OPERACIONA ISTRAŽIVANJA · Mrežno planiranje (MP) Definicija projekta Projekat je jedinstven...
Transcript of OPERACIONA ISTRAŽIVANJA · Mrežno planiranje (MP) Definicija projekta Projekat je jedinstven...
-
Gordana Savic, [email protected]/22/2020
1
OPERACIONA ISTRAŽIVANJA
GORDANA SAVIĆ
UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKALABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŽIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”
CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI
-
Sadržaj
Upravljanje projektima Mrežno planiranje
2
-
Mrežno planiranje3
-
Mrežno planiranje (MP)
Definicija projekta
Projekat je posao koji ima jasno određen cilj koji treba postići u datom vremenskom periodu uz korišćenje raspoloživih resursa.
4
-
Mrežno planiranje (MP)
Definicija projekta
Projekat je jedinstven proces koji se sastoji od skupakoordinisanih i kontrolisanih aktivnosti, sa određenimdatumima početaka i završetaka, koje se preduzimaju dabi se isporučio proizvod (ili usluga) u skladu sapostavljenim zahtevima, pri čemu postoje ograničenja navreme, troškove i resurse.
5
-
Planiranje projekta6
-
Planiranje projekta
Kreativan posao kojim se utvrđuju sadašnji ibudući pravci akcije da bi se postavljeni ciljeviostvarili i da bi budućnost bila onakva kakva seželi.
7
-
Plan projekta
dokument kojim se utvrđuju specifične tehnike, resursi i nizovi aktivnosti (poslova), potrebni za postizanje ciljeva projekta.
8
-
Faze planiranja projekta
Analiza strukture Analiza vremena Analiza troškova Analiza i raspodela resursa
9
-
Analiza strukture10
-
Analiza strukture
Razlaganje projekta na aktivnosti (poslove) Utvrđivanje logičkih zavisnosti između
aktivnosti Izrada mrežnog dijagrama
11
-
Lista aktivnosti12
-
Primer: preseljenje radioniceR. Br.
Aktivnost Oznaka Prethodna akt. Trajanje (dan)
1. Izabrati novu lokaciju A - 3
2. Izraditi fin. i organizacioni plan B - 5
3. Utvrditi kadrovske potrebe C B 3
4. Projektovati raspored u radionici D A, C 4
5. Urediti unutrašnjost E D 7
6. Odrediti ljude koji će biti premešteni F C 2
7. Zaposliti nove ljude G F 4
8. Preseliti opremu i dokumenta H G 2
9. Napraviti ugovore I B 5
10. Obučtiti osoblje J H, E, G 3
13
-
Mrežno planiranje
14
-
Mrežno planiranje
je metoda za planiranje projekta zasnovana na primeni teorije grafova.
15
-
Tipovi mrežnih dijagrama
Mrežni dijagram sa aktivnostima na granama -MDG
Mrežni dijagram sa aktivnostima u čvorovima –MDČ (PDM -Precedence Diagram Method)
16
-
Aktivnosti na granama Aktivnost je predstavljena granom. Svaka aktivnost ima jedan početni i jedan završi događaj. Čvorovi predstavljaju događaje.
Ei – trenutak najranijeg dešavanja događaja Li – trenutak najkasnijeg dešavanja događaja
17
tij cij(i,j)Ei Li
Si
iEj Lj
Sj
j
-
Aktivnosti na granama
Pravila za crtanje mrežnog dijagrama: Svaki projekat ima jedan početni i jedan završni
događaj. Aktivnost može početi teka kada se zavše sve
prethodne. Ne postoje ciklusi. Dve i više aktivnosti ne mogu da počinju i da se
završavaju u istom događaju (u tom slučaju se uvode fiktivne aktivnosti).
18
-
Analiza strukture – mrežni dijagram
Zadata je sledeća lista aktivnosti:
Nacrtati mrežni dijagram?
19
Aktivnost A B C D E F G H I J
Prethodna - - A A B D C, F D E, H G, I
-
Analiza strukture – mrežni dijagram20
•Sve aktivnosti su započele.•Aktivnost J nije završena.•ZA sve nezavršene aktivnosti kreira se jedan završni događaj kao završni događaj projekta.
