Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 15 4 OSNOVE EDFA POJAAVAA Uovompoglavljusupredstavljeniosnovniprincipipotrebnizamodelovanjepojaanjai umaspontaneemisijeoptikihpojaavaadopiraniherbijumom.Dobijenejednaine prostiranja i populacije e, kasnije, biti iskoriene za simulaciju performansi pojaavaa, izmeu ostalog i zadobijanjeprofila spektralnog uma spontane emisijeoptikog pojaavaa u opsegu koji se koristi u savremenim WDM mreama. 4.1 Pojaanje u sistemu sa tri nivoa 4.1.1 Dinamike jednaine za sistem sa tri nivoa Najjednostavnijeprouavanjeoptikogpojaavaadopiranogerbijumompoinjesa razmatranjematomskogsistemasatrinivoa.Veinaznaajnihkarakteristikapojaavaamoe da se dobije iz ovog jednostavnog modela i pretpostavki na kojima se zasniva. Slika 4.1 Tronivovski sistem koji se koristi za model pojaavaa. Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 16 Posmatramo sistem sa tri nivoa sa slike 4.1. Osnovno stanje je oznaeno sa 1, posredno stanjesa3(nakomseenergijapumpa),ipostojiistanje2.Potostanjedva,esto,imadugo vreme ivota kada se radi o dobrom pojaavau, naziva se i metastabilno stanje. Stanje 2 je vii nivo prelaza koji daje pojaanje, a stanje 1 je nii nivo. Populacije ovih nivoa su obeleena sa , i. Ovaj tronivovski sistem predstavlja deo strukture energetskih nivoa jona erbijuma koji jevaanzaprocespojaanja.Dabismodobilipojaanje,potrebnanamjeinverznapopulacija nivoa1inivoa2,apotojestanje1osnovno,najmanjepolovinaukupnepopulacijejona erbijumatrebadasepobudinanivo2dabidolodoinverzijepopulacije.Ovopodieprag pumpe potreban za pojaanje, pa je, stoga, jedna od mana tronivovskih laserskih i pojaavakih sistema.injenica da je svetlosno poljeogranienou jezgro malihdimenzija predstavlja naroitu prednost u sluaju pojaavaa dopiranih erbijumom. Zbog toga su dostignuti intenziteti svetlosti veomavisoki,prekovelikihrastojanja,paseinverznapopulacijapostiesarelativnomalim snagamapumpe.Prvoemoposmatratiproblemkaodajejednodimenzionalan.Tojest, pretpostavljamodasuintenzitetipumpeisignalakaoiraspodelajonaerbijumakonstantniu transverzalnoj ravni, preko povrine efektivnog poprenog preseka vlakna.Fluks intenziteta upadne svetlosti na frekvenciji koja odgovara prelazu iz stanja 1 u stanje 3 (ubroju fotona po jedinici vremenapo jedinicipovrine) jeoznaen sa i odgovara pumpi. Upadni fluks na frekvenciji koja odgovara prelazu iz stanja 1 u 2 (u fotonima po jedinici vremena po jedinici povrine) je oznaen sa i odgovara polju signala. Promena populacije svakog nivoa potieodapsorpcijefotonaupadnogpoljasvetlosti,spontaneistimulisaneemisijeioddrugih naina da energija ode sa odreenog nivoa. Zasebno, verovatnou prelaza sa nivoa3 na nivo 2 oznaavamosa.Onapredstavljasumuneradijativnihiradijativnihverovatnoaprelaza,iu praksije,uveinisluajeva,uglavnomneradijativna.jeverovatnoaprelazasanivoa2na nivo1.Usluajuprelazajonasanivoa2( )nanivo1( ),je,uglavnom, posledicaradijativnogprelaza.Ovojezboginjenicedakodjonanepostojeposredna stanjaizmeunivoa1i2nakojasejonipobueninanivo2mogurelaksirati.Definiemo kao gde je vreme ivota nivoa 2.Apsorpcioni popreni presek prelaza sa nivoa 1 na nivo 3 obeleavamo sa , a emisioni poprenipresekzaprelazsanivoa2nanivo1sa.Pretpostaviemozasaddaapsorpcionii emisionipreseci koje posmatramo odgovarajuprelazima izmeu pojedinanih nedegenerisanih stanjaidasujednaki.Upraksi,ovipresecinisujednakiirazlikujusezavisnoodtalasneduine nosei informaciju o raspodeli termike populacije. Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 17 Dinamike jednaine promene populacije moemo napisati na sledei nain: (4.1) (4.2) (4.3) U stacionarnom stanju, svi izvodi po vremenu e biti jednaki nuli (4.4) a ukupna populacija je data kao (4.5) Koristei izraz 4.1, za populaciju nivoa 3 moemo da piemo: (4.6) Kadajeveliko(kadjeprisutanbrzipadsanivoa3nanivo2)uporeenjusa efektivnimkoeficijentompumpenanivou3,,jebliskonuli,takodajepopulacija uglavnomzastupljenananivoima1i2.Kadazamenimoizjednakosti4.6ujednakost4.2 dobijamo: (4.7) Zatim koristimo izraz 4.5 za izvoenje populacija i i inverznu populaciju (4.8) Uslovzainverznupopulaciju,samimtimipojaanjeprelazasanivoa2nanivo1,jedaje .Pragodgovarastanjukadaje irezultujesledeimizrazomzapotrebnifluks pumpe: (4.9) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 18 Usituacijigdejeintenzitetsignalaveomamaliikoeficijentopadanjavelikiu poreenjusakoeficijentomprelazakogprouzrokujepoljepumpe,,moemoinverznu populaciju da napiemo na sledei nain: (4.10) gde je (4.11) Naosnovuprethodnogizrazasedobijagrafikfrakcioneinverznepopulacijekaonaslici4.2. Inverzijajenegativnaispodpragapumpe,dokjeiznadtogpragapozitivna.Kadajeinverzija negativna,natalasnojduinipostojivieapsorpcionihprelazanegoemisionihprelaza,takoda signalimanegativnopojaanje,tj.slabljenje.Suprotnotome,kadajeinverzijapozitivna,signal dobija pozitivno pojaanje dok prolazi kroz pobueni medijum. Slika 4.2 Frakciona inverzna populacija u tronivovskom sistemu Intenzitetpumpe,ujedinicamaenergijepojedinicipovrinepojedinicivremena,je izraen sa . Prag intenziteta pumpe se, zatim, jednostavno dobija pomou izraza:. (4.12) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 19 Ovajednakostjeintuitivnolakazarazumevanje.tojevee,veajeiverovatnoadae fotonpumpebitiapsorbovankojasmanjujebrojfotonapumpepotrebnihdagarantujudaje dovoljan broj njih apsorbovan da bi se dostigao prag. Uz to, to je due , due i energija ostaje urezervoarukojiformiranivo2,i,kaorezultattoga,potrebnojemanjefotonapumpepo jedinicivremenadazadrienergijunanivou2.Natajnainmoemodasumiramouslove potrebne za nizak prag pumpe na: -veliki apsorpcioni popreni presek -dugo vreme ivota metastabilnog nivoa. Zaerbijum,situacijajenaroitopovoljnapopitanjuvremenaivota,jerimaveoma veliku vrednost od oko 10 ms u silicijumskom staklu. Moemo da procenimo intenzitet praga pumpekorienjem nekih tipinih vrednosti konstanti jona erbijuma. Koristimo talasnu duinu pumpanjaod 980 nm, cm i vreme ivota od 10 ms da bismo dobili intenzitet praga kWcm . Ako pretpostavimo da jeintenzitetpumperaspodeljenuniformnoprekoefektivneoblastiod m(povrina jezgrazamalojezgromonomodnogvlaknadopiranogerbijumom),toodgovarapragusnage mW.Ovovaizabeskonanomaleduinemedijumadopiranog erbijumom.Ovajultra-malipragdramatinooslikavajednuodglavnihprednostimonomodnih optikihpojaavaadopiraniherbijumom:nizakpragpumpezapojaanjekojiselakodobija elektrino pumpanim laserskim diodama. 4.1.2 Pojaanje malih signala U ovom delu je posveena panja izraunavanju pojaanja ili slabljenja svetlosti pumpe i signala koja se prostire kroz medijum sastavljen od jona koje opisuje tronivovski sistem.Nekasusada igustinepopulacijeujedinicamabrojajonapojedinici zapremine. Dva polja svetlosti putuju kroz medijum interagujui sa jonima i imaju intenzitete (polje signala) i (polje pumpe). Fluksovi fotona su dati kao: (4.13) i (4.14) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 20 Posmatraemoprostiranjesignaladujednogpravca(duosevlakna)kao jednodimenzionalniproblemkojijepojednostavljenjetrodimenzionalnogkarakteraraspodele jonaerbijumaujezgruvlaknaimodovasvetlosti.Ujednodimenzionalnomsluaju,intenziteti polja svetlosti se dobijaju iz snaga svetlosnih polja pomou sledee pojednostavljene relacije: (4.15) gdejefaktorpreklapanjakojipredstavljapreklapanjeizmeuerbijumovihjonaimodapolja svetlosti,ajeefektivnapovrinapoprenogpresekaraspodelejonaerbijuma.Faktor preklapanjaiefektivnipoprenipresekebitidetaljnorazmatranikasnije.Izrazom4.15se,u sutini, tvrdi da eintenzitet polja u taki biti uzet po svojoj srednjoj vrednosti u poprenom preseku,izraunatkaokoliinasnagekojaprolazikrozoblastdopiranuerbijumomuvlaknu, podeljena sa povrinom poprenog preseka. Pretpostaviemo, takoe, u sledeem razmatranju da se zraci pumpe i signala prostiru u istompravcu,tj.daseradiokopropagacionojkonfiguraciji(kojojjesuprotna