Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj...

Operator kutne kolicine gibanja

Operator kutne kolicine gibanjaQuantum mechanics 1 - Lecture 9

Igor Lukacevic

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

2. svibnja 2013.

Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja


Contents

1 Osnovna svojstva

2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule

3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici

4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica

5 Literature



Osnovna svojstva

Contents

1 Osnovna svojstva




5 Literature



Osnovna svojstva

Kartezijeve komponente

Klasicna mehanika

Sto nije bas najbolje prikazano naovoj slicici?

Kvantna mehanika



Osnovna svojstva


L = r × p =

Lx = ypz − ypy

Ly = zpx − xpz

Lz = xpy − ypx



Osnovna svojstva


L = r × p =

Lx = ypz − ypyQM −i~

(y ∂∂z− z ∂

∂y

)Ly = zpx − xpz

QM −i~

(z ∂∂x− x ∂

∂z

)Lz = xpy − ypx

QM −i~

(x ∂∂y− y ∂

∂x

)

= −i~r ×∇



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

[r, p] = i~ ⇒

[Ly , Lz ] = i~Lx

[Lz , Lx ] = i~Ly

[Lx , Ly ] = i~Lz

⇔ i~L = L× L =

∣∣∣∣∣ex ey ez

Lx Ly Lz

Lx Ly Lz

∣∣∣∣∣

Pitanje

Mozete li naci motivaciju zasto proucavamo komutacijske relacije izmedukomponenti operatora L?



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

[r, p] = i~ ⇒

[Ly , Lz ] = i~Lx

[Lz , Lx ] = i~Ly

[Lx , Ly ] = i~Lz

⇔ i~L = L× L =

∣∣∣∣∣ex ey ez

Lx Ly Lz

Lx Ly Lz

∣∣∣∣∣

Pitanje

Mozete li naci motivaciju zasto proucavamo komutacijske relacije izmedukomponenti operatora L?

Ako operatori komutiraju, onda imaju zajednicki skup svojstvenih funkcija.



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

Primjer 1.

Neka je neko stanje istovremeno svojstvena funkcija od Lx i Ly . Pokazite datom stanju onda pripada svojstvena vrijednost Lx = Ly = Lz = 0.

ϕ

Lxϕ = Lxϕ

Lyϕ = Lyϕ

⇒[Lx , Ly

]= 0

⇒ 0 =[Lx , Ly

]ϕ = i~Lzϕ⇒ Lzϕ = 0 · ϕ ⇒ Lz = 0

⇒ ϕ je “nul-svojstvena funkcija” od Lz



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

Primjer 1.

Neka je neko stanje istovremeno svojstvena funkcija od Lx i Ly . Pokazite datom stanju onda pripada svojstvena vrijednost Lx = Ly = Lz = 0.

Robertson-Schrodingerova relacija (dokaz u ref. [1]):

[A,B] = iC ⇒ ∆A∆B ≥ 1

2|〈C〉|

[Lx , Lz ] = −i~Ly ⇒ 0?= ∆Lx∆Lz ≥

~2|〈Ly 〉|

⇒ 〈Ly 〉 = Ly = 0

DZ⇒ 〈Lx〉 = Lx = 0

Nijedno stanje ne moze istovremeno biti svojstvena funkcija bilo koje dvijekomponente operatora L. Ako je, onda je to “nul-svojstvena funkcija”.



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

DZ

Dokazite da su Lx i L2 Hermitski operatori.



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

promotrimo operator L2

L2 = L2x + L2

y + L2z

[Lz , L2] = [Lz , L

2x + L2

y + L2z ] = [Lz , L

2x ] + [Lz , L

2y ] + [Lz , L

2z ]︸︷︷︸

=0

= Lx [Lz , Lx ] + [Lz , Lx ]Lx + Ly [Lz , Ly ] + [Lz , Ly ]Ly

= i~[LxLy + LyLx − LyLx − LxLy ]

= 0

slicno za ostale ⇒ [Li , L2] = 0



Osnovna svojstva

Relacije komutacije

Bilo koja komponenta operatora L ima zajednicke svojstvene funkcije s L2.



Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja

Contents

1 Osnovna svojstva




5 Literature




Kutna kolicina gibanja - J = L,S,L + S

Orbitalna - L Spinska - S




Analogno kao za L

[Jx , Jy ] = i~Jz[Jy , Jz ] = i~Jx[Jz , Jx ] = i~Jy

J2 = J2x + J2

y + J2z

[Jx , J2] = [Jy , J

2] = [Jz , J2] = 0

∆Jx∆Jy ≥~2

∣∣〈Jz〉∣∣




Operatori stvaranja i ponistavanja

Definicija operatora stvaranja i ponistavanja

J+ = Jx + iJy (1)

J− = Jx − iJy = J†+ (2)

Neka svojstva (dokazati za DZ - pomoc u ref. [1,2])

[Jz , J±] = ±~J± (3)

[J2, J±] = 0 (4)

J2 = J∓J± + J2z ± ~Jz (5)





pretpostavka: ϕm svojstvena funkcija od Jz sa svojstvenomvrijednoscu ~m

Jzϕm = ~mϕm , m =?

promotrimo

JzJ+ϕm(3)= (~J+ + J+Jz)ϕm = (~J+ + J+~m)ϕm

Jz(J+ϕm) = ~(m + 1)(J+ϕm)

⇒ J+ϕm svojstvena funkcija od Jz sa svojstvenom vrijednoscu ~(m + 1)





J+ϕm = ϕm+1

J+(J+ϕm) = J+ϕm+1 = ϕm+2

J−ϕm = ϕm−1

J−ϕm−1 = ϕm−2





[J2, Jz ] = 0 ⇒ pretpostavka: ϕm svojstvena funkcija od J2 sasvojstvenom vrijednoscu ~2K 2

J2ϕm = ~2K 2ϕm , K =?

promotrimo

J2(J+ϕm)(4)= J+(J2ϕm) = ~2K 2(J+ϕm)

⇒ J+ϕm = ϕm+a svojstvena funkcija od J2 sa svojstvenom vrijednoscu~2K 2





Jz

J2

ϕm±n

~m

~2K 2

Pitanje

Koliko ima svojstvenih funkcija ϕm±n?





Jz

J2

ϕm±n

~m

~2K 2

Pitanje

Koliko ima svojstvenih funkcija ϕm±n?

〈J2〉 = ~2K 2 = 〈J2x 〉+ 〈J2

y 〉+ 〈J2z 〉

~2K 2 = 〈J2x 〉+ 〈J2

y 〉+ ~2m2

J2i

DZ

≥ 0 ⇒ ~2K 2 ≥ ~2m2

|K | ≥ |m| ⇒ ∀K > 0 , −K ≤ m ≤ K





mmax ⇒ J+ϕmmax = 0

⇒

J2ϕmmax = ~2K 2ϕmmax

(5)= J2

zϕmmax + ~Jzϕmmax

~2K 2 = ~2mmax(mmax + 1)

mmin ⇒ J−ϕmmin = 0

⇒

J2ϕmmin = ~2K 2ϕmmin

(5)= J2

zϕmmin − ~Jzϕmmin

~2K 2 = ~2mmin(mmin − 1)

⇒ mmax(mmax + 1) = mmin(mmin − 1) ⇒ mmax = −mmin





m su simetricno nizani oko m = 0 za dani K





j ≡ mmax = −mmin ⇒ ~2K 2 = ~2j(j + 1)

Svojstvene vrijednosti operatora J iL

J2 = ~2j(j + 1) , j = 0, 1, 2, . . .

Jz = ~mj , mj = −j , . . . , +j

L2 = ~2l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . .

Lz = ~ml , ml = −l , . . . , +l

Degeneracija stanja

∀l ⇒ (2l + 1) m − ova





j ≡ mmax = −mmin ⇒ ~2K 2 = ~2j(j + 1)

Svojstvene vrijednosti operatora J iL

J2 = ~2j(j + 1) , j = 0, 1, 2, . . .

Jz = ~mj , mj = −j , . . . , +j

L2 = ~2l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . .

Lz = ~ml , ml = −l , . . . , +l

Degeneracija stanja

∀l ⇒ (2l + 1) m − ova

Kvantni brojevi

l orbitalni kvantni broj

m magnetski kvantni broj





Primjer 2.

Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.

