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Journal o f Statistica l Physics, Vo l. 54, Nos. 3/4, 1989

p-Adic DynamicsE . T h i r an , 1 , , D . V e r s t e g e n , 2 a n d J . W e y e r s 1

Received August 8, 1988T h e q u a d r a t i c m a p o v e r p - a d i c n u m b e r s i s s t u d ie d i n s o m e d e t ai l. W e p r o v e t h a tnea r a lmos t a l l i nd i f fe ren t f i xed po in t s i t i s t opo log ica l ly con juga te t o aquas ipe r iod ic l i nea r map . We a l so e s t ab l i sh the ex i s t ence o f chao t i c behav io rand desc r ibe i t u s ing symbo l i c dynamics .

K E Y W O R D S : p-ad ic numbers ; dynamica l sys t ems; chaos ; quas ipe r iod ic i ty .

1 . I N T R O D U C T I O NT h e p u r p o s e o f t h is p a p e r is t o i n v e s ti g a te t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f n o n -l in e a r p - a d i c m a p p i n g s . O u r m o t i v a t i o n f o r s u c h a n i n v e s t ig a t i o n is b a s e do n t h e f o l l o w i n g c o n s i d e r a t i o n s . F i r s t o f a ll , th e d i s c o v e r y o f " c h a o s " ( se e,e .g ., refs . 1 ) as wel l as of unive rsal fe a tu res in ch ao t ic b eh av ior (e.g. , ref . 2 )is u n d o u b t e d l y a m a j o r a c h i e v e m e n t in t h e s t u d y o f d y n a m i c a l s y st e m s . I ti s c e r t a i n l y a n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n , f o r i t s o w n s a k e , t o a s k w h e t h e r c h a o sis a p r o p e r t y o f r e al o r c o m p l e x m a p p i n g s o r w h e t h e r i t a ls o o c c u r s inm a p p i n g s d e f i n e d o v e r o t h e r c o n t i n u o u s n u m b e r f i e ld s , s u c h a s p -a dic s/3 "4 )W e w i l l s h o w t h a t i n d e e d i t d o e s .

I t is o b v i o u s t h a t i n th e d e s c r i p t io n o f p h y s i c a l p h e n o m e n a o n e n e e d sa " n u m b e r f ie ld ." W i t h o u t g e t t in g t o o p h i l o s o p h i c a l a b o u t t h e m e r i ts o fv a r i o u s n u m b e r f i e l d s , a r a t h e r m i n i m a l r e q u i r e m e n t w o u l d b e t h a t i tc o n t a i n t h e r a t i o n a l n u m b e r s , s in c e , a f t e r a ll , t h e r e s u l t o f a n y m e a s u r e m e n tc a n b e e x p r e s s e d a s s u c h . I t t u r n s o u t t h a t t h e r e a r e o n l y tw o t y p e s o f c o m -p l e te e x t e n s i o n s o f t h e r a t i o n a l s : o n e i s g i v e n b y t h e r e a l n u m b e r s a n d t h eo t h e r b y p - a d i c n u m b e r s . T h e i r e s s e n ti a l di ff e re n c e c o m e s f r o m t h e p r o p e r t yo f t h e m e t r i c w i t h r e s p e c t t o w h i c h t h e y c o m p l e t e o r fill t h e h o l e s i n t h e~ I n s t i t u t d e P h y s i q u e T h 6 o r i q u e , U n i v e r s i t6 C a t h o l i q u e d e L o u v a i n , B - 1 3 4 8 L o u v a i n - l a -

Neuve , Be lg ium.2 P r e s e n t a d d r e s s: N I K H E F - H , P . O . B o x 4 18 82 , 1 00 9 D B A m s t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s .* Aspirant F .N.R.S .

8 9 30022-4715/89/0200-0893506.00/09 1989 Plenum Publishing Corporation

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8 9 4 T h i r a n e t a l .

r a t i o n a l n u m b e r s : i n th e c a s e o f t h e r e al s, t h e m e t r i c , g i v e n b y t h e a b s o l u t ev a l u e , is A r c h i m e d e a n , w h i l e i n th e c a s e o f p - a d i c s t h e m e t r ic i s n o n -A r c h i m e d e a n o r u lt ra m e t r ic !Q u i t e r e c e n t l y , i n s t r i n g t h e o r y a s i n l a t t i c e g a u g e t h e o r i e s , t h e r e h a sb e e n a g r o w i n g i n t e r e st ~5 8) i n e x p l o r i n g p r o p e r t i e s o f p h y s i c a l s y s t e m sw h e n d e f i n e d o v e r p - a d i c ( o r e v e n f i n i t e ) ~9) n u m b e r f ie ld s . I n t h e c a s e o fs t ri n g s , ~6-8) f o r e x a m p l e , s i n c e t h e w o r l d s h e e t p a r a m e t e r s a r e n o t , i n t r i n -s i ca l ly , o b s e r v a b l e q u a n t i t i e s , i t i s c e r t a i n l y l e g i t i m a t e t o i n v e s t i g a t e t h es t ru c t u r e o f t h e t h e o r y w h e n t h e s e p a r a m e t e r s a r e p - a d ic . S o o n e i sn a t u r a l ly l ed t o t h e id e a t h a t a tr u l y f u n d a m e n t a l t h e o r y o f t h e s tr u c t u r e o fm a t t e r s h o u l d n o t o n l y b e i n d e p e n d e n t o f t h e p a r a m e t r i z a t io n u s e d ( w h i c hi s c e r t a in l y a k e y i n p u t o f g e n e r a l r e l a t i v it y o r o f c o n f o r m a l i n v a r i a n tt h e o r i e s ) b u t a l so o f t h e n u m b e r f i e ld i n w h i c h t h is p a r a m e t r i z a t i o n ise x p r e s s e d ! T h i s is a r a t h e r f a s c i n a t i n g i d e a .

