Optimizacion de Problemas Multiobjetivo deIngenierıa Civil con jMetal

Antonio J. Nebro Gustavo R. Zavala Juan J. Durillo Francisco Luna

Resumen— Este artıculo describe el uso del fra-mework de optimizacion multiobjetivo jMetal paraafrontar la resolucion de problemas de ingenierıa ci-vil; en particular, lo que se ha hecho ha sido integrarun software Open Source para el diseno de estructu-ras, denominado Ebes, con jMetal. De esta forma losingenieros civiles tienen a su disposicion una herra-mienta que les permite disenar estructuras que luegopueden ser optimizadas con metaheurısticas multiob-jetivo atendiendo a varios criterios, como minimizar elpeso y minimizar la deformacion. Por otro lado, estetipo de problemas pueden ser objeto de estudios porparte de investigadores del area de las metaheurısti-cas, que pueden usarlos como casos de estudio. Traspresentar tanto jMetal como Ebes, se detalla la in-tegracion de ambas herramientas, se presentan trescasos de estudio y se proponen algunas lıneas abier-tas de investigacion.

Palabras clave—Optimizacion Multiobjetivo, Disenode Estructuras, Framework de Optimizacion

I. Introduccion

El framework de optimizacion multiobjetivo jMe-tal [1] es una de las herramientas software mas usa-das dentro de la comunidad de investigadores in-teresados en problemas de optimizacion multiobje-tivo [2]. Estos problemas se caracterizan por estarcompuestos por dos o mas funciones contrapuestasa optimizar a la vez, de forma que una mejora enuna funcion implica un empeoramiento de las otras.El framework proporciona una cantidad destacablede algoritmos, operadores y problemas, siendo estosprincipalmente problemas sinteticos, por lo que pre-sentan un interes en la practica muy reducido. Es-tos problemas incluyen la mayor parte los bancos deprueba mas usados, como los ZDT [3], DTLZ [4],WFG [5] y la competicion del CEC2009 [6].

Un motivo por el que jMetal es ampliamente usadoes su diseno, que se basa en una arquitectura orienta-da a objetos donde cada entidad (algoritmo, opera-dor, codificacion, problema) esta claramente defini-da, ası como las relaciones entre ellas. Otras razonesson su implementacion en Java, el ser codigo abier-to, la atencion prestada a la calidad del codigo y ladocumentacion disponible.

En este trabajo presentamos como jMetal se haintegrado con una herramienta del campo de la in-

Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computacion.Universidad de Malaga. E-mail: antonio@lcc.uma.es

Khaos Research Group. Universidad de Malaga. E-mail:grz@lcc.uma.es

Institute of Computer Science. University of Innsbruck. E-mail: juan@dps.uibk.ac.at

Departamento de Sistemas Informaticos y Telematicos,Centro Universitario de Merida. Universidad de Extremadura.E-mail: fluna@unex.es

genierıa civil, que tiene la particularidad de no estarhecha en Java, sino en otro lenguaje (Visual Basic.Net). Dicha herramienta, denominada Ebes (de “Es-tructuras de barras espaciales”), es un proyecto deGustavo R. Zavala que permite disenar estructuras2D y 3D compuestas de barras de distinto tipo (cir-culares, en forma de I, etc.) y de distinto material(acero, madera, etc.). Ejemplos de estas estructurasson puentes atirantados, naves industriales, gruas,etc.

Para situar el contexto del artıculo vamos a enu-merar los pasos a seguir para conseguir un disenooptimizado de una estructura de barras: primero sedisena el esquema de la estructura; segundo, se de-fine el problema de optimizacion multiobjetivo co-rrespondiente (indicando los objetivos a optimizar,tıpicamente reducir peso y aumentar la robustez);tercero, se aplica una tecnica de optimizacion (me-taheurıstica multiobjetivo en nuestro caso); cuarto,se visualiza la aproximacion al frente de Pareto conlas soluciones obtenidas; por ultimo, se analizan di-chas soluciones y se elige una de ellas.

