Opération et systèmes de décisionFaculté des Sciences de l ’administration

MQT-21919 Probabilités et statistique

Mesures caractéristiques

LecturesLectures

Livre du cours:– Sections 3.1, 3.2, 3.6 et annexe 3.2

Volume recommandé: "Statistique et gestion en économie"– Sections 2.3.1, 2.3.2

Étape 3 : Calcul des mesures Étape 3 : Calcul des mesures caractéristiquescaractéristiques

Si les données sont issues d’un échantillon de n éléments, les mesures numériques sont calculées en utilisant ces n observations– Ces mesures sont appelées des statistiques d’échantillon

Si elles sont issues d’une population, on parle alors de paramètres de la population– Paramètres souvent inconnus, on cherche à les estimer en

calculant des statistiques d'échantillon aussi appelées estimateurs ponctuels.

Calcul des mesures caractéristiquesCalcul des mesures caractéristiques

Méthodes numériques qui permettent de résumer les données

Ces nombres représentatifs que nous nommons caractéristiques des séries statistiques permettent d’ajouter une signification concrète à l’interprétation des résultats et faciliteront la comparaison de deux ou plusieurs séries de données

Calcul des mesures caractéristiquesCalcul des mesures caractéristiques

On distingue deux types de caractéristiques :– Les caractéristiques de tendance centrale (de position)

• Elles permettent d'obtenir une idée de l'ordre de grandeur des valeurs de la série et indiquent la position où semble se rassembler les valeurs de la série

– Les caractéristiques de dispersion:• Elle quantifient les fluctuations des valeurs observées et

leur étalement

Calcul des mesures caractéristiquesCalcul des mesures caractéristiques

Les caractéristiques de position (tendance centrale): – La moyenne arithmétique– La médiane– Le mode– Les percentiles (fractiles, quantiles)

La moyenne pour des données non-La moyenne pour des données non-groupéesgroupées

Lorsque les données à traiter sont celles de toute

une population

n

x

x

n

ii

1

N

xN

ii

1

Lorsque les données à traiter proviennent d’un

échantillon

Pour données non-groupées :(si on utilise les fréquences absolues)

La moyenne échantillonnaleLa moyenne échantillonnale

(si on utilise les fréquences relatives)

k

ii

i xn

fx

1

1

1i

k

ii xf

nx

k est le nombre de modalités différentes que prend la variable X

• La statistique la plus utilisée

• Affectée par les valeurs extrêmes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Moyenne = 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Moyenne = 6

La moyenneLa moyenne

Notation n = le nombre total d’observations

fi = la fréquence absolue de la classe i

Mi = le centre de la classe i

xi = les différentes modalités d’un caractère ou les différentes valeurs prises par une variable statistique.

Moyenne pour données Moyenne pour données groupéesgroupées

Pour données groupées :

1

n

Mf

x

k

iii

Où Mi est le point milieu de la ième

classe

1

N

Mfk

iii

Moyenne pour données groupéesMoyenne pour données groupées

Lorsque les données proviennent d'une

population

Lorsque les données proviennent d'un

échantillon

La médianeLa médiane

La médiane est la valeur qui sépare, aussi exactement que possible, une série statistique en deux parties égales par rapport au nombre de données, une fois celles-ci classées en ordre ascendant

La médiane (pour valeurs non groupées)La médiane (pour valeurs non groupées)

Lorsque les données sont classées en ordre croissant, la médiane correspond à la valeur centrale. Si le nombre d’observations est pair, la médiane est la moyenne des deux observations centrales. S'il est impair, la médiane est la valeur de la série dont le rang est dans le classement ascendant

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Médiane = 5

Médiane = 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pas affectée par les valeurs extrêmes

1

2

n

LMé: la limite inférieure de la classe contenant la médianen: le nombre total de données dans la série

FMé: la fréquence cumulée jusqu’à la classe médiane (excluant la fréquence de cette classe)

fMé: la fréquence de la classe médiane

C : l’amplitude de la classe

La médiane (pour valeurs groupées)La médiane (pour valeurs groupées)

La médiane (pour valeurs groupées)La médiane (pour valeurs groupées)par interpolation linéairepar interpolation linéaire

Classes Fréquences absolues

Fréquences cumulées croissantes

Moins de 25 ans

18 18

25≤X <30 54 72

30≤X < 35 72 144

35≤X <40 84 228

40≤X < 45 36 264

45≤X < 50 22 286

50 ans et plus 14 300

Cf

FnLMé Mé

Mé -0,5

Mé

= 35,36

5* 84

144-300)*(0,535Mé

Dans le cas de valeurs groupées, on pose l'hypothèse selon laquelle les valeurs sont uniformément réparties à l'intérieur de chaque classe.

