Uma Criança com Perturbação do Espectro do Autismo Um Estudo ...
OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO...
Transcript of OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO...
OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
ORIGEM DOS TERMOS
A equação do movimento da coordenada x é:
..... maré F. atrito F..cos2.2
wvsenx
P
dt
du
Por agora vamos esquecer as forças de maré. Com base em evidências
experimentais verifica-se que para escoamentos não turbulentos, as forças de
atrito estão relacionadas com derivadas espaciais da velocidade (hipótese
colocada por Newton e verificada), por exemplo, 2
2
y
u
, multiplicado pelo
coeficiente de viscosidade, que é uma propriedade do fluido. O termo de atrito
na equação acima pode tomar a forma:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u , onde é o
coeficiente da viscosidade cinemática, (S,T,P). Um valor típico de para a
água é 10 –6 m 2/s.
A obtenção dos termos de atrito por esta forma foi feita por Navier e
Stokes e a equação do movimento incluindo estes termos são chamadas as
equações de “Navier - Stokes”. Representam uma parte importante da
mecânica dos fluidos.
- Outra não linearidade aparece através do termo dt
du!!!
Consideremos um caso geral. Seja a propriedade A, que varia com a
posição (x, y, z) e com o tempo (t), ou seja: A = A (x, y, z, t). Então a derivada
“total” de A, dt
dA, escreve-se:
z
Aw
y
Av
x
Au
t
A
dt
dA
Fisicamente, isto quer dizer que a propriedade A varia com o tempo
t
Ana posição (x, y, z) e também varia conforme o fluido se move desse
ponto para outro ponto zz ; yy ; xx . O termo
t
Aé chamado
derivada “local” e os outros são os termos “advectivos”, porque estão
relacionados como as componentes do escoamento, u, v e w (advecção).
Consideremos um estado estacionário do escoamento: o valor de A não
varia com o tempo em todos os pontos do domínio (escoamento).
Matematicamente temos que 0z
A
. No entanto, A pode variar com a
posição. Assim, o fluido que se move através do campo de velocidades vai
sofrer variações da sua propriedade A e portanto 0dt
dA , a menos que o valor
de A seja o mesmo em todo o escoamento.
t
A
é a derivada Euleriana: descreve-nos o comportamento da
propriedade A do fluido em cada instante em diferentes pontos.
dt
dA é a derivada Lagrangeana: descreve-nos o comportamento da
propriedade A do fluido à medida que vai percorrendo a trajectória.
Na representação Lagrangeana estamos a representar “linhas de
corrente”, que são tangentes aos vectores velocidade da representação
Euleriana.
Na equação do movimento que escrevemos, os termos no 2º membro
estão escritos na forma Euleriana, mas o 1º membro está escrito na forma
Lagrangeana. É mais fácil passar o 1º membro a Euleriano, que o 2º membro a
Lagrangeano (o que também se pode fazer, mas não é tão cómodo!). Podemos
escrever:
movimento ao devido advectiva variação de taxas
localvariação
da taxa
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
du
Os termos advectivos são “não-lineares”, porque as suas velocidades
ocorrem “ao quadrado” (por exemplo: x
u
2
1
x
uu
2
) ou produtos entre
diferentes componentes da velocidade e suas derivadas (por exemplo: y
uv
).
Por causa destes termos não lineares, uma pequena perturbação pode
crescer e tornar-se uma grande flutuação. Estes termos podem causar
instabilidade e serem responsáveis pela presença de turbulência, que ocorre
sempre que estes termos são suficientemente grandes quando comparados
com os termos de atrito, os quais tendem a fazer diminuir as diferenças
espaciais de velocidade.
NÚMERO DE REYNOLDS
Para analisar se os termos não lineares advectivos são grandes ou não,
analisamos a razão:
atrito) de termo o sobre linear não (termo x
u
x
uu
2
2
Se considerarmos que quer u quer u são da ordem de U (velocidade
típica no oceano) e x da ordem de L (distância típica em que a velocidade
varia de U), esta razão é do ordem de:
UL
L
U
L
U2
2
que é chamado “número de Reynolds” (Re) para o escoamento de um fluido.
Mede a razão entre os termos não lineares e os termos de atrito.
Este processo de “filtragem” das equações é muito utilizado em
mecânica de fluidos porque não conseguimos resolver as equações completas.
Podemos assim descobrir que podemos desprezar alguns termos, facilitando a
solução.
O Número de Reynolds (Re) não tem dimensões. O valor de Re dá-nos a
indicação se o escoamento é turbulento ou laminar. Um escoamento não
deverá ser turbulento enquanto Re < 1. Dai para cima, depende da geometria
do escoamento e da estabilidade inicial. Re > 105 ou 106, indica escoamento
turbulento, embora dependendo da geometria. Os termos não lineares são
maiores que os termos de atrito.
Utilizando a Corrente do Golfo como exemplo:
U 1 m.s-1 ; L 100 Km = 10 5 m ; 10 –6 m 2 /s
logo Re 1011 , logo a corrente do Golfo deve ser turbulenta.
Deste exemplo verificamos que os efeitos não lineares são muito fortes
comparados com o atrito. De facto podemos ignorar o atrito no oceano aberto.
Ele só se torna importante muito perto de fronteiras sólidas ou como uma forma
de remover energia de um escoamento turbulento em escalas pequenas,
impedindo que elas cresçam infinitamente. Isto é, o atrito só é importante para
pequenos valores de Re que ocorrem com valores baixos de U e/ou L.
Nota: apesar do atrito molecular poder ser desprezado em muitas
situações de dinâmica do oceano, devemos ter em conta a existência de forças
que se opõem ao movimento e que originam a redistribuirão da energia e
outras funções de estado dos fluidos em escoamento.
Quando o movimento é turbulento, isto é, nele ocorrem flutuações
rápidas que se adicionam ao movimento médio, então os termos não lineares
originam termos na equação do movimento que têm as características dos
termos de atrito, com veremos mais à frente (originam também termos
similares nas equações de conservação de calor e sal). São chamadas
“Tensões de Reynolds” (Reynolds Stresses) que aparecem nas equações do
movimento médio de um fluido em escoamento turbulento.
AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO MÉDIO
Devido à natureza do escoamento turbulento não parece sensato
resolver as velocidades associadas a este escoamento. Procuremos antes
equações para o movimento médio. A média será tomada no tempo, durante
um período apropriado ao fenómeno que pretendemos estudar (alguns minutos
a vários meses...). Seguindo Reynolds que sugeriu esta aproximação, as
variáveis, u, v, w e são divididas numa parte média e numa flutuação, ou
seja: 'uuu , onde u é a média e 'u é a flutuação em torno da média. Por
definição 0'u . Apliquemos então esta aproximação às equações do
movimento (equações de Navier – Stokes).
Atenção: equação do movimento como:
Atrito.FCoriolis.Fx
P
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
A média de t
u
será:
T
)0(u)T(udt
t
u
T
1
t
u T
0
onde T é o período sobre o qual é feito a média. Quanto maior for o período T,
mais negligível é este termo.
Consideremos o gradiente da pressão. Virá:
Em geral, qualquer termo que contenha
uma única flutuação é nulo quando se acha a
média. O termo x
'P'
não desaparece porque
' e P’ não são independentes.
Regra: 'B'ABAAB este termo só é nulo se A e B não forem
correlacionaveis (E(xy)=E(x)E(y)-cov(x,y)).
Contudo, as variações de no oceano são muito pequenas comparadas
com e por isso x
'P'
é negligível quando comparado com x
P
x
P de grandeza da ordem da é
x
P.
Consideremos o termo de Coriolis:
)'vv(sen2)'vv(sen2 , pois a média de uma soma é igual à
soma das médias e sen2 é constante. Mas 'v = 0, logo o termo fica:
vsen2 . O outro termo de Coriolis será, por semelhança: wcos2 ,
quando achamos a média (em geral até é desprezado porque w é muito
pequeno).
O termo de atrito virá:
A diferença em cada instante entre a linha observada da grandeza A e a
linha Aé a flutuação A’.
x
P
x
P
x
P
x
P
x
PP
porque
porque
x
P
'''
'''
0'0
0P'
0'
2
2
2
2
2
2
2
2
x
u
x
'u
x
u
x
)'uu(
porque 'u =0 e será idêntico para os outros termos.
Consideremos agora os termos advectivos:
z
uuww
y
uuvv
x
uuuu
)'(
')'(
')'(
'
Quando achamos a média deste termo temos:
z
'u'w
y
'u'v
x
'u'u
z
uw
y
uv
x
uu
Os termos que continham apenas uma flutuação são nulos, mas os
termos com duas flutuações não, como já vimos atrás. Os primeiros três
termos, combinados com t
u
, podem ser escritos como dt
ud, a derivada total do
movimento médio. Reparemos que se juntarmos todos estes termos, temos:
z
'u'w
y
'u'v
x
'u'u
z
'u
y
'u
x
uwcos2vsen2
x
P
dt
ud2
2
2
2
2
2
Ou seja, a equação de Reynolds para u é idêntica à equação do
movimento para as quantidades totais, substituindo estas por quantidades
médias e mais três novos termos que envolvem as flutuações da velocidade.
