P04 Inec Lineales CuadráTicas 1incognita Doc

Instituto Superior Pedagógico Público

“Gregoria Santos”

PRONAFCAP

INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

(ACTIVANDO LOS PROCESOS MENTALES)

UN PROBLEMA DE PESO SIN PESAS1

1. Compara 9 bolas equilibra, ya sabe9 del platillo que

2. Hemos conseguidahora este conjucon ellos.

3. Después de la sconjunto de tresbola en cuestión

1 Tomado de: URL: <http://desca

“Mejores maestros, mejore

Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecenidénticas en peso. Sin embargo, nos han aseguradoque hay una defectuosa que pesa más que las otras.Disponemos de una balanza, pero no de un juegode pesas, de manera que lo único que podemoshacer es comparar pesos. Demuestra que se puedelocalizar la bola defectuosa con sólo tres pesadas.

Prof. Saúl QUISPE CHINO.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE PESO SIN PESAS

cualesquiera con otras 9 y deja las 9 restantes en la bolsa. Si la balanza se mos que la bola más pesada está en la bolsa y si no es así, estará entre las incline hacia su lado la balanza.

o, pues, aislar la bola defectuosa entre 9 con sólo una pesada. Dividimos nto de 9 bolas en tres, de 3 cada uno, y repitamos la operación anterior

egunda pesada habremos conseguido aislar la bola defectuosa en un , y repitiendo una vez más el proceso con ellas tendremos localizada la a la tercera pesada y sin error posible.

rtes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/tema5_ccss_eda05/entrada.htm>

s alumnos” 1



PRONAFCAP Prof. Saúl QUISPE CHINO.

INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Definición de inecuación. Hay enunciados que se traducen mediante desigualdades. Las relaciones que se expresan mediante desigualdades se llaman inecuaciones y en ellas pueden aparecer una o más incógnitas. ¿Cómo se resuelve una inecuación? Para poder resolver una inecuación, debemos tener en cuenta algunas propiedades de las desigualdades: • Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número, la desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:

• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.

Si: a < b a · c < b · c (si c > 0) • Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Si: a < b a · c > b · c (si c < 0) • Dados cuatro números reales a, b, c y d cualesquiera, se cumple la compatibilidad de la ordenación con la suma, es decir:

• Dados dos números reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del primero es mayor que el del segundo y viceversa, es decir:

• Si un número real es menor que otro, con los opuestos de ambos la desigualdad cambia de sentido, es decir:

Resolver una inecuación significa hallar el conjunto de valores que la hacen verdadera. A este conjunto se lo llama conjunto solución o intervalo solución. INECUACIONES LINEALES CON UNA

INCÓGNITA. Una inecuación de primer grado es una expresión de la forma:

ax + b < 0; ax + b > 0; ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0;

Con a ≠ 0. a y b ∈ |R Para resolver una inecuación lineal con una incógnita, se procede a despejar ésta, teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades. Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de:

3x-1x

43 5-x 3 +<

Solución: ‐ Multiplicamos a la inecuación por 12:

x449x 60-x 36 −+< ‐ Transponemos términos:

604 9x- 4x 36 +<+ x ‐ Simplificamos términos semejantes: 31 x < 64 ‐ Dividimos entre 31:

06,23164 =<x de donde: x ∈ ]‐∝; 2,06[

“Mejores maestros, mejores alumnos” 2




PRÁCTICA DIRIGIDA 1. Para ingresar a una universidad, el

promedio mínimo exigido es 80 puntos sobre 100. Eduardo sacó 84 y 68 puntos en las dos primeras pruebas. ¿Cuántos puntos como mínimo debe sacar en la última prueba para llegar a aquel promedio o superarlo?

A) [88; 100] B) [85; 100[ C) [88; 102[ D) <80; 100]

2. Al planear un baile escolar, encuentras

que una banda toca por S/.250.00, más el 50% del total de ventas por entradas. Otra banda lo hace por una suma fija de S/.550.00. Para que al colegio le sea más rentable la primera de las bandas, ¿Cuál es el máximo precio que puedes cobrar por entrada, suponiendo que la asistencia será de 300 personas?