A s a n o t h e r m o t i v a t i o n f o r t h e u s e o f p - a d i c s i n t h e s t u d y o f p h y s i c a ls y s te m s , it m a y b e u s e f u l t o r e m e m b e r t h e r o le o f c o m p l e x n u m b e r s i nc l a s s i c a l a n d q u a n t u m p h y s i c s . C o m p l e x n u m b e r s a r e a q u a d r a t i c e x t e n s i o no f r e al n u m b e r s , b u t t h e a d d e d n u m b e r i h a s o f c o u r s e n o p l a c e i n a n yc l a ss ic a l p h e n o m e n o n . N e v e r t h e l e s s , i t i s a tr i v ia l it y t o p o i n t o u t t h a t c o m -p l e x n u m b e r s a n d c o m p l e x a n a l y s i s h a v e b e e n u s e f u l a n d p o w e r f u l t o o l s i na l m o s t a l l b r a n c h e s o f c l a ss i c al p h y s i c s. In q u a n t u m p h y s i c s , th e s i t u a t i o n iso f c o u r s e f u n d a m e n t a l l y d i ff e re n t : f r o m a to o l , w h i c h t h e y w e r e in c l a ss i ca lp h y s ic s , c o m p l e x n u m b e r s a r e p r o m o t e d t o an e ss e n ti a l a n d u n e s c a p a b l ei n g r e d ie n t o f t h e p h y s ic a l p ic t u r e o f t h e q u a n t u m w o r l d . Q u a n t u ma m p l i t u d e s a r e , f u n d a m e n t a l l y , c o m p l e x n u m b e r s ( s ee , e .g ., r ef . 1 0 ). W e w i lln o t s u g g e st t h a t h i s t o r y m a y r e p e a t i t se lf a n d t h a t p - a d i c n u m b e r s w i ll t u r no u t t o b e a n e s s e n ti a l i n g r e d i e n t i n th e d e s c r i p t i o n o f p h y s i c a l r e a li ty .H o w e v e r , t h e d i s c o v e r y o f t h e u l t ra m e t r i c s t r u c t u r e o f t h e g r o u n d s t at e s i ns p i n g l a ss e s (11 ) m a k e s o n e w o n d e r . U l t r a m e t r i c i t y i s s u c h a n i n h e r e n tp r o p e r t y o f p - a d i c s t h a t o n e c a n n o t h e lp s p e c u l a ti n g o n t h e p o s s ib i l it y o f as h a r p e r a n d m o r e c o m p l e t e d e s c r i p t io n o f s p in g l a ss e s i n te r m s o f t h em . I ts t i l l r e m a i n s t o b e d o n e .

T h e r e i s a r o a d l e a d i n g b a c k f r o m p - a d i c s t o r e a l n u m b e r s : i t i s t h e s o -c a l l e d a d e l i c c o n s t r u c t i o n ( s e e, e.g ., r ef . 4 ) . U n f o r t u n a t e l y , i t i s i n f i n it e lym o r e c o m p l i c a t e d t h a n , s a y , " t a k i n g t h e r e a l p a r t , " w h i c h b r i n g s u s b a c kf r o m t h e c o m p l e x p l a n e t o t h e r e a l l i n e . T h e a d e l i c c o n s t r u c t i o n h a s b e e ne x p l ic i tl y p e r f o r m e d i n t h e c a s e o f f o u r - p o i n t f u n c t i o n s i n s t ri n g t h e o r y (7)a n d t h e r e s u lt is r a t h e r s p e c t a c u l a r : t h e p r o d u c t o f a ll f o u r - p o i n t f u n c t i o n so n a l l p - a d i c s a n d o n t h e r e a l s i s e q u a l t o o n e ! F o r f i v e - p o i n t a m p l i t u d e s , as im i l ar r e s u lt d o e s n o t s e e m t o h o l d , h o w e v e r . A n y w a y , w h e t h e r a p - a d i cf o r m u l a t i o n o f p h y s i c a l p r o b l e m s w i lt r e m a i n a m a t h e m a t i c a l c u r io s i ty , au s e f u l t o o l , o r a f u n d a m e n t a l s t e p , o n l y t h e f u t u r e w i l l te ll.

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p-A dic Dynamics 895O u r m a i n r e s u lt i n t hi s p a p e r is th a t p - a d i c d y n a m i c s e x h i b i t s s tr i k in g

s i m i l a r i t i e s w i t h r e a l o r c o m p l e x d y n a m i c s ( I ) : a t t r a c t i v e o r i n d i f f e r e n tc y c le s , q u a s i p e r i o d i c i t y , ~t2)'3 a n d c h a o s a ll o c c u r . T h e r e a r e s o m e i m p o r t a n td i ff er e nc e s, h o w e v e r : w e d o n o t f in d a c a s c a d e o f p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r -c a t i o n s a s a r o a d t o c h a o s .

