Optimasi (Final)

ANALISIS OPTIMASI

Oleh

Muhiddin Sirat*)

BAB. I. PENDAHULUANDi tinjau dari segi ekonomi, sumber terjadinya masalah ekonomi yang dihadapi masyarakat berawal dari kebutuhan manusia yang tidak terbatas, dilain pihak sumber-sumber ekonomi sangat terbatas. Untuk menggunakan sumber-sumer ekonomi yang terbatas dalam usaha memenuhi kebutuhan manusia memerlukan pedoman dalam pengambilan keputusan. Pedoman yang dimaksud adalah teori ekonomi.

Teori ekonomi dalam banyak hal menjelaskan hubungan antara variabel ekonomi, sebagai contoh (1) hubungan antara pendapatan dengan jumlah pengeluaran untuk konsumsi, (2) hubungan antara harga suatu barang dengan jumlah barang yang diminta, (3) hubungan antara penerimaan dengan jumlah barang yang terjual, dan (4) hubungan antar variabel ekonomi lainnya.

Atas dasar teori ekonomi dapat disusun model ekonomi. Model ekonomi yang dimaksud adalah kerangka analisis tentang persoalan ekonomi dan hubungan-hubungan pokok antara variabel ekonomi.

Suatu model ekonomi hanya merupakan kerangka teoritis, dan tidak ada alasan yang menyatakan bahwa model ekonomi harus bersifat matematis, tetapi jika suatu model mempunyai bentuk matematis, biasanya terdiri dari himpunan-himpunan persamaan (set of quatuions). Penerapan persamaan dalam ekonomi, dibedakan tiga macam persamaan, yaitu : (1) definitional equation, (2) equilibirium condition, dan (3) behavioral equation.

Suatu definitional equation membentuk identitas yang disebut persamaan identitas, sebagai contoh keuntungan total (() adalah selisih antara penerimaan total (TR) dengan biaya total (TC), sehingga (() = TR TC.

Persamaan dalam kondisi keseimbangan (equilibrium conditions), adalah suatu persamaan yang menggambarkan prasyarat untuk pencapaian equalibrium, sebagai contoh (d = (s (jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan), dan S = I (tabungan yang diharapkan = investasi yang diharapkan).Behavioral equation menunjukkan perilaku suatu variabel sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel lainya. Hubungan fungsional antar variabel ekonomi lazim disebut fungsi. Suatu persamaan belum tentu fungsi, tetapi fungsi adalah sudah pasti bagian dari persamaan.

Variabel ekonomi dapat berdiri sendiri, tetapi baru lebih berarti bila berhubungan satu dengan yang lain melalui suatu persamaan atau fungsi. Suatu fungsi merupakan hubungan antara satu atau lebih variabel bebas, dengan variabel terikatnya. Oleh karena itu dalam banyak hal fungsi sangat penting dalam analisis ekonomi, karena fungsi berguna untuk : (1) menentukan besaran pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat, (2) menentukan nilai perkiraan atau ramalan suatu variabel terikat jika nilai variabel dikatahui, dan (3) fungsi dalam bentuk tertentu dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum variabel ekonomi yang terdapat dalam suatu fungsi dengan menggunakan aturan matematika (aturan diferensiasi fungsi).

BAB.II. PENGERTIAN ANALISIS OPTIMASI

Ilmu ekonomi dapat diartikan sebagai ilmu untuk memilih alternatif terbaik. Inti persoalan optimasi adalah memilih alternatif terbaik berdasarkan kriteria tertentu yang tersedia.

Kriteria yang paling umum untuk memilih diantara beberapa alternatif dalam ekonomi adalah (1) akan memaksimum sesuatu, seperti memaksimumkan keuntungan perusahaan, utilitas konsumen, dan laju perubahan volume usaha, atau (2) meminimum sesuatu, seperti meminimum biaya dalam berproduksi. Secara ekonomi kita dapat mengkategorikan persoalan maksimisasi dan minimisasi dengan istilah optimasi, artinya mencari yang terbaik.

Dalam memformulasi persolan optimasi, tugas pertama bagi pengambilan keputusan adalah menggambarkan secara terinci fungsi tujuan (maksimisasi, atau minimisasi). Variabel tak bebas (variabel terikat) dari suatu fungsi merupakan objek maksimisasi atau minimisasi, dan variabel bebas merupakan obyek-obyek yang besarnya dapat diambil dan dipilih oleh unit ekonomi itu dengan tujuan optimasi nilai variabel terikat. Esensi dari proses optimasi adalah memperoleh nilai-nilai variabel pilihan (variabel bebas) yang memberikan nilai optimum yang diinginkan fungsi tujuan. Sebagai contoh, suatu perusahaan ingin memaksimum laba ((), yaitu maksimum perbedaan antara penerimaan total (TR) dan biaya total (TC). TR dan TC adalah dua fungsi dari tingkat output (() ini berarti laba (() dapat dinyatakan sebagai fungsi dari (.

= TR TC

= R (() C (()

= f ((), fungsi keuntungan.

Dengan demikian optimum ( adalah pemilihan tingakt ( sedemikian rupa sehingga ( akan menjadi maksimum. Dalam hal ini diasumsikan bahwa fungsi dapat diferensiasi secara kontinyu.

Optmasi dapat berupa optimasi tanpa kendala atau tanpa kekangan (Unconstrained optimazation) dan optimasi dengan kendala (Contrained aptimazation). Contoh tersebut di atas merupakan optimasi tanpa kendala.

Optimasi tanpa kendala adalah optimasi suatu fungsi tanpa adanya syarat-syarat tertentu yang membatasinya. Jika fungsi tersebut terikat oleh (subject to) satu atau lebih syarat, maka ini disebut optimasi dengan kendala.BAB. III. OPTIMASI TANPA KENDALA

3.1. OPTIMASI TANPA KENDALA DENGAN SATU VARIABEL BEBAS................ ( W.I 249 291)Misalnya Y = f (X) adalah fungsi tujuan (tujuan obyektif) yang akan dicari nilai optimumnya. Y* merupakan hasil atau nilai optimal dari fungsi dan X* merupakan nilai X yang memberikan nilai Y optimal.

Contoh, suatu fungsi Y = 28 x 2 x2.

Tentukan nilai optimalnya dan tunjukkan apkah nilai optimalnya minimum atau maksimum ?Kondisi Perlu (Necessery Condition)

Kondisi perlu (Necessery condition) untuk fungsi mencapai nilai optimal adalah derivatif atau turunan pertama dari fungsi harus bernilai sama dengan nol.

Derivatif pertama dari contoh fungsi di atas :

Apabila kondisi perlu adalah turunan pertama sama dengan nol

28 4 X = 0

didapat : 4 X = 28

X = 7 dan X* = 7

Dan nilai optimal fungsi :

Y = 28 (7) 2 (7)2Y* = 98

Nilai optimal fungsi tanpa kendala disebut nilai optimum bebas. Kondisi Cukup (Sufficient Condidion)

Untuk mengetahui apakah nilai optimal fungsi adalah maksmum atau minimum dilihat dari kondisi cukup (Sufficient Condition) atau lihat dariturunan kedua dari fungsi tersebut.

Derivatif pertama :

Derivatif kedua :

Derivatif kedua (=-4) bernilai negatif (=-4) yang menunjukkan nilai optimal adalah nilai maksimum.

Apabila = nilai optimal fungsi adalah maksimum

Optimum minimum

Titik-titik optimal pada suatu fungsi dapat dilihat pada gambar (4.1) berikut ini (KK 321)

Contoh penerapannya dalam ekonomi :

Diketahui fungsi penerimaan total (total revenue) atas penjualan suatu produk (TR) = 28 ( - 2(2 tentukan jumlah produk yang terjual untuk mencapai penerimaan maksimum dan buktikan apakah titik optimal tersebut optimum ?

a. Untuk menentukan nilai optimal TR, derivatif pertama fungsi TR sama dengan nol.

Apabila MR = 0, maka = 28 - 4( = 0

4 ( = 28, didapat (* = 7

Jumlah produk yang diproduksi dipasarkan untuk memaksumum TR ((* = 7 satuan)

b. Untuk membuktikan nilai optimal TR adalah optimal maksimum, dilihat dari derivatif kedua :

Derivatif kedua fungsi TR bernilai negatif (= - 4) berarti nilai optimal TR adalah nilai maksimum.

Soal-soal Latihan .......................?1. Untuk masing-masing fungsi berikut ini, tentukan maksimum dan minimumnya dan gambarkan kurva yang menyajikan masing-masing fungsi.a. Y = 12 12X + X3 b. Y = X2 4X + 3

c. Y = 1/6 ( X3 6X2 + 9X + 6) d. Y = X (1 X2) e. Y = 1/ (16-X2) f. Y = X / (X+1).2. Jika diketahui fungsi biaya total TC = 20 + 2Q + 0,5 Q2 dimana TC menunjukkan biaya total dan Q menunjukkan kuantitas barang yang diproduksi. Pertanyaannya adalah:a. Bentuklah fungsi biaya rata-rata (AC)b. Bentuk fungsi biaya marjinal (MC)

c. Tentukan jumlah yang diproduksi jika dikehendaki biaya perunit minimum, dan tentukan biaya rata-rata minimum.3. Andaikan suatu fungsi permintaan : 3Q + 4P = 10 , P adalah harga perunit dan Q adalah jumlah unit produk. Jika penerimaan total adalah : TR = P.Q ; maka:

a. Bentuklah fungsi penerimaan total (TR)

b. Bentuk fungsi penerimaan rata-rata (AR)c. Tentukan jumlah yang diproduksi jika dikehendaki penerimaan total maksimum.4. Biaya total (TC) dinyatakan oleh: TC = 50 + 60 Q 12Q2 + Q3 ; dimana TC adalah biaya total dan Q adalah output. Pertanyaan :

a. Bentuklah fungsi biaya rata-rata (AC)

b. Bentuk fungsi biaya marjinal (MC)

c. Tentukan jumlah yang diproduksi jika dikehendaki biaya rata-rata minimum, dan buktikan bakwa biaya rata-rata minimum terjadi pada saat MC = AC. 5. Untuk masing-masing fungsi biaya rata-rata berikut ini, carilah biaya rata-rata minimum dan tunjukkan bahwa pada bagian rata-rata minimum ini, biaya marjinal (MC) sama dengan biaya rata-rata (AC).a. AC = 25 8Q + Q2 e. AC = 2Q + 5 + 18/Q

b. AC = 2 + Q lnQ f. AC = 20 + 2Q2 + 4Q4c. AC = 3Q + 5 + 6/Q g. AC = 10 4Q3 + 3Q4d. AC = 6Q + 7 + 36/Q.

