OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE …...APRESENTAÇÃO No decorrer dos anos de atuação...

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

Ficha para identificação da Produção Didático-peda gógica – Turma 2014

Título: Área e volume de sólidos geométricos através da Resolução de Problemas

Autora: Edna Fernandes de Souza Berbert

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Professor José Carlos Pinotti

Município da escola: Londrina

Núcleo Regional de Educação: Londrina

Professor Orientador: Dr. Bruno Rodrigo Teixeira

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Londrina – UEL

Relação Interdisciplinar: Não há.

Resumo:

Esta produção didático-pedagógica tem por objetivo possibilitar aos alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Professor José Carlos Pinotti em Londrina - PR o desenvolvimento de habilidades de ler e interpretar problemas envolvendo área e volume de sólidos geométricos, de identificar e analisar informações disponíveis nas situações descritas nos enunciados de problemas, de buscar informações complementares e, a partir destas ter domínio sobre os cálculos a serem utilizados para resolvê-los. (PARANÁ, 2012; BRASIL, 2000) A metodologia adotada é a de ensinar Matemática através da Resolução de Problemas, na qual um problema que contemple o conteúdo a ser explorado é o ponto de partida para o aprendizado e no processo de ensino procura-se promover momentos na sala de aula em que os alunos sejam expostos a problemas que os estimulem a estruturação de relações entre ideias e conceitos já conhecidos, de modo que isso possa contribuir para a construção de outros conceitos e fórmulas matemáticas.

Palavras-chave:

Tendências metodológicas em Educação Matemática; Resolução de Problemas; Geometria espacial.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos do terceiro ano do Ensino Médio

APRESENTAÇÃO

No decorrer dos anos de atuação profissional, de uma forma mais específica

junto aos terceiros anos do Ensino Médio, questionei-me sobre os motivos dos meus

alunos apresentarem dificuldades em cálculos de área e de volume envolvendo

sólidos geométricos.

No trabalho com Geometria Espacial, de forma ampla, objetiva-se possibilitar

aos alunos o desenvolvimento de habilidades de ler e interpretar problemas

envolvendo área e volume de sólidos geométricos, de identificar e analisar

informações disponíveis nas situações descritas nos enunciados de problemas, de

buscar informações complementares e, a partir destas, ter domínio sobre os cálculos

a serem utilizados para resolvê-los (PARANÁ, 2012; BRASIL, 2000).

Portanto, apenas ter domínio dos cálculos não basta. As Orientações

Curriculares para o Ensino Médio norteiam que as tarefas propostas em relação às

grandezas geométricas devem oferecer oportunidades para a solidificação dos

conceitos anteriormente aprendidos, sendo enfatizada a importância da percepção,

por parte do aluno, dos processos que levam ao estabelecimento das fórmulas,

evitando-se que sejam simplesmente apresentadas (BRASIL, 2006).

Na busca de contribuir para o alcance destes objetivos, foi elaborada esta

Produção Didático-pedagógica, a qual apresenta uma proposta para o trabalho com

área e de volume de alguns sólidos geométricos através da Resolução de

Problemas, metodologia que “[...] fundamenta-se na crença de que os alunos são os

principais responsáveis pela construção do seu conhecimento.” (PRADO;

ALLEVATO, 2010, p.35).

Além disso, esta produção tem por finalidade subsidiar a prática de sua autora

no desenvolvimento do trabalho proposto no Projeto de Intervenção Pedagógica na

Escola, apresentado no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), turma

2014, o qual tem como público alvo alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio

Estadual Profº José Carlos Pinotti em Londrina, Paraná.

ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Com relação aos conceitos de Geometria Espacial, é aconselhável que já

tenha sido trabalhada uma parte introdutória com os alunos, incluindo, pelo menos

os seguintes tópicos antes da utilização do presente material:

• Definição de sólido geométrico

• Poliedros e corpos redondos

• Definição de poliedro

• Poliedros convexos e não convexos

• Poliedros regulares

• Elementos do poliedro (faces, arestas e vértices)

• Definição de prismas

• Prisma reto e prisma oblíquo

• Cilindro: definição e elementos

Recomenda-se utilizar como recurso didático os “sólidos geométricos” em

acrílico disponíveis nas escolas estaduais do Paraná, a fim de que os alunos os

manipulem, o que pode colaborar para o reconhecimento dos elementos dos sólidos

e, quando necessário, suas respectivas contagens.

É importante também que durante a utilização deste material tenha-se

disponível um dicionário de língua portuguesa para consulta dos significados de

termos utilizados nos enunciados dos problemas que podem ser desconhecidos

pelos alunos, e nas propostas de encaminhamentos para a sistematização

(formalização) do conteúdo.

Para nortear o desenvolvimento do trabalho do professor no ensino de

Matemática através da Resolução de Problemas, apresentamos passos descritos

por Onuchic e Allevato (2009, p.97-98) que podem ser seguidos em sala de aula:

1) Preparação do problema – Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula 2) Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. 3) Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos. [...] 4) Resolução do problema – De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo.

5) Observar e incentivar – Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor, não mais como transmissor do conhecimento, mas como mediador, leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles.[...] 6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor coloca-se como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Esse é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 9) Formalização do conteúdo – Nesse momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.

Para auxiliar o professor no desenvolvimento desses passos, nesta Produção

Didático-pedagógica, ao apresentarmos problemas envolvendo Geometria Espacial

(mais especificamente área e volume de prismas e cilindros), destacamos algumas

possíveis resoluções e como podem ser utilizadas para a sistematização

(formalização) de conceitos relacionados à área e volume de prismas e cilindros,

bem como expressões algébricas que permitam efetuar cálculos de forma genérica.

