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 Algoritmos y estructuras II

 Análisis y complejidad

Prof. Diego Mosquera U. Abril de 200.

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!rden de crecimiento

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"#u$ es%

& Da una caracteri'aci(n simple de la eficienciade un algoritmo. ) *implifica el cálculo de la eficiencia+

& ,ncontrar f(rmulas cerradas a -eces es complejo+ comodeterminar la f(rmula de una ecuaci(n de recurrencia.

& Determinar el tiempo de corrida eacto de un algoritmo daprecisi(n etra que no -ale el esfuer'o en la matemáticacomputacional.

& /omo la eficiencia se estudia para entradas muy grandes alalgoritmo las constantes multiplicati-as y los t$rminos deorden inferior son dominados por el efecto del mismotama1o de la entrada.

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"#u$ es%

Por ejemplo+ *uponga que se tiene unalgoritmo cuyos tiempo de corrida estádado por la epresi(n+

3n4 5 6n2 7 80n 7 80

/uantitati-amente los -alores constantesy los t$rminos de orden inferior sondespreciables cuando n es grande.9eamos+

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"#u$ es%

*uponga que n 5 80 entonces ) iempo de corrida para 6n2+ :62; ) iempo de corrida para 80n+ 2

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"#u$ es%

& /uando se eliminan las constantes yt$rminos menos significati-os de laepresi(n entonces estamos estudiandoel orden de crecimiento del tiempo decorrida del algoritmo. A esto se le llamaeficiencia asintótica del algoritmo.

 ) *e estudia el comportamiento de la funci(nde complejidad en el lBmite.

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"#u$ es%

/onclusi(n C8+ ) Podemos estudiar el comportamiento preciso del

tiempo de corrida de un algoritmo en funci(n altama1o de la entrada.

 ) Podemos estudiar el comportamiento asint(tico deltiempo de corrida de un algoritmo en funci(n altama1o de la entrada.

,l segundo caso nos permite concluir cosas

como+ f3n4 5 3g3n44 f3n4 5 !3g3n44 f3n4 5E3g3n44. Por lo que necesitamos una notaci(nprecisa de cálculo.

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"#u$ es%

/onclusi(n C2+ ) !rden de crecimiento -s cálculo eacto

& 3n24 -s n2 7 Fn 78

& 3n lg n4 -s F0n lg n

 ) !rden de /recimiento+

& /omportamiento asint(tico& ,ficiencia en el limite.

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Gotaci(n asint(tica

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"#u$ es%

& *ir-e para describir el tiempo de corrida asint(tico de unalgoritmo que es una funci(n con dominio en losnHmeros naturales G 5 082JK

  3n4 + G L NO0

& ales notaciones permiten describir la funci(n del tiempode corrida 3n4 en el peor de los casos.

& ,jemplos+ ) !rdenamiento por inserci(n+ 3n4 5 3n24

 ) !rdenamiento por me'cla+ 3n4 5 3n logn4 ) Hsqueda lineal+ 3n4 5 !3n4 ) Hsqueda binaria+ 3n4 5 !3logn4 ) J

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Gotaci(n =eta 34

& lamada orden eacto& Para una funci(n dada g3n4 denotamos

por 3g3n44 al conjunto de funciones+

3g3n44 5 f3n4 Q ∃ c 1,c 2 ∈R +, ∃ n0 ∈N :0 ≤c 1g(n)≤f(n) ≤ c 2 g(n), ∀   n≥n0  }

“ Una función f(n)∈

  3g3n44 si eisten dos constantesreales positi-as c 1,c 2  tales que f3n4 est$ acotadainferiormente por c 1g(n) y superiormene por c 2 g(n) paraun n suficienemene gran!e"# 

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Gotaci(n =eta 34

& ,jemplo C8+ Probar que 8R2n2 ) 6n 5 3n24*oluci(n:

$%isen muc&as consanes c 1 y c 2 " 'o

imporane es conseguiras a amas (yraar *ue n0  sea o ms pe*ueo posie)

Seneremos -arias gráficas para -er qu$podemos obtener+

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Gotaci(n =eta 34

 ) Sráfica C8+ c 1 5 8R6 c 2  5 8

5 10 15 20 25 30

100

200

300

400

500

8R2n2 ) 6n

,ntoncesaproimadamente n0 

 ≥ 1- 

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Gotaci(n =eta 34

 ) Sráfica C2+ c 1 5 8R8

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Gotaci(n =eta 34

 ) /alculando esto tenemos+c 1n2≤ 8R2n2 ) 6n ≤ c 2 n2

/ ii!ien!o enre 23

c 1≤ 8R2 ) 6Rn ≤ c 2 

4 5ara n . no se cumpe *ue c 1∈R +"

5or ano, c 1≤ 1617 para n0  / . 