Estes novos termos devem representar o efeito das flutuações da velocidade
(ou seja, da turbulência) no movimento médio. Notemos que estes termos têm
origem nos termos não lineares da equação de Navier-Stokes. A natureza não
linear das equações e a possível existência de turbulência e os seus efeitos de
atrito no movimento médio não são independentes. Quando especificamos os
termos de atrito, temos também que especificar os termos de turbulência, pois
ai também está “contido” atrito!
Mas neste momento complicámos as coisas!!! Com a aproximação “à
Reynolds” mostrámos como os termos não lineares originam turbulência no
movimento médio. Inclusive obtivemos expressões para esses termos em
função das flutuações da velocidade. Mas acabámos de acrescentar mais três
incógnitas às nossas equações (u’, v’ e w’).
Bom, podemos tentar observar estas grandezas. Na verdade isto é
possível experimentalmente mas com grande grau de dificuldade.
O “fecho” das equações, contendo o atrito e os termos advectivos,
continuam a ser um problema no estudo da turbulência! Há sempre mais
incógnitas que equações!
Há agora que utilizar conhecimentos obtidos através da observação e
intuição física para encontrar uma forma para “fechar” o problema.
A seguir vamos tentar um esquema de fecho, simples, através de
analogia com os efeitos do atrito molecular.
TENSÕES DE ÕES DE REYNOLDS E VISCOSIDADE TURBULENTA
(EDDY VISCOSITY)
Vamos introduzir os conceitos de “eddy viscosity” ou “turbulent viscosity”
por analogia com o atrito molecular, mas de magnitude muito maior que este.
Notemos que, em princípio, no movimento médio, ou seja, no movimento
descrito “à Reynolds”, os termos não lineares não devem ser dominantes. Se
conseguirmos mostrar utilizando a analogia com o atrito molecular, que o atrito
turbulento ou “eddy viscosity” tem poucos efeitos, talvez consigamos “resolver”
as equações ignorando o atrito e mesmo assim poder esperar resultados
realistas.
Em princípio, quando um escoamento entra em turbulência, as
derivadas espaciais do movimento médio sofrem uma redução porque o
movimento linear é homogeneizado. Assim as equações do movimento médio
deverão apenas ser “ligeiramente” não lineares.
Se conseguirmos, por esta forma, “fechar” as equações podemos
esperar resolver as equações por métodos numéricos, recorrendo a um
computador, embora a solução analítica não seja única e seja difícil de
conseguir. Consideremos a equação da continuidade para um fluido
incompressível:
0z
w
y
v
x
u
Ou seja 0V. ou 0Vdiv .
Decompondo em escoamento médio + flutuação:
0
z
'ww
y
'vv
x
'uu
0z
'w
y
'v
x
'u : logo , 0
z
w
y
v
x
u :Como
, ou seja, 0V'. . Logo,
quer a velocidade total, quer a velocidade média, quer a velocidade perturbada,
satisfaz a equação da continuidade.
Se adicionarmos V. u' aos termos turbulentos da equação de
Reynolds, o seu valor não se altera, apenas altera a forma matemática porque
0V. u' .
Para a componente em x, por exemplo, temos:
w'u'z
v'u'y
u'u'xz
w'yv'
xu'
u'zu'
w'yu'
v'xu'
u'
0
e a equação de Reynolds para a componente x da velocidade, u , vem:
w'u'z
v'u'y
u'u'xz
uyu
xu
wΦcos2 -vsenΦdxP
αdtud
2
2
2
2
2
2
ν2
O termo
2
2
x
upode ser escrito como
x
u
x. Notemos que
x
u
é
a tensão (força por unidade de área) segundo x devido ao atrito molecular e à
existência do gradiente x
u
.
área de unidade por força uma é que ms
Kg.m
sm
m
s
m
m
Kg
x
uρ 22
2
3ν
Notemos que -u’u’ também é uma tensão e que pode ser identificada
como tensão devida à turbulência. As derivadas espaciais destas tensões
produzem forças num elemento de volume de um fluido
volume de unidade por força é 'u'ux
.
Os mecanismos das tensões devido ao atrito molecular e devido à
turbulência são similares, pois ambos proporcionam a troca de momento linear
entre partes do fluido, embora as escalas sejam muito diferentes: os
deslocamentos e as massas envolvidas são muito maiores nas tensões
turbulentas.
As tensões como -u’u’; -u’v’; -u’w’ ou os termos idênticos para os
outros componentes (-v’u’; -v’v’; -v’w’ para a componente em y e -w’u’; -
w’v’; -w’w’ para a componente em z) são as chamadas tensões de Reynolds
(Reynolds stresses).
Por analogia com o atrito molecular, podemos admitir que estas tensões
estão relacionadas com os gradientes da velocidade média por uma espécie de
viscosidade: a “eddy viscosity” ou viscosidade turbulenta. Assim (por exemplo):
zu
Aw'u' ;yu
Av'u' ;xu
Au'u' zyx
Os coeficientes Ax, Ay e Az são as “eddy viscosity” ou viscosidades
turbulentas (cinemáticas se multiplicados por teremos os coeficientes
dinâmicos, como veremos).
Ao contrário do atrito molecular, aqui usamos diferentes valores da
“eddy viscosity” para cada direcção, uma vez que devem ser diferentes, em
particular entre as direcções horizontais e a vertical, por causa da estabilidade
estática.
Reparemos que as tensões de Reynolds não são simétricas:
x
vA'u'v e
y
uA'v'u xy
não são necessariamente iguais. Mas isto é outro problema que deixamos para
o futuro.....
zw
Aw'w' ;yw
Av'w' ;xw
Au'w'w
zv
Aw'v' ;yv
Av'v' ;xv
Au'v'v
:w e v em equação a para
zyx
zyx
Então, um termo como:
x
uA
x virá 'u'u
x x . É comum colocar Ax
fora da derivada baseado no argumento que x
u
x
A x
é mesmo importante... e
por analogia com o atrito molecular. Além do mais desprezar a variação
espacial dos A’s em relação a outros termos é uma aproximação tão válida
como outras que já fizemos. Por isso não há razão para não a fazer.
Assim, os termos de atrito turbulento na direcção x, virão:
2
2
z2
2
y2
2
xz
uA
y
uA
x
uA
Os A’s têm unidades m2/s, por analogia com a viscosidade molecular.
Reparemos que estes termos têm dimensões de força por unidade de
massa, ou seja, aceleração (m/s2). Temos que multiplicar por os A’s para
termos força por unidade de volume, tal como consta das equações de
Reynolds. Temos neste caso a viscosidade turbulenta dinâmica e não a
cinemática.
Os coeficientes da viscosidade turbulenta são estranhos!!! Ao contrário
da viscosidade molecular, não são constantes para um dado fluido,
temperatura, salinidade e pressão, mas variam de local para local e de instante
para instante e com o tipo de movimento. Os A’s são propriedade do
escoamento e não propriedade do fluido! Os seus valores chegam a atingir 1011
vezes o valor da viscosidade molecular! Muitas tentativas têm sido feitas para
expressar os A’s como função da velocidade média, sua derivadas, etc... mas
não têm obtido resultados aplicáveis!
A representação da turbulência através dos “eddy viscosity” é possível
até que percebamos esta característica do escoamento de fluido
suficientemente bem para o podermos representar de forma mais exacta e,
certamente, mais correcta.
De qualquer forma, a aproximação através dos “eddy viscosity” dá bons
resultados em alguns casos: o escoamento do oceano junto ao fundo costuma
ser tratado através desta forma.
Introduzindo os “eddy viscosity” e incluindo neles a viscosidade
molecular, as equações do movimento para a componente x e y vêm:
2
2
z2
2
y2
2
x z
uA
y
uA
x
uAwcos2vsen2
x
P
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
du
2
2
z2
2
y2
2
xz
vA
y
vA
x
vAusen2
y
P
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
dt
dv
e para componente vertical:
2
2
z2
2
y2
2
x z
wA
y
wA
x
wAgucos2
z
P
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
dt
dw
onde u, v, w, e são quantidades medias. Assumimos que o que
representamos são quantidades medias e por isso omitimos a “barra”.
MAGNITUDE DOS TERMOS DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO:
NÚMERO DE ROSSBY E DE EKNAM
Já tinhamos feito a filtragem das equações do movimento na disciplina
de Oceanografia Física. Na altura tínhamos apenas dito que os termos
relacionados com o atrito eram pequenos comparados com outros termos das
equações. Vejamos melhor agora a sua magnitude: os valores estimados para
Ax e Ay variam entre 10 e 10 5 m2/s. Para Az as estimativas vão de 10-5 a 10 –1
m2/s. Verificamos por estas estimativas que as “eddy viscosity” variam muito.
Isto deve-se ao facto da “eddy viscosity” ser uma propriedade do escoamento e
não do fluido e também à forma como os A’s são obtidos. Podemos estimar
este termo como termo residual das equações do movimento. Podemos ajustar
o termo tão bem quanto possível a observações realizadas.
Uma aproximação simples e possivelmente correcto, pelo menos num
factor de 100, é considerar os termos não lineares da mesma ordem de
magnitude da viscosidade turbulenta, tal como já tínhamos dito antes.