T h e a n a l y s is is al s o m u c h s i m p l e r o n p - a d i c s t h a n o n t h e r e a l o rc o m p l e x n u m b e r s . A s i m i l ar o b s e r v a t i o n h a d a l r e a d y b e e n m a d e i n st r in gt h e o r y , w h e r e p - a d i c a m p l i t u d e s i n v o l v e s im p l e r f u n c t io n s . T h i s a l s os u g g e s t s t h a t n e w c o n c e p t s f o r d e a l i n g w i t h n o n l i n e a r d y n a m i c s m i g h t b ete s t e d f i r s t on p - a d ic s .

F o r s i m p l ic i ty w e m a i n l y r e s t r i ct o u r d i s c u ss i o n t o q u a d r a t i c p - a d i cm a p s , a l t h o u g h , c l e a r l y , o u r m e t h o d s a n d r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d t o o t h e rm a p p i n g s a s w el l. W e d o n o t a i m a t t h e m o s t g e n e r a l a n a ly s i s o f p - a d i cm a p s , b u t r a t h e r a t i l l u s t r a t i n g d i f fe r e n t c h a r a c t e r i s t i c p a t t e r n s o f s u c hm a p p i n g s .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : in S e c t i o n 2 w e b r i e f l y l is t s o m ep e r t i n e n t p r o p e r t i e s o f p - a d i c n u m b e r s a n d i n S e c t i o n 3 w e d e s c r ib e s o m eg e n e r a l f ea t u r e s o f q u a d r a t i c i t er a ti o n s . I n S e c t i o n 4 , w e a n a l y z e t h eb e h a v i o r o f t h e s y s t e m n e a r i n d i f fe r e n t f ix e d p o i n t s a n d p r o v e , q u i t eg e n e r al ly , t h a t t h e q u a d r a t i c m a p p i n g is t o p o l o g i c a l l y c o n j u g a t e t o aq u a s i p e r i o d i c l i n e a r o n e . F i n a l l y , in S e c t i o n 5 , w e t u r n o u r a t t e n t i o n t oa n o t h e r r e g i o n o f p a r a m e t e r s p a c e o f t h e q u a d r a t i c m a p . H e r e , m o s t p o i n t se n d u p a t i n f in i ty e x c e p t f o r a C a n t o r s e t o n w h i c h t h e i t e r a t i o n i se q u i v a l e n t t o a s i m p l e " s h i f t m a p " a n d h e n c e i s c h a o t i c . W e e n d u p b yg i v in g a s i m p l e e x a m p l e o f a ( n o n p o l y n o m i a l ) m a p w h i c h h a s c h a o t i cb e h a v i o r o n a s e t o f f in i t e ( H a a r ) m e a s u r e . ~3'4)2 . T H E p - A D I C N U M B E R S : Q p

I n t h is s e c t i o n w e b r ie f ly r ev i e w s o m e p r o p e r t i e s o f p - a d i c n u m b e r sw h i c h a r e r e l e v a n t t o o u r p r o b l e m . F o r m o r e d e ta i ls , w e r e fe r t h e r e a d e r t ot h e m a t h e m a t i c a l l i t e r a t u r e J 3,4)L e t p b e a n a r b i t r a r y b u t f i xe d p r i m e n u m b e r . A n y r a ti o n a l n u m b e r r

c a n b e w r i t t e n u n i q u e l y a sr = p ~ a / b (2 .1)

wh e r e ~ , a , b ~ Z a nd p do e s no t d iv ide a o r b . The in t e g e r ~ i s c a l l e d theo r d i n a l o f r ( a t p ) .

T h e p - ad i c n o r m ]r ip of r is de f ine d a s f o l lows :[ r i p = p - = ; I O l p = 0 (2 .2)3 Some of our res ults agree wi th thos e ob tai ned in ref. 12.

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8 9 6 T h i r a n e t a i .

J u s t a s f o r t h e o r d i n a r y a b s o l u t e v a l u e , w h i c h i s n o w d e n o t e d 1 . 1 ~ , i tis s tr a i g h t f o r w a r d t o c h e c k t h a t [.Ip d o e s i n d e e d d e f i n e a n o r m o n t h e f ie ldQ o f r a t io n a l n u m b e r s , n a m e l y

I x l p = O if f x = O ( 2.3 a)[xyl p= [x lp ly lp (2 .3b)

Ix+ Ylp ~ Ix lp + ly lp (2.3c)I n f a c t , o n e e a s i l y s h o w s t h a t ( 2 . 3 c ) t a k e s a n e v e n s t r o n g e r f o r m

I x + y[ p

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p - A d i c D y n a m i c s 8 9 7s a m e n o r m . F o r e x a m p l e , t h e r e a r e a n i n f in i t e n u m b e r o f " u n i t s " (i.e .,n u m b e r s o f n o r m IX l p= 1) g ive n by

x = X o + ~ x : p j (2 .6)j = l

w h e r e t h e d i g i t x o i s d i f fe r e n t f r o m z e r o .T h e r e i s no order ing a m o n g p - a d ic n u m b e r s w i t h t h e sa m e n o r m . I n

t h i s r e s p e c t Q p is s im i l a r t o t h e c o m p l e x n u m b e r s C . T h e r e l e v a n c e o f t h isr e m a r k c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t i t i s t h e o r d e r e d c h a r a c t e r o f N w h i c h l i e sa t t h e h e a r t o f , e .g ., S a r kov sk i i ' s t he o r e m . ~