UNIDADE DIDÁTICA

Problema 1

A figura a seguir representa parte de uma folha de papel que foi quadriculada,

de modo que os quadradinhos resultantes ficaram com 1cm de lado.

Fonte: Edna Berbert

Com base nestas informações responda:

a) Quantos quadradinhos há no total?

b) Para determinar o total de quadradinhos, qual estratégia você usou?

c) Qual é a área desta figura que representa parte da folha de papel?

Objetivo

� Sistematizar a fórmula que permite calcular a área de um retângulo.

Possíveis resoluções

Resolução 1

a) 45

b) 5 x 9 (Através da multiplicação dos valores que representam as medidas da altura

e da base do retângulo).

c) 45 cm2 (Como o lado de cada quadradinho é 1 cm, então o retângulo tem 9 cm de

base e 5 cm de altura. Para obter a área, faz-se 9 cm x 5 cm, obtendo 45 cm2).

Resolução 2

a) 45

b) 9 + 9 + 9 + 9 + 9 ou 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (Contando quantos

quadradinhos há em uma fileira horizontal e fazendo a adição para as 5 fileiras ou

contando quantos há em uma fileira vertical e fazendo a adição para as 9 fileiras).

c) 45 x 1 cm2 = 45 cm2 (Calculando a área de 1 quadradinho (1cm2) e multiplicando

pelo total de quadradinhos (45), obtém-se 45 cm2).

Resolução 3

a) 45

b) Contei os quadradinhos determinando a quantidade.

c) 28 cm

(No item c, confundiu-se área com perímetro, obtendo a resposta errada.)

Resolução 4

a) 45

b) Contei.

c) Não apresentou resposta.

Proposta de encaminhamentos para a sistematização

Partindo da resolução 2, item c, pode-se discutir sobre a área de um

retângulo fazendo indagações do tipo: “Qual a área de cada quadradinho?” e

“Quantos quadradinhos há no total?” para que o aluno perceba que a área do

retângulo é formada pela junção das áreas de todos os quadradinhos.

A partir da resolução 1, item b, o professor poderá fazer perguntas do tipo

“Qual a medida, em centímetros, da base do retângulo?” e “Qual a medida, em

centímetros, da altura do retângulo?” com a finalidade de que o aluno relembre os

termos base e altura e perceba ser necessário recorrer ao enunciado do problema

para obter, a partir da medida do lado de um quadradinho e de quantos

quadradinhos há na base e na altura, estas medidas em centímetros.

Caso seja apresentada apenas a resolução 1 o professor poderá buscar a

sistematização da fórmula da área do retângulo com perguntas do tipo “Que

expressão matemática está sendo usada para obter o total de quadradinhos?”.

Espera-se que os alunos respondam 5 x 9. O professor pode prosseguir: “Este

número representa a área do retângulo, então podemos dizer que basta multiplicar

os valores que representam as medidas de que elementos do retângulo para obter a

área?”. É provável que os alunos respondam que seja a medida da base pela

medida da altura. Neste momento sistematiza-se a fórmula da área.

“A área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela medida

da altura”. (IEZZI et al, 1997, p.232)

Indicando a área de um retângulo por A, a medida de sua base por b e a

medida de sua altura por h, temos:

Fonte: Edna Berbert

Pode-se fazer a observação que usamos as iniciais b para representar a base

e h para representar a altura, especificando que a letra h para altura, vem desta

palavra em inglês: height. Já a palavra base não tem alteração em inglês: base.

Caso os alunos apresentem apenas a resolução 2, a partir do item b, o

professor poderá sistematizar a multiplicação da medida da base pela medida da

altura do retângulo a partir da adição de parcelas iguais. Como são 9 quadradinhos

da primeira fileira horizontal, adicionados a 9 quadradinhos da segunda fileira

horizontal, adicionados a 9 quadradinhos da terceira fileira horizontal... e assim por

diante até a quinta fileira, podemos multiplicar 9 por 5, no qual 9 é a medida da base

e 5 é a medida da altura do retângulo. Neste momento, o professor pode

sistematizar a referida fórmula.

Na hipótese de os alunos apresentarem a resolução 3, a sugestão é recorrer

ao dicionário a fim de explorar o significado da palavra área, questionando se 28

expressa a área do retângulo em questão. Espera-se que os alunos concluam que o

número adequado é o 45.

A = b • h

Problema 2

A figura a seguir representa uma caixa fechada, de forma cúbica. Nestas

condições responda:

Fonte: Edna Berbert

a) Imagine a caixa “desmontada” e faça uma

planificação para ela.

b) Qual a área da região hachurada?

c) Qual a área da parte externa da caixa fechada?

Objetivo � Possibilitar a construção de conhecimentos relativos ao cálculo da área total

do cubo, bem como obter a respectiva expressão algébrica que permita

efetuar o cálculo de forma genérica.


Resolução 1

Considerando que o enunciado diz que a caixa é cúbica, caso os alunos não

se lembrem das propriedades do cubo, é interessante discutir a esse respeito

durante o atendimento aos grupos. Recomenda-se que o professor utilize como

recurso didático o “sólido” em acrílico, componente do conjunto de “sólidos

geométricos” disponível nas escolas estaduais.

a)

Fonte: PARANÁ-SEED

b)

2 cm x 2 cm = 4 cm2

c) 6 x 4 cm2 = 24 cm2

Resolução 2

a)

Fonte: PARANÁ-SEED (adaptada)

Ao fazer a planificação considerou-se que a tampa da caixa fica separada.

