OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · Os conteúdos, por sua vez, pouco têm a ver...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2013
Uso dos Sólidos Geométricos na Perspectiva da Educação Matemática Realística
Autor Marcos Rogerio Miranda
Disciplina/Área (ingresso no PDE)
Matemática
Escola de Implementação
Colégio Estadual Humberto de Alencar Castelo Branco
Município da escola Cascavel
Núcleo Regional de Educação
Cascavel
Professora Orientadora
Andréia Büttner Ciani
Instituição de Ensino Superior
UNIOESTE
Relação Interdisciplinar
Não há interdisciplinaridade direta.
Resumo
Nossa experiência em sala de aulas de mais de 10 anos nos apontou para a necessidade dos estudantes estarem em contato com situações que eles pudessem imaginar e se sentissem motivados a interagir a partir delas, ou seja, que eles se sentissem capazes de resolvê-las. A revisão bibliográfica nos indicou que para atacar esta problemática é necessário apresentar a eles problemas de contexto para que seja possível a matematização a partir deles. Acreditamos que devido à falta de possibilidades de matematização escolares estes estudantes, em sua grande maioria, já nos chegam com uma autoestima baixa, por não acreditarem mais em seu potencial na vida escolar, até desconsiderando uma futura vida acadêmica. A fim de construir problemas de contexto tomamos o material disponibilizado recentemente às escolas de Ensino Médio, os Sólidos Geométricos em Acrílico. Considerando que a maioria dos professores de Matemática ainda não explora o potencial deste material em sala de aula, resolvemos desenvolver nosso trabalho apoiados neste material para criar contextos viáveis de matematização a estudantes do Ensino Médio.
Palavras-chaves Geometria; Geometria Espacial; Educação Matemática Realística.
Formato do Material Didático
Unidade didática
Público Alvo Alunos do Ensino Médio
1 - INTRODUÇÃO
O projeto é construído para organizar ações para o ensino de Geometria
Espacial no Ensino Médio de forma a propor uma contextualização por meio da
utilização dos sólidos geométricos confeccionados em acrílico.
Para que o educando possa visualizar cada situação problema, e não apenas
lidando com enunciados sem sentido, e ficar limitado à linguagem. O professor deve
oportunizar a ele alguma contextualização, e a proposta deste projeto é possibilitar
tal contextualização por meio da verificação do sólido e do seu manuseio.
2 – JUSTIFICATIVA
O projeto destaca a importância do uso dos sólidos geométricos no ensino da
disciplina de matemática.
A geometria é um conteúdo que os estudantes têm dificuldade de
compreensão na matemática, é de fundamental importância o uso de metodologias
diversificadas para a melhor compreensão e aprimoramento do conhecimento.
Para que a utilização dos sólidos geométricos seja produtiva deve-se fazer
com que os estudantes tenham o material manipulável, eles poderão manusear os
elementos, e o estudo das atividades propostas bem como a utilização deste
instrumento mais atrativo. Esta é uma forma de planejamento de ensino, onde
professor e o aluno interagem na construção do aprender participativo, tornando o
conteúdo proposto através do objeto concreto mais atrativo.
Depende de como o estudante entende os conteúdos será a maneira que irá
abordá-lo. O conhecimento é construído por meio das interações de cada individuo e
sua realidade, vivenciada de cada um de nós, devido suas características.
A ideia deste trabalho surgiu mediante a necessidade de tentar fazer com que
o estudante consiga entender melhor a matemática, por que uma grande parcela
dos estudantes em todos os níveis de escolarização apresenta muitas dificuldades
em entender a matemática. O uso do sólido geométrico será utilizado para facilitar o
entendimento da matemática.
Não queremos repetir um ensino que, segundo Vasconcelos (1995, p.18)
[...] pode ser assim sintetizado: o professor passa para o aluno, através do método de exposição verbal da matéria, bem como de exercícios de fixação e memorização, os conteúdos acumulados culturalmente pelo homem, considerados como verdades absolutas. Nesse processo predomina a autoridade do professor, enquanto o aluno é reduzido a um mero agente passivo. Os conteúdos, por sua vez, pouco têm a ver com a realidade concreta dos alunos, com sua vivência. Os alunos menos capazes devem lutar para superar as suas dificuldades, para conquistar o seu lugar junto aos mais capazes.
O estudante ao utilizar o sólido geométrico deixa de ser apenas ouvinte,
passivo das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo com
sua prática sua aprendizagem.
3 - PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO
A ideia deste trabalho surgiu mediante a necessidade de tentar fazer com que
os educando consigam a entender melhor a matemática, por que uma grande
parcela dos estudantes em todos os níveis de escolarização apresenta muitas
dificuldades em entender a matemática. O uso do sólido geométrico será utilizado
para facilitar o entendimento da matemática, e possa acontecer uma
contextualização para a aprendizagem de Matemática, a qual contemplasse todas
as formas geométricas. Em nossa trajetória docente, priorizamos a contextualização,
por acreditar que a aprendizagem ocorre a partir dela.
O aluno ao utilizar o sólido geométrico deixa de ser apenas ouvinte, passivo
das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo com sua
prática sua aprendizagem.
Depende de como o estudante entende os conteúdos será a maneira que irá
abordá-lo. O conhecimento é construído por meio das interações de cada individuo e
sua realidade, vivenciada de cada um de nós, devido suas características.
4 – OBJETIVOS
4.1 – Geral
Apresentar uma proposta de contextualização para o ensino de Geometria
Espacial por meio da utilização do material Sólidos Geométricos em Acrílico na
perspectiva da RME.
4.2 - Específicos
Levantar alguns conhecimentos prévios de Geometria Espacial de estudantes
do Ensino Médio de uma escola pública, por meio de uma atividade exploratória.