Assim uma vez que os termos não lineares tem dimensões:
exemplo por , dx
duu temos
L
U2
, temos: 2z2y2x
2
L
UA
L
UA
L
UA
L
U Logo:
x2
2
zyx AL
HA e ULAA . Com x
6z
3 A10A vem 10L
H . O facto de
Az<<Ax ou Ay deve-se à estabilidade estática causada pela estratificação inibir a
turbulência vertical e forçar o escoamento a ser quase horizontal (ou seja, a
mesma razão porque W<<U e que provoca circulações onde H<<L).
Notemos que Ax (ou Ay) = UL é equivalente a dizer que o número de
Reynolds (termos não lineares sobre termos de atrito) baseado na viscosidade
turbulenta é da ordem de 1. Com U = 0.1 m/s (10 –1 m/s) e L = 10 6 m temos Ax
e Ay = 10 5 m2/s, o limite superior de estimativa destes valores. Só devem
ocorrer valores mais baixos que estes porque a circulação associada à
turbulência são de menor escala (quer L quer U) ou têm um número de
Reynolds baseado no “eddy viscosity” maior que 1.
Verifiquemos as magnitudes dos termos não lineares:
8
3
148
6
11 10
10
1010
dz
duwu ; 10
10
1010
dx
duu
e por ai fora… Verificamos que são pequenos quando comparados com outros
termos, por exemplo, a Força de Coriolis.
Verifiquemos as magnitudes dos termos de “eddy viscosity”:
Por exemplo:
u em s,horizontai equações das termos
101010
10zu
A
101010
10xu
A
wem vertical, equação da termos
101010
10zw
A
101010
10xw
A
86
11
2
2
z
812
15
2
2
x
116
41
2
2
z
1112
45
2
2
x
(estamos a utilizar as maiores estimativas para os A’s!)
Verificamos assim que para escoamentos de larga escala no oceano
interior, quer os termos não lineares quer os termos de viscosidade turbulenta,
são muito pequenos quando comparados, por exemplo, com os termos do
gradiente de Pressão e de Coriolis. Mas atenção! Noutras regiões podem ser (e
são...) importantes!
Para classificar o escoamento noutras regiões é útil considerar as
razões entre os termos não lineares e o termo de Coriolis e entre os termos de
atrito e o termo de Coriolis: (números adimensionais)
0
2
RfL
U
fU
1
L
U
Coriolis de termo
linear não termo ,
que é chamado Número de Rossby (R0).
z2z
y2
yx2
x2x E
fH
A ou E
fL
A ou E
fL
A
fU
1
L
UA
Coriolis de termo
atrito de termo
que são os chamados Números de Ekman.
No oceano interior Ex Ey, é por vezes chamado EH.
No oceano interior R0 ≤ 10 –3 e Ez EH ≤ 10 –3. Noutras regiões estes
números são maiores, mas o seu limite superior é 1 para circulação de larga
escala (ou seja, os termos não lineares e de atrito nunca são superiores ao
termo de Coriolis, para circulação de larga escala).
ESTABILIDADE DINÂMICA; NÚMERO DE RICHARDSON
O que é que determina que o escoamento se torne instável e evolua
para movimentos de pequena escala cujos efeitos de atrito são muito maiores
que os efeitos do atrito molecular? (os efeitos do atrito turbulento são cerca de
107 a 1011 vezes maiores que os do atrito molecular nas componentes
horizontais e 10 a 105 vezes maiores na componente vertical).
Consideremos um fluido com estabilidade estática neutra: não há efeito
de “flutuação” (buoyancy) porque qualquer parcela de água que seja deslocada
tem a mesma densidade do que as águas vizinhas. Isto corresponde a dizer
que a salinidade e temperatura potencial são constantes no domínio
considerado, ou que, por exemplo, a salinidade é uniforme mas a temperatura
e a densidade aumentam em profundidade o que será um exemplo realista.
Neste caso simples será o Número de Reynolds que determina a
estabilidade dinâmica (Re = termos não lineares / atrito molecular). Se Re > 10 6
é provável o escoamento ser turbulento. Suponhamos U = 0.01 m/s (1 cm/s),
uma velocidade será relativamente baixa. Se tomarmos μ = 10 –6 m2/s, a
distância característica para que Re = 10 6 é L = 100 m.
Uma vez que a escala de distância nos oceanos é bem maior, tudo leva
a crer que o regime turbulento deve acontecer por todo o lado (Re = U.L / μ).
Contudo não é isso que se verifica, logo um Número de Reynolds elevado não
é suficiente para fazer a turbulência crescer, ainda que a possa gerar!
Para que a turbulência cresça, ou seja, para que as perturbações na
velocidade cresçam, é necessário que exista uma fonte de energia! E não
haverá fontes de energia se não houver gradientes no escoamento!
Se o campo da velocidade for muito uniforme, não há fonte de energia
para “fazer crescer” as perturbações e o atrito molecular (viscosidade
molecular) acaba por “alisar” as perturbações.
Claro está que junto às fronteiras sólidas, onde a velocidade é nula, há
gradientes de velocidade e por isso é muito provável que a turbulência ocorra
de preferencia junto às fronteiras.
Outra hipótese que inibe a turbulência, assumindo que o número de Reynolds
seja grande (10 7 ou maior) é um tipo de escoamento tal que os termos não
lineares sejam pequenos e, por isso, a “passagem” para a turbulência não
ocorre.
Variações da densidade aumentam ou diminuem, por exemplo, a
velocidade vertical. A estabilidade estática mede isso: se for positiva implica
estabilidade, logo w diminui; se for negativa implica instabilidade, logo w
aumenta. A turbulência tende a misturar o fluido, logo, a diminuir a variação
vertical da densidade. Ao fazer isto faz subir fluido “mais pesado” e descer
fluido “mais leve”. Logo, o centro de gravidade da parcela de fluido sobe, logo a
energia potencial gravitica aumenta (trabalho realizado contra a força de
gravidade). Este aumento da energia potencial vem da energia cinética da
turbulência (energia cinética das perturbações), que por sua vez vem da
energia cinética do escoamento médio.
. O fluido turbulento também perde alguma energia para energia interna,
através da viscosidade molecular. Se a taxa de perda de energia turbulenta é
maior que o ganho, a turbulência morre! Também, se a estabilidade estática for
grande, a turbulência envolvendo a coordenada vertical não será possível.
Como podemos estabelecer um critério para avaliar a importância
relativa da estabilidade estática e a tendência para a instabilidade dada pelos
termos não lineares?
Para isto construiu-se um outro número adimensional, o Número de
Richardson:
2
2
i
z
u
NR
Onde N é a frequência de Brunt-Väisälä
z
σ
ρ
1-E com gE,N t2 , que
é uma medida da estabilidade estática, como já vimos. Usa-se 2
z
u
em vez
de z
u
porque a turbulência não depende do sinal de z
u
, mas sim da sua
existência e da sua magnitude. Com o quadrado tiramos o efeito do sinal.
Se Ri < 0, as variações de densidade amplificam a turbulência. Se Ri > 0
tendem a reduzi-la. Se apenas ocorre variação vertical da velocidade
horizontal, Ri torna-se bastante grande e a turbulência não é possível: o efeito
estabilizador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial
devido aos termos não lineares.
O valor “critico” exacto de Ri é determinado experimentalmente para
cada escoamento. No entanto, com Ri > ¼ é muito difícil gerar turbulência.
Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das
variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a
turbulência modificando a “eddy viscosity”, mas não actua directamente no
escoamento médio.
De facto, não há derivadas de ρ (ou σt ou α) nas equações de Reynolds,
e desprezamos os termos que continham α’
x
'' exemplo, por quando
deduzimos as equações de Reynolds!
A razão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as
variações dos valores médios quer as flutuações.
Esta aproximação é aquilo que se chama “aproximação de Boussinesq”.
Ou seja: se as variações da densidade são pequenas, numa primeira
aproximação podemos desprezar o seu efeito na “massa” do fluido, mas
manter o seu efeito no “peso”. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das
variações de densidade na “flutualidade” (buoyancy), através da estabilidade
estática, por exemplo, mas podemos despreza-los nas acelerações laterais
geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda:
temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a
“g” peso!).
Assim, nas equações do movimento horizontal podemos usar uma
densidade média da região considerada, mas na equação em z temos de usar
os valores verdadeiros da densidade! (porque ela reduz-se à equação da
equação hidrostática).
CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO
A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio
(Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é
conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação
pode ser atribuída ao vento? Até finais do século XIX era assim que se
pensava.
A transferência de momento do vento para a água do oceano é um
processo muito lento, caso não ocorra turbulência. Ou seja, se o escoamento
induzido pelo vento for considerado laminar, utilizando então o coeficiente de
viscosidade molecular, verifica-se que modificações na circulação na camada
superior do oceano (tipicamente dezenas de metros) induzidas pela acção do
vento demoram meses!!!
No entanto o que se observa é que estas modificações ocorrem em
horas ou poucos dias e não meses! Isto deve-se ao facto de o escoamento no
oceano ser quase sempre turbulento e, neste tipo de escoamento, a
transferência vertical de momento e energia ocorre a uma taxa na ordem de
centenas ou milhares de vezes superiores à transferência que ocorre através
da viscosidade molecular. Nos escoamentos turbulentos temos que utilizar a
viscosidade turbulenta, ou seja o “eddy viscosity” que já tínhamos visto ser
muito (muitíssimo!!!) superior à viscosidade turbulenta.