Cabe ao professor explicar que o objeto precisa ser considerado como um só e que

a parte desenhada separada, possivelmente a tampa, deverá ser anexada a algum

quadrado no lado oposto ao que se une ao quadrado central, de forma que, ao ser

montada, possa constituir novamente a caixa.

b) 2 cm x 2 cm = 4 cm2

c) 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 + 4 cm2 = 24 cm2 (Para calcular a

área total foi feita a adição das áreas de todas as faces, totalizando 24 cm2).

Resolução 3

a)

Fonte: PARANÁ-SEED

b) 8 cm

c) 48 cm

2 cm

2 cm


Aproveitando os erros da resolução 3, itens b e c o professor poderá enfatizar

a diferença entre área e perímetro. Sugere-se questionar o aluno como se chegou a

estes resultados e, caso a resposta seja de que adicionou-se 4 parcelas de 2 cm

para obter 8 cm e depois multiplicou-se por 6 este resultado para obter 48, é

necessário retomar o conceito de área.

Nesse caso, um encaminhamento pode ser quadricular uma face e levantar

questionamentos do tipo “Quantos quadradinhos de 1 cm de lado temos em cada

face?” e “Qual o total de quadradinhos da planificação?” a fim de discutir área como

medida de uma superfície.

Partindo da resolução 1, item a, o professor poderá discutir a respeito da

planificação do cubo de modo que os alunos observem que todas as faces são

quadradas.

A partir dos itens b e c o professor poderá encaminhar o trabalho em sala de

aula para que os alunos compreendam que, sabendo a área de uma face, e ciente

de que o “sólido" tem seis faces congruentes, basta somar todas as áreas da parte

externa do sólido, ou fazer a multiplicação do número de faces pela área de uma

face, a fim de obter a área total.

Com a finalidade de destacar os segmentos relacionados às medidas que

serão utilizadas nos cálculos pode-se ilustrar:

Considere a figura a seguir:

Fonte: PARANÁ-SEED

(adaptada)

Os segmentos AB, BC, CD, DA são as arestas da base

inferior.

Os segmentos EF, FG, GH, HE são as arestas da base

superior.

Os segmentos EA, FB, GC, HD são as arestas laterais.

´a` representa a medida de cada aresta do cubo.

“A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados congruentes. Se

o cubo tem aresta a, cada face tem área a2.” (IEZZI et al, 1997 p. 499).

Denominaremos a superfície ou área total de At. Assim:

Fonte: PARANÁ-SEED (adaptada)

Problema 3

Efigênia quer encapar a caixa na qual estava embalada sua máquina de lavar,

para guardar os brinquedos de seus filhos, da seguinte maneira: as bases de papel

vermelho e as laterais de papel azul. Sabendo-se que a caixa tem as dimensões

representadas na figura a seguir, determine:

a) Quantos m2 de papel vermelho ela precisa?

b) Quantos m2 de papel azul ela precisa?

c) Quantos m2 de papel, no total, ela precisa?

Fonte: Edna Berbert

Objetivos

� Possibilitar a construção de conhecimentos relativos ao cálculo da área da

base, da área lateral e da área total de um prisma reto quadrangular. Obter a

fórmula que permita efetuar este cálculo de forma genérica.


Resolução 1.

a) Papel vermelho

Uma base: 0,8m x 0,8m = 0,64m2

Duas bases: 2 x 0,64m2 = 1,28m2

Resposta: 1,28m2 de papel vermelho

b) Papel azul

At = 6a2

Uma lateral: 0,8m x 1,2m = 0,96m2

Quatro laterais: 4 x 0,96m2 = 3,84m2

Resposta: 3,84m2 de papel azul

c) Adicionar as áreas das bases e das laterais para obter a área total:

1,28m2 + 3,84m2 = 5,12m2

Resposta: Ela irá precisar de 5,12m2 de papel no total.

Resolução 2.

a) Calcula-se a parte vermelha considerando apenas uma base:

0,8 x 0,8 = 0,64

Resposta: Irá precisar de 0,64m2 de papel vermelho

b) Calcula-se a parte azul considerando apenas as duas faces laterais visíveis:

2 x 0,8 x 1,2 = 1,92m2

Resposta: Irá precisar de 1,92m2 de papel azul.

c) Faz-se o total das áreas: 0,64 + 1,92 = 2,56m2

Resposta: Irá precisar de 2,56m2 de papel no total.

(Neste caso os itens a, b e c estão incorretos porque considerou-se apenas uma

base e duas faces laterais, provavelmente as que estão à vista, no campo de visão,

o que acarreta o erro na resposta final.)


Durante a leitura do problema em conjunto, conforme orientado por Onuchic e

Allevato (2009, p. 97) “Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas

para os alunos, [...], pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.” Caso eles

não manifestem o desconhecimento, pode-se perguntar se entendem o que são as

´bases` e as ´laterais` mencionadas no texto, sendo importante a compreensão

destes termos pois serão frequentemente utilizados.

Podem ser feitas as observações de que o termo ‘laterais’ refere-se a lado, e

‘base’, segundo o dicionário Michaelis online (2009), é “1 Aquilo que suporta o peso

de um objeto ou lhe serve de fundamento. 2 Parte inferior de um objeto. [...]

5 Geom Lado sobre o qual pode assentar-se uma figura. 6 Geom Face sobre a qual

assenta um sólido [...]”, observando que, neste caso, as bases são duas: a superior

e a inferior.