Utilizar estes conhecimentos na elaboração de uma trajetória hipotética de
aprendizagem, tomando os conhecimentos prévios como fonte de contextualização.
Elaborar os roteiros para a realização das aulas para o ensino de Geometria
Espacial, utilizando os Sólidos Geométricos em Acrílico, a um grupo de estudantes
do Ensino Médio.
A princípio, as atividades versarão sobre o conhecimento e classificação dos
elementos dos sólidos geométricos, suas propriedades e aplicações.
Guiar o grupo de estudantes a resolver os tópicos de cada Atividade levando-
os a “reinventar” fórmulas, a partir da tentativa de resolver situações problemas
inerentes ao seu cotidiano, conduzindo-os, a partir de contextos imagináveis para
eles, na dedução de relações advindas das propriedades dos sólidos.
5 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Provavelmente, a Matemática teve suas origens devido à necessidade da
resolução de problemas da humanidade e, desde então, ainda vem evoluindo ao
longo dos anos devido ainda às necessidades dos povos, mas também devido aos
problemas inerentes à própria Matemática, o que gerou um ramo do conhecimento
denominado “Matemática Pura”. No entanto, acreditamos que o desenvolvimento da
Matemática se justifique para proporcionar um desenvolvimento da humanidade,
proporcionando melhores condições de vida.
Novos desafios surgem a cada instante e temos que buscar maneiras ou
métodos para tentar solucioná-los. Esta busca possibilita a evolução da Matemática
e, consequentemente, aumenta seu leque de possibilidades de aplicação e
resolução de problemas do ser humano. No entanto, o ensino da matemática, ou a
escola, de uma maneira geral, não consegue acompanhar esta evolução e, muito
mesmo, colocá-la de maneira clara aos estudantes. Chevallard (1991, apud Pais,
2002, p.19) explica esta defasagem por meio do conceito de transposição didática.
Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar um lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática.
Nossos estudantes têm acesso a todo tipo de informação, em grande
quantidade. No entanto, a quantidade se sobrepõe à qualidade, uma vez que estas
informações já vêm apresentadas “prontas”, muitas vezes com conclusões, não
restando ao receptor, reflexão alguma, tudo parece pronto e acabado. Esta maneira
de “conhecer” vai de encontro à maneira que julgamos adequada para aprender o
que concebemos por matemática, acreditamos que por esta razão seja tão difícil
desenvolver em nossos estudantes a atitude de reflexão, pois matematizar exige
reflexão, paciência, raciocínio, organização e comparação.
Mesmo ciente da dificuldade e até impossibilidade de uma transposição
didática em tempo real, acreditamos na necessidade de trazer aos estudantes
situações de contexto viáveis de matematização. Por isso pensamos no trabalho
com um material para construir situações imagináveis aos estudantes.
Segundo Abrantes, Leal e Ponte (1996, p. 4)
A riqueza e variedade da geometria constituem, de facto, argumentos muito fortes para a sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática. Em geometria, contacta-se com uma grande variedade de objectos e situações. Trabalha-se no plano ou no espaço, com figuras planas ou com poliedros, por exemplo, podendo descobrir-se e explorar-se um grande número de propriedades e conexões. A relação entre situações da realidade concreta e situações matemáticas encontra na geometria inúmeros exemplos e concretizações. [...].
As formas geométricas fazem parte do nosso dia a dia, grande parte dos
objetos que manuseamos ao longo do dia tem semelhança com alguma forma
geométrica.
Segundo as Orientações Curriculares para o ensino Médio,
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de presenciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. (BRASIL, 2006, p. 75).
Segundo Freudenthal (1967, p. 5), “é bem certo que a humanidade já fazia
cálculos e pensava a respeito de figuras geométricas antes de ter sido inventada a
escrita”. Hoje em dia, apesar de toda matemática formalizada disponível, algumas
pessoas ainda trabalham fazendo cálculos e resolvendo problemas que podem ser
considerados matemáticos, à margem da matemática escolar, sustentados pelo
conhecimento prático advindo das necessidades impostas pela sua profissão. Muitas
vezes, são conhecimentos não validados pela escola, mas transmitidos de
profissional a profissional, conhecimento validado apenas pela prática do exercício
da profissão. Por exemplo, na construção de uma casa, os pedreiros e mestres de
obra, ao fazerem a cobertura, constroem as tesouras de sustentação em forma
triangular, sem justificar teoricamente a sua escolha.
Fomos pesquisar e encontramos em Giovanni Jr e Castrucci (2009, p. 267)
que “o triângulo é o único polígono rígido (não deformável). Uma vez definidos seus
lados, ele não sofre deformações. É por isso que o triângulo é muito utilizado em
construções que necessitam de estabilidade”.
Em Beimbengut e Hein (2000, p. 63) encontramos uma abordagem mais
ampla para a utilização das formas triangulares e sugere uma discussão a respeito
do porque os telhados apresentarem a forma triangular.
Figura 1: Tesoura de sustentação
Fonte: Beimbengut; Hein, 2000.
Segundo os autores,
a forma triangular aparece em diversas estruturas, como portões, telhados, pontes, dentre outras. Em portões ou porteiras feitos de madeira, costuma-se colocar uma tábua – travessa. Isso porque o triângulo é uma figura rígida, ao contrário de quadrados e retângulos que podem mudar de forma, ou seja, os lados não se alteram com a variação do ângulo. (BEIMBENGUT; HEIN, 2000, p. 63).