T h e Qp's a n d ~ a r e a l l dis t inc t n u m b e r f i e l d s . F o r e x a m p l e , + i a n d+ x / ' 6 b e l o n g to Q s b u t + x / ~ d o e s n o t! W h a t t h e s e a s s er ti o n s p r ec is e lym e a n is t h a t t h e e q u a t i o n s x 2 - 6 = 0 a n d x ~ + 1 = 0 d o a d m i t s o l u t i o n s o nQ s w h il e x 2 - 5 = 0 d o e s n o t ! M o r e g e ne r al ly , o n e c a n s h o w , a s a c o n -s e q u e n c e o f H e n s e l' s l e m m a , (3'4) t h a t f o r a n y p - a d i c n u m b e r a e Q p , itss q u a r e r o o t ~ w i ll b e l o n g t o Qp (p >>.3 ) if a h a s a n e v e n o r d i n a l a n d i f i tsf i r s t d ig i t i s a square m o d u l o p !

T h e n o n - A r c h i m e d e a n n a t u r e o f t h e p - a d i c n o r m h a s o f c o u r s e f ar -r e a c h i n g c o n s e q u e n c e s . F i r s t o f a ll , i t i m p l i e s w h a t i s u s u a l l y c a l l e d" u l t r a m e t r i c i t y " : a n y " t r i a n g l e " w i t h " si d e s " x , y , a n d x - y is n e c e ss a ri ly ,isosceles, i .e. , if , say, [Xlp < ly lp , t h e n I x - Y l p = [Ylp! I t f o l l o w s t h a t Q p isa d i s connec t ed f i e ld : subse t s o f Qp h a v e n o b o u n d a r i e s , o r , m o r e p r e c i s e l y ,t h e y a r e bo t h o p e n a n d c l o s ed w i t h r e s p e c t t o t h e t o p o l o g y i n d u c e d b y l" [ ?.F o r e x a m p l e , t h e s o - c a l l e d p - a d i e i n t e g e r s Y p = { x l x E Q p , ]X lp ~< l } ca na l s o b e d e f i n e d a s ~_p={XlX~Qp, ]Xlp

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898 Thiran e t a l .

f ie ld C h a s t h e r a t h e r r e m a r k a b l e p r o p e r t i e s o f b e i n g c o m p l e t e [ w i t hr e s p e c t t o t h e e x t e n d e d a b s o l u t e v a l u e : l a + b il ~ - - ( a 2 + b e ) ~ /2 ] a s w e l l asa l g e b r ai c a ll y c l o s ed ( e v e r y p o l y n o m i a l e q u a t i o n o n C a d m i t s a s o l u t i o n i nC ) . F o r e a c h Q p , t h e r e i s a l s o a n a l g e b r a i c a l l y c l o s e d a n d c o m p l e t e e x t e n -s i o n f 2 p , w h i c h i s , h o w e v e r , c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l i c a t e d t o c o n s t r u c tt h a n C . W e w i ll h a v e n o u s e o f s i n t h i s p a p e r .

D e s p i t e a l l t h e d i f fe r e n ce s b e t w e e n ~ a n d Q p w e w i l l s h o w i n t h e n e x ts e c t i o n s t h a t s i m p l e n o n l i n e a r m a p p i n g s o n Q p p r e s e n t a s t o n i s h i n gs i m i la r it ie s w i t h s i m i l a r m a p p i n g s o n N ! I f n o t h i n g e l s e, t h i s s t r o n g l ys u g g e s ts t h a t t h e r e a r e " c h a r a c t e r i s t i c fe a t u r e s " o f d y n a m i c a l s y s t e m s w h i c hd o n o t e v e n d e p e n d o n t h e n u m b e r f i e l d s u s e d t o m o d e l t h e m .

3 . Q U A D R A T I C M A P P I N G S A N D C Y C L E SO u r m a i n i n t e r e s t w i l l b e i n q u a d r a t i c m a p p i n g s

x ~ g ( x ) = a 2 x 2 + a l x + a o (3 .1)w he r e x , a 0 , a ~ , a 2 a l l be long to Q p a nd p i> 3 . 4

T h r o u g h a s i m p l e c o n j u g a c y , ( 3 . 1 ) c a n b e b r o u g h t t o t h e c a n o n i c a lf o r m

x ~ f ( x ) = x 2 + a (3 .2)I n d e e d , l e t T b e t h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o n Q p ,

T ( x ) = 2x + # ( 3 .3 )a n d t h u s

T - X ( x ) = ( x - # ) / 2C h o o s i n g 2 = a 2 a n d # = a l / 2 , o n e e a s il y o b t a i n s

( T g T - 1 ) ( x ) = x 2 + aw i t h

M o r e g e n e r a l l y o n e h a sa = a o a 2 + a f t 2 - a ~ / 4

(3 .4)

( 3 . 5 )

(3 .6)

4 As is often the case in num ber theory , p = 2 is som ewh at special and we prefer to ignore it.T g " = f " T (3 .7)

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7/21

p - A d i c D y n a m i c s 8 9 9w h e r e g " d e n o t e s , as u s u a l, t h e n t h i t e r a t i o n o f t h e m a p g . C o n j u g a t e m a p sa r e o f c o u r s e e q u i v a l e n t (~) i n t h e s e n s e t h a t t h e y e x h i b i t t h e s a m ed y n a m i c a l p r o p e r t i e s s u c h a s c y c le s , f i x e d p o i n t s , e t c .L e t u s c o n s i d e r t h e m a p p i n g ( 3 .2 ) s ta r t in g f r o m s o m e i n it ia l p - a d i cn u m b e r x i ~ . I f l a ]p ~ 1 , w e ha ve

