Operacijska istrazivanja u prometu zbirka zadataka

Operacijska istrazivanja u prometuzbirka zadataka

H. PasagicB. Ivankovic

N. Kapetanovic

21. ozujka 2013.

1

Uvod

Zbirka zadataka nastala je tijekom visegodisnjeg rada sa studentima drugegodine studija na Fakultetu prometnih znanosti i Veleucilista Nikola Tesla uGospicu. U potpunosti se prati gradivo udzbenika ”Matematicke metode uprometu”, dr. H. Pasagica u kojem se nalaze detaljna objasnjenja postupakakojima se rjesavaju problemi i zadaci.

U zbirci su zadani problemi cije rjesavanje pretpostavlja vjestinu kons-truiranja matematickih modela i njihovo rjesavanje.

Zbirka zadataka namijenjena je ucenju uz upotrebu udzbenika i redovitopracenje predavanja i vjezbi.

Zbirka zadataka je proradena, no ipak, usprkos detaljnim pregledima ihtijenju da ne bude pogresaka, bit cemo zahvalni svima koji ce nam na po-greske ukazati.

Studeni, 2011.

Autori

2

Sadrzaj

1 Baza i bazicno rjesenje 51.1 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Sustavi linearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Bazicna rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Geometrijsko rjesavanje problema linearnog programiranja 272.1 Linearne nejednadzbe s dvije nepoznanice . . . . . . . . . . . 272.2 Maksimum i minimum linearne funkcije dvije varijable na

konveksnom skupu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Numericko rjesavanje linearnog problema - simpleks metoda 373.1 Jedan primjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Simpleks metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Rjesenje standardnog problema minimuma-Charnesova M pro-

cedura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Ispitni zadaci iz numerickog rjesavanja

linearnog problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Teorija linearnog programiranja 584.1 Dual standardnog problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Numericko rjesavanje duala uz ocitavanje rjesenja pocetnog

problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Slozeniji numericki primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Problemi transporta i distribucije 695.1 Formulacija transportnog problema . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Degeneracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Otvoreni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Zadaci s ispita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3

6 Razlicite modifikacije transportnog problema 796.1 Promjena koeficijenata funkcije cilja . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Nedopustive komunikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Ograniceni kapaciteti komunikacija . . . . . . . . . . . . . . . 816.4 Minimizacija vremena transporta . . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.6 Razni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Transportna mreza 897.1 Ispitni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Problemski zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8 Primjeri pismenih zadaca 98

4

1 Baza i bazicno rjesenje

1.1 Problemi

1. Cep i boca zajedno kostaju 11 kuna. Boca je 10 kuna skuplja od cepa.Koliko kosta boca, a koliko cep?

2. Koliko je u dvoristu koza, a koliko kokosi, ako imaju ukupno 22 noge i8 glava?

3. Test sadrzi 20 pitanja. Tocan odgovor donosi 4 pozitivna boda, anetocan 3 negativna boda. Kandidat je skupio 38 bodova. Kolikoje kandidat imao tocnih odgovora?

4. Za dva kruha i tri litre mlijeka treba dati 18 kuna, a za tri kruha i polalitre mlijeka 11 kuna. Kolika je cijena kruha, a kolika mlijeka?

5. Vinarija raspolaze dvijema vrstama vina: prvom je cijena 27.5kn/l,drugom 22.5kn/l. Kupac zeli kupiti 100hl vina po cijeni od prosjecno24kn/l. Koliko treba uzeti prvog, a koliko drugog vina?

6. Pas goni zeca koji se nalazi 100 zecjih skokova ispred njega. Dok passkoci cetiri skoka, zec skoci pet. Ako 7 zecjih skokova iznosi koliko i 4pseca, koliko pas mora naciniti skokova da bi dostigao zeca?

7. Autobusu od Andrijeva do Brankova treba po voznom redu, odredenovrijeme. Ako vozi prosjecno 50km/h, stize sat prije, a ako vozi 35km/h,kasni dva sata. Koliko je vrijeme predvideno za put i kolika je uda-ljenost dvaju mjesta?

8. Dva biciklista voze kruznom stazom duljine 900m. Prvi vozi brze iprestize drugog svakih 18 minuta. Kada bi vozili u suprotnim smje-rovima, susretali bi se svake 2 minute. Kolikim brzinama voze?

9. Za jednim automobilom koji je krenuo iz grada krene nakon pola satadrugi i stigne ga nakon 2.5 sata voznje. Oba vozila produzila su voznjuu istom smjeru i nakon jednog i po sata brzi je bio 24km ispred sporijeg.Kolike su bile srednje brzine ovih automobila?

5

Problem 10. Pas goni lisicu koja ima 60 skokova prednosti. Lisica napravitri skoka dok pas nacini dva. Tri pseca skoka iznose koliko i 7 lisicjihskokova. Koliko ce skokova morati napraviti pas da sustigne lisicu?

Rjesenje: odabir varijabli:x . . . . . . broj skokova psay . . . . . . broj skokova lisicepostavljanje problema:

(60 + y) : x = 7 : 3

za istu duljinu koju mjerimo u razlicitim koracima i

y : x = 3 : 2

za broj skokova koji su u istom vremenu ucinile zivotinje. Nakon togarijesimo zadatak kao sustav dviju linearnih jednadzbi s dvije nepozna-nice.

Rjesenja problema. Tezi dio rjesavanja je postavljanje problema:

- odabir nepoznanica

- postavljanje jednadzbi.

1. x-cijena boce; y-cijena cepa; x+ y = 11;x− y = 1; x = 10.5kn, y = 0.5kn.

2. x-broj koza, y-broj kokosi. 4x+ 2y = 22, x+ y = 8,3 koze i 5 kokosi.

3. x-broj tocnih, y-broj netocnih; 4x− 3y = 38; x+ y = 20;14 tocnih, 6 netocnih.

4. x-cijena kruha, y-cijena mlijeka, 2x+ 3y = 18; 3x+ 12y = 11;

kruh kosta 3kn, mlijeko 4kn.

5. x-broj litara po 27.5kn, y-broj litara po 22.5kn; 27.5x+22.5y100

= 24;x+ y = 100; x = 30l, y = 70l.

6. x-broj koraka koje pretrci zec, a y-broj koraka koje pretrci pas dohvatanja zeca. (100 + x) : y = 7 : 4; x : y = 5 : 4; x = 250,y = 200.

6

7. t-vrijeme po voznom redu, l-udaljenost. 50km/h = lt−1

;

35km/h = lt+2

; t = 8h, l = 350km.

8. v-brzina brzeg, u-brzina sporijeg. 18 = 900v−u ; 2 = 900

v+u.

v = 250m/min, u = 200m/min.

9. v, u-brzina brzeg, odnosno sporijeg: 2.5 = 2.5hv−u ; 1.5 = 24

v−u ,v = 32km/h, u = 16km/h.

7

1.2 Sustavi linearnih jednadzbi

Linearna jednadzba u nepoznanicama

x1, x2, . . . , xn

je izraz oblikaα1x1 + α2x2 + . . .+ αnxn = β.

Sustav od m linearnih jednadzbi s n nepoznanica glasi:

α11x1 + . . .+ α1nxn = β1

α21x1 + . . .+ α2nxn = β2

... =...

αm1x1 + . . .+ αmnxn = βm

Rjesenjem sustava smatramo svaku uredenu n-torku

(γ1, γ2, . . . , γn),

koja supstitucijom:

xk = γk, k = 1, . . . , n

u sve jednadzbe, prevodi jednadzbe u numericke identitete.

Matricni zapis sustava je matricna jednadzba:

AX = B

gdje je A matrica sustava ciji su elementi koeficijenati uz nepoznanice, atipa jem×n, X je jednostupcana matrica tipa n×1 iB je jednostupcanamatrica tipa m× 1.

Egzistencija rjesenja: postavlja se pitanje koji su nuzni i dovoljni uvjetida bi sustav imao barem jedno rjesenje. Takvi se sustavi zovu rjesivi,moguci ili kompatibilni. Ako sustav ne dopusta ni jedno rjesenje,kazemo da je nerjesiv, nemoguc ili inkompatibilan.

8

Primjer 1. Rijesite slijedeci sustav:

3x+ 2y = 4

x− 4y = 8

Rjesavanje: pomnozi li se prva jednadzba s 2, dobiva se sustav:

6x+ 4y = 8

x− 4y = 8.

Ako se prva jednadzba pribroji drugoj, novi sustav je:

6x+ 4y = 8

7x = 16.

Dijeljenjem druge jednadzbe brojem 7 sustav izgleda ovako:

6x+ 4y = 8

x =16

7.

Mnozenjem druge jednadzbe s −6 i dodavanjem prvoj, sustav ima novizapis:

4y =−40

7

x =16

7

Dijeljenjem prve jednadzbe s 4, sustav

y =−10

7

x =16

7

ima konacan oblik iz kojeg se ispisuje rezultat u obliku jednostupcastematrice: [

xy

]=

[167−10

7

]U naizgled mukotrpnom nacinu rjesavanja treba uociti da se izmjenjujudva zahvata na sustavu:

9

- mnozenje jedne jednadzbe brojem 6= 0

- dijeljenje jednadzbe brojem 6= 0

- dodavanje jedne jednadzbe drugoj.

Nakon navedenih zahvata sistem jednadzbi ostaje ekvivalentan u smisluda se ne mijenjaju rjesenja sistema.

Primjer 2. Rijesite sustav:

2x− 3y = 2

−6x+ 9y = 3

Mnozenjem prve jednadzbe s 3 i dodavanjem drugoj dobiva se sustav

2x− 3y = 2

0 = 3

koji zbog nemogucnosti ispunjenja druge jednakosti nema rjesenja.

Jedinstvenost rjesenja: postavlja pitanje uz koje ce uvjete sustav imatijedno jedino rjesenje. Primjer sustava koji ima vise rjesenja:

3x− 4y = 12

−6x+ 8y = −24

Rjesenje: Pomnozi se prva jednadzba brojem 2 i doda drugoj, dobivase sustav:

3x− 4y = 12

0 = 0

koji ima beskonacno mnogo rjesenja. Nekoliko rjesenja mozemo zapisatiu tablici:

x 4 0 1 2y 0 −3 −9

4−1.5

Prakticno je zapisati rjesenje u matricnom obliku:[xy

]=

[43y + 4y

]

=

[40

]+ y ·

[43

1

],

quady ∈ R.

10

Zapisivanje skupa rjesenja izvodi se u matricnom obliku.

Primjer 3. Rjesite sustav:

x− 3y + 2z = −1

x+ 9y + 6z = 3

x+ 3y + 4z = 1

Mnozenjem prve jednadzbe s−1 i dodavanjem drugoj i trecoj jednadzbidobiva se sustav:

x− 3y + 2z = −1

12y + 4z = 4

6y + 2z = 2

Dijeljenjem druge jednadzbe s −2 i dodavanjem trecoj, dobiva se:

x− 3y + 2z = −1

12y + 4z = 4

0 = 0

Ako druga jednadzba podijeli s -2 i doda prvoj:

x− 9y = −3

12y + 4z = 4

0 = 0

Konacno se dijeljenjem druge jednadzbe brojem 4 dobiva sustav

x− 9y = −3

3y + z = 1

0 = 0

iz kojeg se ispisuje postupak za dobivanje rjesenja u matricnom, od-nosno vektorskom obliku: x

yz

=

−301

+ t ·

91−3

,gdje je t ∈ R parametar koji generira rjesenja.

11

Pitanja egzistencije i jedinstvenosti rjesenja sustava jednadzbi zadiru uteoriju Linearne algebre. Pristupacno izlaganje linearne algebre nalazise u [4].

Rjesavanje sustava provodi se Gauss-Jordanovom metodom eliminacije,a opisano je pregledno u [5]. Takvo rjesavanje je i ekonomicno, jeriskljucuje prepisivanje oznaka za nepoznanice i znakova jednakosti.Prosirena matrica sustava iz Primjera 3 glasi: 1 −3 2 −1

1 9 6 31 3 4 1

.Prvi stupac cine koeficijenti prve nepoznanice po jednadzbama sustava.

Naziva se vektorom koeficijenata nepoznanice ili varijable x. Ana-logno za drugi i treci stupac.

Cetvrti stupac cine koeficijenti koji se u jednadzbama nalaze na desnimstranama jednakosti. Oni se nazivaju slobodnim koeficijentima.

Elementarna transformacija nad retcima matrice jedan je od slijedecihzahvata:

1. Zamjena poretka dviju redaka matrice

2. Mnozenje nekog retka matrice brojem razlicitim od nule

3. Pribrajanje jednog retka matrice nekom drugom retku matrice

Gauss - Jordanova metoda eliminacije rjesava sustav elementarnim tran-sformacijama nad retcima prosirene matrice sustava. Gauss-Jordanovommetodom rijesite sustave i zapisite njihova rjesenja:

Primjer 4. Rijesite sustav:

2x− 3y + 5z = 1

x+ 2y − 2z = 2

3x− y − z = 3

12

Prosirena matrica sustava: 2 −3 5 11 2 −2 23 −1 −1 3

Mnozenjem drugog retka s -2 i dodavanjem prvom retku, a zatimmnozenjem istog retka s -3 i dodavanjem trecem, nova prosirena ma-trica sustava glasi: 0 −7 9 −3

1 2 −2 20 −7 5 −3

Prvi redak pomnozi se s -1 i doda trecem, dok se sam prvi redak podijelis -7. Nakon toga se novonastali prvi redak pomnozen brojem -2 dodadrugom i dobiva se 0 1 −9

737

1 2 −2 20 0 −4 0

Nakon dijeljenja treceg retka sa 4, a zatim mnozenja novodobivenogretka s -2 i dodavanja drugom i konacno dijeljenja treceg retka brojem4, prosirena matrica ima izgled 0 1 −9

737

1 0 47

20 0 1 0

Konacno, nakon mnozenja treceg retka s −7

4i dodavanja drugom, te

nakon mnozenja treceg retka sa 79

i dodavanja prvom, dobiva se matrica: 0 1 0 37

1 0 0 20 0 1 0

neposredno se moze ispisati rjesenje: x

yz

=

237

0

13

Zadatak 5. Rijesite i zapisite rjesenja u matricnom obliku:

x1 + 2x2 + x3 = 4

2x1 − x2 − 3x3 = 2

x1 − 8x2 − 9x3 = −8

5x1 + 5x2 = 14

Rjesavanje. Prosirena matrica sustava:1 2 1 42 −1 −3 21 −8 −9 −85 5 0 14

Prvi redak mnoziti s -2 i dodati drugom, zatim isti redak mnoziti s -1i dodati trecem i konacno, pomnoziti ponovo prvi redak s -5 i dodaticetvrtom, da bi se dobila matrica:

1 2 1 40 −5 −5 −60 −10 −10 −120 −5 −5 −6

Nakon mnozenja drugog retka s -2 i dodavanja trecem, zatim oduzima-nja drugog retka od treceg retka i dijeljenja samog drugog retka brojem-5, matrica glasi:

1 2 1 40 1 1 6

5

0 0 0 00 0 0 0

Ako se drugi redak pomnozi s -1 i doda prvom retku, dobiva se matrica

1 1 0 145

0 1 1 65

0 0 0 00 0 0 0

iz koje neposredno rjesenje glasi: x1

x2

x3

=

14/5− x2

x2

6/5− x2

14

=

14/50

6/5

+ x2 ·

−11−1

,gdje je x2 ∈ R parametar.