1 Odredite pripadajuci l .

2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?

3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?





Primjer 2.





1 L2 = ~2l(l + 1) = 30~2 ⇒ l(l + 1) = 30 ⇒ l = 5





Primjer 2.





1 L2 = ~2l(l + 1) = 30~2 ⇒ l(l + 1) = 30 ⇒ l = 5

2 Mjerenje L2 ostavlja kotac u svojstvenom stanju od L2. Lz i L2 imajuzajednicka svojstvena stanja.

l = 5 ⇒ m = −5 , . . . , +5 ⇒ lz = −5~ , . . . , +5~

Npr. neka mjerenje da Lz = 3~. Tada kotac ostaje u stanju ϕ53.





Primjer 2.





3 l = 5 ⇒ (2l + 1) = 11




Relacije neodredenosti

Pitanje

U pokusu smo mjerili L2 i npr. Lz , te dobili vrijednosti L2 = 56~2 i Lz = 3~.Zatim mjerimo Lx , te dobijemo vrijednost Lx = 5~. Sto se dogada sa stanjemsustava? Sto se dogada s informacijom o Lz?





Pitanje

U pokusu smo mjerili L2 i npr. Lz , te dobili vrijednosti L2 = 56~2 i Lz = 3~.Zatim mjerimo Lx , te dobijemo vrijednost Lx = 5~. Sto se dogada sa stanjemsustava? Sto se dogada s informacijom o Lz?

funkcija stanja nije vise zajednicka svojstvena funkcija L2 i Lz , nego od L2 iLx

informacije o rezultatu mjerenja Lz (i Ly ) postaju vise neodredene

∆Ly∆Lz ≥~2|〈Lx〉| =

~Lx

2=

5~2

2





Pitanje

Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?





Pitanje

Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?

za dane l i m, vektor L jejednoliko razmazan po plastustosca vrsnog kuta

θ = cos−1 m√l(l + 1)





Primjer 3.

Kako izgledaju L i Lz za l = 2?





Pitanje

Da li L moze biti poravnan s Lz , tj. θ = 0?





Pitanje

Da li L moze biti poravnan s Lz , tj. θ = 0?

Ne L = ~√

l(l + 1) ⇒ Lmaxz = ~l ⇒ l <

√l(l + 1) ⇒ θ > 0 , ∀l ,m





Primjer 4.

U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~

√56. Koliki se najmanji moguci kut φ

moze mjeriti?





Primjer 4.



moze mjeriti?

L = ~√

l(l + 1) = ~√

56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7





Primjer 4.



moze mjeriti?

L = ~√

l(l + 1) = ~√

56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7

φxmin = φz

max ⇒ m = 1





Primjer 4.



moze mjeriti?

L = ~√

l(l + 1) = ~√

56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7

φxmin = φz

max ⇒ m = 1

⇒ φzmax = cos−1 1√

7(7 + 1)

= 82.32

⇒ φxmin = 7.68




Rotacijski spektar dvoatomne molekule

I = 2Ma2

EDZ=

L2

2I

⇒ H =L2

2I

S .J. ⇒ Hϕ =

(L2

2I

)ϕ = Eϕ





I = 2Ma2

EDZ=

L2

2I

⇒ H =L2

2I

S .J. ⇒ Hϕ =

(L2

2I

)ϕ = Eϕ

⇒

(L2

2I

)ϕlm = Eϕlm

⇒ El =~2l(l + 1)

2I





Primjer 5.

Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.





Primjer 5.

Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO(a = 1.13 · 10−10 m, mc = 2.0091 · 10−26 kg, mo = 2.678768 · 10−26 kg) izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.

I = µa2 =mcmo

mc + moa2 = 1.46588 · 10−46 kgm2

El =~2l(l + 1)

2I;

~2

2I= 3.79 · 10−23 J = 1.91 cm−1

ν15→ 14 = E15 − E14 ≈ 61 cm−1





Primjer 5.

Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO(a = 1.13 · 10−10 m, mc = 2.0091 · 10−26 kg, mo = 2.678768 · 10−26 kg) izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.