Por lo que sabemos no existe ninguna herramientaque permita realizar todas estas tareas de forma in-tegrada, y menos aun proporcionando metaheurısti-cas multiobjetivo para usarlas en el proceso. Estonos ha llevado a desarrollar un software, llamadoEbes+jMetal, para cubrir esta carencia [7]. En elpresente artıculo no nos vamos a centrar en la pers-pectiva desde el punto de vista del ingeniero civilsino en la del investigador en metaheurısticas multi-objetivo. En un survey que realizamos sobre la apli-cacion de este tipo de tecnicas a problemas de disenoestructural [8], tras analizar 51 artıculos se llego ala conclusion de que en la mayor parte de los es-tudios se han usado sobre todo algoritmos evoluti-vos, principalmente NSGA-II [9] y en menor medidaSPEA2 [10], siendo la utilizacion de otras tecnicas(PSO, busqueda tabu, etc.) muy marginal. Por tan-to, se puede afirmar que el desarrollo de algoritmosmultiobjetivo para resolver estos problemas es uncampo abierto, en el que se podrıan realizar muchosestudios si se dispusiese de problemas reales que sepudiesen usar facilmente. Uno de los objetivos denuestro trabajo se centra en este punto.

El resto del artıculo se estructura de la siguienteforma. En la seccion II se presenta el tipo de pro-blemas de diseno estrutural que se abordan en estetrabajo. La seccion IV se dedica a describir las he-rramientas software Ebes y jMetal. La siguiente sec-cion detalla la integracion de dichas herramientas.

Fig. 1. Diseno de una nave industrial con el software Ebes.

En la seccion V se analizan tres casos de estudio yse dan ideas sobre lıneas de investigacion abiertas.Por ultimo, la seccion VI presenta las conclusionesdel artıculo.

II. Problemas de Diseno de Estructuras

Para ilustrar el tipo de problemas que estamosconsiderando tomemos como ejemplo la Fig. 1. Me-diante una herramienta de diseno (Ebes en nuestrocaso) se puede hacer un diseno de una estructura,como la nave industrial que se muestra. La nave tie-ne unas dimensiones prefijadas, y esta compuestapor una serie de barras o elementos longitudinalesque estan unidas entre sı a traves de unos nudos. Eldiseno debe cumplir una serie de restricciones paraque, por ejemplo, la nave no se colapse por elegirelementos con tamanos insuficientes.

Fig. 2. Tipos de barras y representacion de las variables.

1 2 3 4 5 6 7 ……8 9 N

4 41

y

z

ty

tzD

y

z

ty

tz …… NShape

Variables

Position

y z ty tz D …… Ny z ty tz

Existen varios tipos de barras, como se muestraen la Fig. 2, cado uno de los cuales tiene diferentesdimensiones. Ası, una barra circular esta caracteriza-da por su diametro, mientras que la que tiene formade I tiene cuatro medidas. El problema de optimi-zacion se puede formular de forma informal comodeterminar cuales son las dimensiones adecuadas detodas las barras que componen la estructura de for-

ma que se satisfagan las restricciones del problemay se satisfagan algunos criterios. Entre estos vamosa considerar dos: minimizar el peso de la estructu-ra (para abaratar el coste de construccion) y mini-mizar la deformacion de la misma en determinadospuntos (para aumentar su robustez). Estos objetivosson contrapuestos, luego se trata de un problema deoptimizacion multiobjetivo (bi-objetivo en particu-lar).

La Fig. 2 muestra como serıa la representacionde los individuos en vistas a usar una tecnica me-taheurıstica. Se trata de un problema de optimiza-cion continua, donde el conjunto de variables estaracompuesto por los valores que caracterizan a todaslas barras de la estructura. La complejidad del pro-blema vendra dada por el numero de barras y por lostipos de las mismas (por ejemplo, la barras circularesson mas simples que el resto).