A) ] 0; 2 ] B) ] 0; 2 [ C) ] 0; 3 [ D) [ 0; 3 [

3. A un albañil se le puede pagar de dos

maneras: Plan A: S/. 300 más S/.11 por hora. Plan B: S/. 18,50 por hora. Supón que una tarea requiera “n” horas de trabajo. ¿Para qué valores de “n” es mejor para el albañil el plan B que el plan A?

A) [ 39;+ ∞ [ B) ] 30;+ ∞ [ C) ] 40;+ ∞ [ D) ]40;+ ∞ ]

4. En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes

de pago distintos. Un salario mensual de S/. 600 más una comisión del 4% sobre el total de ventas, y un salario mensual de S/. 200 más una comisión del 6% sobre el total de ventas una vez superados los S/. 10 000. ¿Para qué cantidad del total de ventas es mejor el plan A que el plan B,

suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los S/. 10 000?

A) ]10000;20000] B) [10000;20000[ C) [10000;20000] D) ]10000;20000[

5. Una fábrica A paga a sus vendedores S./.

10 por artículo vendido más una cantidad fija de S/. 500. Otra fábrica B paga S/. 15 por artículo y un monto de S/. 300 fijos. ¿Cuántos artículos como mínimo debe vender el vendedor de la fábrica B para ganar más dinero que el de la fábrica A?

A) 41 B) 39 C) 10 D) 42

¡ UN RETO A TU INGENIO !

Electrificando: 6. Una habitación tiene 10 m. de largo, 4 m. de

ancho y otros 4 m. de alto. En el punto A, en el medio de la pared del fondo y a medio metro del suelo, hay un enchufe. Se necesita tender un cable para conectar el enchufe A con una lámpara situada en el punto medio B de la pared de enfrente, a medio metro del techo. Por evidentes razones de seguridad, el cable debe ir sujeto a las paredes, suelo o techo, y nunca por el aire. Calcula la longitud de cable mínima para resolver el problema. (Una pista: ¡La respuesta no es 14 m!)

A) 13.6 B) 16.3 C) 13 D) 14





INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA.

Una inecuación de segundo grado es una expresión de la forma:

ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c ≥ 0;

Con a ≠ 0, a, b y c ∈ |R Para resolver una inecuación cuadrática: ‐ Se calculan las soluciones de la ecuación

ax2 + bx + c = 0. ‐ Si x1 y x2 son estas soluciones y x1 < x2,

entonces se determinan tres intervalos en la recta real, a saber (‐∝; x1); (x1; x2) y (x2;+ ∝), donde los intervalos pueden ser también cerrados o semi‐cerrados dependiendo de si en la inecuación aparece una desigualdad estricta o no.

‐ Finalmente se comprueba cuáles de los anteriores intervalos son solución de la inecuación.

Ejemplo: Juanito multiplica un número dos veces para luego, al resultado obtenido, quitarle el triple de dicho número obteniendo siempre un valor superior a ‐2 y a veces igual a este valor. ¿Con qué números esta efectuando estas operaciones, Juanito?. Solución: Traduciendo a una expresión matemática tenemos: Si hacemos que “x” sea el número, entonces:

x2 – 3x ≥ ‐ 2, ó x2 – 3x + 2 ≥ 0 . ‐ Encontramos las soluciones de la ecuación: x2 ‐ 3x + 2 = 0, que son 1 y 2. ‐ Por tanto, dado que la desigualdad no es estricta, vemos cuáles de los intervalos (‐∝; 1], [1; 2] y/o [2;+∝) son solución de la inecuación.

‐ Para ello basta probar con algún punto contenido en el correspondiente intervalo. Por ejemplo, el 0 está en el intervalo (‐∝; 1].

