operacny vyskum

Katedra operačného výskumu a ekonometrie Písomná skúška z operačného výskumu, skupina A

Meno a priezvisko: Ročník: Skúšajúci:

Teoretické otázky:

1. Formulujte rovnicu endogénnych a exogénnych zdrojov v maticovom modeli podniku! (2b) .......

.................................................................................................................................................................

2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho stĺpca v simplexovej tabuľke v minimallizačnej úlohe! (2b)

.................................................................................................................................................................

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke prázdna množina prípustných riešení? (2b) ...........................

.................................................................................................................................................................

4. Napíšte vzťah pre hodnoty ÚF v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je primárna

úloha maximalizačná? (2b) ....................................................................................................................

5. Ako sa prejaví alternatívne riešenie v dopravnej úlohe? (2b) ............................................................

.................................................................................................................................................................

6. Definujte princíp agregácie cieľových funkcií! (2b) ..........................................................................

.................................................................................................................................................................

7. Definujte najneskôr prípustný začiatok činnosti! (2b) .......................................................................

8. Čo to znamená splnenie požiadavky permanentného režimu v modeloch obsluhy s viacerými

kanálmi? (2b) ..........................................................................................................................................

9. Vysvetlite graficky model zásob s deficitom! (2b)

10. Napíšte všeobecný tvar rovnice obnovy s jednoduchou reprodukciou s rovnorodou začiatočnou

vekovou štruktúrou! (2b) ........................................................................................................................

1. príklad:

Elektrotechnický podnik vyrába spotrebnú elektroniku. Všetky súčiastky produkuje sám, len integrované obvody a tranzistory nakupuje. Ročne podnik vyrobí 8000 spotrebičov. Dodávateľ predáva podniku integrované obvody a tranzistory v sadách po 820.-Sk. Náklady dodávky predstavujú 250.- Sk, náklady skladovania 16 Sk/jednotku/rok a dodacia lehota je 12 týždňov (predpokladáme, že rok má 52 týždňov). Určte a vypočítajte: 1. Optimálnu veľkosť dodávky (objednávky). (2b) ...............................................................................

2. Hladinu objednania a počet dodávok na ceste. (2b) ...........................................................................

3. Dĺžku dodacieho cyklu a spotrebu počas neho. (2b) ..........................................................................

4. Celkové náklady. (2b) ........................................................................................................................

5. Výšku variabilných nákladov. (2b) ....................................................................................................

2. príklad: Je daná distančná matica medzi 10 mestami, pričom smer pohybu dopravných spojov môže ísť obidvomi smermi. Hľadáme najkratšiu cestu z mesta A do mesta J.

mestá A B C D E F G H I J A - 30 28 35 - - - - - -

Strana 1


B 30 - - - 20 - - - - - C 28 - - 29 - 40 - - - - D 35 - 29 - 21 - - - - - E - 20 - 21 - 25 36 24 - 52 F - - 40 - 25 - 23 - 35 - G - - - - 36 23 - - - 72 H - - - - 24 - - - - 31 I - - - - - 35 - - - 42 J - - - - 52 - 72 31 42 -

1. Zostavte graf, ktorý popisuje spojenie jednotlivých ciest (2b)

2. Vypočítajte pomocou Dantzigovho algoritmu najkratšiu cestu z mesta A do mesta J (6b)

3. Určte najkratšie cesty z mesta A do ostatných miest (2b)

3. príklad:

Drevársky podnik vyrábajúci nábytok pozostáva z 3 závodov, ktorými sú: výroba elektrickej energie, spracovanie dosiek, výroba nábytku. Časť výstupov z týchto závodov sa spotrebúva v rámci podniku a časť je určená na odbyt. Abstrahuje sa od surovín potrebných na výrobu energie. V závode, kde sa vyrábajú opracované dosky sa spotrebuje 12 kWh elektrickej energie a 3,8 t dreva. V závode vyrábajúcom nábytok sa spotrebuje 11 kWh elektrickej energie a 1,4 t opracovaných dosiek. Odbyt elektrickej energie do spotrebnej siete je 10 kWh a v maloobchodných predajniach je odbyt dosiek 1,5 t a nábytku 100 kusov. Úlohy:

1. Zostavte schému tokov medzi jednotlivými závodmi! (2b)

2. Zostavte sústavu bilančných rovníc! (2b)

3. Definujte maticový model I! (2b)

Strana 2


4. Ekonomicky interpretujte jednotlivé koeficienty matice A a B! (2b)

5. Ekonomicky interpretujte maticový model I! (2b)

6. Ak matica (I-A)-1 má tvar 1 4,14 0,17 zostavte maticový model II! (2b)

0 1 0,014

0 0 1

7. Popíšte koeficienty matice (I-A)-1 a B(I-A)-1 , predovšetkým prvok (1,3) inverznej matice ! (2b)

8. Ekonomicky interpretujte maticový model II! (2b)

9. Vypočítajte vplyv zvýšenia celkového množstva nábytku na 120 na odbyt a exogénny zdroj! (2b)

10. Ak potrebuje dať do siete o 50 % viac elektrickej energie a nábytku, zistite ako sa zmenia hodnoty

celkovej produkcie a exogénneho zdroja! (2b)

Strana 3


4. príklad:

Firma vlastní tri pekárne, ktoré rozvážajú chlieb do piatich predajní. Pekáreň A denne vyprodukuje 150 kg, pekáreň B 230 kg a pekáreň C 180 kg chleba. Jednotlivé predajne denne odoberajú 70 kg (predajňa 1), 90 kg (predajňa 2 a 4), 120 kg (predajňa 3) a 100 kg (predajňa 5). Prepravné náklady v Sk sú uvedené v tabuľke.

predajňa 1 predajňa 2 predajňa 3 predajňa 4 predajňa 5 pekáreň A 13 11 10 15 12 pekáreň B 14 9 15 11 14 pekáreň C 12 11 15 15 10

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu! (6b)

2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF. (6b)

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! Ekonomicky ho interpretujte! (6b)

4. Zistite, či je možné uplatniť vlastnosť viacej za menej a ak nie, definujte všetky podmienky ktoré musí úloha spĺňať, aby sa dala aplikovať vlastnosť viacej za menej! (2b)

Strana 4

Katedra operačného výskumu a ekonometrie Písomná skúška z operačného výskumu, skupina B



1. Popíšte význam komplexných koeficientov exogénnych zdrojov v maticovom modeli podniku!

(2b) .........................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

2. Definujte prípustné riešenie ÚLP! (2b) .............................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke úloha s neohraničenou množinou prípustných riešení? (2b) .

.................................................................................................................................................................

4. Ekonomicky interpretujte ocenenia duálnych premenných a vzťah pre ich výpočet! (2b) ................

.................................................................................................................................................................

5. Odvoťe (graficky a numericky) Wilsonov vzorec! (6b)

6. Definujte úlohu kompromisného programovania! (4b)

7. Napíšte vzťah pre výpočet optimálnej životnosti, ak poznáte náklady na údržbu na začiatku

prevádzkovania a koeficient ich narastania! (2b) ...................................................................................