Hay que resenar que existen otros tipos de pro-blemas de diseno de estructuras. En el survey [8] sepropuso la siguiente clasificacion:1. Diseno de barras o elementos

Optimizacion de area (1.y)Optimizacion de tamano (2.y)Optimizacion de forma (3.y)Optimizacion de la topologıa de las secciones

transversales (4.x)2. Diseno de topologıa

Sin optimizacion (x.1)Optimizacion discreta (x.2)Optimizacion continua (3)

Dado que ambas clasificaciones no son excluyen-tes, se usa la notacion (x.y) asociada a cada tipo,donde la x representa el tipo de diseno de barras(por lo que puede tomar, por tanto, valores entre 1y 4) y la y el tipo de diseno topologico (pudiendotomar los valores 1 y 2). La excepcion es el caso (3),

Fig. 3. Variantes de problemas de diseno de barras: (1) Areasin tamano, (2) tamano, (3) forma, and (4) topologıa dela seccion transversal

(1) (2)

(3) (4)

ya que aquı se optimiza toda la estructura.

En la Fig. 3 se ilustran los tipos de poblemas delprimer grupo.

Los problemas que aquı se consideran pertenecena la categorıa (2.1), es decir, se busca optimizar eltamano de las barras de la estructura, sin optimiza-cion de la topologıa de la misma, ya que esta se hadefinido previamente.

III. Descripcion de las Herramientas

En esta seccion se describen las dos herramientassoftware, Ebes y jMetal, que se han usado en estetrabajo.

A. Ebes

Ebes es una aplicacion escrita en Visual Basic .Netque esta enfocada al diseno, calculo y analisis de es-tructuras de barras, tanto 2D como 3D. Tiene unainterfaz grafica (como se aprecia en la Fig. 1) queofrece diferentes formas de visualizacion (escalado,desplazamiento, etc), permite la edicion de nodos ybarras, y muestra los datos de las estructuras (geo-metrıa, carga de nodos, carga de barras, agrupacio-nes de barras, etc.). Las capacidades de solucionde Ebes tambien incluyen la relacion elastica en-tre tension-deformacion para los materiales, el efecto

Fig. 4. Contenido de un fichero “.ebe”.* EBEsGENERAL DATAName: Mobile_Bridge_25N_35B_8G_16OrdZXYDescription: units of measure MN, m, MPa, MN/m3Amount of NODES: 25Amount of SUPPORTS: 4Amount of ELEMENTS GROUPS: 8Amount of ELEMENTS: 35Groups of element same ELASTICITY: 2Groups of element same SECTION: 8Groups of element same INERTIA in Z axis: 8Total load HYPOTHESIS: 1Hypothesis COMBINATION of LOADS: 0WEIGHT OWN OF ELEMENTS: TrueSTATIC OVERLOAD in elements: 28STATIC LOAD in nodes: 0LOAD for FREE FALL in node: 0DISPLACEMENTS amount in nodes: 0ASSEMBLY ERROR: 0MAXIMUM DISPLACEMENTS to Nodes: 20CUTTING Effect: FalseSECOND ORDER: FalseBUCKLING Check: TruePrecision for EQUILIBRIUM of FORCES: 0.01Precision for EQUILIBRIUM of MOMENTUMS: 0.01NODES0 0 0 0 111000 0 0 0 0 0 01 3 0 0 111000 0 0 0 0 0 02 3 3 0 000000 0 0 0 0 0 03 4 0.05 0 000000 0 0 0 0 0 04 5 0.1 0 000000 0 0 0 0 0 05 6 0.125 0 000000 0 0 0 0 0 06 7 0.15 0 000000 0 0 0 0 0 07 8 0.175 0 000000 0 0 0 0 0 0

de segundo orden no-lineal geometrico y la verifica-cion al pandeo en elementos comprimidos o flexo-comprimidos.

