OPTIMAL CONSUMPTION AND

PORTFOLIO STRATEGIES

1

Jurusan Matematika –

FMIPA

Universitas Negeri

Makassar

2

Lampiran: Bukti Prinsip

Pemrograman Dinamis

Hubungan Preferensi dan Fungsi Utilitas

Diskrit Waktu –Maksimalisasi

Utilitas

Maksimalisasi Utilitas dalam Waktu Kontinyu

Pendekatan Dualitas/

Martingale untuk

Maksimalisasi Utilitas

Biaya Transaksi

Ketidaklengkapan dan Informasi

Asymetric

MATERI PEMBAHASAN

Dengan menggunakan persamaan pada model Diskrit-Time

maka kita dapat mengetahui kemungkinan pengeluaran

tambahan di luar pasar keuangan. Adapun persamaan

matematisnya yakni:

3

Dalam strategi portofolio. Strategi dapat diterima jika

tak negatif (untuk alasan ekonomi yang jelas), proses

disesuaikan; yaitu harus ditentukan dari informasi yang

tersedia pada saat kekayaan terminal yang sesuai

memenuhi dimana kebangkrutan tidak diperbolehkan.

Berikut swadana kondisi dipenuhi:

4

Cara untuk membandingkan pilihan-pilihan konsumsi yang

berbeda-beda yang kemudian menghasilkan sifat-sifat

prefensi konsumen. Yakni:

Completeness (Kelengkapan)

Transitivity (Transitivitas)

Monotonicity (Kemonotonan)

Convexity (Kecembungan)

5

Diferensiabilitas tidak diperlukan untuk alasan ekonomi,

tetapi untuk alasan teknis, dalam rangka memecahkan

masalah optimasi investor. Berikut contoh umum dari fungsi

utilitas yang sering digunakan dalam model keuangan:

Logarithmic utility:

Power Utility:

Exponential utility:

Quadratic utility:

6

Dalam kasus periode tunggal, tujuan Taf untuk

memaksimalkan nilai:

Dimana U1 dan U2 adalah dua fungsi utilitas.

Dalam kasus cakrawala tak terbatas, T = ∞

7

Periode tunggal

Metode Lagrangian:

8

Untuk menentukan proporsi yang optimal kekayaan yang akan

diasetkan dapat dipertimbangkan dengan menggunakan

model periode tunggal sebagai berikut:

Dimana merupakan portfolio weight dan sebanding dengan

perbedaan antara pengembalian yang diharapkan dari saham

relatif.

9

Dalam hal penyelesaian model multiperiod dapat

menggunakan prinsip pemrograman dinamis, atau

persamaan Bellman sebagai berikut:

Selanjutnya untuk mengetahui proporsi kekayaan yang

diinvestasikan dalam keamanan berisiko pada saat t, maka

dapat digunakan:

10

Untuk strategi portofolio diberikan (belum tentu

optimal) kami memperkenalkan terkait utilitas yang

diharapkan

Misalkan bahwa strategi portofolio adalah bentuk

umpan balik

untuk beberapa fungsi deterministik

11

Dalam hal Taf juga peduli tentang konsumsi dan akan

menghadapi masalah optimasi sebagai berikut:

Selain memaksimalkan atas proses portofolio , Taf juga

harus memilih proses konsumsi yang optimal untuk negara .

12

Hamilton Jacobi-Bellman-parsial (HJB PDE)

di mana kita asumsikan bahwa kondisi awal adalah , yaitu, Taf dimulai dengan dolar di waktu . Supremum adalah mengambil alih semua portofolio diterima.

13

Pemrograman dinamis adalah pendekatan standar untuk memecahkan

masalah maksimisasi utilitas. Baru-baru ini, pendekatan lain telah

dikembangkan dalam keuangan dan berlandaskan pada konsep

matematika untuk memecahkan masalah keuangan tersebut. Hal ini

didasarkan pada hubungan antara harga / lindung nilai surat berharga

dan solusi optimal untuk masalah maksimisasi utilitas. Kami hadir

pertama kali dalam model periode tunggal sederhana binomial.

14

Model ini merupakan model pasar saham (trading) dengan satu periode(one time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat duawaktu trading yaitu pada saat t=0 dan t =1. Seperti telah dibahassebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat t = 1 pergerakanharga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naiksebesar u dengan peluang sebesar p atau harga saham turun sebesar d dengan peluang sebesar (1 – p).

Misalkan menyatakan harga saham pada saat t = 0 , maka pada akhirperiode S (0), dapat berubah menjadi S(1) .

15

Kami pertama menyajikan cara yang informal untuk menemukan solusi

optimal. Mengabaikan nilai yang diharapkan,membedakan dalam

ekspresi terhadap X(T) dan pengaturan yang sama derivatif nol, kita

mendapatkan: U’(X (T)) = λZ (T). Dimana X (T) untuk kekayaan terminal

yang optimal. Yang menunjukkan bahwa

fungsi invers dari U’ utilitas marjinal, persamaan terakhir menjadi

16

TEOREMA 4.2 Jika M adalah suatu proses martingale disesuaikan dengan

informasi yang dihasilkan oleh Proses gerak Brown W, maka ia memiliki

representasi dalam bentuk :

untuk beberapa φ proses disesuaikan. Secara khusus,

Dari teorema diatas, kita peroleh:

17

Ada dua kasus utama, berbeda dalam jenis perdagangan Taf harus

dilakukan ketika hal ini terjadi:

Jika biaya transaksi adalah sebanding dengan jumlah yang ditransfer,

ketika portofolio mendapat proporsi jauh dari 70% pada saham,

katakanlah di atas 78%, Taf perdagangan Seharusnya hanya sedikit

sehingga untuk mendapatkan sedikit lebih dekat ke 70%, katakanlah

kembali ke 78%;

Jika biaya transaksi adalah tetap terlepas dari ukuran transaksi, ketika

Proporsi portofolio mendapat saham taf perdagangan jauh dari 70%

sehingga harus mendapatkan semua cara kembali ke 70%.

18

Dari kendala anggaran individu yang dimulai dengan x kekayaan awal dan

membeli saham δ dari keamanan berisiko, kita mendapatkan:

Ini memiliki bentuk yang lazim: penyelenggaraan optimal saham sebanding

dengan syarat diharapkan pengembalian saham dan berbanding terbalik

dengan (bersyarat) varians, disesuaikan oleh tingkat penghindaran risiko.

Dalam kasus sederhana, ketika kedua S (1) dan Y biasanya didistribusikan,

kita dapat menghitung secara eksplisit ekspektasi bersyarat dan variansi.

19

Kita sekarang mempertimbangkan model kontinu-waktu

di mana μ melayang saham adalah proses acak diberikan. Taf tidak

mengamati nilainya pada t tapi mengetahui distribusi probabilitas nya. Taf

mengamati harga saham dan, melalui mereka, belajar lebih banyak dan lebih

lanjut tentang nilai μ seiring berjalannya waktu.

20

Mari kita perhatikan apa yang terjadi pada nilai S jika dimasukkan,

maka persamaan yang didapatkan

Ini adalah proses inovasi yang terkenal dari teori penyaringan.

21

Kita asumsikan dengan mensibtusikan tipe markovian

dengan anggapan ekspektasi bersyarat yaitu Informasi

yang diberikan hingga waktu t+iT , hanya tergantung pada

nilai-nilai variabel dalam model acak pada waktu

t+i(termasuk (t+i)), dan bukan pada nilai-nilai massa

lalu dari variabel acak pada waktu pada waktu-waktu

sebelumnya yaitu t+1

22

23

Terima

kasih