Quer os efeitos causados pelo vento quer as variações de densidade
lateral do oceano são muito importantes para definir a circulação oceânica. O
vento é muito importante nos 1000 m superiores.
No final do século XIX (1898) Nansen verificou que os icebergs no
Árctico derivam não na direcção do vento, mas sim para a direita da direcção
do vento à superfície. Porque seria? Solução de Nansen:
Ft
FC
FC
inicial
VENTO
cubo de água do oceano
Fb
força tangencial induzida pelo vento
V0
direcção do movimento no estado estacionário
força de Coriolis que aparece mal o cubo entra em movimento (estado inicial)
força de Coriolis depois de atingido o estado estacionário
força de atrito entre as faces submersas do cubo e a água do oceano
Fgrad.P FCoriolis
Fatrito
O cubo começa por acelerar na direcção do vento, mas assim que entra em
movimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado
estacionário é atingido quando bCt F e F,F
entram em balanço e nessa altura a
velocidade 0V
é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do
vento.
A determinação da direcção exacta do movimento relativamente ao
vento, seria feita mais tarde (entre 1905 e 1932) por Ekman, com base em
argumentos quantitativos, ao contrário de Nansen que utilizou apenas
argumentos qualitativos. Ekman teve de recorrer à matemática! ( Nansen era
biólogo... )
AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO COM ATRITO INCLUÍDO
Se pegarmos nas equações do movimento para o equilíbrio geostrófico
e incluirmos o atrito, temos:
Fyy
Pu.f
dt
dv
Fxx
Pv.f
dt
du
onde Fx e Fy são as componentes do atrito por unidade de massa. No estado
estacionário:
0y
PFyu.f
0x
PFxv.f
(Coriolis + atrito + Grad P = 0)
ou vectorialmente: a resultante é nula!
Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já
não são directamente opostas! O movimento será “ageostrófico”.
Temos pois que encontrar soluções para estas equações (tal como já
tínhamos feito para o caso do equilíbrio geostrófico). Foi isso que Ekman fez!
A primeira coisa a fazer será escrever expressões para os termos Fx e
Fy. Vejamos os argumentos qualitativos: se duas partes de um fluído se
moverem relativamente uma à outra, deve ocorrer atrito. Estas duas partes
podem mover-se em direcções opostas ou na mesma direcção com
velocidades diferentes.
Neste caso ocorre “shear” na velocidade. A quantificação do “shear” faz-
se: z
uzz/uu 3434
ou no limite
z
u
.
Para um fluído Newtoniano, classe a que pertence a água do oceano, a
tensão de atrito, , definida como uma força por unidade de área paralela ao
escoamento, é dada por:
z
u
z
u
conforme utilizemos o coeficiente dinâmico de viscosidade molecular
( 113 s.m.Kg10 ) ou o coeficiente cinemático de viscosidade molecular
( 126 s.m10 ).
A utilização do coeficiente dinâmico de viscosidade vai fazer com que as
forças de atrito venham em Força / Unidade de volume. O coeficiente de
viscosidade cinemático faz as forças virem em Força / Unidade de massa, que
tem sido o que temos utilizado nas equações de Navier-Stokes já escritas.
Estes são os valores “moleculares” que se usam nos escoamentos
laminares, ou seja, escoamentos suaves, de pequeno diâmetro, com baixos
números de Reynolds ( 310 ). No entanto, no oceano o movimento é em
geral turbulento e o valor efectivo da viscosidade cinemática é a “eddy
viscosity” cinemática, que já vimos, e que são Ax, Ay e Az, com Ax e Ay com
valores até 125 sm10 para o “shear” horizontal (por exemplo, ...etc;x
v;
y
u;
x
u
)
e Az com valores até 121 sm10 para o “shear” vertical (por exemplo, z
vou
z
u
).
As tensões de atrito turbulento (eddy friction stress, também chamado
em português “tensões de corte”) escrevem-se portanto, por exemplo:
z
uA zxz
ou
y
uA yxy
e expressam a força que uma camada de fluído faz numa área da camada
vizinha, acima ou abaixo. Para substituir na equação do movimento
necessitamos dessa força mas feita na massa do fluído vizinho:
Na figura acima há “shear” segundo z. A força que actua no cubo é:
12 na direcção x.
Como zz12
, logo: Vz
szz
s12
, onde V é o
volume do cubo. No limite s e z 0, logo V 0.
Portanto, z
representa uma força por unidade de volume. Para ser por
unidade de massa, virá:
z
uρA
zα
zα
zρ
1z
ττ
utilizamos Az porque estamos a tratar “shear” vertical. No entanto, isto é válido
para o “shear” em qualquer direcção.
Se assumirmos que Az não varia com a profundidade:
perfil da velocidade:
Força de atrito turbulento por unidade de massa 2
2
zz
uA
(Sabemos tão pouco sobre Az, que limitar a nossa análise ao caso de Az igual a
uma constante em profundidade não será grande erro!!!)
Verifiquemos que já tínhamos obtido esta expressão quando estudámos
as “eddy viscosities” e tínhamos feito a decomposição “à Reynolds”: uma parte
média mais uma parte perturbada.
Também assumimos que uma variação de ρ com a profundidade é
pequena comparado com z
uA z
! É uma aproximação consistente com a
aproximação de Boussinesq.
Então os termos Fx e Fy podem ser escritos:
2
2
zy
y
2
2
zx
x
z
vA
zF
z
uA
zF
e as equações do movimento horizontal:
y
P
z
vAfu
x
P
z
uAfv
2
2
z
2
2
z
A equação em z reduz-se ao equilíbrio hidrostático.
Tínhamos visto que estes termos de atrito eram desprezáveis no oceano
interior. Para que estes termos sejam significativos, eles têm que ter uma
magnitude aproximada, por exemplo, ao termo de Coriolis, ou seja:
UfH
UA
2z
Por exemplo, com s/m10A 21z
e 14 s10f , temos
m 30Hm1010
10
f
AH 23
4
1z2
; com m100H o termo de atrito será ainda
10% do termo de Coriolis. Estamos, pois, à espera de ter que entrar em linha
de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, quer do fundo quer
da superfície. Isto corresponde a dizer que, dentro destas distâncias da
superfície ou do fundo, o número de Ekman vertical
2z
zfH
AE deve ser da
ordem da unidade.
A SOLUÇÃO DE EKMAN
A dificuldade com estas equações é que ficamos com duas causas para
o movimento: a distribuição da massa (ou seja, a densidade) que dá origem ao
termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, que na solução de Ekman é
o atrito do vento.
Podemos separar estas duas acções forçadoras e resolver
separadamente a influência do vento e a influência do gradiente de pressão e
depois juntá-las. Esta separação só é possível se assumirmos que as
expressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes
esta separação já não pode ser feita (tivemos um exemplo disso quando
fizemos a decomposição “à Reynolds”, em que, ao achar medias de
perturbações não pudemos considerar nulos os termos que continham o
produto de duas perturbações não independentes!).
Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!!
Então podemos fazer:
2
2
zEgz
uA
x
Pvvffv
onde: x
Pfv g
gv é a velocidade geostrófica e
2
2
zEz
uAfv
Ev é a
velocidade de Ekman, associada ao “shear” vertical.
A solução de Ekman é para Ev apenas, ou seja, admitiu 0v g , ou seja,
admitir a não existência de declive da superfície livre do oceano.
Para facilitar o problema, Ekman admitiu ainda:
- não existência de fronteiras no oceano;
- um oceano de profundidade infinita (para evitar o atrito no fundo, ou seja,
limitou-se a estudar o efeito da tensão do vento);
- Az constante em profundidade;
- um vento estacionário soprando durante um período longo;
- 0x
P
e 0y
P
, ou seja, condições barotrópicas.
As equações de Ekman são, então:
0z
vAfu
0z
uAfv
2
2
z
2
2
z
ou seja, Coriolis + Atrito = 0
E agora a matemática (um passe de mágica!) !!!
Se o vento soprar segundo a direcção y (não esquecer), mostra-se que
a solução para as equações de Ekman são:
zD
π
E0
zD
π
E0
E
E
e.zD
π
4
πsenvv
e.zD
π
4
πcosvu
(sinal + para o Hemisfério Norte, sinal – para o Hemisfério Sul)
onde f..D/..2v Ey0 é a corrente à superfície, com f sendo o módulo
de f, y a magnitude de tensão do vento na superfície do oceano e
f
A2D z
E a profundidade de Ekman, ou seja, a profundidade até onde a
influencia do atrito à superfície se faz sentir.
Podemos agora interpretar as soluções:
- À superfície, 0z , temos: )º45cos(vu 0 e )º45(senvv 0 ou seja,
a corrente à superfície flui fazendo
um ângulo de 45º para a direita da
direcção para onde sopra o vento
(para a esquerda no H. Sul).
- A velocidade da corrente à
superfície é proporcional à tensão
do vento à superfície, y , e
depende também inversamente da
latitude, densidade da água e do
coeficiente de viscosidade de turbulento (“eddy viscosity”), Az (Está incluído na
definição de ED ).