DZ

Dokazite da je frekvencija fotona emitiranog/apsorbiranog pri prijelazu izmedudva susjedna rotacijska stanja “krutog rotatora” momenta tromosti I dana s

~ω =

(~2

I

)(l + 1) ili

(~2

I

)l



Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja

Contents

1 Osnovna svojstva




5 Literature




Operator L u sfernim koordinatama

Cilj 99K rijesiti

L2ϕlm = ~2l(l + 1)ϕlm

Lzϕlm = ~mϕlm




Operator L u sfernim koordinatama

Sferne koordinate (DZ)

x = r sinϑ cosϕ

y = r sinϑ sinϕ

z = r cosϑ

Lx = i~(

sinϕ∂

∂ϑ+ cotϑ cosϕ

∂

∂ϕ

)Ly = i~

(− cosϕ

∂

∂ϑ+ cotϑ sinϕ

∂

∂ϕ

)Lz = −i~ ∂

∂ϕ

L2 = −~2

[1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

]

L+ = ~e iϕ(i cotϑ

∂

∂ϕ+

∂

∂ϑ

)L− = ~e−iϕ

(i cotϑ

∂

∂ϕ− ∂

∂ϑ

)




Kutna jednadzba za ϕ

L2 = L2(ϑ , ϕ)

Lz = Lz(ϑ , ϕ)

⇒ ϕlm Y ml (ϑ , ϕ)





Jednadzba za Lz

LzYml = ~mY m

l

⇒ −i~ ∂

∂ϕY m

l = ~mY ml

⇒

∂

∂ϕY m

l = imY ml

Y ml (ϑ , ϕ) = Φm(ϕ)Θm

l (ϑ)

DZ⇒ Φm(ϕ) = Ce imϕ





Pitanje

Kako glasi uvjet normiranja za Φm?





Normiranje Φm ∫ 2π

0

|Φm|2dϕ = 1

|C |2∫ 2π

0

e−imϕe imϕdϕ = 1

⇒ C =1√2π





Rubni uvjet (periodicnost) na Φm

Φ(ϕ) = Φ(ϕ+ 2π)

e imϕ = e im(ϕ+2π)

e im·2π = 1

⇒ m = 0 , ±1 , ±2 , . . .

m imaju vrijednosti cijelih brojeva - diskretne vrijednosti!





Rjesenja kutne jednadzbe za ϕ

Φm(ϕ) =1√2π

e imϕ , m = 0 , ±1 , ±2 , . . .




Kutna jednadzba za ϑ

L2Y ml = ~2l(l + 1)Y m

l

Y ml =

1√2π

e imϕΘml (ϑ)

DZ⇒ 1

sinϑ

d

dϑ

(sinϑ

dΘ

dϑ

)+

[l(l + 1)− m2

sin2 ϑ

]= 0





L2Y ml = ~2l(l + 1)Y m

l

Y ml =

1√2π

e imϕΘml (ϑ)

DZ⇒ 1

sinϑ

d

dϑ

(sinϑ

dΘ

dϑ

)+

[l(l + 1)− m2

sin2 ϑ

]= 0

Supstitucija: µ = cosϑDZ⇒

d

dµ

[(1− µ2)

dΘ

dµ

]+

[l(l + 1)− m2

1− µ2

]Θ = 0

−1 ≤ µ ≤ 1

⇒ trazimo Θ(µ)





stavimo m = 0 i l(l + 1) = λ ⇒

Legendreova jednadzba [4]

d

dµ

[(1− µ2)

dΘl

dµ

]+ λΘl = 0 , Θ0

l = Θl

Pitanje

Mozete li iz usporedbe Legendreove jednadzbe s jednadzbom svojstvenihvrijednosti za L2

−~2

[1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

]Y m

l = ~2l(l + 1)Y ml

zakljuciti za koji operator je Legendreova jednadzba ustvari jednadzbasvojstvenih vrijednosti i s kojom svojstvenom vrijednoscu?





stavimo m = 0 i l(l + 1) = λ ⇒

Legendreova jednadzba [4]

d

dµ

[(1− µ2)

dΘl

dµ

]+ λΘl = 0 , Θ0

l = Θl

Pitanje

Mozete li iz usporedbe Legendreove jednadzbe s jednadzbom svojstvenihvrijednosti za L2

−~2

[1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

]Y m

l = ~2l(l + 1)Y ml

zakljuciti za koji operator je Legendreova jednadzba ustvari jednadzbasvojstvenih vrijednosti i s kojom svojstvenom vrijednoscu?