1. príklad: V malom mestečku sa rozhodla banka otvoriť pobočku a predmetom rozhodnutia je určenie

optimálneho počtu okienok tak, aby náklady boli minimálne. Predpokladá sa pritom, že do banky príde priemerne 20 klientov za hodinu a priemerný čas vybavenia jedného klienta bude 5 minút. Náklady, vyplývajúce z pobytu klienta v banke, možno ohodnotiť sumou 200 Sk a náklady na činnosť jednej prepážky možno ohodnotiť sumou 250 SK za hodinu. Určte optimálny počet prepážok! (10b)

Strana 1



mestá A B C D E F G H I A - 30 25 42 - - - - - B 30 - 22 - 50 - - - - C 25 22 - 18 26 - - - - D 42 - 18 - 31 52 - - - E - 50 26 31 - 46 38 24 - F - - - 52 46 - 12 - 63 G - - - - 38 12 - 22 - H - - - - 24 - 22 - 30 I - - - - - 63 - 30 -

1. Zostavte graf, ktorý popisuje spojenie jednotlivých miest! (2b)

2. Vypočítajte pomocou Dantzigovho algoritmu najkratšiu cestu z mesta A do mesta I! (6b)

3. Určte najkratšie cesty z mesta A do ostatných miest! (2b)

3. príklad:

V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks dĺžky 45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 10 ks kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 80 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)! (4b)

Strana 2


2. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a určte vedúci prvok. (2b)

3. Doplňte hodnoty do tabuľky a zdôvodnite, prečo je optimálna: (2b)

cj 0 10 5 10 0 B cBB x1 x2 x3 x4 x5 w1 w2 w3 s4 b x1 2 1 1 0 0 40 x4 -0,67 0,333 -0,33 0,333 -0,33 13,33 x5 0 0,5 0 0 0,5 20 s4 1,667 0,833 0,333 -0,33 -0,17 66,66

zj - cjI

zj - cjII

4. Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu použitia jednotlivých rezných plánov, vypočítajte celkový odpad a vypíšte vypočítané hodnoty duálnych premenných. (2b)

5. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu. (4b)

6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! (2b) ................................................................

7. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF! (2b)

Koeficient Min. hodnota Pôv. hodnota Max. hodnota b2 80 120 260 b4 33,333 80 + ∞

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m! (2b) .................................................................................................................................................................

Strana 3


4. príklad:

Sieť veľkopredajní odoberá ročne liehové nápoje od 4 výrobcov. Vzdialenosti medzi jednotlivými veľkopredajňami a liehovarmi sú uvedené v tabuľke. Predajňa 1 má záujem o dodanie 300 fliaš liehových nápojov, predajňa 2 o 600 fliaš, predajňa 3 o 300 fliaš a predajňa 4 o 200 fliaš. Liehovary sú schopné dodať do veľkopredajní 200 fliaš, 400 fliaš, 500 fliaš a 300 fliaš liehovín.

veľkopredajňa 1 veľkopredajňa 2 veľkopredajňa 3 veľkopredajňa 4 liehovar 1 25 40 32 45 liehovar 2 42 28 26 35 liehovar 3 36 38 44 24 liehovar 4 34 46 50 30





Strana 4




1. Popíšte význam komplexných koeficientov endogénnych zdrojov v maticovom modeli

podniku! (2b) ..........................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

2. Definujte optimálne riešenie ÚLP! (2b) ............................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke úloha s degenerovaným riešením? (2b) .................................

.................................................................................................................................................................

4. Ekonomicky interpretujte ocenenia duálnych premenných a vzťah pre ich výpočet! (2b) ................

.................................................................................................................................................................

5. Odvoťe (graficky a numericky) Wilsonov vzorec! (6b)

6. Definujte úlohu kompromisného programovania! (4b)

7. Napíšte vzťah pre výpočet optimálnej životnosti, ak poznáte konštantné a rastúce náklady na

údržbu! (2b) ............................................................................................................................................

1. príklad: V malom mestečku sa rozhodla banka otvoriť pobočku a predmetom rozhodnutia je určenie

optimálneho počtu okienok tak, aby náklady boli minimálne. Predpokladá sa pritom, že do banky príde priemerne 15 klientov za hodinu a priemerný čas vybavenia jedného klienta bude 6 minút. Náklady, vyplývajúce z pobytu klienta v banke, možno ohodnotiť sumou 170 Sk a náklady na činnosť jednej prepážky možno ohodnotiť sumou 250 SK za hodinu. Určte optimálny počet prepážok! (10b)

2. príklad:

Strana 1


Je daná distančná matica medzi 10 mestami, pričom smer pohybu dopravných spojov môže ísť obidvomi smermi. Hľadáme najkratšiu cestu z mesta A do mesta J.

mestá A B C D E F G H I J A - 42 38 - 36 - - - - - B 42 - - 21 15 - - - - - C 38 - - - 14 27 - - - - D - 21 - - - - 32 - - - E 36 15 14 - - 13 26 - - - F - - 27 - 13 - - 11 26 - G - - - 32 26 - - 41 - 37 H - - - - - 11 41 - 12 - I - - - - - 26 - 12 - 18 J - - - - - - 37 - 18 -

1. Zostavte graf, ktorý popisuje spojenie jednotlivých miest! (2b)

2. Vypočítajte pomocou Dantzigovho algoritmu najkratšiu cestu z mesta A do mesta J! (6b)

3. Určte najkratšie cesty z mesta A do ostatných miest! (2b)

3. príklad:

V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks dĺžky 45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 5 ks kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 40 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)! (4b)


Strana 2


3. Doplňte hodnoty do tabuľky a zdôvodnite, prečo je optimálna: (2b) cj 0 10 5 10 0

B cBB x1 x2 x3 x4 x5 w1 w2 w3 s4 b x1 2 1 1 0 0 20 x4 -0,67 0,333 -0,33 0,333 -0,33 6,667 x5 0 0,5 0 0 0,5 10 s4 1,667 0,833 0,333 -0,33 -0,17 23,33

zj - cjI

zj - cjII

4. Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu použitia jednotlivých rezných plánov, vypočítajte celkový odpad a vypíšte vypočítané hodnoty duálnych premenných! (2b)

5. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu! (4b)

6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! (2b) ................................................................



8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m! (2b) .................................................................................................................................................................

4. príklad:

Textilný podnik má 4 prevádzky, v ktorých vyrába látky. Ich denná produkcia je 200, 400, 300 a 700 metrov látok. Podnik má ďalej 3 prevádzky, lokalizované mimo výrobní látok, v ktorých sa

Strana 3


z látok šijú odevy. Tieto prevádzky požadujú dodávať týždenne 550, 450 a 600 metrov látky. Vzdialenosti medzi jednotlivými prevádzkami sú uvedené v tabuľke.

dielňa 1 dielňa 2 dielňa 3 výrobňa látok 1 4 3 2 výrobňa látok 2 3 1 4 výrobňa látok 3 1 6 5 výrobňa látok 4 2 5 3





Strana 4




1. Formulujte maticový model II podniku! (2b) ..................................................................................

.................................................................................................................................................................

2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho riadku v simplexovej tabuľke! (2b) .........................................

3. Ako sa prejaví v simplexovej tabuľke alternatívne riešenie? (2b) .....................................................

.................................................................................................................................................................

4. Čo hovorí veta o komplementárnosti? (2b)

5. Ako sa prejaví degenerované riešenie v dopravnej úlohe? (2b) .........................................................

.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................

7. Definujte najskôr možný koniec činnosti! (2b) ..................................................................................

8. Formulujte priraďovací problém! (2b)

9. Vysvetlite graficky model zásob bez deficitu! (2b)

10. Definujte pravdepodobnosť dožitia pre modely obnovy! (2b) .........................................................

1. príklad:

V súkromnej firme BLAMON pracujú dve kozmetičky 8 hodín denne. Za hodinu prídu do kozmetiky 3 zákazníčky. Priemerný čas ošetrenia zákazníčky je 25 minút. Ak sú obidve kozmetičky obsadené, nová zákazníčka zostane čakať v čakárni. Určte a vypočítajte: 1. Pravdepodobnosť že nepracuje ani jedna kozmetička(2b) ......................................................... 2. Pravdepodobnosť že zákazníčka musí na ošetrenie čakať (2b) .................................................. 3. Priemerný počet zákazníčiek čakajúcich na ošetrenie a priemerný počet zákazníčiek vo firme (2b) ............................................................................................................................................... 4. Priemerný čas čakania zákazníčiek v čakárni a priemerný čas pobytu zákazníčiek vo firme (2b) ......................................................................................................................................................... 5. V percentách využitie jednej kozmetičky za pracovný čas a koľko minút môže kozmetička počas svojho pracovného dňa oddychovať (2b) ............................................................................... 2. príklad:

Novozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 100 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. Pravdepodobnosť zlyhania v prvom roku prevádzkovania technického zariadenia je 20%, v druhom roku 30%. Firma chce vedieť, aké bude vekové

