Operaciones matematicas con arreglos´ · Operaciones matematicas con arreglos´ ... 9 24 33 48....

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Operaciones matematicas con arreglos

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion

2 Operaciones del algebra linealSuma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones

4 Operaciones elemento a elementoMultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

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Topicos

1 Introduccion

5 Ejemplos

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Objetivos de la clase

Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal

Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.

Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.

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Topicos

1 Introduccion

5 Ejemplos

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Suma y resta

[A11 A12 A13A21 A22 A23

B11 B12 B13B21 B22 B23

A11 + B11 A12 + B12 A13 + B13A21 + B21 A22 + B22 A23 + B23

]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =

3 4 10 146 16 22 29

>> C=A+BC =

4 6 15 219 24 33 48

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Suma y resta

[A11 A12 A13A21 A22 A23

B11 B12 B13B21 B22 B23

A11 + B11 A12 + B12 A13 + B13A21 + B21 A22 + B22 A23 + B23

]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =

3 4 10 146 16 22 29

>> C=A+BC =

4 6 15 219 24 33 48

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Suma y resta

[A11 A12 A13A21 A22 A23

B11 B12 B13B21 B22 B23

A11 − B11 A12 − B12 A13 − B13A21 − B21 A22 − B22 A23 − B23

]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =

3 4 10 146 16 22 29

>> C=B−AC =

2 2 5 73 8 11 10

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Suma y resta

[A11 A12 A13A21 A22 A23

B11 B12 B13B21 B22 B23

A11 − B11 A12 − B12 A13 − B13A21 − B21 A22 − B22 A23 − B23

]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =

3 4 10 146 16 22 29

>> C=B−AC =

2 2 5 73 8 11 10

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Suma y resta

>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> D = 5+AD =

6 7 10 128 13 16 24

>> C = A−2C =

−1 0 3 51 6 9 17

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Multiplicacion

[A11 A12A21 A22

B11 B12B21 B22

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

]>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =

6 12 57 3

>> C = A*BC =

28 2765 4998 3284 38

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Multiplicacion

[A11 A12A21 A22

B11 B12B21 B22

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

]>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =

6 12 57 3

>> C = A*BC =

28 2765 4998 3284 38

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Multiplicacion

>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =

6 12 57 3

>> C = B*A??? Er ro r using ==> mtimesInner mat r i x dimensions must agree .

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Multiplicacion

>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> C = 2*AC =

2 8 410 14 618 2 12

8 4 16

>> C = A*2C =

2 8 410 14 618 2 12

8 4 16

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Exponenciacion

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> C = A*AC =

48 36 3836 80 3462 98 65

>> C = Aˆ2C =

48 36 3836 80 3462 98 65

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Division

4 −2 62 8 26 10 3

], b =

]Division izquierda

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ]b =

>> c = A\bc =−1.8049

0.29272.6341

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Division

Calculando inversa

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3 ] ;

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ] ;

>> c = A\bc =−1.8049

0.29272.6341

>> c = inv (A ) * bc =−1.8049

0.29272.6341

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Division

4 2 6−2 8 26 2 3

], b = [ 8 4 0 ]

Division derecha

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3]A =

4 2 6−2 8 10

6 2 3>> b =[8 4 0]b =

8 4 0>> c = b /Ac =−1.8049 0.2927 2.6341

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Division

Calculando inversa

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3 ] ;

>> b =[8 4 0 ] ;

>> c = b /Ac =−1.8049 0.2927 2.6341

>> c = b* inv (A)c =−1.8049 0.2927 2.6341

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Topicos

1 Introduccion

5 Ejemplos

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[4 −2 62 8 26 10 3

] [xyz

]Division izquierda

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ]b =

>> x = A\bx =−1.8049

0.29272.6341

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Calculando inversa

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3 ] ;

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ] ;

>> x = A\bx =−1.8049

0.29272.6341

>> x = inv (A ) * bx =−1.8049

0.29272.6341

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[ x y z ][

4 2 6−2 8 26 2 3

]= [ 8 4 0 ]

Division derecha

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3]A =

4 2 6−2 8 10

6 2 3>> b =[8 4 0]b =

8 4 0>> x = b /Ax =−1.8049 0.2927 2.6341

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Calculando inversa

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3 ] ;

>> b =[8 4 0 ] ;

