + r, x + 3r, ...)


Soma dos n termos de uma P.A. (Sn)

(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.A.

Sn = 2(a1 + an ) . n

Ex: Numa progressão aritmética de 1º termo igual a 36, sabe-se que a razão vale -3. Determine a soma dos 12 primeiros termos dessa P.A.


PROGRESSÃO GEOMÉTRICA(P.G.) É uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por uma constante q, chamada de razão.

Exemplos:

a) (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...) P.G.a1 = 1 e q = 2

b) (-25, -5, -1, -1/5,...) P.G.a1 = -25 e q = 1/5

c) (6, 3, 3/2, 3/4, 3/8,...)a1 = 6 e q = 1/2

P.G.

d) (-6, -12, -24, -48, -96,...) P.G.a1 = - 6 e q = 2

e) (3, -6, 12, -24, 48,...)P.G.a1 = 3 e q = - 2

f) (5, 5, 5, 5, 5,...) P.G.a1 = 5 e q = 1

g) (7, 0, 0, 0, 0,...)P.G.a1 = 7 e q = 0

h) (0, 0, 0, 0, 0,...)P.G.a1 = 0 e q: qualquer valor real


Tipos de P.G.:

a) Crescente: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1

b) Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1

c) Alternante ou Oscilante: q < 0

d) Constante ou Estacionária: q = 1

e) Singular: q = 0 ou a1 = 0

*OBS: Toda P.G. constante também é uma P.A. constante, de razão r = 0.


Cálculo da razão de uma P.G.: Para determinarmos a razão de uma P.G., basta dividirmos um termo qualquer(à exceção do 1º) pelo seu antecessor.

q =

Ex: (UEFS) Adicionando-se a mesma constante a cada um dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão geométrica de razão igual a:

an

an-1

a) 2/5 b) 4/3 c) 2 d) 5/2 e) 3


Fórmula do termo geral de uma P.G.

(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.G.

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = a1 . q . q = a1 . q32

a5 = a1 . q4

.

..an = a1 . q n - 1

*OBS: an = ak . qn - k

Exs: a5 = a2 . q3

a9 = a4 . q5


Exemplos:

a) Numa progressão geométrica de 1º termo igual a 32, sabe-se que a razão vale 1/4. Determine o 7º termo dessa P.G.

b) Determine a razão da P.G. cujo 3º termo é 1/27 e o 7º é 81.


Propriedades

1ª) (..., a, b, c, ...) P.G.

b = a . c

Dados três termos consecutivos de uma P.G., o termo do meio é a média geométrica entre seu antecessor com seu sucessor.

2ª) (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) P.G.

a1 . an = a2 . an-1 = a3 . an-2 = ...

Numa P.G. com n termos, o produto dos termos dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos extremos.

2


Os números reais a e b são tais que a seqüência (–6; a; b) é uma PA de razão r e (a; b; 48) é uma PG, de razão q. O número de divisores positivos do produto rq é:

a) 9

b) 8

c) 6

d) 4

e) 3


*OBS: Numa P.G. com um número ímpar de termos, o termo médio(am) é a média geométrica dos termos dos extremos.

am = a1 . an

Numa P.G. genérica, podemos representar seus termos de maneira a simplificar nossos cálculos.

- 3 termos em P.G.

- 5 termos em P.G.

- 4 termos em P.G.

2

P.G. ...) , x.q, x , q

x , (...

P.G. ...) , x.q, x.q, x , q

x ,

q

x , (... 2

2

P.G. ...) , x.q, x.q, q

x ,

q

x , (... 3

3


A soma dos três termos de uma progressão geométrica é 31 e o produto deles é 125. Se a P.G. é crescente, a sua razão é:

a) 5 e 1/5

b) 3 e 1/3

c) 5

d) 3

e) 1/5


Soma dos n termos de uma P.G. (Sn)

(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.G.

Sn =q - 1

a1.(q - 1 )

Ex: Determine a soma dos 6 primeiros termos de uma P.G., sabendo que o 2º termo vale 2 e o 5º é igual a 16

n


Soma dos infinitos termos da P.G. convergente ( )

Ex: Uma P.G. com a1 = 4 e q = 1/2.

S

q1

aS 1

Uma P.G. é convergente quando, ao calcularmos cada novo termo dessa progressão, cada vez mais ele se aproxima de zero.

(4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) P.G.

A soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente é calculada pela fórmula


Se a soma dos termos de uma progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; ...) é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:

a) 1/3b) 2/3c) 1d) 2e) 1/2


A solução da equação no

universo R, é um número:

a) primo

b) múltiplo de 3

c) divisível por 5

d) fracionário

e) quadrado perfeito

,12...32

1x

8

1x

2

1x


Interpolação(aritmética ou geométrica)

Interpolar = inserir, colocar, ...

Ex: Interpole 4 meios aritméticos entre 3 e 28.

Basta determinar a razão da progressão

Sugestão de exercícios:

CAPÍTULO 01

Questões: 5, 6, 8, 9, 14, 17, 22, 25, 31, 36, 42, 49, 53, 55, 63, 66, 70, 74, 79, 84, 86, 89 e 100.

VERMELHO: P.A.VERDE: P.G.

P.a. e p.g.

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