Strana 1


zloženie technického parku v 5. roku činnosti, pričom chce mať k dispozícii stále 100 funkčných technických zariadení. 1. Vypočítajte vekové zloženie technického parku v 5. roku činnosti! (6b) 2. Nadobúdacia cena technického zariadenia je 250 000.- Sk. Zostatková cena po vyradení je 50 000.- Sk. Náklady na údržbu a opravy sú v roku nákupe zariadenia 50 000.-. Sk a v ďalších rokoch budú rásť vždy o 25%. Zistite optimálnu životnosť zariadenia a optimálne priemerné ročné náklady! (4b)

3. príklad:

V kvetinárstve sa aranžujú 2 druhy kytíc. 1. druh je zostavený z 3 ruží, 5 margarét a 3 nezábudiek, jeho cena je 200 Sk. 2. druh sa aranžuje z 1 ruže, 5 margarét a 5 nezábudiek, jeho cena je 180 Sk. Kvetinárstvo má k dispozícii 200 ruží, 400 margarét a 400 nezábudiek. Kvetinárstvo už pritom obdržalo 40 objednávok na kyticu 1. druhu, ktoré musí minimálne splniť. Cieľom je stanoviť také počty jednotlivých druhov kytíc, aby bol zisk maximálny. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení). (2b) 2. Riešte úlohu graficky. (2b)


4. Doplňte hodnoty do tabuľky a určte vedúci prvok: (2b) cj

B cB x1 x2 s1 s2 s3 s4 w1 b s4 0,333 0,333 26,67 s2 3,333 -1,67 66,67 s3 4 -1 200 x1 0,333 0,333 66,67

zj - cjI

Strana 2


zj - cjII

5. Je dané nasledujúce optimálne riešenie: z* = 15 600 x1= 60 x2= 20

s1= 0 s2= 0 s3= 120 s4= 20 Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu aranžovania jednotlivých druhov kytíc a jednotlivých druhov kvetov. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s4 = 20. (2b) 6. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu. (2b) 7. Preverte, či je riešenie u* = (10, 34, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! (2b) 8. Kvetinárstvo sa rozhodlo rozšíriť produkciu o 3. a 4. druh kytíc, pričom 3. druh by sa aranžoval z 1 ruže, 2 margarét, 3 nezábudiek a 3 tulipánov, 4. druh z 3 ruží, 1 margaréty a 5 tulipánov. Cena 3. druhu je 210 Sk a 4. druhu 130 SK. Objednávky na 1. druh ostali nezmenené, pričom možno predpokladať, že z 3. druhu kytíc sa predá minimálne 10 kusov, ale nie viac ako 20 kusov. Tulipánov je pritom k dispozícii 240. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení). (2b) 9. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF! (2b) Koeficient Min. hodnota Pôv. hodnota Max. hodnota

c1 - ∞ 200 247,143 c2 125 180 510

c3 92,143 210 + ∞

c4 69 130 540 9. Pri hlbšej analýze problému firma zistila, že je nutné brať do úvahy ešte jedno cieľové kritérium a to minimalizáciu nákladov. Je pritom známe, že jednotkové náklady pre jednotlivé

Strana 3


druhy kytíc sú 125 Sk, 120 Sk, 130 Sk a 80 Sk. Dôležitosť tohto druhého kritéria je pritom 40%. Formulujte problém ako úlohu viackriteriálnej lineárnej optimalizácie. (2b) 4. príklad:

Stavebná firma má zabezpečiť výstavbu komunikačnej siete. Pri realizácii uvedenej úlohy musí naplánovať 10 operácií, ktorých náväznosť je daná v tabuľke.

činnosť

činnosť predchádzajúca

dĺžka trvania činnosti maximálna. minimálna

náklady minimálne maximálne

A - 10 8 900 1150 B - 15 12 1200 1300 C - 10 9 900 1000 D A 8 7 700 900 E A 8 6 750 800 F B,D 7 5 600 750 G B,D 6 5 550 600 H B,D 12 11 1100 1200 I E,F 8 7 850 950 J C,H 9 7 800 1050 K J,G 10 8 950 1150

1. Zostavte sieť (4b) 2. Vypočítajte najskôr možný čas ukončenia výstavby komunikačnej siete tabuľkovou metódou CPM (4b) 3. Vvypočítajte náklady na výstavbu (2b) ........................................................................................

4. Naznačte prvý krok možného skrátenia kritickej cesty pomocou Weberovho postupu (4b) 5. Formulujte úlohu ako úlohu lineárneho programovania (6b)

Strana 4


Strana 1



1. Napíšte vzťah pre výpočet celkovej produkcie v maticovom tvare! (2b) .............................

2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho riadku v simplexovej tabuľke! (2b) ............................

3. Ako sa prejavuje degenerovanosť v simplexovej tabuľke? (2b) ..........................................

4. Napíšte vzťah pre hodnoty ÚF v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je

primárna úloha minimalizačná? (2b) ........................................................................................

5. Napíšte vzťah pre zistenie nevybilancovanosti v dopravnej úlohe! (2b) ..............................

6. Napíšte dve základné podmienky, ktoré musí spĺňať optimálne riešenie dopravnej úlohy,

aby sa dala použiť vlastnosť viacej za menej! (2b) ..................................................................

7. Napíšte vzťah pre výpočet spádu pri nákladovej analýze kritickej cesty! (2b) ....................

8. Napíšte vzťah pre výpočet hladiny objednania v deterministickom modeli zásob s

deficitom! (2b) ..........................................................................................................................

9. Ako možno rozdeliť modely hromadnej obsluhy podľa dĺžky čakania? (2b) ......................

....................................................................................................................................................

10. Napíšte všeobecný vzťah pre výpočet koeficientu využitia v MHO! (2b) .........................

Povinné príklady:

1. príklad:

Ročná spotreba výrobku je 20 000 kusov. Nákupná cena je 500 Sk, za skladovanie sa

počítajú náklady 2% nákupnej ceny za mesiac, náklady na dodávku sú 8 000 Sk, dodacia

lehota sú 2 mesiace (1/6 roka). Vypočítajte!

1. Optimálnu veľkosť dodávky. (2b) ........................................................................................

2. Výšku variabilných nákladov. (2b) .......................................................................................

3. Hladinu objednania a počet dodávok na ceste. (2b) .............................................................

4. Dĺžku dodacieho cyklu a spotrebu počas neho. (2b) ............................................................

5. Celkové náklady. (2b) ...........................................................................................................

6. Graficky znázornite vypočítané hodnoty v súradnicovom systéme s časom na osi x a

veľkosťou spotreby na osi y. (2b)

7. Ak je prípustný deficit, náklady z neho vyplývajúce sú 10% nákupnej ceny za kus a mesiac.

Vypočítajte optimálnu veľkosť dodávky! (2b) .........................................................................


Strana 2

8. Vypočítajte optimálnu veľkosť deficitu! (2b) .......................................................................

9. Vypočítajte variabilné a celkové náklady! (4b) ....................................................................

....................................................................................................................................................

2. príklad:

V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks tyčí dĺžky

45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 10 ks

kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom

dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 40 ks a dvojmetrové tyče v neobmedzenom

množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania

štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm.

1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)!

(6b)

2. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a

určte vedúci prvok. (4b)


cj 0 10 5 10 0 B cB x1 x2 x3 x4 x5 w1 w2 w3 s4 b x1 2 1 1 0 0 40 x4 -0,67 0,333 -0,33 0,333 -0,33 13,33 x5 0 0,5 0 0 0,5 20 s4 1,667 0,833 0,333 -0,33 -0,17 66,66

zj - cjI

zj - cjII

4. Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu použitia jednotlivých rezných plánov,

vypočítajte celkový odpad a vypíšte vypočítané hodnoty duálnych premenných. (4b)


Strana 3

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................


6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! (2b) ..................................................



....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale

minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m! (2b)

....................................................................................................................................................

