Optimiranje nosilnih...
Transcript of Optimiranje nosilnih...
1
1
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za strojništvo
KKTS – Katedra za konstruiranje in transportne sisteme
LASOK – Laboratorij za transportne naprave in sisteme
ter nosilne strojne konstrukcije
Optimiranje nosilnih konstrukcij
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.
Govorilne ure:
• pisarna: FS - 414
• telefon: 01/4771-414
(Tema/Subject: ONK - ...)
Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str.
2
Obseg predmeta (5 ECTS):
• predavanja: 30 ur;
• seminar: 0 ur;
• vaje: 30 ur.
Obveznosti:
• inskripcija/frekvenca (prisotnost);
• teorija: izpit/kolokvij (pozitivno > 50%);
• vaje: delo na vajah/domače delo/seminarska naloga (po skupinah).
Vsak se mora sam prijaviti/odjaviti na/z izpit/a.
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
3
Gradivo za študente (prosojnice s predavanj):
• http://lab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/
• http://www.fs.uni-lj.si/lasok/
� Gradivo FS
� Optimiranje nosilnih konstrukcij (RR).
Geslo za odpiranje študijskega gradiva!
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
4
3
LITERATURA
1. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; Second edition;
Elsevier Academic Press, Amsterdam, ... , 2004.
2. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; McGraw-Hill Book
Company, New York, ... , 1989.
3. Singiresu S. Rao: Engineering Optimization, Theory and Practise; John
Wiley & Sons, New York, ... , 1996.
4. JozsefFarkas, Karoly Jarmai: Analysis and Optimum Design of Metal
Structures; Balkema, Rotterdam; 1997.
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
5
LITERATURA
5. Y.M. Xie and G.P.Steven: Evolutionary Structural Optimization; Springer-
Verlag 1997.
6. A.A. Seireg, J. Rodriguez: Optimizing the Shape of Mechanical
Elements and Structures; Marcel Dekker; 1997.
7. Helical Springs; Engineering Design Guides; prepared by The Spring
Research Association; Oxford University Press, 1974.
8. Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer-
Verlag, 1986.
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
6
4
Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo
KKTS - LASOK
Optimiranje nosilnih konstrukcij
Osnovni cilj predmeta:
približati metode optimiranja inženirski praksi.
Obravnavani so praktični primeri:
- ki jih je mogoče matematično korektno popisati
- in je njihovo reševanje relativno enostavno.
V teoretskem smislu je snov naslonjena na literaturo
Arora: Introduction to optimum desig [1],
obseg pa prilagojen razpoložljivemu številu ur.
Predstavljeni so tudi ustrezni pripadajoči postopki konstruiranja.
7
8
Uvod
Strojništvo (samostojno ali interdisciplinarno)
pokriva široko paleto izdelkov kot so:
• orodja, stroji, naprave (tudi transportne),
• vozila: cestna, tirnična,
• plovila: vodna, zračna, vesoljska,
• medicinski aparati in naprave, inštrumenti,
• gradbeni elementi,
• procesna oprema,
• pretvorniki energije,
• elementi informatike,
• ...
5
V želji po konkurenčnejših izdelkih (↑kvaliteta, ↓cena, ↓masa, ...) se
stalno razvija tudi
inženirska optimizacija izdelkov - iskanje najboljšega rezultata ob
danih okoliščinah.
Pri snovanju, izdelavi in vzdrževanju inženirskega izdelka ali
tehniškega sistema se je potrebno neprestano odločati o:
• tehniških vidikih
• estetskih, ekonomskih, ergonomskih, varnostnih, ... vidikih.
Skrajni cilj takih odločitev je minimizirati nastopajoče stroške ali
maksimirati dobiček.
Večina odločitev je vezanih na merljive veličine (zvezne ali
diskretne), katerih učinek je možno izraziti v matematični obliki.
