Matemática Morfológica

Ing. Auccahuasi Aiquipa WIlver

Introducción al Procesamiento de Imágenes

Mapa del Curso

Operaciones Punto

Filtros Segmentación

Extracción de características

Operaciones Morfológicas

Reconocimiento de Patrones

Introducción a la Visión Artificial

Representación de la Imagen

Tabla de Contenido

• Morfología• Operaciones Morfológicas• Aplicaciones

Objetivos

1. Desarrollar los conceptos para la aplicación y entendimiento de las operaciones morfológicas sobre imágenes binarias.

MORFOLOGÍA

Morfología

• Morfología significa forma y estructura de un objeto.

• La morfología matemática se basa en operaciones de teoría de conjuntos.– Imágenes binarias. Subconjuntos de Z2

– Imágenes grises. Coordenadas en Z3.

• Simplifican imágenes y conservan las principales características de forma de los objetos.

• Extrae componentes de imagen útiles en la representación y descripción de la forma de las regiones.

Morfología - Operaciones

• Dilatación. agrega pixeles a un objeto, lo hace más grande

• Erosión. Extrae los "outlayers del objeto“, lo hace más chico

• Apertura. Aplica una erosión seguida de una dilatación, permite abrir pequeños huecos.

• Clausura. Aplica una dilatación seguida de una erosión, permite cerrar los huecos.

Morfología - Aplicaciones

• Pre-procesamiento de imágenes (supresión de ruidos, simplificación de formas).

• Destacar la estructura de los objetos (extraer el esqueleto, detección de objetos, envolvente convexa, ampliación, reducción,...)

• Descripción de objetos (área, perímetro,...)

Morfología

• Imágenes binarias– Operaciones morfológicas: Dilatación, erosión,

Transformada Hit-or-Miss, apertura y cierre.– Aplicaciones: Extracción de fronteras y componentes

conexas, rellenado de regiones, adelgazamiento y engrosamiento, esqueleto y poda.

• Imágenes en escala de grises– Operaciones morfológicas: dilatación, erosión, apertura,

cierre.– Aplicaciones: Gradiente morfológico, transformada Top-

Hat, texturas y granulometrías.

Operaciones básicas sobre conjuntos

• Por ejemplo, la diferencia de dos conjuntos A y B se define:}{ cBABxAxxBA =∉∈=− ,

complemento diferencia

La traslación de A por z se define como

•

La reflexión de B se define como

Operaciones básicas sobre conjuntos

}{ AazaxxAz ∈+== , }{ BbbxxB ∈−== ,ˆ

OPERACIONES MORFOLÓGICAS CON

MATLAB

SE = strel(shape, parameters)SE = strel('arbitrary', NHOOD)SE = strel('arbitrary', NHOOD, HEIGHT)SE = strel('ball', R, H, N)SE = strel('diamond', R)SE = strel('disk', R, N)SE = strel('line', LEN, DEG)SE = strel('octagon', R)SE = strel('pair', OFFSET)SE = strel('periodicline', P, V)SE = strel('rectangle', MN)SE = strel('square', W)

Elemento estructurante

Flat Structuring Elements

'arbitrary' 'pair'

'diamond' 'periodicline'

'disk' 'rectangle'

'line' 'square'

'octagon'

Nonflat Structuring Elements

'arbitrary' 'ball'

• SE = strel('diamond', R)

• SE = strel('disk', R, N)

• SE = strel('line', LEN, DEG)

• SE = strel('octagon', R)

Elemento estructurante

OPERACIONES MORFOLÓGICAS

Modelos Morfológicos

• En 1996 surgen las Memorias Asociativas Morfológicas, inspiradas en los operadores de la Morfología Matemática

– Dilatación– Erosión– Apertura– Cerradura

Dilatación

{ }BbAabaxXxBA ∈∈+=∈=⊕ ,;

ABBA ⊕=⊕

BCBACA ⊕⊆⊕→⊆

( ) ( ) ( )BCBABCA ⊕⊕=⊕

• Agrega pixeles a un objeto, lo hace más grande

Ejercicio 1

111

11

111

1

B = zeros(4,4) matriz 4x4 de ceros

B([4, 5, 6, 7, 11]) = 1 al indice 4,5,6,7 y 11 le agregas 1

S = [1 1] matriz 1 x 2

D = imdilate(B, S) función dilatar

B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

S = 1 1

D = 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Erosión

{ }BbAbxXxBA ∈∀∈+∈=Θ ,

(A⊖B)⊖C = A (⊖ B⊕C)

A⊕(B⊖C) ⊆ (A⊕B)⊖C

A⊖B ⊆ A

• Extrae los "outlayers del objeto“, lo hace más chico

Ejercicio 3

111

11

111

1

Ejercicio 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Apertura

• Suaviza los contornos de una imagen. Elimina pequeños salientes. Abre pequeños huecos. Elimina franjas o zonas de un objeto que sean “más estrechas” que el elemento estructural.