3. príklad:

Sú známe vzdialenosti medzi 6 mestami (vzdialenosti sú obojsmerne rovnaké):

1-2 4km, 1-3 16km, 2-3 20km, 2-4 2km, 2-5 14km, 3-5 4km, 3-6 2km, 4-5 8km, 5-6 8km,

1. Zostrojte sieť. (2b)


Strana 4

2. Nájdite pomocou príslušného algoritmu najkratšiu vzdialenosť medzi vrcholom 1 a 10

(hodnota v km a vyznačenie cesty). (6b)

3. Nájdite najkratšiu cestu medzi vrcholmi 1 a 6 (hodnota v km a vyznačenie cesty). (2b)

....................................................................................................................................................

Voliteľné príklady:

Vypočítajte najskôr možný deň ukončenia stavby, ak výstavba začala v stredu,

25.06.1997, pričom sa pracuje 7 dní v týždni, pričom činnosti s dĺžkou trvania a náklady sú

uvedené v tabuľke.

Predchádzajúca Dĺžka trvania Náklady

Činnosť činnosť normálna minimálna normálne maximálne

A - 10 4 1000 2000

B - 8 2 700 900

C - 6 2 500 600

D A 20 8 1800 2600

E A, B 18 7 4000 6000

F A, B 6 2 2500 2500

G C, E 6 2 500 700

H F, G 8 2 700 900

I C, E 16 6 1100 1400

J D, H 10 3 900 1100

K I, J 10 4 900 1700

1. Zostavte sieť. (6b)


Strana 5

2. Pomocou tabuľky vypočítajte kritickú cestu na základe normálneho trvania činností a

vypočítajte zodpovedajúce náklady na stavebné úpravy. (6b)

3. Určte presný deň dokončenia výstavby! (2b)

....................................................................................................................................................

4. Určte, o koľko dní možno skrátiť kritickú cestu a aké náklady sú s tým spojené. (4b)

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

6. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania. (6b)

2. príklad:

Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Personálny

manažér sa rozhodol vykonať dodatočný test pre vybraných pracovníkov, na základe ktorého

sa mali zistiť schopnosti nových pracovníkov pre dané pracovné miesto. Boli pripravené tri

skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie sa vykonalo na základe udelenia

trestných bodov za nezodpovedané alebo nedostatočne zodpovedané otázky. Trestné body sú



Úlohou je priradiť pracovníkov na

jednotlivé pracovné miesta tak, aby ich

výkonnosť bola maximálna (t.z.

minimalizovať ich straty pri testoch).

pracovník prac.miesto 1. 2. 3.

A 20 40 20

B 20 10 70

C 20 10 20

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu!

(6b)

2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a

zodpovedajúcu hodnotu ÚF. (6b)

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je,

vypočítajte ho! (8b)

4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od

dopravnej úlohy! (4b)

Strana 6





.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................




.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................






1. príklad: Na plastickej chirurgii pracujú dvaja lekári 8 hodín denne. Za hodinu prídu do

čakárne 2 pacientky. Priemerný čas ošetrenia pacientky je 50 minút. Ak sú obidvaja lekári obsadení, nová pacientka zostane čakať v čakárni.Určte a vypočítajte: 1. Pravdepodobnosť že nepracuje ani jeden lekár (2b) .................................................................... 2. Pravdepodobnosť že pacientka musí na ošetrenie čakať (2b) .................................................... 3. Priemerný počet pacientiek čakajúcich na ošetrenie a priemerný počet pacientiek na chirurgii (2b) ........................................................................................................................................ 4. Priemerný čas čakania pacientiek v čakárni a priemerný čas pobytu pacientiek na chirurgii (2b) ......................................................................................................................................................... 5. V percentách využitie jedného lekára za pracovný čas a koľko minút môže lekár počas svojho pracovného dňa oddychovať (2b) .......................................................................................... 2. príklad: Novozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 100 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. Pravdepodobnosť zlyhania v prvom roku prevádzkovania technického zariadenia je 20%, v druhom roku 30%. Firma chce vedieť, aké bude vekové

Strana 1


zloženie technického parku v 5 roku činnosti, pričom chce mať k dispozícii stále 100 funkčných technických zariadení. 1. Vypočítajte vekové zloženie technického parku v 5. roku činnosti! (6b) 2. Nadobúdacia cena technického zariadenia je 250 000.- Sk. Zostatková cena po vyradení je 50 000.- Sk. Náklady na údržbu a opravy sú v roku nákupe zariadenia 40 000.-. Sk a v ďalších rokoch budú rásť vždy o 25%. Zistite optimálnu životnosť zariadenia a optimálne priemerné ročné náklady! (4b)

3. príklad:

V kvetinárstve sa aranžujú 2 druhy kytíc. 1. druh je zostavený z 3 ruží, 5 margarét a 3 nezábudiek, jeho cena je 200 Sk. 2. druh sa aranžuje z 1 ruže, 5 margarét a 5 nezábudiek, jeho cena je 180 Sk. Kvetinárstvo má k dispozícii 100 ruží, 200 margarét a 200 nezábudiek. Kvetinárstvo už pritom obdržalo 20 objednávok na kyticu 1. druhu, ktoré musí minimálne splniť. Cieľom je stanoviť také počty jednotlivých druhov kytíc, aby bol zisk maximálny. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie

ohraničení).(2b) 2. Riešte úlohu graficky. (2b)


4. Doplňte hodnoty do tabuľky a určte vedúci prvok: (2b) cj

B cBB x1 x2 s1 s2 s3 s4 w1 b s4 0,333 0,333 13,33 s2 3,333 -1,67 33,33 s3 4 -1 100 x1 0,333 0,333 33,33

zj - cjI

zj - cjII

Strana 2


5. Je dané nasledujúce optimálne riešenie: z* = 7 800 x1= 30 x2= 10

s1= 0 s2= 0 s3= 60 s4= 10 Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu aranžovania jednotlivých druhov kytíc a jednotlivých druhov kvetov. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s4 = 10. (2b) 6. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu. (2b) 7. Preverte, či je riešenie u* = (10, 34, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! (2b) 8. Kvetinárstvo sa rozhodlo rozšíriť produkciu o 3. a 4. druh kytíc, pričom 3. druh by sa aranžoval z 1 ruže, 2 margarét, 3 nezábudiek a 3 tulipánov, 4. druh z 3 ruží, 1 margaréty a 5 tulipánov. Cena 3. druhu je 210 Sk a 4. druhu 130 SK. Objednávky na 1. druh ostali nezmenené, pričom možno predpokladať, že z 3. druhu kytíc sa predá minimálne 5 kusov, ale nie viac ako 10 kusov. Tulipánov je pritom k dispozícii 120. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení). (2b) 9. Interpretujte hodnoty uvedené v tabuľke pre analýzu senzitívnosti koeficientov ÚF! (2b) Koeficient Min. hodnota Pôv. hodnota Max. hodnota

c1 - ∞ 200 247,143

c2 125 180 510

c3 92,143 210 + ∞

c4 69 130 540 10. Pri hlbšej analýze problému firma zistila, že je nutné brať do úvahy ešte jedno cieľové kritérium a to minimalizáciu nákladov. Je pritom známe, že jednotkové náklady pre jednotlivé druhy kytíc sú 125 Sk, 120 Sk, 130 Sk a 80 Sk. Dôležitosť tohto druhého kritéria je pritom 40%. Formulujte problém ako úlohu viackriteriálnej lineárnej optimalizácie. (2b)

Strana 3


4. príklad:

Stavebná firma DUNSTAV a.s. má pri výstavbe montážnej haly vykonať určité stavebné práce. V tabuľke je uvedená postupnosť realizácie jednotlivých stavebných činností, ich dĺžka trvania a náklady spojené s vykonaním jednotlivých prác. Niektoré činnosti je možné zintenzívnením práce skrátiť, čím sa samozrejme zvýšia náklady na realizáciu činností. Úlohy:

činnosť

činnosť nasledujúca

dĺžka trvania činnosti maximálna. minimálna

náklady minimálne maximálne

A B,D,F 1 1 1000 1000 B C,E 1 1 1000 1000 C - 1 1 1000 1000 D E,G 3 2 1500 1700 E H 7 5 2500 3100 F G 5 5 1300 1300 G - 6 4 1700 2300 H - 3 3 1400 1400

1. Zostavte sieť (4b) 2. Vypočítajte najskôr možný čas ukončenia výstavby komunikačnej siete tabuľkovou metódou CPM (4b) 3. Vvypočítajte náklady na výstavbu (2b) ........................................................................................