Una vez que una estructura se ha disenado, el re-sultado se puede almacenar en un fichero de texto(con extension “.ebe”). La mayorıa de los datos se al-macenan como pares (clave: valor), excepto aquellosrelacionados a los nodos, grupos y barras (elemen-tos), que se incluyen de forma tabular. Un ejemplose muestra en la Fig. 4.

B. jMetal

jMetal es un framework de optimizacion multi-objetivo con metaheurısticas implementado en Ja-va [1]. El proyecto jMetal comenzo en 2006, cuandoel analisis de los paquetes de optimizacion multiob-jetivo existentes mostro que ninguno cumplıa unaseria de requisitos basicos, siendo los principales queofreciesen una arquitectura orientada a objetos quefuese extensible y facil de usar, y que los programastuvienen un mınimo de calidad para facilitar su com-prension. Desde entonces jMetal se ha convertido enuna de las herramientas mas usadas por la comuni-dad de optimizacion multiobjetivo.

Las principales caracterısticas de jMetal se inclu-yen en la siguiente lista:

Algoritmos: 20 multiobjetivo y 4 monoobjetivo.Problemas: 5 benchmarks (ZDT, DTLZ, WFG,

LZ09, CEC2009), problemas clasicos (5), con restric-ciones (6), combinatorios (2).

Indicadores de calidad: hypervolume, spread, ge-nerational distance, inverted generational distance,additive epsilon.

Fig. 5. Arquitectura de jMetal.

Crossover

+setParameter(): void+getParameter(): Object+execute(object: Object):Object

# parameters_ : HastTableOperator

Mutation

Selection

+addOperator(): void+getOperator(): Object+setInputParameter(name: String, object: Object): void+getInputParameter(): Object+setOutputParameter(): void+getOutputParameter(name: String, object: Object): Object+execute(): SolutionSet

# parameters_ : HastTableAlgorithm

*

contains

+evaluate(solution: Solution): void+evaluateConstraints(solution: Solution): void

Problem

solve

+createVariables(): Variable []- size: int

SolutionType

+add(): void+remove(): void+size(): int+replace(): void

SolutionSet

-fitness: double[]

Solution

1..*manage

has

+getEvaluations(): int

LocalSearch

*

Variable1..*

consist of

defines

determines

-value: double

Real

-bits: BitSet

Binary

-bits: BitSet-value: double

BinaryReal

Schaffer

Kursawe

ZDT1

DTLZ2

WFG3

NSGAII

SPEA2

PAES

AbYSS

MOEAD

IBEA

MOCell

SMPSO

SinglePointCrossover

PolynomialMutation

BinaryTournament

SBXCrossover

Codificaciones: binaria, real, real codificada en bi-nario, entera, permutacion.

La arquitectura de jMetal se muestra en la Fig. 5,en la que se incluye el diagrama de clases en UML. Esuna arquitectura orientada a objetos que es flexibley extensible, siendo facil el anadir nuevos algoritmos,codificaciones, operadores y problemas.

IV. Integracion de Ebes y jMetal

Dado que Ebes y jMetal son dos sistemas indepen-dientes, que pertenecen a disciplinas distintas y queestan implementados en lenguajes de programaciondiferentes, combinarlos planteaba una serie de retos.

La solucion adoptada se baso en usar ficheros detexto para interconectar los dos componentes. Enconcreto, dado que los disenos de Ebes se almace-nan en ficheros “.ebe”, la idea fue hacer que jMetalfuese capaz de leer este tipo de ficheros. Sin embargo,para computar los valores de las funciones objetivoshacıa falta el metodo de calculo que estaba incluıdoen Ebes, por lo que se opto por traducir ese codigo aJava e incluirlo en jMetal en forma de problema (lla-mado Ebes.java). Como resultado, dicho problemaes con diferencia el mas complejo que incluye el fra-mework, conteniendo mas de 3000 lıneas de codigo.

