Linearno

programiranje

Prof. dr. sc. Kristina Šorić

Zagrebačka škola ekonomije i

managementa (ZŠEM)

ksoric@zsem.hr

Zagreb, 1.7.2013. 1

Sadržaj

Sustav linearnih nejednadžbi –

modeliranje

Grafičko rješavanje sustava linearnih

nejednadžbi

Linearno programiranje

Grafička metoda za rješavanje problema

linearnog programiranja

2

Sustav linearnih

nejednadžbi -

modeliranje

3

4

Primjer. Turistička agencija planira unajmiti

veće i manje autobuse za jedan izlet. Svaki veći

autobus može prevesti 40 putnika i treba 3

vodiča. Svaki manji autobus može prevesti 8

putnika i treba 1 vodiča. Agencija organizira izlet

za najmanje 400 osoba i ima 36 vodiča.

Opišite algebarski (kao sustav linearnih

nejednadžbi) skup svih mogućih kombinacija

broja unajmljenih velikih i malih autobusa koje

zadovoljavaju ograničenja

na broj putnika i broj vodiča

za planirani izlet.

5

Agencija organizira

izlet za...

... najmanje 400

putnika, a ...

... raspolaže s 36

vodiča

6

U tu svrhu agencija

unajmljuje ...

... veće i ... ... manje autobuse

7

Agencija

Broj većih Broj manjih

autobusa autobusa

Koliko? Koliko?

Odluka!

8

Kako donijeti odluku?

U skladu s ograničenjima:

minimalan broj putnika na izletu je 400

maksimalan broj vodiča na izletu je 36

9

Zadani parametri problema:

Veći autobus: broj putnika: 40

potreban broj vodiča: 3

Manji autobus: broj putnika: 8

potreban broj vodiča: 1

10

Varijable odlučivanja (o čemu odlučujemo?):

- broj većih autobusa

- broj manjih autobusa

1x

2x

0,21

Nxx

Prvo ograničenje: minimalan broj putnika

na izletu je 400

Ukupan broj putnika na izletu = broj

putnika u većim autobusima + broj putnika

u manjim autobusima

11

Svaki autobus je za agenciju trošak, pa će

u autobuse smještavati maksimalan broj

putnika (dakle, 40)

12

Broj putnika u većim autobusima = 40*

broj većih autobusa

Broj putnika u većim autobusima = 40*

13

1x

40

40

40

Broj putnika u manjim autobusima = 8*

broj manjih autobusa

Broj putnika u manjim autobusima = 8*

14

2x

8

88

Ukupan broj putnika na izletu = broj

putnika u većim autobusima + broj putnika

u manjim autobusima

Dakle, ukupan broj putnika na izletu je

maksimalno jednak

Taj broj mora iznositi minimalno 400:

15

21 840 xx

40084021 xx

Drugo ograničenje: agencija raspolaže s

36 vodiča

Ukupan broj vodiča = broj vodiča iz većih

autobusa + broj vodiča iz manjih autobusa

16

Broj vodiča u većim autobusima = 3* broj

većih autobusa

Broj vodiča u većim autobusima = 3*

17

1x

3

3

3

Broj vodiča u manjim autobusima = 1* broj

manjih autobusa = broj manjih autobusa

Broj putnika u manjim autobusima =

18

2x

1

11

Ukupan broj vodiča = broj vodiča u većim

autobusima + broj vodiča u manjim

autobusima

Dakle, ukupan broj vodiča je jednak

Taj broj može iznositi maksimalno 36:

19

213 xx

36321 xx

20

Sustav linearnih nejednadžbi

- broj većih autobusa

- broj manjih autobusa

1x

2x

0,21

Nxx

40084021 xx

36321 xx

21

Napomena: mi ćemo pretpostavljati da su

varijable odlučivanja veće ili jednake nuli

40084021 xx

36321 xx

0, 21 xx

22

Pitanje 1.: Može li agencija unajmiti 7

većih i 15 manjih autobusa?

Matematički, provjeravamo je li rješenje

moguće rješenje. U tu svrhu provjeravamo

jesu li zadovoljena sva ograničenja!

