Osová souměrnost Definice: Mějme dánu přímku o. Osovou souměrností nazveme shodné zobrazení v rovině, které každému bodu X o přiřadí bod X‘ tak, že platí |Xo| = |oX‘| a každému bodu X o bod X‘ = X. Přímka o se nazývá osa souměrnosti. Osová souměrnost může být zadána 2 body, které určují přímku o. Též může být zadána vzorem a obrazem nějakého objektu. Samodružné body jsou všechny body osy o. Samodružné přímky jsou osa o a přímky na ní kolmé. Osa o je bodově samodružná. Osová souměrnost je nepřímé shodné zobrazení.

Skládání osových souměrností

Budeme uvažovat skládání 2 osových souměrností. Mohou nastat 3 případy: (i) o1 = o2 (ii) o1 II o2 (iii) o1 II o2.

V případě (i) vznikne identita, v případě (ii) posunutí, v případě (iii) otočení. Pokud na sebe budou osy kolmé, vznikne středová souměrnost. Z výše uvedeného plyne, že osové souměrnosti s operací skládání netvoří grupu. Osová souměrnost je však generátorem grupy shodných zobrazení.

Středová souměrnost na přímce, v rovině či v prostoru se středem v bodě (tzv. střed souměrnosti) je takové zobrazení, které zobrazuje střed na sebe sama a obraz všech ostatních bodů na bod, který se nachází vůči svému na opačné polopřímce vedené středem souměrnosti. středem souměrnosti.

Středová souměrnost je typ geometrického zobrazení, které:1) zachovává vzdálenosti úseček 2) vzdálenosti mezi body i velikosti úhlů3) Zachovává orientaci v rovině3) Zachovává orientaci v rovině= shodné zobrazení.

SHODNÉ ZOBRAZENÍ = zobrazení, které zachovává vzdálenosti

Středová souměrnost v prostoru se středem v počátku souřadné soustavy se též nazývá prostorová inverze.

Nechť je bod zván samodružným právě tehdy, když se obraz bodu při daném zobrazení zobrazí sám na sebe

-Střed souměrnosti je jediný, který je při středové souměrnosti bodem samodružným

-prochází-li přímka středem souměrnosti, zobrazí se její obraz sám na vzor, tedy přímka je samodružná

Nechť má kružnice k svůj střed ve středu souměrnosti, potom je sama k sobě samodružná.

Nechť je střed souměrnosti vně kružnice k, pak vzor kružnice k a její obraz nemají žádný společný bod.

Nechť je střed souměrnosti na kružnici k, pak její vzor Nechť je střed souměrnosti na kružnici k, pak její vzor a obraz mají právě jeden společný bod, který je středem souměrnosti

Nechť je střed souměrnosti uvnitř kružnice k, pak její vzor a obraz mají 2 společné body. Průsečík chordály ke kružnicím k a k´ (obraz k) a spojnice středu SS´ (S´= obraz středu kružnice) je střed souměrnosti.

Příklad č. 1

Jsou dány dvě soustředné kružnice k(A,r1=4cm), l (O,r2= 6cm) a bod S ležící na menší z nich. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy leží na daných kružnicích.

Příklad č. 2Příklad č. 2

Jsou dány čtyři kružnice k, l, m, n a bod S. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy A,B,C,D leží po řadě na kružnicích k, l, m, n.

Příklad č. 3

Je dán trojúhelník ABC. Určete jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S, je-li S=S0, kde S0 je střed kružnice opsané trojúhelníku ABC

Složením dvou středových zobrazení je posunutí

Složení středové souměrnost lze získat jako složení dvou osových souměrností

Stejnolehlost kružnic D:OBRAZEM KRUŽNICE k(O, r) ve stejnolehlosti �(S, �) je kružnice k´(O´, |�|.r); přitom bod O´je obrazem

bodu O. V: Jsou-li dány dvě kružnice s r ůznými polom ěry , pak existují právě 2 stejnolehlosti , které zobrazí jednu

kružnici na druhou. Vlastnosti: -bod dotyku kružnic je střed stejnolehlosti -středy stejnolehlosti leží na přímce procházející středy kružnic V: V případě svou shodných kružnic s různými středy existuje jen jedna stejnolehlost, která zobrazuje jednu

kružnici na druhou (druhá by měla střed v nevlastním bodě, tedy v nekonečnu). Je to středová souměrnost. Jestliže středy splývají, jde o identitu.

V: Společná tečna (pokud existuje) je buď rovnoběžná se spojnicí středu kružnic, nebo prochází středem

některé stejnolehlosti, zobrazující jednu kružnici na druhou.

Postup sestrojení společných tečen dvou kružnic s různými poloměry Konstrukce je provedena pro kružnice s různými poloměry a vzdáleností středů větší než součet poloměrů těchto kružnic.

1. Sestrojení zadaných kružnic, středné, pomocného bodu a jeho obrazů sestrojíme kružnice k1(O1,r1) a k2(O2,r2) sestrojíme střednou o na kružnici k1 zvolíme libovolný bod X, sestrojíme úsečku XO1 bodem O2 vedeme rovnoběžku s úsečkou XO1 její průsečíky s k2 označíme X´ a X´´

2. Sestrojení středů stejnolehlostí Sestrojíme přímky XX´ a XX´´ jejich průsečíky se střednou o označíme S1 a S2 body S jsou středy stejnolehlostí, ve kterých je jedna kružnice obrazem druhé

3. Existence společných tečen pokud existují společné tečny dvou kružnic s různými poloměry, pak tyto tečny

procházejí středy stejnolehlostí, ve kterých je jedna kružnice obrazem druhé společné tečny dvou kružnic s různými poloměry existují tehdy, když vzdálenost

středů kružnic je větší nebo rovna rozdílu poloměrů těchto kružnic Nápověda : 4. Sestrojení vnějších tečen

sestrojíme Thaletovu kružnici s průměrem S1O2 její průsečíky s kružnicí k2 jsou body dotyku T1 a T2 společné tečny t1 a t2 jsou přímky S1T1 a S1T2

5. Sestrojení vnitřních tečen

sestrojíme Thaletovu kružnici s průměrem S2O1 její průsečíky s kružnicí k1 jsou body dotyku T3 a T4 společné tečny t3 a t4 jsou přímky S2T3 a S2T4

Výsledek konstrukce :

Poznámky pro studenty :

1) Proveďte diskuzi o počtu společných tečen dvou kružnic s různými poloměry a) pro kružnice bez společného bodu ( r1 + r2 > | O1O2 | ) – viz návod b) pro kružnice s vnějším dotykem ( r1 + r2 = | O1O2 | ) c) pro kružnice, které se protínají ( | r1 + r2 | < | O1O2 | < | r1 – r2 | ) d) pro kružnice s vnitřním dotykem ( | r1 – r2 | = | O1O2 | e) pro kružnice bez společného bodu, jestliže jedna je uvnitř druhé (| r1- r2 | < | O1O2 | )

2) Proveďte konstrukci pro zadané hodnoty : a) k1(O1, 3cm), k2(O2, 1,5 cm), |O1O2| = 5,5 cm b) k1(O1, 3 cm), k2(O2, 2 cm), |O1O2| = 5 cm

Osová souměrnost textStředová_souměrnostStejnolehlost kružnicspolecne_tecny_kruznic