Una vez que se disponıa del problema se podıausar cualquiera de los algoritmos de optimizacioncontinua que existen en jMetal. Para facilitar la elec-cion de la metaheurıstica, Ebes se extendio para po-

der elegir un algoritmo de entre los disponibles y asıpoder invocarlo. Este proceso se llevo a cabo me-diante la ejecucion de un fichero .jar que contiene elframework jMetal completo. La Fig. 6 muestra unacaptura de la ejecucion del algoritmo MOCell, quese ha seleccionado para optimizar el diseno de unpuente levadizo.

La ejecucion de una metaheurıstica multiobjetivodevuelve una aproximacion al frente del Pareto delproblema en forma de dos ficheros de texto: uno quealmacena los valores de variables y otro que alma-cena los correspondientes valores de las funciones.Ambos ficheros contienen tantas lıneas como solu-ciones devueltas por el algoritmo. El ultimo paso dela integracion consistio en hacer que Ebes pudieseleer esos ficheros y mostrar los frentes para que elingeniero civil pudiese elegir las soluciones apropia-das. Este paso requirio ademas que los valores de lassoluciones seleccionadas se incorporasen a la estruc-tura para ası poder disponer del diseno optimizado.

En la Fig. 7 se muestra un frente de solucionesobtenido con jMetal importado en Ebes. La inter-faz grafica permite seleccionar cualquier solucion delfrente, mostrar los valores de cada variable del pro-blema y pasar esas variables a las barras. Este proce-so aporta las medidas de la forma geometrica de ca-da seccion de las barras, definiendo el volumen de lasmismas. Con la seleccion de los datos se determinanautomaticamente las caracterısticas fısicas para cada

Fig. 6. Ejecucion de una metaheurıstica en Ebes+jMetal.

Fig. 7. Analisis de un frente de soluciones en Ebes.

tipo de seccion, siendo estas area, inercia, momentoestatico, etc. Con las variables junto a otros datosdefinidos previamente se obtiene un diseno tentativocompleto de la estructura.

El resultado final es una herramienta Open Sourcedenominada Ebes+jMetal, a la que se puede accedera traves un sitio Web1, que contiene enlaces al codigofuente, un ejemplo de utilizacion y los frentes apro-

1http://ebesjmetal.sourceforge.net

ximados de Pareto de varios problemas.

Para finalizar esta seccion, la Fig. 8 muestra unejemplo tıpico de aproximacion al frente de Pareto ytres instancias concretas. Se observa claramente queel grosor de las estructuras cambia segun las solu-ciones se obtienen hacia la parte derecha del frente.En este punto serıa el experto en el problema (el in-geniero civil) el que debera tomar la decision acercade que solucion sera la mas adecuada.

Fig. 8. Ejemplo de aproximacion al frente de Pareto.

V. Consideraciones Practicas Sobre elProceso de Optimizacion

El uso de Ebes+jMetal involucra las dos etapasde un proceso de optimizacion completo: la optimi-zacion en sı y la toma de decisiones. Mientras que lasegunda fase esta claramente en manos del expertodel problema, la primera involucra a los investiga-dores en metaheurısticas. Desde el punto de vistade estos ultimos hay mucho que aportar dentro delambito en el que se desarrolla el presente trabajo.Los problemas considerados estan lejos de ser trivia-les y su optimizacion no es nada sencilla, y este esun tema que queda lejos de los ingenieros civiles, quegeneralmente no seran expertos en metaheurısticas.

Si prestamos atencion a la Fig. 6 podemos obser-var que existen mas de 20 tecnicas multiobjetivo enjMetal que se puede seleccionar para ser aplicadasen Ebes, luego estudiar que algoritmo es el mas pro-metedor para resolver un problema dado es temaabierto, como lo es determinar cuales son las mejo-res configuraciones de los mismos.