)15,7(

23

Prvo ograničenje:

Zadovoljeno!

Drugo ograničenje:

Zadovoljeno!

40015874040084021

xx

400400

36157336321

xx

3636

24

Dakle, unajmi li agencija 7 većih i 15

manjih autobusa, broj putnika će biti 400.

40015874040084021

xx

400400

Minimalno zahtijevani

broj putnikaStvaran broj putnika

25

Nadalje, unajmi li agencija 7 većih i 15

manjih autobusa, iskorištenost vodiča će

biti maksimalna, 36.

Raspoloživi broj vodičaStvaran broj vodiča

36157336321

xx

3636

26

Pitanje 2.: Može li agencija unajmiti samo

12 većih autobusa?

Matematički, provjeravamo je li rješenje

moguće rješenje. U tu svrhu provjeravamo

jesu li zadovoljena sva ograničenja!

)0,12(

27

Prvo ograničenje:

Zadovoljeno!

Drugo ograničenje:

Zadovoljeno!

40008124040084021

xx

400480

36012336321

xx

3636

28

Pitanje 3.: Može li agencija unajmiti samo

10 većih autobusa?

Matematički, provjeravamo je li rješenje

moguće rješenje. U tu svrhu provjeravamo

jesu li zadovoljena sva ograničenja!

)0,10(

29

Prvo ograničenje:

Zadovoljeno!

Drugo ograničenje:

Zadovoljeno!

40008104040084021

xx

400400

36010336321

xx

3630

30

Pitanje 4.: Uz pretpostavku da najam

većeg autobusa košta $1200, a najam

manjeg autobusa $450, izračunajte

ukupne troškove najma za sve tri

navedene kombinacije.

Rješenje. Ukupan trošak najma je jednak:

21 4501200 xx

Ukupan trošak najma:

Ukupan trošak najma:

31

)15,7(

1515015450712004501200 21 xx

)0,12(

1440004501212004501200 21 xx

Ukupan trošak najma:

Trošak je najmanji uz kombinaciju većih i

manjih autobusa

32

)0,10(

1200004501012004501200 21 xx

)0,10(

33

Pitanje 5.: U već konstruirani model

dodajte ograničenje na budžet agencije od

$14000.

140004501200 21 xx

36321 xx

40084021 xx

0, 21 xx

Primjer. Poduzeće ABC vrijednosnice planira investicije

u obveznice i dionice. Na početku će sljedeće godine

raspolagati s 3 milijuna kn koje može investirati u

instrumente OP1 i OP2.

Očekivani godišnji prinosi na te instrumente su, redom,

0.06 i 0.09.

Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju granicu od 2

milijuna kn. Menadžment želi ukupan prinos od najmanje

8% raspoloživog iznosa.

Opišite algebarski (kao sustav linearnih nejednadžbi)

skup svih mogućih kombinacija ulaganja za investitora.

34

Rješenje.

x – ulaganje u OP1 (u milijunima kuna)

y – ulaganje u OP2 (u milijunima kuna)

Na početku će sljedeće godine raspolagati

s 3 milijuna kn koje može investirati u

instrumente OP1 i OP2:

35

3 yx

Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju

granicu od 2 milijuna kn:

36

2x

2y

Očekivani godišnji prinosi na te

instrumente su, redom, 0.06 i 0.09.

Menadžment želi ukupan prinos od

najmanje 8% raspoloživog iznosa.

37

Prinos od OP1 Prinos od OP2

Prinos od raspoloživog

iznosa 3

308.009.006.0 yx

Pomnožimo iznose na desnoj strani:

Pomnožimo obje strane nejednadžbe sa

100 (Napomena: izgleda “ljepše”):

38

24.009.006.0 yx

2496 yx

Budući da su x i y iznosi u kunama, mora

vrijediti uvjet nenegativnosti:

Sustav linearnih nejednadžbi čije je

rješenje skup svih mogućih kombinacija

ulaganja je:

39

0, yx

Sustav:

40

3 yx

2x

2y

0x

0y

Opisali smo skup

svih uređenih

parova ulaganja,

(x,y), koji

zadovoljavaju uvjete

postavljene od

strane

menadžmenta!