9
• Ožje področje: Razvoja novega serijskega izdelka
Niz prepletenih aktivnosti:
• zasnova, razne analize, (sprememba zasnove), (ponovne analize),
• konstruiranje,
• izdelava prototipa, preskušanje,
• sprememba detajlov ali sprememba zasnove, ponovne analize,
• popravek prototipa ali nov prototip, ponovno preskušanje,
• ...
ki vsebuje tudi elemente optimiranja.
Nove generacije obstoječega serijskega izdelka
• morajo imeti vse boljše funkcionalne lastnosti,
• ob hkratnih poenostavitvah (pocenitvah).
Spet je potrebno optimiranje.
10
6
• Ožje področje: razvoja individualnega izdelka
Individualno snovanje:
• izdelek za znanega kupca (naročilo),
• brez prototipa,
• v tekmi s konkurenco se uporablja optimizacijske postopke.
Vrste optimiranja pri snovanju izdelka:
• klasično snovanje: k optimumu po intuiciji – postopoma;
• matematično podprto optimalno snovanje:
k optimumu z analitičnimi in numeričnimi matematičnimi
sredstvi – iterativno;
• interaktivno optimalno snovanje:
k optimumu izmenično intuitivno in z matematičnimi sredstvi
11
12
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)
V procesu razvoja je potrebno izdelek presojati
(zgolj tehnično ali tudi ekonomsko, ...).
Presoja se lahko vrši s tehtanjem:
• enega
• ali več merljivih parametrov.
7
13
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)
Primeri merljivih parametrov:
• izpolnjevanje funkcionalnih zahtev;
• količina vgrajenega gradiva (maso);
• lastna cena izdelka (cena gradiva, energije, dela, ...);
• stroški izdelka v življenjski dobi (nabavna cena + cena
obratovanja + cena vzdrževanja);
• raba energije (npr. pogonske enote);
• izguba toplote skozi stene;
• torne izgube;
• izkoristek.
14
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)
Za presojo se ustvari cenilno funkcijo, ki zajame vse opazovane
parametre z ustreznimi utežmi (ponderji) glede na njihovo
pomembnost za določen cilj.
Upoštevani parametri morajo biti zapisani z ustreznimi
matematičnimi izrazi.
Nosilne konstrukcije se optimira predvsem glede na:
• funkcionalnost,
• maso,
• lastno ceno,
• stroške v življenjski dobi.
8
15
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables)
Vsaka konstrukcija vsebuje eno ali več komponent.
Vsaka komponenta je lahko (glede na zasnovo) popisana z več
spremenljivkami, ki enoznačno določajo njeno obliko.
Poleg popisa oblike ima lahko tudi druge spremenljivke, npr.
vrsta gradiva ali vrsta polizdelka.
16
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables)
Spremenljivke so lahko:
• zvezne spremenljivke (geometrijske mere);
• nezvezne (diskretne) spremenljivke:
− število ojačilnih reber,
− vrsta gradiva,
− način izdelave,
− ... .
Vse navedene spremenljivke, ki enoznačno popišejo potrebne
lastnosti konstrukcije v procesu optimiranja, so konstrukcijske
spremenljivke.
9
17
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske spremenljivke (design variables)
Isto komponento lahko enoznačno popišemo z različnimi nizi
konstrukcijskih spremenljivk:
Opredelitev oblike prečnega preseka pravokotne cevi:
a) s spremenljivkami b, d in t,
b) s spremenljivkami bsr, dsr in t.
18
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)
Vsak izdelek mora izpolniti niz zahtev in se podvreči mnogim
omejitvam. Omejitve se uvršča v več skupin:
I) Glede na matematično formo:
• Enakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih
spremenljivk povezanih v enakostni pogoj (=).
• Neenakostne omejitve - ena ali več konstrukcijskih
spremenljivk povezanih v neenakostni kriterij (<, ≤)
(večina inženirskih nalog ima več neenakostnih omejitev).
10
19
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)
II) Glede na linearnost:
• Linearne omejitve - konstrukcijske spremenljivke nastopajo
v linearni povezavi.
• Nelinearne omejitve - konstrukcijske spremenljivke
nastopajo v nelinearni povezavi.