Tivemos a oportunidade de entrevistar informalmente um profissional da
construção civil que, ao ser questionado sobre a utilização de triângulos, ele nos
exemplificou a construção de uma porteira e justificou a necessidade de uma tábua
transversal que atravessa toda a forma retangular da porteira pelo fato dela impedir
uma movimentação deformando a estrutura.
Figura 2: Porteira
Fonte: http://www.baixaki.com.br.
Não apenas na construção civil, mas em outros setores também, muitas
vezes, os profissionais não tem dúvidas de como proceder para solucionar situações
problemas, que poderiam até ser consideradas matemáticas, do seu cotidiano
profissional, mas saberiam justificar matematicamente a sua resolução.
Segundo Freudenthal (1991) apud Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005, p. 51),
a Matemática deveria ser assim também para os alunos, uma atividade. Estes deveriam aprender Matemática, por meio do fazer Matemática, matematizando assuntos da realidade do dia-a-dia e matematizando a sua própria atividade.
Partindo do conhecimento vivenciado pelo estudante é que pretendemos
desenvolver seu raciocínio matemático.
Segundo Vergnaud (1990)
um dos maiores problemas na educação decorre do fato que muitos professores consideram os conceitos matemáticos como objetos prontos, não percebendo que estes conceitos devem ser construídos pelos alunos... de alguma maneira os alunos devem vivenciar as mesmas dificuldades conceituais e superar os mesmos obstáculos epistemológicos encontrados pelos matemáticos... solucionando problemas, discutindo conjeturas e métodos, tornando-se conscientes de suas concepções e dificuldades, os alunos sofrem importantes mudanças em suas ideias.
A Matemática tem um papel muito importante na vida de nossos estudantes,
no seu desenvolvimento lógico, e na sua vida cotidiana.
Segundo Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio
Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de pessoas de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e cientifica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (BRASIL, 1999, p.82).
O aprendizado da Matemática é um processo lento, exige uma boa leitura
interpretativa do assunto e dos enunciados dos problemas, para que possamos
utilizar as diversas ferramentas na sua resolução.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio [...] é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. (BRASIL, 1999, p.251-252, negrito nosso).
Para isso é necessário desenvolver nos estudantes uma habilidade de
interpretar as informações, para que possam tomar as decisões necessárias de
acordo com cada tipo de situação, desenvolver neles a capacidade de avaliar com
responsabilidade e de buscar formas de pensar matematicamente, para que possam
obter uma resposta coerente a cada tipo de situação enfrentada nos mais diversos
tipos de realidade.
Segundo Fabro (1996, p. 32)
Na escola, as operações possíveis de viabilizar raciocínio conclusivo tem sido, muitas vezes, aprendidas de forma algorítmica e fragmentada, aplicadas e cobradas de forma imediatista, fora de contexto significativo. Desse modo, quando o aluno é incitado a resolver uma situação problemática de forma livre, o caminho a ser percorrido é penoso e cheio de armadilhas, e uma das dificuldades está em trocar os conhecimentos adequados a partir da identificação das relações descritas no enunciado e do tratamento lógico a ser dado a elas.
6 - CRONOGRAMA
ATIVIDADES
2013 2014
1º Sem 2º Sem 1º Sem 2º Sem
Delimitação do Tema X
Leitura e Fundamentação X X X X
Pesquisa Bibliográfica X X X
Encontros de Orientação X X X X
Elaboração do Projeto X
Entrega do Projeto no NRE X
Produção Didática Pedagógica X
Apresentação da Proposta de Trabalho à comunidade escolar
X
Implementação da Proposta na Escola X
Grupo de Trabalho em Rede – GTR X
Elaboração do Trabalho Final – Artigo X
7 - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
No desenvolvimento desta Produção Didático Pedagógica, a primeira ação
desenvolvida, a fim de colher material que orientasse nossos planos de aula e
nossas atividades didáticas, foi a elaboração de um questionário, o qual é
apresentado a seguir. Ele é composto por 16 questões. Destas, as 10 primeiras são
de caráter pessoal e tem por objetivo recolher dos estudantes suas expectativas
profissionais e de estudo, suas impressões e opiniões a respeito do ensino público e
privado, tanto no nível da Educação Básica quanto no nível do Ensino Superior.
Tínhamos a pretensão de avaliar o quanto os estudantes acreditavam em seu
potencial e na qualidade de seu ensino. As demais questões dizem respeito a algum
conhecimento elementar de Geometria Plana e Espacial.
7.1 – Questionário
1) Você trabalha? Sim ( ) Não ( ) Com o quê?
2) O que você pensa a respeito do seu futuro?
3) Você pretende continuar estudando após a conclusão do Ensino Médio?
Sim ( ) Não ( ) Por quê?
4) Você gostaria de cursar uma Universidade? Sim ( ) Não ( ) Por quê?
5) Qual curso universitário você gostaria de cursar? Seria em uma universidade
pública ou particular? Em qual instituição? Por que esta escolha?
6) Você acredita que ao concluir o 3º ano estará preparado para ingressar no
Ensino Superior?
Sim ( ) Não ( ) Por quê?
7) Você gostaria de estudar em uma escola que exigisse mais de seus estudantes?
Sim ( ) Não ( ) Explique por quê?
8) Você gostaria de estudar em uma escola particular? Sim ( ) b) Não ( )
9) Você acredita que os alunos que estudam em escolas particulares têm mais
chances de progredir profissionalmente? Sim ( ) Não ( )
10) Você gostaria de estudar na Unioeste? Sim ( ) Não ( ) Por
quê?
11) Como você calcularia a área de um quadrado de lados de medida 2 cm? Como
calcularia o perímetro?
12) A figura ao lado representa um cubo de lados 2 cm.
Como você calcularia a área da superfície total e o volume deste cubo?