2496 yx

Pitanje 1.: je li moguće za poduzeće

ulagati u svaki instrument maksimalan

iznos?

Matematički, moramo provjeriti pripada li

uređeni par (2,2) skupu rješenja sustava

linearnih nejednadžbi!

Umjesto x uvrstimo 2 i umjesto y uvrstimo

2, pa provjerimo jesu li zadovoljene sve

nejednakosti!41

Uvrstimo li koordinate uređenog para (2,2)

u prvu nejednadžbu, dobivamo:

42

3 yx

322

34 Uvjet nije

zadovoljen!

Da bi uređeni par (2,2) pripadao skupu

rješenja sustava linearnih nejednadžbi,

onda svi uvjeti moraju biti zadovoljeni.

Pronašli smo jedan uvjet koji nije

zadovoljen, ostale ne moramo promatrati,

te zaključujemo da za poduzeće nije

moguće ulagati maksimalne iznose u oba

instrumenta

43

Pitanje 2.: je li za poduzeće moguće u

OP1 uložiti 1 milijun kn, a u OP2, 2

milijuna kn?

Matematički, moramo provjeriti pripada li

uređeni par (1,2) skupu rješenja sustava

linearnih nejednadžbi!

Umjesto x uvrstimo 1 i umjesto y uvrstimo

2, pa provjerimo jesu li zadovoljene sve

nejednakosti!44

Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)

u prvu nejednadžbu, dobivamo:

45

3 yx

321

33Uvjet je

zadovoljen!

Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)

u drugu nejednadžbu, dobivamo:

46

2x

21 Uvjet je

zadovoljen!

Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)

u treću nejednadžbu, dobivamo:

47

2y

22 Uvjet je

zadovoljen!

Uvrstimo li koordinate uređenog para (1,2)

u četvrtu nejednadžbu, dobivamo:

48

Uvjet je

zadovoljen!

242916

24186

2424

2496 yx

Uvjeti nenegativnosti su zadovoljeni jer je:

pa možemo reći da uređeni par (1,2)

pripada skupu rješenja sustava linearnih

nejednadžbi, tj., predstavlja moguća

ulaganja za poduzeće.

49

01

02

Pitanje 3.: koji se ukupan prinos ostvaruje

za kombinaciju ulaganja (1,2)?

Ukupan prinos je jednak:

tj., 0.24 milijuna kuna:

50

yx 09.006.0

24.018.006.0209.0106.0

Grafičko rješavanje

sustava linearnih

nejednadžbi

51

Primjer. Grafički riješite nejednadžbu

Rješenje je skup svih uređenih parova

(x,y) koji zadovoljavaju promatranu

nejednadžbu.

Da bismo taj skup grafički prikazali,

najprije nacrtamo pravac

52

4 yx

4 yx

Na pravcu leže uređeni parovi (x,y) za koje vrijedi jednakost. Nas

zanimaju i uređeni parovi za koje vrijedi nejednakost “<“.53

4 yx

Gdje se oni nalaze? S “donje” strane pravca ili s “gornje” strane?

54

4 yx

U tu svrhu izaberemo jednu točku (uređeni

par) koja ne pripada pravcu i provjerimo

zadovoljava li uvjet

Ako ga zadovoljava, onda i svaka točka

(uređeni par) koja pripada toj poluravnini

zadovoljava taj uvjet

Ako ga ne zadovoljava, onda je skup

rješenja nejednadžbe poluravnina kojoj

izabrana točka ne pripada55

4 yx

Izaberimo npr. točku (0,0) i uvrstimo u nejednadžbu!

Umjesto x pišemo 0, umjesto y pišemo 0. Dobijemo:

Uvjet je zadovoljen, pa zaključujemo da je rješenje

nejednadžbe poluravnina kojoj pripada točka (0,0)

56

4 yx

400

40

57

4 yx

Primjer. Grafički riješite sustav linearnih

nejednadžbi:

Rješenje. Pronađemo skup rješenja prve

nejednadžbe, pa druge, pa na kraju

presjek ta dva skupa rješenja.

