OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

    Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto unión al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.

    Ejemplo:

   

Representándolo gráficamente por diagramas de Venn, se tendría:

    El conjunto A B estaría formado por todos los elementos del área oscura.

    A la unión de conjuntos también se le denomina reunión.

Escrita en forma lógica se tiene:

 

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

    Dados los conjuntos A y B, se llama conjunto intersección al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, que son comunes a los dos conjuntos.

    Ejemplo:

    Representándolo gráficamente mediante diagramas de Venn, se tendría:

Escrita en forma lógica se tiene:

DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS

    Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia A–B entre A y B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenezcan a B, es decir:

Ejemplo:

Escrita en forma lógica se tiene:

Ejercicio: Responda si la diferencia de conjuntos es conmutativa.

 

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE DOS CONJUNTOS AB

    Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se llama diferencia simétrica de los mismos, A B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y que no pertenecen a la intersección de A y B.

    Una representación gráfica de la suma booleana o diferencia simétrica de dos conjuntos A y B mediante diagramas de Venn está representada en la gráfica siguiente:

    Ejemplo:

Ejercicio: Escriba en forma lógica AB

COMPLEMENTO Ac

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, pero sí pertenecen al Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A.

Ejemplo:

Escrita en forma lógica se tiene:

EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES DE CONJUNTOS

A) Dados lo siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 }C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 }E = { 12, 13, 14, 15 }

a) A B b) (A B)´ c) (D E) – Ad) B C e) A´ f) B´g) E´ D h) B E i) B Ej) A C k) ( B C)´ l) ( C D )´m) ( A D )´ n) ( E C )´

B) Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfaga a la operación de conjuntos pedida.

S (R T) L K´

( A – B ) C ( H – G ) I

H I´

C) De las tres operaciones proporcionadas para cada ejercicio subraye aquella que corresponda a la zona gris (zona sombreada)

1) U – (T R S ) 1) I´ – (H – G )2) (S – R )´ 2) H´ ( G – I )3) ( S R ) T 3) ( H G ) – I

1) ( U – L ) K 1) H I2) K – L 2) H I3) ( U´ L ) K 3) U – ( H I )

1) U – ( A C B )2) ( B C ) A3) C ( B A )

D) Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando diagramas):

1)2)3)

E) Si de un conjunto se pueden obtener 16 subconjuntos, entonces por cuántos elementos está formado el conjunto

F) Dados los conjuntos A y B tales que # A = 4, # B = 5 y # , determine el número de subconjuntos de

G) Dado el conjunto A = { t, a, d }, represente al conjunto potencia de A ?

H) Determine cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsas : I. ' = U II. A ∩ A' = U III. A U A' = U

I) Las proposiciones siguientes son verdaderas x A, x ∉ B, y A, y B, y ∉ C, z ∉ A, z ∉ B, z C .Determinar el valor de verdad de:

a) y ∉ B v z A b) x ∉ C v y B c) x A y C d) (x A z C) (y ∉ A z B) e) (z A x B) y B

J) Mostrar que los siguientes conjuntos son vacíos: a) (A U B)' ∩ (C U B')'

b) A ∩ [B' U (C ∩ A')']'

K) Demostrar que: a) (A - C) U (B - C) = (A U B) - C b) (A - B) ∩ (A - C) = A - (B U C) c) (A - C) - (B - C) = (A - B) - C d) (A - B) ∩ B = , ... ilustrar las igualdades anteriores con diagramas de Venn.