4. Naznačte prvý krok možného skrátenia kritickej cesty pomocou Weberovho postupu (4b) 5. Formulujte úlohu ako úlohu lineárneho programovania (6b)

Strana 4


Strana 5




1. Napíšte vzťah pre výpočet finálnej produkcie v maticovom tvare! (2b) ..............................

2. Napíšte vzťah pre určenie vedúceho stĺpca v simplexovej tabuľke! (2b) .............................

3. Ako sa prejavuje alternatívnosť v simplexovej tabuľke? (2b) ..............................................

4. Napíšte vzťah pre hodnoty ÚF v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je

primárna úloha maximalizačná? (2b) ........................................................................................

5. Napíšte vzťah pre zistenie degenerovanosti v dopravnej úlohe! (2b) ...................................


aby sa dala použiť vlastnosť viacej za menej! (2b) ..................................................................


8. Napíšte vzťah pre výpočet hladiny objednania v deterministickom modeli zásob bez

deficitu! (2b) .............................................................................................................................

9. Ako možno rozdeliť modely hromadnej obsluhy podľa dĺžky čakania? (2b) ......................

10. Napíšte všeobecný vzťah pre výpočet koeficientu prestoja v MHO! (2b) .........................

Povinné príklady:

1. príklad:






3. Hladinu objednania a počet dodávok na ceste. (2b) .............................................................





Strana 1






....................................................................................................................................................

2. príklad:

V dielni vyrábajú kovové poličky, pričom na výrobu jednej potrebujú 4 ks tyčí dĺžky

45 cm, 12 ks tyčí dĺžky 80 cm a 4 ks tyčí dĺžky 120 cm. Celkovo treba vyrobiť presne 5 ks

kovových poličiek. K dispozícii sú však len štnadardné tyče dľžky 2 m a 2,5 m, pričom

dvaapolmetrové tyče sú k dispozícii v počte 40 ks a dvojmetrové tyče v neobmedezenom

množstve. Aby odpad pri rezaní tyčí nebol veľký, možno použiť len také spôsoby rezania

štandardných tyčí, pri ktorých odpad nie je väčší ako 10 cm.

1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania (dodržte poradie ohraničení)!

(6b)

2. Zostavte úvodnú tabuľku pre riešenie danej ÚLP primárnym simplexovým algoritmom a

určte vedúci prvok. (4b)


cj 0 10 5 10 0 B cB x1 x2 x3 x4 x5 w1 w2 w3 s4 b x1 2 1 1 0 0 20 x4 -0,67 0,333 -0,33 0,333 -0,33 6,667 x5 0 0,5 0 0 0,5 10 s4 1,667 0,833 0,333 -0,33 -0,17 23,33

zj - cjI

Strana 2


zj - cjII

4. Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu použitia jednotlivých rezných plánov,

vypočítajte celkový odpad a vypíšte vypočítané hodnoty duálnych premenných. (4b)

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................


6. Vypočítajte hodnotu účelovej funkcie duálnej úlohy! (2b) ..................................................



....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

8. Zapíšte pre danú úlohu účelovú funkciu, keď by cieľom nebola minimalizácia odpadu, ale

minimalizácia celkového počtu tyčí štandardnej dĺžky 2 m a 2,5 m! (2b)

....................................................................................................................................................

3. príklad:

Sú známe vzdialenosti medzi 6 mestami (vzdialenosti sú obojsmerne rovnaké):

1-2 2km, 1-3 8km, 2-3 10km, 2-4 1km, 2-5 7km, 3-5 2km, 3-6 1km, 4-5 4km, 5-6 4km,

1. Zostrojte sieť. (2b)

Strana 3


2. Nájdite pomocou príslušného algoritmu najkratšiu vzdialenosť medzi vrcholom 1 a 10

(hodnota v km a vyznačenie cesty). (6b)

3. Nájdite najkratšiu cestu medzi vrcholmi 1 a 6 (hodnota v km a vyznačenie cesty). (2b)

....................................................................................................................................................


Vypočítajte najskôr možný deň ukončenia stavby, ak výstavba začala v stredu,

25.06.1997, pričom sa pracuje 7 dní v týždni, pričom činnosti s dĺžkou trvania a náklady sú


Predchádzajúca Dĺžka trvania Náklady

Činnosť činnosť normálna minimálna normálne maximálne

A - 5 4 1000 2000

B - 4 2 700 900

C - 3 2 500 600

D A 10 8 1800 2600

E A, B 9 7 4000 6000

F A, B 3 2 2500 2500

G C, F 3 2 500 700

H E, G 4 2 700 900

I C, F 8 6 1100 1400

J D, H 5 3 900 1100

K I, J 5 4 900 1700

1. Zostavte sieť. (6b)

Strana 4


2. Pomocou tabuľky vypočítajte kritickú cestu na základe normálneho trvania činností a

vypočítajte zodpovedajúce náklady na stavebné úpravy. (6b)

3. Určte presný deň dokončenia výstavby! (2b)

....................................................................................................................................................

4. Určte, o koľko dní možno skrátiť kritickú cestu a aké náklady sú s tým spojené. (4b)

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................


2. príklad:

Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Personálny manažér sa

rozhodol vykonať dodatočný test pre vybraných pracovníkov, na základe ktorého sa mali

zistiť schopnosti nových pracovníkov pre dané pracovné miesto. Boli pripravené tri skupiny

otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie sa vykonalo na základe udelenia trestných bodov

Strana 5


za nezodpovedané alebo nedostatočne

zodpovedané otázky. Trestné body sú


Úlohou je priradiť pracovníkov na

jednotlivé pracovné miesta tak, aby ich

výkonnosť bola maximálna (t.z. minimalizovať ich straty pri testoch).

pracovník prac.miesto 1. 2. 3.

A 10 20 10

B 10 5 35

C 10 5 10

1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania a k nej zostrojte duálnu úlohu!

(6b)



3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je,

vypočítajte ho! (8b)

4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od

dopravnej úlohy! (4b)

Strana 6





.................................................................................................................................................................



.................................................................................................................................................................

4. Čo hovorí veta o komplementárnosti? (2b)


.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................





1. príklad:

Pekárne spotrebujú pri príprave sladkého plneného pečiva 3000 kg masla za týždeň. Veľkoobchodná cena masla za 1 kg je 60.- Sk, náklady na jednu dodávku sú 250 .-Sk a náklady skladovania v dôsledku vysokých nákladov na elektrinu sú 16.- Sk za 1 kg za 1 týždeň. Dodacia lehota sú 4 dni. Určte a vypočítajte: 1. Optimálnu veľkosť dodávky (objednávky). (2b) ...............................................................................