02 – 3x0 + 2 ≥ 0, de donde: 2 ≥ 0 (V) El 0 es solución de la inecuación, y por tanto el intervalo (‐∝; 1] es solución de la inecuación. ‐ Análogamente se comprueba si los otros dos intervalos son o no solución de la inecuación propuesta. ‐ Finalmente se concluye que la solución es: (‐∝; 1] ∪ [2;+∝).

Interpretación bidimensional de la solución de una inecuación de segundo grado. Para resolver e interpretar la solución de la inecuación: x2 – 3x + 2 ≥ 0, es preciso graficar en el plano cartesiano la ecuación: y = x 2 – 3x + 2 .

Como la expresión: y = x2 – 3x + 2 ≥ 0, Entonces: el conjunto solución de “x” para los cuales “y” sea positiva es decir mayor que cero es la que está comprendida desde ‐1 para la izquierda, conjuntamente que desde 2 hacia la derecha.

Es decir: CS(x) = {x∈|R / x ∈ ] –∝; 1] U [ 2; +∝[ }

] –∝; 1] [2; +∝[





PRÁCTICA DIRIGIDA 1. Jaimito en su fase de matemático, realiza

la siguiente operación: eleva al cuadrado un número y anota su resultado, eleva al cuadrado otro número y lo anota otra vez, y así continúa. Si en todos los casos obtiene como máximo 25. con que sub‐conjunto de los números reales está operando.

A) [ ‐5; 5 ] B) ] ‐4,9; 4,9 [ C) [ ‐4,9; 4,9 [ D) ] ‐5; 5 ]

2. La suma de los cuadrados de un número y

4 siempre es mayor al cuadrado de 5. ¿Cuántos números enteros cumplen con esta condición?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4

3. Hallar el menor número real M tal que se

cumpla: 6 + 6x – x2 ≤ M. para todo x ∈|R.

A) 12 B) 12,5 C) 15 D) 17 4. Resolver: – x2 + 5x > 4.

A) [1; 4] B) Φ C) |R D) ]1; 4[ 5. Al resolver: x4 − 17x2 + 16 < 0. ¿Cuántos

valores enteros forman parte del conjunto solución?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

6. Si el producto de dos números reales

positivos es la unidad, ¿cuál será el valor mínimo de su suma?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

7. Prueba el ejercicio anterior para el caso de

tres números reales positivos.

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

ax + k = 0 con a > 0; a ≠ 1 y k ∈ |R Para resolver ecuaciones exponenciales vamos a tener en cuenta las siguientes propiedades de las potencias:

a0 = 1 a ≠ 0 a1 = a am . an = am+n

n ‐ mn

m

aa

a= , 1‐ a

a1= , a ≠ 0

(am)n = am . n an . b n = (a . b) n

n

n

n

ba

b

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

Resolveremos los tres tipos de ecuaciones exponenciales:

1. Ecuaciones en las que aplicando propiedades elementales y de las potencias obtenemos una igualdad de dos potencias con la misma base, con lo cual podemos igualar los exponentes y resolver la ecuación que queda.

Si: x21 xx aa = 1 = x2 . 2. Ecuaciones en las que podemos extraer

factor común a la potencia ap y aplicando propiedades elementales pasamos al caso 1.

3. Ecuaciones en las que haciendo un

cambio de variable ax = t y aplicando propiedades elementales, nos queda una ecuación de segundo grado en t.





Ejemplo caso 1:

Ejemplo caso 2:

Ejemplo caso 3:

PARA LA EJERCITACIÓN: Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 71+2x − 50 ∙ 7 x + 7 = 0