kontrapropagaciona). Poljaeoslabitiilisepojaatinakoninfinitezimalneduinekombinovanimefektima apsorpcijekojapotieodjonausvomosnovnomstanju()istimulisaneemisijeodjonau pobuenom stanju ( i ). (4.16) (4.17) Izovogasledi,nakonnekogprorauna,sledeajednainazaporastintenzitetasignala(ili opadanje): (4.18) Moemo napisati i jednainu slabljena intenziteta pumpe na nain: Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 21 (4.19) Iz izraza 4.18, jasno je da je uslov za pojaanje polja signala da (4.20) gdejeponovoiskorienarelacija ,ajeintenzitetpragapumpezapojaanjena talasnoj duini signala. Ovo je ekvivalentno uslovu koji je izveden ranije za inverznu populaciju. Moemoovejednainepisatinajednostavnijinaindefinisanjemintenzitetau jedinicama praga pumpe. Ovi normalizovani intenziteti su dati sa (4.21) (4.22) Zatim definiemo veliinu kao (4.23) i intenzitet zasienja kao (4.24) nakontogamoemodanapiemojednaineprostiranjanormalizovanihintenzitetanasledei nain: (4.25) i pumpe (4.26) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 22 Izrazi4.25i4.26odreujuponaanjeEDFApojaavaananajjednostavnijemnivou.Bie potrebno da se izvre modifikacije ovog sistema jednaina da bi se precizno modelovalo vlakno dopirano erbijumom. I pored toga, osnovne karakteristike tronivovskog optikog pojaavaa se mogu razumeti iz ovih jednaina. Sada sledi njihovo detaljnije tumaenje. Jednainaprostiranjasignalavodidopojaanjajedinoakoje .Ovojeuslov oekivanogpraga.Kadajeintenzitetpumpemanjiodpraga,signalslabi;kadajevei,signalse pojaava. U uslovima pojaanja malih signala, gde je (ovaj uslov je zadovoljen kada je signalslabipumpajaka)iakozbogjednostavnostipretpostavimodajepumpakonstantnau funkcijiod(vlaknojeuniformnoinverznopopulisano),jednainaprostiranjasignalase jednostavno integrali da da signal u funkciji poloaja du vlakna: (4.27) gde je koeficijent pojaanja definisan sa (4.28) Signalrasteeksponencijalnosakoeficijentomproporcionalnimemisionompresekusignalai stepenu inverzne populacije. Kasnije je odreen intenzitetom pumpe u odnosu na prag. Kada je intenzitetpumpeveomajak,veiodpraganekolikoputa,takodaimamopotpunuinverziju erbijumovih jona, koeficijent pojaanja postaje aproksimativno (4.29) Pojaanjemalihsignalapojediniciduinevlaknazajakepumpeseodreujeveoma jednostavnopomoukoliineerbijumaiemisionogpresekasignala.Toznaidausluaju alumino-germano-silicijumskogvlaknadopiranogerbijumom,potojepoprenipresekemisije jednakpoprenompresekuapsorpcije,blizu1535 nm,pojaanjemalogsignalatalasneduine 1535nmjegrubojednakoslabljenjumalogsignalatalasneduine1535 nmuuslovimasnane pumpe.Upraksisetonedeavazbogprisustvapojaanespontaneemisijekojanaruava pojaanje. Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 23 4.1.3 Reim zasienja Izraz 4.28 prestaje da vai kada signal poraste do dovoljno velike vrednosti i ue u reim zasienja.Tosedeavakadapostaneporedivsavrednou.Tadaporastsignalabiva priguen sa faktorom zasienja . Ustvari, kada postane veoma veliko i njegov odnos prema bude vee od jedinice, rast signala odreuje sledea priblina formula: (4.30) tako da je sada rast signala linearan. Dva reima porasta signala su jasno vidljiva na slici 4.3 koja prikazujepojaanjeuslabogsignalaufunkcijisnagepumpe.Pojaanjesignalaunakon duinevlaknajedefinisanokao log .Slika4.3jedobijena korienjemnekolikotipinihvrednostizaalumino-germano-silicijumskovlaknodopirano erbijumomduine15msasignalomtalasneduine1550nmulaznesnageod mi pumpe talasne duine 980 nm. Takoe je pokazano i pojaanje dobijeno modelovanjem vlakna sa dodatim efektom pojaane spontane emisije (ASE). Efekat ASE emisije je da smanji dostupno pojaanje polja signala. Uprikazanom sluaju, ASE poinje daoslabljuje proces pojaanjaiznad nivoa signala od oko 20 m. Slika 4.3 Pojaanje signala u dB na talasnoj duini 1550 nm u funkciji snage pumpe na 980 nm za tipinovlaknodopiranoerbijumom.Isprekidanalinijapredstavljapojaanjekadajeuzetau obzir i pojaana spontana emisija (ASE). Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 24 Interesantanjefenomentosnagazasienjanijekonstanta,vesesmanjuje linearno sa snagom pumpe. Ova pojava je oekivana kod tronivovskog laserskog sistema. Tome jerazlogtotosukodtronivovskoglasera jonikojinaputajupobuenostanje2stimulisanom emisijom signala odmah dostupni za apsorpciju pumpe i mogu smesta da se vrate na pobueni nivo.Odravajuivisoknivoinverzijeuprisustvuvelikihsnagasignaladajevisokuvrednost saturacije signala. Eksperimentalno utvrena izlazna snaga zasienja je definisana kao izlazna snaga signala na kojoj je pojaanje smanjeno za 3 . 4.1.4 Optimalna duina optikog pojaavaa Da bismo dobili maksimalno pojaanje za datu snagu pumpe i sa datom koncentracijom erbijumaujezgruvlakna,trebapoveatiduinuvlaknatolikodoksnagapumpenepostane jednakasopstvenompragupumpe.Zaaksijalnetakeuzduinuvlaknapretogajepojaanje pozitivno, nakon te takepostaje negativno, tako da kraj vlakna treba da bude u taki na kojoj se snaga pumpe smanjila na nivo praga. Ovim se odreuje optimalna duina vlakna. Ova duina jeoptimalnajedinousmisludajepojaanjemalihsignalapojaavaamaksimizovano.Kadaje ukljueni um spontane emisije,optimalnaduina za pojaanje je odreena maksimizovanjem pojaanjasignalauprisustvuspontaneemisijeunaprediunazadkojaje,takoe,funkcija duine. Slika4.4Optimalnaduinavlakna(m)zapojaanjena1530nmufunkcijiodsnagepumpeza dva razliita ulazna signala Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 25 Kadatrebadaoptimizujemodrugiparametar,npr.faktorumailiizlaznusnagu zasienja,odreivanjeoptimalneduinesevrinadrugaijinain.Imasmislakoristitiduinu pojaavaatakvukojaradiureimuzasienjaukomfluktuacijesnageizvorapumpenemaju velikiuticajnapojaanjekaotobibilousluajureimapojaanjamalihsignala.Slika4.4 prikazujeoptimalnuduinuzapojaanjemalihsignaladvarazliitaulaznasignalamalesnage. Optimalna duina je 0 sve do take na kojoj je snaga pumpe jednaka snagi pumpe potrebnoj da da uini vidljivim infinitezimalnu duinu vlakna, npr. . 4.1.5 Faktor preklapanja Vanojerazumetidasu,ikodjednostavnogjednodimenzionalnogmodelaoptikog pojaavaa, transverzalni oblik optikog moda i njegovo preklapanje sa transverzalnim profilom raspodele jona erbijuma vani. Uopteno, to moe da se parametrizuje pomou faktora koji se naziva faktor preklapanja (ili integral preklapanja). Jednostavno reeno, samo onaj deo optikog moda koji se preklapa sa raspodelomjonaerbijumaestimulisatiapsorpcijuiliemisijuizprelazajona.itave mod,meutim,kaorezultatovogmeusobnogdelovanjadoivetipojaanjeilislabljenje.Ova situacija je prikazana na slici 4.5 za sluaj konstantne gustine jona erbijuma preko neke povrine uvlaknucilindrinegeometrije.Naprimer,zadvoslojnovlakno,ukolikoseerbijumomdopira samo jezgro vlakna, poto se deo optikog moda prostire i kroz omota, samo onaj deo optikog modakojijeujezgruedaosetiefekteprisustvajonaerbijuma.Ovaprednostmoedase iskoristi.Dopiranjemerbijumomsamousamomcentrujezgravlakna,jonierbijumaevideti samo deo optikog moda veoma velikog intenziteta, pa e pumpa lake da invertuje maksimalni brojjonaerbijuma.Gustinaerbijuma,meutim,nijeuvekkonstantaimoedavariraznaajno preko jezgra vlakna i omotaa. Posmatramo dati mod vlakna i piemo izraze za intenzitet svetlosti pumpe, signala ili ASE signala kaofunkcijupolarnihkoordinata ,gdejerastojanjeodosevlakna,a azimutalni ugao, na sledei nain PI (4.31) gde je I normalizovani profil intenziteta transverzalnog moda I (4.32) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 26 a ukupna snaga moda. I ima dimenzije reciprone povrine. Za svaku taku se pridruujegustinajonaerbijuma ujonimapojedinicizapremine.Kadajeintenzitet PI upadannajoneerbijumautaki ,podpretpostavkomdasusvijoniu osnovnom stanju, apsorpcija malih signala je PI (4.33) gdejepoprenipresekapsorpcije.Ukupnikoeficijentapsorpcijemalogsignala,u jedinicamareciproneduine,sedobijaintegraljenjemapsorpcijeprekotransverzalnih dimenzija: I (4.34) Slika4.5Preklapanjeprofilatransverzalnogoptikogmodasauniformnomraspodelomjona erbijuma, pri emu je rastojanje od ose vlakna Korisnojeuovomtrenutkutrenutkuimatiraspodeluerbijumasaravnimvrhomkojaje ekvivalentnastvarnojtransverzalnojraspodelierbijuma.Utomcilju,tretiramoraspodelu erbijumakaodajenezavisnaod.Ovasituacijajeprikazananaslici4.6.Poluprenik raspodelesaravnimvrhomjeodreengeometrijskimprostoromstvarneraspodeleerbijuma. Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 27 Izraunavamopomoupovrinskogintegralagdejepriratajkrunepovrineizmeren relativnim odnosom jona erbijuma koje sadre: (4.35) gde je gustina erbijuma u . Odatle imamo (4.36) jeefektivnapoprenapovrinakojajekorienauizrazu4.15.Srednjagustinase odreuje odravanjem ukupnog broja jona erbijuma: (4.37) tako da je (4.38) Slika4.6Primerradijalneraspodelegustinejonaerbijumaumonomodnomvlaknui ekvivalentna raspodela sa ravnim vrhom koja ima stalnu gustinu jonaod do . Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 28 Koristei tek odreenu srednju gustinu jona erbijuma , moemo dapiemo koeficijent apsorpcije na intuitivniji nain (4.39) gdejefaktorpreklapanjadefinisankaobezdimenzioniintegralpreklapanjaraspodele normalizovanog optikog intenziteta i normalizovane raspodele jona erbijuma : (4.40) Faktor preklapanja je, stoga, isto geometrijski faktor korekcije koji predstavlja koliinu optike snage koja se prostire kroz oblast dopiranu erbijumom. Moe se napisati izraz slian izrazu 4.39 za koeficijent pojaanja poptuno invertovanog medijuma.Primodelovanjupojaanjapojaavaa,modovisignalaipumpeinteragujusa populacijomerbijumauobastanja.Koliinapopulacioneinverzijezavisiodtake jersu intenzitetivoenipopulacijomzavisnood .Oznaiemopopulacijevieginiegstanja sa i .Pojaanjesnagepoljasignalasnage,zbogstimulisaneemisije,ebiti proporcionalno izrazu I (4.41) gdejepoprenipresekemisijekojiodgovaratalasnojduiniposmatranogsignala.Slino tome, apsorpcija istog signala je proporcionalna izrazu I (4.42) Izrazi4.41i4.42govoredasustimulisanaemisijaiapsorpcijakrozkojeprolazisignal zavisne od oblika profila intenziteta u pravcu transverzalnom osi vlakna, kao i od populacije. Ovi izrazi mogu da se pojednostave na i sa dobrom preciznou kada je efektivni poluprenikoblastidopiraneerbijumommanjiilijednakpoluprenikujezgra.Ovoje ustanovljenoeksplicitnimintegraljenjemprethodnihizrazapodnekolikorazliitihuslova karakteristinihzaEDFApojaavae.Krajnjiefekatjedapitanjepojaanjailiapsorpcije transverzalnogmodamoedasepojednostavimnoenjemfaktorompreklapanja.Nataj Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 29 nain, jednaine prostiranjapoljae ukljuivati snage polja, sa faktorom preklapanja koji sadri radijalnevarijacijeprofilaintenzitetamodauvezisaraspodelomjonaerbijuma.Jednaina populacijeviegstanjaesadratiintenziteteodreenekorienjemekvivalentneraspodele ravnogvrhasaparametrom.Odatle,raunamoefektivniproseniintenzitetkrozoblast dopiranu erbijumom (4.43) gdejeintenzitetpoljautaki,snagapoljautaki,faktorpreklapanja posmatranog polja i raspodele jona erbijuma i poprena povrina u kojoj se nalaze joni erbijuma.Neka je raspodela jona erbijuma konstantna od do . Tada imamo I(4.44) pri emu je I (4.45) Najnii mod dvoslojnog vlakna moe da se predstavi Gausovom apsoksimacijom: (4.46) gde je veliina spota koja moe da se izrauna kao funkcija parametra vlakna : (4.47) Zbog jednostavnosti uzimamo dvoslojno vlakno, pa dobijamo (4.48) Faktorpreklapanjaezavisitiodfrekvencijeposmatranogmoda,jereveliinaspotada varira sa frekvencijom.Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 30 4.2 Svoenje sistema sa tri nivoa na sistem sa dva nivoa 4.2.1 Valjanost pristupa sa dva nivoa Kaotojepoznato,energetskinivoijonaelemenatagruperetkihzemaljasesastojeod relativnodobroodvojenihslojevaodkojihsesvakisastojiododreenogbrojaproirenih pojedinanih nivoa.Pretpostavimodapumpanjenivoa3nepripadasloju2idapostojiveomabrza relaksacijasanivoa3nanivo2.Zasvepraktinesvrhejetadapopulacijanivoa3jednakanuli, padinamikejednainesadresamodvanivoa(1i2),takodajenivo3ukljuenjedinopreko vrednostiapsorpcionogpresekapumpesanivoa1nanivo3.Uovomsluajutalasneduine pumpe mogu biti 0.98 m, 0.80 m, 0.65 m i 0.54 m. Slika4.7.Energetskinivoidvoslojnogsistemaukomejestanjepumpanja3zamenjenoviim stanjem sloja 2, a signal jerezonantan sa prelazom nie energije izmeu dva slojau odnosu na prelaz pumpe. Uodreenimkonfiguracijamapumpe,nivo3moedabudeidentiannivou2usmislu da viinivopumpe i vii nivo pojaavaa pripadaju istom sloju. U tom sluaju je talasna duina pumpanja 1.48 m kao to je prikazano na slici 4.7. Populacija nivoa 3 ne mora da bude jednaka 0.Usvakomtrenutkuepostojatitermikaravnoteauspostavljenaudatomsloju,pod pretpostavkomdajevremetermikeravnoteeveomakratkouodnosunaukupnovreme Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 31 ivotasloja.Otudaepumpanjenivoa3,kojezavisiododvajanjaenergijeoddnasloja,imati odreenukonanutermikupopulaciju.Zatimedoidostimulisaneemisijenafrekvenciji pumpekaoinafrekvencijisignala,ijieobimzavisitiodtermikepopulacijerazliitihstanja koja su ukljuena u proces kao i od snage njihove interakcije sa poljem svetlosti. Ponaanjecelokupnogsistemamoedasepredstavipomouapsorpcionihiemisionih preseka. Razlika u spektralnom obliku spektra apsorpcije i spektra emisije je posledica termike raspodeleenergijeuokviruslojeva.Apsorpcioniiemisionipresecisadreinformacijuo raspodeli termike populacije. Na primer, ako je nivo 3 visoko iznad dna sloja i njegova termika zastupljenostniska,ondaenjegovemisionipresekzaemisijukadnuosnovnogslojabiti relativnomali,timeukazujuinamaluverovatnoustimulisaneemisijenadatojfrekvenciji. Apsorpcionipreseknatojfrekvencijiebitiznaajnovei,jereveideopopulacijeosnovnog sloja biti blizu dna sloja i kao posledicu toga biti dostupan za prelaz na nivo 3. Na osnovu prethodnih razmatranja, pozvaemo se samo na ukupne populacije nivoa 1i 2,i,ikoristitipoprenepresekedamodelujemointerakcijesistemasapoljempumpei signala.Generalno,apsorpcioniiemisionipreseksupovezanimeusobnopreko MekKamberoverelacije.Sluajkadanivo3pripadaviemslojumoedabudesvedenna opisanuslikusadvanivoajednostavimpostavljanjememisionogpresekapumpena0koji efektivno pokazuje injenicu da je populacija nivoa 3 u ovom sluaju jednaka 0. 4.2.2 Generalizovane dinamike jednaine Nakonsvoenjatronivovskogsistemanadvonivovski,moemodapiemodinamike jednaine tako da sadre samo ukupne gustine populacije slojeva 1 i 2. (4.49) gde , , i predstavljaju apsorpcione i emisione preseke signala i pumpe. Kako je ukupna gustina populacije data sa (4.50) imamo Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 32 (4.51) asamojednajednainaizsistema4.49jenezavisnajednaina.Moemodaizrazimou funkcijiintenzitetapumpeisignala.seprostodobijakao .Zasluajjednogpolja pumpe i jednog polja signala,iz jednaina4.49 vidimoda je gustina populacije u funkciji poloaja du vlakna jednaka (4.52) Uopteno,pretpostaviemodajenezavisnood.Jednaineprostiranjasignalaipumpee biti napisane na veoma slian nain (4.53) Stimulisana emisija sa nivoa 2 doprinosi pojaanju polja, apsorpcija sa nivoa 1 slabljenju polja.Jednainepotrebnezasimulacijusvojstavavlaknasu,odatle,jednainapopulacijei jednaineprostiranja,pojednazasvakopolje.Uslovinverznepopulacije, ,u prisustvu polja malog signala, odgovara pumpi koja je jaa od vrednosti praga: (4.54) Prag pumpe kojiodgovarapojaanju signala na talasoj duini signala( ) je neznatno drugaiji i jednak (4.55) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 33 Prethodne jednaine mogu lako da se generalizuju za sluaj vie signala i vie pumpi. Za sluaj nekoliko signala i nekoliko pumpi , jednaina populacije postaje (4.56) Jednaine prostiranja polja su identine prethodnim, sa odgovarajuim presecima. Takvi sistemi jednainasaviesignalabieiskorienizaizraunavanjespektralneraspodeleumaspontane emisije kod EDFA pojaavaa. 