Zadatak 6. Rijesite sustav:

6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3

3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = −7

9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2

Rjesenje: x1

x2

x3

x4

x5

=

001319−34

+ x1 ·

100−30

+ x2 ·

010−20

,

gdje su x1, x2 ∈ R parametri kojima se generira beskonacno mnogorjesenja. Ovo rjesenje je, za razliku od rjesenja u prethodnom zadatku,ima dva parametra.

Zadatak 7. Rijesite Gauss-Jordanovom metodom sustav

2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

Rjesenje:x1

x2

x3

x4

=

−2/1110/11

00

+ t ·

1/11−5/11

10

+ s ·

−9/111/11

01

,

gdje su t = x3 i s = x4 parametri koji generiraju rjesenja.

15

Napomena: Sustave obavezno rijesite sami. Ispravnost dobivenih rjesenjaprovjerite uvrstavanjem, jer se parametri koje ste dobili ne moraju po-dudarati s navedenim parametrima. Ako sustave rijesite, lakse cete ra-zumijeti slijedece poglavlje. U njemu se navode razlozi nepodudaranjaoblika rjesenja i nacin izbora varijabli koje imaju ulogu parametara.

16

1.3 Bazicna rjesenja

U opcenitom zapisu rjesenja sistema javljaju se parametri koji generi-raju rjesenja.

Bazicna rjesenja sustava jednadzbi su ona rjesenja, za koja su parametrijednaki nuli. U petom zadatku, prosirena matrica sustava imala jekonacan izgled:

1 1 0 145

0 1 1 65

0 0 0 00 0 0 0

iz kojeg je ispisano rjesenje: x1

x2

x3

=

14/5− x2

x2

6/5− x2

=

14/50

6/5

+ x2 ·

−11−1

,Ako se za vrijednost parametra x2 uvrsti 0, dobiveno rjesenje zovemobazicnim: x1

x2

x3

=

14/50

6/5

Varijable x1 i x3 nazivaju se bazicnim varijablama. Ponekad se bazicnimrjesenjima nazivaju i pojedinacne vrijednosti:

x1 = 14/5

x3 = 6/5.

Varijabla x2 je nebazicna varijabla i njena je vrijednost u bazicnomrjesenju jednaka nuli.

Koeficijenti bazicne varijable u stupcu posljednje prosirene matrice sus-

17

tava, cine jedan od vektora baze vektorskog 4-dimenzionalnog prostora:

x1 x31000

0100

Opcenito, koeficijenti bazicnih varijabli, tj. odgovarajuci stupci pos-ljednje transformacije prosirene matrice sustava su neki od vektora bazem-dimenzionalnog prostora Rm (za m-broj redaka, odnosno jedndzbi):

10...00

;

01...00

; . . .

00...01

Vazna napomena je da bazicno rjesenje nije jednoznacno. Ako se u Za-

datku 5, u posljednjo prosirenoj matrici, prvi redak pomnozi s -1 i dodadrugom, nova matrica je

1 1 0 145

−1 0 1 −85

0 0 0 00 0 0 0

.Sada su vrijednosti bazicnih varijabli

x2 = 14/5

x3 = −8/5.

Nebazicna varijabla je x1 i ona u bazicnom rjesenju ima vrijednost 0.

Ako se pak u posljednjoj matrici doda drugi redak prvom, a zatim isti,drugi, redak podijeli s -1:

0 1 1 65

1 0 −1 85

0 0 0 00 0 0 0

,

18

dobiva se matrica iz koje se ispisuje bazicno rjesenje:

x1 = 8/5

x2 = 6/5

x3 = 0.

Broj bazicnih rjesenja u opcem slucaju manji je ili jednak:(n

rangA

)

gdje je n broj nepoznanica, a rangA rang matrice sustava A, odnosnonajveci moguci broj stupaca koji izgledaju kao gore navedeni bazicnivektori, a mogu se dobiti elementarnim transformacijama nad retcimamatrice sustava A.

1.4 Zadaci

U sljedecim zadacima odredite sva bazicna rjesenja sustava jednadzbi:

1.

10x1 + x2 + 10x3 = 20

15x1 + 3x2 + 5x3 = 15

Rjesenje zadatka su slijedeca bazicna rjesenja: 3−10

0

;

02

9/5

;

1/20

3/2

.Pozitivna bazicna rjesenja sustava su u prometu od osobitog

znacaja, jer su rjesenja prirodno nenegativne velicine. Zato seprvo navedeno bazicno rjesenje naziva nemogucim bazicnimrjesenjem.

2.

2x1 + 2x2 − 5x3 − 5x4 = 3

−x1 − 3x2 + 6x3 + 3x4 = 4

19

Rjesenje. Moguca bazicna rjesenja:290011

;

38/7

011/7

0

,a nemoguca bazicna rjesenja:

17/4−11/4

00

;

0

−38/3−17/3

0

;

0

−29/90

−17/9

;

00

29/15−38/15

.

3.

x1 + 2x2 + x3 = 7

2x1 − x2 + 2x3 = 6

x1 + x2 + 3x3 = 12

Rjesenje. Jedno jedino moguce bazicno rjesenje: 1/233/108/5

.

4.

2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1

Rjesenje ovog zadatka, radi njegova oblika, navodi se u cijelosti.Prosirenoj matrici sustava 2 −3 5 7 1

4 −6 2 3 22 −3 −11 −15 1

20

prvi se redak mnozi s -2 i dodaje drugom retku, zatim se prvi redakoduzima od treceg i, konacno, sam prvi redak se dijeli brojem 2 idobiva se: 2 −3 5 7 1

0 0 −8 −11 00 0 −16 −22 0

.Slijedi mnozenje drugog retka brojem -2 i dodavanje trecem, azatim dijeljenje drugog retka brojem -8. Nakon toga se u matrici 2 −3/2 5/2 7/2 1/2

0 0 1 11/8 00 0 0 0 0

mnozi drugi redak s −5/2 i dodaje prvom: 1 −3/2 0 1/16 1/2

0 0 1 11/8 00 0 0 0 0

,i slijedi bazicno rjesenje:

x1

x2

x3

x4

=

1/2000

.Uociti da je x3 bazicna varijabla i da je njena vrijednost jednakanuli.

Degenerirana bazicna varijabla je ona bazicna varijabla koja ima vri-jednost nula. Bazicno rjesenje u kojem je bar jedna varijabla degene-rirana naziva se degeneriranim bazicnim rjesenjem.

Zadatak 5. Da li postoje pozitivna bazicna rjesenja sustava linearnih jed-nadzbi:

3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3

2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 = 5

x1 − 6x2 − 9x3 − 20x4 = −11

4x1 + x2 + 4x3 + x4 = 2 ?

21

Zelimo li dobiti pozitivna bazicna rjesenja, desne strane jednakostimoraju biti pozitivne. U zadanom sustavu treba trecu jednadzbupomnoziti s −1. Tako se dobiva sustav, cija prosirena matrica izgleda:

3 2 5 4 32 3 6 8 5−1 6 9 20 114 1 4 1 2

Ako se zahtijeva da, primjerice, x1 bude bazicna varijabla, tada jedinicabuduceg stupca - bazicnog vektora ne smije biti na mjestu na kojemje sada negativni broj. Da se nakon elementarnih transformacija nebipojavile negativne vrijednosti u stupcu slobodnih koeficijenata, prijeodabira kljucnog elementa treba analizirati omjere elemenata stupca b- slobodnih koeficijenata i pozitivne elemente stupca x1 - koeficijenatauz nepoznanicu x1:

3 : 35 : 22 : 4

Vodeci element koji ce odrediti jedinu jednadzbu u kojoj ce se javitix1 bit ce element s najmanjim omjerom. Na mjestu tog elementa unovoj, transformiranoj matrici stajat ce 1, dok ce na ostalim mjestimau stupcu biti 0.

U ovom slucaju to je koeficijent 4 iz cetvrtog retka, odnosno jednadzbe.

Prva elementarna transformacija je dijeljenje cetvrtog retka brojem 4:3 2 5 1 32 3 6 8 5−1 6 9 20 111 1

4 1 14

12

Novonastali redak dodaje se trecem, zatim se taj isti redak mnozi s -2

i pribraja drugom. Na kraju se cetvrti redak mnozi brojem -3 i dodaje

22

prvom. Tako se dobiva matrica:

0 54 2 −2 3

2

0 52 4 15

2 4

0 254 10 81

4232

1 14 1 1

412

Sada se analogno trazi pozitivna bazicna vrijednost za x2. Analizirajuciomjere slobodnih koeficijenata i pozitivnih koeficijenata uz nepoznanicux2, dobiva se:

min

32

: 54,

4 : 52,

232

: 254,

12

: 14

=

3

2:

5

4,

pa je vodeci ili kljucni element koeficijent 54

uz x2 iz prvog retka, od-

nosno jednadzbe. Mnozeci prvi redak razlomkom 45, dobiva se:

0 1 85 −8

565

0 52 4 15

2 4

0 254 10 81

4232

1 14 1 1

412

Prvi redak treba redom mnoziti s −5

2, −25

4i −1

4i simultano dodavati

drugom, trecem i cetvrtom retku. Nova prosirena matrica sustava glasi:

0 1 85 −

85

65

0 0 0 232 1

0 0 0 1214 4

1 0 35

1320

15

Sada se bazicna varijabla trazi u x4. Izbjegavajuci negativnosti ustupcu slobodnih koeficijenata, analiziraju se omjeri slobodnih koefi-cijenata i odgovarajucih pozitivnih koeficijenata cetvrtog stupca koji

23

pripadaju varijabli x4:

min

1 : 23

2,

4 : 1214,

15

: 1320

= 1 :23

2

Drugi redak treba mnoziti s 232

da se na cetvrtom mjestu dobije 1. Novo

nastali se drugi redak simultano sada mnozi redom brojevima: 85, −121

4

i 1320

uz istovremeno dodavanje prvom, trecem i cetvrtom retku. Izgled

konacne matrice:

0 1 85 0 154

115

0 0 0 1 223

0 0 0 0 6346

1 0 35 0 33

230

.

Iz posljednje prosirene matrice sustava ispisuje se nenegativno bazicnorjesenje (bazicno moguce rjesenje):

x1 =33

230

x2 =154

115x3 = 0

x4 =2

23

24

1.5 Problemski zadaci

1. Brzina helikoptera veca je za 70km/h od brzine automobila. Duljinaleta kojeg u punoj brzini preleti helikopter i duljina puta sto ga za istovrijeme moze prijeci automobil odnose se kao 15 : 8. Koliko brzo mozeici helikopter, a koliko automobil?

2. Kupac je platio hlace i jaknu za gotovinu. Popust na hlace bio je 5%,na jaknu 4%, pa je kupac ”ustedio” 160 kuna. Da je popust na hlacebio 6%, a na jaknu 8%, kupac bi ”ustedio” 240 kuna. Koliko su kostalehlace, a koliko jakna?

3. Rijesite sustav Gauss - Jordanovom metodom i zapisite rjesenje u vek-torskom obliku:

3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3

4. Napisite rjesenje sustava u matricnom obliku:

2x1 + 5x2 − 8x3 = 8

4x1 + 3x2 − 9x3 = 9

2x1 + 3x2 − 5x3 = 7

x1 + 8x2 − 7x3 = 12

5. Odredite moguca bazicna rjesenja sustava:

(a)

2x1 + x2 + 5x3 = 5

x1 + 2x2 + x3 = 4

(b)

x1 − x3 + x4 − x5 = 1

x2 + x3 + 4x4 + 2x5 = 4

−7x4 + 3x5 = 0

25

Rjesenja problemskih zadataka:

1. v-brzina helikoptera, u-brzina automobila, v = u + 70, v : u = 15 : 8,v = 150km/h, u = 80km/h.

2. h-cijena hlaca, j-cijena jakne, 5% · h + 4% · j = 160, 6% · h + 8% · j = 240,h = 2000kn, j = 1500kn.

3.

x1

x2

x3

x4

=

05

−13/221/2

+ t ·

119−4

4. Sustav nema rjesenja.

5. (a)

50−1

je nemoguce bazicno rjesenje, a

210

,

05/32/3

su moguca

bazicna rjesenja.

(b) degenerirana moguca bazicna rjesenja su:

14000

,

50400

i

10400

, a

nedegenerirano je

21/13

00

6/1314/13

.

26

2 Geometrijsko rjesavanje problema linear-

nog programiranja

2.1 Linearne nejednadzbe s dvije nepoznanice

Rjesavanje nejednadzbe s dvije nepoznanice opisano je u [5] prilikom odredivanjadomene funkcije dvije varijable. Tehnika rjesavanja linearne jednadzbe s dvijenepoznanice jednostavnija je jer zahtijeva znanje o crtanju pravca u ravnini ielementarnom odredivanju poluravnine cije tocke zadovoljavaju nejednadzbu.