- A magnitude da corrente diminui exponencialmente com o aumento da
profundidade (z cada vez mais negativo!). A corrente total é: z
D0
Eev
, a que
depois se acrescenta o cos (...) ou o sen (...) para achar a projecção u ou v.
Logo, a magnitude decresce exponencialmente com a profundidade.
- A velocidade roda linearmente para a direita com o aumento de
profundidade (z cada vez mais negativo...) no Hemisfério Norte (para a
esquerda no Hemisfério Sul), ou seja, roda segundo os ponteiros do relógio no
H. Norte, ou seja, anticiclónicamente.
A tangente do ângulo entre a velocidade da corrente e o eixo dos x é
dada por: Z)D
πTg(45º
u
v
E
. Com a profundidade a aumentar (z cada vez mais
negativo), a tangente é cada vez menor, logo o ângulo cada vez menor, ou
seja, o vector velocidade vai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sul
existiria um sinal (-) atrás da Tg…).
A diminuição da velocidade em
profundidade em conjunto com a
rotação para a direita (no H. Norte)
forma a espiral de Ekman (figura
abaixo).
- À profundidade z = DE:
uDE = V0 e- π cos (45º- π)
vDE = V0 e- π sen (45º- π)
A esta profundidade a velocidade diminuiu para e- π (0.04=1/23) daquilo
que era à superfície (u= V0 cos 45º e v= V0 sen 45º) e é oposta do que era à
superfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º).
Neste modelo, a velocidade tende assintóticamente para zero quando
z mas de longe os efeitos mais importantes estão circunscritos à camada
superficial à espessura DE. Ekmam chamou DE a “profundidade de influência do
atrito (“depth of frictional influence”). Também se chama frequentemente
“camada de Ekman” (Ekman layer) a esta camada.
y
x
vento
v
u
V0
z
EDπ45
velocidade à superfície
É curioso notar que DE não depende do atrito do vento (y), embora
aumente com viscosidades turbulentas crescentes e latitudes decrescentes.
No equador D , logo o modelo de Ekman falha nessas regiões (ou
melhor, as condições do modelo não se verificam, pois nesta região nem num
oceano infinitamente profundo se verifica u = 0 e v = 0 para z .
Para sucessivos valores de z verificamos que o vector velocidade, além
de diminuir de intensidade vai rodando para a direita no Hemisfério Norte
(esquerda no Hemisfério Sul). A extremidade dos vectores forma assim uma
espiral logarítmica, conhecida como a “espiral de Ekman”.
corrente à superfície
direcção do vento
Pro
fun
did
ade
(-z)
Espiral de Ekman
Analisar exemplos do Pond e Pickard, pag. 88-89
ESTIMATIVAS PARA A RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA
CORRENTE À SUPERFICIE, V0, A VELOCIDADE DO VENTO, W, E
PROFUNDIDADE DA CAMADA DE EKMAN, DE:
dimensão) sem 101,4( coef." drag" C
ventodo e velocidadW
)Kg/m 1,3(ar do densidade ρ
WCρτ3-
D
3a
2Daη
Logo: :e W101,41,3τ 23η
m/sfD
W100,79
f1025D
W101,8π2V
E
25
mar doágua da ρ
E
23
0
As observações mostram que a seguinte estimativa é válida para fora
das regiões equatoriais ( fora de +/- 10º latitude):
sen
0127.0
W
V0
Se substituirmos na expressão acima:
sen
W3.4DE
Então se medirmos a velocidade do vento, W, e sabendo a latitude,
temos uma estimativa de DE e dai podermos estimar a velocidade da corrente à
superfície, V0, e depois a qualquer profundidade abaixo da superfície.
Reparemos que na equação acima DE depende do W ( mas na solução
das equações de Ekman não dependia de !). Como na solução das equações
de Ekman DE depende de Az (DE = f
Az2 ), logo, em princípio, Az aumenta
com W… Bom, se tivermos medições de DE podemos estimar Az.
Valores numéricos (do Pond e Pickard):
10º 45º 80º
V0 / W 0,030 0,015 0,013
W = 10 m/s DE 100 m 50 m 45 m
W = 20 m/s DE 200 m 100 m 90 m
Analisar estes valores!!!!
NOTA: Reparemos que substituímos DE na expressão da V0 obtemos:
fAρfρf
Aπ2
π2
fρD
π2V
z
η
z
η
E
η0
Problema: Para um vento de 18 Km/h que sopre sobre o oceano a 40ºN,
qual a velocidade da corrente induzida à superfície.
→ Fazer pela estimativa
→ Fazer pelas equações assumindo: CD= 1.4x10-3; Az = 10-1 kg/ms
ρar = 1.3 kg/m3; ρágua =103 kg/m3
Comparar os valores!
→ Qual a velocidade induzida pelo vento a 50m de profundidade?
Comentários:
→ Muitas vezes compara-se (e por vezes confunde-se) a camada de mistura
com a camada de Ekman, o que não é correcto na maioria das vezes:
- a camada de mistura depende da história passada do vento no local.
- a camada de Ekman depende da velocidade do vento na altura.
- a camada de mistura depende da estabilidade da água subjacente, dos
perfis de salinidade e temperatura.
→ A teoria de Ekman assume Az constante em profundidade e que o vento é
constante, sabe-se que nenhuma destas premissas se verifica! Embora os
resultados fundamentais desta teoria sejam para levar a sério, (como o desvio
para a direita da camada superficial relativamente ao vento, ou o seu
decréscimo exponencial em profundidade) os pormenores da teoria não são
para levar a sério!
Ainda hoje há poucas medições para confirmar a teoria de Ekman!!!
(embora os resultados fundamentais estejam correctos e confirmados).
→ Também há uma camada de Ekman atmosférica e ai há mais medições a
confirmar a teoria.
O problema com a teoria de Ekman tem sobretudo a ver com efeitos que
dependem das variações temporais tais como o vento.
TRANSPORTE E AFLORAMENTO
A corrente de Ekman induzida pelo vento é máxima à superfície e
decresce em profundidade à medida que vai rodando para a direita no
Hemisfério Norte! Vamos ver que o transporte integrado na camada de Ekman
faz-se com 90º para a direita relativamente à direcção do vento.
Na ausência de gradiente de pressão, uma das formas das equações do
movimento, que já tínhamos escrito, era:
yy
xx
dρfudz0z
ρfu
dρfvdz0z
ρfv
ττ
ττ
Analisemos o que significa ρvdz : representa a massa que flui por
unidade de tempo na direcção y através de uma área de profundidade dz e
largura uma unidade (1 metro...) na direcção x, perpendicular ao escoamento
→ o mesmo para !!!ρudz
Logo
0
z
vdz será a massa total passa desde a profundidade –z até à
superfície numa “unidade de largura” do escoamento, perpendicular a esse
escoamento, ou seja, é a massa total transportada por unidade de largura na
direcção y. Se escolhermos a profundidade -z bem funda, então o transporte irá
incluir toda a corrente induzida pelo vento. Seja então –z = -2DE, onde a
velocidade da corrente será 002.0e 2 , da corrente à superfície, logo
virtualmente nula. Então os transportes de Ekman (ou seja, os transportes
induzidos pelo vento), serão:
)ED2(sup
EE
)ED2(sup
EE
yy
0
D2
y
0
D2
XE
xx
0
D2
x
0
D2
yE
dudzffM
dvdzffM
Mas )ED2(x
e )ED2(y
serão aproximadamente nulos porque à profundidade -2DE,
as velocidades e consequentemente as tensões, serão quase inexistentes.
Logo supsup xyEyXE fM e fM ou em transporte de volume em vez de
massa : yEyExEXE QM e QM , temos: supsup xyEyxE Qf e fQ .
Continuando a considerar o vento soprando segundo y, então:
0M e 0 yExsup , mas 0MXE porque 0
supy , mostrando que o transporte
total induzido pelo vento faz-se para a direita e com um ângulo de 90º em
relação à direcção de onde sopra o vento! (vice-versa no Hemisfério Sul).
Notas: “upwelling”
A equação da continuidade impõe que haja substituição de água que
é transportada para a direita relativamente à direcção do vento. Essa água terá
então que vir da esquerda (isto tudo no Hemisfério Norte). Contudo, se o vento
soprar paralelamente a uma linha de costa, deixando a costa à esquerda (no
Hemisfério Norte) de onde virá a água? ( para o oceano infinito de Ekman isto
não seria problema!!). O que ocorre na natureza é que essa água de
substituição vem das camadas subsuperficiais. Este comportamento é
conhecido como “afloramento costeiro” ou “upwelling” em inglês. As regiões de
upwelling são por isso regiões de divergência. Este fenómeno ocorre com
frequência ao longo das fronteiras Este dos oceanos. No Hemisfério Norte, o
vento tem que soprar para Sul ao longo da costa, o que ocorre com frequência
em especial no Verão, devido ao estabelecimento de baixas pressões de
origem térmica. No Hemisfério Sul o transporte é para a esquerda em relação
ao vento e o vento tem que soprar para Norte ao longo de fronteira Este para
ocorrer upwelling (o que ocorrer com frequência).
Ou seja, o upwelling ocorre quando o vento sopra para o Equador ao
longo de uma fronteira Leste do oceano ou para o Pólo ao longo de uma
fronteira Oeste (situação muito menos comum…)
De que profundidades vêm as águas afloradas? Não mais de 200 -
300 m de profundidade.