Le mode (Mo)Le mode (Mo)

Le mode d’une série (s’il existe) est la valeur la plus fréquente.– Pour valeurs non groupées: exemple ci-dessous

– Pour valeurs groupées, on parle plutôt de classe modale

– Pas affecté par les valeurs extrêmes

– Il peut y avoir plusieurs modes

– Il peut ne pas y avoir de mode

– OK avec données qualitatives et quantitatives

Mode = 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Aucun mode

Extrait du volume Martel et Nadeau (p. 55)

CLMo21

1Mo

LMo = la limite inférieure de la classe modale

= la différence entre la fréquence de la classe modale et la fréquence de la classe précédente

= la différence entre la fréquence de la classe modale et la fréquence de la classe suivante

C = l’amplitude de la classe modale

1

2

Le mode (pour valeurs groupées)Le mode (pour valeurs groupées) par interpolation linéaire par interpolation linéaire

Le mode (pour valeurs groupées)Le mode (pour valeurs groupées)

CLMo21

1Mo

ClassesSalaires

hebdomadaires

Fréquences Fréquences relatives

Fréquences relatives cumulées

215-234,99 4 0,0533 0,0533

235-254,99 6 0,0800 0,1333

255-274,99 13 0,1734 0,3067

275-294,99 22 0,2933 0,6000

295-314,99 15 0,2000 0,8000

315-334,99 6 0,0800 0,8800

335-354,99 5 0,0667 0,9467

355-374,99 4 0,0533 1

Mo = 286,25

02)1522()1322(

)1322(752Mo

Tableau 2.5 Extrait de Martel et Nadeau (p. 29) ,

Les percentiles (fractiles, quantiles) pour données Les percentiles (fractiles, quantiles) pour données non groupéesnon groupées

- Le pe percentile est une valeur telle qu’au moins p% des observations ont une valeur inférieure ou égale à cette valeur - Le percentile fournit des informations sur la manière dont les observations sont réparties dans l'intervalle entre la plus petite et la plus grande valeur

Étape 1 : classer les données en ordre croissant

Étape 2 : calculer un indice i

Étape 3 : - Si i n’est pas un nombre entier, l’arrondir. La position du pe percentile correspond à l’entier supérieur à i. - Si i est un nombre entier, la position du pe percentile correspond à la moyenne des valeurs des observations i et i+1.

np

i

100

Les percentiles (fractiles, quantiles) pour données Les percentiles (fractiles, quantiles) pour données non groupéesnon groupées

- Exemple: 85e percentile de la série des salaires mensuels :2350 2450 2550 2380 2255 2390 2630 2440 2825 2420 2380

Étape 1 : classer les données en ordre croissant2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825

Étape 2 : calculer un indice i

Étape 3 : - Si i n’est pas un nombre entier, l’arrondir. La position du pe percentile correspond à l’entier supérieur à i (i non arrondi).

i = 11, 85e percentile =2630 - Si i est un nombre entier, la position du pe percentile correspond à la moyenne des valeurs des observations i et i+1.

np

i

100

2,1012100

85

i

Percentiles pour les données groupéesPercentiles pour les données groupées

On peut utiliser la formule d'interpolation linéaire (règle de 3) pour estimer les valeurs individuelles dans une classe, et ensuite appliquer la formule pour calculer un percentile pour des données non-groupées.

Ou on peut calculer le pème percentile comme suit:

Cf

FpLx

px

px

pxp

Lxp: La limite inférieure de la classe qui contient xp

Fxp: La fréquence cumulative jusqu'à la classe

contenant xp (excluant la fréquence de cette classe)

fxp: La fréquence de la classe qui contient xp

C : L'amplitude de la classe qui contient xp

PercentilesPercentiles pour données groupéespour données groupées

Cas particulier de percentiles :

Q1 = premier quartile (p=25)

c’est donc la moyenne des valeurs des 3e et 4e observations = (2350+2380)/2= 2365.

Q2 = deuxième quartile (p=50) (médiane)

Q3 = troisième quartile (p=75)

Les quartilesLes quartiles

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

312100

25

in

pi

100

Les quartiles - données groupéesLes quartiles - données groupées

1

1

1

4

1

nQ

QQ

FQ L C

f

3

3

3

34

3

nQ

QQ

FQ L C

f

LQi :limite inférieure de la classe qui contient Qi

n: nombre de données dans la sérieFQi: somme des fréquences absolues des classes précédant la classe qui contient le premier (troisième) quartilefQi: fréquence absolue de la classe contenant le ième quartileC: amplitude de la classe

Les caractéristiques de dispersionLes caractéristiques de dispersion

Elles quantifient les fluctuations des valeurs observées et leur étalement.

Variation

Variance Écart type

Population:Variance =

Échantillon:

Variance=S

Population:Écart type =

Échantillon Écart type=S

Étendue

Étendue interquartile

Variation

Variance Écart type

Population:Variance =

Échantillon:

Variance=S

Population:Écart type =

Échantillon Écart type=S

Étendue

Étendue interquartile

C’est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série statistique.

