Mathematiques discretesOperations sur les ensembles

Cours 10, MATH/COSC 1056F

Julien Dompierre

Departement de mathematiques et dinformatique

Universite Laurentienne

25 septembre 2007, Sudbury

Definition : union des ensembles

DefinitionSoit A et B des ensembles. Lunion des ensembles A et B , noteeA B , est lensemble qui contient les elements qui sont soit dansA, soit dans B , ou dans les deux.

A B = {x | (x A) (x B)}.

A B

U

Definition : intersection des ensembles

DefinitionSoit A et B des ensembles. Lintersection des ensembles A et B ,notee A B , est lensemble contenant les elements appartenant ala fois a A et a B .

A B = {x | (x A) (x B)}.

A B

U

Definition : ensembles disjoints

DefinitionDeux ensembles sont disjoints ou mutuellement exclusifs si leurintersection est lensemble vide.

U

AB

Principe dinclusion-exclusion

Le nombre delements dans lunion de deux ensembles est lenombre delements du premier ensemble plus le nombre delementsdu deuxieme ensemble, moins le nombre delements qui ont etecomptes deux fois, soit ceux dans lintersection des deux ensembles.

Theorem

|A B | = |A| + |B | |A B |

Definition : difference densembles

DefinitionSoit A et B des ensembles. La difference de A et B , notee A B ,est lensemble contenant les elements qui se trouvent dans A maisnon dans B .

A B = {x | (x A) (x /B)}.

A B

U

Definition : difference symetrique densembles

DefinitionSoit A et B des ensembles. La difference symetrique de A et B ,notee A B , est lensemble contenant les elements qui se trouventdans A ou dans B , mais pas dans les deux a la fois.

A B = {x | (x A) (x B)}.

A B

U

Definition : complement densembles

DefinitionSoit U lensemble universel. Le complement de lensemble A,notee A ou Ac est lensemble des elements de U quinappartiennent pas a A. En dautres termes, le complement delensemble A est la difference U A.

A = {x | x /A}.

U

A

Proprietes des operations sur les ensembles

Identite Nom

A = A IdentiteAU = AAU = U DominationA =

AA = A IdempotenceAA = A

A (AB) = A AbsorptionA (AB) = A

(A) = A Complementarite

Proprietes des operations sur les ensembles

Identite Nom

AB = B A CommutativiteAB = B A(AB)C = A (B C ) Associativite(AB)C = A (B C )A (B C ) = (AB) (AC ) DistributiviteA (B C ) = (AB) (AC )

AB = AB Lois de De MorganAB = AB

AA = U Loi du complementAA =

Table dappartenance

On considere chaque combinaison densembles a laquelle unelement peut appartenir. Pour indiquer quun element est dans unensemble, on utilise 1, et 0 sil nest pas dans cet ensemble. Celapermet de verifier que deux expressions sont egales.

Exemple : La loi de De Morgan : AB = AB

A B A B A B A B A B1 1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1

Definition : union generalisee densembles

DefinitionLunion dune collection densembles est lensemble contenant leselements qui appartiennent a au moins un ensemble dans lacollection.

On utilise la notation

A1 A2 An =n

i=1

Ai

pour designer lunion des ensembles A1,A2, ...,An.

Exemple dunion generalisee

Ce diagramme de Venn illustre lunion des ensembles A, B et C .

A B

U

C

Definition : intersection generalisee densembles

DefinitionLintersection dune collection densembles est lensemblecontenant les elements qui appartiennent simultanement a chacundes ensembles.

On utilise la notation

A1 A2 An =n

i=1

Ai

pour designer lintersection des ensembles A1,A2, ...,An.

Exemple dintersection generalisee

Ce diagramme de Venn illustre lintersection des ensembles A, Bet C .

A B

U

C