L2

~2

m=0 λ





Pretpostavimo rjesenje u obliku reda po potencijama od µ:

Pridruzene Legendreove funkcije [5]

Pml (µ) = (1− µ2)|m|/2 d|m|

dµ|m|Pl(µ) = P−m

l (µ)





Pretpostavimo rjesenje u obliku reda po potencijama od µ:

Rodriguesova formula za Legendreove polinome Pl [6]

Pl(µ) =1

2l l!

dl

dµl(µ2 − 1)l





d|m|

dµ|m|(Legendreova jednadzba)

Θl=Pl=⇒

d

dµ

[(1− µ2)

dPml

dµ

]+

[l(l + 1)− m2

1− µ2

]Pml = 0

Pitanje

Sto mozete zakljuciti usporedujuci ovu jednadzbu s jednadzbom za Θ?





d|m|

dµ|m|(Legendreova jednadzba)

Θl=Pl=⇒

d

dµ

[(1− µ2)

dPml

dµ

]+

[l(l + 1)− m2

1− µ2

]Pml = 0

Pitanje

Sto mozete zakljuciti usporedujuci ovu jednadzbu s jednadzbom za Θ?

Θml ! Pm

l ⇒ Θml = N · Pm

l





Uvjet normiranja

∫|Y m

l |2dΩ = 1 ⇒ N =

√(2l + 1)

2

(l − |m|)!

(l + |m|)!




Sferni harmonici

Sferni harmonici (kugline funkcije) [7]

Y ml (ϑ, ϕ) = Θm

l (ϑ)Φm(ϕ) = ε

√(2l + 1)

4π

(l − |m|)!

(l + |m|)!e imϕ Pm

l (cosϑ) ,

ε =

(−1)m , m > 01 , m ≤ 0




Sferni harmonici

Pitanje

Sto mozete zakljuciti o |Y ml |, ako uocite da |Y m

l | ovisi samo o ϑ

|Y ml | = |ε|

√(2l + 1)

4π

(l − |m|)!

(l + |m|)!|Pm

l (cosϑ)| ?




Sferni harmonici

Pitanje [8]

Sto mozete zakljuciti o |Y ml |, ako uocite da |Y m

l | ovisi samo o ϑ

|Y ml | = |ε|

√(2l + 1)

4π

(l − |m|)!

(l + |m|)!|Pm

l (cosϑ)| ?

⇒ |Y ml | povrsina rotacije oko z-osi




Sferni harmonici

Razvoj po sfernim harmonicima

ζ(ϑ, ϕ) =∞∑l=0

∑|m|≤l

almYml (ϑ, ϕ) , ∀ζ(ϑ, ϕ)

alm = 〈Y ml |ζ〉 =

∫ 2π

0

dϕ

∫ 1

−1

[Y ml (ϑ, ϕ)]∗ ζ(ϑ, ϕ)d cosϑ

Pitanje

Ako se sistem nalazi u stanju ζ(ϑ, ϕ), kolika je vjerojatnost da ce se za:

1 L2 dobiti vrijednost ~2l(l + 1),

2 Lz dobiti vrijednost ~m?




Sferni harmonici

Razvoj po sfernim harmonicima

ζ(ϑ, ϕ) =∞∑l=0

∑|m|≤l

almYml (ϑ, ϕ) , ∀ζ(ϑ, ϕ)

alm = 〈Y ml |ζ〉 =

∫ 2π

0

dϕ

∫ 1

−1

[Y ml (ϑ, ϕ)]∗ ζ(ϑ, ϕ)d cosϑ

Pitanje

Ako se sistem nalazi u stanju ζ(ϑ, ϕ), kolika je vjerojatnost da ce se za:

1 L2 dobiti vrijednost ~2l(l + 1),

2 Lz dobiti vrijednost ~m?

1 P[~2l(l + 1)

]=∑|m|≤l

|alm|2

2 P [~m] =∞∑

l=|m|

|alm|2




Sferni harmonici

Primjer 6.

Neka se rotator nalazi stanju

ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .

Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?




Sferni harmonici

Primjer 6.