A
B
C
DF
E
G
HI
J
Aktivnost A B C D E F G H I J
Prethodna - - A A B D C, F D E, H G, I
-
Numeracija mrežnog dijagrama21
•Pravilo Fulkersona•Događaji se numerišu u rastućem redosledu od početka prema kraju projekta (s leva na desno, odozgo na dole)•Pri numeraciji događaja se vodi računa da se događaji mogu numerisati samo ako su sve prethodne aktivnosti završene.
A
B
C
DF
E
G
HI
J
-
Numeracija mrežnog dijagrama22
•Numeriše se prvi događaj i precrtavaju sve aktivnosti koje počinju u događaju 1.•Prema pravilu odozgo na dole numerišu se završni događaji A i B i precrtavaju aktivnosti C i D koje počinju u događaju 2 i E koja počinje u događaju 3.•Prema pravilu s leva na desno numeriše se završni događaj D precrtavaju aktivnosti F i H.•Numeracija se nastavlja na isti način.
A
B
C
DF
E
G
HI
J1
2
3
4
5
6
7 8
-
Analiza vremena
Cilj: određivanje trajanja projekta
Definicija: Dužina trajanja projekta je jednaka dužini najdužeg puta.1. Najduži put od početnog do zvaršnog događaja
projekta je kritični put.2. Dužina puta: Zbir trajanja aktivnosti na putu.
23
-
Analize vremena
Metode analize vremena
U zavisnosti od prirode vremena trajanja aktivnosti koriste se: Metoda kritičnog puta (CPM - Critical Path Method) Deterministička trajanja aktivnosti
Program evaluacije i revizije projekta (PERT - ProgrammeEvaluation and Review Technique) Stohastička trajanja aktivnosti
24
-
CPM metoda
Vremena trajanja aktivnosti (i,j) su zadati deterministički.
Zadaju se dva vremena trajanja: tn(ij) – normalno vreme realizacije aktivnosti (ij) (pri
normalnim uslovima) tu(ij) – usiljeno vreme realizacije aktivnosti (ij) (najkraće
vreme realizacije aktivnosti pri idelanim uslovima) tn(ij) ≥tu(ij)
25
-
CPM metoda
Procedura: Izračunati najranije vreme realizacije događaja
projekta Izračunati najkasnija vremena realizacije događaja
projekta Izračunati vremenske rezerve
26
-
CPM metoda- Primer
Zadata je sledeća lista aktivnosti njihova i trajanja:
27
Aktivnost A B C D E F G H I J
Prethodna - - A A B D C, F D E, H G, I
Trajanje 3 6 6 7 2 1 3 3 1 1
Σ 37
-
Aktivnosti na granama -nomenklatura Aktivnost je predstavljena granom. Svaka aktivnost ima jedan početni i jedan završi događaj. Čvorovi predstavljaju događaje.
28
tij cij(i,j)Ei Li
Si
iEj Lj
Sj
j
Ei – trenutak najranijeg dešavanja događaja
Li – trenutak najkasnijeg dešavanja događaja
Si – vremenska rezerva događajatij – vreme trajanja aktivnosti (i,j)cij – tošak realizacije aktivnosti (i,j)
-
Najranije vreme realizacije događaja
29
Ei1 j
EjtijjEi
j
Eii
Ei
tij
i
i
tij
tij
Ej
Ej = Ei+ tijEj = { }ijiji tE +−Γ∈ )(1max
Ukoliko je samo jedan događaj iprethodnik događaja j.
Ukoliko su više događaja iprethodici događaja j.
E1 =0 Najraniji trenutak realizacije prvog događaja je jednak 0.
-
Najranije vreme realizacije događaja
30
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
3 2
6 3
4
5
6
7 8
3
6
7
6
5
2
3 1
3
1
Ej = Ei+ tijE1 =0
E2 = E1+ t12 =0+3=3E3 = E1+ t13 =0+6=6
-
Najranije vreme realizacije događaja
31
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
3 2
6 3
104
5
6
7 8
12
13
3
6
7
6
5
2
3 1
3
1
E5 =2 25
4 45
3 6 9max 12
10 2 12E t
E t+ = + =
= + = + =
E4= E3+t34 =3+7=10
E6=3 36
4 46
6 5 11max 13
10 3 13E tE t
+ = + = = + = + =
-
Najranije vreme realizacije događaja
32
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
3 2
6 3
104
5
6
7 9
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
1
E7 =5 57
6 67
12 3 15max 15
13 1 14E tE t+ = + =
= + = + = E8= E7+t78 =15+1=16
-
Najranije vreme realizacije događaja
33
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
3 2
6 3
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
1
Ei1 j
EjtijjEi
j
Eii
Ei
tij
i
i
tij
tij
Ej
Ej = Ei+ tijEj = { }ijiji tE +−Γ∈ )(1max
-
Najkasnije vreme realizacijedogađaja
34
Ljj
Lii
Li=Lj - tij
tij tij
Litij
j
i j
j
tij
Lj
Lj
Lj
Li= { }ijjij tL −Γ∈ )(minUkoliko je samo jedan događaj j sledbenik događaja i.