13) Supondo que este cubo foi dividido em partes menores, em cubinhos de lado 1
cm, pergunta-se:
a) Quantos cubinhos resultaram da divisão?
b) Qual o volume de cada um deles?
c) Qual a área da superfície total deste cubinho?
d) Qual a relação entre os volumes dos dois cubos considerados, o maior e o
menor?
14) O desenho a seguir representa a porteira de uma fazenda.
a) Sabendo que ela mede 3 m por 1,6 m qual seria a área desta porteira?
b) Qual seria a medida do comprimento da tábua diagonal da porteira?
15) O desenho a seguir representa a tesoura de uma casa.
a) Sabendo que a medida da base do triângulo representado na figura é de 6,4
metros, calcule a área total do triângulo.
b) Sabendo que o comprimento de 8 metros, qual seria o volume do sótão desta
casa?
16) Você saberia explicar por que foram utilizados triângulos na composição das
duas construções apresentadas nas perguntas 14 e 15?
7.2 – Informações revaladas pelo Questionário
No dia 16 de outubro 2013 foi aplicado o questionário em uma sala de terceiro
ano Ensino Médio matutino do Colégio Ieda Baggio Mayer, composta por 36 alunos.
No dia da aplicação compareceram 29 alunos, aos quais foi entregue um
questionário,
A partir das respostas dos alunos elaboramos a síntese seguinte.
A maioria da sala entrevistada se constitui em trabalhadores. Doze alunos
que não trabalham e dezessete trabalham, sendo a maioria dos entrevistados. Por
ser um curso matutino, consideramos que o índice de trabalhadores é alto. Os
trabalhos que estes alunos exercem são diversos, como consultor de seguros,
chapeiro, secretário, caixa de supermercado, torneiro, técnico em informática,
prótese, metalurgia, desenvolvimento de sites, operador e operadora de tele
marketing, menor aprendiz, computador, escritório e transportadora. Esta realidade
vem a confirmar o que já observáramos durante nossos anos de magistério. Em
geral, os alunos da escola pública trabalham. Esta necessidade, em geral, é devido
à sua condição financeira ou à estrutura familiar.
Quanto ao seu futuro, todos responderam que pretendem continuar
estudando após a conclusão do Ensino Médio e 23 deles são otimistas em relação a
seu futuro, prevendo-o promissor. “Penso, que terá um bom sucesso em meu
futuro”; sendo que a maioria, “Que serei bem sucedido e muito feliz em meu trabalho
e família” faz referencia a uma futura profissão como: “Me formar em Ciências
Contábeis, trabalhar com auditoria e ser um grande empresário nacional e
internacional”. Estas respostas, de certa forma, nos surpreenderam, uma vez que
imaginávamos que a maioria não pretendia continuar estudando, mas apenas
ingressar no mercado de trabalho.
Quase todos responderam que gostariam de cursar uma Universidade,
apenas um estudante respondeu que não gostaria e justificou que a Universidade
não apresenta sua pretensa área profissional que, a qual seria de um “grande
empresário nacional e internacional”.
Quanto ao desejo de estudar na Unioeste, ou em outra Universidade pública,
20 entrevistados responderam que gostariam, sendo que a maioria, 14, justificou sua
escolha pela qualidade do ensino, e o restante pela questão financeira. Daqueles
que indicaram como preferência a Universidade ou faculdade particular, metade
justificou pela qualidade e estrutura que a particular oferece, sendo que os restantes
apresentaram justificativas particulares, como a distância, preferência dos pais, por
ser a única a oferecer o curso pretendido e pela condição financeira, pois poderiam
continuar trabalhando e caso viessem a na Unioeste não poderiam trabalhar.
Dos alunos que responderam o questionário 15 gostariam de estudar em uma
escola particular, 12 não gostariam de estudar em escola particular e dois não
souberam responder. A maioria, 22 dos entrevistados, acredita que os alunos que
estudam em escolas particulares tem mais chances de progredir profissionalmente e
apenas sete acreditam que não. Parece que os estudantes tem uma ideia
equivocada quanto ao processo de seleção dos docentes da escola pública e da sua
formação. Muitos desvalorizam a sua escola e o seu professor, imaginam, sem
conhecimento de causa, que em um colégio particular tudo seria melhor. No entanto,
desconhecem que nos cursos superiores mais concorridos, como, por exemplo, o de
Engenharia Civil da UNIOESTE (2013), muitos dos ingressantes vieram das escolas
públicas.
Quanto ao conhecimento específico de Matemática, a maioria não respondeu
todas as questões, mas conseguimos retirar algumas informações daqueles que
responderam.
Das questões que solicitavam o cálculo da área de um quadrado diretamente
e o cálculo da área de uma cerca retangular, oito não apresentaram qualquer
produção escrita, 14 responderam ambas, quatro só responderam sobre a área do
quadrado e três pessoas apenas sobre a área da cerca.
Dos 14 que resolveram as duas, 12 responderam corretamente, acertando
tanto a estratégia quanto o procedimento. Um aluno deles respondeu que a área do
quadrado seria 2² = 4 cm³ e escreveu que a área da cerca seria igual à soma dos
lados, 3 m + 1,6 m, resultando em 4,6 m. No entanto, ele acertou o procedimento de
somar. Parece que este aluno confunde a nomenclatura das medidas de
comprimento, área e volume. O outro aluno escreveu A² = a.a, A² = 2.2, A² = 4 e
escreveu que a área do quadrado seria A = , concluindo que A = 2. E a outra
questão ele não respondeu, apenas no seu espaço calculou a diagonal da cerca.
Talvez este aluno tenha memorizado que a fórmula da área do quadrado seja A = a²,
mas não tenha a ideia de unidade de área, pois não resolveu para o retângulo.