6. Suatu perusahaan manufaktur mempunyai biaya total yang dinyatakan oleh persamaan TC = 2Q3 3Q2 12Q ; dimana TC menunjukkan biaya total dan Q menunjukkan kuantitas.

a. Carilah persamaan yang menunjukkan biaya marjinal

b. Carilah persamaan fungsi biaya rata-rata, dan pada kuantitas produksi berapa biaya rata-rata minimum. 7. Fungsi penerimaan total dari suatu perusahaan dinyatakan oleh persamaan TR = 24Q 3Q2; dimana TR menunjukkan penerimaan total dan Q menyatakan kuantitas. a. Berapa penerimaan total maksimum yang dapat diharapkan perusahaan

b. Bentuk fungsi penerimaan rata-rata (AR)

c. Bentuk fungsi penerimaan marjinal (MR)

d. Gambarkan TR, AR, dan MR dalam satu gambar.

3.2. OPTIMASI TANPA KENDALA DENGAN DUA ATAU LEBIH VARIABEL BEBASMisalnya suatu fungsi Y = f (x1, x2, .xn)

a. Untuk menentukan nilai optimal fungsi, maka turunan parsial (partial derivatif) pertama dari fungsi bernilai nol, sebagai berikut :

Dengan menggunakan aturan subsitusi/eliminasi, atau aturan cramer, aturan invers matriks, dapat ditentukan nilai X*1, X*2, ...X*n.

Dengan memasukkan nilai X*1, X*2, ...X*n kedalam fungsi tujuan akan didapatkan nilai optimal fungsi tersebut (Y*).

b. Untuk menguji nilai optimal fungsi (Y*) optimum maksimum atau minimum dapat menggunakan Hessian Matrix

Keterangan :

fij sebagai unsur matriks Hessian adalah derivatif parsial kedua dari fungsi tujuan. Optimum maksimum

ApabilaOptimum minimum

Apabila

Contoh, tentukan nilai optimal dari fungsi : Y = 20 X1 X12 + 10 X2 X22 dan buktikan apakah nilai optimal Y adalah optimum maksimum atau minimum.

Penyelesaian adalah sebagai berikut :

a. Untuk menentukan nilai optimal fungsi, maka derivatif parsial pertama fungsi disamakan dengan nol.

Persamaan (1) : 20 2X1 = 0, sehingga X1* = 10

Persamaan (2) : 10 2X2 = 0, sehingga X2* = 5

Dan nilai optimal fungsi : Y* = 20 (10) (10)2 + 10 (5) (5)2

Y* = 125

Titik-titik optimal yang mungkin terjadi pada fungsi yang kontinyu dapat dilihat pada gambar (4.2) berikut ini (AC. 288) :

b. Untuk mengetahui/menguji nilai optimal fungsi optimum maksimum atau minimum dilihat dari derivatif parsial kedua :

Derivatif pertamaDerivatif kedua

Hessian Matriks :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Apabila :

Nilai optimal fungsi adalah optimum maksimum

Penerapan optimasi fungsi multivariat tanpa kendala antara lain dapat digunakan untuk menganalisis : kasus diskriminasi harga, kasus perusahaan yang menghasilkan dua produk atau lebih (Joint Product), dan kasus produksi dengan dua atau lebih input.

Contoh Penerapan Optimasi Fungsi Multivariat Tanpa Kendala Untuk Menganalisis Kasus Diskriminasi Harga

Perusahaan yang memiliki kekuasaan monopili melakukan diskriminasi harga di dua tempat (pasar).

Di pasar (1) fungsi permintaan diketahui P1 = 80 5 (1Di pasar (2) fungsi permintaan diketahui P2 = 180 20 (2Tentukan jumlah (1 dan (2 yang diproduksi/dipasarkan untuk mencapai keuntungan maksimum dan buktikan apakah nilai optimal tersebut adalah optimum maksimum.

Penyelesaian :

Penerimaan total dipasar (1) adalah

TR1 = P1.( 1 = (80 - 5(1) (1

= 80 (1 - 5(2TR2 = P2.(2 = 180(2 20(22

Keuntungan (()

( = (TR1 + TR2) TC

( = 60 (1 5 (12 + 160 (2 20 (22 50

a. Keuntungan maksimum ((*) :

Derivatif parsial pertama fungsi keuntungan disamakan dengan nol=

Persamaan (1) = 60 10 (1 = 0, sehingga (1*= 6

Persamaan (2) = 160 40 (2 = 0, sehingga (2* = 4

Nilai optimum keuntungan

( = 60 (6) 5 (6)2 + 160 (4) 20 (4)2 50

( = 450

b. Apakah Nilai optimal fungsi maksimum atau minimum dlihat dari derivatif kedua fungsi keuntungan

Derivatif pertamaDerivatif kedua

Hessian Matrik :

= + 400

Nilai optimal fugsi adalah optimum maksimum karena

Contoh Penerapan Fungsi Multivariat Tanpa Kendala untuk Menganalisis Kasus Produksi dengan Dua Input

Beberapa bentuk fungsi produksi yang telah dikenal selama ini, antara lain fungsi produksi kuadratik, fungsi produksi Cobb-Douglas, dan fungsi produksi Transendental.

a. Fungsi produksi Transendental Halter, dkk dalam Iksan Semaoen (1992) adalah

b. Produk marginal adalah derivatif pertama :

Jadi,

Jumlah input i yang mengoptimal produksi (()

c. Produksi mencapai maksimum apabila

dengan demikian :

d. Produksi rata-rata (APPxi) =

APPxi =

e. Elastisitas produksi (Exi)

BAB. IV. OPTIMASI DENGAN KENDALAPada bahasan sebelumnya menjelaskan optimasi fungsi tanpa kendala. Kenyataannya, permasalahan ekonomi juga banyak melibatkan optimasi dengan kendala yang tertentu (Constraint).

Optimasi dengan kendala mempunyai fungsi sasaran atau fungsi tujuan (objective function) yang akan dioptimalkan dengan satu atau lebih kendala (Constraint) yang menunjukan syarat-syarat yang harus dipenuhi. Nilai optimal fungsi tujuan disebut optimum berekendala. Ditinjau dari jumlah variabel bebas dan kendala dari fungsi sasaran, maka optimasi dengan kendala dapat dikelompokan menjadi :

4.1 Optimasi Fungsi Satu Variabel Bebas dengan Satu Kendala

4.2 Optimasi Fungsi Dua atau Lebih Variabel Bebas dengan Satu Kendala

4.3 Optimasi Fungsi Dua atau Lebih Variabel Bebas dengan Dua atau Lebih Kendala (Berkendala Ganda)

a. Bentuk Non-Linier solusi (solusi optimal : lagerange)

b. Bentuk Linier (solusi optmal : linier programing)

4.1. OPTIMASI FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS DENGAN SATU KENDALA....................(W.I 262-264)Misalnya satu masalah optimasi sebagai berikut :

Maksimumkan

: Y = 28X - 2X2 Fungsi sasaran

Kendala (subject to): X = 2 Kendala

NIlai X dibatasi harus sama dengan X = 2, nilai optimal dengan X = 2 adalah nilai maksimal Y* = 9.

Gambar (5.1)

Soal-soal Latihan .......................?1. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi Y = X2 2X dalam interval 2 X 4.2. Kurva biaya total dari suatu komoditi adalah TC = 15Q 8Q2 + 2Q3 ; dimana TC adalah biaya total dan Q adalah kuantitas komoditi tersebut. Andaikan kondisi pasar menyatakan bahwa yang harus diproduksi di antara 3 dan 10 unit ( 3 Q 10). Tentukan berapa kuantitas komoditi dalam interval ini yang harus diproduksi agar biaya rata-ratanya miimum.

3. Perusahaan A memproduksi almari untuk TV; biaya total untuk memproduksi suatu model tertentu adalah TC = 4Q Q2 + 2Q3, dimana TC adalah biaya total dan Q adalah kuantitas. Bagian penjualan telah menyatakan bahwa harus di produksi diantara 2 dan 6 unit. Pada kuantitas berapakah biaya marjinalnya minimum; jelaskan jawaban saudara dan gambar grafik fungsi biaya marjinal (MC).4.2.1. OPTIMASI FUNGSI DUA VARIABEL BEBAS DENGAN SATU PESAMAAN KENDALAMisalnya satu fungsi Y=f(X1,X2) yaitu fungsi dengan dua variabel bebas akan dicari nilai optimalnya dengan kendala = a1 X1 + a2 X2=K.

a1 , a 2 , dan K merupakan suatu konstanta (sudah tertentu).