If "( & ~ )l p ~< 1 if Ix~,lp ~< 1 (3.8 )a n d

I f ' ~ ( x i n ) l p ~ if Ixi~lp > 1 (3.9 )O n t h e o t h e r h a n d , i f [ a l p > t , s t a r ti n g w i t h I x f f n l~ > l a l ~ o r I X ~ n l p < l a l ~l e a ds to

, l im I f~ ( x~n )lp ~If [X~n]p= la lp , t h e i t e r a t i v e p r o c e s s w i ll n o t d i v e r g e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a" c o n s p i r a c y " a t e a c h s te p s u c h t h a t

[ ~ f q ( X i n ) ] 2 -~ af p = laf 1/2 (3 .1 0)T h i s i s p o s s i b l e o n l y i f ~ b e l o n g t o Q p .I n t h e f o l l o w i n g w e w i l l b e c o n c e r n e d o n l y w i t h o r b i t s{ x , f ( x ) , f 2 ( x ) ..... f " ( x ) } w h i c h r e m a i n b o u n d e d w h e n n ---, o o.

F i x e d p o i n t s o f t h e m a p ( 3. 2) a r e s o lu t i o n s o f f ( x ) - - x , i.e., t h e y a reg i v e n b y

1 + ( 1 - 4 a ) 1/2x+_ = 2 (3.1 1)

w h e r e th e s q u a r e r o o t m a y o r m a y n o t e x is t i n Q v d e p e n d i n g o n t h e v a l u e so f a a n d p . C l e a r l y , if t h i s s q u a r e r o o t d o e s n o t e x i s t i n Q p , t h e r e is n o f i x e dp o i n t .

S i m i l a r l y , ~12) p o i n t s o f p r i m i t i v e p e r i o d 2 a r e s o l u t i o n s o ff 2 ( x ) - x -- 1 + ( - 3 -- 4 a) 1/2- - - 0 , i . e . , x + = ( 3 . 1 2 )f ( x ) - - x - 2

F o r h i g h e r - o r d e r c y c l e s, o f c o u r s e , e x a c t f o r m u l a s d o n o t e x i st , i n g e n e r al .A c y c l e o f o r d e r n , w i t h f n ( f f ) = 2 , i s a t t r a c t i v e i f, f o r x c l o s e t o if, f " ( x ) isc lo s e r. F o r a s m o o t h e n o u g h m a p , t h is is e q u i v a l e n t t o [ f n ( s 1 a n ds inc e

f " ( x ) ' = f ' ( f " - l (x ) ) f ' ( f " - 2 (x )) . .. f ' ( x ) (3 .13)

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9 0 0 T h i r a n e t a l .

a n d

I f ' ( x ) l p = 1 2 x l p = [ x l p ( 3 . 14 )o n e e a s i ly c o n c l u d e s t h a t w h e n [a lp~ 1 , t h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s f o r ag i v e n cy c le : e i t h e r i t w a n d e r s t h r o u g h s o m e x w i t h [x[p< 1 a n d i s a t t r a c -t iv e , o r it d o e s n o t c r o s s s u c h a n x a n d i s t h e n i n d if f e re n t , m e a n i n g t h a t

[ fn(x)-- f f lp= Ix--~lp ( 3 , 1 5 )O n t h e o t h e r h a n d , w h e n [ a l p > 1 , o n l y r e p e l l i n g c y c l e s a r e p o s s i b l e , s i n c eo n e n e c e s s a r i ly h a s v a l u e s o f x w i t h Ixl p = l a [ ~ / 2 > 1 .

F r o m t h e p r e v i o u s r e m a r k s , o n e d e r iv e s a n e a s y p r o c e d u r e f o r f in d i n ga l l a t t r a c t i v e c y c le s ( r e m e m b e r la l p ~< 1 ): s t a r t f r o m x m = 0 m o d p a n d c o m -p u t e i ts o r b i t f k ( x i n ) m o d u l o p a s w e ll . W e k n o w a f t e r a t m o s t p s t e p sw h e t h e r t h e o r b i t p a s s e s t h r o u g h x = 0 m o d p a g a i n o r n o t , i ,e ., i f t h e r e i sa n a t t r a c t i v e c y c l e o r n o t .

A s a n e x a m p l e , l e t u s t a k e p = 5 . I f la l5 = 1 , t h e f i r st d ig i t o f a m u s t b e1 , 2 , 3 , o r 4 , o r , i n o t h e r w o r d s , a = 1 , 2 , 3 , o r 4 r o o d p . W e s u c c e s s i v e l yc o m p u t e t h e o r b i t s m o d p :

F o r a = l m o d p :x in = 0 ~ f ( 0 ) = 1 ~ f 2 ( 0 ) = 2 ~ f 3 ( 0 ) = 0

H e n c e , t h e r e i s a n a t t r a c t i v e c y c le o f o r d e r 3 .F o r a = 2 m o d p :

X in = 0 --* f ( O ) = 2 --+ f 2 ( O ) = 1 ~ f 3 ( O ) = 3 --+ f 4 ( O ) = 1w h i c h s h o w s a n i n d i f f e r e n t c y c le o f o r d e r 2 .