Ukoliko su više događaja jsledbenici događaja i.
Ln=EnNajkasniji trenutak realizacije poslednjeg događaja n je jednak najranijem trenutku realizacije.
-
Najkasnije vreme realizacijedogađaja
35
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
3 2
6 3
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
115 16
Li= Lj – tijL8= E8 =16L7= L8 –t78=16-1=15
-
Najkasnije vreme realizacijedogađaja
36
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
3 2
6 3
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
115 16
14
10
12
L6= L7 –t67=15-1=14L5= L7 –t57=15-3=12
L4=5 45
6 46
12 2 10min 10
14 3 11L tL t− = − =
= − = − =
-
Najkasnije vreme realizacijedogađaja
37
0 1A
B
C
D F
E
H
G
I J
32
6 3
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
115 16
14
10
123
9
0
L3= L6 –t36=14-5=9
L2=5 25
4 24
12 6 6min 3
10 7 3L tL t− = − =
= − = − =
L1=2 12
3 13
3 3 0min 0
9 6 3L tL t− = − =
= − = − =
-
Kritičan put – najduži put u projektuNajranije vreme realizacije događaja na kritičnom putu je isto kao najkasnije vreme.
38
01
A
B
C
D F
E
H
G
I J
32
63
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
10
3
914
12
10
15 160
0
3
0
1
0
0 0
P = (A, D, E, G, J)
P = ((1, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 7), (7, 8))
P = (1, 2, 4, 5, 7, 8).
12 24 45 57 78( , )
3 7 2 3 1 16n n iji j P
T E L t t t t t t∈
= = = = + + + + = + + + + +∑
-
Vremenske rezerve događaja39
01
A
B
C
D F
E
H
G
I J
32
63
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
10
3
914
12
10
15 160
0
3
0
1
0
0 0
iii ELS −=
iii ELS −=
Koliko se i kako mogu izvršiti pomeranja dogašaja koji nisu na kritičnom putu.
Događaj (i)
Rezerva (Si) Događaj (i)
Rezerva (Si)
1 5
2 6
3 7
4 8
1 1 1 0 0 0S L E= − = − =
2 2 2 3 3 0S L E= − = − =
3 3 3 9 6 3S L E= − = − =
4 4 4 10 10 0S L E= − = − =
5 5 5 12 12 0S L E= − = − =
6 6 6 14 13 1S L E= − = − =
7 7 7 15 15 0S L E= − = − =
8 8 8 16 16 0S L E= − = − =
-
Vremenske rezerve aktivnosti
Koliko se i kako mogu izvršiti pomeranja aktivnostikoje nisu kritične.
40
-
Ukupna vremenska rezerva
koliko najviše može da se promeni trajanje aktivnosti ada se trajanje projekta ne promeni, pod uslovom da setrajanja drugih aktivnosti ne menjaju. Ona je je razlikaizmeđu ukupnog vremena koje može biti dodeljenoaktivnosti i vremena sa kojim je aktivnost ušla u plan.
41
Ft(i,ј) = Lj – Ei – tiј
-
Ukupna vremenska rezerva42
01
A
B
C
D F
E
H
G
I J
32
63
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
10
3
914
12
10
15 160
0
3
0
1
0
0 0
Aktivnost (i,j)
Rezerva (Si) Događaj (i)
Rezerva (Si)
A (1,2) F (4,5)B (1,3) G (5,7)C (2,5) H (4,6)D (2,4) I (6,7)E (3,6) J (7,8)
(1,2) 3 0 3 0tF = − − =
Ft(i,ј) = Lj – Ei – tiј
(1,3) 9 0 6 3tF = − − =
(2,5) 12 3 6 3tF = − − =
(2,4) 10 3 7 0tF = − − =
(4,5) 12 10 2 0tF = − − =
(5,7) 15 12 3 0tF = − − =
(4,6) 14 10 3 1tF = − − =
(3,6) 14 6 5 3tF = − − =(6,7) 15 13 1 1tF = − − =
(7,8) 16 15 1 0tF = − − =
-
Slobodna vremenska rezerva
koliko je maksimalno moguće produžiti aktivnost (i,j) a da to neutiče na početak sledeće aktivnosti.
tj. ako sve aktivnosti treba da počnu u svojim najranijimtrenucima, da li neke od njih mogu biti produžene, ili njihovpočetak može zakasniti, a da to ne utiče na trajanje projektaniti početke drugih aktivnosti.