Posisi titik maksimum terkendala disajikan pada gambar (5.2) berikut ini (AC.345)

a. Untuk menentukan nilai optimal fungsi sasaran dapat digunakan metode substitusi atau metode Legrange. Dengan menggunakan kendala tersebut akan dapat dtentukan nilai X1*, X2*. Yang mengoptimal nilai fungsi tujuan (Y*).

b. Selanjutnya untuk mengetahui apakah nilai optimal fungsi tujuan ( dua variabel bebas) merupakan optimum maksimum atau minimum menggunakan aturan Border Hessian.

EMBED Equation.3 Metode Lagrange Untuk Solusi Optimal

Dengan menggunakan contoh 5.2.1 diatas :

fungsi sasaranY=X1. X2KendalaX1+X2 = 6

Fungsi Lagrang Y= X1 . X2 +

Solusi optimal dengan metode Lagrange dengan langkah sebagai berikut =

a. Membentuk persamaan derivatif parsial disamakan dengan nol =

b. Subsitusikan persamaan (1) dan (2)

c. Subsitusikan X1 ke persamaan (3)

6 X1 X2 = 0 6 (X2) - X2 = 0

6 2X2 = 0 X2* = 3

X1 = X2 Jadi X1* = 3

d. Tentukan derivatif kedua parsial

Derivatif Pertama ParsialDerivatif Kedua Parsial

q1 = 1 dan q2 = 2

Border Hessian

= 0.0.0 + 1.1.1 + 1.1.1 + - (1.0.1) (1.1.0) (0.1.1)

= + 2 >0

Penerapan Optimasi Fungsi dengan Dua Variabel Bebas Berkendala Satu Persamaan PembatasDalam contoh ini berusaha menyajikan konsep-konsep tentang beberapa aspek penting yang berkaitan dengan upaya untuk menghasilkan suatu kombinasi output yang menguntungkan. Ada beberapa alternatif pilihan yang ditawarkan bagi pengambil keputusan :

1. Maksimisasi penerimaan (TR) dengan kendala biaya (TC*).

2. Maksimisasi output (Y) dengan kendala biaya (TC*).

3. Minimisasi biaya (TC) dengan kendala output (Y*).

4. Minimisasi biaya (TC) dengan kendala output pendapatan (TR*).

5. Maksimisasi ubilitas (TU) dengan kendala anggaran (C*)

Keterangan : *). Sudah tertentu

Contoh (1) : Maksimisasi Penerimaan (TR) dengan Kendala Biaya

a. Y = F (X1, X2) fungsi produksi dengan dua input yaitu X1 dan X2b. TR = Py.Y

TR = Py. F (X1, X2) fungsi sasaran/tujuan (Py= harga output)

c. TC* = V1.X1 + V2.X2 kendala anggaran

TC* = biaya yang sudah tertentu

d. Fungsi lagrange

L = Py.Y + ( (TC* - V1 X1 V2 X2

L = Py. f (X1, X2) + ( (TC* - V1 X1 V2 X2)

e. First Order Condition (FOC)

Syarat ini merupakan syarat mencapai nilai optimal tujuan (maksimisasi penerimaan). Dengan menggunakan syarat ini akan didapat jumlah input X1 dan X2 yang memaksimum penerimaan total (TR).

f. Second Order Condition (SOC)

Derivatif kedua digunakan untuk membuktikan/mengetahui apakah nilai optimal penerimaan merupakan optimum maksimum.

g. Aturan : Boder Hessian

EMBED Equation.3 Apabila nilainya lebih besar nol, berarti fungsi tujuan untuk memaksimum penerimaan terbukti.

Contoh (2) = Maksimisasi Output dengan Kendala Biaya

a. Fungsai sasaran = Y f(X1, X2) (fungsi produksi)

b. Persamaan kendala (persamaan biaya)

TC* = V1 X1 + V2 X2

c. Funsi lagrange

L = f (X1, X2) + ( (TC* -V1 X1 V2 X2)

d. First - Order Condition (FOC)

Syarat ini merupakan syarat mencapai nilai optimal fungsi tujuan (maksimisasi output). Dengan menggunakan syarat ini akan dapat diketahui jumlah X1 dan X2 yang memaksimumkan output (Y).

e. Second - Order Condotion (SOC)

Derivatif kedua digunakan untuk menguji apakah nilai optimal output merupakan optimum maksimum.

f. Aturan = Border Hessian :

EMBED Equation.3 Apabila nilainya lebih besar nol, berarti fungsi tujuan untuk memaksimum outuput terbukti.

Contoh (3) : Minimisasi Biaya dengan Kendala Output

a. Fungsi sasaran (fungsi biaya)

TC = V1 X1 + V2 X2b. Persamaan kendala (produksi tertentu)

Y* = f (X1, X2)

c. Fungsi lagrange

d. First Order Condition (FOC)

Jadi

Syarat ini merupakan mencapai nilai optimal fungsi tujuan (minimisasi biaya) dengan kendala output yang tidak tertentu. Dengan menggunakan syarat ini akan diketahui jumlah X1 dan X2 yang meminimum biaya.

e. Second Order Condition (SOC)

f. Aturan : Border Hessian

EMBED Equation.3 Apabila nilainya lebih kecil nol (negatif), berarti fungsi tujuan untuk meminimum biaya dengan kendala output (yang sudah tertentu) terbukti.

4.2 . OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIAT (n VARIABEL DENGAN MULTI KENDALA

a. Fungsi sasaran (fungsi obyketif) dengan n variabel bebas, dapat ditulis :

Y = f (X1, X2, .. Xn)

b. Jika ada lebih dari satu persamaan kendala, metode pengali lagrange tetap dapat dipakai dengan menciptakan pengali lagrange sebanyak kendala yang terdapat di dalam fungsi lagrange.BAB.V. LINIER PROGRAMING

5.1 . PENDAHULUAN

Pada bagian terdahulu, telah dibahas optimasi terkendala dengan menggunakan teknik kalkulus difrensial, termasuk metode lagrange. Pada bagian ini akan dibahas metode optimasi yang lain yaitu metode pemrograman matematika. (Mathematical Programing).

Pemrograman matematika ini termasuk teknik untuk mengevaluasi masalah optimasi terkendala. Apabila fungsi sasaran/fungsi tujuan dan kendala-kendalanya dinyatakan dalam bentuk linier, maka jenis pemrograman matematika tersebut disebut program non linier (Linier Programing).

Perbedaan teknik kalkulus difrensial (antara lain metode lagrange) dengan linier programing adalah :

NoTeknik Kalkulus Difrensial (metode lagrange)Linier Programing

1Kendala-kendala dalam bentuk persamaan (=)Kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan (( atau ()

2Fungsi tujuan dan kendala dapat berbentuk non linier atau linierHanya terbatas pada fungsi tujuan dan kendala yang linier

Pada bagian ini akan dijelaskan linier programing dan penerapannya. Solusi optimal dalam linier programing terdiri dari (1) metode grafis, (2) metode simpleks, dan (3) metode simpleks dengan program dual.5.2. PERUMUSAN UMUM MASALAH LINIER PROGRAMINGDalam merumuskan masalah linier programing terdapat tiga hal yang harus dirumuskan lebih awal sebelum menyusun bentuk umum linier programing, dan solusi optimalnya, yaitu :

1. Membentuk fungsi sasaran atau fungsi tujuan (objective function), apakah memaksimum profit, meminimum biaya, atau lainnya.

2. Membentuk pertidaksamaan kendala-kendala (constraine).

3. Penegasan batasan non-negatif dari setiap variabel-variabel yang dimasukkan dalam model.

Bentuk umum untuk masalah programasi linier dengan n variabel pilihan dan n2 kendala, dalam memaksimum atau meminimum nilai fungsi tujuan/sasaran adalah :

1. Fungsi tujuan (memaksimumkan ()

Dengan kendala :

2. Fungsi tujuan (meminimum C)

Dengan kendala :

Untuk memacahkan masalah programasi linier dapat menggunakan metode grafik, metode simpleks, dan metode simpleks dengan program dual. Dengan menggunakan metode tersebut akan dapat ditentukan nilai variabel pilihan (X*) dan nilai fungsi tujuan ((* atau C*) yang optimal.

5.3. METODE GRAFIK

Metode grafik merupakan salah satu cara untuk memecahkan masalah linier programing. Metode ini hanya mungkin dapat dilakukan apabila hanya terdapat dua variabel pilihan (misalnya variabel X1 dan X2) walaupun kendalanya lebih dari dua pertidaksamaan kendala.

Contoh : untuk fungsi tujuan maksimisasi :

Perusahaan yang menghasilkan dua macam produk yaitu X1 dan X2, telah mengetahui keuntungan per unit produk X1 adalah Rp. 8000,00 dan per unit produk X2 adalah Rp. 7000,00, sehingga fungsi tujuan dapat ditentukan :

( = 8000 X1 + 7000 X2.

Untuk memproduksi kedua produk tersebut terdapat kendala, yaitu kendala pertama dari segi waktu operasi mesin, kendala kedua dari segi bahan baku, dan kendala ketiga dari segi ketersediaan modal operasional. Pertidaksamaan kendala tersebut adalah :

Kendala (1) : 2 X1 + 3 X2 ( 24

Kendala (2) : 2 X1 + X2 ( 16

Kendala (3) : X1 + 4 X2 ( 27

Tentukan jumlah X1 dan X2 yang diproduksi/dipasarkan untuk mencapai nilai optimal dari fungsi tujuan ((*)

Gambar (J.K : 631)

Memperhatikan grafik di atas, bagian yang diarsir disebut daerah yang layak (Feasible Region). Memperhatikan daerah layak tersebut dapat ditentukan alternatif titik optimum, yaitu titik A (8,0), B (6,4), D (3,6), dan E (0,). Apabila absis (X1) dan ordinat (X2) dari masing-masing titik disubsitusikan ke fugsi tujuan akan diketahui alternatif nilai optimal fungsi tujuan.