S i m i l a r ly , i n a s i m p l i f ie d n o t a t i o n , f o r a = 3 m o d p :X in -~- 0 ~ 3 ~ 2 ~ 2 ( i n d i f f e r e n t f i x e d p o i n t )

F o r a - - 4 m o d p :X in m_ 0 ~ 4 ~ 0 ( a t t r a c t i v e c y c l e o f o r d e r 2 )

O n th e o t h e r h a n d , i f [ a [ 5 < l , a = 0 ( m o d p ) a n d X i n = 0 - " t 0 , w h i c hi n d i c a t e s a n a t t r a c t i v e f i x e d p o i n t.

I n g e n e r a l , o n e f i n d s , o f c o u r s e , f o l l o w i n g E q . ( 3 .1 1 ) , t h a t t h e r e i sa l w a y s a f ix e d p o i n t a t 8 9 1/2] - ~ a w h e n [ a ] p < l a n d , i n t h isc a s e , t h e r e is o b v i o u s l y n o o t h e r a t t r a c t i v e c y cl e .

W h a t t h e e x a m p l e a l so s h o w s i s t h a t t h e r e a r e o n l y tw o s u b r e g i o n s o fv a l u e s o f a , w i t h ]a [5 = 1, f o r w h i c h a n a t t r a c t i v e c y c l e is p o s s i b l e . F o r

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p-Adic Dynamics 901a r b i t r a r y p , t h e r e w i ll b e ( p - 1 ) /2 s u c h s u b r e g i o n s . I n d e e d , f o r t h e o r b i t t op a s s t h r o u g h x = 0 ( m o d p ) a g a i n , th e r e m u s t c l e a rl y b e a s o l u t io n tof ( x ) = x z + a = 0 ( m o d p ) . T h u s , a n a t t r a c t i v e c y c l e is p o ss i b le o n l y i f - a isa s q u a r e i n Qp a n d t h i s is t h e c a s e f o r p r e c is e l y h a l f th e m o d p v a l u e s o f aw i t h [a[p-- 1.

A s a la s t r e m a r k , l e t u s p o i n t o u t t h a t a n i m p o r t a n t f e a t u re o f t h ep - a d i c q u a d r a t i c m a p , i n c o n t r a d i s t i n c t i o n w i t h t h e r e a l c a s e , i s t h e a b s e n c eo f b i fu r c a t i o n s : t h e r e i s n o v a l u e o f a f o r w h i c h a n a t t r a c t i v e f ix e dp o i n t s p li ts i n t o a n a t t r a c t i v e c y c l e o f o r d e r 2 . T h i s i s a n u n a v o i d a b l ec o n s e q u e n c e o f t h e d i s c o n n e c t e d n a t u r e o f Q p.

4 . I N D I F F E R E N T F IX E D P O I N T S A N D T O P O L O G I C A LC O N J U G A C Y

I n t h i s se c t io n w e a n a l y z e in s o m e d e t a i l t h e q u a d r a t i c m a p n e a r a ni n d i f f e r e n t f ix e d p o i n t . A t t h e p r ic e o f s o m e e x t r a a l g e b r a , a s i m i l a r a n a l y s isc o u l d b e m a d e n e a r i n d if f e re n t p e r i o d ic p o i n ts .

A s s u m e t h u s t h a t o n e c o m p u t e s t h e o r b i t o f a p o i n t x n e a r a ni n d i f f e r e n t f ix e d p o i n t t o a g i v e n a c c u r a c y , s a y m o d u l o p ~ + l ,

X-=-Xo-kXlpq- "" +x, ,p" , O

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9 0 2

Then

f 2 ( x ) ~- f ( x ) + f ' ( x ) a ( x ) p " + . . .~ - x + a ( x ) p~ + f ' ( x ) ~ r( x) p~ + . . .

I t e r a t i n g t h i s c o m p u t a t i o n , o n e f i n d sf m ( x ) " ~ X -b [1 + f ' ( x ) + " " -'k f ' m - l ( x ) ] O '(X ) p ~ + "o"

T h i r a n e t a l .

(4.3)

w i t h I ~ ( x ) [ p ~ 1 a n d t h e f i r s t a p p r o x i m a t e p e r i o d i s t h u s r . D e f i n eh ( x ) = f r ( x ) (4.6)

C lea r ly ,h ' ( x ) = f ' ( f r l ( x ) ) . . . f ' ( x )

[ f ' ( x ) ] r = 1 ( m o d p ) (4.7)R e p e a t i n g f o r h ( x ) t h e c a l c u l a t i o n d o n e a b o v e f o r f ( x ) gives

h " ( x ) ~ - x + [ l + h ' ( x ) + . . . + h ' ' ~ ( x ) ] p ( x ) p ~ + l + . . .~ x + m # ( x ) p ~ + l + , . . . , I/~(x)lp ~< 1 (4.8)

A m o r e a c c u r a t e a p p r o x i m a t e p e r i o d i c i t y o c c u r s f o r m = p ~" a n d t h i sc o m p l e te s t h e p r o o f o f t h e s t a te m e n t .