1 razvijemo ζ po Y tako da uocimo

Y 22 ∼ sin2 ϑe2iϕ

Y−22 ∼ sin2 ϑe−2iϕ

⇒ ζ = a22Y2

2 + a2−2Y−2

2




Sferni harmonici

Primjer 6.




1 razvijemo ζ po Y tako da uocimo

Y 22 ∼ sin2 ϑe2iϕ

Y−22 ∼ sin2 ϑe−2iϕ

⇒ ζ = a22Y2

2 + a2−2Y−2

2

2 a22, a2−2 ⇒ l = 2 , m = ±2

~2l(l + 1) = 6~2 , P(6~2)?= 1

~m = ±2~ , P(2~)?= 1/2




Sferni harmonici

Primjer 7.

Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?




Sferni harmonici

Primjer 7.


l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1

1 =∑

m amX , am P(m)

LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)

Pitanje

Zasto X nisu jednake Y ?




Sferni harmonici

Primjer 7.


l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1

1 =∑

m amX , am P(m)

LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)

Y svojstvene funkcije od L2 ⇒

X =∑

m=−1,0,1

bmYm

1




Sferni harmonici

Primjer 7.


l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1

1 =∑

m amX , am P(m)

LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)

Y svojstvene funkcije od L2 ⇒

X =∑

m=−1,0,1

bmYm

1

Lx = 12(L+ + L−)

L+Y1

1 = 0 , L+Y0

1 =√

2~Y 11 , L+Y

−11 =

√2~Y 0

1

L−Y1

1 = Y 01 , L−Y

01 =√

2~Y−11 , L−Y

−11 = 0




Sferni harmonici

Primjer 7.


[b1Y

01 + b0(Y 1

1 + Y−11 ) + b−1Y

01

]=√

2α(b1Y1

1 + b0Y0

1 + b−1Y−1

1 )

⇒

−√

2α 1 0

1 −√

2α 0

0 1 −√

2α

b1

b0

b−1

= 0

⇒ α(α2 − 1) = 0 ⇒ α = 0,±1




Sferni harmonici

Primjer 7.


U.N.⇒X0 = 1√

2(Y 1

1 − Y−11 ) , α = 0

X+ = 12(Y 1

1 +√

2Y 01 + Y−1

1 ) , α = +1

X− = 12(Y 1

1 −√

2Y 01 + Y−1

1 ) , α = −1

Y 11 =

1

2(X+ +

√2X0 + X−) ⇒

P(+~) = 14

P(−~) = 14

P(0) = 12




Sferni harmonici

Primjer 7.




Kutna kolicina gibanja vise cestica

Contents

1 Osnovna svojstva




5 Literature




Dvije cestice

L2 = (L1 + L2)2 = L21 + L2

2 + 2L1L2

Lz = L1z + L2z




Dvije cestice

Pitanje

Neka se sistem nalazi u stanju s odredenim vrijednostima od L1z i L2z (npr. m1

i m2), |l1l2m1m2〉. Zatim se mjeri L2. Da li ce nakon mjerenja L2 sistem bitiopet u stanju |l1l2m1m2〉?




Dvije cestice

Pitanje

Neka se sistem nalazi u stanju s odredenim vrijednostima od L1z i L2z (npr. m1

i m2), |l1l2m1m2〉. Zatim se mjeri L2. Da li ce nakon mjerenja L2 sistem bitiopet u stanju |l1l2m1m2〉?

Nece, jer npr.[L1z , L

2] DZ

= 2i~(L1yL2x − L1xL2y ) 6= 0.

⇒ trebaju nam skupovi komutirajucih operatora




Dvije cestice

(L1z , L2z , L21, L

22)

(L21, L

22, L

2, Lz)

potpuni skupovi operatora

(l1, l2,m1,m2)

(lml1l2) , m = m1 + m2

dobri kvantni brojevi

DZ

Dokazite da operatori iz potpunog skupa svi medusobno komutiraju.




Dvije cestice

(l1, l2,m1,m2) (lml1l2)

99K Pogledajte ref. [9].




Dvije cestice

Primjer 8.

Neka se sistem nalazi u stanju |lml1l2〉 = |1,−1, 1, 1〉. Kolika je vjerojatnost dace (m1,m2) imati vrijednost (0,−1) ili (−1, 0)?