Dengan demikian, penyelesaian optimal dari masalah linier programing dalam kasus ini adalah X1= 6, dan X2 = 4 , dan maksimum profit berjumlah (* = Rp. 76.000,00.

Contoh : Untuk fungsi tujuan, minimisasi :

Perusahaan memproduksi dua macam produk, yaitu produk X1 dan X2, untuk menghasilkan satu unit produk X1 membutuhkan biaya Rp. 10.000,00 dan satu unit produk X2 membutuhkan biaya Rp. 15.000,00.

Fungsi tujuan : C = 10.000 X1 + 15.000 X2. Masing-masing produk memerlukan tiga bagian operasi yang berbeda dalam proses produksi.

Produk X1: memerlukan waktu untuk menggiling, merakit, dan menguji secara berturut-turut 30, 40, dan 20 menit.

Produk X2 memerlukan waktu 15, 80, 90 menit untuk menggiling, merakit, dan menguji. Kapasitas waktu untuk menggiling, merakit dan menguji secara berurutan : 900, 2400, 1800 menit.

Kendala (1) Waktu menggiling : 30 X1 +15 X2 ( 900

Kendala (2) Waktu merakit : 40 X1 + 80 X2 ( 2400

Kendala (3) Waktu menguji : 20 X1 + 90 X2 ( 1800

Tentukan jumlah X1 dan X2 yang meminimum biaya kedua produk tersebut ?

Gambar (J.K : 635)

Memperhatikan grafik di atas, bagian yang diarsir disebut daerah layak (Feasible Region) untuk fungsi tujuan minimisasi. Memperhatikan daerah layak tersebut dapat ditentukan alternatif titik optimum minimum, yaitu :

A (0,60), P (20,20), Q (36,12), dan F (90,0).

Apabila absis dan ordinat dan masing-masing titik disbusitusikan ke fungsi tujuan akan diketahui alternatif nilai minimum dari fungsi tujuan. Dengan demikian diketahui penyelesaian optimal dari masalah linier programing dalam kasus ini adalah : X1 = 20, X2 = 20, dan minimum biaya Rp. 500.000,00 5.4. METODE SIMPLEKS(1). PENDAHULUAN

Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar (yang bukan secara grafik) untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimasi yang terkendala.

Perhitungan dalam metode simpleks didasarkan pada aljabar matriks, terutama mencari invers matirks untuk penyelesaian persamaan linier simultan, oleh karena itu penyelesaian optimal dengan metode simpleks diawali pengubahan kendala pertidaksamaan menjadi persamaan. Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks dilakukan dengan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum.

(2). PERSYARATAN METODE SIMPLEKS

Terdapat tiga persayaratan untuk memecahkan masalah linier programing, yaitu :

1. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi persamaan.

2. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh adanya negatif.

3. Semua variabel dibatasi pada nilai non negatif.

(3). PENULISAN STANDAR DARI METODE SIMPLEKS

Berdasarkan ketiga persyaratan di atas, maka kita dapat menulis bentuk standar dari metode simpleks sebagai berikut :

1. Jika masalah linier programing berupa fungsi tujuan maksimisasi. Sebagai contoh untuk dua variabel dan dua kendala :

Maksimumkan : ( = C1 X1 + C2 X2Dengan kendala :

Bentuk standar metode simpleks di atas dapat ditulis menjadi :

a. Fungsi tujuan bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit.

- ( + C1 X1 + C2 X2 = 0

b. Kendala bentuk pertidaksamaan (tanda () diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack pada ruas kiri, sehingga menjadi :

dimana : S1 dan S2 adalah variabel slack non negatif.

c. Dalam notasi matriks, kita peroleh :

EMBED Equation.3 d. Tabel Simpleks Pertama

Variabel Dasar(X1 X2 S1 S2Nilai kanan (konstanta)

(S1S2-1

0

0+C1 +C2 0 0

a11 a12 1 0

a21 a22 0 10

K1K2

2. Jika masalah linier programing berupa fungsi tujuan minimisasi.

Minimumkan : C = c1 X1 + c2 X2Dengan kendala :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Bentuk standar metode simpleks dapat ditulis menjadi :

a. Fungsi tujuan semula bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit :

- C + c1 X1 + c2 X2 = 0

b. Kendala pertidaksamaan (tanda ()

Diubah menjadi persamaan dengan cara dikurangi variabel slack kemudian ditambah variabel buatan :

a11 X1 + a12 X2 S1 + A1 = K1a21 X1 + a22 X2 - S2 + A2 = K2dimana : S1 dan S2 adalah variabel slack

A1 dan A2 adalah variabel buatan

c. Dalam notasi matriks, kita peroleh :

EMBED Equation.3 d. Tabel Simpleks Pertama

Variabel DasarCX1 X2 S1 S2 A1 A2Nilai kanan (konstanta)

(S1S2-1

0

0+c1 +c2 0 0 0 0

a11 a12 -1 0 1 0

a21 a22 0 -1 0 1 0

K1K2

(4). PENYELESAIAN DENGAN MATODE SIMPLEKS

Setelah kita mengetahui penulisan umum dari metode simpleks, maka langkah penyelesaian guna memperoleh kombinasi yang optimal dari variabel pilihan (XI) adalah sebagai berikut :

1. Membuat tabel simpleks awal/pertama

2. Menentukan kolom pivot (kolom kunci). Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar dalam baris fungsi tujuan (baris pertama).

3. Menentukan baris pivot (baris kunci). Pilihlah baris dengan hasil bagi antara nilai kanan (konstanta) positif dengan angka pada kolom kuncinya yang terkecil. Angka yang berada pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci.

4. Menentukan baris kunci baru dengan cara membagi semua elemen dalam baris kunci dengan angka kunci agar angka kunci sama dengan 1 (satu).5. Menentukan baris lain (selain baris kunci) yang baru :

Baris baru = (baris lama) (angka pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama dikali baris kunci baru).

6. Setelah diketahui baris kunci baru dan baris lain yang baru, bentuklah tabel simpleks kedua.

7. Perhatikan tabel simpleks kedua, jika angka pada baris pertama (baris fungsi tujuan) masih terdapat angka positif, lakukan langkah berikutnya dengan cara yang sama. Jika sudah tidak ada lagi angka positif pada baris pertama, berarti penyelesaian telah optimal, dan akan dapat diketahui nilai variabel pilihan yang akan mengoptimal fungsi tujuan.

4.1. Contoh untuk masalah maksimisasi dan Semua Kendala Bertanda Baku ( )Gunakan metode simpleks untuk memaksimumkan

( = 8000 X1 + 7000 X2Dengan kendala :

Penyelesaian :

1. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit :

- ( + 8000 X1 + 7000 X2 = 02. Karena masalah maksimisasi, maka kendala harus ditambah variabel slack :

3. Tabel Simpleks I (awal)

Variabel

Dasar( X1 X2 S1 S2 S3 Nilai kanan (konstanta)

Baris 1 = (Baris 2 = S1Baris 3 = S2Baris 4 = S3-1 8000 7000 0 0 0

0 2 3 1 0 0

0 2 1 0 1 0

0 1 4 0 0 0 0

24

16

27

Kolom kunci adalah kolom X1 Baris kunci adalah baris 3

Langkah-langkah Membentuk Tabel Simpleks II

1. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar dalam baris pertama, yaitu kolom X1.

2. Baris kunci adalah :

Baris 2 =

Baris 3 =

Baris 4 =

Baris kunci adalah baris 3

3. Baris kunci baru (baris 3 baru) :

Baris kunci lama :

(X1X2S1S2S3NK

02101016

Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci

01008

4. Baris lain yang baru

Baris (1) Baru = Baris (1) lama (Baris kunci baru x 8000)



5. Tabel Simpleks II

Variabel

Dasar( X1 X2 S1 S2 S3 Nilai

Kanan

Baris (1) = (Baris (2) = S1Baris (3) = X1Baris (4) = S3-1 0 3000 0 -4000 0

0 0 2 1 -1 0

0 1 0 0

0 0 3,5 0 - 0 -64.000

8

8

19

Langkah Membentuk Tabel Simpleks III

1. Kolom kunci = Kolom X22. Baris kunci =

Baris 2 =

Baris 3 =

Baris 4 =

Baris kunci adalah baris 2

3. Baris kunci baru (baris 2 baru) =

(X1X2S1S2S3NK

001-04

4. Baris lain yang baru =


Baris (3) Baru = Baris (3) lama (Baris kunci baru x )

Baris (4) Baru = Baris 94) lama (Baris kunci baru x 3,5)

5. Tabel Simpleks III

Variabel

Dasar( X1 X2 S1 S2 S3 Nilai

Kanan

Baris (1) = (Baris (2) = X2Baris (3) = X1Baris (4) = S4-1 0 0 -1500 -2500 0

0 0 1 - 0

0 1 0 -1/4 0

0 0 0 -7/4 5/4 1 -76.000

4

6

5

Karena pada baris (1) tidak ada lagi yang bernilai positif, penyelesaian optimal selesai.