58

2 yx

0 yx

59

Skup rješenja

sustava

nejednadžbi!

Linearno

programiranje

60

Primjer. Poduzeće ABC vrijednosnice planira investicije

u obveznice i dionice. Na početku će sljedeće godine

raspolagati s 3 milijuna kn koje može investirati u

instrumente OP1 i OP2.

Očekivani godišnji prinosi na te instrumente su, redom,

0.06 i 0.09.

Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju granicu od 2

milijuna kn. Menadžment želi maksimizirati ukupan

prinos. Formulirajte model LP-a.

61

Rješenje.

x – ulaganje u OP1 (u milijunima kuna)

y – ulaganje u OP2 (u milijunima kuna)

62

3 yx

2x

2y

0x

0y

Ukupan prinos je:

Ranije je menadžment postavio uvjet da

prinos bude minimalno 8%, a sad ne

postavlja uvjet nego ga želi maksimizirati!

Izraz je funkcija cilja, a

njegova maksimizacija je cilj!

63

yx 09.006.0

yx 09.006.0

Model linearnog programiranja:

64

3 yx

2x

2y

0x

0y

)09.006.0max( yx Funkcija

cilja

Ograničenja

x,y – varijable

odlučivanja

65

Varijable

odlučivanja

Ograničenja

Funkcija cilja (cilj)

Optimizacija

Maksimizirati korisnost uz zadana

ograničenja

Minimizirati troškove uz zadana

ograničenja

66

Optimizacija - proizvodnja

Korisnost = dobit

Ograničenja na kapacitete strojeva

Ograničenja na kapacitete skladišta

Ograničenja na kapacitete distribucije

Ograničenja na tržišnu potražnju

67

Optimizacija - financije

Korisnost = povrat od ulaganja u različite financijske instrumente

Ograničenje na budžet

Ograničenja na minimalna i maksimalna ulaganja u pojedini instrument

Ograničenja na upravljanje rizikom

68

Optimizacija - proizvodnja

Troškovi = financijski troškovi korištenja

različitih resursa (strojevi, rad,

repromaterijal, transport, itd. )

Ograničenje na potražnju za proizvodom

Ograničenje na budžet

69

Područja primjene

Proizvodnja

Transport i distribucija

Lanci opskrbe

Marketing

Turizam

Telekomunikacije

Financijsko ulaganje i planiranje

Raspored zaposlenika

itd70

Postupak postavljanja i rješavanja

problema optimizacije

Uočavanje problema

Prikupljanje podataka

Formuliranje matematičkog modela

Metoda rješavanja

Dobivanje optimalnog rješenja

Interpretacija rješenja

Analiza osjetljivosti

71

Formuliranje matematičkog

modela

Varijable odlučivanja

Funkcija cilja

Ograničenja skup mogućih rješenja

72

Varijable odlučivanja

Količina određenog proizvoda (kg, litre, komadi)

Uložena financijska sredstva (kune, dolari, euri)

Broj zaposlenika

Broj promidžbenih poruka

0-1 varijable koje opisuju odluku DA-NE

73

Linearno programiranje – funkcija cilja i

ograničenja su linearna

Skup svih vektora koji

zadovoljavaju sva ograničenja zove se

skup mogućih rješenja problema

linearnog (cjelobrojnog) programiranja

74

),(21

xx

Grafička metoda za

rješavanje problema

linearnog programiranja

75

Primjer. Grafički riješite problem LP-a

76

4 yx

3x

0, yx

)2max( yx

Postupak:

Nacrtamo skup mogućih rješenja kao skup

svih uređenih parova (vektora, točaka) koji

zadovoljavaju sustav linearnih nejednadžbi

Teorem: kod ograničenog skupa mogućih

rješenja, optimalno rješenje problema

linearnog programiranja dostiže se u

jednom od vrhova (ekstremnih točaka)

skupa mogućih rješenja77

78

4 yx

O(0,0)

A(0,4)

B(3,1)

C(3,0)

Skup mogućih rješenja je poliedar s

vrhovima (0,0), (0,4), (3,1) i (3,0).

