OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO 1 ITC PIOVENE a x 2 + b x + c Risolvere l’equazione Risolvere...

OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO

1

ITC PIOVENE

a x2 + b x + c

Risolvere l’equazione

Risolvere la disequazione

Scomposizione del trinomio (se possibile)

Disegnare la parabola associata

Completamento di un quadrato

Servirsi della parabola per risolvere la disequazione

EQUAZIONI

Equazioni di II°: a x2 + b x + c = 0

2

ITC PIOVENE

Se b è pari: formula ridotta (da sapere e da utilizzare !!)

E’ possibile risolverla in modo intuitivo?1. a x 2 + b x = 0 (c=0; manca il termine noto!)

raccolgo x: x (a x + b) = 0;

annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a

2. a x 2 + c = 0 (b=0; manca il termine di I°) X2 + 4 = 0 l’equazione non ammette soluzioni

reali;

X2 - 4 = 0 x = ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non x = |2|)

3. a x2 = 0 ( b = c = 0); x = 0 è l’unica soluzione!!

EQUAZIONI DI II° GRADO

3

ITC PIOVENE

a x + b > 0 x > -b/a x < - b/a

a x + b ≥ 0 x ≥ -b/a x ≤ - b/a

a x + b < 0 x < -b/a x > - b/a

a x + b ≤ 0 x ≤ -b/a x ≥ - b/a

DISEQUAZIONI DI I° GRADO

4

ITC PIOVENE

a > 0 a < 0

DISEQUAZIONI DI II ° GRADO

(METODO ALGEBRICO)

5

ITC PIOVENE

a

Calcoliamo Δ = b2 - 4 a c

x1

x2

a

x1

x2

aa x x 22 + b x + c + b x + c >> 00

aa x x 22 + b x + c + b x + c ≥≥ 001

aa x x 22 + b x + c + b x + c < 0< 0

aa x x 22 + b x + c + b x + c≤ ≤ 002

1: x < x1 v x > x 2

(-∞ , x1) U (x2 , + )

2: x 1 < x < x 2

1: x 1 < x < x 2

2: x < x1 v x > x 2

DISEQUAZIONI DI II ° GRADO(METODO ALGEBRICO-GRAFICO)

6

ITC PIOVENE

1:

2:

a

a x1 = x2

x1 = x2

1:

2:

1:

2:

1:

2:

a

a

DISEQUAZIONI FRATTE

7

ITC PIOVENE

1. Indipendentemente dal trovarsi nel caso 1 o 2, conviene (non è necessario, ma consigliabile) imporre :

2. Costruire una tabella che chiameremo di prodotto/rapporto oppure di segno oppure + + - -

3. Scegliere gli intervalli utili a seconda che ci si trovi nel caso 1 oppure nel caso 2

Tecnica di lavoro

La filosofia che sta alle spalle è che:

Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo

(negativo) se il numero di fattori negativi è pari

(dispari).

DISEQUAZIONI FRATTE

8

ITC PIOVENE



(negativo) se il numero di fattori negativi è pari

(dispari).

Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi

(automaticamente so anche dove sono negativi!)

imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a

numeratore possono essere imposti maggiori o uguali

a zero!!!! non quelli del denominatore)

DISEQUAZIONI FRATTE

9

ITC PIOVENE



(negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari).

Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi

(automaticamente so anche dove sono negativi!)

imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a

numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a

zero!!!! non quelli del denominatore)

Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il

rapporto/prodotto nei singoli intervalli

DISEQUAZIONI FRATTE

10

ITC PIOVENE


Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari).

Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono

essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore)

Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli

Individuo gli intervalli utili

DISEQUAZIONI FRATTE

11

ITC PIOVENE

ESEMPIO PRIMI PASSI NELLO STUDIO DI FUNZIONE 1

Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:

12

ITC PIOVENE

1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!



13

ITC PIOVENE


2. Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zero

x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

- 2 2

y

x



14

ITC PIOVENE



x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)

2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0

- 2 2

y

x



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ITC PIOVENE



x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)


3. Ma per la legge di annullamento di un rapporto x2 – 1 = 0 |x| = 1

- 2 2

y

x



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ITC PIOVENE



x 2 – 4 ≠ 0 |x| ≠ 2

1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)


3. Ma per la legge di annullamento di un rapporto x2 – 1 = 0 |x| = 1

4. Cerchiamo il segno della f(x): cerchiamo cioè dove f(x) >0 (+) e dove f(x) < 0 (-) (è sufficiente trovare dove f(x) >0, e, per esclusione, sapendo dove f(x) =0 e dove f(x)>0 sappiamo anche dove f(x)>0

- 2 2

y

x

1. ESISTENZA DI UN RAPPORTO: è possibile dividere due numeri reali (a / b) se e

solo se il denominatore è diverso da zero (b ≠ 0)

2. ANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTO: un rapporto è nullo se e solo se è nullo il

numeratore (e contemporaneamnete il denominatore è diverso da zero):

a / b = 0 se e solo se a = 0

3. ANNULLAMENTO DI UN PRODOTTO: un prodotto di più fattori è nullo se e solo

se è nullo almeno uno dei fattori

a * b * c ... = 0 se e solo se a = 0; oppure b=0; oppure....