H o w e v e r , t h i s d o e s n o t p r o v e t h a t t h e m a p p i n g i s t r u l y q u a s i p e r i o d i c :t h e c h o s e n p o i n t x c o u l d b e a n e l e m e n t o f a h i g h e r - o r d e r c y c le , n a m e l y , itm i g h t h a p p e n t h a t E q . ( 4 . 8 ) r e a d s

h m ( x ) = X e x a c t l y [ # ( x ) = 0 ] f o r s o m e l a r g e mI n t h e r e m a i n d e r o f th i s s e ct io n , w e w il l s h o w h o w t o p o l o g i c a l

c o n j u g a c y ~1) c a n b e u s e d t o s o lv e t h e p r o b l e m . R a t h e r t h a n a r g u e i n f u llg e n e r a l it y , w e w il l s h o w t h a t i n a s u i ta b l e r a n g e o f t h e p a r a m e t e r a a n d t h ep o i n t x , t h e q u a d r a t i c m a p i s e q u i v a l e n t t o a l i n e a r m a p ( a c t u a l l y t h e" d e r i v a t i v e " m a p ) a n d t h a t t h i s m a p i s q u a s i p e r io d i c . T h e c o n j u g a c yr e l a ti n g t h e se t w o m a p s is o f c o u r s e n o n l i n e a r .

N o w , i f r is t h e s m a l le s t d i v i s o r o f p - 1 s u c h t h a t f ' ( x ) r = 1 ( m o d p ) , t h e nf r ( x ) ~ x + # ( x ) p ~ + l + . . . (4.5)

1 - f ' ( x ) "x -t a( x ) p~ + . . . (4.4)1 - f ' ( x )

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p -A d ic D y n a mic s 9 0 3L e t ~ b e t h e e x a c t i n d i ff e re n t f ix e d p o i n t o f th e q u a d r a t i c m a p

[ E q . ( 3 . 2 )] . T h u s , f ( ~ ) = ~ a n d [ f ' ( ~ ) l p = 1. W e c o n s i d e r a s e t o f p o i n t sclose to ~7, i.e.,

x = ~ + 6 w i t h 1 6 [ p ~ l / p (4 .9)O n t h i s s e t , f ( x ) i s l i n e a r l y c o n j u g a t e t o g( 6) ,

g ( 6 ) = 2ff6 + 3 2 (4.10 )I n d e e d , w i t h

T ( 6 ) = Yc + 6 ( 4 .11 )T - a f T = g ( 4 .12 )

O u r n e x t t a s k i s t o s h o w t h a t u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , g ( 6 ) ist o p o l o g i c a l l y c o n j u g a t e t o t h e l in e a r m a p L ( 6 ) w i t h

L ( 6 ) = 2 Y c 6 := o96 (4 .13)

T h i s l i n e a r m a p i s o f c o u r s e m u c h e a s i e r t o s t u d y . I n a l m o s t a l l c a se s , t h e r ea r e o n l y t w o k i n d s o f p o i n t s : ( i ) 6 = 0 , w h i c h i s th e f i x e d p o i n t ; a n d ( ii ) a l lo t h e r p o i n t s a r e q u a s i p e r i o d i c : t h e i r p e r i o d i n c r e a s e s f o r e v e r a s t h ea c c u r a c y d e f i n e d b y E q . ( 4 . 1 ) i m p r o v e s . ~12)

T h e o n l y e x c e p t i o n s o c c u r w h e n ~o is e x a c t l y e q u a l t o 1 f o r a d i v i s o r ro f p - 1. I f co is o n l y a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 1, w e m a y w r i t e

(~0 = I -~ -7 p a (4 .14)w i t h I ~ , l p = 1 a n d / ~ > 1 , a n d , u s i n g th e b i n o m i a l e x p a n s i o n ,

(oor)p~ ~ 1 + p ~Tp ~ + .- - :~ 1 (4.15 )L e t u s a s su m e , f o r d e fi ni te n es s, t h a t 1 6 [ p = p - L T o p r o v e t h e

t o p o l o g i c a l c o n j u g a c y o f L a n d g , w e m u s t c o n s t r u c t a n h o m e o m o r p h i s mU f r o m p~Y_p ~ p~Y_p s u c h t h a t

W r i t i n gU ~ L U = g ( 4 .16 )

U(6 ) = q~6 + q20 2 q-- q36 3 + -- .t h i s s e r ie s w i l l c on ve r ge i f lim n ~ ~ Iqn6 nl p --, O.

( 4 .17 )

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9 0 4

T h e u n k n o w ni d e n t i t y

Th i r a n e t a l .

c o e f fi c ie n t s q , a r e d e t e r m i n e d r e c u r s iv e l y f r o m t h e

( L U ) ( 6 ) = ( U g ) (6 ) ( 4 . 1 8 )o r~ o (q ~ 6 + q 2 6 2 + q 3 6 3 + . . . ) = q l (o ~ 6 + 6 2 )

+ q2(~ 06 + 62 )2 + q3(o)(~ + ( ~ 2 ) 3 _ [_ . . .T h i s y i e l d s ( q i m a y a l w a y s b e t a k e n - - 1 )

o9q2 = ql + q2 ~~09q3 = 2q2~o + q3~o3o9q4 - - q2 + 3q3 ~ 2 + q4 ~4 ....

