OSNOVNE OPERACIJE OSNOVNE OPERACIJE SA VEKTORIMASA VEKTORIMA

Miloš PrelićMiloš Prelić

Treba da naučimoTreba da naučimo

Šta su vektori a šta skalari Jednakost vektora Sabiranje (slaganje) vektora Da li je uvek 1+1 = 2 ??? Oduzimanje vektora Razlaganje vektora

Šta su vektori, šta skalari ?Šta su vektori, šta skalari ?

Vektori su fizičke veličine koje su određene vrednošću, pravcem i smerom. Takve veličine su: brzina, ubrzanje, sila, moment sile itd.

Vektori se grafički predstavljaju strelicom

Veličine koje su određene samo brojnom vrednošću, zovu se skalari. To su: masa, vreme, pređeni put i td.

F

Jednakost vektoraJednakost vektora

Vektori su jednaki samo ako su im jednaki svi parametri koji ih definišu, tj ako imaju isti pravac, isti smer i istu vrednost.

Jednaki vektori Različiti vektori

Sabiranje (slaganje) Sabiranje (slaganje) vektoravektora

1. Metoda paralelograma (samo za 2 vektora)

a

b

R = a + b

VAŽNO: Kod ove metode vektori se moraju dovesti na zajednički početak

Primer sabiranja vektoraPrimer sabiranja vektora

Ako sanke vuku dva dečaka različitih godina (a time i različim silama) iz iskustva znamo da će se sanke kretati pravcem koji je bliži pravcu vučenja jačeg dečaka. Tako je zapravo i primećeno da se vektori sabiraju na specifičan način.

Pravac kretanja sanki

sanke

Sabiranje (slaganje) Sabiranje (slaganje) vektoravektora

2. Metoda nadovezivanja ( za proizvoljan broj vektora)

R = a + b + c

VAŽNO: U ovom slučaju na kraj jednog vektora se dodaje početak

drugog i sve tako dok se svi vektori ne slože

a

b

c

a

b c

Oduzimanje vektoraOduzimanje vektora

Oduzimanje nije neka nova operacija, već se svodi na sabiranje, s tim što se vektorima ispred kojih stoji znak minus menja smer.

Primer: a + b – c = ?a

b

c

-c R = a+b-c

Kad je zbir vektora Kad je zbir vektora najveći, a kad je najveći, a kad je

najmanji ?najmanji ? Zbir vektora je najveći kada su vektori sa istim

pravcem i smerom i samo tada je sabiranje vektora identično sa sabiranjem brojeva. Tj samo tada može biti 1+1 = 2

Zbir vektora je najmanji kada vektori imaju isti pravac a suprotan smer, tj može biti i 1 + 1 = 0

ab

ba

R

dc cd

R

Razlaganje vektoraRazlaganje vektora

Pri slaganju vektora, od dva vektora smo pravili jedan. Kod razlaganja vektora je obrnuto – od jednog vektora treba da dobijemo dva. Pravci na koje razlažemo vektore mogu biti proizvoljni a često moramo da sledimo prirodu, tj da gledamo kako to ona radi (kao što je primer strme ravni).

1

2

FF1

F2

mg

NFs

Fs – komponenta težine koja tera telo niz strmu ravan

N – komponenta težine koja utiče na ugibanje strme ravni

MoMogu li se od jedne male gu li se od jedne male sile dobiti dve velike ?sile dobiti dve velike ?

Da, mogu. To je pokazano na donjem primeru gde se vidi da su te dve sile skoro pod uglom od 180 stepeni.

Npr ako u zategnut konopac guramo silom F dobijamo dve komponente F1 i F2 koje su neuporedivo veće od sile guranja F FF1

F2

Da li je ovo sve?Da li je ovo sve?

Ne, nije. Postoji još operacija sa vektorima, ali su one komplikovanije i ređe u upotrebi.

Tako imamo dve vrste proizvoda vektora:1. skalarni proizvod2. vektorski proizvod

Rezultat skalarnog proizvoda dva vektora je skalar, pa otuda i takvo ime

Rezultat vektorskog proizvoda dva vektora je vektor

I na kraju...I na kraju...

Šta su vektori a šta skalari?

Jednakost vektora

Sabiranje (slaganje) vektora

Oduzimanje vektora

Razlaganje vektota

Vektori su veličine određene vrednošću, pravcem i smerom. Skalari su veličine određene samo brojnom vrednošću

Vektori su jednaki samo ako su im jednaki svi parametri koji ih definišu, tj ako imaju isti pravac, isti smer i istu vrednost.

Vektori se mogu sabrati metodom paralelograma i metodom nadovezivanja (poligona)

Oduzimanje nije neka nova operacija, već se svodi na sabiranje, s tim što se vektorima ispred kojih stoji znak minus menja smer.

Pri slaganju vektora, od dva vektora smo pravili jedan. Kod razlaganja vektora je obrnuto – od jednog vektora treba da dobijemo dva.