X1 = 6 ; X2 = 4 ; - ( = -76.000

(*= 76.000.4.2. Contoh untuk Masalah Minimisasi dengan Kendala Bentuk Belum Baku (Salah satu Kendala Bertanda )

Jika pertidaksamaan kendala berbentuk tanda , maka variabel slack dikurangkan dari sisi kiri; dan untuk tanda ditambahkan dari sisi kiri.

Untuk fungsi tujuan ditambah M.Ai ( + M.Ai) untuk fungsi tujuan minimisasi; dan dikurang M.Ai (- M.Ai ) untuk fungsi tujuan Maksimiasi.

Contoh Soal:

Minimumkan: Z = 2X1 + 10X2

Kendala : 2X1 + X2 6

5X1 + 4X2 20

X1 0 dan X2 0

Tentukan X1, X2 yang meminimum Z=?

Penyelesaian:

Tahap 1: Memasukkan Variable Slack dan Variable Buatan Fungsi Tujuan : Z = 2X1 + 10X2 + M.A1

Kendala :

2X1 + X2 + S1 = 6

5X1 + 4X2 - S2 + A1 = 20

Keterangan:

S1 dan S2: variabel Slack

A1 : Variabel Buatan (variabel artifisial).

Tahap 2: Langkah Membentuk Tbl Simpleks I:

Membentuk fungsi tujuan untuk siap dimasukkan ke Tabel Simpleks I:

Minimumkan:

Z + 2X1 + 10X2 + M.A1 = 0

Karena nilai M pada fungsi tujuan harus nol, maka fungsi tujuan semula harus diubah menjadi funsi tujuan yang disesuaikan.

Fungsi TujuanX1 X2 S1 S2 A1NK

Fungsi Tujuan2 10 0 0 M 0

Kendala (2) x M 5M 4M 0M -1M 1M 20M

Fungsi Tujuan Baru(2-5M) (10-4M) 0 +M 0 -20M

Tabel Simpleks I:

Variabel dasar X1 X2 S1 S2 A1NK

F.Tujuan

(Cj-Zj) (2-5M) (10-4M) 0 +M 0-20M

S1 2 1 1 0 0 6

S2 5 4 0 -1 1 20

Tahap 3: Langkah Membentuk Tabel Simpleks II.

(1). Kolom Kunci : Kolom X1 karena memiliki nilai negatif terbesar pada baris Cj-Zj.

(2). Baris Kunci (NK/ AKK):

Baris 2 (Baris S1): NK/AKK = 6/2 = 3....(BK)

Baris 3 (Baris S2): NK/AKK = 20/5 = 4.

(3). Baris Kunci Baru (Baris 2) Baru:

BKB = (BKL/AK)

Baris Kunci X1 X2 S1 S2 ANK

BKB=

BKL/AK2/2 0/2 0/26/2

BKB1 0 0 3

(4). Baris Lain yang Baru:

a. Baris 1 (Baris Cj-Zj) baru

= Baris Lama (AKK.BKB)

Baris 1

(Cj-Zj) X1 X2 S1 S2 A1NK

Baris 1 Lama(2-5M) (10-4M) 0 M 0 -20M

BKB 1 0 0 3

AKKx

BKB

(2-5M)(1) (2-5M)(1/2) (2-5M)(1/2) (2-5M)(0) (2-5M)(0)

(2-5M) (1-5/2M) (1-5/2M) 0 0(2-5M).(3)

(6-15M)

Baris 1 Baru 0 (9-3/2M) (-1+5/2M) M 0(-6-5M)

b. Baris 3 (Baris S2) Baru:

Baris 3X1 X2 S1 S2 A1 NK

Baris 3 Lama5 4 0 -1 120

BKB1 0 03

BKBx

AKK5(1) 5(1/2) 5(1/2) 5(0) 5(0)

5 2,5 2,5 0 05(3)

15

Baris 3 Baru0 3/2 -2,5 -1 15

Tabel Simpleks II

Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1NK

Baris 1

Cj-Zj 0 (9-3/2M) (-1+5/2M) M 0 (-6-5M)

Baris S1.... Baris (X1) 1 0 0 3

Baris S2 0 3/2 -5/2 -1 1 5

Tahap IV: Langkah Membentuk Tabel Simpleks III

Dengan cara yang sama dapat ditentukan:

(1). Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)

(2). Baris Kunci: Baris 3 (Baris S2);

(3). Baris Kunci Baru;

(4). Baris Lain yang baru.

Tabel Simpleks III

Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 A1NK

Baris 1

Cj-Zj 1 0 14 6 (-6+M)-36

Baris S1...(X1) 1 0 4/3 1/3 -1/34/3

Baris S2...(X2) 0 1 -5/3 -2/3 2/310/3.

Karena : Baris 1 (Cj-Zj) sudah positif semua dan telah terbentuk matrik Identity untuk kolom 1 dan kolom 2, maka Tabel Simpleks selesai;

Nilai Optimum:

-Zj = -36...... Zj = 36, X1 = 4/3, X2 = 10/3.

-----------------------------

4.3. Metode Simpleks Masalah Minimisasi Dengan Kendala Bentuk Baku Kasus Minimisasi (Semua Kendala Bertanda )

Minimumkan : C = 6X1 + 24X2

Kendala: X1 + 2X2 3

X1 + 4X2 4

Dan X1, X2 0

Penyelesaian:

Langkah membentuk Tabel Simpleks I:

1. Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala:

Minimisasi: C = 6X1 + 24X2 +M.A1+ M.A2 Kendala : X1 + 2X2 S1 + A1 = 3

X1 + 4X2 S2+ A2 = 4

Keterangan: S1, S2 : Variabel Slack

A1,A2 : Variabel Buatan

2. Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk pada Tabel Simpleks I, karena nilai M akan dianggap Nol.

a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit

- C + 6X1 + 24X2 + MX1 + MX2 = 0

b. Penyesuain Fungsi Tujuan :

Fungsi TujuanX1 X2 S1 A1 S2 A2NK.....?

Cj-Zj6 24 0 M 0 M0

Kendala (1) x M1M 2M -M M 0 03M

Cj-Zj (6-M) (24-2M) M 0 0 M-3M

Kendala (2) xM1M 4M 0 0 -M M4M

Cj-Zj (6-2M) (24-6M) M 0 M 0 -7M (nilai M =0)

c.Tabel Simpleks I

Variabel DasarX1 X2 S1 A1 S2 A2NK

Cj-Zj(6-2M) (24-6M) M 0 M 0 0

A1 1 2 -1 1 0 03

A21 4 0 0 -1 14

Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:

1. Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)

2. Baris Kunci:

Baris 2 =NK/AKK = 3/2 = 1,5

Baris 3 : NK/AKK = 4/4 = 1 ...Baris Kunci

3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 2) yang baru;

5. Tabel Simpleks II:

Variabel DasarX1 X2 S1 A1 S2 A2NK

Cj-Zj(-1/2M) 0 M 0 (6-1/2M) (-6+3/2M)(-24+6M)

A1 0 -1 1 -1/21

A2...X2 1 0 0 -1/4 1/41

Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:

Kolom Kunci: Kolom X1(Negatif terkecil)

Baris Kunci:

Baris 2= NK/AKK = 1/(1/2)=2..Baris Kunci

Baris 3 : NK/AKK = 1/(1/4) = 4.

Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

Baris lain (Baris 1 dan Baris 3) yang baru.

Tabel Simpleks III:

Variabel DasarX1 X2 S1 A1 S2 A2NK.....?

Cj-Zj0 0 0 M 6 (-6+M)(-24+7M)

A1...X11 0 -2 2 1 -12

X20 1 -1/2 -2/4 2/41/2

Titik Optimal:

X1 = 2 ; X2 = ; -Zj = -24+7M....Zj=C= 24.(5). METODE SIMPLEKS DENGAN PROGRAM DUAL

5.1 PENDAHLUAN

Pembahasan tentang masalah dualitas dalam linier programing menjadi penting, ketika kita akan menentukan nilai optimal fungsi tujuan dengan kendala-kendala yang bertanda lebih besar atau sama dengan nol (().

Apabila kendala-kendala bertanda (, penentuan nilai optimal fungsi tujuan dengan linier programing diawali pengubahan bentuk pertidaksamaan kendala menjadi persamaan. Pengubahan bentuk pertidaksamaan kendala untuk menjadi persamaan harus memasukkan variabel buatan (Artifisial Variable) disamping memasukkan variabel slack (slack variable).

Contoh :

Minimumkan : C =

Agar kendala pertidaksamaan menjadi persamaan maka harus dikurangi variabel slack dan ditambah variabel buatan.

Dan fungsi tujuan harus ditambah (M.AI untuk fungsi tujuan minimisasi, dan dikurangi (M.AI untuk fungsi tujuan maksimisasi.

Berdasarkan contoh di atas, fungsi tujuan minimisasi :

C = 6X1 + 24 X2 di ubah menjadi : C = 6 X1 + 24 X2 + M.A1 + M.A2 walaupun nilai M akan dianggap sama dengan nol.

Penyesuaian fungsi tujuan dan kendala-kendala harus dilakukan sebelum kita membentuk tabel simpleks awal. Oleh karena itu proses penentuan nilai optimal fungsi tujuan dalam linier programing (khususnya untuk kendala yang bertanda () menjadi tidak praktis karena harus memasukkan variabel buatan selain variabel slack.

Sebaliknya apabila kendala-kendala bertanda (, maka proses penentuan nilai optimal fugsi tujuan lebih praktis, karena (1) cukup memasukkan variabel slack saja dalam proses pengubahan kendala pertidaksamaan agar menjadi persamaan, dan (2) tidak perlu memasukkan variabel buatan pada fungsi tujuan.