Sugere-se ainda que seja feita a seguinte ilustração e que seja utilizado o

“sólido” em acrílico do conjunto de “sólidos” anteriormente mencionado:

Fonte: Edna Berbert

h : altura

l : aresta da base

O sólido aqui representado recebe o nome de prisma reto de base

quadrangular.

“Os prismas são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e

congruentes (chamadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos

(chamadas faces laterais).” (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JÚNIOR, 2002,

p.442).

O professor poderá explorar no enunciado do problema que temos dois itens

a considerar no cálculo da área do objeto em questão: as bases, que no caso serão

vermelhas e as faces laterais, que no caso serão azuis.

A partir da ilustração e da resolução 1, item a, poderá sistematizar a fórmula

para o cálculo da área da base através de questionamentos como os seguintes:

“A base do objeto é um quadrado, portanto para obter a área foi feito 0,8m x

0,8m que é (0,8m)2. Se denominarmos a medida do lado deste quadrado de l, e Ab a

área da base do objeto, qual será a fórmula obtida? Espera-se que os alunos

respondam: “Ab = l2”.

A área da base Ab de um prisma de base quadrada, cuja aresta da base mede

l pode ser obtida através da fórmula:

“Área da base é a área de uma das regiões poligonais da base”. (GIOVANNI;

BONJORNO; GIOVANNI JÚNIOR, 2002, p. 443)

Ab = l2

A partir da resolução 1, item b, poderá sistematizar o cálculo da área lateral

de um prisma conforme a seguir.

As faces laterais são paralelogramos com quatro ângulos retos, portanto

retangulares. Para obter a área de uma face lateral, a qual será denotada por Af, foi

feita a operação 0,8m x 1,2m, em que 0,8m é a medida da aresta da base e 1,2m é

a medida da aresta lateral, que no prisma reto coincide com a medida da altura h.

Portanto, para obtermos a área de uma face podemos utilizar a expressão l x h,

onde l representa a medida da aresta da base e h representa a medida da altura do

prisma:

A área de uma face lateral corresponde à área da região poligonal que

constitui esta face.

Para saber quantos metros quadrados de papel azul serão necessários foi

calculada a área de uma face lateral e depois multiplicada por quatro. Neste sentido,

pode-se questionar por que foi multiplicado por quatro e ainda: “E se o polígono que

forma a base fosse um hexágono?”. Espera-se que os alunos respondam que neste

caso seriam seis faces laterais e que concluam que a área lateral depende da

quantidade de faces laterais. Denotando por n a quantidade de faces laterais, para

obter a área lateral Al podemos utilizar a expressão:

“Área lateral de um prisma é a soma das áreas de todas as faces laterais.”

(GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JÚNIOR, 2002, p.443).

Como no caso as faces laterais são todas congruentes, temos uma adição de

parcelas iguais, portanto, podemos reescrever a adição como uma multiplicação.

Concluímos então que a área lateral de um prisma é o produto do número de

faces laterais pela área de uma face lateral.

A partir da resolução 1, item c o professor poderá sistematizar a área total:

Para sabermos o total de papel necessário foi preciso adicionar as áreas das

bases e a área lateral. Como são duas bases, podemos calcular a área total,

denotada por At, através da seguinte expressão:

Af = l x h

Al = n x Af

At = Al + 2Ab

Área total de um prisma é a “reunião das suas faces laterais com as suas

bases [...]” (SMOLE; DINIZ, 2010, p.276).

Problema 4. (Adaptada de OCDE, p.47).

Suzana gosta de montar blocos usando cubos pequenos iguais ao que está

representado a seguir:

Cubo pequeno Fonte: OCDE

Suzana possui muitos cubos pequenos iguais a este. Ela utiliza cola para unir

os cubos e fazer blocos.

a) Nas figuras a seguir há representações dos blocos que ela montou. Com base

nesta informação, complete o quadro com os dados relativos a cada figura:

Figura 1.

Fonte: OCDE

Figura 2.

Fonte: OCDE

Figura 3.

Fonte: OCDE (Adaptada)

Quantos cubos

formam este bloco?

Escreva

matematicamente

como chegou à

resposta anterior.

Fonte: Edna Berbert

b) Suzana também montou o bloco ao lado. Com base

nesta informação responda:

I) Quantos cubos pequenos formam este bloco?

II) Escreva matematicamente como chegou à

resposta anterior.

III) Se cada cubo pequeno corresponde a um

1cm3, quantos cm3 tem este bloco, ou seja,

este cubo maior?

Objetivos

� Possibilitar a construção de conhecimentos relativos ao cálculo de volume de

um cubo, bem como obter a fórmula que permita efetuar este cálculo de forma

genérica.


Resolução 1

Para obter o total de cubos de cada bloco foi feita a adição entre as quantidades de

cubos pequenos existentes em cada camada.

a)

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Quantos cubos

formam este bloco?

8 27 64

Escreva

matematicamente

como chegou à

resposta anterior.

4 + 4 9 + 9 + 9 16 + 16 + 16 + 16

b)

I ) 125

II) 25 + 25 + 25 + 25 + 25

III) 125cm3

Resolução 2.

a)


Quantos cubos

formam este bloco?

8 27 64

Escreva

matematicamente

como chegou à

resposta anterior.

2 + 2 = 4

4 + 4 = 8

9 + 9 = 18

18 + 9 = 27

16 + 16 = 32

32 + 32 = 64

Para obter o total de cubos do primeiro bloco foram computados quantos

cubos pequenos há em uma fileira, adicionada esta quantidade à da outra fileira,

obteve-se o total em uma camada. Depois foram somadas as quantidades de cubos

de acordo com a quantidade de camadas.