2. príklad:

Strana 1


Novozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 10 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. Pravdepodobnosť zlyhania v prvom roku prevádzkovania technického zariadenia je 20%, v druhom roku 30%. Firma chce vedieť, aké bude vekové zloženie technického parku v 3 roku činnosti, pričom chce mať k dispozícii stále 10 funkčných technických zariadení. 1. Vypočítajte vekové zloženie technického parku v 4. roku činnosti! (6b) 2. Nadobúdacia cena technického zariadenia je 25 000.- Sk. Zostatková cena po vyradení je 5 000.- Sk. Náklady na údržbu a opravy sú v roku nákupe zariadenia 4 000.-. Sk a v ďalších rokoch budú rásť vždy o 20%. Zistite optimálnu životnosť zariadenia a optimálne priemerné ročné náklady! (4b)

3. príklad:

Chemický závod vyrába 4 výrobky V1, V2, V3 a V4. Pri zostavovaní výrobného programu treba počítať s obmedzenou kapacitou pracovných hodín H (2400 hodín) a obmedzeným množstvom suroviny S (2800 ton). Potreba hodín na výrobu jednotlivých výrobkov je 1, 2, 1 a 3 hodiny a potreba suroviny 3 t, 2 t, 3 t a 1 t. Výrobok V1 je polotovarom pre výrobu výrobkov V2 (jeho spotreba je 0,5 t) a V4 (jeho spotreba je 1 t), ale tento výrobok sa môže predávať aj ako konečný výrobok, pričom zisk z jeho predaja je 450 Sk. Zisk z predaja V2 je 500 Sk, V3 600 Sk a V4 800 Sk. Výrobok V3 treba vyrobiť v maximálnom množstve 300 t a výroba výrobku V4 musí byť minimálne 200 t. Úlohou je zostaviť taký výrobný plán, aby mala firma z výroby maximálny výnos. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania. (2b) 2. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu. (4b) 3. Je dané nasledujúce optimálne riešenie:

z* = 560000 x1=550 x2=0 x3=200 x4=550 x5=0 s1= 0 s2= 0 w3=0 s4=100 s5=350

Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu výroby jednotlivých druhov výrobkov, surovinových zdrojov ako aj disponibilného počtu pracovných hodín. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s5 =350. (2b)

Strana 2


4. Preverte, či je riešenie u* = (0, 200, -600, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! (2b) 5. Vysvetlite na základe vety o komplementárnosti hodnoty doplnkových premenných. (2b) 6. Zistite, či by bolo pre firmu ekonomicky zaujímavé vyrábať nový druh výrobku, pri výrobe ktorého by boli potrebné 3 pracovné hodiny a spotrebovali by sa 2 t suroviny, pričom zisk z neho by bol 500 Sk. (2b) 7. Formulujte úlohu ako úlohu viackriteriálnej optimalizácie, keď viete, že druhým cieľom firmy je minimalizovať odpad škodlivého plynu, ktorý vzniká pri výrobe v množstve 50 jednotiek pre V1, 30 jednotiek pre V2, 70 jednotiek pre V3 a 100 jednotiek pre V4. Váha tohto kritéria pri rozhodovaní vo firme je 40%. (6b)

4. príklad:

Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Personálny manažér sa rozhodol vykonať dodatočný test pre vybraných pracovníkov, na základe ktorého sa mali zistiť schopnosti nových pracovníkov pre dané pracovné miesto. Boli pripravené tri skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie sa vykonalo na základe udelenia trestných bodov za nezodpovedané alebo nedostatočne zodpovedané otázky. Trestné body sú uvedené v tabuľke. Úlohou je priradiť pracovníkov na jednotlivé pracovné miesta tak, aby ich výkonnosť bola

maximálna (t.z. minimalizovať ich straty pri testoch). 1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania, k nej zostrojte duálnu úlohu! (6b)

pracovník prac.miesto 1. 2. 3. A 10 20 10 B 10 5 35 C 10 5 10

Strana 3


2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF. (4b) 3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! (6b) 4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od dopravnej úlohy! (4b)

Strana 4




1. Napíšte základný tvar maticového modelu II podniku! (2b) ................................................

....................................................................................................................................................


3. Ako sa prejavuje degenerovanosť v simplexovej tabuľke? (2b) ...........................................

4. Napíšte vzťah, ktorý musí platiť pre váhové koeficienty charakterrizujúce významnosť

jednotlivých kritérií pri princípe agregácie cieľových kritérií! (2b) .........................................

5. Napíšte vzťah v maticovom tvare, ktorý platí v slabej vete o dualite, ak je primárna úloha

maximalizačná? (2b) .................................................................................................................


aby sa dala použiť vlastnosť viacej za menej! (2b) ...................................................................

7. Napíšte vzťah, ktorý platí pri aplikácii Dantzigovho algoritmu pre hľadadnie najkratšej

cesty v sieti pre všetky hrany vstupujúce do uzla Pr (2b) ........................................................


9. Odvoďte Wilsonov vzorec! (7b) ...........................................................................................

10. Napíšte všeobecný tvar rovnice obnovy pre modely obnovy s jednoduchou reprodukciou s

rovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou! (2b) ...................................................................

Povinné príklady:

1. príklad:






3. Hladinu objednania a počet dodávok na ceste. (1b) ..............................................................



Strana 1








2. príklad:

Výrobca tehál vlastní 3 výrobne A, B, C. Odberateľské sklady sú v 3 lokalitách D, E,

F. Prepravné náklady jednej tony betónu z jednotlivých výrobní do daných lokalít (v 100 Sk)

spolu s kapacitou výrobní a požiadavkami pre jednotlivé sklady sú uvedené v tabuľke. Úlohou

je určiť taký spôsob

rozvozu, aby náklady

na prep-ravu boli

minimálne.

D E F kapacita výrobní A 2 3 4 250 B 3 2 5 450 C 1 8 2 700

požiadavky skladov 700 200 250

1. Formulujte tento problém ako úlohu lineárneho programovania vo všeobecnom zložkovom

tvare a k tomuto tvaru zostrojte duálnu úlohu. (4b)



Strana 2


3. Overte, či nasledujúci rozvoz je optimálny: B-D: 250, B-E: 200, C-D: 450, C-F: 250. Ak

nie je, vypočítajte ho. (4b)

3. príklad:

V súkromnej ordinácii pracuje 1 lekár. Denne (8 hodín) k nemu prichádza na ošetrenie

22 pacientov. Priemerný čas ošetrenia jedného pacienta je 20 minút.

1. Vypočítajte priemerný počet pacientov v ordinácii a ich priemerný čas pobytu v nej. (2b)

....................................................................................................................................................

2. Vypočítajte priemerný čas čakania v rade a priemerný počet pacientov v ňom. (2b) ..........

....................................................................................................................................................

3. Vypočítajte koeficienty využitia a prestoja. (2b) ..................................................................

Pretože priemerné zaťaženie zubára je enormne vysoké, uvažuje o pribratí spoločníka,

ktorý by prebral časť jeho pacientov, pričom by do ordinácie naďalej prichádzalo celkovo 22

pacientov za deň a aj druhý zubár by venoval ošetreniu pacienta priemerne 20 minút. Náklady

na prácu každého zo zubárov by boli pritom 1000.- Sk za hodinu, náklady vyplývajúce z

čakania pacienta v ordinácii 120.- Sk.

4. Vypočítajte, či by bolo pre zubára efektívne pribrať ešte jedného lekára za spoločníka.

Zdôvodnite! (6b)

Strana 3



1. príklad:

Chemický závod vyrába 4 výrobky V1, V2, V3 a V4. Pri zostavovaní výrobného

programu treba počítať s obmedzenou kapacitou pracovných hodín H (1200 hodín) a

obmedzeným množstvom suroviny S (1400 ton). Potreba hodín na výrobu jednotlivých

výrobkov je 1, 2, 1 a 3 hodiny a potreba suroviny 3 t, 2 t, 3 t a 1 t. Výrobok V1 je polotovarom

pre výrobu výrobkov V2 (jeho spotreba je 0,5 t) a V4 (jeho spotreba je 1 t), ale tento výrobok

sa môže predávať aj ako konečný výrobok, pričom zisk z jeho predaja je 450 Sk. Zisk z

predaja V2 je 500 Sk, V3 600 Sk a V4 800 Sk. Výrobok V3 treba vyrobiť v maximálnom

množstve 150 t a výroba výrobku V4 musí byť minimálne 100 t. Úlohou je zostaviť taký

výrobný plán, aby mala firma z výroby maximálny výnos.



3. Je dané nasledujúce optimálne riešenie:

z* = 280000 x1=275 x2=0 x3=100 x4=275 x5=0

s1= 0 s2= 0 w3=0 s4=50 s5=175

Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu výroby jednotlivých druhov výrobkov,

surovinových zdrojov ako aj disponibilného počtu pracovných hodín. Ekonomicky

zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s5 = 175.