Apabila bentuk awal (primal), yaitu minimisasi fungsi tujuan dan kendala-kendala bertanda (, maka bentuk dualnya adalah maksimisasi fungsi tujuan dan kendala bertanda (. Demikian pula sebaliknya.

5.2. MASALAH DUALITAS DALAM LINIER PROGRAMING

Apabila masalah awal (primal) adalah maksimisasi fungsi tujuan, maka dualnya adalah masalah minimisasi. Dan sebaliknya, jika masalah awal (primal) adalah minimisasi fungsi tujuan, maka dualnya adalah masalah maksimisasi.

Bentuk Awal (Primal) Minimisasi Fungsi Tujuan

Primal :

Minimisasikan : Z = C.X

Dengan kendala : A.X ( B

Maka dualnya :

Maksimisasikan : Z = B.Y

Dengan kendala : A1Y ( C

Contoh dalam bentuk umum adalah sebagai berikut :

Bentuk awal (primal) :

Minimisasikan : C = C1 X1 + C2 X2Dengan kendala :

Maka dualnya :

Maksimisasikan : Z = K1 Y1 + K2 Y2 Dengan kendala :

CONTOH SOAL (1):METODE SIMPLEKS DENGAN PROGRAM DUAL UNTUK SEMUA KENDALA BERTANDA (BENTUK BAKU KASUS MINIMISASI).Diketahui bentuk primal fungsi tujuan minimisasi dan kendala adalah :

Z = 120 X1 + 180 X2Dengan kendala

Tentukan : nilai X1 dan X2 yang meminimisasi. Fungsi tujuan, dan tentukan nilai optimal fungsi tujuan.

Penyelesaian :

1. Bentuk dualnya adalah :

Maksimisasikan : Z = 45 Y1 + 55 Y2Dengan kendala :

2. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit :

- Z + 45 Y1 + 55 Y2 = 0

3. Penambahan variabel slack :

4. Tabel simpleks awal

Variabel

DasarZjY1 Y2 S1 S2Nilai

Kanan

ZjS1S2-1

0

045 55 0 0

6 4 1 0

3 10 0 1 0

120

180

5. Tahapan pembentukan tabel simpleks II dan III sama dengan langkah pada contoh terdahulu.

6. Melalui proses yang sama pada contoh terdahului dapat ditentukan nilai Y1 dan Y2 yang mengoptimal Z :

Y1* = 10

Y2* = 15

Z* = 1275

7. Untuk menentukan X1* dan X2* dengan langkah sebagai berikut :

Zj* = 1275

Bentuk awal fungsi tujuan Z = 120 X1 + 180 X2

1275 = 120 X1 + 180 X2 . Fungsi tujuan

6 X1 + 3 X2 ( 45 . kendala (1)

6 X1 = 3 X2 + 45

X1 =

Persamaan ini disubsitusikan ke fungsi tujuan :

Didapat :

X1* =

X2* =

Z*minimum = CONTOHSOAL (2) :METODE SIMPLEKS DENGAN PROGRAM DUAL UNTUK KENDALA BERTANDA TIDAK BAKU (TANDA KENDALA TIDAK SERAGAM).Masalah Awal (Primal):Minimisasi : Z = 2X1 + 10X2

Kendala : 2X1 + X2 6

5X1 + 4X2 20

Kendala pertama tanda tidak baku untuk fungsi tujuan minimisasi.

Bentuk Baku masalah minimisasi semua

Kendala bertanda ; Oleh karena itu kendala pertama diubah menjadi bentuk baku, sehingga Fungsi Tujuan dan Kendala yang baru menjadi sbb:

Minimisasi : Z = 2X1 + 10X2

Kendala :

-2X1 - X2 -6

5X1 + 4X2 20.

Masalah Dualnya:Selanjutnya dapat dibentuk dualnya (Dual Program):

Maksimisasi: Z = -6Y1 + 20 Y2

Kendala : -2Y1 + 5Y2 2

-1Y1 + 4Y2 10

Langkah Membentuk Tabel Simpleks I:Merubah fungsi Tujuan menjadi bentuk implisit:

-Z - 6Y1 + 20Y2 = 0.

Memasukkan Variabel Slack:

-2Y1 + 5Y2 + S1 = 2

-1Y1 + 4Y2 + S2 = 10.

Tabel Simpleks I:

Variabel DasarY1 Y2 S1 S2NK

Cj-Zj-6 +20 0 00

S1-2 5 1 02

S2-1 4 0 1 10

Langkah Membentuk Tabel Simpleks Ii:Kolom Kunci: karena Fungsi Tujuan Maksimisasi, maka kolom kunci berada pada kolom Y2 (positip terbesar pada baris Cj-Zj).

Baris Kunci (BK) adalah baris 2, karena:

Baris 2: NK/AKK = 2/5 ......BK (positip terkecil).

Baris 3 : NK/AKK = 10/4.

Baris Kunci Baru (BKB):

BKB = Baris Kunci /AKKnya.

Baris Lain baru (baris 1 dan baris 3 yang baru):

Baris 1 baru = Baris 1 Lama (AKKnya x BKB)

Baris 3 baru = Baris 3 lama (AKKnya x BKB).

Tabel Simpleks II :


Cj-Zj2 0 -4 0-8

S1....Y2-2/5 1 1/5 02/5

S23/5 0 -4/5 142/5

Langkah Membnetuk Tabel Simpleks III:Kolom Kunci: karena Fungsi Tujuan Maksimisasi, maka kolom kunci berada pada kolom Y1 (positip terbesar pada baris Cj-Zj).

Baris Kunci (BK) adalah baris 3, karena:

Baris 2: NK/AKK = (2/5)/-(2/5) = -1

Baris 3 : NK/AKK = (42/5)/(3/5) = 42/3 (positip terkecil)

Baris Kunci Baru (BKB):

BKB = Baris Kunci /AKKnya.

Baris Lain baru (baris 1 dan baris 2 yang baru):

Baris 1 baru = Baris 1 Lama (AKKnya x BKB)

Baris 2 baru = Baris 2 lama (AKKnya x BKB).

Tabel Simpleks III :


Cj-Zj0 0 -4/3 -10/3-36

Y20 1 -1/3 10/156

S2....Y11 0 -4/3 5/342/3=14

Untuk Fungsi tujuan maksimisasi, apabila Baris Cj-Zj sudah Nol atau Negatif, maka solusi optimal sudah selesai dan nilai optimum dapat diketahui.

Zj = -36 maka Zj = 36;

Y1 = 14 dan Y2 = 6

Untuk menentukan nilai X1 dan X2 Optimal adalah sebagai berikut:

Maka Fungsi Tujuan: 36= 2X1 + 10X2......(1)

Kendala 1: 2X1 + X2 = 6

X2 = -2X1 + 6..........................(2)

Substitusikan (2) ke (1):

36 = 2X1 + 10 (-2X1+6)..........X1 = 4/3.

Jadi : X2 = -2(4/3) + 6 ...........X2 = 10/3.

BAB.VI. INTEGRAL DAN PENERAPANNYA

DI BIDANG EKONOMI6.1. PENGERTIANPengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatu fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.

F (X) = f (x) dx ;

Keterangan:

: Tanda Integral

f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)

dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.

dF(X) / dx = f (x) ; maka : f(x) dx = F (X) + C

Contoh :

F(X) = 2X2 + 3X + 5 .......dY/dX = Y = f (x) = 4X + 3

F(X) = 2X2 + 3X + 10. dY/dX = Y = f (x) = 4X + 3

F(X) = 2X2 + 3X + 100.dY/dX = Y = f (x) = 4X + 3

Dengan demikian :

(4X +3) dX = 2X2 + 3X + C

Nilai C mungkin 5 ; mungkin C = 10 ; dan Mungkin C = 100.

Jika nilai C didefinisikan (tertentu atau dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Integral Definit)

Sebaliknya jika nilai C tidak didefinisikan (tidak ditentukan) berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Integral In-definit).

6.2. ATURAN-ATURAN INTEGRASI

(1). HUKUM PANGKAT:

Xn dx = 1 / (n+1) X(n+1) + C

Contoh (1) :

X3 dx = 1 / (3+1) X (3+1) + C;

2 dx = 2X + C;

X3/2 dx = 1/ (3/2 + 1) X (3/2 + 1) + C = 1/(5/2) X (5/2) + C;

(2). ATURAN EKSPONENSIAL:

e X dx = ex + C;

a X dx = ax / ln a + C ;

Contoh (2): 2 X dx = 2x / ln 2 + C ;

(3). ATURAN LOGARITMA:

1/X dx = ln X + C; dan X > 0

Bentuk : 1/X tidak dapat dianalogkan menjadi bentuk X-1

Sehingga tidak dapat diintegralkan dengan menggunakan aturan integrasi bentuk pangkat Xn (seperti contoh no. 1); melainkan harus tetap menggunakan aturan di atas (aturan logarirma)

Contoh (3):

1/(2X). dx = (). 1/X. dx = (1/X) dx

= Ln X+C.

(4). INTEGRAL DARI SUATU PERKALIAN:

k. f(X) dx = k. f(X) dx;

Contoh (4):

2X2 dx = 2 X2 dx = 2 ( 1/3 X3 ) + C = 2/3 X3 + C ;

2X2 - 3X + 5 dx = 2/3 X3 3/2 X2 + 5X + C ;

(5). HUKUM PENGGANTIAN :

PENGERTIAN DAN CONTOH SOAL

Sebelum melakukan integrasi dari suatu integran, maka suku atau sebagian suku dari suatu integran dimisalkan menjadi U; selanjutnya baru melakukan proses integrasi dengan menggunakan aturan-atruran integrasi.

