OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO Amortiguamiento – Resonancia Fernando Hueso González Laboratorio de...
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OSCILADOR ARMÓNICO FORZADOAmortiguamiento – Resonancia
Fernando Hueso GonzálezLaboratorio de Mecánica y Ondas
Campus de Burjassot - Valencia2º Física – UVEG
9 de marzo de 2009
2
Ecuación diferencial OAS
Solución:
Multitud de fenómenos físicos oscilantes (ideales)
– Movimiento circular
– Muelle ideal (Ley de Hooke)
– Tubo en U de agua
– Circuitos eléctricos LC
Aproximación pequeñas oscilaciones
– Péndulo simple
– Potenciales
OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLEFUNDAMENTOS TEÓRICOS
02
02
2
dt
d
tAtAet rt0sin~
...3
sin13
3
Término disipativo (fuerza viscosa)
Amplitud: decaimiento exponencial
Amortiguamiento sobreamortiguado, crítico, infraamortiguado– Sobreamortiguado β>ω0
– Amortiguado críticamente β=ω0
– Infraamortiguado β<ω0
OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADOFUNDAMENTOS TEÓRICOS
02 2
02
2
dt
d
dt
d
/12''sin 22
02 tAet t
4
Término inhomogéneo periódico
Solución homogénea (transitoria) y particular (permanente)
Forzamiento armónico:
– Para t largos sólo la solución particular (ω=cte)
– No depende de condiciones iniciales, F y δ determinados por sistema oscilante
– Curva lorenciana Resonancia (D)
Control de fenómenos físicos
– Circuito RLC
– Osciladores micromecánicos
OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADOFUNDAMENTOS TEÓRICOS
)/(2 2
02
2
Ttfdt
d
dt
d
tDtAettt Ft
ph sinsin 0
2222
0 2 FF
F
FD
tFTtf Fsin/
22
0
2 2 R
22
0
2tan
F
FF
5
D
Función lorenciana (asimétrica)
Coeficiente de amortiguamiento
Factor de calidad
AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIAFUNDAMENTOS TEÓRICOS
2222
0
FD
22/max D
TE
EQ
ciclodis
sis 22
0 5 10 15 200,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
D
6
Oscilador armónico forzado
– Péndulo físico Pares de fuerzas
– Imán amortiguador
– Muelles
– Motor
Control mediante generador tensión variable, interfaz y ordenador
– Frecuencia y amortiguamiento regulables
– Desviación angular ‘vs’ tiempo θ(t)
Péndulo físico
DISPOSITIVO EXPERIMENTALTÉCNICA EXPERIMENTAL
2
2
dt
dIM
sin2
2
2
2
/sin TtMmghdt
db
dt
dI ext D
dt
d
dt
d 2
02
2
2
sinmghM p dt
dbM r
IbIMDImgh ext 2///2
0
70 1 2 3 4 5
-1
-0,5
0
0,5
1
t
0 1 2 3 4 5-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
t
Estudiar amortiguamiento – Decaimiento exponencial
• Desplazar respecto a posición de equilibrio
• Registrar θ(t)
• Medir frecuencia; máximos, θbase; ley exponencial
• Ajustar ω’ , β
Oscilador forzado - Curva de resonancia
• Registrar θ(t) para cada V
• Medir θmax, ω
• Ajustar a curva de resonancia
ω0, β
Cambiar amortiguamiento (+ comparar)
Comparar valores para cada amortiguamiento
– Valor a partir del ajuste al amortiguamiento exponencial
– Valor a partir del ajuste a la curva de resonancia
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTALTÉCNICA EXPERIMENTAL
tet t 'sin0
t 0lnln
22
02'
22
0
2 2 R
8
Estudiar amortiguamiento
Desplazar del equilibrio decaimiento exponencial amplitud
Comparar distintos coeficientes, distancia imán
h/2 h