Maksimalna vrijednost funkcije cilja se

dostiže u jednom od vrhova!

Uvrstimo koordinate vrhova u funkciju cilja

i uočimo u kojoj od njih se dostiže

maksimum!

79

Optimalno rješenje je (0,4), a optimalna

(maksimalna) vrijednost funkcije cilja je 8.80

00202)0,0( yxO

84202)4,0( yxA

51232)1,3( yxB

30232)0,3( yxC

Postupak koji smo opisali nije grafička

metoda, ali daje rješenje.

Grafička metoda crta pravce

za različite vrijednosti od k i promatra u

kojem se smjeru vrijednost funkcije cilja (k)

povećava

81

kyx 2

82

22 yx

A(0,4)

42 yx

82 yx

Pomicanjem

pravca prema

gore, vrijednost

funkcije cilja se

povećava. Pri

tom moramo

paziti da

ostanemo u

skupu mogućih

rješenja. Zadnja

točka koju smo

dotaknuli je A, pa

je ona optimalno

rješenje.

Pravac pomičemo “prema

gore” u smjeru vektora normale čije su

koordinate jednake koeficijentima u funkciji

cilja (1,2)

Zadnja točka (vrh) koju dotaknemo prije

nego što izađemo iz skupa mogućih

rješenja je optimalno rješenje

Pravac zovemo izoprofitnom

linijom

83

kyx 2

kyx 2

84

Vektor (1,2)

Optimalno

rješenje je

(0,4)

02 yx

Napomene

U slučaju minimizacije, pravac (kojeg sad

zovemo izotroškovnom linijom) pomičemo u

smjeru suprotnom od smjera vektora normale

Problem linearnog programiranja može imati

beskonačno mnogo rješenja (spojnica dva vrha),

a može se dogoditi i da problem nema rješenja

(skup mogućih rješenja je prazan)

85

Razni zadaci

86

Primjer. Riješite grafički problem

investiranja

87

3 yx

2x

2y

0x

0y

)09.006.0max( yx

Rješenje. Skup mogućih rješenja je

poliedar s vrhovima O(0,0), A(0,2), B(1,2),

C(2,1), D(2,0)

Maksimalan prinos se ostvaruje u točki

B(1,2) i iznosi 0.24 milijuna kuna.

88

Primjer. Riješite grafički problem LP:

89

)2max( yx

42 yx

42 yx

0, yx

Rješenje. Skup mogućih rješenja je

poliedar s vrhovima O(0,0), A(0,2),

B(4/3,4/3) i C(2,0).

Optimalno rješenje je spojnica vrhova

A(0,2) i B(4/3,4/3).

Maksimalna vrijednost funkcije je 4.

90

Napomena. Problem LP u kojem

je cilj maksimizacija funkcije

ograničenja su u obliku “ “

varijable odlučivanja su nenegativne

desne strane ograničenja nenegativne

zove se standardni problem

maksimuma.

91

92

Primjer. Riješite problem organizacije izleta

s ciljem minimiziranja ukupnih troškova

najma autobusa.

40084021 xx

36321 xx

0, 21 xx

)4501200min( 21 xx

Rješenje. Skup mogućih rješenja je

poliedar s vrhovima A(7,15), B(12,0),

C(10,0).

Minimalan trošak se ostvaruje u točki

C(10,0) i iznosi $12000.

93

94

Primjer. Riješite problem LP:

421 xx

221 xx

0, 21 xx

)min( 21 xx

Rješenje. Problem nema rješenja jer je

skup mogućih rješenja prazan.

Ograničenja su proturječna (u konfliktu).

95

96

Primjer. Riješite problem LP:

221 xx

32 x

0, 21 xx

)max( 21 xx

Rješenje. Skup mogućih rješenja je

neograničen. Maksimum funkcije se

dostiže u beskonačnosti, pa problem

nema rješenja.

U slučaju , rješenje je

spojnica vrhova (0,2) i (2,0).

97

)min( 21 xx