Contoh (5.1.1):

X (X2 + 6) dx = ..?

X2 + 6 dimisalkan = U .. U = X2 + 6;

dU/dX = 2XdX = dU/2X

Sehingga : X (X2 + 6) dx = X .(U). dU/2X

= 1/2.(U). dU = (1/2).(1/2). U2 + C

= U2 + C = . (X2 + 6 )2 + C;

(Ingat bahwa: U = X2 + 6 ).

Contoh (5.1.2):

2X (X2 + 1) dx = ..?

X2 + 1 dimisalkan = U .. U = X2 + 1;

dU/dX = 2XdX = dU/2X

Sehingga : 2X (X2 + 1) dx = 2X .(U). dU/2X

= (U). dU = (1/2). U2 + C

= 1/2 (X2 + 1)2 + C = 1/2. (X4 +2X2 + 1 )+ C;

= 1/2X4 +X2 + + C.

(Ingat bahwa: U = X2 + 1 ).

ATURAN INTEGRASI DALAM HUKUM PENGGANTIAN

Aturan Pertama :

Un dU = 1/(n+1) U (n+1) + C;

Contoh (5.2.1):

(2X+1) 3 dx = ..?

Misalkan : 2X + 1 = U ..........U = 2X + 1

dU/dX = 2 ....dX = dU/2;

(2X+1) 3 dx = U 3 dU/2 = U 3 dU = ......?

= . . U4 + C;

= 1/8. (2X+1)4 + C

Aturan Kedua:

1/U dU = ln U + C;

Contoh:

X / (X2+1) dx = .......?

Misalkan : U = X2 + 1........dU/dX = 2X ....dX = dU/2X X. 1/U.dU/2X = 1/2. 1/U.dU = (ln U) + C

= .ln (X2+1) + C. Jika X = 5 dan C = 10 ; tentukan Nilai fungsi asal tersebut....?

Aturan Ketiga:

aU dU = aU/ ln a + C ;

Contoh:

a(2X-1) dx = ?

Misalkan : U = 2X-1 ..dU/dX = 2 .dX = dU/2.

aU dU/2 = . aU dU = .(aU / lna) + C

= . { a (2x-1) / ln a} + C. Nilai a adalah bilangan nyata.

Aturan Keempat:

eU dU = eU + C;

Contoh:

e(2x+1) dx = ?

Misal: U = 2X + 1 .dU/dX = 2..dX = dU/2.

eU dU/2 = . eU .dU = (eU) + C = .e (2x+1) + C .

Aturan Kelima:

ln U. dU = (U.ln U U ) + C.

Contoh:

ln (x+1). dx = ......?

Misal: U = x + 1 ......dU/dx = 1 .....dx = dU/1.

ln U. dU = U.ln U U + C;

= { x+1 (ln x+1) (x+1) } + CAturan Keenam:

Un. Ln U. dU = U n+1{ln U/(n+1) 1/(n+1)2}+ C;

Aturan Ketujuh:

1/ (U. Ln U). dU = ln (ln U) + C;

Aturan Kedelapan:

U. eU. dU = eU (U-1) + C.

ATURAN PENGINTEGRASIAN BAGIAN

F (X) = U. V .......................Fungsi Semula;

Y = f (x) = U.V + U.V........Fungsi Turunan;

f(x). dx = U.V + U.V

F (X) = U.V + U.V.... F(X) berbentuk : F(X) =U.V.

U.V = U.V + U.V

Jadi: U.V = U.V - U.V

Contoh:

X. (X+1) . dX = ......?

Misalkan :

V = X .....................V = 1

U = (X+1) ......... U = (X+1) . dx

U = 1 / (1/2+1). (X+1)1/2+1

U = 2/3 (X+1)3/2Ingat bahwa :

U.V = U.V - U.V

X. (X+1) . dX = ...... ?

= {2/3 (X+1)3/2 }. (X) - {2/3 (X+1)3/2}. (1). dX

= (2/3 X.(X+1)3/2 ) - 2/3.{1/(5/2). (X+1) 5/2 } + C.

= 2/3 X (X+1)3/2 - 4/15 (X+1)5/2 + C . 6.3. INTEGRAL DEFINIT (INTEGRAL TERTENTU)

Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.

Xa : Batas terendah dari integrasi;

Xb : Batas tertinggi dari integrasi.

XaXb f(X). dX = F(X) Xa/Xb = F(b) F (a).

Contoh:

15 3X2. dx = ?

= 3. 1/3 X3 1/5 = X3 1/5 = (5)3 (1)3 = 125 1 = 124.

6.4. KEGUNAAN INTEGRAL

1. Mengembalikan fungsi Turunan menjadi fungsi semula (fungsi asalnya);

2. Menentukan luas bangun fungsi dalam susunan salib sumbu.Kegunaan Pertama : Mengembalikan Fungsi Turunan Menjadi Fungsi Semula (Fungsi Asalnya):

Contoh (1):

Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit Biaya total 125; Tentukan Fungsi Biaya Total (TC) ....?

TC = MC. dQ = Q2 + 5Q + C ;

125 = (10)2 + 5(10) + C ....... C = 25.

TC = Q2 + 5Q + 25.

Contoh (2):

Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR = 5 3Q; Tentukan fungsi TR dan AR .....?

TR = MR. dQ = (5-3Q) dQ = 5Q 3/2Q2 + C dan C =0

TR = 5Q -3/2Q2 dan AR = TR/Q = 5 3/2Q.

Contoh (3):

Diketahui fungsi Produk marginal : MP = 9 + 16X -3X2; Tentukan Fungsi Produksi Total (TP)....?

TP = MP. dX = 9X + 16/2 X2 3/3 X3 + C

TP = 9X + 8X2 X3 + C ; dan C = 0.

TP = 9X + 8X2 X3.

Contoh (4):

Diketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal Propensity to Save): MPC = 0,8 ; dan Konsumsi pada saat pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, - ; Tentukan Fungsi konsumsi ( C* ) ......?

Funsi Konsumsi C* = f (Y) . dC*/dY = MC = f (Y).

Dan MC = 0,8

C* = MC. dY = 0,8. dY

C* = 0,8 Y + C;.......... 15 = 0,8 (0) + C ......C = 15.

Jadi fungsi konsumsi : C* = 0,8 Y + 15.

Contoh (5):

Diketahui fungsi kecenderungan tabungan marginal (Marginal Propensity to Save) : MPS = 0,3 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan Nol (S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan....?

S = MPS. dY = (0,3-0,1Y-1/2) dY = 0,3Y 0,2 Y1/2 + C.

S = 0,3Y 0,2 Y1/2 + C.

S = 0 maka: Y = 8;

0 = 0,3 (61) 0,2 (81)1/2 + C.jadi: C = -22,5.

S = 0,3Y 0,2 Y1/2 - 22,5.

Contoh (6):

Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi (TC = 90) diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC.?

TC = MC.dQ = 2.e 0,2Q .dQ ; Misalkan : 0,2 Q = U.

U = 0,2 Q .dU/dQ = 0,2 dQ = dU/0,2.

TC = 2.e U . dU/0,2 = 2/0,2. e U . dU = = 10. e U . dU

TC = 10.eU + C ....TC = 10. e 0,2Q + C;

90 = 10. e 0,2(0) + C ......C = 80. Jadi : TC = 10. e 0,2Q + 80.

Kegunaan Kedua: Menentukan Luas Bangun Bungsi

Dalam Susunan Salib Sumbu1. Cara Menentukan Luas Bangun Fungsi:

Tentukan Luas bangun fungsi yang dibatasi : Y = X + 1 dan Xa =1 dan Xb = 5 ..?

SHAPE \* MERGEFORMAT

LA = ( X2 + X ) 1/5 = { (5)2 + (5)} {1/2(1)2 +(1)} = 16

LA = 16.

2. Penerapan Dibidang Ekonomi: a. Menghitung Surplus Konsumen (SK)

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 6; Kuantitas dan Harga Keseimbangan Pasar ( Qe = 2 dan Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen ..?


Surplus Konsumen (Consumers Surplus) :

Dari Gambar di atas fungsi permintaan menunjukkan persamaan yang menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang dibeli dengan haraga barang tersebut. Harga keseimbangan pasar yang terjadi adalah Pe (Pe=4), dan jumlah barang yang diminta Qe (Qe=2).

Apabila kemampuan daya beli konsumen perunit barang di atas dari harga pasar (Pe) atau Harga pasar dalam kenyataannya di bawah kemampuan daya beli konsumen berarti konsumen mendapat keuntungan utilitas (bukan keuntungan yang sebenarnya).

Oleh karena itu Surplus Konsumen sebagai keuntungan utilitas yang diperoleh konsumen sebagai dampak dari kenyataan bahwa harga pasar (Pe) lebih rendah dari kemampuan daya beli konsumen per unit barang (P).

Untuk Menentukan Besarnya Surplus Konsumen (Keuntungan Utilitas Total Konsumen) menggunakan rumus:

SK = Q0Qe f(D). dQ - Qe.Pe ;

Dari Contoh soal diatas dapat dihitung surplus Konsumen sebagai berikut:

SK = 02 (-Q+6)). dQ - Qe.Pe

SK = -1/2 Q2 + 6Q 0/2 (2.4)

SK = {-1/2 (2)2 + 6(2)} - {-1/2 (0)2 + 6(0)} (8)..SK = 2.

Contoh Soal (1):

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 10; Jika Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen ..?

Contoh Soal (2):

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen ..?