4.3 Pojaana spontana emisija Dosadanjarazmatranjazanemarujujedanvaan faktorkojijeprisutanusvimoptikim pojaavaima,atojespontanaemisija.Svipobuenijonimogudasespontanorelaksirajusa viegstanjanaosnovnostanjeemitujuifotonkojijenekorelisansafotonimasignala.Taj spontanoemitovanifotonmoedasepojaakakoprolazikrozvlaknoistimulieemisijuvie fotonaizpobuenihjona,fotonakojipripadajuistommoduelektromagnetnogpoljakaoi originalnispontanifoton.Ovajparazitniproceskojimoedasedogodinabilokojojfrekvenciji unutarfluorescentnogspektraprelazapojaavaa,oiglednoumanjujepojaanjepojaavaa. Uzima fotone koji bi, inae, uestvovali u stimulisanoj emisiji signalnih fotona. Uglavnom se ova pojavanazivapojaanaspontanaemisijailiASE(amplifiedspontaneousemission),a kvantifikovanajeASEumom,tj.umomspontaneemisije.Nakraju,onaograniavaukupnu koliinu pojaanja koje moe da da pojaava. To se vidi na slici 4.3. DabismoizraunaliASEumnaizlazuvlakna,potrebnojedaprvosraunamosnagu spontaneemisijeudatojtakivlakna.Ovasnagaseponekadnazivaekvivalentnasnagauma. Za transverzalno monomodno vlakno sa dve nezavisne polarizacije datog moda na frekvenciji , snaga uma u opsegu , koja odgovara spontanoj emisiji, iznosi (4.57) Sada emo izvesti izraz iz jednostavnog razmatranja. Posmatrajmopobuenijonuviemenergetskomstanjukojimoedaserelaksirana osnovnostanjespontanomilistimulisanomemisijomfotona.Jedanodprincipakvantne Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 34 mehanikejedajekoeficijentspontaneemisijeudatimodistikaoikoeficijentstimulisane emisijeutajmodkadajejedanfotonveprisutanutommodu.Posmatramotajfotoni raunamo njegovu snagu. Pretpostavljamo da foton zauzima zapreminu duine (koja moe, ali inemoradaodgovaraduinivlakna).Fotonenergijesekreebrzinomtakodaprelazi duinuzavreme .Snagaumafotonaudatommodujeodatle .Zatimtrebada izbrojimomodoveuopsegu.Gustinamodaujednojdimenziji,urazmakufrekvencije,za medijumduine,moedaselakoodredikao .Kakoimamodvepolarizacijeu monomodnom vlaknu, gustina moda je, u stvari, dvostruko vea ili . Ukupna snaga uma u opsegu je snaga uma jednog fotona po modu pomnoena sa ukupnim brojem modova u opsegu.Duinaispadakaotoitreba.Potojesvakimodsastavljenodtalasakojiputujeu smeruunapreditalasakojiputujeusmeruunazad,snagaumaujednomsmerujejednaka poloviniukupnesnageuma.Kaorezultattoga,snagaumakojaseprostireudatomsmeru, spontano emitovana u bilo kojoj taki du vlakna, data je izrazom 4.57.UkupnasnagaASEumautakiduvlaknajesumaASEsnagaprethodnihdelova vlakna i dodatne lokalne snage uma . Snaga lokalnog uma e stimulisati emisiju fotona iz pobueniherbijumovihjona,srazmernoproizvodu,gdejepoprenipresek stimulisane emisije na frekvenciji. Jednainaprostiranja za snagu ASE uma koji se prostireu datom smeru je odatle (4.58) Jednainapopulacije,takoe,trebadasemodifikujetosetieparametarasignalakoji odgovaraju ASE signalu.Modelovanjeumaspontanemoedaseizvrinajednostavannain,tretirajuigakao jo jedan signal sa opsegom koji odgovara efektivnom opsegu celog prelaza. Kompleksniji nain deliASEsignalnamalefrekvencijskedeloveirinemnogomanjeodopsegaprelaza.Snaga svakogfrekvencijskogsegmenta,zatim,moedaseprostirekaonezavisnisignal,pasemoe odrediti spektralni oblikizlaznog ASE signala. Dodatna komplikacija je to to se um spektralne emisijemoeprostiratiuobasmeraduvlakna,kopropagacionoikontrapropagacionosa pumpom.KaoprimerjeprikazanasnagaASEumaufunkcijipoloajaduvlaknadopiranog erbijumom na slici 4.8. Izlazni ASE um unazad na je jai po intenzitetu od izlaza ASE uma unapredna ,jerjepoetnideovlaknasapumpanjemunapredinvertovanijiodkrajnjeg dela.Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 35 Slika4.8.UkupnasnagaASEumakojiseprostireunazadiunapredufunkcijiodpozicijedu vlakna dopiranog erbijumom 4.4 Analitika reenja sistema sa dva nivoa Saodreenimaproksimacijama,dinamikejednainetronivovskogsistemasvedenena dvonivovski sistem se mogu reiti analitiki. Kljuna poetna ideja je ignorisati efekte zasienja zbog prisustva uma spontane emisije tojejednakozanemarivanjusnagespontaneemisijeuvlaknu.Proirenjeovogpristupa ukljuuje i efekte ASE uma.Najvanije je napisati populaciju pobuenog stanja u vidu izvoda poljauzimajuiu obzir poloajuodnosunaosu,takodasejednainepoljamoguintegralitiduceleduinevlakna, rezultujuitranscedentnomjednainomzasnagepumpeisignalanaulazuiizlazu.Jednaine prostiranja snaga polja pumpe i signala su: (4.59) (4.60) Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 36 gdeje kadasepumpaprostireod ka (kopropagacionipumpaisignal)i kadasepumpaprostireod ka (kontrapropagacionipumpaisignal), duina vlakna, i faktori preklapanja modova signala i pumpe sa raspodelom jona erbijuma, abrojjonapojedinicizapremine.Pretpostavljamodasesignalprostireod ka . i su snage signala i pumpe u jedinicama broja fotona po jedinici vremena. Izrazi mogu jednostavno da se izvedu dodavanjem fotona stimulisane emisije poljima i oduzimanjem apsorbovanih fotona gde se koristi identitet (populacije su date po jonu). Poslednja jednaina koju treba dodati za modelovanje je dinamika jednaina populacije (4.61) gdejepoprenapovrinaraspodelejonaerbijumauvlaknu.Prvilansadesnestrane jednaine4.61predstavljaopadanjepopulacijeviegstanjakojepotieodspontaneemisije, dokdrugilankombinujeapsorpcijuiemisijuzbogpolja.DrugilandesnestranejednaineB moe da se razume na sledei nain: Promena snage polja (u fotonima) je ukupan brojfotonadeponovanihiliprimljenihnaduiniujedinicivremenazavreme.Deljenjem oveveliinepovrinomkrozkojuprolazizrakdobijasebrojdeponovanihfotonapojedinici zapremine,uzapremini.Naizmenino,deljenjemoveveliinesadobijasebroj apsorbovanihiliemitovanihfotonapojonu.Frakcionapopulacijaviegstanjaesemenjatiu skladu sa tim. U uslovima stacionarnog stanja, populacije i polja ne zavise od vremena, pa se jednaina 4.61moeizjednaitisanulom,todovodidoizrazaza .Akozamenimoovoujednaine 4.59 i 4.60, za pumpu dobijamo: (4.62) a za signal: (4.63) Definiemo konstante slabljenja pumpe i signala i i snage zasienja pumpe i signala i kao: Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 37 (4.64) (4.65) pa jednaine prostiranja pumpe i signala moemo pisati na sledei nain: (4.66) (4.67) Ovejednainemogudaseintegraleod do popromenljivojioddo za snage pumpe. Definiemo snage ulaznog i izlaznog signala i u takama i .Definiemonasliannainiiza ;akosepumpaprostireusuprotnom smeru ( ), snage i su definisane u takama i . Integraljenjem obeju strana iz jednaina 4.66 i 4.67 dobijamo (4.68) gdesuiukupneulazneiizlaznesnage,definisanekaosumeulaznihiizlaznihsnaga signala i pumpe. Moemo da sumiramo jednainu 4.68 nezavisno primenjenu na pumpu i signal dadobijemoizrazzaukupnuizlaznusnaguufunkciji,podpretpostavkomdasu koeficijenti slabljenja i snage zasienja poznati. Rezultujui izraz je: (4.69) Izraz 4.49 moe da se rei za , pa zatim pojedinane izlazne snage pumpe i signala mogu da se dobiju direktno iz izraza 4.68. Ovo reenje zanemaruje prisustvo uma spontane emisije i vai samouprisustvuniskogASEnivoa,patrebasmatratidajepriblinotanosamozapojaanja manja od oko 20 . Jedan od direktnih rezultata analitikog reenja 4.69 je da je nezavisno od , pa, odatle, zadatusnagupumpe,predviasedajepojaanjenezavisnoodsmeraprostiranjapumpeu odnosuna smer signala. Drugiinteresantan rezultat je da je snaga zasienja signala (definisana kao snaga izlaznog signala na kojoj pojaanje padne za ) data izrazom Duan Cvetkovi Modelovanje uma spontane emisije kod EDFA pojaavaa 38 (4.70) gde je izlazna snaga pumpe sa nultim signalom na ulazu. moe da se dobije iz 4.68. Ovo ponovo pokazuje da je izlazna snaga zasienja signala srazmerna snazi pumpe i da se moe poveati poveanjem ulazne snage pumpe. Analitiki model se pokazao kao vrlo precizan za predvianje vrednosti pojaanja u vlaknimadopiranim erbijumom za pojaanja manja od 20 , gde zasienje pojaavaa ASE umom nije znaajno.