Parece que ele utilizou de maneira mecânica a fórmula, não vinculando o enunciado
à aplicação da fórmula, pois passou a resolver o problema como se fosse resolver
uma equação.
Da resolução destas questões, concluímos que a ideia de área deva ser
trabalhada.
Quanto às questões que envolviam conhecimento para calcular o volume, 7
alunos não responderam, 15 responderam parcialmente e 7 responderam
totalmente. Daqueles que responderam totalmente 3 responderam corretamente,
acertando tanto a estratégia quanto o procedimento, 2 resolveram com o cálculo A =
b.h = 2.2 = 4 cm², como se fosse um cálculo de área, um escreveu apenas volume =
6 sendo que havia calculado a área total da superfície pelo cálculo 4x6, daí
entendemos que ele tomou o número de faces do cubo como sendo o volume. Outro
participante escreveu A2 = a.a, A2 = 2.2, A2 = 4, A = , A = 2, parece que este
participante se confundiu com a linguagem matemática.
Quanto à utilização de figuras rígidas nas construções, 8 responderam e 21
deixaram em branco. Em relação aos que responderam, 5 apresentaram uma
resolução correta e 3 responderam que seria para “facilitar o cálculo”, apresentaram
uma resposta que não faz sentido em relação à pergunta.
As resoluções deste questionário confirmam o que nossa experiência já nos
indicara: uma parcela dos jovens está desmotivada com os estudos em Matemática
e apresenta baixo rendimento em relação aos conteúdos de Geometria básica.
Parece que muitos jovens da escola pública, tomando como base nossa
experiência na docência e o questionário aplicado, estão sem estímulo para o
estudo por não acreditarem em si mesmo, muito desanimados, alguns estão na
escola só por que o pai obriga que estude, ou pela obrigatoriedade da lei que exige
a sua permanência no banco escolar. Muitas vezes, o aluno permanece sem
perspectiva, não acreditando no valor do conhecimento adquirido com o estudo.
Devido à autoestima em baixa muitos nem tentam o vestibular nas Universidades,
acreditando que não poderiam conseguir ingressar em algum curso de ensino
superior. Mas apesar de toda essa desmotivação, ainda tem um agravante maior,
que é a falta de comprometimento com o estudo, ou seja, não levam a sério e não
demonstram força de vontade. Não acreditam que por meio do estudo poderiam ter
uma condição de vida melhor do que a que se encontram no momento ou não se
responsabilizam por uma melhora.
O professor tem a possibilidade de perceber aqueles estudantes que
realmente buscam o conhecimento e pode ajudá-los ou tentar motivar aqueles mais
desmotivados. É o que pretendemos com as aulas e atividades que seguem.
7.3 – As aulas
Ao retornar à escola, apresentaremos nosso projeto de intervenção
pedagógica à direção, equipe pedagógica e aos professores, em uma reunião.
A partir da análise das produções escritas dos alunos do 3º A do Ensino
Médio matutino, identificamos contextos para iniciar nossas atividades de
aprendizagem com os alunos de um 3º ano que ainda não sabemos qual será. Por
exemplo, levando-se em consideração que grande parte dos estudantes demonstrou
ter dificuldades quanto ao cálculo de uma área simples, iniciamos com uma atividade
que retoma este conteúdo.
A Implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, por meio
desta Unidade Didática, totalizará 64 horas-aula, sendo que 32 destas serão
destinadas para a preparação dos materiais e correção e análise de questões dos
alunos, e 32 horas-aula serão de aplicação efetiva em sala de aulas com os alunos.
Iniciaremos a Implementação no mês de fevereiro de 2014 e a encerraremos no mês
de junho de 2014. Os encontros ocorrerão em dia e horário a serem definidos com a
direção, equipe pedagógica e os participantes do projeto, sendo que ela ocorrerá
nas dependências da escola Serão aplicadas as atividades, intercaladas às aulas
expositivas, em duas horas-aula de 50 minutos.
As aulas estão descritas a seguir com seus objetivos, justificados a partir da
análise das produções escritas e com as estratégias de ação descritas na
sequencia.
A avaliação da aprendizagem será realizada por meio de observações do
desempenho individual e coletivo dos alunos, identificando o envolvimento, a
cooperação, o interesse e a criatividade durante a resolução das atividades
propostas. Ela ocorrerá também se utilizando das produções escritas dos alunos na
resolução das atividades. Cabe à avaliação fornecer informações sobre como está
ocorrendo à aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios
desenvolvidos, o domínio em certas estratégias, as competências de cada aluno em
resolver problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente para
comunicar suas ideias e integrar todos esses aspectos do conhecimento
matemático. E se for necessário o professor na aula seguinte retomará o conteúdo,
lançará perguntas específicas aos alunos e, se for necessário, modificará alguma
atividade ou estratégia de ação. É importante deixarmos indicado que a principal
ideia que permeia o trabalho é o da avaliação da aprendizagem contínua, ou seja, a
produção de uma aula norteia a aula seguinte.
Intercalamos nas atividades questões retiradas do ENEM para que eles
possam conhecer o que é cobrado e percebam que são capazes de resolver e,
assim, sentir uma motivação e a possibilidade de avançar em seus estudos, e de até
ingressar em uma Instituição Pública de Ensino Superior.
Plano de Aula 1
Objetivos específicos
Identificar e diferenciar formas planas e formas não planas;
Representar e identificar pontos, retas, segmentos de retas e planos;
Interagir, colaborar e trocar experiências matemáticas em grupo;
Resolver situações problemas envolvendo figuras planas.