20
Osnovni izrazi in značilni primeri
Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)
III) Glede na eksplicitnost:
• Eksplicitna omejitev - posamezna konstr. sprem. v
omejitvenem smislu ni funkcijsko povezana z drugimi.
• Implicitna omejitev – konstr. spremenljivke so v
omejitvenem smislu funkcijsko implicitno povezane.
Vsaka konstrukcijska omejitev lahko zelo vpliva na položaj in
velikost optimuma, zato je potrebno njeno uporabo dobro
pretehtati in utemeljiti.
11
21
Osnovni izrazi in značilni primeri
Sprejemljiva izvedba (feasible design)
... nekega izdelka, konstrukcije ali sistema
... je tista izvedba,
... ki izpolnjuje vse postavljene zahteve (pogoje) in omejitve.
Če izvedba ne izpolnjuje ene ali večih zahtev oz. omejitev je to
nesprejemljiva izvedba (unfeasible design).
22
Osnovni izrazi in značilni primeri
Dovoljeno območje (feasible region)
... konstrukcijskih rešitev
... obsega vse nabore konstrukcijskih spremenljivk,
... kjer so izpolnjene vse zahteve (vsi pogoji) in vse omejitve.
Dovoljeno območje:
• je toliko dimenzionalno, kolikor je neodvisnih
konstrukcijskih spremenljivk.
• je omejeno z enakostnimi pogoji in neenakostnimi
omejitvami.
12
23
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer optimizacijske
naloge z eno neenakostno
omejitvijo:
ki določa dov. obm. kot
obod in ploščino kroga s
polmerom:
� � 9 � 3
Dovoljeno območje (feasible region)
24
Osnovni izrazi in značilni primeri
Opredelitev optimizacijske naloge (formulation of an
optimizing problem)
• ima zelo pomembno mesto v optimizacijskem procesu.
• potrebna je jasna in celovita besedilna opredelitev.
• potrebna je prevedba v matematično govorico:
• cenilna funkcija,
• enakostni pogoji,
• neenakostne omejitve.
13
25
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 1: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja
Besedilna opredelitev:
Izbrati je potrebno optimalno debelino izolacije, ki bo
minimizirala stroške vzdrževanja ohlajenosti vsebine
rezervoarja, ki so sestavljeni iz stroškov namestitve izolacije ter
stroškov obratovanja hladilne naprave. Upošteva naj se čas
obratovanja 10 let in 5 % letno obrestno mero za vložena
finančna sredstva. Polmer kroglastega rezervoarja r je znan.
26
Osnovni izrazi in značilni primeri
Matematična opredelitev:
� � 4��� ... površina kroglastega rezervoarja;
t .................. debelina izolacije
t << r .......... realna predpostavka
c1 (€/m3) ..... cena na enoto volumna nameščene izolacije
Prvi strošek je strošek namestitve izolacije:
� � ∙ � � ∙ � ∙ � 4� ∙ ��∙ � ∙
14
27
Osnovni izrazi in značilni primeri
Drugi strošek so toplotne izgube (izguba hladu) skozi izolacijo.
∆Θ [K]... temperaturna razlika
λ�
��... toplotna prevodnost
t [m] ... debelina izolacije
c2 [€/kWh] ... cena za enoto energije
Toplotni tok skozi steno ob predpostavki t << r je:
Letni strošek zaradi toplotnih izgub so:
28
Osnovni izrazi in značilni primeri
Tretji strošek je obratovalni strošek hladilne naprave:
• toplotne izgube skozi izolacijo (več, kot se je izgubi),
• amortizacija ter
• strošek vzdrževanja hladilne naprave.
c3 [€/kWh] ... dodaten strošek na kWh* nadoknadene energije.
* ... (kWh = 3,6 MJ)
15
29
Osnovni izrazi in značilni primeri
T=10 [let] ... celotna življenjska doba rezervoarja.
(T = 10 let·365 dni/leto·24 h/dan = 87.600 h)
o=0 ... obrestna mera - zaradi enostavnosti je časovni vpliv na
vrednost denarja zanemarjen .