Para obter o total de cubos do segundo bloco obteve-se o número de cubos

pequenos de uma camada e aproveitou-se o resultado para ir adicionando à

quantidade existente nas demais camadas.

Já no terceiro bloco obteve-se o número de cubos pequenos de uma camada,

que foi adicionada à quantidade da outra camada, obtendo a quantidade existente

em duas camadas. Em seguida, o resultado obtido foi somado com a quantidade

existente nas outras duas camadas para saber o total em quatro camadas.

No item b foram adicionadas as quantidades de cubos pequenos de cada

camada até obter a soma total.

I ) 125

II) 25 + 25 = 50

50 + 25 = 75

75 + 25 = 100

100 + 25 = 125

III ) 125cm3

Resolução 3.

Para obter o total de cubos pequenos de caba bloco foram utilizadas as seguintes

multiplicações que preservam o mesmo raciocínio empregado em relação às

camadas na Resolução 1, mas representam outra forma de escrever as adições:

a)


Quantos cubos

formam este bloco?

8 27 64

Escreva

matematicamente

como chegou à

resposta anterior.

4 x 2 = 8 9 x 3 = 27 16 x 4 = 64

b)

I ) 125

II ) 25 x 5 = 125

III) 125cm3


A partir do item a da resolução 3, o professor poderá sistematizar a fórmula

para o cálculo do volume do cubo orientando os alunos a perceberem que:

• no cubo de aresta 2, para calcular o total de cubos pequenos basta fazer

4 x 2 = 2 x 2 x 2 = 23 ,

• no cubo de aresta 3, fazemos 9 x 3 = 3 x 3 x 3 = 33, e assim

sucessivamente, relembrando os alunos que quando temos uma multiplicação

de fatores iguais, podemos reescrevê-la por meio da potenciação.

Já no item b, subitens I e II o professor poderá questionar os alunos de modo

que percebam que, no cubo de aresta 5 o total de cubos pequenos é

25 x 5 = 5 x 5 x 5 = 53.

É importante salientar para os alunos que estes cubos são corpos

tridimensionais, isto é, têm comprimento, largura e altura. Segundo o dicionário, na

matemática são denominados de sólidos (MICHAELIS, 2009). Além disso, destacar

que:

Todo sólido ocupa uma porção no espaço. A medida dessa porção é o volume desse sólido. Para calcular o volume de um corpo, em geral usamos como unidade-padrão o volume de um cubo de aresta de medida 1 u: esse volume é 1 u3. Assim, se a aresta mede 1 cm, o volume desse cubo é 1cm3; se a aresta mede 1 m, o volume é 1 m3. (SMOLE; DINIZ, 2010, p.277, grifo das autoras)

No contexto do problema, a junção de todos os cubos pequenos formam o

volume do bloco (cubo maior), em cm3. Como cada cubo pequeno tem volume 1cm3,

a quantidade de cubos pequenos que forma cada bloco (cubo maior) coincide com

seu respectivo volume. Pode-se construir o seguinte quadro:

Cubo de aresta 2 cm

Volume = 23 cm3

Cubo de aresta 3 cm

Volume = 33 cm3

Cubo de aresta 4 cm

Volume = 43 cm3

Cubo de aresta 5 cm

Volume = 53 cm3

Neste sentido, o professor pode questionar “qual seria a expressão

matemática para representar o cálculo do volume V de um cubo de aresta a?”

Espera-se que os alunos respondam V = a3. Portanto, para saber o volume V de um

cubo de aresta “a” temos a expressão algébrica V = a3. Além disso, destacar a

necessidade de observar a unidade de medida utilizada.

Também é necessário apontar que, em um cubo de aresta a = 5 cm, por

exemplo, o volume V é igual a (5 cm)3. Ao fazermos 5 cm x 5 cm x 5 cm precisamos

multiplicar 5 x 5 x 5 e também cm x cm x cm. Conforme as propriedades das

potências de bases iguais, teremos 5 x 5 x 5 = 53 e cm x cm x cm = cm3. Portanto o

volume V será igual a 53 cm3, ou seja, 125 cm3.

Problema 5.

Ainda com base na formação de sólidos a partir de cubos pequenos, como no

problema anterior, considere a figura a seguir e responda as questões propostas.

Cubo pequeno

Sólido A

Fonte: Edna Berbert

a) Quantos cubos pequenos foram necessários para construir o sólido A? Justifique

sua resposta.

b) Quantos cubos pequenos seriam necessários para construir um sólido B,

resultante do empilhamento de 100 sólidos iguais ao A? Justifique sua resposta.

Objetivos

� Possibilitar a construção de conhecimentos relativos ao cálculo de volume de um

prisma reto quadrangular, bem como obter a fórmula que permita efetuar este

cálculo de forma genérica.

Uma possível resolução

a) O sólido A tem 64 cubos pequenos.

Justificativa: Conta-se quantos cubos pequenos tem na primeira fileira. Como as

quantidades são iguais nas outras, conta-se quantas fileiras o sólido tem e

efetua-se a seguinte multiplicação: 8 x 8 = 64.

b) O sólido B teria 6400 cubos pequenos.

Justificativa: Considerando quantos cubos pequenos há no sólido A e fazendo a

multiplicação pelo número de sólidos iguais a ele que serão empilhados (64 x 100),

obtendo o total de cubos pequenos.