Estratégias de ação
No primeiro encontro com os alunos apresentaremos as ideias gerais com os
objetivos propostos pelo projeto, demonstrando a importância do envolvimento deles
nas atividades. Nesta aula já realizaremos uma revisão do conceito de área, do
significado de unidade de comprimento, do significado de unidade de área, do
sistema métrico decimal. Partindo da área de um retângulo, solicitar que eles
concluam as áreas de outras figuras planas.
Entregar uma cópia da Atividade 1 para cada aluno e informar que eles
devem resolvê-la individualmente. Dessa forma, terão a oportunidade de raciocinar a
partir de suas próprias estratégias. Os alunos serão orientados sobre a necessidade
e a importância do registro de suas construções mentais, pois a partir destes
registros o professor poderá tomar conhecimento do que eles sabem e realizar uma
análise de seus processos de aprendizagem e assim, encontrar uma maneira de
auxiliá-los.
Num segundo momento, poderão se agrupar em, no máximo, três alunos para
que possam conhecer como outros colegas resolveram e discutir com eles sobre a
atividade proposta. O trabalho em grupo favorece e estimula a discussão entre os
alunos, facilitando a interação entre eles na resolução das atividades propostas.
Antes de fazer a correção, fazer uma discussão coletiva para que tomem
conhecimento de todas as estratégias que foram utilizados para a resolução. Assim,
a turma percebe que, às vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de
diferentes maneiras.
Duração: 05 aulas (50 minutos cada)
Recursos Didáticos: Folha com as atividades, multimídia, lápis, borracha, quadro
negro, giz.
Atividade 1
a) Qual é a área de uma região retangular cujas medidas dos lados são 24 cm
por 12,5 cm?
b) Qual seria a área de um triângulo retângulo de base 24 cm e altura 12,5 cm?
c) E de um triângulo com a mesma base e mesma altura, mas que não fosse
retângulo?
d) Um terreno retangular tem 8,4 m por 15 m e está sendo gramado. Sabendo
que um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3m2 de terreno,
quantos quilos de semente de grama serão necessários para gramar o
terreno todo?
e) Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual é a área da lajota? Quantas
lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96 m2 de área?
f) Uma cerâmica de forma quadrada tem 30 cm de lado. Qual é a área dessa
cerâmica?
g) Para cobrir totalmente uma parede de 27 m2 de área foram usadas peças
quadradas de 15 cm de lado. Quantas peças foram usadas?
Os itens acima foram retirados e adaptados de Giovanni (1994).
h) E para calcular a área de uma figura de uma região curva, como você faria?
i) Dos sólidos em acrílico, quais deles não são poliedros?
O cálculo da área de regiões curvas é um problema que vem desde a Grécia
Antiga e apenas no século XVII que o homem conseguiu resolvê-lo por meio de
ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral. Somente a área do círculo é que
vamos calcular.
As figuras delimitadas por segmentos de retas são chamadas polígonos.
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmentos de reta
consecutivos chamados lados. A palavra “polígono” advém do grego e quer dizer
muitos (poly) e ângulos (gon). É uma linha fechada simples.
Os polígonos são as faces dos poliedros, ou seja, são porções de plano
limitadas por linhas poligonais fechadas. Um polígono possui os seguintes
elementos: lados e vértices.
Polígonos Regulares quando os lados têm o mesmo comprimento e os
ângulos a mesma medida.
j) (ENEM 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de
espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma
praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em
formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de
natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180m de tela
para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as
medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas
pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
A 1.
B 2.
C 3.
C 4.
D 5.
Plano de aula 2
Objetivos específicos
Analisar, classificar e construir, figuras geométricas planas, aplicando noções
geométricas, estabelecendo relações e identificando propriedades;
Estruturar e organizar o raciocínio lógico matemático.
Estratégias de ação
Entregar uma folha de papel sulfite para cada aluno, onde irão construir uma
caixa que irá verificar sua área e volume de acordo com as medidas usadas. Dessa
forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução com suas próprias
estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a importância do
registro de suas resoluções, pois a partir desses registros o professor poderá fazer a
análise de seu processo de aprendizagem. Num segundo momento, poderão formar
grupos com três pessoas para que possa observar como cada um resolveu as
atividades propostas.
Antes de fazer a correção, dar oportunidade aos alunos de se expressarem
oralmente diante da turma, para que os demais colegas tenham conhecimento dos
procedimentos que foram utilizados na resolução. Assim, a turma descobre que, às
vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras. É
importante que o professor proporcione sempre a oportunidade da reflexão, para
que os alunos possam compreender a resolução do problema.
Duração: 05 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, tesoura, régua.
Atividade 2
Com a folha de papel sulfite construa uma caixa e calcule o seu volume e a
área de sua base.
Se esta caixa estivesse fechada seria um exemplo de poliedro chamado de
prisma reto de base retangular ou simplesmente paralelepípedo. Um prisma
consiste de dois polígonos iguais situados em planos paralelos, chamados base e
topo, e uma família de faces laterais, paralelogramos que possuem lados em
comum, com a base e com o topo.
1) No caso da caixa e de degrau, como representado abaixo, como podemos
chamar as faces destes sólidos?
Segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr (1994, p. 439) poliedro é um
sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado em comum. Os
polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos
polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro.
2) Se você tomar dois pontos na superfície da caixa construída e unir estes
pontos vai obter uma reta que une estes pontos. A reta estará totalmente
contida na caixa?
3) Isso acontece com qualquer sólido? Verifique com o sólido em forma de
degrau.
Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando um segmento de reta,
unindo quaisquer dois pontos do poliedro, está totalmente dentro do poliedro.
O sólido em forma de degrau é um exemplo de poliedro não convexo. Os poliedros
convexos possuem nomes especiais, de acordo com o número de faces:
Tetraedro = Poliedro convexo com quatro faces
Pentaedro = Poliedro convexo com cinco faces.
Hexaedro = Poliedro convexo com seis faces.
Heptaedro = Poliedro convexo com sete faces.
Octaedro = Poliedro convexo com oito faces.
Icosaedro = Poliedro convexo com vinte faces.
Um poliedro convexo se diz regular se suas faces são regiões poligonais
regulares, e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de arestas.
4) Mas em todos os sólidos as faces são polígonos? Dê exemplos.
5) (ENEM, 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender
caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as
planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas
planificações?
A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
E) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Plano de aula 3
Objetivos específicos
Ampliar e aprofundar noções geométricas em figuras espaciais;
Conhecer e classificar elementos dos sólidos geométricos.
Estratégias de ação
Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la
individualmente. Dessa forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução
com suas próprias estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a
importância do registro de suas construções, pois a partir desses registros o
professor poderá fazer a análise de seu processo de aprendizagem.
Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar
como cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e
estimula a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução
das atividades propostas.
Antes de fazer a correção, fazer uma discussão coletiva para conhecer os
procedimentos que foram utilizados para a resolução. Assim a turma descobre que,
às vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras.
Duração: 04 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz.
Atividade 3
a) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12.
Calcular o número de arestas.
b) Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis
faces quadrangulares e quatro faces triangulares.
c) Quantos são os poliedros convexos dentre os sólidos em acrílico?
d) Complete a tabela a seguir utilizando os poliedros em acrílico e o degrau.
Nº de faces
F
Nº de vértices
V
Nº de arestas A
Nome e nº do sólido
4
4
5
5
5
6
6
6
6
6
7
8
21
8
12
20
“Degrau” 21
c) Qual a relação existente entre a soma do número de faces (F) com o número de
vértices (V) e o número de arestas (A)?
d) Escreva uma igualdade que associe o número faces (F) com o número de
vértices (V) e o número de arestas (A).
Esta relação V + F - A = 2 é bem famosa e recebeu o nome de relação de
Euler, podendo ser representada por
A + 2 = V + F
e vale para todos os poliedro convexos. A soma do número de arestas (A) com o
número 2 é igual ao número de vértices (V) somado ao número de faces (F).
Plano de aula 4
Objetivos específicos
Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfícies planas e para
cálculo de volumes de sólidos geométricos;
Resolver problemas.
Estratégias de ação
Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la
individualmente. Dessa forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução
com suas próprias estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a
importância do registro de suas construções, pois a partir desses registros o
professor poderá fazer a análise de seu processo de aprendizagem.
Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar
como cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e
estimula a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução
das atividades propostas.
Antes de fazer a correção, fazer uma discussão coletiva para conhecer os
procedimentos que foram utilizados para a resolução. Assim a turma descobre que,
às vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras.
Duração: 04 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, sólido
geométrico.
Atividade 4
1) Um prisma quadrangular regular tem 8 cm de aresta lateral e 6 cm de aresta da
base. Calcule:
a) área da base
b) área lateral 8 cm
c) área total
d) volume 6 cm
Item retirado de Barreto Filho (2000).
2) Um prisma triangular regular apresenta 9 cm de aresta lateral e 4 cm de aresta da
base. Determinar
a) área da base
b) área lateral 9 cm
c) área total
d) volume
4cm
4cm 4cm
Item retirado de Barreto Filho (2000).
3) (ENEM, 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por
um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de
resfriamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo
volume fosse de 2400cm3?
A) O nível subiria 0,2cm, fazendo a água ficar com 20,2cm de altura.
B) O nível subiria 1cm, fazendo a água ficar com 21cm de altura.
C) O nível subiria 2cm, fazendo a água ficar com 22cm de altura.
D) O nível subiria 8cm, fazendo a água transbordar.
E) O nível subiria 20cm, fazendo a água transbordar.
Plano de aula 5
Objetivos específicos
Ampliar e aprofundar noções geométricas em figuras espaciais;
Conhecer e classificar elementos dos sólidos geométricos;
Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfícies planas e para
cálculo de volumes de sólidos geométricos;
Resolver problemas.
Estratégias de ação
Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la
individualmente. Dessa forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução
com suas próprias estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a
importância do registro de suas construções, pois a partir desses registros o
professor poderá fazer a análise de seu processo de aprendizagem.
Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar
como cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e
estimula a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução
das atividades propostas.
Duração: 04 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, solido
geométrico.
Segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr (1994, p. 452), as pirâmides são
poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são regiões
triangulares.
Atividade 5
A base é um quadrilátero.
Pirâmide triangular regular ou tetraedro Pirâmide pentagonal regular
Elementos da Pirâmide:
Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a
pirâmide.
Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da
pirâmide.
Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região
poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo
vértice e pelo centro da base.
Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da
pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da
pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
Vértice da pirâmide
Aresta lateral
Aresta da base
Vértice da base
Face lateral
Apótema: É a altura de cada face lateral.
Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces
laterais.
Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
1) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 12 m de aresta da base.
Determine:
a) medida do apótema da base.
b) medida do apótema da pirâmide.
c) área lateral.
d) área da base.
e) área total.
f) volume.
Item retirado de Barreto Filho (2000).
Plano de aula 06
Objetivos específicos
Ampliar e aprofundar noções geométricas em figuras espaciais;
Calcular a área e o volume de um cilindro;
Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfícies planas e para
cálculo de volumes de sólidos geométricos;
Resolver problemas.