(4b)

Strana 4


4. Preverte, či je riešenie u* = (0, 200, -600, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením

duálnej úlohy! (2b)

5. Vysvetlite na základe vety o komplementárnosti hodnoty doplnkových premenných. (2b)

6. Zistite, či by bolo pre firmu ekonomicky zaujímavé vyrábať nový druh výrobku, pri výrobe

ktorého by boli potrebné 3 pracovné hodiny a spotrebovali by sa 2 t suroviny, pričom zisk z

neho by bol 500 Sk. (2b)

7. Formulujte úlohu ako úlohu viackriteriálnej optimalizácie, keď viete, že druhým cieľom

firmy je minimalizovať odpad škodlivého plynu, ktorý vzniká pri výrobe v množstve 50

jednotiek pre V1, 30 jednotiek pre V2, 70 jednotiek pre V3 a 100 jednotiek pre V4. Váha tohto

kritéria pri rozhodovaní vo firme je 40%. (6b)

2. príklad:

Malá drevárska firma, ktorá vyrába 4 finálne výrobky určené na predaj, sa skladá zo 4

výrobní (V1, V2, V3, V4). Vo V1 sa spracúva ako exogénny zdroj drevná hmota, z ktorej sa

vyrábajú hranoly, ktoré sú aj prvým finálnym výrobkom firmy. Hranoly sa spracúvajú vo V2,

kde sa produkujú laty, ktoré sú určené na výrobu drevotriesky vo V3 a slúžia aj ako finálny

výrobok. Vo V3 sa spracúvajú laty z V2 a druhý exogénny zdroj - fermež, pričom sa vyrába

Strana 5


drevotrieska, ktorá je druhým finálnym produktom firmy a súčasne polotovarom pre V4, kde

sa vyrábajú jednoduché skrinky, ktoré sú tretím finálnym výrobkom firmy, určeným na odbyt.

Pre výrobu treba 500 bežných metrov (bm) drevnej hmoty a 1000 kg fermeže. V1 produkuje

250 bm hranolov pre V2 a 200 bm hranolov pre V3, pre odbyt je určených 100 bm hranolov.

V2 produkuje 100 bm lát pre V3 a 100 bm lát je určených pre odbyt. Vo V3 sa vyrába 200 bm

drevotriesky pre V4 a 200 bm drevotriesky pre odbyt. Skrinky sa vyrábajú pre odbyt v počte

200.

1. Zostavte bilančnú schému a k tomu zodpovedajúcu bilančnú tabuľku! (6b)

2. Na základe daných údajov zostavte matice endogénnych a exogénnych zdrojov firmy! (4b)

3. Na základe daných údajov zostavte maticový model I podniku! (4b)

4. Aká by bola finálna produkcia hranolov, lát, drevotriesky a skriniek, keby firma vyrobila

drevotriesku v množstve o 25% vyššom? Aké by boli požiadavky na exogénne zdroje? (8b)

Strana 6


Strana 1




....................................................................................................................................................






maximalizačná? (2b) .................................................................................................................









Povinné príklady:

1. príklad:










Strana 2







2. príklad:






na prep-ravu boli

minimálne.








Strana 3



3. príklad:




....................................................................................................................................................


....................................................................................................................................................








Zdôvodnite! (6b)


Strana 4


1. príklad:













z* = 280000 x1=275 x2=0 x3=100 x4=275 x5=0

s1= 0 s2= 0 w3=0 s4=50 s5=175




(4b)


Strana 5











2. príklad:







Strana 6







200.







Strana 1




....................................................................................................................................................






maximalizačná? (2b) .................................................................................................................









Povinné príklady:

1. príklad:










Strana 2







2. príklad:






na prep-ravu boli

minimálne.








Strana 3



3. príklad:




....................................................................................................................................................


....................................................................................................................................................








Zdôvodnite! (6b)


Strana 4


1. príklad:













z* = 280000 x1=275 x2=0 x3=100 x4=275 x5=0

s1= 0 s2= 0 w3=0 s4=50 s5=175




(4b)


Strana 5











2. príklad:







Strana 6







200.










.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................




.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................






1. príklad:






2. príklad:

Strana 1


Novozaložená firma má na začiatku svojej činnosti 10 nových technických zariadení, ktoré majú životnosť 3 roky. Pravdepodobnosť zlyhania v prvom roku prevádzkovania technického zariadenia je 20%, v druhom roku 30%. Firma chce vedieť, aké bude vekové zloženie technického parku v 3 roku činnosti, pričom chce mať k dispozícii stále 10 funkčných technických zariadení. 1. Vypočítajte vekové zloženie technického parku v 4. roku činnosti! (6b) 2. Nadobúdacia cena technického zariadenia je 25 000.- Sk. Zostatková cena po vyradení je 5 000.- Sk. Náklady na údržbu a opravy sú v roku nákupe zariadenia 4 000.-. Sk a v ďalších rokoch budú rásť vždy o 20%. Zistite optimálnu životnosť zariadenia a optimálne priemerné ročné náklady! (4b)

3. príklad:

Chemický závod vyrába 4 výrobky V1, V2, V3 a V4. Pri zostavovaní výrobného programu treba počítať s obmedzenou kapacitou pracovných hodín H (1200 hodín) a obmedzeným množstvom suroviny S (1400 ton). Potreba hodín na výrobu jednotlivých výrobkov je 1, 2, 1 a 3 hodiny a potreba suroviny 3 t, 2 t, 3 t a 1 t. Výrobok V1 je polotovarom pre výrobu výrobkov V2 (jeho spotreba je 0,5 t) a V4 (jeho spotreba je 1 t), ale tento výrobok sa môže predávať aj ako konečný výrobok, pričom zisk z jeho predaja je 450 Sk. Zisk z predaja V2 je 500 Sk, V3 600 Sk a V4 800 Sk. Výrobok V3 treba vyrobiť v maximálnom množstve 150 t a výroba výrobku V4 musí byť minimálne 100 t. Úlohou je zostaviť taký výrobný plán, aby mala firma z výroby maximálny výnos. 1. Formulujte problém ako úlohu lineárneho programovania. (2b) 2. Formulujte k pôvodnej úlohe úlohu duálnu. (4b) 3. Je dané nasledujúce optimálne riešenie:

z* = 280000 x1=275 x2=0 x3=100 x4=275 x5=0 s1= 0 s2= 0 w3=0 s4=50 s5=175

Interpretujte optimálne riešenie z pohľadu výroby jednotlivých druhov výrobkov, surovinových zdrojov ako aj disponibilného počtu pracovných hodín. Ekonomicky zdôvodnite, prečo sú hodnoty doplnkových premenných s1 a s2 nulové a hodnota s5 = 175.(2b)

Strana 2


4. Preverte, či je riešenie u* = (0, 200, -600, 0, 0) zodpovedajúcim optimálnym riešením duálnej úlohy! (2b) 5. Vysvetlite na základe vety o komplementárnosti hodnoty doplnkových premenných. (2b) 6. Zistite, či by bolo pre firmu ekonomicky zaujímavé vyrábať nový druh výrobku, pri výrobe ktorého by boli potrebné 3 pracovné hodiny a spotrebovali by sa 2 t suroviny, pričom zisk z neho by bol 500 Sk. (2b) 7. Formulujte úlohu ako úlohu viackriteriálnej optimalizácie, keď viete, že druhým cieľom firmy je minimalizovať odpad škodlivého plynu, ktorý vzniká pri výrobe v množstve 50 jednotiek pre V1, 30 jednotiek pre V2, 70 jednotiek pre V3 a 100 jednotiek pre V4. Váha tohto kritéria pri rozhodovaní vo firme je 40%. (6b)

4. príklad:

Na pracovisko cez konkurz vybrali pre tri miesta troch uchádzačov. Personálny manažér sa rozhodol vykonať dodatočný test pre vybraných pracovníkov, na základe ktorého sa mali zistiť schopnosti nových pracovníkov pre dané pracovné miesto. Boli pripravené tri skupiny otázok pre tri pracovné miesta. Hodnotenie sa vykonalo na základe udelenia trestných bodov za nezodpovedané alebo nedostatočne zodpovedané otázky. Trestné body sú uvedené v tabuľke. Úlohou je priradiť pracovníkov na jednotlivé pracovné miesta tak, aby ich výkonnosť bola

maximálna (t.z. minimalizovať ich straty pri testoch). 1. Zapíšte danú úlohu ako úlohu lineárneho programovania, k nej zostrojte duálnu úlohu! (6b)

pracovník prac.miesto 1. 2. 3. A 10 20 10 B 10 5 35 C 10 5 10

Strana 3


2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu hodnotu ÚF. (4b) 3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho! (6b) 4. Zapíšte všeobecný tvar priraďovacieho problému v zložkovom tvare a určte, čím sa líši od dopravnej úlohy! (4b)