1. Skicirajte rjesenje nejednadzbe:

2x− 3y ≥ 6.

2. Skicirajte u koordinatnoj ravnini skup rjesenja sustava nejednadzbi:

(a) x ≥ −3, x ≤ 2, y ≤ 2, x− y − 4 ≤ 0

(b) 2x− 3y − 2 ≤ 0, 2x− 3y − 2 ≥ 0, y ≤ 2

(c) 4x− 3y + 5 ≤ 0, x+ y − 4 ≥ 0, 2x− 5y − 1 ≥ 0

2.2 Maksimum i minimum linearne funkcije dvije va-rijable na konveksnom skupu.

1. Odredite maksimum funkcije f(x, y) na konveksnom skupu :

(a) f(x, y) = x+ 2y; 3x− 2y ≥ −6, 3x+ y ≥ 3, x ≤ 3

(b) f(x, y) = x+ 3y − 2; x+ y − 7 ≤ 0, 2x+ 3y − 18 ≤ 0,x ≤ 5, x, y ≥ 0

2. Odredite minimum funkcije f(x, y) uz slijedeca ogranicenja:

(a) f(x, y) = 6x+ 4y; x+ y ≥ 2, x ≥ 12, y ≤ 4, x− y ≤ 0

(b) f(x, y) = 3x− 2y + 10; x− 2y + 4 ≥ 0, x+ y − 5 ≤ 0,x− 3 ≤ 0, x, y ≥ 0

3. Potrebno je prevesti teret na dvije relacije. Vrijeme obrta na prvoj rela-ciji je 1.4 sata, a na drugoj 1.1 sat. Radno vrijeme je 6.5 sati. Odreditebroj obrta na svakoj relaciji tako da radno vrijeme bude maksimalnoiskoristeno.

27

Rjesenje:

x1 . . . broj obrta na prvoj relaciji,

x2 . . . broj obrta na drugoj relaciji

max(1.4x1 + 1.1x2)

1.4x1 + 1.1x2 ≤ 6.5

x1, x2 ≥ 0

Traze li se cjelobrojna rjesenja, treba ispitati funkciju cilja na tockamaunutar trokuta, a koje imaju cjelobrojne koordinate.Nije tesko prepoznati da je tocka maksimuma (3, 2) a maksimum zmax =6, 4 sata.

4. Na svaku kolonu od sto vozila koja krece iz grada A dolazi u pratnjijedna radionica, dva vozila tehnicke pomoci i dva motocikla. Na istotakvu kolonu koja krece iz grada B u pratnji su dvije radionice, jednovozilo tehnicke pomoci, no nema motocikla. Jedna kolona koja ideiz grada A preveze 3000t tereta, dok kolona iz grada B preveze 2500t.Na raspolaganju je 1000 vozila, 16 radionica i isto toliko vozila tehnickepomoci, te 14 motocikala. Koliko je kolona potrebno formirati u svakomgradu, tako da prijevoz tereta bude maksimalan?

Rjesenje:GRAD GRAD resursi

A Bvozila 100 100 1000

radionice 1 2 16teh. pom. 2 1 16

motori 2 − 14teret kolone 3000 2500broj kolona x1 x2

Iz tablice zapisujemo model:

max(3000x1 + 2500x2)

100x1 + 100x2 ≤ 1000

x1 + 2x2 ≤ 16

28

2x1 + x2 ≤ 16

2x1 ≤ 14

x1, x2 ≥ 0.

Rjesenje: zmax = 28000t, koji se postize za

x1 = 6, x2 = 4.

5. Grafickom metodom rijesite problem maksimalnog koristenja kapaci-teta u poduzecu koje izradjuje dva proizvoda:P1, P2 koji prolaze kroztri grupe strojeva: S1, S2, S3. Vrijeme u satima i kapaciteti strojevadani su tablicno:

STROJEV I V RIJEMEP1 V RIJEMEP2 KAPACITETIS1 10 10 8000S2 10 30 18000S3 20 10 14000

UKUPNO 40 50 40000

Rjesenje:

Ako je x1 broj komada proizvoda P1, a x2 broj proizvoda P2,matematickimodel problema je:

max(40x1 + 50x2)

10x1 + 10x2 ≤ 8000

10x1 + 30x2 ≤ 18000

20x1 + 10x2 ≤ 14000

x1, x2 ≥ 0

Rjesenje je zmax(300, 500) = 37000h, sto predstavlja 92.5% iskoristenogvremena.

6. Rijesite problem grafickom metodom:

min(20x1 + 40x2)

6x1 + x2 ≥ 18

29

x1 + 4x2 ≥ 12

2x1 + x2 ≥ 10

x1, x2 ≥ 0

(rjesenje problema: zmin(4, 2) = 160.)

7. Rijesite linearni problem:

max(x1 + 2x2)

−x1 + x2 = 1

x1, x2 ≥ 0

(nema optimalnog rjesenja jer funkcija cilja neograniceno raste.)

8. Napisite rjesenja slijedeceg problema:

max(12x1 + 18x2)

2x1 + 3x2 ≤ 33

x1 + x2 ≤ 15

x1 + 3x2 ≤ 27

x1, x2 ≥ 0

(problem ima beskonacno mnogo rjesenja, a to su tocke spojnice T3T4,gdje je T3 = (12, 3), a T4 = (6, 7).)

9. Rijesite problem:max(x1 + 3x2)

−x1 + x2 ≤ 20

x1 + x2 ≤ 30

2x1 + 2x2 ≥ 0

x1 − x2 ≤ 10

x1, x2 ≥ 0

(rjesenje: zmax(5, 25) = 80)

30

10. Dva proizvoda, P1 i P2 prolaze u procesu proizvodnje kroz dva stroja,S1 i S2. U jedinici vremena na stroju S1 mogu se obraditi 20 komadaproizvoda P1 i 40 komada P2. Na stroju S2 mogu se u jedinici vremenaobraditi po 30 komada bilo proizvoda P1, bilo P2.U proces proizvodnjeugradjene su i dvije linije montaze. U jedinici vremena mogu montiratinajvise 15 komada P1 i 25 komada P2. Dobitak po proizvodu P1 je5, a po P2 10 kuna. Sastavite program proizvodnje koji ce u danimuvjetima maksimalizirati dobitak.

(Rjesenje:

Zadatak se svodi na problem:

max(5x1 + 10x2)

x1

20+

x2

40≤ 1

x1

30+

x2

30≤ 1

x1 ≤ 15

x2 ≤ 25

x1, x2 ≥ 0

cije je rjesenje: max(5, 25) = 275.)

11. Iz dvije vrste namirnica treba, uz minimalne troskove, sastaviti dnevniobrok koji sadrzi bar 3000 kalorija i 100g bjelancevina. Poznato je da1kg namirnica prve vrste sadrzi 2000cal i 100g bjelancevina, dok 1kgdruge namirnice sadrzi 4000cal i 200g bjelancevina. Sastavite najjefti-niji obrok uzevsi u obzir da jedan kilogram prve namirnice kosta 6kn,a druge 9kn.

( Rjesenje: uzeti samo 0.75kg namirnica druge vrste, sto kosta 6.75kn.Napomena: Od 1980. godine, umjesto kalorija u upotrebi je dzul(1cal = 4190J).)

12. Tvornica stocne hrane proizvodi dvije vrste smjesa kukuruza, zobi ipsenice prema ovoj tablici:

kukuruz zob psenica1.smjesa 90% 10% nema2.smjesa 70% 20% 10%

31

Pretpostavimo da tvornica ostvaruje dobit od 27 dolara po toni prve i 21dolar po toni druge smjese. Neka tvornica raspolaze s 1800t kukuruza,1000t zobi i 600t psenice. Koliko tona svake smjese treba proizvesti dase maksimalizira ukupna dobit, ako sva proizvodnja moze biti prodana,a proces mijesanja jednako stoji za svaku smjesu.

( Rjesenje: svaka tocka segmenta koji spaja (0, 180007

) i (2000, 0). Mak-simalna dobit je 54000 dolara.)

13. Neko poduzece ima dva skladista smjestena u dva razlicita grada. Robase iz tih skladista transportira u tri robne kuce koje su smjestene udruga tri grada. Troskovi prijevoza po jedinici vremena, kapacitetiskladista i zahtjevi robnih kuca dani su pregledno u tablici:

R1 R2 R3 kapacitetiS1 4 2 1 15S2 1 3 5 25

zahtjevi 10 20 10

( Rjesenje:Neka je x kolicina robe koju vozimo iz S1 u R1, a y neka je kolicina robekoju vozimo iz S1 u R2. Ostale su vrijednosti odredene. Zahtjevamoli pozitivnost svih prevezenih kolicina, dobivamo uvjete i dobiva seminimalni trosak od 75 novcanih jedinica.)

14. Velika gradska prijevoznicka tvrtka zeli nabaviti 300 kamiona nosi-vosti po 3600 i 1200 kilograma, tako da oni zajedno u samo jednojvoznji mogu natovariti barem 432t robe. Kamioni se kupuje na kredit.Mjesecna rata za svaki veci kamoncic iznosi 3300, dok za manji 2800Eura. Za otplatu poduzece ne moze mjesecno izdvojiti vise od 924000Eura. Jedan prijevoz vecim vozilom donosi oko 320, a manjim 360Eura. Koliko bi tvrtka trebala kupiti vecih, a koliko manjih kamiona,pa da ostvari najvecu dobit za jednu voznju dnevno?(rjesenje: 30 vecih i 270 manjih, dobit po danu je 106800 Eura.)

15. Poduzece proizvodi skije za trcanje i za slalom. Proizvodi se u odjeluza proizvodnju, kapaciteta 216 sati i odjelu za finalizaciju kapaciteta48 sati. Skije za trcanje treba 12 sati raditi i 2 sata sastavljati, dokskije za slalom treba 8 sati raditi i 2 sata sastavljati. Koliko kojih raditi

32

u danim uvjetima, ako skije za trcanje donose profit od 40$, a slalomskije 30$. Pod skijama podrazumijeva se par skija.(rjesenje: treba proizvesti 6 pari skija za trcanje i 18 pari skija zaslalom, sto ce donijeti 780$ profita .)

16. Potrebno je uvesti trajektnu liniju koja bi dnevno u oba smjera moglaprevesti barem 2500 automobila, a ne bi potrosila dnevnu zalihu od 800litara goriva. Na raspolaganju su dva tipa trajekata. Veci u jednomsmjeru vozi 200 automobila, potrosi pritom 30 litara goriva, a ukupnitrosak jedne voznje je 800kn. Manji u jednom smjeru potrosi 40 litaragorva, moze prevesti 160 automobila, a trosak takve voznje je 650kn.Ako veci u jednom danu napravi ukupno 10 voznji, a manji 8, koliko bi ikojih plovila trebalo nabaviti, pa da roskovi budu sto manji? Obaveznoizracunajte minimalni dnevni trosak.(Rjesenje:varijable:

- varijable:

- x1 · · · broj vecih trajekata

- x2 · · · broj manjih trajekata

- funkcija cilja: min(10 · 800x1 + 8 · 650x2)

- uvjeti:

10 · 200x1 + 8 · 160x2 ≥ 2500

10 · 30x1 + 8 · 40x2 ≤ 800

x1, x2 ≥ 0

U domeni se promatraju samo tocke s cjelobrojnim koordinatamai nalazi se da je najbolje uzeti 2 manja trajekta uz minimalnidnevni trosak od 104000kn.)

17. Planira se tjedna proizvodnja dva proizvoda P1 i P2. Do finalnog pro-izvoda materijal prolazi tri faze obrade: F1, F2 i F3. Tjedni kapacitetza svaku fazu je 840 radnih sati. Za prvi proizvod P1 potrebno je 1 satza fazu F1, 2 sata za fazu F2 i 1/2 sata za trecu fazu, F3. Za drugiproizvod P2 potrebno je 2 sata rada u prvoj fazi, 36 minuta u drugojfazi i 20 minuta rada u trecoj fazi.

33

Kako treba planirati proizvodnju, odnosno koliko treba izraditi komadaprvog proizvoda P1, a koliko komada drugog proizvoda P2 da bi zaradabila maksimalna, ako je cijena prvog proizvoda po komadu 200 kuna,a drugog 300kn.Napisati matematicki model i problem rijesiti graficki.(Rjesenje:Matematicki model koji se ispisuje iz tablice:

F1 F2 F3

P1 1 2 1/2P2 2 3/5 1/3

840 840 840

i glasi:

max(200x1 + 300x2)

x1 + 2x2 ≤ 840

2x1 + 0.6x2 ≤ 840

0.5x1 + 0.33x2 ≤ 840

x1, x2 ≥ 0

i konacno daje maksimalnu zaradu od 33600kn za 168 proizvoda P1.

34


1. Odredite minimum i maksimum linearnih funkcija uz navedene uvjete:

(a)f(x1, x2) = 3x1 + 2x2

x1 + x2 ≤ 6

x1 − 2x2 ≤ 2

x1 ≥ 1

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

(b)f(x1, x2) = 2x1 + 2x2

x1 + x2 ≥ 3

−x1 + x2 ≤ 2

x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

2. Jedno poduzece proizvodi dva proizvoda i za njihovu obradu koristicetiri stroja. Raspolozivo vrijeme na strojevima je redom: 16, 10, 16i 12 sati. Za obradu svakog proizvoda prvog tipa na strojevima trebaraditi redom: 2,2,4 i 0 sati, dok za obradu svakog proizvoda drugog tipatreba po 4,1,0 i 4 sata. Ako je zarada po svakom proizvodu prvog tipadvije kune, a po svakom proizvodu drugog tipa tri kune, kako planiratiproizvodnju da poduzece ostvari maksimalnu dobit?

3. U okviru jednog poduzeca rade dvije tvornice a proizvodi se prodaju utri skladista. Prva tvornica radi 10000 artikala, a druga 5000. Skladistaprodaju po 4000, 8000 i 3000 komada. Cijene prijevoza po komadudana su tablicno. Odredite plan transporta s minimalnim troskovimai izracunajte te troskove.

S1 S2 S3

T1 3kn 3kn 2knT2 6kn 5kn 1kn

35

Rijesenja problemskih zadataka:

1. zadatak

a) x1 = 4.67 x1 = 1 b) x1 = 3x2 = 1.33 x2 = 0 x2 = 0

fmax = 16.67 fmin = 3 fmin = 6 fmax →∞

2. Treba proizvoditi 4 proizvoda prvog i 2 drugog tipa, uz zaradu od 14kn.

3. Minimalni trosak transporta je 43000 novcanih jedinica. Iz T1 u S1

slati 4000, a u S2 6000 komada, dok iz T2 u S2 slati 2000 a u S3 3000komada.

36

3 Numericko rjesavanje linearnog problema -

simpleks metoda

Bazicno moguce rjesenje sustava linearnih jednadzbi u ovom je poglavljujedan od kljucnih pojmova.

3.1 Jedan primjer

Primjer pokazuje vezu mogucih bazicnih rjesenja linearnog sustava i mogucihrjesenja linearnog problema.

Primjer 1:

max(2x1 + 3x2)

4x1 + 5x2 ≤ 16

−2x1 + 3x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

Graficko rjesavanje vodi na moguca rjesenja linearnog problema:

O(0, 0);A(0, 1);B(3

2, 2);C(4, 0).

Numericko rjesavanje daje bazicna moguca rjesenja sustava:

4x1 + 5x2 + u1 = 16

−2x1 + 3x2 + u2 = 3

Prvo moguce bazicno rjesenje jex1

x2

u1

u2

=

00163

Drugo moguce bazicno rjesenje je

x1

x2

u1

u2

=

40011

37

Trece moguce bazicno rjesenje je:x1

x2

u1

u2

=

01110

Cetvrto moguce bazicno rjesenje:

x1

x2

u1

u2

=

32

200

.

Ako se uzmu u obzir samo prve dvije komponente, one predstavljajukoordinate tocaka koje su moguca rjesenja grafickog problema.

Simpleks metoda ne analizira sva bazicna rjesenja, vec postoji algoritamkoji dovodi do bazicnog moguceg optimalnog rjesenja uz najkraci brojkoraka. Algoritam je pregledno opisan u sljedecem poglavlju.

3.2 Simpleks metoda

Problem

max(2x1 + 3x2)

4x1 + 5x2 ≤ 16

−2x1 + 3x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0,

dodavanjem varijabli u1 i u2, prevodi se u kanonski oblik:

max(2x1 + 3x2 + 0u1 + 0u2)

4x1 + 5x2 + u1 = 16

−2x1 + 3x2 + u2 = 3

x1, x2, u1, u2 ≥ 0.

38

Simpleks tablica:

cj 2 3 0 0cB x1 x2 u1 u2 b0 u1 4 5 1 0 160 u2 -2 3 0 1 3zj −cj -2 -3 0 0 0

Pocetno bazicno moguce rjesenje sistema je:x1

x2

u1

u2

=

00163

,a vrijednost funkcije cilja je nula.

Najnegativnija vrijednost zj − cj daje novu bazicnu varijablu, tako dace u tom stupcu biti bazicni vektor. Radi zahtjeva pozitivnosti varijablex2, komponenta 1 novog bazicnog vektora bit ce u onom retku koji imanajmanji nenegativni omjer komponente iz stupca b i odgovarajuce pozitivnevrijednosti u stupcu od x2:

b : x2.

Taj redak je u ovom primjeru 2. redak, buduci je

3 : 3 < 16 : 5.

Dakle, vodeci element u stupcu ispod x2 je 3. Elementarnim transforma-cijama nad retcima dolazi se do nove tablice:

cj 2 3 0 0cB x1 x2 u1 u2 b0 u1

223

0 1 −53

110 x2

−23

1 0 13

1zj −cj -4 0 0 1 3

Bazicno moguce rjesenje sada je:x1

x2

u1

u2

=

01110

.

39

Funkcija cilja jednaka je 3.Iz ove tablice negativna vrijednost z1−c1 = −4 pokazuje da nova bazicna

varijabla mora biti x1, a komponenta 1 novog bazicnog vektora bit ce ustupcu ispod varijable x1. Alternative za vodeci element nema, jer radi svojenegativnosti to ne moze biti element u drugom retku. Nova tablica takoizgleda:

cj 2 3 0 0cB x1 x2 u1 u2 b2 x1 1 0 3

22−522

32

3 x2 0 1 111

211

2zj −cj 0 0 6

11111

9

Ovo je konacna tablica, jer nema vise negativnih zj − cj.Citamo optimalno rjesenje:

x1 =3

2x2 = 2

fmax = 9

Zadatak. Linearni problem

max(3x1 + 2x2)

x1 − x2 ≤ 3

−x1 + 2x2 ≤ 8

x1 ≤ 4

x1 + 2x2 ≤ 12

x1, x2 ≥ 0

rijesite graficki, a zatim racunski. Ucrtajte ”put” kojim simpleks pro-cedura putuje do rjesenja.

(rjesenje: fmax = 20; (x1, x2) = 4, 4)

Zadatak. Rijesite linearni problem:

max(2x1 + x2 + x3)

2x1 + x2 + x3 ≤ 20

6x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 50

2x1 + x2 + 2x3 ≤ 30

x1, x2, x3 ≥ 0

40

(rjesenje: fmax = 20;x1 = 5;x2 = 0;x3 = 10.

Charnesovom M procedurom rjesavaju se problemi ciji uvjeti nisu tipamanje ili jednako.

41

3.3 Rjesenje standardnog problema minimuma-CharnesovaM procedura

Zadatak 1 Grafickom metodom rijesite linearni problem:

max(3x1 + 2x2)

x1 − x2 ≤ 3

−x1 + 2x2 ≤ 8

x1 ≤ 4

x1 + 2x2 = 12

x1, x2 ≥ 0

Zadatak 2 Numericki rijesite linearni problem prvog zadatka.

Rjesavanje zadatka pocinje konstrukcijom kanonskog oblika pro-blema:

Zadatak 3 Rijesite problem grafickom metodom:

min(x1 + 2x2)

x1 − x2 ≤ 4

2x1 + 3x2 ≥ 18

x1, x2 ≥ 0

Zadatak 4 Rijesite problem iz treceg zadatka numericki.

Rjesenje se izvodi Charnesovom M procedurom. Problem iz prvogzadatka prelazi u problem:

min(x1 + 2x2 + 0u1 + 0v1 +Mw1)

x1 − x2 + +u1 = 4

2x1 + 3x2 − v1 + w1 = 18

x1, x2, u1, v1, w1 ≥ 0

Simpleks tablica ima slijedeci izgled:

cj 1 2 0 0 McB x1 x2 u1 v1 w1 b0 u1 1 -1 1 0 0 4M w1 2 3 0 -1 1 18zj −cj 2M − 1 3M − 2 0 −M 0 18M

42

Analiza zj− cj ide u smjeru nalazenja najpozitivnije vrijednosti. Onapokazuje novu bazicnu varijablu i stupac u kojem treba konstru-irati bazicni vektor. Kljucni element treba traziti na potpunoidentican nacin radi zahtjeva za nenegativnosti varijabli. Nova jetablica:

cj 1 2 0 0 McB x1 x2 u1 v1 w1 b0 u1

53

0 1 −13

13

102 x2

23

1 0 −13

13

6zj −cj 1

30 0 −2

3−M 12

Nova bazicna varijabla biti ce x1, a u stupcu ispod x1 treba konstru-irati novi bazicni vektor. Nova tablica sada je

cj 1 2 0 0 McB x1 x2 u1 v1 w1 b1 x1 1 0 3

5−15

15

62 x2 0 1 −2

5−15

15

2zj −cj 0 0 −1

5−23−M 10

Ovo je konacna tablica i optimalno rjesenje je:

x1 = 6

x2 = 2,

fmin = 10

Zadatak 5. Numericki rijesite linearni problem:

max(12x1 + 10x2 + 12x3)

x1 + x2 + x3 = 20

x1 + x3 ≤ 10

x2 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

(Rjesenje problema je:

x1 = 10; x2 = 10; x3 = 0; fmax = 220.)

43

Zadatak 6. Rijesite linearni problem:

min(8x1 + 12x2 + 2x3 + 6x4)

4x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 80

3x1 + x2 + 5x3 + x4 ≥ 60

2x1 + 5x2 + 3x4 = 40

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenje: x1 = x2 = 0;x3 = 9.33;x4 = 13.33; fmin = 98.67)

(ili rjesenje problema je:

x1 = x2 = 0; x3 = 91

3; x4 = 13

1

3; fmin = 98

2

3.)

Zadatak 7. Rijesite problem:

max(8x1 + 5x2 + x3)

2x1 + x2 + 2x3 ≥ 10

x1 + x2 − x3 ≤ 5

4x1 + x2 − 2x3 ≤ 7

x1, x2, x3 ≥ 0

(Rjesenje: fmax →∞.)

3.4 Ispitni zadaci iz numerickog rjesavanjalinearnog problema


max(9x1 + 24x2 + 9x3)

x1 + 8x2 + 2x3 ≤ 10

3x1 + 16x2 + x3 ≤ 25

x1 + 16x2 + 2x3 ≤ 30

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x = 8;x2 = 0;x3 = 1; fmax = 81)

44

2. Rijesite numericki:

max(2x1 + 4x2 + x3 + x4)

x1 + 3x2 + x4 ≤ 4

2x1 + x2 ≤ 3

x2 + 4x3 + x4 ≤ 3

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 1;x2 = 1;x3 = 0.5;x4 = 0; fmax = 6.5)

3. Rijesite linearni problem simpleks metodom i provjerite rjesenje graficki:

max(3x1 + 5x2)

3x1 + x2 ≤ 33

x1 + x2 ≤ 13

5x1 + 8x2 ≤ 80

x1, x2 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 0;x2 = 10; fmax = 50)


max(2x1 + 3x2 + 5x3)

x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 5

2x1 + x2 − 3x3 ≤ 4

−2x1 − x2 + 3x3 ≤ −4

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 2.818;x2 = 0;x3 = 0.545; fmax = 7.1818) uputa: pos-ljednju nejednadzbu potrebno je pomnoziti s −1, radi nenegativnostibazicnog rjesenja)

5. Rijesite numericki linearni problem:

max(x1 + 3x2 + x3)

x1 + 2x2 − x3 ≥ 6

4x1 − x2 + x3 ≤ 12

x1 + 3x2 − 2x3 ≤ 6

x1, x2, x3 ≥ 0

45

(rjesenje: x1 = 0;x2 = 30;x3 = 42; fmax = 132)

6. Rijesiti linearni problem:

min(x1 + 2x2 + 4x3)

x1 + x2 + x3 ≤ 5

4x1 − 2x2 − x3 ≤ 12

x1 − x3 = 0

2x1 + x2 + 3x3 = 6

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 1.2;x2 = 0;x3 = 1.2; fmin = 6)

7. Rijesite linearni problem :

max(12x1 + 10x2 + 12x3)

x1 + x2 + x3 = 20

4x1 + 4x3 ≤ 40

x2 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0


8. Numericki rijesite linearni problem:

min(8x1 + 12x2 + 14x3)

2x1 − 3x2 − 2x3 ≤ 0

x1 − x2 + 2x3 ≥ −1

2x1 + 3x2 − 7x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 0;x2 = 0.667;x3 = 0; fmin = 8)

9. Rijesite:

min(x1 + 2x2 + x3)

x1 − x2 + x3 ≤ 2

x1 + x2 + x3 = 4

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 3;x2 = 1;x3 = 0; fmin = 5)

46


max(4x1 − 10x2 + 8x3 + 2x4)

−x1 − 5x2 − 9x3 + 6x4 ≤ 2

−3x1 + x2 − x3 − 3x4 ≥ −10

2x1 − 6x2 + 7x3 − 8x4 ≥ 100

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenja: x1 = 0;x2 = 30;x3 = 40;x4 = 0; fmax = 20)


max(2x1 + x2 + x3)

x1 + x2 + 2x3 ≥ 9

x2 + x3 ≤ 9

x1 + x2 + x3 ≤ 10

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 10;x2 = x3 = 0; fmax = 20)


min(2x1 + 4x2 + 6x3)

x1 + x2 + x3 ≤ 14

4x1 − 2x2 − x3 ≤ 10

x1 + x3 ≥ 0

x1 + 2x2 + 3x3 = 6

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = x2 = 0;x3 = 2; fmin = 12)

13. Odredite rjesenje slijedeceg linearnog problema:

max(0.5x1 + 0.3x2 + 0.6x3)

x1 + x2 + x3 ≤ 20

x1 + x3 ≥ 8

x2 + x3 ≤ 18

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 2;x2 = 0;x3 = 18; fmax = 11.8)

47

14. Numericki rijesite linearni problem:

min(2x1 + 3x2 + 5x3)

x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 5

2x1 + x2 − 3x3 ≤ 4

−2x1 − x2 + 3x3 ≤ −4

x1, x2, x3 ≥ 0


15. Nadite rjesenje problema:

max(2x1 + 4x2 + x3 + x4)

x1 + 4x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 7

x1 + 8x2 + 3x4 ≥ 9

2x1 + 2x2 + 4x3 + x4 ≤ 6

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 1.67;x2 = 1.33;x3 = 0;x4 = 0; fmax = 8.67)

16. Rijesite naznaceni linearni problem:

max(2x1 + 4x2 − 2x3)

x1 + 2x2 − x3 ≥ 6

5x1 + x2 ≤ 18

x1 + 3x2 − 2x3 ≤ 6

x1, x2, x3 ≥ 0



max(8x1 + 12x2 + 2x3 + 6x4)

4x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 80

3x1 + x2 + 5x3 + x4 ≥ 60

2x1 + 5x2 + 3x4 = 40

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 20;x2 = 0;x3 = 0;x4 = 0; fmax = 160, x4 je degeneri-rana bazicna varijabla)

48

18. Rijesite numericki:

max(6x1 + 12x2 + 3x3 + 3x3)

x1 + 3x2 + x4 ≤ 4

2x1 + x2 ≤ 3

x− 2 + 4x3 + x4 ≤ 3

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 1;x2 = 1;x3 = 0.5;x4 = 0; fmax = 19.5)


max(2x1 + 6x2 + x3)

2x1 + 4x2 − 2x3 ≥ 12

4x1 − x2 + x3 ≤ 12

x1 + 3x2 − 2x3 ≤ 6

x1, x2, x3 ≥ 0


20. Brodogradiliste gradi brodove od 500,600 i 800 Brt. Za izgradnju bro-dova treba 6,9 i 15 mjeseci. Brodogradiliste ima na raspolaganju jedanslobodan dok. Dosla je narudzba za 10 brodova koji zajedno trebajuimati preko 5600Brt. Napravite plan izgradnje brodova koji ce imatinajkrace vrijeme gradnje.(rjesenje: matematicki model:x1 . . . broj brodova od 500Brtx2 . . . broj brodova od 600Brtx3 . . . broj brodova od 800Brt

min(6x1 + 9x2 + 15x3)

x1 + x2 + x3 = 10

500x1 + 600x2 + 800x3 ≥ 5600

x1, x2, x3 ≥ 0

rjesenje: x1 = 8;x2 = 0;x3 = 2;min = 78 mjeseci.)

49

21. Potrebno je nabaviti zrakoplove za gasenje pozara. Na trzistu su zrako-plovi nosivosti 25t po cijeni od 4 milijuna kuna, zatim oni nosivosti od20t po 3 milijuna i od 40t sa cijenom od 5 milijuna. Ocekuje se da ceodjednom trebati bar 240t vode, ali je u bazi moguce imati najvise 8 zra-koplova. Napravite plan kupnje koji ce zahtijevati sto manje troskove.Rjesenje:x1, . . . broj zrakoplova nosivosti 25tx2, . . . broj zrakoplova nosivosti 20tx3, . . . broj zrakoplova nosivosti 40tmatematicki model:

min(4x1 + 3x2 + 5x3)

25x1 + 20x2 + 40x3 ≥ 240

x1 + x2 + x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 0;x2 = 0;x3 = 6; fmin = 30 milijuna kuna.)

22. U restoranu je moguce imati stolove za 4,6 i 8 ljudi. Stol za cetverokosta 800kn, stol za sestero 900kn, a stol za osmero kosta 1000kn.Ocekuje se odjednom najmanje 240 gostiju. U stolove se namjeravainvestirati najvise 45000kn. Ocekuje se da odjednom mora biti bar 20stolova za cetiri osobe. Koliko kojih stolova nabaviti da bi restoranmogao odjednom primiti sto je moguce vise gostiju.(Model:Neka su x1, x2, x3 redom brojevi stolova za 4, 6 i 8 ljudi. Tada je mate-maticki problem:

max(4x1 + 6x2 + 8x3)

x1 ≥ 20

800x1 + 900x2 + 1000x3 ≤ 45000

x1, x2, x3 ≥ 0

rjesenje: x1 = 20;x2 = 0;x3 = 29;max = 312 gostiju.)

23. Kompozicija nocnog vlaka ima bar jedna spavaca kola, bar dvoja kolaprvog razreda, dok su ostali vagoni drugog razreda. Spavaca kola pri-maju 30 putnika, vagon prvog razreda 60, a vagoni drugog razreda po

50

90. Mora se sloziti kompozicija za bar 600 putnika. Trosak spavacihkola je 400kn na noc, vagon prvog razreda kosta 250kn na noc, dokvagon drugog razreda kosta 100kn po jednoj noci. Kako sastaviti kom-poziciju koja moze primiti ocekivani broj putnika, a da ima najmanjetroskove?

(Rjesenje:

- nepoznanice koje treba odrediti su: broj spavacih kola x1, te va-gona prvog i drugog razreda: x2 i x3.

- cilj je minimizirati funkciju

400x1 + 250x2 + 100x3

- uz uvjete:

30x1 + 60x2 + 90x3 ≥ 600

x1 ≥ 1

x2 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

rjesenje: x1 = 1;x2 = 2;x3 = 5; fmin = 1400 kuna)

24. Znamo da pri iznajmljivanju apartmana od 40m2 prihod iznosi 5kn/m2,apartman od 50m2 donosi zaradu od 4kn/m2, dok pri najmu apartmanaod 80m2 prihod je 3kn/m2, sve za jedan dan iznajmljivanja. Isto takosvjesni smo mogucnosti najma za najvise 10 najmanjih apartmana, 18srednjih i samo 5 najvecih apartmana dnevno. Gradjevinski je izvedivonapraviti tocno 14 apartmana korisne povrsine od najvise 1000m2. Ko-liko je kojih apartmana tada najisplativije graditi? Kolika ce biti dobitod najma u jednoj sezoni, ako ona traje 80 dana?

(Rjesenje:

- x1 . . . broj apartmana od 40m2



51

- model:max(200x1 + 200x2 + 240x3)

x1 + x2 + x3 = 14

40x1 + 50x2 + 80x3 ≤ 1000

x1 ≤ 10

x2 ≤ 18

x3 ≤ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 9;x2 = 0;x3 = 5; fmax = 3000 kuna; ukupno po sezoni:240000 kuna.)

25. Za prehranu u nekom periodu raspolozive su tri vrste konzervi, ciji jeosnovni sastav:tip konzerve kalorija vitaminaC(mg)

1 2000 502 1500 1003 1000 60

U tom periodu treba konzumirati barem 600mg vitamina C. Kojihdeset konzervi odabrati da bi se, pored dovoljne kolicine vitamina, kon-zumirala i maksimalna kolicina kalorija, ako nije raspolozivo vise od 6konzervi tipa 1? Problem rijesite numericki.(rjesenje: 6 tipa 1 i 4 tipa 2, donosi 18000cal)Napomenuti treba ponovo da su cal medjunarodno zabranjena jedinicaza energiju.

26. Tvornica automobila izraduje tri vrste vozila u tri pogona. Tehnickotehnoloski uvjeti proizvodnje kao i dobit po svakom pojedinom voziludani su u tablici:

koristenje resursa po jedinici proizvodapogon automobili kombi vozila kamioni Resursi

I 2 2 1 100II 0 1 2 100III 3 1 0 90

dobit u tisucama 15 20 25Odredite optimalni plan proizvodnje i izracunajte dobit tog plana.

52

(najbolje je napraviti 25 automobila i 50 kamiona, sto ce donijeti 1, 525.000kuna.)

27. U auto parku imamo sljedece vrste kamiona:NOSIVOST UKUPNA TEZINA broj kamiona

5t 7.5t 53t 4.5t 68t 12t 4

Dobit po jednoj prevezenoj toni na kamionu od 5t nosivosti iznosi

100kn, na kamionu nosivosti 3t dobit po toni je 70kn, dok 1t prevezenana najvecem kamionu donosi 120kn. Treba napraviti konvoj od 12kamiona tako da ukupna dobit koju ce transport donijeti bude najveca.Kakav ce biti sastav konvoja, ako njegova ukupna tezina ne smije bitiveca od 120t? Kolika je najveca moguca dobit?(rjesenje: 5× 5t; 3× 3t; 4× 8t; maksimalna dobit je 6970 kuna.)

28. Za ocuvanje covjekova zdravlja i radne sposobnosti u 24 sata treba uzetinajmanje 400g masti, 480g bjelancevina, 640g ugljikohidrata i 12g vi-tamina. U 100g salame ima 25g bjelancevina i 50g masti. U 100gkukuruznog kruha ima 5g bjelancevina, 2g masti, 45g ugljikohidrata i0.4g vitamina. 100g jetrica imaju 20g bjelancevina, 4g masti, 3g uglji-kohidrata i 0.8g vitamina. Jabuke imaju 1g masti, 14g ugljikohidratai 0.5g vitamina. Ako 1kg kruha kosta 5kn, salame 30kn, jetrica 20kn ijabuka 10kn, napravite najjeftiniji jelovnik za jednog covjeka, tako daudio kruha bude najvise 1kg(Rjesenje:matematicki model:

- x1 - salama u kg

- x2 - kukuruzni kruh u kg

- x3 - jetrica u kg

- x4 - jabuke u kg

min(30x1 + 5x2 + 20x3 + 10x4)

250x1 + 50x2 + 200x3 ≥ 480

500x1 + 20x2 + 40x3 + 10x4 ≥ 400

53

450x2 + 30x3 + 140x4 ≥ 640

4x2 + 8x3 + 5x4 ≥ 12

x2 ≤ 1

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Nakon 5 iteracija najuporniji rjesavaci trebali bi dobiti jelovnik za61.79kn, koliko kostaju 63dag salame, kilogram kruha, 1.36kg jetrica i1.07kg jabuka. Postoje programi koji iteracije prepustaju racunalima.)

54


1. Rijesite problem:

max(4x1 + 6x2 + 2x3)

2x1 + x2 − x3 ≤ 1

x1 + x2 + x3 = 6

x1, x2, x3 ≥ 0


min(x1 + 2x2 + x3)

x1 − x2 + x3 ≤ 2

x1 + x2 + x3 = 4

x1, x2, x3 ≥ 0

3. Linearni problem rijesite numericki:

max(x1 + x2 + x3)

10x1 + 5x2 + 6x3 ≥ 30

14x1 + 7x2 + 8x3 = 56

6x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 36

x1, x2, x3 ≥ 0

4. Rijesiti problem linearnog programiranja:

min(x1 + 2x2 − x3 + 4x4 − x5 + 6x6)

2x1 − x2 + x3 ≤ 2

x2 − x3 − x4 ≤ 3

x3 + x4 − x5 ≥ 4

x5 + x6 = 7

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

55


min(8x2 + 14x3)

x1 + x2 + x3 ≤ 4

4x1 − 2x2 − x3 ≤ 10

x1 − x3 = 10

x1 + 2x2 + 3x3 = 6

x1, x2, x3 ≥ 0

6. U avionu postoje sjedala I, II i III klase. Ukupan broj sjedala je 120.Ispitivanja su pokazala da po jednom letu ima barem 10 putnika za Iklasu, barem 30 za II klasu i barem 40 koji su zadovoljni III klasom.Ako karte kostaju 100, 50 i 20 dolara, koliko kojih sjedala bi trebalopostojati, pa da se po letu zaradi najvise?

7. Dva proizvoda, P1 i P2, kad se izradjuju, prolaze kroz tri stroja: S1, S2 iS3. Vrijeme obrade u satima po jedinici proizvoda i kapaciteti strojevadani su u tablici:

stroj S1 stroj S2 stroj S3

proizvod P1 12 13 10proizvod P2 14 7 11kapaciteti 240 210 90

Proizvod P1 prodaje se po cijeni od 15 novcanih jedinica, a proizvodP2 po cijeni od 6 novcanih jedinica. Kako treba planirati proizvodnjuda se ostvari maksimalna dobit? Problem rijesite numericki.

56

Rjesenja problemskih zadataka

1. max = 26, za x1 = 0;x2 = 3.5;x3 = 2.5

2. min = 5, za x1 = 3;x2 = 1;x3 = 0

3. max = 8, za x2 = 8;x1 = x3 = 0

4. min = 0, za x2 = 9;x3 = 11;x5 = 7

5. skup mogucih rjesenja je prazan skup.

6. dobro bi bilo postojati 50 mjesta I klase, 30 druge i 40 trece, a maksi-malna dobit bi bila 7300$, iako takva razdioba nije realna.

7. 9 komada P1 daje maksimalnu dobit od 135 novcanih jedinica.

57

4 Teorija linearnog programiranja

4.1 Dual standardnog problema

Standardni problem maksimuma ima oblik

max(n∑

i=1

cixi)

n∑i=1

ajixi ≤ bj, j = 1, . . . k

n∑i=1

alixi = bl, l = k + 1, . . .m

xi ≥ 0, i = 1, . . . p,

gdje j = 1, . . . k i l = k, . . .m znaci da opcenito u standardnom modelumaksimuma moze biti zadano k nejednadzbi,a ostalih n − k su jed-nadzbe. Isto tako, opcenito ne moraju biti sve varijable restringirane:x1, . . . xp ≥ 0 znaci da je samo prvih p varijabli restringirano. Dobroje znati da se simpleks procedurom ne mogu rjesavati problemi ukojima postoje nerestringirane varijable.

Dualni problem zadanog standardnog problema maksimuma glasi:

min(m∑i=1

biyi)

m∑i=1

aijyi ≥ cj, j = 1, . . . p

m∑i=1

aijyi = cj, j = p+ 1, . . . n

yi ≥ 0, i = 1, . . . k

Dobro je uociti da broj nejednadzbi kod pocetnog problema odgovarabroju restringiranih varijabli dualnog problema. Dual dualnog pro-blema ponovo je pocetni problem. Dualni problemi imaju iste vrijed-nosti ekstrema funkcije cilja.

58

Zadaci:

1. Rijesite linearni problem graficki preko duala, tako da odredite samominimalnu vrijednost:

min(20x1 + x2 + 5x3)

10x1 + x2 + 10x3 ≥ 20

15x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 15

x1, x2, x3 ≥ 0.

(rjesenje: fmin = 11)

2. Napisati dual linearnog problema:

min(4y1 − 2y2 + 2y3)

y1 − y2 + y3 ≥ 3

y1 − y2 ≥ 2

y1, y2, y3 ≥ 0.

Rijesite graficki dualni problem, i istaknite minimalnu vrijednost funk-cije cilja pocetnog problema.(rjesenje: fmin = 10)

3. Grafickom metodom odredite minimum linearnog problema preko du-ala:

min(18x1 + 12x2 + 84x3 − 6x4)

−2x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 10

3x1 − 3x2 + 9x3 − 3x4 ≥ 15

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.


4. Zadan je problem:

max(21x1 + 24x2 + 16x3)

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 5

3x1 + 3x2 + x3 ≤ 4

x1, x2, x3 ≥ 0.

59

Za zadani problem napisite dualni i graficki rijesite taj dualni problem.

(dualni problem:

min(5y1 + 4y2)

y1 + 3y2 ≥ 21

2y1 + 3y2 ≥ 24

2y1 + y2 ≥ 16

y1, y2 ≥ 0,

cije je rjesenje: fmin = 47.8, za y1 = 5.4, y2 = 5.2.)

5. Postavite dualni problem, pa grafickom metodom odredite maksimumfunkcije:

max(x1 + 3x2 + 2x3 − 3x5 − x6)

2x1 + 2x2 + x3 + x4 + 2x5 + x6 = 1

4x1 + 3x2 − x3 − 2x4 − x5 + 2x6 = 1

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

(rjesenje: dualni problem

min(y1 + y2)

2y1 + 4y2 ≥ 1

2y1 + 3y2 ≥ 3

y1 − y2 ≥ 2

y1 − 2y2 ≥ 0

2y1 − y2 ≥ −3

y1 + 2y2 ≥ −1

nema restringirane varijable radi jednakosti u uvjetima pocetnog pro-blema: fmax = 1.6)

60

6. Grafickom metodom, preko duala, odredite minimum funkcije

6x1 + 12x2 + 14x3

uz uvjete:

x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 10

5x1 + 7x2 + 6x3 ≥ 30

x1, x2, x3 ≥ 0.

(rjesenje: fmin = 51.11)

7. Grafickom metodom, preko duala, odredite minimum funkcije

10x1 + 7x2 + 12x3

uz uvjete:

x1 + x2 + x3 ≥ 7

2x1 + x2 + x3 ≥ 4

x1, x2, x3 ≥ 0.


8. Odredite graficki maksimum funkcije preko duala:

max(40x1 − 18x2 − 16x3 − 72x4)

5x1 − x2 + 7x3 − 9x4 ≤ 20

8x1 − x2 − 8x3 − 16x4 = 30

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

(rjesenje: fmax = 160)

9. Rijesiti dual problema

min(6x1 + 5x2 − 15x3)

x1 + x2 − 2x3 ≥ 6

3x1 + 2x2 − 5x3 ≥ 9

x1, x2, x3 ≥ 0.

(rjesenje: fmax →∞)

61

10. Odredite minimalnu vrijednost funkcije 4x1+2x2+18x3+3x4 uz uvjete:

2x1 + 2x2 − 5x3 − 5x4 ≥ 3

−x1 − 3x2 + 6x3 + 3x4 ≥ 4

x1, x2, x3, x4 ≥ 0,

rjesavanjem dualnog problema.


11. Napisite dual problema

min(20x1 + x2 + 5x3)

10x1 + x2 + 10x3 = 20

15x1 + 3x2 + 5x3 = 15

x1, x2, x3 ≥ 0

i odredite minimum grafickom metodom.(rjesenje: fmin = 11)

12. Za linearni problem:

min(−4y1 + 7y2 − 7y3 + 17y4 + 23y5)

−y1 + 3y2 − 3y3 − 3y4 + 5y5 ≥ 2

−2y1 − 4y2 − y3 + 5y4 − y5 ≥ 3

y1, y2, y3, y4, y5 ≥ 0

minimum nadite rjesavajuci dualni problem grafickom metodom.(rjesenje: fmin = 33)

62

4.2 Numericko rjesavanje duala uz ocitavanje rjesenjapocetnog problema

Rijesite pomocu dualnog problema i napisite optimalno rjesenje zada-nog problema.

1. Rijesite linearni problem

min(3x1 + x2 + 2x3)

3x1 − 2x2 + 4x3 ≥ 18

x1 + 2x2 + x3 ≥ 9

2x1 + x2 − 2x3 ≥ 6

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: minimum funkcije podudara se s maksimumom dualnog pro-blema, a vrijednosti bazicnih varijabli ocitavamo u retku zj−cj zavrsnetablice dualnog problema pod u1, u2 i u3: x1 = 4.826;x2 = 1.371;x3 =1.971; fmin = 18.17;)


min(x1 + 3x2 + 5x3)

2x1 − 3x2 − 2x3 ≤ 0

x1 − x2 + 2x3 ≥ −1

2x1 + 3x2 − 7x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 0.5;x2 = 0.33;x3 = 0; fmin = 1.5)

3. Rijesiti LP

min(8x1 + 6x2 + x3)

2x1 + 2x2 + x3 ≥ 6

4x2 + x3 ≥ 8

2x2 + x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 0;x2 = 0;x3 = 8; fmin = 8;)

63

4. Rijesite problem linearnog programiranja:

min(3x1 + x2 + 2x3)

7x1 + 2x2 − x3 ≥ 7

4x3 ≥ 5

4x1 − x2 ≥ 6

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 1.5;x2 = 0;x3 = 1.25; fmin = 7)


min(3x1 + 5x2 + x3 )

x1 + x2 − x3 ≥ 5

2x1 − x2 ≥ 6

x1 + x2 + 3x3 ≥ 9

x1, x2, x3 ≥ 0


6. Simpleks procedurom rijesite linearni problem:

min(2x1 + 3x2 + x3)

x1 + 3x2 + 4x3 ≥ 3

x1 − x2 + 3x3 ≥ 1

3x1 + 2x2 − x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 0.856;x2 = 0;x3 = 0.538; fmin = 2.23;)


min(x1 + 2x2 + 3x3)

6x1 + x2 − 2x3 ≥ 5

x1 + x2 + x3 ≥ 2

−x1 − x2 + 3x3 ≥ 3

x1, x2, x3 ≥ 0

(rjesenje: x1 = 1.313;x2 = 0;x3 = 1.438; fmin = 5.625)

64

8. Rijesite dualom linearni problem:

min(8x1 + 12x2 + 14x3)

2x1 − 3x2 − 2x3 ≤ 0

x1 − x2 + 2x3 ≥ −1

2x1 + 3x2 − 7x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0


9. Rijesiti LP

min(10x1 + 5x2 + x3)

2x1 + 2x2 + x3 ≥ 6

4x2 + x3 ≥ 8

2x2 + x3 ≥ 2

x1, x2x3 ≥ 0



min(3x1 − x2 + 7x3)

3x1 − 2x2 + 4x3 ≥ 18

3x1 + 2x2 + x3 ≥ 9

2x1 + x2 − 2x3 ≥ 6

x1, x2, x3 ≥ 0


11. Rijesite problem

min(2x1 + 3x2 − 4x3)

2x1 − 3x2 − 2x3 ≤ 0

x1 − x2 + 2x3 ≥ −1

2x1 + 3x2 − 7x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0


65

4.3 Slozeniji numericki primjeri

1. Simpleks metodom rijesite problem:

max(10x1 − x2 + 42x3 − 52x4)

2x1 − x2 − x3 − 3x4 = −2

3x1 − 2x2 + 3x3 = −7

3x1 − x2 − 4x3 − x4 ≥ −1

−3x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 ≤ 9

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(rjesenje: fmax = 188, za x1 = 13;x2 = 26;x3 = 2;x4 = 0;).

2. Odredite min(x2 − 3x3 + 2x5) uz uvjete:

x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = 7

−2x2 + 4x3 + x4 = 12

−4x2 + 3x3 + 8x5 + x6 = 10

xi ≥ 0, i = 1, . . . , 6

(rjesenje: fmin = −11;x1 = 0;x2 = 4;x3 = 5;x4 = 0;x5 = 0;x6 = 11).

3. Simpleks metodom nadite maksimum funkcije

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + x7

uz uvjete:

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 + 3x6 + x7 = 7

2x1 + 3x2 + x3 + x4 + 3x5 + 2x6 + 2x7 = 8

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + 0.5x5 + x6 + 2x7 = 6

2x1 + x2 + 3x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + 2x7 = 7

xi ≥ 0, i = 1, . . . , 7

(rjesenje: fmax = 137/16, x1 = 0, x2 = 25/16, x3 = 3/8, x4 = 3/16,x5 = 0, x6 = 11/8, x7 = 0)

66


1. Preko duala graficki odredite rjesenje problema:

max(18x1 + 12x2 − 20x3)

6x1 + x2 − x3 ≤ −1

x1 + 4x2 − x3 ≤ 1

x1, x2, x3 ≥ 0


min(2x1 − 3x2 + x3)

x1 − 2x2 − 3x3 ≥ 12

3x1 − x2 + 2x3 ≥ 15

x1 + x2 − x3 ≥ 10

x1, x2, x3 ≥ 0

3. Dvoriste prodajnog salona za automobile moze primiti do 40 automo-bila. Nabavna cijena FIAT Una je 5000, Tempre 6000, a Brave 7500Eura. Ako salon naruci barem 40 automobila, dobiva rabat i to: naUna 6%, Tempru 8% i na Bravu 10%. Salon raspolaze sa 225000 Euraza nabavku automobila. Planirajte nabavu koja donosi najveci rabat.

4. U voznom parku imamo veliki broj vozila nosivosti deset, pet i tri tone.Za transport moramo odabrati deset vozila koja ce biti u stanju prevestiukupno 70t robe. Kako to uciniti uz minimalnu potrosnju, ako znamoda najveci kamioni trose 20l/100km, srednji 16l/100km, a najmanji10l/100km.

5. Rijesite numericki linearni problem:

max(x1 + 3x2 + x3)

2x1 + 3x2 − x3 ≥ −1

−x1 + x3 ≤ 5

x2 = x3

x1, x2, x3 ≥ 0

67

Rjesenja problemskih zadataka:

1. fmax = −20

2. fmin = 24 za: x1 = 12;x2 = x3 = 0

3. Pametno je naruciti 30 Una i 10 Brava, sto donosi rabat od 16500 Eura.Ukoliko rabat tvornica daje odmah, pri prodaji automobila, tada sedobiva da je bolje uzeti 22 Una i 18 Brava, sto donosi rabat od 20122Eura.

4. Uputiti 6 desetotonaca i 4 trotonca. Oni ce na 100km trositi minimal-nih 160l goriva ukupno.

5. fmax →∞.

68

5 Problemi transporta i distribucije

5.1 Formulacija transportnog problema

Zadatak. Rijesite grafickom metodom problem prijevoza kave iz dvije przioniceP1 i P2 u diskonte D1, D2 i D3, ako su troskovi, ponuda i potraznja kaou tablici:

D1 D2 D3 aiP1 3 7 4 40P2 3 5 9 56bj 22 38 36

(rjesenje: T = 400)

Rjesavanje transportnog problema moze se razdijeliti u tri etape:

- odredivanje pocetnog bazicnog rjesenja

- ocjena optimalnosti dobivenog rjesenja

- promjena plana

Metode odredivanja pocetnog bazicnog moguceg rjesenja su:

- dijagonalna metoda ili metoda sjeverozapadnog kornera

- metoda najmanje cijene

- VAM - metoda ili Vogelova metoda

Metode ocjenjivanja optimalnosti rjesenja transportnog problema su:

- Stepping-stone metoda

- MODI ili modificirana Stepping-stone metoda

Promjena plana koji nije optimalan, provodi se jedino Stepping - stonemetodom.

69

5.2 Zadaci

1. Odredite plan transporta tako da ukupni troskovi budu minimalni. Po-nuda, potraznja i jedinicni troskovi dani su u tablici:

O1 O2 O3 O4 O5 aiI1 5 7 8 3 1 300I2 2 4 9 5 9 600I3 9 11 4 7 9 400I4 6 7 9 9 11 700bj 150 350 350 500 650

(rjesenje: T = 10 900)

2. Zrno psenice sa cetiri lokacije treba transportirati u tri silosa. Na prvojlokaciji ubrano je 400t, na drugoj 500t, na trecoj 800t i na cetvrtoj 500tpsenicnog zrna. Kapaciteti silosa su: 700t prvog, 800t drugog i 700ttreceg. Odredite minimalne troskove transporta psenicnog zrna ako sutablicom dani troskovi transporta jedne tone zrna s i-te lokacije u j-tisilos.

S1 S2 S3

L1 1 4 3L2 7 1 5L3 4 8 3L4 4 2 8

(rjesenje: T = 4200)

3. Transportni je problem zadan tablicno:

O1 O2 O3 O4 aiI1 3 15 6 4 90I2 1 8 10 5 75I3 4 3 6 10 35bj 50 50 85 15

Zadan je plan:

x11 = 25, x13 = 50, x14 = 15, x21 = 25, x22 = 50, x33 = 35

70

Poboljsavajte zadani plan do optimalnog Steping-stone metodom. Odre-dite plan transporta sa minimalnim troskom i izracunajte trosak(rjesenje: T = 855)

4. Nadjite optimalni plan i izracunajte minimalni trosak

P1 P2 P3 P4 P5

S1 6 12 14 8 11 95S2 10 12 10 3 15 55S3 12 15 7 14 4 80

35 50 40 70 35


5.3 Degeneracija

Pocetno bazicno moguce rjesenje je degenerirano radi postojanja zatvorenogpotproblema. Ako je kod konstrukcije pocetnog bazicnog rjesenja jednombazicnom varijablom moguce istovremeno zadovoljiti i ponudu i potraznju,ostaviti jedno, ili ponudu ili potraznju, i to ono kod kojeg su jedinicne cijenenepopunjenih polja pojedinacno manje od drugog.

1. Rijesiti transportni problem:

O1 O2 O3 aiI1 3 1 4 50I2 5 8 3 40I3 2 1 6 85I4 4 5 0 15bj 90 75 25

(rjesenje: T = 375)

2. Rijesite transportni problem i izracunajte minimalne troskove trans-porta

71

O1 O2 O3 O4

I1 1 1 6 4 90I2 1 8 10 5 75I3 4 3 6 2 35

50 50 85 15

(rjesenje: T = 725)

3. Rijesite problem transporta, nadite optimalni plan i izracunajte mini-malni trosak toga plana

ai4 3 6 15 902 8 7 3 704 5 1 10 30

bj 50 40 85 15

(rjesenje: T = 630)

4. Rijesite transportni problem:

O1 O2 O3 aiI1 10 12 0 10I2 8 4 3 15I3 6 9 4 10I4 7 8 5 5bj 20 5 15

(rjesenje: T = 170)

5. Rijesite transportni problem zadan tablicom:

O1 O2 O3 O4 aiI1 8 1 2 9 50I2 5 7 5 3 50I3 2 3 9 4 75bj 40 55 60 20

(rjesenje: T = 475)

72

6. Iz tri rudnika kapaciteta redom 300, 250 i 450 tona iskopanih dnevno,vozi se ugljen u tri prodajna skladista ogrijeva: S1, S2 i S3. Dnevnepotrebe tih skladista su redom 300, 400 i 300 tona dnevno. Izracunajtenajmanju cijenu prijevoza. Cijene prijevoza po jednoj toni iz prvogrudnika u skladista redom iznose: 1, 3 i 2 novcane jedinice. Cijena potoni za prijevoz iz drugog rudnika u skladista je 5, 7 i 10, dok iz trecegredom 3, 1, i 4 novaca.(rjesenje: T = 2400)

7. Zadan je transportni problem s cetiri ishodista i tri odredista. Pocetnobazicno rjesenje odredite metodom sjeverozapadnog kuta, a zatim STEP-PING STONE metodom odredite optimalno rjesanje. Izracunajte mi-nimalne troskove.

O1 O2 O3 aiI1 10 12 0 20I2 8 4 3 30I3 6 9 4 20I4 7 8 5 10bj 40 10 30

(rjesenje: T = 340)

8. Odrediti plan transporta sa minimalnim troskovima i izracunati trosak:

P1 P2 P3 P4 P5

S1 8 18 16 9 10 90S2 10 12 10 3 15 50S3 12 15 7 14 4 80

30 50 40 70 30


73

5.4 Otvoreni problem

Otvoren je problem u kojem je ∑i

ai 6=∑j

bj

Problem zatvaramo dodavanjem retka ili stupca. Jedinicne su cijene u do-danom retku ili stupcu jednake nuli. Ukoliko je ponuda veca od potraznje,dodaje se stupac i bazicno rjesenje u tom stupcu predstavlja kolicinu kojanece biti distribuirana. U suprotnom, dodaje se redak i bazicno rjesenje utom retku predstavlja kolicinu robe koja nece biti dostavljena.

1. Rijesiti transportni problem, izracunati ukupne troskove transporta, asve za prijevoz robe iz cetiri skladista u tri potrosacka centra

P1 P2 P3 aiS1 12 14 2 35S2 10 6 5 45S3 8 11 6 30S4 9 8 7 25

40 40 20

(rjesenje: T = 610)

2. Rijesiti transportni problem:

P1 P2 P3 ponuda

S1 0 12 10 30S2 8 4 3 40S3 6 9 4 25S4 7 8 5 20

potraznja 35 35 15

(rjesenje: T = 610)

3. Gradevinsko poduzece ima pet gradilista i cetiri naselja za svoje dje-latnike. Kapacitet prvog naselja je 200 radnika, drugog 100, treceg 150i cetvrtog 50 radnika. Za prvo gradiliste potrebno je 150, za drugoisto toliko, za trece 50, cetvrto 60 i za peto 90 radnika. Ako je cijena

74

prijevoza jednog radnika od i-tog naselja do j-tog gradilista zadana ta-blicom, nadite optimalni plan prijevoza radnika i izracunati minimalnetroskove prijevoza:

G1 G2 G3 G4 G5

N1 4 1 2 5 3N2 2 1 8 3 5N3 4 8 7 1 2N4 6 2 5 7 4

(rjesenje: T = 940)

4. Rijesite transportni problem i izracunajte minimalni trosak transporta:

O1 O2 O3 O4 aiI1 11 21 13 8 1210I2 4 7 10 13 1100I3 8 6 11 4 730bj 95 325 415 800


5. Treba naci optimalni program transporta iz tri ishodista u cetiri odredistana temelju podataka o jedinicnim troskovima, ponudi i potraznji. Izracunatiminimalne troskove transporta.

O1 O2 O3 O4

I1 2 5 9 6 50I2 1 7 3 8 60I3 5 9 4 4 60

15 40 65 50

(rjesenje: T = 630)

6. Na skladistima stize redom po 60,70 i 55 tona robe mjesecno. Sestrobnih kuca mjesecno potrazuju redom po 20,40,30,55,15 i 35 tona robe.Jedinicni troskovi prijevoza iz prvog skladista u svaku od prodavaonicaiznose redom: 3,2,2,3,3 i 1 kunu. Iz drugog skladista: 2,0,1,1,0 i 1 kunu.Iz treceg:1,4,3,4,2 i 0 kuna. Odredite optimalni plan prijevoza i ukupnitrosak. (rjesenje: T = 185).

75


1. Na cetiri kolodvora ima redom 28, 22, 36 i 14 praznih vagona. Seststanica treba redom: 20, 15, 17, 12, 8 i 28 praznih vagona. Udaljenostikolodvora i stanica dane su tablicom. Napravite plan prijevoza tako daumnozak broja vagona i kilometara bude najmanji.

S1 S2 S3 S4 S5 S6

K1 20 27 30 35 40 45K2 18 35 40 42 50 20K3 40 30 35 25 48 40K4 21 45 28 32 40 44

2. Transportni problem zadan je tablicom:

O1 O2 O3 O4 aiI1 3 1 0 2 8000I2 2 3 4 0 7000I3 7 5 6 3 10000I4 1 1 0 1 3000bj 6500 7800 2500 9700

Odredite minimalne troskove transporta.

3. Nadite optimalni plan prijevoza i izracunajte minimalni trosak trans-portnog problema zadanog tablicom u kojoj su navedeni ponuda, po-traznja i jedinicni troskovi transporta.

O1 O2 O3 aiI1 3 1 5 150I2 3 1 2 200I3 2 2 1 250I4 4 4 6 350I5 2 0 3 400bj 900 200 400

76

Rjesenja problemskih zadataka :

1. 2647 vagonskih kilometara

2. T = 45600 novcanih jedinica

3. T = 2950 novcanih jedinica.

5.6 Zadaci s ispita

1. Naci optimalni plan transporta iz tri skladista u cetiri odredista. Je-dinicni troskovi, kapaciteti skladista i potraznja odredista dani su utablici:

O1 O2 O3 O4

I1 3 15 6 4 50I2 10 8 10 5 75I3 4 3 6 10 35

50 50 85 15

(rjesenje: problem zatvoriti dodavanjem retka I4 kapaciteta 40, je-dinicnih cijena 0, minimalni T = 900)

2. Rijesite transportni problem prijevoza koji ce minimizirati iznos tonskihkilometara, ako su kilometraze izmedju tvornica i opskrbnih centara,kao ponuda tvornica i potraznja centara u tonama dani u tablici:

C1 C2 C3 PonudaT1 25 35 30 160T2 30 40 40 160T3 35 55 45 160T4 15 50 30 240

Potraznja 160 280 320

(rjesenje: Tmin = 23600)

3. Transportni je problem zadan tablicom:

O1 O2 O3 O4 aiI1 15 15 40 40 80I2 9 8 10 15 125I3 23 3 6 42 45bj 50 60 95 10

77

Pocetno bazicno rjesenje odredite metodom sjeverozapadnog kornera.

Poboljsavajte pocetni plan do optimalnog MODI metodom.

(rjesenje: Tmin = 2075).

4. Rijesite transportni problem, ako svaki neisporuceni transformator do-nosi stetu od 10 novcanih jedinica. Kolicine proizvedenih transforma-tora potraznja za njima i jedinicne cijene transporta dani su tablicno:

C1 C2 C3 C4 aiP1 3 4 2 0 240P2 4 3 5 1 280P3 2 3 2 4 250bj 180 160 220 180

(rjesenje: T = 1670, 30 transformatora ostaje u P2).

5. Rijesite transportni problem: nadjite optimalni plan transporta i izracunajteminimalni trosak ako se drugom racunskom centru treba isporuciti bar50% trazenih racunala. Troskovi transporta, kolicine racunala na ras-polaganju i potrebe za racunalima dani su tablicom:

R1 R2 R3 R4 aiI1 2 5 9 6 80I2 1 7 3 8 120I3 5 9 4 4 160bj 100 40 150 110

(rjesenje: nakon fiktivnog retka uvodi se stupac R′2 u kojem je potraznja

20, stvarne jedinicne cijene podudarne su s cijenama u stupcu R2, dok je

fiktivna cijena M ≥ 3 · max(cij). Ponuda u stupcu R2 mijenja se na 20.

Nakon uobicajene procedure, minimalni trosak je 1140.)

6. Rijesite transportni problem, tako da se iz svakog silosa otkupi barpolovica zita. Kolicina zita u silosima, potraznja otkupnih stanica icijene po toni zita dani su tablicno:

O1 O2 O3 O4 aiS1 4 3 4 4 200S2 4 3 6 2 180S3 4 2 4 3 150bj 80 60 120 80

(rjesenje: T = 1080, treci je silos ispraznjen).

78

6 Razlicite modifikacije transportnog problema

6.1 Promjena koeficijenata funkcije cilja

Koeficijenti funkcije cilja u transportnom problemu su jedinicni trskovi trans-porta. Velike vrijednosti jedinicnih troskova nespretne su za ”rucno” racunanje.Dokazano je da se plan transporta ne mijenja, ako se u retku, odnosnostupcu, svakoj jedinicnoj cijeni oduzme ista vrijednost.

Ako se otvoreni problem zatvara dodavanjem stupca, jedinicne cijene udodanom stupcu moraju biti medusobno jednake i to jednake:

maxi{cij},

gdje je svaka pojedina cij minimalna jedinicna cijena u svakom od redakapocetnog, otvorenog problema.

Ako se otvoreni problem zatvara dodavanjem retka, jedinicne cijene udodanom retku opet moraju biti medusobno jednake i to

maxj{cij},

gdje je svaka pojedina cij minimalna jedinicna cijena u svakom od stupacapocetnog, otvorenog problema.Zadaci:

1. Na zeljeznickim kolodvorima nalazi se redom: 12, 24, 30 i 18 vagona.Zeljeznicke stanice trebaju u nekom periodu po 24, 20, 30 i 20 vagona.Prvi je kolodvor udaljen od svake stanice redom po 120, 200, 150 i 145kilometara. Drugi je kolodvor udaljen od stanica 95, 80, 160 i 220km.Od treceg je 180, 130, 50 i 60 kilometara do svake od stanica i cetvrtog:200, 180, 190 i 100. Napravite takav plan transporta vagona da jeumnozak vagona i kilometara minimalan.(rjesenje:x1,1 = 12, x2,1 = 4, x2,2 = 20, x3,3 = 30, x4,4 = 18, x5,1 =8, x5,4 = 2, (vag · km)min = 6720).

2. Rijesite transportni problem prijevoza nafte iz tri rafinerije u pet gra-dova, tako da ukupni tonski kilometri budu najmanji. Ponuda i po-traznja u tonama, kao i kilometraza dani su tablicno:

79

G1 G2 G3 G4 G5 aiR1 85 100 75 80 70 100R2 65 75 85 90 95 105R3 90 90 70 65 50 80bj 35 55 60 50 45

(rjesenje: minimalno 16625tkm).

6.2 Nedopustive komunikacije

Nedopustiva komunikacija iz i-tog ishodista u j-to odrediste elegantno serjeseva supstitucijom

cij = M, M > 3max(cij)

i MODI metodom izbjegava se bazicno rjesenje u kojem bi xij bila bazicnavarijabla.

Zadaci:

1. Tri kolodvora A,B i C imaju na raspolaganju 60, 80 i 100 vagona.Izracunajte optimalni plan transporta, ako prva stanica treba 40, druga60, treca 80 i cetvrta 50 vagona. Troskovi transfera iz prvog kolodvorado odgovarajucih stanica su 1, 2, 3 i 4, iz drugog 4, 3, 2 i 0 , a iz treceg0, 2, 2 i jednu novcanu jedinicu. Koliki je najmanji trosak transporta,a koliko je povecanje troskova u slucaju da dodje do prekida pruge odkolodvora C do stanice broj 3.

(T = 280,ako se uzme c∗3,3 = M ≥ 3 · max(cij) dobiva se T ∗ = 330 ipovecanje od 50 novcanih jedinica.)

2. Tri solane proizvode dnevno redom 60,80 i 90 tona soli. Gradovi A,B,Ci D potrazuju dnevno po 50,60,40 i 30 tona soli. Transportni troskovipo jednom kilogramu soli iz prve solane do svakog od gradova iznoseredom 2,1,0 i 3 kune. Troskovi prijevoza iz druge po kilogramu iznoseredom: 4,1,3 i 3 kune, a prijevoz po kili soli iz trece solane u svaki odgradova iznosi 2,3,0 i 1 kunu. Odredite onaj plan prijevoza koji ce bitinajjeftiniji. Izracunajte minimalni trosak transporta i izracunajte zakoliko se poveca trosak ako se ukinu prodavaonice prve i trece solane ugradu C?

(rjesenje: T = 190000kn, trosak se poveca za ∆T = 120000kn)

80

6.3 Ograniceni kapaciteti komunikacija

Ograniceni kapaciteti komunikacija slozen je zahtjev na transportni problem.Postupak je detaljno objasnjen u [1], pa se citatelj moli da obavezno proucitaj dio u udzbeniku.

Zadaci:

1. Iz tri rudnika R1, R2 i R3 kapaciteta redom po 300, 250 i 450 tonadnevno, vozi se ugljen u tri prodajna skladista ogrjeva: S1, S2, S3.Dnevne potrebe tih skladista su redom 300, 400 i 300 tona. Na svakurelaciju smijemo poslati najvise do 200t. Cijene prijevoza po toni ug-ljena iz R1 su: 1, 3, 2, iz R2: 5, 7, 10, a iz R3: 3, 1, 4 novcane jedinice.

(rjesenje: T = 3250 novcanih jedinica)

2. Mljekara sa cetiri svoja pogona snabdijeva mlijekom tri naselja. Dnevnikapaciteti pogona, potrebe naselja i jedinicne cijene transporta u od-nosu na hektolitre dani su u tablici:

N1 N2 N3

P1 15 6 7 100P2 7 4 11 55P3 11 12 5 49P4 4 8 10 96

40 120 50

Napravite takav plan transporta da troskovi budu minimalni. Ako nasvaku relaciju mozete poslati najvise 50hl mlijeka, izracunajte razlikuu troskovima takvog plana i plana bez zahtjeva.