43
Ff(i,ј) = Eј – Ei - tiј
-
Slobodna vremenska rezerva44
01
A
B
C
D F
E
H
G
I J
32
63
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
10
3
914
12
10
15 160
0
3
0
1
0
0 0
Aktivnost (i,j)
Rezerva (Si) Događaj (i)
Rezerva (Si)
A (1,2) F (4,5)B (1,3) G (5,7)C (2,5) H (4,6)D (2,4) I (6,7)E (3,6) J (7,8)
(1,2) 3 0 3 0fF = − − =
(1,3) 6 0 6 0fF = − − =
(2,5) 12 3 6 3fF = − − =
(2,4) 10 3 7 0fF = − − =
(4,5) 12 10 2 0fF = − − =
(5,7) 15 12 3 0fF = − − =
(4,6) 13 10 3 0fF = − − =
(3,6) 13 6 5 2fF = − − =(6,7) 15 13 1 1fF = − − =
(7,8) 16 15 1 0fF = − − =
Ff(i,ј) = Eј – Ei - tiј
-
Nezavisna vremenska rezervaFt(i,ј)≥ Ff(i,ј) ≥ FI(i,ј)
Ako se svaka prethodna aktivnost završava u najkasnijimtrenucima, a svaka sledeća mora da počne u najranijemtrenutku, tada još uvek može da postoji vremenska rezervaaktivnosti.
Za koliko aktivnost može biti produžena a da to ne utiče natrajae projekta bez obzira da li se na drugim aktivnostimavrše pomeranja u okviru njihovih vremenskih rezervi.
45
FI(i,ј) = mаx { 0; Eј – Li – tiј }
-
Nezavisna vremenska rezerva46
01
A
B
C
D F
E
H
G
I J
32
63
104
5
6
7 8
12
13
15 16
3
6
7
6
5
2
3 1
3
10
3
914
12
10
15 160
0
3
0
1
0
0 0
Aktivnost (i,j)
Rezerva (Si) Događaj (i)
Rezerva (Si)
A (1,2) F (4,5)B (1,3) G (5,7)C (2,5) H (4,6)D (2,4) I (6,7)E (3,6) J (7,8)
(1,2) 3 0 3 0IF = − − =
(1,3) 6 0 6 0IF = − − =
(2,5) 12 3 6 3IF = − − =
(2,4) 10 3 7 0IF = − − =
(4,5) 12 10 2 0IF = − − =
(5,7) 15 12 3 0IF = − − =
(4,6) 13 10 3 0IF = − − =
(3,6) min{13 9 5,0} 0IF = − − =(6,7) 15 14 1 0IF = − − =
(7,8) 16 15 1 0IF = − − =
FI(i,ј) = mаx { 0; Eј – Li – tiј }
-
PERT metoda –Procene trajanja aktivnosti
Kada trajanje aktivnosti nije precizno poznato, koriste se sledeće tri procene:
a – optimistička procena trajanja aktivnosti m – procena najverovatnijeg trajanja aktivnosti b – pesimistička procena trajanja aktivnosti
47
-
Histogram i raspodela vremenatrajanja aktivnosti
Histogram trajanja
48
Funkcija gustine β raspodele
tt
h ϕ(t)
a – optimistička procena trajanja aktivnostim – procena najverovatnijeg trajanja aktivnostib – pesimistička procena trajanja aktivnosti
-
Aproksimacija
Pod izvesnim pretpostavkama, za koje se može reći da su u praksi najčešće ispunjene, promenljiva koja podleže beta raspodeli čiji su parametri a, m i b ima matematičko očekivanje t i varijansu σ2 koji se računaju po sledećim približnim obrascima
49
64 bmat ++≈
36)( 22 ab −≈σ
-
Trajanje projekta
Trajanje projekta je slučajna promenljiva približno raspodeljena po zakonu normalne raspodele.