Proposta de encaminhamentos para a sistematização:

Partindo da possível resolução apresentada para o item a, o professor poderá

sistematizar o volume do Sólido A, destacando que cada cubo pequeno possui uma

unidade de volume e a aresta do cubo pequeno mede uma unidade de comprimento.

Pode-se fazer questionamentos do tipo: “Quantas unidades de comprimento temos

na largura do sólido, quantas no comprimento, quantas na altura?”. Espera-se que

os alunos dêem as repostas apresentadas na ilustração a seguir.

Fonte: Edna Berbert

A partir disso, pode-se relacionar a multiplicação 8 x 8 = 64, apresentada na

possível resolução, à multiplicação entre os valores referentes a medida do

comprimento, largura e altura (8 x 8 x 1 = 64), pois como cada cubo pequeno possui

uma unidade de volume a quantidade de cubos pequenos que forma o Sólido A

coincide com o valor de seu volume. O professor pode então fazer o seguinte

questionamento: “Este valor 64 representa que tipo de medida relacionada ao

sólido?” Espera-se que a resposta seja que representa o volume.

No item b pede-se a quantidade de cubos pequenos necessários para

construir um sólido B resultante do empilhamento de 100 sólidos iguais ao A. Assim,

o sólido B poderia ser ilustrado da seguinte maneira:

Fonte: Edna Berbert

Observação: Nesta imagem os segmentos não foram representados de maneira proporcional.

A resposta obtida para o item b é que teremos 6400 cubos pequenos. Como

cada cubo pequeno apresenta uma unidade de volume, conclui-se que o volume

sólido B é 6400 unidades de volume.

O professor pode questionar: “Quais valores no desenho representam as três

medidas que o caracterizam como um objeto tridimensional?”. Espera-se que os

alunos respondam: 8, 8 e 100.

Pode-se prosseguir com a seguinte questão: “Que operação matemática foi

feita para obter a quantidade de cubos pequenos do sólido B?”. Conforme consta na

resolução, a resposta será 64 x 100, que a partir das medidas apresentadas na

ilustração do sólido B, pode ser escrita como 8 x 8 x 100.

Quando fazemos 8 x 8, tratando estes valores como a medida dos lados da

figura que representa a base do sólido, estamos obtendo sua área da base (Ab), que

depois multiplicamos pela altura (h) de medida 100, obtendo o volume V, deste

sólido que corresponde a um prisma reto quadrangular.

Assim, temos:

O professor pode ainda destacar aos alunos que esta fórmula, apesar de ter

sido sistematizada, a partir de um prisma com uma base específica, também é válida

quando a base é representada por outros polígonos. Assim: “O volume de um

prisma é igual ao produto da área da sua base pela medida da altura relativa a essa

base.” (SMOLE; DINIZ, 2010, p.278).

Problema 6 . (Adaptado de Onuchic e Allevato (2009)).

Sabemos que o comprimento C de uma circunferência de um círculo de raio r

é dado pela fórmula C = 2 π r. Na figura a seguir temos a imagem de um círculo de

raio r que foi dividido em 8 setores congruentes:

Fonte: Edna Berbert

V = Ab • h

Se “cortarmos” os 8 setores, poderemos formar uma figura assim:

Fonte: Edna Berbert

Se ao invés de 8, dividíssemos o círculo em 16, ou 32, ou mais setores, mais

a figura se aproximaria de um paralelogramo:

Fonte: Edna Berbert Fonte: Edna Berbert

Podemos dividir o círculo em setores menores ainda e quanto menores forem

estes setores mais a figura formada se aproximará de um paralelogramo com todos

os ângulos retos, ou seja, de um retângulo.

Com base nisso, qual a área deste “retângulo” que será formado,

considerando as medidas referentes ao círculo de raio r?

Objetivo

� Possibilitar a construção da fórmula que permita efetuar cálculos referentes à

área de um círculo.


Resolução 1.

Fazendo a representação do retângulo e colocando as medidas da base e da

altura, calcula-se a área por meio do produto entre a medida da base e a

medida da altura (pois esta é a fórmula para o cálculo da área do retângulo).

Como a base mede rr ⋅=⋅⋅⋅ ππ22

1, pois corresponde à metade do

comprimento da circunferência do círculo e a altura mede r, pois corresponde

ao raio do círculo, tem-se:

Área = π • r • r = π • r2

Resposta: Área = π • r2

Resolução 2.

Nesta resolução, considera-se que a base do retângulo corresponde ao

comprimento (C) da circunferência do círculo, e a altura do retângulo, ao raio

(r) do círculo.

Área = C • r = 2 • π • r • r = 2 • π • r2

Resposta: Área = 2 • π • r2

Esta resolução está incorreta por não considerar o fato de que a base do

retângulo é a metade do comprimento da circunferência, pois temos metade

dos setores com os seus ângulos centrais voltados para cima e metade dos

setores com seus ângulos centrais voltados para baixo.


Partindo da resolução 1 o professor poderá sistematizar a fórmula da área do

círculo fazendo os seguintes questionamentos:

“Qual a fórmula para o cálculo da área do retângulo?”

“Qual a medida da base do “retângulo” formado a partir do círculo de raio r?”

“Qual a medida da altura deste “retângulo”?”

Caso algum aluno apresente dificuldade em perceber a medida da base do

“retângulo”, o professor pode fazer questionamentos que auxilie na percepção de

que dos 32 setores, temos 16 com os ângulos centrais voltados para cima e 16 com

os ângulos centrais voltados para baixo. Desta forma, a medida da base do

retângulo é a metade do comprimento da circunferência do círculo de raio r.

Caso algum aluno apresente dificuldade em perceber, a medida da altura do

“retângulo” formado a partir do círculo, o professor pode fazer questionamentos do

tipo: “A altura do retângulo corresponde a qual medida do círculo de raio r?”

O professor prosseguirá discutindo com os alunos os cálculos efetuados que

resultaram na expressão π • r2, sendo π, número irracional com infinitas casas

decimais (3,141592653589793...), que pode ser aproximado pelo valor 3,14.

Assim, a fórmula para o cálculo da área A de um círculo de raio r é:

Problema 7. (Adaptado de Onuchic e Allevato (2009)).

A figura 1, a seguir, representa uma planificação que resultou na representação

de um cilindro, conforme a figura 2:

Figura 1 Figura 2

Fonte: Edna Berbert

Fonte: Edna Berbert

Considerando as medidas representadas na Figura 1, responda:

a) Qual a área da região retangular da planificação do cilindro?

b) Qual a área de cada região circular da planificação do cilindro?

c) Qual a área total da superfície do cilindro representado na Figura 2?

A = π • r2

Objetivos

� Proporcionar o desenvolvimento da capacidade de reconhecer elementos e

propriedades do cilindro e sua representação planificada.

� Possibilitar a construção de conhecimentos relativos aos cálculos de área lateral,

área da base e área total do cilindro, bem como obter as respectivas fórmulas

que permitam efetuar esses cálculos.


Resolução 1:

a) Cálculo da área da região retangular

Área = b • h = 30 cm • 20 cm

Área = 600 cm2

Resposta: Área = 600 cm2

b) Cálculo da área de uma região circular.

Área do círculo = π • r2.

Para determinar a medida do raio (r), temos:

C = 2 π r ⇒ 30 = 2 π r ⇒ 2 π r = 30 ⇒ r = π2

30 ⇒ r =

π

15 cm

Área (A) do círculo = π • r2 = 2

⋅⋅⋅⋅π

π15

= 2

225

ππ ⋅⋅⋅⋅ =

π

225

Portanto, A = π

225cm2.

c) Cálculo da área total da superfície do cilindro

Duas vezes a área da região circular: 2 • π

225 cm2 =

π

450 cm2

Área da região retangular: 600 cm2

Área total = 600 cm2 +π

450 cm2

Resolução 2:

a) Cálculo da área da região retangular

Área = b • h = 30 cm • 20 cm

Área = 600 cm2

Resposta: Área = 600 cm2

b) Cálculo área de uma região circular

Obtenção da medida do raio:

C = 2 π r ⇒ 30 = 2 • 3,14 • r ⇒ 2 • 3,14 • r = 30 ⇒ 6,28 • r = 30 ⇒ r = 28,6

30

⇒ r = 4,78 cm

Área (A) do círculo = π • r2 = 3,14 • (4,78 cm)2 = 3,14 • 22,8484 cm2 = 71,74 cm2

c) Cálculo da área total da superfície do cilindro

Área total: 600 cm2 + 2 • 71,74 cm2 =

= 600 cm2 + 143,48 cm2 = 743,48cm2


A partir da resolução 1, item a, o professor poderá sistematizar o cálculo da

área lateral do cilindro. No entanto, é preciso ressaltar que como geralmente o

cilindro não está planificado, vê-se a necessidade de obter os meios de calcular a

área lateral a partir das medidas disponíveis no cilindro sem a planificação.

O professor pode fazer os encaminhamentos para a construção deste

conhecimento a partir dos seguintes questionamentos:

“Os 30 cm da base do retângulo correspondem a qual medida no cilindro?”

Espera-se que os alunos respondam “Ao comprimento da circunferência” ou

“Ao contorno da base”. Caso não dêem estas respostas, pode-se fazer outros

questionamentos, ou mesmo usar uma folha de sulfite e enrolar para que haja a

compreensão de que é o contorno da base, ou seja, a circunferência do círculo da

base. Questionar se lembram qual a fórmula para calcular o comprimento C da

circunferência. Podemos então dizer que a medida da base do retângulo é igual a C

e C = 2. π . r.

“Os 20 cm no retângulo correspondem a qual medida no cilindro?”

Espera-se que os alunos respondam: “Correspondem à altura h.”

O professor pode representar estas informações da seguinte maneira:

A partir disso o professor pode formalizar o cálculo da área lateral do cilindro:

Temos como área lateral a área de um retângulo cuja base mede 2.π.r e a

altura mede h. A área deste retângulo é 2.π.r.h. Conclui-se que a área lateral (Al) do

cilindro corresponde à 2.π.r.h.

Assim,

A partir da resolução 1, item b, o professor poderá sistematizar o cálculo da

área da base (Ab) fazendo questionamentos relativos ao cálculo da área do círculo.

Ao ser questionado sobre a fórmula da área do círculo espera-se que os alunos

apresentem como resposta a fórmula sistematizada no problema anterior: Ab = π r2.

A partir da resolução 1, item c, pode-se sistematizar a área total do cilindro,

fazendo questionamentos como: “O que foi feito para obter a área total?” Espera-se

que os alunos respondam que foi feita a adição da área lateral ao dobro da área da

base.

Concluímos então que a área total (At) corresponde ao valor da área lateral

adicionada ao dobro da área da base.