ADQUISICIÓN DE DATOSRESULTADOS
θ ± 0,001 t ± 0,1s θ ± 0,001 t ± 0,1s
0,367 0,1 5,201 0,8
-0,573 1,1 4,363 1,9
-0,995 2,1 3,892 2,9
-1,187 3,0 3,648 3,8
-1,257 ∞ 3,508 4,7
3,421 ∞
9
ADQUISICIÓN DE DATOSRESULTADOS
V± 0,1 V
A1+
± 0,001
A1-
± 0,001
A2+
± 0,001
A2-
± 0,001
A3+
± 0,001
A3-
± 0,001
ti
± 0,1 s
tf
± 0,1 s
2,0 0,332 -0,140 0,349 -0,122 0,332 -0,140 0,6 10,0
2,5 0,454 -0,017 0,454 -0,017 0,454 -0,017 1,4 9,4
3,0 0,105 -0,436 0,087 -0,436 0,087 -0,436 0,6 7,4
3,5 0,000 -0,663 0,000 -0,646 0,000 -0,646 1,1 6,4
3,7 0,506 -0,157 0,506 -0,157 0,506 -0,157 0,5 5,6
3,9 0,716 0,000 0,698 0,000 0,698 0,000 0,7 5,6
4,1 0,052 -0,681 0,036 -0,698 0,052 -0,681 1,4 5,9
4,3 0,227 -0,524 0,244 -0,524 0,227 -0,524 0,5 4,8
4,5 0,367 -0,454 0,367 -0,454 0,367 -0,454 0,3 4,4
4,7 0,681 -0,227 0,698 -0,227 0,698 -0,209 0,2 4,1
4,9 0,541 -0,559 0,541 -0,559 0,541 -0,559 0,3 3,9
5,0 0,998 -0,297 0,998 -0,297 0,998 -0,279 0,4 3,8
5,2 0,157 -1,134 0,175 -1,152 0,175 -1,152 0,1 3,6
5,4 2,129 -0,035 2,112 -0,035 2,147 -0,035 0,6 3,8
5,6 2,409 -0,105 2,443 -0,087 2,391 -0,105 0,5 3,6
5,8 1,990 -0,419 1,990 -0,419 2,007 -0,436 0,4 3,4
6,0 2,025 -0,262 2,007 -0,262 1,955 -0,227 0,1 3,0
6,2 0,314 -1,623 0,279 -1,623 0,332 -1,588 0,1 2,9
6,5 1,152 -0,506 1,134 -0,524 1,117 -0,524 0,3 3,0
7,0 0,419 -0,663 0,419 -0,646 0,454 -0,681 0,2 2,7
7,5 0,820 0,000 0,803 0,035 0,803 0,000 0,4 2,7
8,0 0,593 0,000 0,593 0,000 0,611 0,000 0,3 2,5
8,5 0,070 -0,348 0,052 -0,367 0,070 -0,367 0,1 2,0
9,0 0,140 -0,262 0,122 -0,262 0,122 -0,244 0,2 2,1
9,5 0,297 0,000 0,297 0,000 0,297 -0,017 0,5 2,3
10,0 0,122 -0,140 0,122 -0,140 0,122 -0,140 4,0 5,7
11
TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS
A δ(A) D ω (s-1) δ(ω) (s-1) A δ(A) D ω (s-1) δ(ω) (s-1)
0,2358 0,0007 0,21% 2,01 0,04 0,2445 0,0007 0,00% 1,57 0,03
0,2355 0,0007 0,00% 2,36 0,06 0,2530 0,0007 0,00% 2,19 0,05
0,265 0,002 3,40% 2,77 0,08 0,2792 0,0007 0,18% 2,90 0,09
0,326 0,002 2,61% 3,56 0,13 0,3527 0,0081 9,19% 4,19 0,19
0,3315 0,0007 0,00% 3,70 0,14 0,3490 0,0007 0,00% 3,85 0,16
0,352 0,002 2,56% 3,85 0,16 0,3810 0,0023 2,36% 4,28 0,19
0,3666 0,0007 0,07% 4,19 0,19 0,4185 0,0007 0,00% 4,5 0,2
0,378 0,002 2,25% 4,4 0,2 0,4742 0,0044 3,69% 5,0 0,3
0,4105 0,0007 0,00% 4,6 0,2 0,6048 0,0021 1,41% 5,2 0,3
0,457 0,002 1,97% 4,8 0,2 0,9017 0,0023 1,00% 5,5 0,3
0,5500 0,0007 0,00% 5,2 0,3 1,4798 0,0159 4,29% 5,9 0,4
0,645 0,002 1,40% 5,5 0,3 1,3148 0,0044 1,33% 6,5 0,4
0,658 0,005 2,74% 5,4 0,3 1,0590 0,0044 1,65% 7,0 0,5
1,082 0,004 1,62% 5,9 0,4 0,8787 0,0021 0,97% 7,0 0,5
1,257 0,004 1,35% 6,1 0,4 0,5673 0,0088 6,17% 7,5 0,6
1,210 0,004 1,40% 6,3 0,4 0,4042 0,0044 4,33% 8,2 0,7
1,123 0,013 4,67% 6,5 0,4 0,2970 0,0007 0,00% 9,0 0,9
0,960 0,004 1,82% 6,7 0,5 0,2298 0,0043 7,40% 9,9 1,0
0,826 0,002 1,03% 7,0 0,5 0,1862 0,0044 9,40% 9,9 1,0
0,547 0,009 6,40% 7,5 0,6 0,1452 0,0021 5,86% 11,1 1,3
0,399 0,006 6,52% 8,2 0,7 0,1165 0,0023 7,73% 11,8 1,5
0,300 0,002 3,01% 8,6 0,8
0,212 0,002 4,47% 9,9 1,0
0,192 0,005 9,38% 9,9 1,0
0,151 0,002 5,62% 10,5 1,2
0,1310 0,0007 0,00% 11,1 1,3
12
Coeficiente de amortiguamiento
TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
t (s)
ln(
