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Optimizacion sin Restricciones:Comentarios

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Ejemplo En esta presentacion daremos las ideas que fundamentan elmetodo de optimizacion sin restricciones; ası mismo sedesarrolla un ejemplo en la calculadora TI NSpire CAS.

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1 La clave para construir los principios de analisis demaximos y mınimos locales de una funcion es el desarrolloen serie de Taylor de la funcion:

• el comportamiento local en una vecindad del punto estadado por la serie de potencias centradas en punto.

• en lo local (es decir, en la proximidad al punto), en elcomportamiento los terminos mas importantes seran los demenor grado:

• si hay terminos de primer grado (esto es, algun coeficienteno es cero) el comportamiento es lineal

• si no hay terminos de primer grado, pero sı hay desegundo grado, el comportamiento es tipo parabolico, etc

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2 Si en un punto la derivada (gradiente, en el caso de variasvariables) de la funcion no es cero, la funcion no tiene nimaximo ni mınimo relativo en ese punto.

Esto se deduce porque la funcion se comporta como unarecta (plano, en el caso de varias variables) inclinada en laproximidad del punto, y por ello el punto no puede ser nimaximo ni mınimo.

Esto justifica buscar los extremos relativos solo dentro delos puntos crıticos o estacionarios.

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3 Cuando la derivada (gradiente, en el caso de variasvarables) se hace cero, el comportamiento local de lafuncion depende de los terminos cuadraticos; si hay, haciadonde se abra el paraboloide (arriba o abajo) sera la clave.

4 En el caso de una variable, el coeficiente del terminocuadratico es 1

2 f′′(xo). Esto justifica el criterio del signo

de la segunda derivada f ′′(xo) para el analisis de puntosque se conoce de los cursos basicos de matematicas.

5 En el caso de varias variables, los terminos cuadraticossalen de la formula

1

2xT ·Hf (P) · x

donde x es el vector columna con las variables y Hf (P) esla Matriz Hessiana de la funcion evaluada en el punto Pque se desea analizar. (La matriz de las segundasderivadas parciales)

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6 Si la funcion a analizar tiene segundas derivadas parcialescontinuas, se cumple el Teorema de Clairaut: que dice quelas parciales cruzadas son iguales:

∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi

(symmetry of second derivatives; equality of mixedpartials)

7 Por ello es que: si la funcion a analizar tiene segundasderivadas parciales continuas, entonces la matriz hessianaevaluada en cualquier punto es una matriz simetrica.

8 El resultado mas importante sobre matrices simetricasconocido dice que no solo tiene todos sus valores propiosREALES y son diagonalizables, si no que es posibleescoger una base formada con vectores propios ortogonalesentre si. Esto da una factorizacion de la forma:

A = P ·D · PT

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9 Si la funcion a analizar tiene segundas derivadas parcialescontinuas, los terminos cuadraticos salen de:

1

2xT ·Hf (P) · x =

1

2xT · P ·D · PT · x

si hacemos y = PT · x (ası yT = xT · P), lo anterior queda

1

2xT ·Hf (P) · x =

1

2yT ·D · y =

1

2

n∑i=1

λi · y2i

por lo tanto, si . . .• todos los valores propios λi de la matriz Hessiana Hf (P)

en el punto son > 0, entonces el paraboloide se abre haciaarriba; y entonces el punto crıtico P corresponde a unmınimo local;

• todos los valores propios λi de la matriz Hessiana Hf (P)en el punto son < 0, entonces el paraboloide se abre haciaabajo; y entonces el punto crıtico P corresponde a unmaximo local;

• si hay por lo menos un valor λi1 > 0 y por lo menos otroλi2 < 0, entonces el punto corresponde a un punto silla.

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Campo de gradientes con curvas de nivel (En rojo los puntoscrıticos) y grafica en 3D del ejemplo de la calculadora.

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Siguiendo con el ejemplo anterior graficas en una vecindad delos puntos:

puntos = {(−1, 2), (−2, 4), (−2, 0), (−8/3, 2)};

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