Celoten strošek obratovanja znaša (cenilna funkcija):
a b
30
Osnovni izrazi in značilni primeri
Izgleda, kot da naloga nima nobenih pogojev in omejitev,
vendar lahko hitro ugotovimo, da dodatna omejitev obstaja:
• debelina izolacije: t ≥0;
• oziroma: Ker brez izolacije ohladitev vsebine rezervoarja na
želeno temperaturo sploh ni možna, je realna omejitev: t > 0;
• oziroma: Ker zelo tenkih izolativnih slojev ni mogoče
izdelovati in nameščati, je dejanska omejitev: t ≥ tmin.
Zaradi prostorske stiske se pogosto pojavlja tudi omejitev
debeline izolacije navzgor, kar ima običajno velik vpliv na lego
optimalne točke. Tedaj obstaja še dodatna omejitev: t ≤ tmax.
16
31
Osnovni izrazi in značilni primeri
Rešitev je pri konkretnih podatkih enostavna:
∙ � � � ∙ �� + �
� ∙ �� − ∙ � + � � 0
�,� � ± � − 4��
2�
pri pogoju: �,� ≥ ����
in/ali
pri pogoju: �,�≤����
32
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 1b: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja
Podano inženirsko nalogo je mogoče obravnavati tudi v
zahtevnejši obliki, ki je uporabna tudi za večje debeline
izolacije, kjer ne velja več predpostavka: t << r
Strošek namestitve izolacije se lahko zapiše s točnejšim
zapisom volumna izolacije:
� ∙ �
17
33
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 1b: Konstrukcija izolacije kroglastega rezervoarja
Toplotne izgube se zapiše z obrazcem, ki upošteva
debelostenskost izolacije in oba prestopnostna koeficienta:
α ... koeficient prestopa toplote z medija na steno posode,
α� ... koeficient prestopa toplote z izolacije na okoliški zrak,
λ ... koeficient toplotne prevodnosti izolacije,
� ... notranji premer izolacije = zunanji prem. rezervoarja = const.,
! ... zunanji premer izolacije = spremenljivka, ki se jo išče.
34
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 2:
Konstrukcija pločevinke za pivo prostornine 400 cm3
Besedilna opredelitev:
Optimirati je potrebno dimenzije pločevinke valjaste oblike,
katere dimezije so zaradi uporabnosti omejene na:
Globoki vlek – drago orodje.
Velike serije – cena orodja se lahko zanemari.
O rentabilnosti odloča predvsem poraba pločevine �
Optimira naj se poraba pločevine – debelina pločevine je znana
� poraba premo sorazmerna s površino pločevinke.
18
35
Osnovni izrazi in značilni primeri
Matematična opredelitev:
Konstrukcijski spremenljivki:
• višina pločevinke h [mm],
• premer pločevinke d [mm].
Cenilna funkcija (površina valja):
36
Osnovni izrazi in značilni primeri
Neenakostni omejitvi:
Enakostni pogoj:
Enakostni pogoj povezuje konstrukcijski spremenljivki h in d
� poenostavitev cenilne funkcije:
19
37
Osnovni izrazi in značilni primeri
Cenilna funkcija sedaj vsebuje le še
eno konstrukcijsko spremenljivko:
Kandidatne točko za optimum
se dobi z odvodom:
od koder sledi:
ter iz enačbe za višino:
Kandidatna točka je tik ob meji,
vendar znotraj dovoljenega področja
konstrukcijskih spremenljivk:
38
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Besedilna opredelitev:
Izdeluje se N=100 izdelkov/dan. Sestavljajo se iz ZA=8
komponent A, ZB=5 komp. B in ZC=15 komp. C. Za komp. A je
potrebnih 5 vijakov ali kovic, za B 6 vijakov ali kovic in za C
trije vijaki ali kovice.
Cena in vgradnja enega vijaka stane pri komp. A VA=0,70 €, pri
komp. B VB=1,0 € in pri komp. C VC=0,60 € in ene kovice pri
komp. A KA=0,60 €, pri komp. B KB=0,80 € in pri komp. C
KC=1,0 €.