RICORDA

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ITC PIOVENE

18

ITC PIOVENE

RICORDA (ESEMPIO)

1. Il rapporto esiste (dominio della funzione) se e solo se x+2 ≠ 0 x ≠ -2

2. Il rapporto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x-1=0 x= -1

1. Il prodotto esiste (dominio della funzione) sempre, per ogni valore reale di x

2. Il prodotto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x - 1=0 oppure x – 2 = 0 x = 1 oppure x = 2


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ITC PIOVENE

f(x)>0:

x2 – 1 > 0 |x| > 1 oppure x< -1 V x >1

x2 – 4 > 0 |x| >2 oppure x<-2 V x > 2

-2 - 1 1 2

+++++++++++++++++++--------------------------+++++++++++++++++

++++++++ ------------------------------------------------------------- +++++++

f(x) +++++ - - - - - - ++++++++++++ - - - - - - - - - ++++++

l’ultima riga fornisce informazioni sul segno della funzione: per tutte le x < -2 la funzione è positiva; per le x comprese tra -2 e -1 la funzione è negativa....

CONTINUA SEGNO FUNZIONE

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ITC PIOVENE

f(x) = 0 ↔ x = - 1 e x = 1

f(x) > 0 ↔ (-∞, -2) U (-1, 1) U (2, + ∞)

f(x) < 0 ↔ (-2, -1) U (1, 2)

y

x

-2 -1 1 2

QUANDO PIU’ CONDIZIONI DEVONO ESSERE VERIFICATE CONTEMPORANEAMENTE

I SISTEMI

21

ITC PIOVENE

Tecnica di lavoro

1. Si risolvono tutte le disequazioni date

2. Si costruisce una tabella (non di segno!!!!) dove:

• la linea continua significa che la condizione è soddisfatta

• La linea tratteggiata significa che la condizione non è soddisfatta

3. La soluzione sarà l’insieme di tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le condizioni contemporaneamente

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ITC PIOVENE

ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI

SISTEMI

Tecnica di soluzione

La legge della funzione presenta tre radici, due di indice pari e una di indice dispari.

Le operazioni tra numeri reali ci impongono che gli argomenti delle radici di indice pari siano, contemporaneamente, non negativi, cioè maggiori o uguali a zero!

Le condizioni sono verificate contemporaneamente nell’intervallo tra 1 e 3

Dom f [1, 3]

1 3

DALLA RICERCA DEI RISULTATI ALLA LORO RAPPRESENTAZIONE

GRAFICA...

23

ITC PIOVENE

1 3

Non ci poniamo il problema di trovare zeri e segno della funzione, perché l’espressione algebrica non è facile da manipolare!

ANCORA UN ESEMPIO...CON RADICI

24

ITC PIOVENE

Confrontiamo dominio, zeri e segno di due funzioni, con una legge apparentemente molto simile!!!

Constatiamo, con valori numerici semplici, che le due funzioni sono diverse

Per alcuni valori della variabile indipendente si ottengono gli stessi risultati, per altri invece....

RICERCA DEL DOMINIO: FUNZIONE 1

25

ITC PIOVENE

L’algebra dei numeri reali impone che l’argomento della radice di indice pari sia non negativa e il denominatore sia diverso da zero.

E’ un sistema! Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente.

La prima disequazione è una frazione, l’algebra delle disequazioni fratte consiglia di cercare dove i singoli fattori sono positivi e poi leggere i risultati su una tabella di segno

-2 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

f(x) + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

Risolvendo il sistema si vede che la II condizione è già compresa nella prima

Domf (- ∞, -2) U [1, + ∞)

....CONTINUIAMO A CERCARE LE PRIME INFORMAZIONI PER LO STUDIO DI FUNZIONE E, POI,

A METTERE TALI CONDIZIONI SU UN GRAFICO (FUNZIONE 1)

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ITC PIOVENE

• Zeri della funzione: f(x)=0; la legge di annullamento di una radice, prima, e

di un rapporto poi, ci consente di scrivere f(x)=0 ↔ x = 1.

• Segno della funzione: f(x) >0; per l’algebra delle radici di indice pari, una radice di indice pari, dove consente di ottenere un risultato, produce sempre un risultato positivo

Riassumiamo:

f(x) = 0 ↔ x = 1

f(x) > 0 ↔ qualunque x appartenente al domf

f(x) < 0 ↔ per nessuna x appartenente al dominio

DAI CALCOLI AL GRAFICO...FUNZIONE 1

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ITC PIOVENE

-2 1

y

x

28

ITC PIOVENE

RICERCA DEL DOMINIO: FUNZIONE 2

L’algebra dei numeri reali impone che i due radicandi siano, contemporaneamente, positivi. L’avverbio contemporaneamente ci ricorda che siamo in presenza di un sistema! Ma siamo anche in presenza di una frazione e quindi il denominatore deve essere diverso da zero. Imporremo questa condizione automaticamente, perché non accetteremo l’annullamneto del denominatore.

- 2 1

dom f: x ≥ 1 oppure [1, + ∞)

Zeri della funzione: x =1

f(x) > 0 : qualunque x appartenente al dominio

f(x) < 0 : nessuna x appartenente al dominio

DAI CALCOLI AL GRAFICO...FUNZIONE 2

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ITC PIOVENE

1

y

x

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