O upwelling tem grandes implicações biológicas.
”Downwelling”: o vento sopra deixando a linha de costa à direita (no
Hemisfério Norte).
Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling:
Estas correntes ao longo da costa têm em geral velocidades muito
maiores que as correntes para o largo ou para a costa induzidas directamente
pelo vento, via teoria de Ekman, tornando estas ultimas muito difíceis de medir.
Muitas vezes estas correntes geostróficas associadas ao upwelling não
são “bem” geostróficas!: perto das costas e/ou em águas pouco profundas, o
atrito no fundo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e
a Força de Coriolis não funciona!
A um dado nível, perto da superfície, a água junto à costa será mais
densa que a água ao largo. Esta diferença de densidades vai diminuindo em
profundidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento vai
diminuindo em profundidade, sendo portanto baroclínica. Por vezes há uma
“sobre compensação” e o gradiente de pressão muda de sinal, gerando-se uma
“ undercurrent” (corrente de sub-superfície) para o Pólo (para norte no
Hemisfério Norte).
UPWELLING E DOWNWELLING LONGE DAS COSTAS
A teoria de Ekman assume que o vento é uniforme, o que não é
verdade. Por exemplo, se considerarmos um vento que é constante na
direcção e sentido, mas varia na intensidade, irá gerar zonas de convergência
e de divergência, que serão acompanhadas de movimentos de “downwelling” e
“upwelling” respectivamente, nas camadas superficiais do oceano:
Nesta situação há convergência, logo “downwelling”
Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitudes o vento sopra para leste e nas
baixas latitudes para oeste:
“Ekman pumping”: Assim regiões de convergência são regiões de subida do
nível do mar (regiões de downwelling). Regiões de divergência são regiões de
descida do nível do mar (regiões de upwelling) logo “Ekman pumping”:
Subida
Upwelling Equatorial:
Um vento a soprar para oeste ao longo da região equatorial irá causar
divergência e upwelling no equador, porque o transporte será para a direita no
hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul (assumindo que a teoria
de Ekman funciona no equador...).
ATRITO NO FUNDO E EFEITOS PARTICULARES EM ÁGUAS
POUCO PROFUNDAS:
Quando a corrente flui junto ao fundo do oceano, o atrito induz uma
espiral de Ekman de fundo, de forma análoga espiral induzida pelo vento, com
a diferença que as espirais são opostas!
A demonstração matemática pode ser vista no Pond e Pickard!!!!
Vejamos os resultados e a análise qualitativa:
A corrente roda da sua direcção geostrófica para a esquerda de um
ângulo de 45º enquanto a velocidade se torna zero no fundo:
Análise qualitativa
Longe do fundo a corrente é geostrófica → força de Coriolis, equilíbra a
força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actuar para a direita e
a força do gradiente de pressão para a esquerda da corrente geostrófica.
Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido
ao atrito. Logo a força de Coriolis diminui, porque é proporcional à velocidade.
Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento
roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do
gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a
velocidade rodou 45º para a esquerda. Mas também nessa altura a velocidade
é nula!! Por isso não chega a rodar 45º...
Coisas interessantes:
→ Esta mesma solução aplica-se ao vento, ou seja à interface
Atmosfera – Terra (ou Oceano). Assim o vento à superfície, no hemisfério
Norte, sopra 45º para a esquerda do vento geostrófico e a corrente de
superfície é 45º para a direita do vento à superfície.
Assim, a corrente à superfície terá a mesma direcção do vento
geostrófico, ou seja, do vento acima da camada de Ekman atmosférica.
Contudo, estes resultados não são para ser levados muito a sério,
porque fizemos muitas aproximações ao escolher a forma de Az.... Assim, o
que se verifica na prática é que o vento à superfície roda menos que 45º , em
geral entre 10º e 20º, isto também porque o vento não sopra de forma
constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da
mesma forma, a corrente à superfície induzida pelo vento também não chega a
rodar 45º para a direita em relação ao vento à superfície, mas neste caso
aproxima-se bastante.
→ A 10 m de altitude o vento é cerca de 60 a 70% do vento geostrófico.
A redução para vento igual a zero ocorre muito perto da superfície. A
espessura da camada de Ekman atmosférica é tipicamente 10 vezes a do
oceano.
→ Se olharmos para o oceano real, verificamos que é possível pensar
na seguinte combinação: uma corrente geostrófica devido a um forçamento
velocidade geostrófica
rodou para a esquerda
fundo do mar
Fatrito
Fgrad.P
FCoriolis
corrente
equilíbrio perto do fundo
termohalino, uma espiral de Ekman nas camadas superiores, uma espiral de
Ekman no fundo que se sobreporá à da superfície se o oceano for pouco
profundo (junto à costa, sobre a plataforma) e ainda uma corrente de maré. A
descrição do movimento torna-se assim muito complicada. Por isso é muito
difícil analisar o movimento nas suas três componentes: geostrófica, induzida
pelo vento e de maré, em particular se todas estiverem a variar no tempo.
→ À medida que a água se torna pouco profunda, na ordem de DE ou
menos, as espirais de Ekman de superfície e de fundo sobrepõem-se. As duas
espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretudo na direcção
do vento à superfície e não perpendicularmente a ele. Quando a profundidade
decresce para cerca de DE/10, o transporte dá-se na direcção do vento, sendo
o efeito de Coriolis “abafado” pelo atrito → é o que acontece nas praias.
LIMITAÇÕES DA TEORIA DE EKMAN:
A teoria de Ekman é bem fundamentada, é bonita, mas na realidade
nunca ninguém observa uma espiral de Ekman bem desenhada no oceano! O
que não quer dizer que a teoria esteja errada!
A espiral de Ekman é bem observada em laboratório, onde a
viscosidade é molecular e não turbulenta. E há evidencia que os seus efeitos
integrados ocorrem, como é o caso do upwelling. Contudo, o problema
resolvido por Ekman é ideal:
- Não existem fronteiras: não é realista, mas não é uma má aproximação
longe da costa e as consequências junto ás costas suportam a solução obtida.
- Oceano de profundidade infinita: não é exacto mas é uma pequena
fonte de erro: DE ≈ 100 – 200 m e a profundidade média do oceano é ≈ 4000
m.
- Az constante → O mais certo é não ser verdade, mas o nosso
conhecimento sobre isto é tão pouco que não se sabe se é ou não uma grande
fonte de erro.
- Vento estacionário, o que leva a uma solução apenas para o estado
estacionário → Provavelmente a maior fonte de erro, pois nem o vento nem o
oceano são estacionários.
- Água homogénea (o que implica condições barotrópicas) → Não é
manifestamente verdade. Sverdrup tentou corrigir esta “falha” na teoria de
Ekman, como veremos a seguir.
A SOLUÇÃO DE SVERDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO
VENTO
As equações do movimento para um movimento uniforme e desprezado
o atrito devido aos gradientes horizontais da velocidade, são:
zfv
y
P
zfv
x
P
y
x
(F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito)
Ekman assumiu um oceano “horizontal” e por isso ignorou os termos à
esquerda
y
P e
x
P. Aqui apenas estamos a ignorar os gradientes
horizontais da velocidade num movimento uniforme. Ou seja, a solução que
vamos encontrar não será própria para descrever movimentos onde esses
gradientes sejam importantes (nas correntes muito fortes!).
O que Sverdrup fez foi fazer constar da equação os gradientes de
pressão e abandonou qualquer tentativa de descrever o comportamento da
velocidade em profundidade. Ou seja, apenas procurou descrever o transporte
total nas direcções x e y em toda a camada afectada pelo vento (ou seja, Mx e
My em termos de transporte de massa).
Assim, integrou as equações desde z = - h, que será uma profundidade
onde o efeito do vento já não se faz sentir. Por isso h >> DE. Logo:
supsup
supsup
xxx
0
h
0
h
xyx
0
h
0
h
fMfudzdzy
P
fMfvdzdzx
P
Lembrar que: 2
1
z
z
ρvdz , é o transporte de massa na direcção y entre as camadas
z1 e z2 (My).
2
2
z z
uA
2
2
z z
vA
supsup yx e representam a tensão do vento à superfície (quando
integramos os limites – h e 0 o valor da tensão do vento em –h é nula. Como o
valor do integral é determinado pela diferença entre o valor da função nos dois
limites só fica o valor da função à superfície, ou seje supsup yx e ).
Se construirmos o “eliminante” entre as duas equações, derivando a
primeira em ordem a y e a segunda em ordem a x, temos:
xx
MfM
x
fdz
yx
P
yy
MfM
y
fdz
yx
P
sup
sup
yxx
0
h
xyy
0
h
Subtraindo as duas equações:
0xyy
fM supsup yx
y
pois 0x
f
porque f não varia com x (é constante ao longo de um paralelo) e
0x
M
y
Mf xy
pela equação da continuidade (na horizontal....).
Logo o transporte de massa é descrito pelas equações:
0x
M
y
M
yxy
fM
xy
xy
ysupsup
O interessante nestas equações é que o que aparece são os gradientes
horizontais da tensão do vento à superfície e não a tensão do vento ela
mesmo! A expressão x
M
y
Mxy
é a componente vertical do rotacional da
tensão do vento supsupzrot .
kyx
jxz
izyzyx
kjisupsupsupsupsupsup
supsupsup
xyzxyz
zyx
sup
Esta última componente é a única não nula para o vento horizontal.