2. 0,5x = 16

3. √7x = 1/49

4. 33x−2 = 81 ∙ 3x+3

5. 2x ∙ 5x = 0,1

6. 2x ∙ 3x = 81

7. 2x + 21−x = 3

8. 4x + 4x−1 + 4x−2 = 336

9. e3x+2 + 3e6x+2 = 4e2

10. 2x+2 + 4x+1 = 80

11. 16x − 4x = 240

12. 2x+1 + 2x + 2x−1 = 28

13. 5x+1 + 5x + 5x−1 = 775

14. 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x−1 = 120

15. 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960

16. 22x + 22x−1 + 22(x−1) + 22x−3 + 22(x−2) = 1984

17. 6x − 9 ∙ 6−x + 8 = 0

18. 32(x+1) − 18 ∙ 3x + 9 = 0

19. 53x+2 + 3 ∙ 56x+2 − 100 = 0

20. ex − 5 ∙ e−x + 4 ∙ e−3x = 0

21. 1/8+1/4+1/2+ 1 + 2 + ... + 2x = 127/8

22. 22x = 51−2x

23. 2x+1 + 2x−1 = 5/2

24. 81+x + 23x−1 = 17/16

25. 22x − 5 ∙ 2x + 4 = 0

26. 9x − 3x − 6 = 0

27.





ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Definic ión. ‐ El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

.Logax = y ⇒ ay = x ,

∀ a > 0 y a ≠ 1 Siendo a la base, x el número e y el logaritmo. Consecuencias de la definición de logaritmo: − No existe el logaritmo de un número con

base negativa. ∃ log – a x

− No existe el logaritmo de un número negativo.

∃ log a (‐x) − No existe el logaritmo de cero.

∃ log a 0 − El logaritmo de 1 es cero.

− El logaritmo en base a de a es uno.

− El logaritmo en base a de una potencia en

base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Ejemplo:

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Ejemplo:

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Ejemplo:

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

Ejemplo:

5. Cambio de base:

Ejemplo:

Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos o naturales: son los que tienen base e. Se representan por ln (x). Ejemplo. ¿Cuáles son los valores de x que sat is facen la s iguiente ecuación? log 2 + log (11 – x2) = 2 log (5 – x)





Solución : log 2 + log (11 – x2) = 2 log (5 – x) ‐ Apl icando logar i tmo de un

producto en el primer miembro y logar i tmo de una potencia en el segundo miembro, se obt iene:

log [2. (11 – x2) ] = log (5 – x)2

‐ Apl icando ant i logar i tmo en ambos

miembros, obtenemos la ecuación:

[2 . (11 – x2) ] = (5 – x)2

‐ Resolvemos la ecuación de

segundo grado:

22 – 2x2 = 25 – 10x + x2

3x2– 10x + 3 = 0

‐ Las ra íces de esta ecuación

cuadrát ica son: x1 = 3 y x2 = 1/3

‐ Para que estas ra íces sean

soluc iones de la ecuación logar í tmica deben sat is facer las condic iones:

11 – x2 > 0 y 5 – x > 0 11 – 32 > 0 y 5 – 3 > 0

2 > 0 y 2 > 0

11 – x2 > 0 y 5 – x > 0 11 – (1/3)2 > 0 y 5 – (1/3) > 0

98/9 > 0 y 14/3 > 0

Ambas cumplen, por tanto las soluc iones son: x1 y x2 .

Ejemplo : ¿Cuántos valores de la var iable sat is facen la s iguiente ecuación logar í tmica?

24)‐(3x log)x‐(16 log 2

=

Solución:

log (16 – x2) = 2 log(3x – 4) log (16 – x2) = log(3x – 4)2 (16 – x2) = (3x – 4)2 10 x2 – 24 x = 0 De donde: x1 = 0 x2 = 2,4

Pero la única solución es: x2= 2,4 ¿Por qué?

ECUACIONES PARA LA EJERCITACIÓN: Resolver las s iguientes ecuaciones logar í tmicas: 1. log x = log 36 − log 9

2. ln x = ln 17 + ln 13

3. ln(x − 3) + ln(x + 1) = ln 3 + ln(x − 1)

4. 2 ∙ ln(x − 3) = ln x − ln 4

5. log(x + 3) − log(x − 6) = 1

6. log(x2 + 1) − log(x2 − 1) = log 13/12

7. 2 log10 x – log10 (x – 16) = 2

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas: 8. x − y = 25 log y = log x − 1 9. ln x − ln y = 2 ln x + ln y = 4 10. x2 − y2 = 11 log x − log y = 1 11. x2 − y2 = 11 log x − log y = 1


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