Matematičko očekivanje trajanja projekta TP jednako je zbiru matematičkih očekivanja trajanja aktivnosti na kritičnom putu P
Varijansa trajanja projekta je jednaka zbiru varijansi trajanja aktivnosti na kritičnom putu
50
∑∈
Π =Pji
ijtT),(
∑∈
Π =Pji
ij),(
22 σσ
-
Određivanje trajanja projekta Izračunaju se očekivana trajanja te i varijanse σ za
svaku aktivnost korišćenjem obrazaca za izračunavanje približnih vrednosti.
Konstruiše se mrežni dijagram i odredi kritičan put iočekivano trajanje projekta računajući najranija inajkasnija vremena realizacije događaja uzimajući u obzir očekivana trajanja aktivnosti.
Izračunaju se matematičko očekivanje i varijansatrajanja projekta.
51
-
Normalna raspodela
Trajanje projekta Tp podleže normalnoj raspodeli
52
dteTTT
et
oT Tt
oo
Tt
∫∞−
Π−−
Π−−
=≤=Φ
=ϕ
2
2
2
2
21)(obPr)(
21)(
σ
σ
πσ
πσ
z z z
ϕ(z) Φ(z)
1
0,5
1 2 3-1-2-3
-
Kritičan put i trajanje projekta Kritičan put je ABEH, očekivano trajanje je 17 dana i σ2 je 0,777.
Verovatnoća da će se aktivnosti A,B,E,H završiti za 18 dana je 0,873.
Očekivano trajanje aktivnosti A,D,G,H je 16,33 ali je σ2 =4,1.
Verovatnoća da će se aktivnosti A,D,G,H završiti za 18 dana je 0,796.
53
1
0 0
2
2 2
6
13 13
5
19/3 7
4
4 10
3
9 9
7
17 17
A2
C 2 H4
F 3
B 7 E 4
D 13/3
G 6
-
Pitanja
Definicija projekta?
Šta je plan projekta? Faze planiranja projekta? Analiza strukture? Šta je mrežni dijagram? Vrste mrežnih dijagrama? Analiza strukture?
54
-
Pitanja
Naraniji početak događaja? Najkasniji početak događaja? Kritičan put? Šta su vremense rezerve?
Ukupna vremenska rezerva? Slobodna vremenska rezerva? Nezavisna vremenska rezerva? PERT vreme?
55
-
Pitanja
Očekivano trajanje projekta? Varijansa trajanja projekta? Ukupno vreme trajanja projekta? Faze u određivanju trajanja projekta?
56
-
57
Hvala na pažnji
Operaciona istraživanja��Gordana Savić�� univerzitet u beogradu, fakultet organizacionih nauka�laboratorija za operaciona istraživanja ”jovan petrić”�centar za merenje efikasnosti�SadržajMrežno planiranjeMrežno planiranje (MP)Mrežno planiranje (MP)Planiranje projektaPlaniranje projektaPlan projektaFaze planiranja projektaAnaliza struktureAnaliza struktureLista aktivnostiPrimer: preseljenje radioniceSlide Number 14Mrežno planiranjeTipovi mrežnih dijagramaAktivnosti na granamaAktivnosti na granamaAnaliza strukture – mrežni dijagramAnaliza strukture – mrežni dijagramNumeracija mrežnog dijagramaNumeracija mrežnog dijagramaAnaliza vremenaAnalize vremenaCPM metodaCPM metodaCPM metoda- PrimerAktivnosti na granama - nomenklaturaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaKritičan put – najduži put u projektu�Najranije vreme realizacije događaja na kritičnom putu je isto kao najkasnije vreme.Vremenske rezerve događajaVremenske rezerve aktivnostiUkupna vremenska rezervaUkupna vremenska rezervaSlobodna vremenska rezervaSlobodna vremenska rezervaNezavisna vremenska rezerva�Ft(i,ј)≥ Ff(i,ј) ≥ FI(i,ј)Nezavisna vremenska rezervaPERT metoda – �Procene trajanja aktivnostiHistogram i raspodela vremena trajanja aktivnostiAproksimacijaTrajanje projektaOdređivanje trajanja projektaNormalna raspodelaKritičan put i trajanje projektaPitanjaPitanjaPitanjaSlide Number 57