Sverdrup pretendeu determinar o escoamento como resposta à tensão
do vento e ao gradiente de pressão horizontal, sacrificando a descrição vertical
do movimento, procurando apenas fluxos integrados na vertical.
Assim: supzy rotM é a equação de Sverdrup.
oaproximaçã a vimos já como y
f
reparemos que o que gera “rotacional” é
o “shear” da tensão do vento: Tensão
segundo y a variar com x e tensão segundo
x a variar com y.
A equação de Sverdrup mostra que só há transporte norte – sul quando
há rotacional da tensão do vento.
As quantidades My e Mx (que se obtém pela equação da continuidade a
partir de My) são os transportes totais de massa na camada de influenciada
pelo vento:
0
h
y
0
h
x vdzM e udzM
Dividindo no transporte de Ekman e nos transportes geostróficos:
geostE
geostE
yyy
xxx
MMM
MMM
Podemos escrever:
0
h
0
h
geosty
x
0
h
Ey
dzx
PdzvfM f
dzvffM
geost
supE
E o mesmo para Mx.
Sverdrup mostrou que o transporte total meridional no oceano é
proporcional ao rotacional da tensão ao vento:
supzy rot1
M
mas a constante da proporcionalidade não é constante, é , ou seja, a taxa
de variação meridional do parâmetro de Coriolis. y
f1
rot < 0 rot > 0
tensão do vento
(solução de Ekman)
k
Mais tarde Stommel “aperfeiçoou” a teoria de Sverdrup e explicou a
intensificação das correntes nas fronteiras oeste dos oceanos, como é o caso
da corrente do Golfo.
VORTICIDADE
VORTICIDADE RELATIVA
“Vorticidade” em cinemática de fluidos quer expressar a tendência de
uma porção de fluido para rodar. Está directamente associada com a
quantidade, “shear da velocidade” (como aliás vimos na equação de Sverdrup).
Neste caso, a “rotação do fluido”, ou seja a vorticidade, é medida por
y
u
. Quando a vorticidade é medida relativamente à Terra é a “Vorticidade
Relativa” (). Quando é medida relativamente a um sistema de eixos fixos é a
“Vorticidade Absoluta” ( + f).
No caso geral, a vorticidade relativa no plano horizontal, ou seja a
componente vertical da vorticidade (que é um vector!) é dada por:
ky
u
x
vVrot z
VORTICIDADE PLANETÁRIA
Para um objecto sólido a rodar, a vorticidade
é duas vezes a velocidade angular. Assim, devido à
rotação da Terra, qualquer ponto à superfície do
planeta tem 2sen de vorticidade em torno do
0y
u
0y
u
0y
u
> 0 (ciclónica)
< 0 (anticiclónica)
= 0 (ñ há vorticidade relativa porque não há shear da velocidade do fluido)
sen
eixo da Terra, pois a velocidade angular de cada ponto é sen. Assim, “ f ”
(2sen) é a “vorticidade planetária”. Qualquer partícula de água imóvel
relativamente ao planeta, tem esta vorticidade. Reparemos que esta vorticidade
planetária varia com a latitude, logo qualquer partícula de água que se mova
meridionalmente varia a sua vorticidade planetária.
VORTICIDADE ABSOLUTA ( + f)
As equações para o movimento horizontal, não considerando o atrito,
são:
y
Pfu
dt
dvx
Pfv
dt
du
Vamos construir o “eliminante” dos termos da gradiente de pressão,
fazendo a derivação cruzada das equações: (desprezando as derivadas de
em x e y aproximação de Boussinesq)
fvy
fuxdt
dv
xdt
du
yfu
dt
dv
xfv
dt
du
y
O segundo membro é: y
vf
y
fv
x
uf
, pois f não varia com x. Será
então : y
fv
y
v
x
uf
. Mas
000
z
fw
y
fv
x
fu
t
f
dt
df :pois ,
dt
df
y
fv
Logo o segundo membro será: dt
df
y
v
x
uf
Vejamos agora o primeiro membro:
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
xz
uw
y
uv
x
uu
t
u
ydt
dv
xdt
du
y
Os termos z
uw
e z
vw
são claramente desprezáveis, porque w é muito
pequeno e também não estamos a considerar o “shear” vertical. Temos então:
y
vv
xx
vu
xt
v
xy
uv
yx
uu
yt
u
y
e fazendo as derivadas:
y
v
xv
y
v
x
v
x
v
xu
x
v
x
u
t
v
xy
u
yv
y
u
y
v
x
u
yu
x
u
y
u
t
u
y
e agora reordenando os termos para que possamos entender alguma coisa,
após termos alterado a ordem da diferenciação em alguns termos, o que é
possível porque todos são derivadas locais e dada a natureza das funções a
derivar:
321
y
v
x
v
x
v
x
u
y
u
y
v
x
u
y
u
y
v
xv
x
v
xu
x
v
ty
u
yv
x
u
yu
y
u
t
y
v
x
u
y
v
x
u
y
u
x
v3 ;
x
v
dt
d2 ;
y
u
dt
d1
Temos então que o primeiro membro é:
y
v
x
u
dt
dζ
y
v
x
u
y
u
x
v
dt
d
y
v
x
u
x
v
dt
d
y
u
dt
d
ζ
ζζζ
Reconstruindo agora a equação e notando que y
v
x
u
não é mais que a
divergência da velocidade horizontal, HH V. ou Vdiv :
H
HH
Vdiv)f()f(dt
d
:seja ou,dt
dfVfdivVdiv
dt
d
(+f) é a soma da vorticidade relativa com a vorticidade planetária e é a
“vorticidade absoluta”. Esta equação expressa o Principio da conservação da
Vorticidade Absoluta.
Numa região de divergência, 0Vdiv H , logo a magnitude de
vorticidade absoluta, (+f), diminui. Numa região de convergência acontece o
contrário.
No Hemisfério Norte “ f ” é positivo e, em geral, “ f ” é bem maior que “”,
por isso os valores de (+f) são em geral positivos no Hemisfério Norte.
Assim, com 0)f(dt
d 0f)( e 0Vdiv H ,logo (+f) diminui com
o tempo, mas se 0)( fdt
d 0f)( , ou seja, (+f) vai-se tornando cada
vez menos negativo, ou seja, diminui em magnitude. Sugere-se que seja feita a
análise para o caso de haver convergência.
Imaginemos um cilindro de água, no Hemisfério
Norte, parado relativamente à Terra, portanto
apenas com vorticidade planetária, f: se o fluido
começa a convergir para o centro, o cilindro tem
que se alongar e encolher para conservar o
volume. Mas como há convergência, 0Vdiv H ,
logo a vorticidade absoluta tem que aumentar
( 0)f(dt
d ). Como o cilindro está na mesma
posição à superfície da Terra, “f” = cte, logo a
água vai adquirir vorticidade relativa, , positiva.
Na situação oposta, há divergência. Se a
vorticidade inicial for apenas “f”, como )f(dt
d
tem que ser < 0, logo vai ser gerada vorticidade negativa, ou seja, vorticidade
anticiclónica.
VORTICIDADE POTENCIAL
D
fζ
Consideremos uma camada do oceano onde ocorram condições
barotrópicas. Seja “D” a espessura dessa camada. Esta camada pode ser, por
exemplo, a camada de mistura ou a camada desde a base da picnoclina até ao
fundo (mas não a camada da picnoclina, porque ai as condições não são
barotrópicas, pois a densidade não é uniforme!)
Mostra-se que a equação da continuidade do volume para esta camada
é:
0y
v
x
u
dt
dD
D
1
convergência
f+ζ
f no início, antes de “esticar”
no final, depois de “esticar”
vista lateral
vista de topo
“esticar” produz “+ζ”
divergência
f
f-ζ no final depois de “achatar”
no início, antes de “achatar”
vista lateral
vista de topo
“achatar” produz “-ζ”
Acreditemos... mas podemos ver que fisicamente não é absurdo:
quando há convergencia ( 0y
v
x
u
) a espessura tem que aumentar
( 0dt
dD ).
Se combinarmos a equação da conservação da vorticidade absoluta
com a equação da continuidade, construindo o eliminante de HdivV , temos:
0dt
dD
D
f)f(
dt
d
dt
dD
D
1)f(
dt
d
)f(
1
multiplicando por D
1: 0
dt
dD
D
f
D
1)f(
dt
d
D
1
ou:
0D
f
dt
d
DdtdD
ff)(dtd
D
2
ζζζ
(...relembrar a regra da derivação de um
quociente...)
Logo: cteD
f
para o movimento de uma massa de água, desde que
não haja adição de vorticidade do exterior, por exemplo do vento ou outro
atrito.
À quantidade
D
f chama-se vorticidade potencial.
Podemos assim saber o que ocorre à vorticidade quando uma massa de
água se desloca no oceano:
Se D = cte, se a partícula se mover zonalmente, não ganha nem perde
vorticidade. Se se mover meridionalmente para o pólo Norte, f aumenta e
diminui, ou seja adquire vorticidade anticiclónica (negativa). Se se mover para o
pólo Sul, f diminui e aumenta, logo adquire vorticidade ciclónica (positiva).