Un aspecto practico a considerar es que la optimi-zacion de los problemas se puede hacer sin la integra-cion con Ebes; basta con tener el fichero “.ebe” quedescriba la estructura para poder proceder como sifuera un problema mas. Como consecuencia, no ha-ce falta la intervencion del experto en el problemay el fin a perseguir sera obtener aproximaciones alos frentes de Pareto de los problemas de diseno quesean lo mas precisos posible, atendiendo a los ya es-tablecidos criterios de convergencia y diversidad. Esdecir, se podrıan usar los problemas de diseno estruc-tural a modo de benchmark real para aplicar en ellosnuevos avances en metaheurısticas multi-objetivo.

Otro tema a tener en cuenta es el coste compu-tacional para evaluar las funciones objetivo. Es ob-vio que tiempo de calculo dependera del numero ytipo de las barras. Para dar una idea concreta sobreel orden de magnitud de dicho coste vamos a con-siderar tres ejemplos, que se corresponden con tresdisenos de distinto tamano de un puente atirantado(cable-stayed bridge).

A. Puente 25N 35B

El puente que se muestra en la Fig. 9 puede con-siderarse como una estructura relativamente simple.Esta compuesto de 25 nodos y 35 barras, por lo quelo denominamos como puente 25N 35B. Tiene doscolumnas que soportan parte del peso del tablero detransito, y el resto del peso es soportado por los ca-bles anclados detras de las columnas. La longitud delpuente es de 9 metros.

Fig. 9. Puente 25N 35B.

Si se configura el algoritmo NSGA-II para hacer150.000 evaluaciones el tiempo de ejecucion esta entorno a seis minutos en un MacBook Pro con proce-sador Intel Core i7 a 2.2GHz, 8GB de RAM (DDR3a 1333MHz), disco SSD de 256GB, sistema operati-vo MacOS X 10.9.2 y Java JDK version 1.8.0. Estetiempo no es muy elevado y permitirıa hacer un es-tudio que involucrase a varios algoritmos sin la ne-cesidad de muchos recursos computacionales.

La Fig. 10 resume los resultados obtenidos al ha-cer una comparativa que involucra a siete algoritmosrepresentativos; se muestran los boxplots de los va-lores del indicador de calidad Hypervolume [11] so-bre 30 ejecuciones independientes de cada algoritmo.Ademas hemos podido hacer un estudio de parame-tros para ajustar los algoritmos, pero para ello hemostenido que usar un cluster de mas de 400 cores paraterminar todas las pruebas en un par dias, dado elelevado numero de combinaciones de valores de losparametros que se tuvo en cuenta.

B. Puente 133N 221B

El puente de la Fig. 11, denominado puente133N 221B, se caracteriza por tener 133 nodos y221 barras y una lontigud total de 44 metros. Dadala simetrıa del puente, para simplificar su optimiza-cion se ha considerado la mitad del mismo.

El tiempo requerido para ejecutar NSGA-II en es-te caso asciende a 4,4 horas en el mismo ordenadorusado en el puente anterior. Es un tiempo bastan-te elevado que practicamente obliga a hacer uso deun sistema paralelo si se quiere hacer un estudio convarios algoritmos.

C. Puente 837N 1584B

El puente de mayor tamano que hemos optimizadose muestra en la Fig. 12. Tiene 837 nodos, 1584 ba-

Fig. 10. Comparativa sobre el puente 25N 35B.

NSGAII PAES MOCell FastSMSEMOA cMOEAD SMPSO GDE3

0.5

50.6

00.6

50.7

00.7

50.8

00.8

5

HV:EBEs

Fig. 11. Puente 133N 221B.

rras y una longitud total de 162 metros. Para dar unaidea de la complejidad de este problema, en nuestrocaso fue necesario usar el cluster anterior para podercompletar una ejecucion del algoritmo NSGA-II enunas 10 horas.

Fig. 12. Puente 837N 1584B.

Longitudinal view

Aereal view

Perspective

Transversal

view

Este puente, junto con el anterior, fue sujeto deestudio en el artıculo [12].

