Origami und Geometrie – Papier kann mehr als man

denkt

Robert Geretschläger

BRG Kepler, Graz

Zürich, 12.9.2012

Konstruktionsaxiome

Zirkel und Lineal:P1

P2

rP1

P2

P3Punkt auf Objekt

Schnittpunkt

P zufälliger Punkt

P

P

Papierfalten:

P

(O1)

Konstruktionsaxiome

a

l 2

1l

a'

l1

l2

m

(O2) (O3)

b

Q

P

l Q

P

(O4) (O5)

Konstruktionsaxiome

l P

l

Q

P

l

Y

XP

P'

c

P

l

P

(O6)

(O7)

Konstruktionsaxiome

2l

1P

P2

l1(O7*)

Konstruktionsaxiome

Der Goldene Schnitt

a

1

1

1

a-1

1

a : 1 = 1 : (a-1)

a² - a = 1

a² - a – 1 = 0

a =

a : 1

5-eck

Winkel im regelmäßigen 5-eck

d d

1

1

108°

36°

36°

72° 72°

36°

5-eck

Das Goldene Dreieck

d : 1 = 1 : (d-1)

d = =

1

d

36°

36°72°

36°

72°1

1

d-1

5-eck

Platzierung des

Pentagons auf dem

Papier

d=1

a

1

1

5-eck

1D C

BA

Schritt 1

5-eck

Schritt 2

1

5-eck

Schritt 31

5-eck

Schritt 4

I

2

1

5-eck

Schritt 5

5 2

1

5-eck

Schritt 6

2

1

5

5-eck

Schritt 7

5-eck

Schritt 8

5-eck

weitere Herausforderungen für fortgeschrittene Pentagonisten:

+++ Kann ein regelmäßiges 5-eck mit Seitenlänge a größer als 1/ im Inneren eines Einheitsquadrats platziert werden?

+++ Bestimme eine Faltsequenz für ein größeres regelmäßiges Fünfeck.

+++ Bestimme den größtmöglichen Wert von a. Beweise, dass dieser Wert tatsächlich maximal ist.

5-eck

Gleichung 1. Grades

lineare Gleichung ax = b

Lösung: x = ab

a

b

Steigung der Faltkante ist ab

y

x

5

5

-5

-5

op :x²=2uy

O

y

x

oP (v,w)

Quadratische Gleichung x²+px+q = 0

x² - 2usx + 2uvs – 2uw = 0

u²s² - 2uvs + 2uw = 0

Parabel:x² = 2uy

Tangente:y = s(x - v) + w

0222 uw

uv ss

u = 2, v = -p, w = q

Parabel: x² = 4y

(Brennpunkt F(0/1), Leitlinie y = -1)

P0(-p,q)

Gleichung 2. Gradesten

1p :y²=2ax

2p :x²=2by

111P (x ,y )

t:y=cx+d

222P (x ,y )

x

y t: y = cx + d

p1: yy1 = ax + ax1

p2: xx2 = by + by2

3

b

ac

Gleichung 3. Gradesten

1

1

2

F

F

2l

t

1l

x

y

ab

3

Gleichung 3. Grades

111

2 2 2

P (x ,y )

P (x ,y )

1p :(y-n)²=2a(x-m)2

p :x²= 2by

1A (m ,n)

t: y=cx+d

y

x

t: y = cx + d

p1: (y-n)(y1–n) = a(x-m) + a(x1–m)

p2: xx2 = by + by2 02223 ba

bn

bm ccc

x³ + px² + qx + r = 0

p = -2m, q = 2n,

r = a, b = 1

222221 :;, rpqrp xlF

Gleichung 3. Grades

z7 − 1 = 0

abO

c

y

x

7

6

5

4

3

2

1

z

z

z

z

z

z

z =1

7-eck

7-eck

B

AA

7-eck

B

A

C D

7-eck

E

7-eck

M

7 2

1

7-eck

2

M

7-eck

5 4

7-eck

robert.geretschlaeger@brgkepler.at

http://geretschlaeger.brgkepler.at

-lichen Dank für die Aufmerksamkeit