Se D aumenta, (+f) aumenta se inicialmente o seu valor for positivo. Neste
caso se f = cte (movimento zonal), aumenta; se f aumenta (movimento para o
polo Norte) e pode ter qualquer valor; se f diminui (movimento para o polo
Sul) aumenta.
E se inicialmente (+f) for negativo? Ver...
Se D diminui, (+f) diminui se o seu valor inicial for positivo...etc. Podemos
então fazer uma série de interpretações e explicar muitos dos movimentos
observados no oceano.
No oceano interior, longe das fronteiras, é negligivel quando
comparado com f. Podemos então dizer que cteD
f no oceano interior. Assim,
se uma coluna de água advectada passar sobre uma montanha submarina, D
diminui e f tem que diminuir, logo a água desloca-se para o equador. “Vice-
versa” quando passa num vale.
À “deplecção” causada no escoamento devido à conservação da
vorticidade potencial chama-se “control topográfico” (topographic steering).
INTENSIFICAÇÃO DA CIRCULAÇÃO NA FRONTEIRA OESTE DOS
OCEANOS – EXPLICAÇÃO ATRAVÉS DA CONSERVAÇÃO DA VORTICIDADE POTENCIAL
Vamos considerar o Hemisfério Norte. Consideremos que a
profundidade da circulação, D, é constante, logo (+f) = constante.
O padrão do vento no Hemisfério Norte é para Oeste a Sul e para Leste
a Norte. Logo, a circulação na camada superficial será no sentido dos ponteiros
do relógio (velocidade angular negativa).
No lado Oeste do oceano, a circulação será para Norte perca de
vorticidade relativa, porque (f + ) = constante e f , logo e há também
perca de vorticidade relativa devido à tensão do vento, que fornece vorticidade
negativa, no sentido dos ponteiros do relógio. Logo há perca de vorticidade
relativa.
-p- < 0
No lado Este do oceano, o escoamento á para Sul, logo há ganho de
vorticidade relativa, porque (f + ) = constante e perca de vorticidade relativa
devido à tensão do vento (+ p ; - ) e + p - 0. Assim, para completar a
devido a (ζ+f)=cte devido ao vento
circulação será necessário “fornecer” vorticidade, para fazer face à perca de
vorticidade a oeste, e manter a vorticidade total constante.
A maneira de o fazer é “introduzir” atrito na fronteira oeste, de tal forma
que a perca de vorticidade relativa devido a (f + ) = constante e devido ao
vento é compensado pelo ganho de vorticidade devido ao “shear” lateral devido
às correntes. Assim - p - + shear - 0.
Para que este balanço no oceano é necessário que ocorram correntes
fortes com muito “shear” a oeste do oceano e correntes fracas com pouco
“shear” a leste.
ventos de oesteventos de oeste
ventos de leste ventos de leste
p p
p p
escoamento com “shear” vorticidade imposta pelo “shear”, que equilíbra as vorticidades negativas da tensão do vento () e planetária (p)
A leste a vorticidade planetária (p) e da tensão do vento () equilíbram-se, mas a oeste não.
Tem que ocorrer “shear” no lado oeste para induzir vorticidade para ocorrer o balanço.
ONDAS NO OCEANO
Associamos as ondas no oceano à ondulação de superfície do mar ou
de um lago. Menos evidente é a ocorrência de ondas abaixo da superfície do
oceano, em regiões de interface. Essas não as vemos, mas são muito
importantes (podem ser um perigo para os submarinos!).
As principais classes de ondas, associadas às suas causas, são:
“ripples” (mareta?), ondas de vento (wind waves) e “swell” (ondulação
de largo) – devem-se aos efeitos do vento na interface ar-água.
ondas internas – ocorrem quando há fortes variações verticais de
densidade. Têm várias causas, como “shear” na corrente, perturbações à
superfície.
“tsunamis” – devido a perturbações sísmicas no fundo marinho.
ondas giroscópicas de gravidade – que podem ser de superfície ou
internas, de período longo de tal forma que a força de Coriolis é importante.
Têm várias causas, como por exemplo, variações na pressão atmosférica ou
na tensão do vento.
ondas planetárias ou de Rossby – ondas de larga escala e longo
período, que são detectáveis nas variações temporais das correntes. Têm
várias causas, como variações temporais da tensão do vento e instabilidade
das baroclínicas e barotrópicas, talvez ...?
ondas de maré – devido à flutuação das forças gravitacionais do Sol e
da Lua.
Em mecânica de fluidos consideram-se as ondas sinusoidais. Mas o que
observamos nos oceanos raramente é sinusoidal. Isto porque o que
observamos é a composição de diversas ondas. A análise do espectro, permite
distinguirmos diversas ondas presentes. Se representarmos o quadrado da
amplitude das ondas (que é proporcional à é energia) contra a frequência,
temos o espectro da energia da onda. Somando os diversos espectros, temos
o “comportamento” da superfície do oceano e vice-versa.
A velocidade de propagação de uma onda é:
T
L
período
.o.d.cc
Exemplo de períodos e c.d.o na classificação das ondas:
período c.d.o
0 – 0,2 s cm “ripples”
0,2 – 9 s até 100 m ondas de vento
9 – 15 s centenas de m “swell”
15 – 30 s mtas centenas de
m “swell” longo
30 s – horas até milhares de Km ondas de longo
período
12,5 h, 25 h,
etc... milhares de Km ondas de maré
As ondas são energia em movimento. É energia que é transmitida
através de movimentos cíclicos (ou sinusoidais). O meio onde as ondas se
propagam não se move na direcção da energia que passa através de si! As
partículas do meio oscilam num movimento para a frente e para trás ou para
cima e para baixo, ou num movimento orbital transmitindo a energia de
partícula para partícula. Temos assim as ondas progressivas:
Longitudinais ondas de “puxa-empurra” na direcção da propagação. Há
compressão – expansão.
Transversais as partículas vibram numa direcção e a energia propaga-se
perpendicularmente à vibração.
As ondas longitudinais e transversais são muitas vezes chamadas
“ondas de corpo” pois propagam-se através de um corpo de matéria. Quando
as ondas se propagam na interface entre dois corpos, como por exemplo na
interface oceano/atmosfera, têm características de ambos os tipos de onda e
são “ondas orbitais” ou ondas de interface. Ocorrem também entre dois fluidos
de densidades diferentes, dois líquidos ou dois gases.
Se a profundidade for superior à base da onda
L
temos “ondas de
água profunda”. Assim, na propagação destas ondas não há interferência do
fundo. A velocidade de propagação é encontrada pelo c.d.o.
Temos “ondas de água pouco profunda” quando a profundidade é menor
que 1/20 do c.d.o. (por vezes chama-se também “ondas longas”). Neste caso a
onda “toca o fundo” ou rente ao fundo” no movimento orbital.
O movimento orbital das partículas nestas ondas é quase plano e a
orbita aproxima-se da horizontal.
A componente vertical da orbita decresce com a profundidade. A
velocidade da propagação da onda é controlada pela profundidade.
As “ondas de transição ”ocorrem quando 2
Ldeprofundida
20
L . A sua
velocidade de propagação é controlada parcialmente pela profundidade e
parcialmente pelo c.d.o.
No que respeita à circulação oceânica, as ondas de longo c.d.o. e
período são as mais importantes. Destas, vejamos as ondas de Kelvin e de
Rossby.
As ondas de Kelvin são ondas de grande c.d.o. e período que são
“guiadas” por uma fronteira. Imaginemos uma perturbação que se move para
Norte no Hemisfério Norte, com uma fronteira à sua direita. Se o c.d.o. e
período forem grandes, a força de Coriolis actua puxando a perturbação para a
direita, ou seja contra a costa (fronteira). A água acumula-se contra a costa
originando um gradiente horizontal de pressão para fora (esquerda), que
equilibra a força de Coriolis. A costa actua assim como um guia para estas
ondas, chamadas de Kelvin. Estas ondas podem ser de superfície
(barotrópicas) ou baroclinicas, distorcendo o campo vertical da densidade
(evolução ondulatória de uma perturbação da picnoclina ou termoclina).
Propagam-se deixando a costa à direita, no Hemisfério Norte (à
esquerda no Hemisfério Sul).
As ondas de Kelvin são ondas de gravidade: a força restauradora do
movimento é a gravidade. Mas estas ondas têm a sua amplitude máxima junto
à costa, decaindo exponencialmente para o largo. São por isso ondas
“aprisionadas” (trapped) dentro de uma certa distância junto à costa. A
distância a partir da qual já não se faz sentir a onda de Kelvin é a chamada
“Raio de Rossby de disformação” que se calcula como: f
cRR , sendo f o
parâmetro de Coriolis e c a velocidade de propagação de onda. Para uma onda
de Kelvin a propagar-se na Termoclina, c é tipicamente entre 0.5 e 3 m/s. Nas
latitudes médias RR 25 Km.
Outro tipo de ondas de c.d.o. muito
longo são as ondas de Rossby. São ondas
de planetárias que se propagam
zonalmente com c.d.o. na ordem de
algumas centenas de Km. São geradas
devido ao facto da vorticidade potencial precisar de ser conservada.