Al = 2.π.r.h

Partindo da resolução e fazendo as substituições dos valores pelas

expressões algébricas correspondentes:

At = 600 cm2 + π

450cm2

At = Al + 2Ab

At = 2πrh + 2π r2

Colocando os fatores comuns em evidência:

Partindo da resolução 2 o professor poderá explicar que, como o valor

aproximado de π é 3,14, pode-se fazer a substituição.

Além disso, poderá ainda voltar aos resultados finais obtidos na resolução 1,

itens b e c, substituir π por 3,14 e fazer os cálculos para que os alunos percebam

que os resultados são próximos dos obtidos nestes mesmos itens da resolução 2 e

que a diferença ocorre por conta da aproximação realizada a cada passo na

resolução 2.

Problema 8

Na figura A temos a imagem de um objeto circular, de 1,24 mm de espessura

e 12 cm de diâmetro. Na figura B temos a representação de 50 objetos idênticos ao

da figura A empilhados:

Figura A Figura B

Fonte: Edna Berbert

Fotomontagem: Edna Berbert

Com base nas figuras acima responda:

a) Qual a área da região circular do objeto representado na Figura A?

b) Qual a altura da pilha formada pelos 50 objetos?

c) Qual o volume do sólido representado na Figura B?

At = 2.π.r.(h+ r)

Objetivos

� Proporcionar a construção do conhecimento relativo ao cálculo do volume do

cilindro, obtendo a expressão algébrica que permita efetuar o cálculo de forma

genérica.


É aconselhável que durante a resolução o professor oriente os alunos sobre

as devidas conversões de unidades de medidas, caso eles não se atentem a isso,

explicando que se deve deixar todas as informações em centímetros ou todas em

milímetros. Fazer uma breve revisão destas conversões discutindo suas relações.

Resolução 1

a) Como a medida do raio corresponde à metade da medida do diâmetro, tem-se

que o raio mede 6 cm.

A área (A) do círculo é dada por:

A = π r2

Substituindo r por 6, obtemos:

A = π (6 cm)2 = 36 π cm2

b) 0,124 cm x 50 = 6,2 cm

c) Fazendo uma analogia com o que foi sistematizado no Problema 5, utilizando a

idéia de multiplicar a área da base do sólido pela altura.

Volume = 36 π cm2 x 6,2 cm = 223,2 π cm3

Resolução 2

Nesta resolução, as unidades de medida são ignoradas, o que conduz a um

resultado incorreto para o item c.

a) A = π r2

= π . 62 = 36 π

b) 1,24 x 50 = 62. A altura da pilha é 62.

c) Volume = 36 π x 62 = 2 232 π

Resolução 3.

Utilizando a substituição de π por 3,14 em todos os cálculos efetuados.

a) A = π r2 = 3,14 . (6 cm)2 = 113,04 cm2

b) 0,124 cm x 50 = 6,2 cm

c) 113,04 x 6,2 = 700,848 cm3


A partir da resolução 1 item a, o professor poderá relacionar o cálculo

realizado com a área da base do “cilindro” representado na Figura B.

No item b foi calculada a altura da uma pilha formada por 50 objetos iguais,

empilhados formando um “cilindro” de 6 cm de raio e 6,2 cm de altura:

Fonte: Edna Berbert

O professor poderá encaminhar um diálogo com os alunos para o

entendimento de que para calcular o volume da figura, pode-se calcular a área da

base do cilindro e multiplicar pela altura (resolução 1), fazendo uma analogia com o

que foi discutido no Problema 5. Nestas condições, pode questionar: “A partir do

fato que temos os dados para calcular a área da base e temos a medida da altura,

que expressão algébrica permite calcular o volume de um cilindro?” Espera-se que

os alunos respondam que é V = Ab x h, em que Ab corresponde à área da base e h a

altura.

Como Ab = π r2, então:

Fonte: Edna Berbert

V = π r2h.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASE. In: MICHAELIS. Dicionário Online - Dicionários Michaelis – UOL. 2009. Disponível em <http://michaelis.uol.com.br/>. Acesso em 06 nov. 2014. BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. Orientações Curriculares Para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, DF, 2006. BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Matemática. Brasília, DF, 2000. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf> e<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 09 maio 2014. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JUNIOR, J. R. Matemática completa : ensino médio : volume único . São Paulo: FTD, 2002. IEZZI, Gelson, et al. Matemática: volume único: manual do professor . São Paulo: Atual, 1997. OCDE: PROGRAMA DA OCDE PARA AVALIAÇÃO DE ALUNOS – PISA. Itens liberados de Matemática. Brasília: INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anisio Teixeira, 2008. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf>. Acesso em 12 nov. 2014. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Trabalhando Volume de Cilindro Através da Resolução de Problemas . Educação Matemática em Revista, [S. l.], v. 1, n. 10, p.95-103, ano 10, 2009. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná-SEED. Caderno de Expectativas da Aprendizagem. Curitiba, PR, 2012. Disponível em <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>. Acesso em: 22 jan 2015. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná-SEED. Recursos Didáticos - Imagens. Disponível em <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=80>. Acesso em: 25 ago 2014. PRADO, M. A.; ALLEVATO, N. S. G. O Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Geometria através da Resolução de Problemas . Acta Scientiae, Canoas, v.12, n.1, p.24-42, jan./jun.2010. SÓLIDO. In: MICHAELIS. Dicionário Online - Dicionários Michaelis – UOL. 2009. Disponível em <http://michaelis.uol.com.br/>. Acesso em 06 nov. 2014. SMOLE, K. C. S., DINIZ, M. I. Matemática: ensino médio: volume 2. São Paulo: Saraiva, 2010.

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