D. Discusion

Los tres puente comentados dan una idea aproxi-mada de posibles vıas de investigacion. En el caso dela instancia mas pequena, en la que hacer una eje-cucion aislada tiene un coste computacional relativa-

mente bajo, hacer un estudio experimental tıpico queinvolucre a varios algoritmos puede requerir usar uncluster de al menos algunas decenas de maquinas pa-ra tener los resultados en un tiempo razonable. En elcaso de la instancia mediana ya estarıamos hablandode necesitar algunos cientos de maquinas para hacerun estudio similar, y si se intentan abordar proble-mas como el puente de mayor tamano entonces usarun elevado numero de procesadores es poco menosque obligatorio para hacer una unica ejecucion.

Parece claro que, por un lado, estudiar que algorit-mos son mas eficaces para problemas de dimemsionreducida o media tendrıa mucha utilidad para losingenieros civiles, que tendrıan al menos una orien-tacion sobre que tecnicas serıan los mas promete-doras para resolver un problema concreto. En estesentido tambien serıa de interes determinar que con-figuracion de parametros proporcionarıa los mejoresresultados a un algoritmo determinado.

Por otro lado, dado que el coste de evaluar lasfunciones objetivo puede ser considerable, reducir elnumero de estas para proporcionar resultados acep-tables al ingeniero civil en el menor tiempo posibletambien serıa un avance importante. Aplicar tecni-cas de busqueda local podrıa ser un estrategia a con-siderar aquı, ası como el uso adaptativo de diferen-tes operadores de variacion durante el proceso debusqueda.

Por ultimo, disenar metaheurısticas que saquenpartido de conocimiento del problema, probablemen-te definiendo operadores especıficos, serıa un avancesignificativo en este area.

VI. Conclusiones

En este artıculo hemos presentado la integraciondel framework de optimizacion multiobjetivo jMe-tal con un software de diseno de estructuras civilesdenominado Ebes. El resultado es una herramientaque permite al ingeniero civil utilizar los algoritmosincorporados en jMetal de forma que los frentes re-sultantes se pueden analizar con Ebes y ası poderanalizar las soluciones de compromiso obtenidas ypoder elegir la que mas se ajuste a las necesidades oa los requisitos que se hayan establecido.

Los problemas de ingenierıa que se pueden abor-dar son problemas de diseno estructural, en los quela topologıa ya esta de definida y se trata de determi-nar las dimensiones de cada barra para minimizar elpeso y la deformacion de la construccion resultante.Mediante Ebes+jMetal se pueden abordar las dis-tintas etapas que hay que llevar a cabo, empezandopor el diseno inicial, siguiendo por el proceso de op-timizacion y terminando por la toma de decisionespor parte del experto en el dominio.

Dado que el proceso de optimizacion no requierenecesariamente el uso de Ebes se pueden realizar es-tudios de optimizacion usando unicamente jMetal, loque abre muchas posibilidades a investigadores quetrabajen en el campo de la optimizacion multiobjeti-

vo con metaheurısticas. Para ilustrar las dificultadescomputacionales que se pueden presentar a la horade resolver estos problemas se han tomado tres ins-tancias de distinta complejidad y se han ofrecido lostiempos obtenidos al resolverlos con un ordenadorconcreto.

En base a estos ejemplos se han presentado algu-nas ideas sobre temas abiertos que se pueden aplicara los problemas de diseno estructural, lo que darıalugar a resultados de gran interes en ese dominio.En el estado del arte actual la presentacion de nue-vas propuestas algorımicas enfocadas a resolver estosproblemas de forma eficiente es un campo por explo-rar.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado por los proyectosTIN2011-25840 (Ministerio de Ciencia e Innovacion)y P11- TIC-7529 and P12-TIC-1519 (Plan Andaluzde Investigacion, Desarrollo e Innovacion).

Referencias

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