Contoh (3):

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen ..?

b. Menghitung Surplus Produsen (SP)

Fungsi penawaran menunjukkan kuantitas barang yang ditawarkan pada berbagai tingkat harga. Jika harga pasar Pe dan jumlah penawaran Qe. Produsen sebenarnya bersedia menawarkan barangnya dengan harga di bawah harga pasar Pe. Dalam posisi seperti ini berarti penjual/produsen beruntung (produsen mendapat keuntungan utilitas).

Surplus Produsen adalah keuntungan utilitas yang diperoleh produsen sebagai dampak dari harga pasar di atas harga kesediaan penjual untuk menjual barangnnya.

Contoh (1):

Diketahui Fungsi Penawaran : P = Q + 4 ; jika harga keseimbangan pasar diketahui Pe = 7 ; Tentukan besarnya Surplus Produsen....?


SP = Qe.Pe - Q0Qe f(Q). dQ

SP = Qe.Pe - Q0Qe f(S). dQ.

Dari Cotoh Soal di atas dapat ditentukan surplus produsen sebagai berikut:

SK = 3.7 - 03 (4 + Q). dQ

SP = 21 { 4Q + Q2} 0/3 SP = 21 {(4.3 + . 32 ) (4.0 + . 02 ) =.

SP = 21 7,5 = 13,5.

Contoh Soal (2):

Diketahui fungsi permintaan P = 36 Q2 dan fungsi penawaran : P 6 + Q2.

Tentukan :

a. Harga dan Kuantitas keseimbangan pasar;

b. Besarnya Surplus Konsumen;

c. Besarnya Surplus Produsen.

c. Menghitung Laba Maksimum Dengan Integral

Total maksimum = Q0Q* MR.dQ - Q0Q* MC .dQ


Contoh :

MR = 25 5Q -2Q2 dan MC = 15 -2Q Q2; Tentukan Keuntungan Total Maksimum .?

Laba Maksimum: MR = MC

25 5Q -2Q2 = 15 2Q -Q2Q2 + 3Q 10 = 0.(Q+5) (Q-2) = 0.Q* = 2.

maksimum = Q0Q* (25 5Q -2Q2).dQ

Q0Q* (15 -2Q Q2 ). dQ

maksimu = {25Q-5/2Q2-2/3Q3} 0/2 -

{ 15Q Q2- 1/3 Q3} 0/2

maksimum = {25.2 5/2.22- 2/3.23 } { 15.2- 22 1/3.23}

maksimum = 34/3 d. Investasi dan Pembentukan Modal.

Persediaan modal, besarnya akan tergantung dengan waktu, atau persediaan modal fungsi dari waktu. Tingkat pembentukan modal atau derivatif dK/dT.

dK/dT = I (t) = 3 t1/2.K(t) = I(t).dt.

= dK/dT.dt

K(t) = 3 t1/2.dt = 2 t 3/2 + C

Di awal waktu (t=0); K(0) = 2.0 3/2 + C .....C = K(0);

misal modal awal/modal periode awal: K(0) = 1000.....

C = 1000.

Fungsi persediaan modal :

K(t) = 2 t3/2 + 1000 . (Alpha Chiang:927).

Berdasarkan contoh ini kita dapat menyatakan bahwa jumlah akumulasi modal selama interval waktu 0 s.d. t dengan integral definit :

0t I (t). dt = K(t) 0/t

0t I (t). dt = K(t) K(0) atau

K(t) = K(0) + 0t I(t).dt.


Keterangan:

dK/dt : Pertambahan modal persatuan waktu;

Tingkat pembentukan modal (dKdt) pada waktu t adalah identik dengan tingkat aliran investasi Netto (Net Investment) pada waktu t (tingkat investasi netto pertahun;

Persediaan modal awal pada waktu t = 0 adalah K(0);

K(t) menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;

Contoh (1):

Bila investasi netto merupakan aliran konstan pada I(t) = 1000 satuan pertahun; berapakah total investasi netto (pembentukan modal) selama satu tahun dari t = 0 s.d. t =1.

Jawab:

01 I (t). dt = 01 1000. dt = 1000 t 0/1 = 1000.

Contoh (2):

Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollar pertahun) yaitu aliran yang tidak konstan. Apa yang terjadi dengan pembentukan modal selama interval waktu (1, 4), yaitu selama tahun kedua, ketiga, dan keempat.

Jawab:

04 I (t). dt = 04 3 t1/2. dt = 2 t 3/2 1/4 = 16-2 = 14.

Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menyatakan jumlah akumulasi modal selama interval waktu (0, t), untuk setiap tingkat investasi I(t).

0t I (t). dt = K(t) 0/t = K(t) K(o)

atau : K(t) = K(0) + 0t I (t). dt.

Keterangan:

K(t): menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;

dK/dt : pertambahan modal (K) persatuan waktu atau disebut tingkat pembentukan modal pada waktu t;

K(0) : Persediaan modal awal atau persediaan modal pada waktu t = 0;

Jadi: K(t) = K(0) + 0t I (t). dt.

(Lihat gambar terdahulu).

BAB.VII. PENUTUP

Teori ekonomi merupakan landasan dalam menyusun model ekonomi. Dengan menggunakan model yang bersifat matematis kita dapat menggunakan analisis optimasi guna menentukan nilai optimum fungsi tujuan. Analisis optimasi dapat menggunakan : (1) tehnik kalkulus difverensial, dan ke (2) menggunakan tehnik programasi linier (linier programing).

Penguasaan aturan diferensiasi fungsi, matriks, dan aturan-aturan optimasi fungsi akan sangat membantu penganalisis ekonomi dalam menentukan nilai optimal variabel ekonomi yang dimasukkan dalam model yang digunakan.


Dengan kendala =

*). Staf Pengajar Fakultas Ekonomi Universitas Lampung

A = Nilai optimum berkendala

B = Nilai optimal bebas

(tanpa kendala)

X = f (x)

X*

X=2

.

.

X

B

Y

A

Xa=1

Xb=5

X

Y

Y=X+1

0 0

( 2, 4 )

Sb X

Y

DP= -Q+6

S

( 3, 7 )

Sb X

Y

S P= Q + 4

MR

MC

mak

Sb. X

Sb.Y

Q*

00

Sb. t

0t I (t). dt = K(t) K(0)

I= I (t)

Sb .I

_1187454439.unknown

_1187498763.unknown

_1187502563.unknown

_1187886132.unknown

_1188039760.unknown

_1188057568.unknown

_1188057621.unknown

_1188108325.unknown

_1188108408.unknown

_1188212147.unknown

_1188057793.unknown

_1188057612.unknown

_1188055540.unknown

_1188056467.unknown

_1188057296.unknown

_1188056492.unknown

_1188056413.unknown

_1188055134.unknown

_1188055384.unknown

_1188039926.unknown

_1187887392.unknown

_1188038005.unknown

_1188038027.unknown

_1187887426.unknown

_1187886323.unknown

_1187887338.unknown

_1187886228.unknown

_1187881635.unknown

_1187882594.unknown

_1187884967.unknown

_1187885286.unknown

_1187883860.unknown

_1187881979.unknown

_1187882529.unknown

_1187881844.unknown

_1187844252.unknown

_1187844302.unknown

_1187881297.unknown

_1187844291.unknown

_1187778459.unknown

_1187779048.unknown

_1187844226.unknown

_1187780544.unknown

_1187778907.unknown

_1187778361.unknown

_1187501843.unknown

_1187502057.unknown

_1187502440.unknown

_1187502531.unknown

_1187502109.unknown

_1187501970.unknown

_1187502017.unknown

_1187501896.unknown

_1187501420.unknown

_1187501590.unknown

_1187501626.unknown

_1187501535.unknown

_1187501256.unknown

_1187501367.unknown

_1187501122.unknown

_1187501200.unknown

_1187500935.unknown

_1187496281.unknown

_1187497634.unknown

_1187498260.unknown

_1187498496.unknown

_1187498718.unknown

_1187498326.unknown

_1187497791.unknown

_1187498180.unknown

_1187497691.unknown

_1187496529.unknown

_1187496707.unknown

_1187497057.unknown

_1187496665.unknown

_1187496408.unknown

_1187496422.unknown

_1187496352.unknown

_1187456197.unknown

_1187495928.unknown

_1187496074.unknown

_1187496136.unknown

_1187495992.unknown

_1187456213.unknown

_1187456227.unknown

_1187456206.unknown

_1187455886.unknown

_1187456145.unknown

_1187456154.unknown

_1187456134.unknown

_1187454874.unknown

_1187455051.unknown

_1187454604.unknown

_1187454721.unknown

_1187454546.unknown

_1187426319.unknown

_1187451891.unknown

_1187452067.unknown

_1187454236.unknown

_1187454260.unknown

_1187454069.unknown

_1187452047.unknown

_1187452056.unknown

_1187451910.unknown

_1187426495.unknown

_1187451062.unknown

_1187451092.unknown

_1187426511.unknown

_1187426450.unknown

_1187426480.unknown

_1187426406.unknown

_1187425529.unknown

_1187425737.unknown

_1187426167.unknown

_1187426249.unknown

_1187426260.unknown

_1187426147.unknown

_1187425686.unknown

_1187425711.unknown

_1187425626.unknown

_1187264644.unknown

_1187267002.unknown

_1187274002.unknown

_1187325483.unknown

_1187326439.unknown

_1187325414.unknown

_1187273544.unknown

_1187266754.unknown

_1187266945.unknown

_1187264698.unknown

_1187259774.unknown

_1187259934.unknown

_1187259980.unknown

_1187259883.unknown

_1187259422.unknown

_1187259712.unknown

_1187259004.unknown

Optimasi (Final)

Documents

Transcript of Optimasi (Final)