I n g e n e r a l , w e h a v e

( 4 . 1 9 )

( 4 . 2 0 )

a n d t h u s[(n--1)lr] p l [p E (.-l) l.ln l-~ l [~_~__r ] I - 1Iq ,[p

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p-A dic Dynamics 905U sin g the resu l t (4) th a t for p k ~< m < pk + 1

i m ! ] p ~ p l m ( 1 - p - k ) / ( p 1) ( 4 . 2 8 )w e f i n a l l y o b t a i n t h a t

,, .< (( ,, 1) /r (p -1 )} {( p 1)(r~, ~) 1}Iq.6 [p ~ Cp (4 .29)

He nc e , t he se r ie s f o r U c o nv e r ge s i f r e - / 3 > 0 ( f o r p ~> 3 ) .W e n o w s p e c i al i ze to t h e c a s e s r = 1 a n d r = 2 a n d w e s h o w t h a t t h e

l a c k o f c o n v e r g e n c e o f ( 4 .1 7 ) f o r r e ~ 0 .

W e i l l u s t r a t e t h i s o n t w o e x a m p l e s ( b o t h f o r p = 5 , r = 2 ).F i r st , c o n s i d e r a = - 3 / 4 - 1 . 5 2 + .... T h e r e is a 2 - cy c le a t x + =

- 1 / 2 + 1 . 5 + . . . , a n d th e f ix e d p o i n t is 2 = - 1 / 2 - 1 / 2 . 5 2 .... g iv in g c o 2=1 + 2 . 5 2 . . . , t ha t i s, f l = 2 . He n c e , t he c o nd i t io n 2 - ~ - f l > 0 r e qu i r e s ~ > /2 ,s o t h a t t h e q u a s i p e r i o d i c b e h a v i o r is a c h i e v e d f o r a n y p o i n t x s t r i c tl y cl o s e rt o t h e f i x e d p o i n t t h a n t h e 2 , c y c l e .O n t h e o t h e r h a n d , if a = - 3 / 4 + a l - 5 + ( a l ~ 0 ) (i.e., t h e 2 -c y cl ed o e s n o t e x i s t) , w i th t h e f i x e d p o i n t ~7 n o w a r o u n d - 1 / 2 + a l / 2 . 5 , t h e no 9 1= - 1 + a 1 - 5, s o t h a t f i = 1 . H e r e t h e c o n d i t i o n 2 . c ~ - f i > 0 is f ul fil le df o r a n y ~>~ 1 : t h e m a p i s q u a s i p e r i o d i c f o r e v e r y x s u c h t h a t Ix-215 1 i s c h a o t i c o n t h e C a n t o rse t A . Th i s d i sp roves a con jec tu re made in re f . 12 .

I t is c le a r t h a t t h e t e c h n i q u e s d e v e l o p e d i n t h i s p a p e r c a n b e a p p l i e d t oo t h e r m a p p i n g s . A s a n e x a m p l e c o n s i d e rf ( x ) = x 3 - - y 3 , [ ~ [ p > 1 (5.16)

I f 1 i s t h e o n l y c u b i c r o o t o f 1 b e l o n g i n g t o Q p, o n l y a s i n g l e p o i n t h a s ab o u n d e d o r b i t : t h e fi x ed p o i n t . T h e s i t u a t i o n i s m u c h m o r e i n t e r e s t i n g i f t h eo t h e r c u b i c r o o t s o f 1, ( - 1 + x / - S 3 ) / 2 , a l s o b e l o n g t o Q p. T h e p o i n t sw h i c h d o n o t e s c a p e t o i n f i n i t y c a n b e w r i t t e n a s ( p > 3 )

1 1 4 1 2 ) ~ 3X " ~ 4 1 ]) -[ - 8 9 1 4 1 ~ - - 1 "q- 3 ( 3 4 - - 1 4 1 4 3 - 4 1 - [- . .. (5.17)w i t h 4 3 _ I = 4 ~ = 4 3 . . . . . 1 . T h i s i s a g a i n a C a n t o r s et a n d t h ep a r a m e t r i z a t i o n c a n b e c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t t h e a c t i o n o f f o n t h e

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20/21

9 1 2 T h i r a n et aL

p o i n t x is e q u i v a l e n t t o t h a t o f t h e s h if t m a p o n t h e s e q u e n c e( 2 1 , ~ 1 , 2 3 , ' " ) '

A n o b v i o u s q u e s t i o n i s w h e t h e r c h a o t i c b e h a v i o r c a n o c c u r n o t o n l yo n a C a n t o r s e t, b u t o n s e t s o f n o n z e r o m e a s u r e a s we ll. T h e a n s w e r t o t h i sq u e s t i o n i s y e s . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g m a p f r o m Z p t o Z p:

X = X o + X l p + x 2 p 2 + . . . h ~ X l + x 2 p q _ x 3 p 2 + . . . (5 .18)T h i s m a p is p - a d i c a l ly c o n t i n u o u s a n d d i ff e re n t ia b l e,

h ' ( x ) = p 1h"(x)=0

(5 .19)(5 .20)

N e v e r t h e l e s s , b e c a u s e o f t h e d i s c o n n e c t e d n e s s o f t h e p - a d i c f ie l d Q p , t h em a p i s n o t t r iv ia l : h ( x ) i s n o t t h e m a p x /p a n d i t d o e s n o t h a v e a c o n -t i n u o u s r e a l c o u n t e r p a r t . (3'4) T h e m a p h i s a g a i n t h e s h i ft m a p , b u t t h i st im e i t a c t s on in f in i t e se que nc e s (Xo , x l , x~ , .. .) , w he r e x i a r e the d ig i t s o f ap - a d i c n u m b e r , i . e . , O

8/14/2019 p Adic Dynamics

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