Dvije cestice

Primjer 8.

Neka se sistem nalazi u stanju |lml1l2〉 = |1,−1, 1, 1〉. Kolika je vjerojatnost dace (m1,m2) imati vrijednost (0,−1) ili (−1, 0)?

m = m1 + m2 = −1DZ⇒ |1,−1, 1, 1〉 = C0,−1|1, 0〉|1,−1〉+ C−1,0|1,−1〉|1, 0〉

L−|1,−1, 1, 1〉 DZ= 0

L− = L1− + L2−

L−|1,−1, 1, 1〉 = (L1− + L2−)(C0,−1|1, 0〉|1,−1〉+ C−1,0|1,−1〉|1, 0〉)DZ= ~

√2(C0,−1 + C−1,0)|1,−1〉|1,−1〉

⇒ C0,−1 = −C−1,0

U.N.⇒ C0,−1 =1√2

⇒ P(0,−1) = P(−1, 0) = |C0,−1|2 =1

2




Dvije cestice

Zadatak

Koje su dopustene (najvece i najmanje) vrijednosti (l ,m) za dane (l1, l2)?




Dvije cestice

Najvece vrijednosti

Lz = L1z + L2z ⇒ mmax = m1max + m2max = l1 + l2 ⇒ lmax = l1 + l2




Dvije cestice

Najmanje vrijednosti

l1, l2 ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) nezavisnih svojstvenih stanja




Dvije cestice

Najmanje vrijednosti

l1, l2 ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) nezavisnih svojstvenih stanja

l1+l2∑l=lmin

(2l + 1) = (2l1 + 1)(2l2 + 1)DZ⇔ lmin = |l1 − l2|




Dvije cestice

l = |l1 − l2| , . . . , l1 + l2

Npr. sistem od jednog p i jednog d elektrona:

p elektron (l1 = 1)

d elektron (l2 = 2)

⇒ l = 1, 2, 3 ⇒ L =

~√

2

~√

6

~√

12

Broj stanja =

l1+l2∑l=lmin

(2l + 1) =3∑

l=1

(2l + 1) = 15




Vise cestica

N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih

stanja




Vise cestica


stanja

1 N = 2

⇒ L2 = (L1 + L2)2 ~2l(l + 1) , l = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|




Vise cestica


stanja

1 N = 2

⇒ L2 = (L1 + L2)2 ~2l(l + 1) , l = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|

2 N = 3L2 = (L1 + L2 + L3)2 =

∣∣∣L′ = L1 + L2

∣∣∣ = (L′ + L3)2

L′2 l ′ ⇒ l = l ′ + l3, . . . , |l ′ − l3|

Npr. l1 = l2 = l3 = 1 ⇒ l ′ = l1 + l2, . . . , |l1 − l2| = 0, 1, 2

l ′ = 0 99K l = 1l ′ = 1 99K l = 0, 1, 2l ′ = 2 99K l = 1, 2, 3

⇒ l = 0, 1, 2, 3 , broj stanja = 27




Vise cestica


stanja

3 N = . . .

l ′ = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|l ′′ = l ′ + l3, . . . , |l ′ − l3|l ′′′ = l ′′ + l4, . . . , |l ′′ − l4|

...



Literature

Contents

1 Osnovna svojstva




5 Literature



Literature

Literature

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 http://www.ams.org/notices/200911/rtx091101440p.pdf

5 Aplet - Pridruzene Legendreove funkcije

6 Aplet - Legendreovi polinomi

7 Aplet - Kompleksni sferni harmonici

8 Aplet - Sferni harmonici

9 Aplet - Zbrajanje L

10 Aplet - C-G koeficijenti


http://demonstrations.wolfram.com/PolarPlotsOfLegendrePolynomials/

http://demonstrations.wolfram.com/PlotsOfLegendrePolynomials/

http://demonstrations.wolfram.com/ComplexSphericalHarmonics/

http://demonstrations.wolfram.com/SphericalHarmonics/

http://demonstrations.wolfram.com/AdditionOfAngularMomentaInQuantumMechanics/

http://demonstrations.wolfram.com/ClebschGordanCoefficients/

Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj...

Documents

Transcript of Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj...