OPERACIONA ISTRAŽIVANJA › 2020 › ... · Transportni problem (TP) Model TP se primenjuje u...

Gordana Savic, [email protected]/26/2020

1

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

GORDANA SAVIĆ

UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKALABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŽIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”

CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI

Transportni problem - TP2

Transportni problem (TP) Model TP se primenjuje u situacijama kada je potrebno

transportovati robu iz veceg broja ishodišta (npr. skladišta) doodređenog broja odredišta (npr. prodavnica) tako da ukupni troškovi transporta budu minimalni.

Formulisan je sredinom XX veka, kada su napravljena i pocetna istraživanja. (Kantorovic, Hickok, Ivanovic, Vogel, Dancig, Carns, Kuper, Ford, Ferguson, ...)

Linearni TP je spicifičan problem linearnog programiranja.

3

Transportni problem (TP)

Pretpostavke: Vrši se tansport jedne vrste robe

Postoji m-punktova (ishodišta) A1,…,Ai,..,Am (Ai, i=1,...,m) Skladišta raspolažu sa količinom robe a1,... ,ai,..,am (ai, i=1,...,m) ,

respektivno (izražene u određenim jedinicama mere).

Postoji n-punktova potrošnje (odredišta) B1,...,Bj,..,Bn (Bj, j=1,...,n) Odredištima je potrebno isporučiti količine robe robe b1,... ,bj,..,bn, (bj,

j=1,...,n) (izražene u određenim jedinicama mere).

Cena transporta jedinice robe iz svakog ishodišta do svakog odredišta je poznata cij (i=1,...,m, j=1,...,n)

4


Šema transporta Pretpostavke:

Postoji n-punktova (ishodišta)A1,…,Ai,..,Am (Ai, i=1,...,m)

Skladišta raspolažu sa količinomrobe a1,... ,ai,..,am (ai, i=1,...,m) ,

Postoji n-punktova potrošnje(odredišta) B1,...,Bj,..,Bn (Bj,j=1,...,n)

Odredištima je potrebno isporučitikoličine robe robe b1,... ,bj,..,bn,(bj, j=1,...,n).

5

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .


Pretpostavke: Roba se može transportovati iz bilo kog ishodišta A1,…,Ai,..,Am do bilo kog

odredišta B1,..., Bj,..,Bn .

Cena transporta jedinice robe iz svakog ishodišta do svakog odredišta je poznata cij (i=1,...,m, j=1,...,n)

6


Šema transporta Roba se može

transportovati iz bilokog ishodištaA1,…,Ai,..,Am do bilokog odredišta B1,...,Bj,..,Bn.

Cena transportajedinice robe iz svakogishodišta do svakogodredišta je poznata cij(i=1,...,m, j=1,...,n)

7

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ij

cm1

c 11

c i1c1

j

c mj

c1n

cin

c mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .


Šema transporta Potrebno je pronaći

ekonomični plan transporta odnosnokoličinu robe koja će setransportovati iz i-tog ishodišta do j-tog odredišta:

xij (i=1,...,m, j=1,...,n)

8

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ijx ij

cm1

x mj

c 11

x 11

c i1

x i1

c1j

x1j xm1

c mj

c1nx1n

cin

xin

c mn

x mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .

Transportni problem (TP)Tabelarna forma

Šema transporta Tabelarna forma

9

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ijx ij

cm1

x mj

c 11

x 11

c i1

x i1

c1j

x1j xm1

c mj

c1nx1n

cin

xinc m

n

x mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .

B1 Bj Bn Tražnja

A1c11

x11

... c1jx1j

... c1nx1n

a1

... ... ... ...

Aici1

xi1

... cijxij

... cinxin

ai

... ... ... ...

Amcm1

xm1

... cmjxmj

... cmnxmn

am

Ponuda b1 bj bn

Transportni problem (TP)Primer

ProdavniceMagacini

B. Brdo Dorcol Slavija raspoloživo

Borca 14 12 15 100

Kneževac 8 11 12 200

Palilula 9 5 8 100

Zvezdara 9 11 12 50

potrebno 150 200 50

10

m=4, n=3

Transportni problem (TP)Primer

ProdavniceMagacini

(B1) B. Brdo (B2) Dorcol (B3) Slavija raspoloživo

(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c34=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 Σ=400

11

Ukupna ponuda=Ukupna tražnja ⇒ Zatvoren (balansiran) TP(a1+a1+a1+a1=b1+b2+b3=400)

Transportni problem (TP)Tabelarna forma

Šema transporta Tabelarna forma

12

A1 Ai Am

B1 Bj Bn

c ijx ij

cm1

x mj

c 11

x 11

c i1

x i1

c1j

x1j xm1

c mj

c1nx1n

cin

xinc m

n

x mn

amaia1

bnbjb1

. . .

. . . . . .

. . .

B1 Bj Bn Tražnja

A1c11

x11

... c1jx1j

... c1nx1n

a1

... ... ... ...

Aici1

xi1

... cijxij

... cinxin

ai

... ... ... ...

Amcm1

xm1

... cmjxmj

... cmnxmn

am

Ponuda b1 bj bn

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑ Zatvoren (balansiran)TP

Zatvoreni (balansran)transportni problem (ZTP)

Celokupna količina robe na ishodištima (ponuda) će biti transportovana

Celokupna količina robe rtažena u odredištima (tražnja) će biti dostavljena

13

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑

ZTPMatematički model

14

11 11(min) ( ) ij ij mn mnf x c x c x c x= + + + +

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑

Upravljačke odluke:količina robe koja se transportujeiz i-tog ishodišta do j-tog odredišta xij (i=1,...,m, j=1,...,n)

Kriterjum upravljanjaUkupni troškovi transporta

Cilj:Minimizacija


15


11 1 1 1... ...j nx x x a+ + + + =

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑

1 ... ...i ij in ix x x a+ + + + =

1 ... ...m mj mn mx x x a+ + + + =

Količina robe na ishodištima

Upravljačke odluke:količina robe koja se transportujeiz i-tog ishodišta do j-tog odredišta xij (i=1,...,m, j=1,...,n)

Kriterjum upravljanjaUkupni troškovi transportaCilj:Minimizacija

Ograničavajući faktori p.o.


16


11 1 1 1... ...j nx x x a+ + + + =

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑

1 ... ...i ij in ix x x a+ + + + =

1 ... ...m mj mn mx x x a+ + + + =

Količina robe na ishodištima

Upravljačke odluke:Količina robe koja se transportujeiz i-tog ishodišta do j-tog odredišta

xij (i=1,...,m, j=1,...,n)x11, x12,..., xij,..., xmn

Kriterjum upravljanjaUkupni troškovi transporta

Cilj:Minimizacija

Ograničavajući faktori p.o.

Količina robepotrebna odredištima

11 1 1 1... ...i mx x x b+ + + + =

1 ... ...j ij mj jx x x b+ + + + =

1 ... ...n in mn nx x x b+ + + + =

11, ..., ,..., 0ij mnx x x ≥

Zatvoreni transportni problem (ZTP)

Broj ograničenja: m+n

Broj promenljivih: m*n

17

1 1 1

1 1 1

,

,

m n m

ij ii j i

n m n

ij jj i j

x a

x b

= = =

= = =

=

=

∑∑ ∑

∑∑ ∑


11 1 1 1... ...j nx x x a+ + + + =

1 ... ...i ij in ix x x a+ + + + =

1 ... ...m mj mn mx x x a+ + + + =

11 1 1 1... ...i mx x x b+ + + + =

1 ... ...j ij mj jx x x b+ + + + =

1 ... ...n in mn nx x x b+ + + + =

11, ..., ,..., 0ij mnx x x ≥

Osobina MM ZTP

Nezavisnost ogranicenjaMatematicki model ZTP ima m + n ogranicenja, ali jedno od njih je linearno zavisno od ostalih,

tako da MM ZTP može imati najviše m+n-1 linearnonezavisnih ogranicenja.

drugim recima, matrica A ekvivalentnog linearnogproblema može imati rang najviše m+n-1.

Posledica: problem ZTP ima m+n-1 baznih promenljivih u svakombaznom rešenju.

18

Rešavanje TP19

Rešavanje TP

Osnovni koraci algoritma za rešavanje TP:1. Inicijalizacija: naci pocetno bazno dopustivo rešenje. Ovo

rešenje se smatra tekucim.

2. Test optimalnosti: da li je tekuce bazno rešenje optimalno?Ako jeste, KRAJ.

3. Nalaženje „boljeg” rešenja: naći susedno bazno dopustivorešenje za koje je vrednost funkcije cilja manja i usvojiti gakao tekuce rešenje.Vratiti se na korak 2.

20

Rešavanje TP

Za razliku od LP gde, po upotrebljivosti i rasprostranjenosti, simpleks metoda dominira nadostalim algoritmima i rešava zadatak LP od pocetka do kraja, kod TP postoji veci broj približno efikasnih procedura koje su specijalzovane zaodređeni deo algoritma.

21

Rešavanje TP

Metode za dobijanje pocetnog baznog dopustivnog rešenja

1. Metoda „severozapadnog ugla”;2. Metoda najmanjeg elementa u matrici cena;3. Vogelova aproksimativna metoda.

22

Metoda „severozapadnog ugla”

Bazne promenljive se određuju „redom” po glavnoj dijagonalimatrice cena pocevši od gornjeg levog (severozapadnogugla).

Algoritam (formalno):Za svaki red i (iduci odozgo na dole):

1. U gornju levu celiju rasporediti maksimalno mogucu kolicinu robe izposmatranog ishodišta (vrednost bazne promenljive xij=max(ai,bj))

2. Izračunti preostale količine u ishodištima (ai= ai-xij)3. Izračunti preostale količine u odredištima(bj= bj-xij)4. Ako je preostalo robe u posmatranom ishodištu, preci na sledecu celiju desno

od nje i ponoviti korake od 1-3., u suprotnom preći na sledeći red (i+1).

Ova metoda ne vodi racuna o kvalitetu dobijenog rešenja

23

Metoda „severozapadnog ugla” Primer

Iteraija i=124

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=min(100,150)

c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200 b3=50 Σ=400


Iteraija i=125

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=min(100,150)

c12=12 c13=15 a1=100a1=100-x11=100-100=0

(A2) Kneževac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 150b1=150-x11=150-100=50

b2=200 b3=50 Σ=400


Iteraija i=126

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=min(100,150)

c12=12 c13=15 a1=0

(A2) Kneževac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 50 b2=200 b3=50 Σ=400

Celokupna količina robe iz Borče je transportovana!⇒preći na sledeći red


Iteraija i=227

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=100

c12=12 c13=15 a1=0

(A2) Kneževac c21=8x21=min(100,50)

c22=11 c23=12 a2=100a2= 100-x21= 100-50=50

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1=50

b1=150-x11=50-0=0

b2=200 b3=50 Σ=400

Celokupna tražena količina robe u odredište B. Brdo je transportovana, ali je ostalo robe u Kneževcu!

⇒preći na sledeću ćeliju u istom redu


Iteraija i=228

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=100

c12=12 c13=15 a1=0

(A2) Kneževac c21=8x21=50

c22=11x22=min(50,200)

c23=12 a2=50a2= 50-x22= 50-50=0

(A3) Palilula c31=9 c32=5 c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1=0 b2=200b2=200-x22=200-50=150

b3=50 Σ=400

Celokupna količina robe iz Kneževca je transportovana!⇒preći na sledeći red


Iteraija i=329

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=100

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11x22=50

c23=12 a2=0

(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=min(100,150)

c33=8 a3=100a3= 100-x32= 100-100=0

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1=0 b2=150b2=150-x32=150-100=50

b3=50 Σ=400

Celokupna količina robe iz ishodišta Palilula je transportovana!⇒preći na sledeći red


Iteraija i=330

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=100

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11x22=50

c23=12 a2=0

(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100

c33=8 a3=0

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11x42=min(100,50)

c43=12 a4=100a4=100-x42=100-50=50

Potrebno b1=0 b2=50b2=50-x42=50-50=0

b3=50 Σ=400

Celokupna količina robe je transportovana u odredište Dorćol, a celokupna količina robe iz ishodišta Zvezdara nije transportovana!

⇒preći na sledeće polje


Iteraija i=331

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=100

c12=12 c13=15 a1=0


c22=11x22=50

c23=12 a2=0

(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100

c33=8 a3=0

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11x42=50

c43=12x43=min(50,50)

a4=50a4=50-x43=50-50=0

Potrebno b1=0 b2=0 b3=50b3=50-x43=50-50=0

Σ=400

Celokupna količina robe je transportovana u odredište Slavija, a celokupna količina robe iz ishodišta Zvezdara je transportovana!

⇒početni plan je određen


Početno rešenje32

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14x11=100

c12=12 c13=15 a1=100


c22=11x22=50

c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100

c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11x42=50

c43=12x43=50

a4=100

Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 Σ=400

Početno rešenje-bazne promenljive: XB0={x11

0, x210, x22

0, x320, x42

0, x430}=(100, 50, 50, 100, 50, 50)

Vrednost funkcije cilja: f(X0)=c11*x110+c21*x21

0+c22*x220+c32* x32

0+c42* x420+c43* x43

0=f(X0)=14*100+8*50+11*50+5*100+11*50+12*50=4000

Metoda najmanjeg elementa u matrici cena Ova metoda uzima u obzir kvalitet rešenja koristeci princip proždrljivosti

(greedy).

Algoritam:

1. Naci se polje (i, j) sa najmanjom vrednošcu cij. Promenljivoj xij se dodeljuje vrednost min(ai,bj).

2. Ako je ai≤ bj tada se izvrše sledece privremene transformacije: ai = 0,

bj = bj - ai , cij = ∝, ∀j=1,..., n

3. Ako je ai ≥ bj tada se izvrše sledece privremene transformacije: bj = 0,

aj = ai - bj , cij = ∝, ∀i=1,..., m

4. Koraci 1-3 se ponavljaju sve dok se ne rasporedi sva kolicina robe.

33

Metoda najmanjeg elementa u matrici cenaPrimer

Iteraija i=1 1. min {cij}=c32=5 ⇒ x32=min(200,100)=100

2. a3=100<b3=200 ⇒ a3=0, b2=200-100=100

34

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=8 c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c31=∞ c32=5 c32=∞x32=min(200,100)

c33=8 c33=∞ a3=100a3=0

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 150 b2=200b2=100

b3=50 Σ=400


Iteraija i=21. min {cij}=c21 =8 ⇒ x21=min(150,100)=100

2. a2=100<b1=150 ⇒ a2=0, b1=150-100=50

35

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14 c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=8 c21=∞x21=100

c22=11 c22=∞ c23=12 c23=∞ a2=100a2=0

(A3) Palilula c31=∞ c32=∞x32=100

c33=∞ a3=0

(A4) Zvezdara c41=9 c42=11 c43=12 a4=100

Potrebno b1= 150b2=50

b2=100 b3=50 Σ=400



2. b1=50<a4=100 ⇒ b1=0, a4=100-50=50

36

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14 c11=∞ c12=12 c13=15 a1=100

(A2) Kneževac c21=∞x21=100

c22=∞ c23=∞ a2=0

(A3) Palilula c31=∞ c32=∞x32=100

c33=∞ a3=0

(A4) Zvezdara c41=9 c41=∞x41=50

c42=11 c43=12 a4=100a4=50

Potrebno b1=50b1=0

b2=100 b3=50 Σ=400



2. a4=50<b1=100 ⇒ b1=0, a4=100-50=50

37

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=∞ c12=12 c13=15 a1=100


c22=∞ c23=∞ a2=0

(A3) Palilula c31=∞ c32=∞x32=100

c33=∞ a3=0

(A4) Zvezdara c41=∞x41=50

c42=11 c42=∞x42=50

c43=12 c43=∞ a4=50a4=0

Potrebno b1=0 b2=100b2=50

b3=50 Σ=400



2. b2=50<a4=100 ⇒ b2=0, a1=100-50=50 ⇒ x13=50

38

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=∞ c12=12x12=50

c13=15x13=50

a1=100


c22=∞ c23=∞ a2=0

(A3) Palilula c31=∞ c32=∞x32=100

c33=∞ a3=0

(A4) Zvezdara c41=∞x41=50

c42=∞x42=50

c43=∞ a4=0

Potrebno b1=0 b2=50 b3=50 Σ=400


Početno rešenje39

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14 c12=12x12=50

c13=15x13=50

a1=100


c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100

c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9x41=50

c42=11x42=50

c43=12 a4=100

Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 Σ=400


0, x130, x21

0, x320, x41

0, x420}=(50, 50, 100, 100, 50, 50)


0+c21*x210+c32* x32

0+c41* x410+c42* x42

0=f(X0)=12*50+15*50+8*100+5*100+9*50+11*50=3650

Vogelova aproksimativna metoda

Ova metoda uzima u obzir kvalitet rešenja koristeci princip gledanja unapred (look ahead).

Algoritam:1. Za svaki red i za svaku kolonu izracunati razliku između dva najmanja

elementa u matrici cena.

2. Izabrati red ili kolonu za koju je ova razlika najveca i u polje (i, j) koje ima namanju vrednost u tom redu ili kolonu dodeliti vrednost min{ai, bj}.

3. Ako je ai ≤ bj tada red i iskljuciti iz daljeg razmatranja i ažurirati razlike između dva najmanja elementa za svaku kolonu.

4. Ako je ai ≥bj tada kolonu j iskljuciti iz daljeg razmatranja i ažurirati razlike između dva najmanja elementa za svaki red.

5. Koraci 2-4 se ponavljaju sve dok se ne rasporedi sva kolicina robe.

40

Vogelova aproksimativna metodaPrimer

Iteraija 1

41

ProdavniceMagacini

(B1) B. Brdob1= 150

(B2) Dorcolb2=200 b2=100

(B3) Slavijab3=50

Razlika reda (RR)

(A1) Borcaa1=100

c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2

(A2) Kneževaca2=100

c21=8 c22=11 c23=12 11-8=3

(A3) Palilulaa3=100 a3=0

c31=9 c32=5x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdaraa4=100

c41=9 c42=11 c43=12 11-9=2

Razlika kolone(RK)

9-8=1 11-5=6 12-8=4 max rezlika=6

1. max razlika = 6 ⇒ bazna promenlijiva će biti u drugoj koloni (j=2)2. min{ci2}=c32 =5 ⇒ x32=min(100,100)=100

3. a3=100<b2=100 ⇒ a3=0, b2=200-100=100

Vogelova aproksimativna metodaPrimer

Iteraija 2

42

ProdavniceMagacini

(B1) B. Brdob1= 150 b1= 50

(B2) Dorcolb2=200 b2=100

(B3) Slavijab3=50

Razlika reda (RR)

(A1) Borcaa1=100

c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2, 15-14=1

(A2) Kneževaca2=100 a2=0

c21=8x21=100

c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4


c31=9 c32=5x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdaraa4=100

c41=9 c42=11 c43=12 11-9=2, 12-9=3

Razlika kolone(RK)

9-8=1 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=0 max rezlika=4

1. max razlika = 4 ⇒ bazna promenlijiva će biti u drugom redu (i=2)2. min{c2j}=c21 =8 ⇒ x21=min(100,150)=100

3. a2=100<b1=150 ⇒ a2=0, b1=150-100=50


Iteraija 3

43

ProdavniceMagacini

(B1) B. Brdob1= 150 b1= 50 b1= 0

(B2) Dorcolb2=200 b2=100

(B3) Slavijab3=50

Razlika reda (RR)

(A1) Borcaa1=100

c11=14 c12=12 c13=15 14-12=2, 15-14=1


c21=8x21=100

c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4


c31=9 c32=5x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdaraa4=100 a4=50

c41=9x41=50

c42=11 c43=12 11-9=2, 12-9=3

Razlika kolone(RK)

9-8=1, 14-9=5, 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=015-12=3,

max rezlika=6

1. max razlika = 5 ⇒ bazna promenlijiva će biti u prvoj koloni (j=1)2. min{ci1}=c41 =9 ⇒ x41=min(50,100)=50

3. b1=50< a4=100 ⇒ b1=50, a4=100-50=50


Iteraija 4

44

ProdavniceMagacini

(B1) B. Brdob1= 150 b1= 50 b1= 0

(B2) Dorcolb2=200 b2=100

(B3) Slavijab3=50 b3=0

Razlika reda (RR)

(A1) Borcaa1=100

c11=14 c12=12x12=100

c13=15 14-12=2, 15-14=1


c21=8x21=100

c22=11 c23=12 11-8=3, 12-8=4


c31=9 c32=5x32=100

c33=8 8-5=3

(A4) Zvezdaraa4=100 a4=50a4=0

c41=9x41=50

c42=11 c43=12x43=50

11-9=2, 12-9=3

Razlika kolone(RK)

9-8=1, 14-9=5, 11-5=6 12-11=1 12-8=4 12-12=015-12=3,

max rezlika=6

1. max razlika = 3 ⇒ bazna promenlijiva će biti u trećoj koloni (j=3)2. min{ci3}=c43 =12 ⇒ x43=min(50, 50)=50

3. b3=50= a4=50 ⇒ b3=0, a4=0 ⇒ x12=100


Početno rešenje45

ProdavniceMagacini


(A1) Borca c11=14 c12=12x12=100

c13=15 a1=100


c22=11 c23=12 a2=100

(A3) Palilula c31=9 c32=5x32=100

c33=8 a3=100

(A4) Zvezdara c41=9x41=50

c42=11 c43=12x43=50

a4=100

Potrebno b1=150 b2=200 b2=50 Σ=400


0, x210, x32

0, x410, x43

0}=(100, 100, 100, 50, 50)


0+c32* x320+c41* x41

0+c43* x430=

f(X0)=12*100+8*100+5*100+9*50+12*50=3550

Metode za određivanjepočetnog rešenja

Metode za dobijanje pocetnog baznog dopustivnog rešenja

46

Metoda Vrednost f-je cilja Izbor

Metoda „severozapadnog ugla” fsu(X0)=4000

Metoda najmanjeg elementa u matrici cena fne (X0)=3650

Vogelova aproksimativna metoda. fvog (X0)=3550 √

fsu≥fne≥fvog

Eksperimentalno je utvrđeno da Vogelova aproksimativna metoda daje najmenju vrednos f-je cilja tj. pronalazi početo bazno rešenje koje je najbliže optimalnom!

Pitanja

Transporni problem: cilj i zadatak? Zatvoreni trasnportni problem: pretpostavke? Matematički model ZTP? Metode za dobijanje početnog rešenja? Metoda severozapadno ugla (osnovni koraci) Metoda najmanjih troškova (osnovni koraci) Vogelova aproksimativna metoda (osnovni koraci)

47

48

Hvala na pažnji

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA › 2020 › ... · Transportni problem (TP) Model TP se primenjuje u...

Documents

Transcript of OPERACIONA ISTRAŽIVANJA › 2020 › ... · Transportni problem (TP) Model TP se primenjuje u...