Strana 4




1. Graficky a numericky napíšte všetko o analýze citlivosti pravej strany! (10b)

2. Graficky a numericky odvoďte vzťah pre výpočet optimálnej životnosti, ak vychádzame

z predpokladu, že náklady na údržbu tvoria konštantné náklady a náklady rastúce! (5b)

3. Uveďte, ako sa prejavia špeciálne prípady pri riešení úloh lineárneho programovania graficky a

v simplexovej tabuľke! (5b)

1. príklad:

Pekárne spotrebujú pri príprave sladkého plneného pečiva 4000 kg masla za týždeň. Veľkoobchodná cena masla za 1 kg je 60.- Sk, náklady na jednu dodávku sú 100.- Sk a náklady skladovania v dôsledku vysokých nákladov na elektrinu sú 5.- Sk za 1 kg za 1 týždeň. Dodacia lehota sú 4 dni. Určte a vypočítajte: 1. Optimálnu veľkosť dodávky (objednávky). (2b) ...............................................................................



4. Celkové náklady. (2b) ........................................................................................................................ Strana 1



2. príklad:


mestá A B C D E F G H I J A - 49 - 54 - - - - - - B 49 - 32 - 34 12 - - - - C - 32 - 27 - 25 - - - - D 54 - 27 - - - 14 - - - E - 34 - - - - - 21 - 32 F - 12 25 - - - - 18 - - G - - - 14 - - - 68 32 - H - - - - 21 18 68 - 12 - I - - - - - - 32 12 - 5 J - - - - 32 - - - 5 -




3. príklad:




Strana 2






0 1 0,014

0 0 1






Strana 3


4. príklad:

Sieť veľkopredajní odoberá čerstvú zeleninu od 4 poľnohospodárskych firiem. Dopravné náklady medzi jednotlivými odberateľmi a dodávateľmi sú uvedené v tabuľke. Predajňa 1 má záujem o dodanie 75 t zeleniny, predajňa 2 o 60 t, predajňa 3 o 45 t a predajňa 4 o 20 ton. Zeleninárstva sú schopní dodať do veľkopredajní 50 t, 25 t, 100 t a 25 t zeleniny.

veľkopredajňa 1 veľkopredajňa 2 veľkopredajňa 3 veľkopredajňa 4 zeleninárstvo 1 9 4 7 2 zeleninárstvo 2 10 5 9 3 zeleninárstvo 3 6 8 12 15 zeleninárstvo 4 3 7 11 9


2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu

hodnotu ÚF. (6b)

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho!

Ekonomicky ho interpretujte! (6b)

4. Zistite, či je možné uplatniť vlastnosť viacej za menej a ak nie, definujte všetky podmienky ktoré

musí úloha spĺňať, aby sa dala aplikovať vlastnosť viacej za menej! (2b)

Strana 4





.................................................................................................................................................................



.................................................................................................................................................................

4. Formulujte symetrické duálne úlohy v maticovom tvare! (2b) ..........................................................


.................................................................................................................................................................

6. Definujte úlohu kompromisného programovania! (2b) ......................................................................


8. Čo to znamená splnenie požiadavky permanentného režimu v modeloch obsluhy s jedným

kanálom? (2b) .........................................................................................................................................



1. príklad:

Pekárne spotrebujú pri príprave sladkého plneného pečiva 4000 kg masla za týždeň. Veľkoobchodná cena masla za 1 kg je 60.- Sk, náklady na jednu dodávku sú 100.- Sk a náklady skladovania v dôsledku vysokých nákladov na elektrinu sú 5.- Sk za 1 kg za 1 týždeň. Dodacia lehota sú 4 dni. Určte a vypočítajte: 1. Optimálnu veľkosť dodávky (objednávky). (2b) ...............................................................................





2. príklad:


mestá A B C D E F G H I J A - 49 - 54 - - - - - -

Strana 1


B 49 - 32 - 34 12 - - - - C - 32 - 27 - 25 - - - - D 54 - 27 - - - 14 - - - E - 34 - - - - - 21 - 32 F - 12 25 - - - - 18 - - G - - - 14 - - - 68 32 - H - - - - 21 18 68 - 12 - I - - - - - - 32 12 - 5 J - - - - 32 - - - 5 -




3. príklad:





Strana 2





0 1 0,014

0 0 1






Strana 3


4. príklad:

Sieť veľkopredajní odoberá čerstvú zeleninu od 4 poľnohospodárskych firiem. Dopravné náklady medzi jednotlivými odberateľmi a dodávateľmi sú uvedené v tabuľke. Predajňa 1 má záujem o dodanie 75 t zeleniny, predajňa 2 o 60 t, predajňa 3 o 45 t a predajňa 4 o 20 ton. Zeleninárstva sú schopní dodať do veľkopredajní 50 t, 25 t, 100 t a 25 t zeleniny.

veľkopredajňa 1 veľkopredajňa 2 veľkopredajňa 3 veľkopredajňa 4 zeleninárstvo 1 9 4 7 2 zeleninárstvo 2 10 5 9 3 zeleninárstvo 3 6 8 12 15 zeleninárstvo 4 3 7 11 9


2. Vogelovou aproximačnou metódou nájdite východiskové prípustné riešenie a zodpovedajúcu

hodnotu ÚF. (6b)

3. Zistite, či Vami vypočítané východiskové prípustné riešenie je optimálne. Ak nie je, vypočítajte ho!

Ekonomicky ho interpretujte! (6b)

4. Zistite, či je možné uplatniť vlastnosť viacej za menej a ak nie, definujte všetky podmienky ktoré

musí úloha spĺňať, aby sa dala aplikovať vlastnosť viacej za menej! (2b)

Strana 4




1. Graficky a numericky napíšte všetko o analýze citlivosti účelovej funkcie! (10b)

2. Graficky a numericky odvoďte vzťah pre výpočet optimálnej životnosti, ak vychádzame

z predpokladu, že náklady na údržbu tvoria začiatočné náklady a koeficient ich narastania! (5b)

3. Uveďte, ako sa prejavia špeciálne prípady pri riešení úloh lineárneho programovania graficky a

v simplexovej tabuľke! (5b)

1. príklad:




Strana 1





mestá A B C D E F G H I J A - 30 28 35 - - - - - - B 30 - - - 20 - - - - - C 28 - - 29 - 40 - - - - D 35 - 29 - 21 - - - - - E - 20 - 21 - 25 36 24 - 52 F - - 40 - 25 - 23 - 35 - G - - - - 36 23 - - - 72 H - - - - 24 - - - - 31 I - - - - - 35 - - - 42 J - - - - 52 - 72 31 42 -




3. príklad:



Strana 2







0 1 0,014

0 0 1






Strana 3


4. príklad:







Strana 4





.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................




.................................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................................


8. Čo to znamená splnenie požiadavky permanentného režimu v modeloch obsluhy s viacerými

kanálmi? (2b) ..........................................................................................................................................




1. príklad:







mestá A B C D E F G H I J A - 30 28 35 - - - - - -

Strana 1


B 30 - - - 20 - - - - - C 28 - - 29 - 40 - - - - D 35 - 29 - 21 - - - - - E - 20 - 21 - 25 36 24 - 52 F - - 40 - 25 - 23 - 35 - G - - - - 36 23 - - - 72 H - - - - 24 - - - - 31 I - - - - - 35 - - - 42 J - - - - 52 - 72 31 42 -




3. príklad:





Strana 2





0 1 0,014

0 0 1






Strana 3


4. príklad:







Strana 4

operacny vyskum

Documents

Transcript of operacny vyskum