>> x = b /Ax =−1.8049 0.2927 2.6341

>> x = b* inv (A)x =−1.8049 0.2927 2.6341

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Topicos

1 Introduccion

5 Ejemplos

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Multiplicacion

Multiplicacion elemento por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =

2 3 −15 8 1

11 3 4>> C = A . * BC =

8 −6 −610 64 266 30 12

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Division derecha

Division derecha elemento por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =

2 3 −15 8 1

11 3 4>> C = A . / Bc =

2.0000 −0.6667 −6.00000.4000 1.0000 2.00000.5455 3.3333 0.7500

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Division izquierda

Division izquierda elemento por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =

2 3 −15 8 1

11 3 4>> C = A.\BC =

0.5000 −1.5000 −0.16672.5000 1.0000 0.50001.8333 0.3000 1.3333

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Exponenciacion

Exponenciacion por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> C = A. ˆ 2C =

16 4 364 64 4

36 100 9

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Topicos

1 Introduccion

5 Ejemplos

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Ejemplo 1

Cree las siguientes matrices:

5 8 71 4 36 −2 1

−3 1 84 7 2−5 3 6

a) Calcule A + B

b) Calcule A−B

c) Calcule A ∗Bd) Calcule AB

e) Calcule A−1 ∗B

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Ejemplo 2

El circuito electrico esta formado por distintas resistencias y fuentesde alimentacion. Determinar la intensidad de corriente que pasa porcada resistencia utilizando para ellos las leyes de Kirchhoff para lasolucion de circuitos resistivos. Los datos son:

V 1 = 20, V, V2 = 12 V, V3 = 40 VR1 = 18 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 16 ΩR4 = 6 Ω, R5 = 15 Ω, R6 = 8 Ω

R7 = 12 Ω, R8 = 14 Ω,

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Ejemplo 2

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Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones

V1 −R1i1 −R3 (i1 − i3) −R2 (i1 − i2) = 0−R5i2 −R2 (i2 − i1) −R4 (i2 − i3) −R7 (i2 − i4) = 0−V2 −R6 (i3 − i4) −R4 (i3 − i2) −R3 (i3 − i1) = 0

V3 −R8i4 −R7 (i4 − i2) −R6 (i4 − i3) = 0

V1 − i1 (R1 + R2 + R3) + i2R2 + i3R3 = 0i1R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7) + i3R4 + i4R7 = 0−V2 + i1R3 + i2R4 − i3 (R3 + R4 + R6) + i4R6 = 0

V3 + i2R7 + i3R6 − i4 (R6 + R7 + R8) = 0

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V1 −R1i1 −R3 (i1 − i3) −R2 (i1 − i2) = 0−R5i2 −R2 (i2 − i1) −R4 (i2 − i3) −R7 (i2 − i4) = 0−V2 −R6 (i3 − i4) −R4 (i3 − i2) −R3 (i3 − i1) = 0

V3 −R8i4 −R7 (i4 − i2) −R6 (i4 − i3) = 0

V1 − i1 (R1 + R2 + R3) + i2R2 + i3R3 = 0i1R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7) + i3R4 + i4R7 = 0−V2 + i1R3 + i2R4 − i3 (R3 + R4 + R6) + i4R6 = 0

V3 + i2R7 + i3R6 − i4 (R6 + R7 + R8) = 0

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A i = b

donde,

[− (R1 + R2 + R3) R2 R3 0

R2 − (R2 + R4 + R5 + R7) R4 R7R3 R4 − (R3 + R4 + R6) R60 R7 R6 − (R6 + R7 + R8)

[−V1

], i =

[i1i2i3i4

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Ejemplo 2

>> V1=20;V2=12;V3=40;>> R1=18; R2=10; R3=16; R4=6;>> R5=15; R6=8; R7=12; R8=14;>> A=[−(R1+R2+R3) R2 R3 0;R2 −(R2+R4+R5+R7) R4 R7 ;R3 R4 −(R3+R4+R6) R6 ;0 R7 R6 −(R6+R7+R8 ) ]A =−44 10 16 0

10 −43 6 1216 6 −30 8

0 12 8 −34>> b = [−V1 ; 0 ; V2;−V3 ]b =−20

012−40

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Ejemplo 2

>> i =A\bi =

0.84110.72060.61271.5750

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