A ⊆ C → A B ∘ ⊆ C B∘A B ∘ ⊆ A

(A B) B=A B∘ ∘ ∘

A∘B = (A⊖B)⊕B

Ejercicio 5

Ejercicio 6

111

11

111

1

Máscara empleada

Apertura

Imagen

erosionada

Clausura - Cerradura

• Elimina huecos pequeños (rellenándolos) y une componentes conexas cercanas.

A∙B = (A⊕B)⊖B

A ⊆ C → A∙B ⊆ C∙BA ⊆ A∙B

(A∙B)∙B = A∙B

Ejercicio 7

111

11

111

1

Máscara empleada

Cierre

Imagen

dilatada

Ejercicio 8

APLICACIONES

• La frontera de un conjunto A se puede obtener primero erosionando A por un elemento estructural apropiado, B, y realizando posteriormente la diferencia entre A y su erosión. Es decir,

• El elemento estructural B usado más frecuentemente es el cuadrado 3x3 (como en el ejemplo que se muestra a continuación). Usando otros tamaños, por ejemplo 5 x 5, se ampliaría el grosor de la frontera a dos o tres píxeles.

Extracción de frontera

F (A) = A - (A B)

Ejercicio 9

erosión

Ejercicio 10

111

11

111

1

Máscara empleada

Imagen

erosionada

Imagen de contorno

• Partimos del borde 8-conexo de una región, A, y de un punto p del interior de A.

• El siguiente procedimiento rellena el interior de A:

• Donde B es el elemento estructural siguiente:

• Y el algoritmo termina en la iteración k si Xk=Xk-1. La unión de Xk y A es la frontera y la región rellena.

Rellenado de regiones

Xk = (Xk - 1 B) Ac k = 1, 2, 3... X0 = p

Ejercicio 11

• Supongamos que Y representa una componente conexa contenida en un conjunto A y supongamos que conocemos un punto p que pertenece a dicha región. Entonces, el siguiente procedimiento puede utilizarse para extraer Y:

• El algoritmo termina en la iteración k si Xk-1=Xk. Con Y=Xk.

• B es el elemento estructural siguiente:

Extracción de componentes conexas

Xk = (Xk - 1 B) A k = 1, 2,...

X0 = p

Ejercicio 12

Trasformada Hit-or-Miss

• Es una herramienta para la detección de formas. Se usa para buscar determinada configuración en los píxeles .

• Sea B = (J, K) la configuración que queremos buscar, donde J es el conjunto formado por los píxeles negros de B; y K el conjunto formado por los píxeles negros de Bc. Por ejemplo

• Los x indican píxeles que pueden ser indistinguiblemente blancos o negros.

Trasformada Hit-or-Miss

• La transformación hit-or-miss se define como:

• Utilizando la definición de diferencia de conjuntos y la relación dual entre la erosión y la dilatación, podemos escribir la ecuación anterior como

Ejercicio 13

• Detección de esquinas superiores derechas

Adelgazamiento de regiones

• El adelgazamiento de un conjunto A por un elemento estructural B puede ser definido en términos de la transformación ganancia-pérdida como:

A B = A - (A B) = A (A B)c

B

Adelgazamiento de regiones

• Elementos estructurales usados comúnmente en el proceso de adelgazamiento

Ejercicio 14

Engrosamiento

• El engrosamiento es el dual morfológico del adelgazamiento y se define mediante la expresión:

• donde B es un elemento estructural apropiado para la ampliación.

A BB

A B = A (A B)

Ejercicio 15

Esqueletización

• El esqueleto de un conjunto A puede ser expresado en términos de erosiones y aperturas.

• Si S(A) denota el esqueleto de A, entonces

• Donde:

• donde A kB denota la aplicación sucesiva de k erosiones a A:

• K es el último paso iterativo antes de que A se erosione a un conjunto vacío. En otras palabras,

)()( 0 ASAS kKk ==

Ejercicio 16

PREGUNTAS