E =

*Ignore comment les données sont réparties

L’étendue (E)L’étendue (E)

minmax xx

7 8 9 10 11 12

Étendue = 12 - 7 = 5

7 8 9 10 11 12

Étendue = 12 - 7 = 5

Mesure l’étendue de la moitié centrale des observations

Étendue interquartile =

Pas affectée par les valeurs extrêmes.

Etendue interquartile EIQEtendue interquartile EIQ

13 QQ

Variance et écart typeVariance et écart type

Cette mesure (la variance) évalue l’étalement d’une série par rapport à la moyenne.

Variance pour données non groupées :

1

2

2

n

xxs

i N

xi

2

2

Variance d’un échantillon

Variance d’une population

Ou encore (pour données non groupées):

Variance et écart typeVariance et écart type

1

22

2

n

xnx

s ii

L’écart type est simplement la racine carrée de la variance.

Calcul de la variance d’échantillonCalcul de la variance d’échantillon

Salaire mensuel

Moyenne d’échantillon

Écart par rapport à la moyenne

Écart au carré par rapport à la moyenne

2350 2440 -90 8 1002450 2440 10 1002550 2440 110 12 1002380 2440 -60 3 600

2255 2440 -185 34 225

2210 2440 -230 52 900

2390 2440 -50 2 5002630 2440 190 36 1002440 2440 0 02825 2440 385 148 2252420 2440 -20 4002380 2440 -160 3 600

xxi 2xxi

0xxi 850 3012xxi

91,440 27

11

850 301

1

22

n

xxs i

Variance et écart typeVariance et écart type

Variance pour données groupées :

1

2

2

n

xMf

s iii

N

Mfi

ii

2

2

Si on a un élément par classe, alors Mi correspond à xi

VarianceVariance

Une autre façon de la calculer pour des données groupées:

1

22

2

n

xnMf

si

ii 2 2

2i i

i

f M N

N

Comparaison d’écarts typesComparaison d’écarts types

Moy. = 15,5 s = 3,338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Groupe B

Groupe A

Moy. = 15,5 s = 0,9258

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Moy. = 15,5 s = 4,57

Groupe C

Le coefficient de variation est une mesure de dispersion relative, il permet d’apprécier la représentativité de la moyenne arithmétique par rapport à l’ensemble des observations (souvent

exprimé en %).

Le coefficient de variationLe coefficient de variation

100%

X

SCV

Exemple 3Exemple 3

Vous trouverez dans le tableau ci-dessous la distribution des fréquences de la taille en mm de 100 poissons choisis au hasard à partir de pêches effectuées au large de la Californie:

– Estimer la taille moyenne des poissons et l'écart type. 382,75; 32,31

– Trouver la taille médiane des poissons et le mode. 383,3; 387,5

– Dessiner l'histogramme de ces données

– Quels sont les premier et troisième quartiles?• Plusieurs réponses sont acceptées: Q1=362,5 ou 359,38 ou 358,85

• Plusieurs réponses sont acceptées: Q3=412,5 ou 405,68 ou 405,13

Longueur (mm) Nombre de poissons 275 à 300 1 300 à 325 1 325 à 350 14 350 à 375 24 375 à 400 30 400 à 425 22 425 à 450 6 450 à 475 2

Total 100

Exemple 4Exemple 4Selon une étude faite en septembre 1997 par l’Institut de recherche et d’information sur la

rémunération (IRIR), les employés municipaux gagnent cette année 30 % de plus que les

fonctionnaires provinciaux du Québec. Pour vérifier le bien-fondé de cette recherche, vous avez recueilli les

données suivantes:

Employés municipaux Fonctionnaires provinciaux

Classe de revenu Fréquence Classe de revenu Fréquence

25 000 ≤ X < 35 000 2 15 000 ≤ X < 25 000 1

35 000 ≤ X < 45 000 8 25 000 ≤ X < 35 000 4

45 000 ≤ X < 55 000 8 35 000 ≤ X < 45 000 10

55 000 ≤ X ≤ 65 000 7 45 000 ≤ X ≤ 55 000 5

a) Estimez le pourcentage des employés municipaux qui ont un salaire annuel supérieur à 48 150 $ 50%

b) Quel est le salaire annuel moyen des employés municipaux ? 48 000 $

c) Quel est l’écart type du salaire annuel des employés municipaux ? 9574,27 $

d) Trente-trois pour cent (33 %) des fonctionnaires provinciaux les mieux payés ont un salaire annuel

supérieur à quelle valeur ? 43 400 $

e) Si le salaire annuel moyen des fonctionnaires provinciaux est de 39 500 $ et si l’écart type de

ce salaire annuel est 8 255,78 $, est-il vrai de dire, d’après notre échantillonnage, que les

employés municipaux gagnent cette année 30 % de plus que les fonctionnaires provinciaux

du Québec ? Justifier votre réponse.