L 5ara n≥1 se cumpe *ue c2 ∈R +"

5or ano, c 2 ≥ (c 2 3 0, !igamos c 2 ≥ 8)

5or ano para n0  / ., c 1/1617 y c 2 /162, 8R2n2 ) 6n ∈  9( n2 ) 

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Gotaci(n =eta 34

& ,jemplo C2+ Probar que ?n6 T 3n24*oluci(n:

G(tese que c8 eiste para n0 O 0 . AquB debemos probarque c2 no eiste.

Prueba por contradicci(n+*uponemos que c2 y n0 eisten por lo que+

 ?n6

  c2n2

para todo n O n0 Pero entonces n c2R? lo que no es necesariamentecierto para un n suficientemente grande porque c2 esconstante. ,ntonces contradice el =e=o supuesto n O n0 

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Gotaci(n !Lgrande 3!4

& Gotaci(n para el orden superior ajustado& a notaci(n acota a una funci(n por arriba y

por abajo. /uando solo tenemos una cotasuperior utili'amos la notaci(n !Lgrande.

& Para una funci(n dada g3n4 denotamos por!3g3n44 al conjunto de funciones+!3g3n44 5 f3n4 Q ∃ c ∈R +, ∃ n0 ∈N :

  0 ≤f(n) ≤ cg(n), ∀   n≥n0  }

“ Una función f(n) ∈  3g3n44 si eiste una constante real positi-a c  tal que f3n4 est$ acotada superiormene por cg(n) para un nsuficienemene gran!e"# 

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Gotaci(n !Lgrande 3!4

& ,jemplo+ Probar que2:n2 7 6FFR886n 7 82 5 !3n24

*oluci(n:

$%isen muc&as consanes c 'o imporane esconseguir aguna (y raar *ue n0  sea o ms

 pe*ueo posie)

Seneremos algunas gráficas para -er qu$podemos obtener+

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Gotaci(n !Lgrande 3!4

 ) Sráfica C8+ c 5 60

,ntoncesaproimadamente n0  ≥ ;00  

200 400 600 800 1000

5´   10

6

1´   107

1.5 ´   107

2´   107

2.5 ´   107

3´   107 2:n2 7 6FFR886n 7 82

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Gotaci(n !Lgrande 3!4

 ) Sráfica C2+ c 5

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Gotaci(n !Lgrande 3!4

 ) /alculando esto tenemos+2:n2 7 6FFR886n 7 82 ≤ c n2

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Gotaci(n !megaLgrande 3E4

& Gotaci(n para el orden inferior ajustado& /uando solo tenemos una cota inferior

utili'amos la notaci(n E Lgrande.

& Para una funci(n dada g3n4 denotamos porE3g3n44 al conjunto de funciones+ E3g3n44 5 f3n4 Q ∃ c ∈R +, ∃ n0 ∈N :

  0 ≤ cg(n) ≤f(n) , ∀   n≥n0  }

“ Una función f(n) ∈ E3g3n44 si eiste una constante real positi-a c  talque f3n4 est$ acotada inferiormene por cg(n) para un nsuficienemene gran!e"# 

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Gotaci(n !megaLgrande 3E4

& ,jemplo+ Probar quesqrt3n4 5 E3log3n44

*oluci(n:

$%isen muc&as consanes c 'o imporane esconseguir aguna (y raar *ue n0  sea o ms

 pe*ueo posie)

Seneremos una gráfica para -er qu$ podemosobtener+

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Gotaci(n !megaLgrande 3E4

 ) Sráfica C8+ c 5 8

,ntoncesaproimadamente n0  ≥ 1=  

*qrt3n4

10 20 30 40 50

-6

-4

-2

2

4

6

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eorema 8.8

*ean f3n4+GLN7 y g3n4 +GLN7 funcionesentonces+

  f3n4 5 !3g3n44 si y solo si f3n4 5 E3g3n44 

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Gotaci(n oLc=ica 3o4

& a notaci(n !Lgrande se utili'a para denotarcotas superiores asint(ticamente ajustadas+2n2 5 !3n24.

& Usamos oLc=ica para denotar una cota superiorque no es asint(ticamente ajustada+ 2n 5 o3n24.

& ,ntonces para una funci(n dada g3n4denotamos por o3g3n44 al conjunto de funciones+

 o3g3n44 5 f3n4 Q ∀   c ∈R +, ∃ n0 30 ∈N :

  0 ≤f(n) cg(n) , ∀   n≥n0  }

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Gotaci(n oLc=ica 3o4

&  AsB 2n 5 o3n24 pero 2n2 T o3n24

& 9emos la similitud en la definici(n ! y o.a principal diferencia es quef3n4 5 !3g3n44 se cumple para algunaconstante c real y positi-a mientra quef3n4 5 o3g3n44 se cumple para toda

constante c real y positi-a.