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
t (s)
ln θ0 0,71 ± 0,18
β (s-1) 1,07 ± 0,10
r 0,992
ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7
ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7
130 1 2 3 4 5
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
t (s)
ln(
Imán alejado (x2) Comparación
TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS
0 1 2 3 4 5-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
t (s)
ln(
ln θ0 1,33 ± 0,17
β (s-1) 0,77 ± 0,05
r 0,993
ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7
ω0 (s-1) 6,4 ± 0,7
ln θ0 0,71 ± 0,18 1,33 ± 0,17
β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,77 ± 0,05
r 0,992 0,993
ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 6,4 ± 0,7
ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 6,4 ± 0,7
14
0 5 10 15 20 25 300,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
D
Restar fondo de resonancia (parámetro adicional) Ajuste
TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS
2 4 6 8 10 120,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
(s-1)
(r
ad
)
03,005,004,051,0·203,035,6
7,08,72222
ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03
β (s-1) 0,51 ± 0,04
ωR (s-1) 6,31 ± 0,03
θ0 (rad) 0,05 ± 0,03
F (s-2) 7,8 ±0,7
r 0,9898
15
Imán amortiguador más alejado (x2)
TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS
0 2 4 6 8 10 120,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
(s-1)
(r
ad
)
ω0 (s-1) 6,30 ±0,04
β (s-1) 0,46 ±0,08
ωR (s-1) 6,27 ± 0,04
θ0 (rad) 0,01 ± 0,05
F (s-2) 9,4 ±1,3
r 0,972
16
Gráfica comparativa - Amortiguamiento
TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS
0 2 4 6 8 10 120,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
(s-1)
(r
ad
)
ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03 6,30 ±0,04
β (s-1) 0,51 ± 0,04 0,46 ±0,08
ωR (s-1) 6,31 ± 0,03 6,27 ± 0,04
17
Poca diferencia en coeficientes de amortiguamiento Errores
– ¿Ángulos pequeños? ; Pocos puntos
– Estado de los muelles del dispositivo
– Dispersión 2as medidas (frecuencia detección)
Mejoras
– Medida períodos
– Menor amortiguamiento, más posiciones imán
Compatibilidad datos Experimento satisfactorio
CONCLUSIÓNRESULTADOS
h/2 h Mediaω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 6,33 ± 0,03 -1,11% 6,4 ± 0,7 6,28 ± 0,04 -1,86% 6,4 ± 0,7 0,36%
ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 6,35 ± 0,03 -2,36% 6,4 ± 0,7 6,30 ±0,04 -1,59% 6,4 ± 0,7 1,17%
β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,51 ± 0,04 52,34% 0,77 ± 0,05 0,46 ±0,08 -10,87%0,79 ± 0,140,62 ± 0,08
22,15%
ωR (s-1) 6,3 ± 0,7 6,31 ± 0,03 0,18% 6,3 ± 0,7 6,27 ± 0,04 -0,64% 6,30 ± 0,7 0,43%
Q1 = 4,0 ± 0,8
Q2 = 5,2 ± 1,5
18
• Guión de prácticas del Laboratorio de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Ana Cros, Chantal Ferrer, Andrés Cantarero)
• Apuntes de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Chantal Ferrer)
• Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1 • http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica (Universidad País Vasco)
Dirección de contacto:Ferhue[a[alumni.uv.es
Página Web:http://mural.uv.es/ferhue
BIBLIOGRAFÍA