Estratégias de ação
Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la
individualmente. Apresentar o conteúdo oralmente, e demonstrar a figura cilindro
utilizando os sólidos geométricos, sempre que necessário. Dessa forma, terá a
oportunidade de raciocinar sobre a resolução com suas próprias estratégias. O
educando será orientado sobre a necessidade e a importância do registro de suas
construções, pois a partir desses registros o professor poderá fazer a análise de seu
processo de aprendizagem.
Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar
como cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e
estimula a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução
das atividades propostas.
Duração: 04 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, sólido
geométrico.
Atividade 6
1) A altura h de um cilindro reto é 6 m e o raio r da base mede 2 m. Determine:
a) área da base
b) área lateral
c) área total
d) volume
2) O raio da base de um cilindro reto mede 3 cm e a altura, 9 cm. Determine:
a) Área total
b) volume
Item retirado de Barreto Filho (2000).
3) (ENEM 2011) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das
partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para
conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com
diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.
Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá
de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina devera comprar o pistão de diâmetro:
A) 68,21 mm.
B) 68,102 mm.
C) 68,02 mm.
D) 68,012 mm.
E) 68,001 mm.
4) (ENEM 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las.
Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-
flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve
sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias
quentes, precisa trocar a Água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode
fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar,
ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se
alimentar. Isso pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FND1; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-
flores. 4 copos tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de
diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize
v = 3).
A 20 ml.
B 24 ml.
C 100 ml.
D 120 ml.
E 600 ml.
Plano de aula 7
Objetivos específicos
Ampliar e aprofundar noções geométricas em figuras espaciais;
Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfície total e para
cálculo do volume do cone;
Resolver problemas.
Estratégias de ação
Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la
individualmente. Dessa forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução
com suas próprias estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a
importância do registro de suas construções, pois a partir desses registros o
professor poderá fazer a análise de seu processo de aprendizagem.
Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar como
cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e estimula
a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução das
atividades propostas.
Duração: 04 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, sólido
geométrico.
Atividade 7
1) Para um cone reto com g = 10 cm e r = 6 cm, calcule:
a) área lateral
b) área da base
c) área total
d) volume
(Item retirado de Barreto Filho (2000).)
2) Qual é o volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica
(casquinha de sorvete), sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura é 10
cm? (Item retirado de Giovanni (1994).)
3) (ENEM, 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em
países orientais.
Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
A) pirâmide.
B) semiesfera.
C) cilindro.
D) tronco de cone.
E) cone.
Plano de aula 8
Objetivos específicos
Identificar o raio, e o diâmetro de uma circunferência;
Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfície e para cálculo
do volume da esfera;
Resolver problemas.
Estratégias de ação
Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la
individualmente. Dessa forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução
com suas próprias estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a
importância do registro de suas construções, pois a partir desses registros o
professor poderá fazer a análise de seu processo de aprendizagem.
Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar
como cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e
estimula a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução
das atividades propostas.
Duração: 04 aulas (50 minutos cada)
Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, sólido
geométrico.
Atividade 8
1) Uma esfera apresenta raio r = 4 cm. Determine:
a) área da superfície esférica.
b) volume
Item retirado de Barreto Filho (2000).
2) A figura ao lado nos mostra uma esfera inscrita num cubo de aresta 4 cm ( note
que o plano de cada face do cubo é tangente á esfera ). Calcule a área da superfície
esférica.
4 cm
4 cm (Item retirado de Giovanni (1994)).
3) (ENEM, 2012) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na
evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma
determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo ”espaços vazios“ que
tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e,
consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de
cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de
20%. Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o
volume V de uma travessa de argila de forma cúbica de aresta a, diminui para um
valor que é
A) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao
comprimento de seu lado.
B) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a² para ((1 – 0,2)a)².
C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.
D) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.
E) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.
8. REFERÊNCIAS
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ABRANTES, Paulo; CUNHA, Leal L.; PONTE, João Pedro da. (Orgs.), Investigar
para aprender matemática: Textos selecionados, Lisboa: Projecto Matemática Para
Todos e Associação de Professores de Matemática, 1996, p. 1-15.
BARRETO FILHO, Benigno, 1952 – Matemática aula por aula: volume único:
ensino médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. – São Paulo: FTD,
2000.
BIEMBENGUT, Maria Sallet; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Contexto, 2000. BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. – Brasília: Ministério da Educação, 1999. BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias/Ministério da Educação. - Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica,1999. BRASIL. Ministério da educação e cultura. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino médio. Volume 2: Ciência do descobrir-se e explorar-se um grande número de propriedades e conexões da natureza, matemática e tecnologia. Brasília: MEC, 2006. BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Ciência da natureza, matemática e tecnologia. vol. 2, Brasília: MEC, 2006. CHEVALLARD, Yves. La transposición didáctica del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique, 1991. CIANI, Andréia Büttner. O Realístico em Questões não-rotineiras de matemática. 2012, tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Departamento de Matemática, UEL, Londrina. D’AMBROSIO, Beatriz Silva. Formação de professores de matemática para o século XXI: o grande desafio. Pro-Posições, v. 4, n. 1, 1993. FABRO, Silvia Gomes Vieira. (Org.) Discurso matemático na escola: reflexões. Cascavel: UNIOESTE/DME, 1996. 74p. FREUDENTHAL, Hans. Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel. 1973.
FREUDENTHAL, Hans. Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. GIOVANNI, José Ruy, 1937. Matemática fundamental, 2º grau: volume único/ José
Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1994.
Pedagógica, 1995. MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Revista Educação e Matemática, 2005, p. 48-51.
PAIS, Luis Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Atêntica, 2002.
VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Construção do conhecimento em sala de
aula. 13. ed. São Paulo: Libertad, 2002.
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