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Gotaci(n oLc=ica 3o4

& Intuiti-amente si f3n4 5 o3g3n44 entoncesf3n4 es insignificante 3despreciable 4 frentea g3n4 en el infinito que es+

imnLV f3n4Rg3n4 5 0

Principio de dominancia de funciones

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Gotaci(n oLc=ica 3o4

& ,jemplo+ Utili'ando el principio de dominanciademuestre que loglogn 5 o3logn4

*oluci(n+Dado que ambas funciones tienden a infinito cuando n

tiende a infinito Aplicamos la Negla de WXospitaltenemos+

imnLV loglognRlogn5 imnLV Y338Rn438Rn244RlognZRYY38Rn438Rn24Z5 imnLV 8Rlogn

5 0

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eorema 8.2

*i g3n4 y f3n4 son funciones en los realespositi-os que crecen sin lBmites entonces+

*i n3g3n44 5 o3n3=3n444 entonces

=3n4 5 o3g3n44

Demostraci(n del teoremaY6pgL8F8Z

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Gotaci(n oLc=ica 3o4

& ,jemplo+ Demuestre que nc 5 o3nlogn4 para c 8

*oluci(n+

 Aplicando el teorema 8.2 tenemos+

imnLV cnnRlognnn5 imnLV cRlogn

5 0

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Gotaci(n [Lc=ica 3[4

& a notaci(n E Lgrande se utili'a para denotarcotas inferiores asint(ticamente ajustadas.

& Usamos [ Lc=ica para denotar una cota inferiorque no es asint(ticamente ajustada+

n2 R25 [3n4.& ,ntonces para una funci(n dada g3n4denotamos por [3g3n44 al conjunto de funciones+ [3g3n44 5 f3n4 Q ∀   c ∈R +, ∃ n0 30 ∈N :

  0 ≤ cg(n) f(n) , ∀   n≥n0  }

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Gotaci(n [Lc=ica 3[4

&  AsB n2 R25 [3n4 pero n2 R2 T [ 3n24

& 9emos la similitud en la definici(n E y [.a principal diferencia es que f3n4 5E3g3n44 se cumple para alguna constante creal y positi-a mientra que f3n4 5 [3g3n44se cumple para toda constante c real y

positi-a.

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Gotaci(n [Lc=ica 3[4

& Intuiti-amente si f3n4 5 [3g3n44 entoncesg3n4 es insignificante 3despreciable 4 frentea f3n4 en el infinito que es+

imnLV f3n4Rg3n4 5 V

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Negla del lBmite

Dadas las funciones arbitrarias f y g + GLNO0 tenemos+

& *i imnLV f3n4Rg3n4 ∈ N7 entonces f3n4 5 3g3n44 

& *i imnLV f3n4Rg3n4 5 0 entonces f3n4 5 !3g3n44pero f3n4 T 3g3n44 

& *i imnLV f3n4Rg3n4 5 7 V entonces f3n4 5 E3g3n44pero f3n4 T 3g3n44 

Demostraci(n de la regla del lBmiteY8pgL>:Z

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Negla del lBmite

,jemplo+ Demostrar por la regla del lBmite quelogn 5 !3sqrt3n44

*oluci(n+ Dado que ambas funciones tienden ainfinito cuando n tiende a infinito se aplica laregla de WXospital+

imnLV lognRsqrt3n45 imnLV 38Rn4RY8R32sqrt3n44Z

  5 imnLV 2Rsqrt3n45 0

 

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Nefleiones importantes

& as funciones de complejidad de los algoritmosse consideran funciones con dominio en G pueslas entradas tendrán tama1os naturales+

 ) 9alor de un nHmero del que se calcula el factorial ) GHmero de aros a mo-er en las orres de Xanoi

 ) GHmero de datos a ordenar

 ) GHmero de nodos y aristas de un grafo 3en este caso

la entrada es GG que es isomorfo a G4

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Nefleiones importantes

& as funciones de complejidad de losalgoritmos se consideran funciones conrango NO0 ,pues el tiempo de ejecuci(n no

puede ser negati-o.&  *(lo interesa lo que pase asint(ticamente3n3/n0 4 por lo que podrBamos considerarfunciones no definidas en todo N  o quetomen -alores negati-os para algunos-alores de n.

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Nefleiones importantes

& Para demostrar que 3n4 no pertenece aun orden especBfico por ejemplo que 3n4T !3g3n44 puede utili'arse la regla del

lBmite o puede =acerse por contradicci(nbasado en el supuesto de que la 3s4constante 3s4 eisten y que el n

0 eiste.

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Propiedades de las notacionesasint(ticas

  PN\]IMA /A*,

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Neferencias

& Y8Z rassard S. y ratley P. ^undamentosde Algoritmia.

& Y2Z /ormen . eiserson /. and Ni-est N.Introduction to algorit=ms

& Y6Z _riarte 9. ,lementos de la teorBacombinatoria.