Zmogljivost delavnice je NV=6000 vgrajenih vijakov in
NK=8000 vgrajenih kovic na dan. Koliko komp. naj bo
vijačenih in koliko kovičenih, da so stroški najmanjši?
20
39
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Matematična opredelitev:
Konstrukcijske spremenljivke:
x1 število vijačenih komponent A na dan
x2 število kovičenih komponent A na dan
x3 število vijačenih komponent B na dan
x4 število kovičenih komponent B na dan
x5 število vijačenih komponent C na dan
x6 število kovičenih komponent C na dan
40
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Matematična opredelitev:
Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):
Omejitve glede na dnevno potrebo po komponentah:
21
41
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Matematična opredelitev:
Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:
Vse konstrukcijske spremenljivke morajo biti nenegativne
(torej pozitivne ali enake nič):
42
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Pristop z drugega zornega kota.
Pojavi se estetska omejitev, da kupce motijo mešane vijačene in
kovičene komponente v istem izdelku.
Zaradi tega se postavi novo zahtevo, da so komponente samo
kovičene ali samo vijačene. V takem primeru zadostujeta samo
dve konstrukcijski spremenljivki:
x1 število izdelkov na dan z vijačenimi komponentami;
x2 število izdelkov na dan s kovičenimi komponentami.
22
43
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):
Enakostna omejitev:
Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:
44
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
oziroma:
in
Obe konstrukcijski spremenljivki morata biti nenegativni:
kar drži.
Kaj pa enakostna omejitev?
23
45
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Kaj pa enakostna omejitev (pogoj)?
52,17 � 69,57 � 121,74 & 100
Enakostno omejitev ni izpolnjena, zato dobljena rešitev ne leži
v dovoljenem območju.
Enakostno omejitev se uporabi za iskanje drugih kandidatnih
točk za optimum: za izračun pripadajoče druge konstrukcijske
spremenljivke ob znani (zaokroženi navzdol) prvi:
' � 52 → '� � 48
'� � 69 → ' � 31
46
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave
Optimum je na eni od mej ali pa imamo lahko izjemoma isto
rešitev povsod v intervalu:
Optimum je na gornji meji vijačenih izdelkov:
' � 52 * 52,17;
'� � 48 * 69,57.
24
47
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Besedilna opredelitev:
Dimenzionirati je potrebno steber višine h iz krožne valjaste
cevi polmerov rn in rz, ki je v tla vpet momentno skoraj
popolnoma togo, obremenjen s tlačno silo F na vrhu stebra.
Kriterij je najmanjšo porabo gradiva. Gradivo ima dopustno
napetost sdop in gostoto r.
48
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Opombe:
• uklonska dolžina za momentno popolnoma togo (konzolno)
vpetje bi bila: +, � 2+;
• uklonska dolžina za obravnavani primer je: +, = 2,2+;
• kadar se za dimenzioniranje uporabi neposredno Eulerjev
obrazec in se pričakuje relativna vitkost več kot 1, mora biti
faktor varnosti najmanj 2,5 (Krautov strojniški priročnik)
-. ≥ 2,5,
zato se pri optimiranju uporabi npr.:
-. = 2,5.
25
49
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Matematična opredelitev:
Konstrukcijski spremenljivki:
- notranji (rn) in zunanji (rz) polmer cevi.
Pomembni statični vrednosti sta:
- prerez cevi:
- upogibni vztrajnostni moment:
50
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Cenilna funkcija: masa cevi,
Brez upoštevanja vpetišča se jo zapiše:
Neenakostne omejitve:
- geometrijska zahteva:
- kriterij za čisto tlačno trdnost:
- ...
26
51
Osnovni izrazi in značilni primeri
Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka
Neenakostne omejitve:
- ...
- kriterij za centrično
uklonsko trdnost:
- kriterij za lokalno
izbočitveno trdnost:
Enakostnih pogojev v tem primeru ni.