(rjesenje: Togr = 1072, Tnorm = 1022, razlika je 50 novcanih jedinica )

81

6.4 Minimizacija vremena transporta

Koeficijenti u funkciji cilja sada se interpretiraju kao duljina putovanja. Zah-tjev se sastoji u tome da sto manja kolicina robe bude na najduljem putu.

Zadaci

1. Izuzetno opasan plin treba prevesti zeljeznicom. Proizvodnja plina,potraznja i vremena transporta u satima zadana su tablicno:

O1 O2 O3 O4 proizvodnjaP1 3 15 6 4 55P2 10 8 10 5 80P3 4 3 6 10 40

potrebe 55 55 90 20

(rjesenje: Najbolje sto se moze postici je da 5t putuje iz P2 u O3 10h).

2. U Republici Hrvatskoj iznenada je donesen zakon da se kamioni morajutransportirati zeljeznicom. U Rijeci, Zadru, Sibeniku i Splitu trebamoredom 180, 160, 90 i 100 vagona za prijevoz kamiona. Kotoriba, Dobova,Ploce i Vinkovci imaju na raspolaganju redom:120, 160, 80 i 150 vagona.Udaljenosti kolodvora u Rijeci do spomenutih odredista iznosi redom:280, 170, 300 i 500km. Udaljenost kolodora u Zadru do spomenutihodredista su redom: 450, 360, 280 i 600km. Sibenik je udaljen redomdo spomenutih odredista 560, 420, 180 i 680km, dok je iz Splita doodredista po 600, 500, 100 i 780 kilometara. Napravite plan prijevozapo kojem najmanje vagona putuje najvecom kilometrazom.

(rjesenje: 130 vagona ipak ce putovati 600km od Vinkovaca do Zadrai to ce biti vagoni koji ce najdalje putovati.)

3. Zadan je transportni problem gdje velicine cij = tij oznacavaju vremenatransporta u satima. Nadjite minimalno vrijeme svih dostava, ako onepocinju istovremeno:

O1 O2 O3 O4 aiI1 6 4 3 5 80I2 7 4 3 5 70I3 8 7 4 3 50bj 60 60 60 20

(rjesenje: 60 jedinica putuje 6 sati i to se ne moze popraviti.)

82

4. Riba se izlovljava u uzgajalistima I1, I2, I3. Svako jutro riba krece putribarnica koje se nalaze u mjestima R1, R2, R3 i R4. Iz uzgajalista I1

do ribarnica prijevoz traje redom: 2,5,9 i 6 sati. Da bi iz I2 riba doslau spomenute ribarnice treba po 1,7,3 i 8 sati. Konacno, prijevozi iz I3

traju 5,9, te po 4 sata do ribarnica R3 i R4. Treba napraviti takav planda je sto je moguce manje ribe na najduljem putu. Na uzgajalistima jena raspolaganju: 80t, 120t, 160t dnevno, a ribarnice potrazuju redom:100t, 40t, 150t i 110t dnevno.

(rjesenje: 110t ribe putovat ce 4h, dok ce ostala riba putovati krace. )

83


1. Ponuda izvora i potraznja odredista transportnog problema zadana je tabli-com. Interpretiramo li cij kao vremena potrebna za izvrsenje svakog poje-dinog transporta, odredite takav plan da ukupno vrijeme transporta budenajkrace i da sto je moguce manje tereta putuje najdulje.

O1 O2 O3 O4 aiI1 2 5 9 6 10

I2 4 7 3 8 80

I3 5 3 5 0 60

bj 40 10 15 100

2. Rijesite transportni problem zadan tablicom:

O1 O2 O3 aiI1 15 40 40 160

I2 9 15 15 250

I3 23 42 42 90

bj 19 42 42

Za koliko bi se povecao trosak, kada bi trazili da potpuno ispraznimo treciizvor?

3. Korporacija ima 4 secerane mjesecnog kapaciteta 50, 60, 80 i 100 tona. Gra-dovi koji potrazuju secer trebaju redom 75, 80, 90 i 45 tona mjesecno. Uda-ljenost secerana i gradova dani su tablicno, a vi napravite plan u kojem cetonski kilometri biti minimalni. Za koliko ce se povecati mjesecni tonskikilometri, ako zbog vremenskih neprilika budu odsjeceni druga secerana iprvi grad?

G1 G2 G3 G4

S1 45 45 60 100S2 40 55 55 90S3 55 65 65 85S4 65 60 70 75

4. Ribarnica ima cetiri ribarske luke u kojima se dnevno izlovi po 7t robe. Iztih luka riba se dostavlja u pet gradova, koji dnevno potrazuju 4, 5, 6, 8 i 9tona ribe. Ako se iz prve luke do gradova riba dostavi za 3, 4, 2, 5 i 6 sati, izdruge za 4, 2, 3, 1 i 5 sati, iz trece za 1, 2, 3, 3 i 4h, te iz cetvrte treba 5, 2, 1, 3i 4 sata. Zadatak je napraviti plan po kojem ce riba najkrace biti na cesti.

84


1. 15 jedinica robe putuje 8 vremenskih jedinica, dok ostala roba putujekrace.

2. T0 = 1431; Tprazan treci = 3614; ∆T = 2183 novcanih jedinica.

3. T0 = 16625; Todsjeceno = 16925; ∆T = 300 novcanih jedinica.

4. 5t ce putovati 4h, dok ce ostala roba putovati krace.

6.6 Razni zadaci

1. Na kolodvorima A,B,C i D nalazi se redom 45,55,30 i 45 praznih va-gona. Oni su u odredjenom periodu potrebni u stanicama 1,2,3,i 4,redom po 50,40,30 i 20 vagona. Ako su jedinicni troskovi prijevoza va-gona iz kolodvora A u stanice 2,1,3,4 novcane jedinice; iz B: 3,1,1,2; izkolodvora C: 4,2,3,3, a iz kolodvora D: 1,4,2 i 3 novcane jedinice, na-djite optimalni plan transporta praznih vagona i izracunajte najmanjimoguci trosak tog transporta.

(rjesenje: T = 165 novcanih jedinica)

2. Nadjite optimalno rjesenje transportnog problema: iz cetiri tvorniceobuce kapaciteta 8, 9, 12 i 16 tisuca pari mjesecno treba cipele dostavitido cetiri grada koji mjesecno potrazuju 7, 10, 6 i 15 tisuca pari. Prijevozpo jednom paru cipela iz prve tvornice u gradove redom iznosi: 1,2,3,4kn; iz druge tvornice: 3,2,5,6 kuna, iz trece: 0,5,1,4 kune i iz cetvrte:0,2,0 i 1 kunu. Izracunajte najmanji moguci trosak.

(rjesenje: T = 40000kn)

3. Iz tri cementare cement se prevozi do tri gradilista. Dnevni kapaci-teti cementa, potrebe gradilista i jedinicni troskovi prijevoza dani sutablicno:

G1 G2 G3 aiC1 3 4 2 120C2 7 1 4 80C3 2 3 5 150bj 70 180 50

85

Nadjite plan transporta koji ce imati minimalni trosak i izracunajte tajtrosak. (rjesenje: T = 640)

4. Tri przionice ispeku mjesecno redom po: 10,15 i 25 tona kave. Kava se izprzionica transportira u cetiri prodajna sredista i to: prvo trazi 5 tona,drugo 10, trece 20 i cetvrto 15. Troskovi transporta po jednoj toni izprve przionice u svako od prodajnih sredista redom iznose: 800,300,500i 200 kuna. Za drugu przionicu oni su redom: 400,100,600 i 700 kuna.Treca przionica ima po toni trosak do prodajnih mjesta: 100,900,400 i300 kuna. Treba izracunati minimalni trosak i naci odgovarajuci plan.

(rjesenje: T = 14000 kuna).

5. Tablicno je zadan transportni problem s jedinicnim troskovima prije-voza:

O1 O2 O3 O4 O5 aiI1 20 9 24 21 19 12I2 26 22 13 1 8 14I3 16 13 25 2 3 7I4 11 25 4 5 6 10bj 8 11 9 7 8

Odredite optimalni plan prijevoza iz zadanih ishodista u odredista iizracunajte minimalni trosak prijevoza.

(rjesenje: T = 322)

6. Rijesite transportni problem i izracunajte ukupni trosak transporta,postujuci ogranicenje od 100 jedinica koje se mogu poslati na svaku odrelacija.

O1 O2 O3 aiI1 6 14 8 100I2 6 10 18 140I3 3 1 4 150bj 130 180 90

Za koliko se poveca trosak, ako je onemogucena komunikacija I3O2.

(rjesenje: T0 = 1850; T1 = 2780; ∆T = 830 novcanih jedinica vise)

86


1. Rijesite transportni problem i izracunajte minimalni trosak transporta.Za koliko se poveca trosak ako dode do prekida komunikacije I2O4?

O1 O2 O3 O4 aiI1 10 15 11 8 1200I2 5 8 12 3 850I3 9 4 10 20 1030bj 1610 240 450 780

2. Rijesite transportni problem ako je maksimalno moguce opterecenjekomunikacije 50. Izracunajte minimalni trosak.

O1 O2 O3 O4 aiI1 8 1 2 9 50I2 5 7 5 3 50I3 2 3 9 4 75bj 40 55 60 20

3. Zadan je transportni problem tablicom u kojoj su navedena vremenaprijevoza:

O1 O2 O3 O4 O5 aiI1 15 20 25 15 15 50I2 10 25 20 40 30 100I3 12 18 24 30 36 150bj 75 35 45 85 60

Odredite plan transporta da vrijeme najvece dostave bude minimalno.

4. Naci optimalni plan transporta iz dva skladista u sest centara potrosnje.Jedinicni troskovi, kapaciteti skladista i potraznje centara dani su utablici:

C1 C2 C3 C4 C5 C6

2 4 7 1 3 8 405 6 12 9 1 2 50

10 7 20 50 5 8

87


1. T0 = 23210;Tprekid = 23210, pa povecanja nema.

2. T = 475 i uvjet je odmah postignut.

3. 95 jedinica robe putuje 30 vremenskih jedinica i to se ne moze popraviti.


88

7 Transportna mreza

Transportna mreza je orijentirani graf bez petlje, s jednim ulaznim cvoromi jednim izlaznim cvorom. Prakticno je mrezu zadati matricom incidencije.Ako je element matrice jednak nuli, znaci da ne postoji luk iz i-tog cvora uj-ti. Elemente matrice razlicite od nule mozemo interpretirati na dva nacina:

- udaljenost jednosmjerne komunikacije iz i-tog u j-ti cvor

- kapacitet jednosmjerne komunikacije iz i-tog u j-ti cvor

Nema algoritma za crtanje transportne mreze i samo u nekim slucajevimatransportna mreza ispada planarna: komunikacije se sijeku samo u cvorovima.Ako se komunikacije sijeku izvan cvorova, sjecista se interpretiraju kao da sudenivelirana.

7.1 Ispitni zadaci

1. Zadana je matrica transportne mreze

0 40 24 40 0 0 00 0 16 0 18 0 00 0 0 0 14 36 00 0 50 0 0 0 380 0 0 0 0 44 600 0 0 0 42 0 800 0 0 0 0 0 0

Ako elemente matrice interpretiramo kao udaljenosti cvorova, odreditenajkraci put kroz mrezu. Zatim elemente interpretirajte kao kapacitetelukova, pa odredite maksimalni tok kroz mrezu. Provjerite vrijednostmaksimalnog toka nalazenjem reza minimalnog kapaciteta.

(rjesenje: l = 78; T = 98, rez minimalnog kapaciteta je {1, 2} ∪{3, . . . , 7}).

89

2. Nacrtajte transportnu mrezu zadanu matricom. Odredite najkraci put,nadjite maksimalni tok i rez minimalnog kapaciteta.

A =

0 30 12 80 0 0 0 00 0 30 25 30 0 0 00 18 0 30 50 0 0 00 0 0 0 25 0 50 00 0 0 25 0 20 25 00 0 0 0 0 0 28 350 0 0 0 0 25 0 500 0 0 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 115; 1 − 2 − 5 − 6 − 8; T = 85, rez minimalnogkapaciteta je {1, . . . , 7} ∪ {8}.)

3. Naci maksimalni tok i minimalni put transportne mreze zadane matri-com:

M =

0 25 30 50 0 0 0 0 00 0 16 0 18 0 0 0 00 0 0 0 14 36 0 0 00 0 50 0 0 38 0 0 00 0 0 0 0 0 44 60 00 0 0 0 42 0 0 80 00 0 0 0 0 0 0 36 500 0 0 0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 0 0

(najkraci put je 137: 1 − 2 − 5 − 7 − 9, a maksimalni tok 105, rezminimalnog kapaciteta: {1} ∪ {2, . . . , 9}).

90

4. Transportna je mreza zadana matricom ciji elementi predstavljaju ka-pacitete lukova transportne mreze:

M =

0 40 35 0 0 15 0 0 00 0 0 15 20 0 0 0 00 0 0 0 0 10 25 0 00 0 0 0 10 0 0 10 250 0 0 0 0 0 0 40 00 0 0 0 15 0 15 35 00 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0

Odredite rez minimalnog kapaciteta i taj kapacitet.

(rjesenje: rez {1, 2, 3, 5, 7, 8} ∪ {4, 9} ima minimalni kapacitet T = 50)

5. Transportna je mreza zadana matricom.

M =

0 45 55 60 0 0 0 00 0 0 15 0 60 30 00 0 0 0 45 0 0 00 0 0 0 5 0 40 00 0 0 0 0 0 10 500 0 0 0 0 0 0 300 0 0 0 0 5 0 650 0 0 0 0 0 0 0

Elemente matrice interpretirajte kao kapacitete komunikacija i odrediterez minimalnog kapaciteta. Koliki je taj kapacitet? Odredite najkraciput.

(rjesenje:T = 135; rez minimalnog kapaciteta je {1, 3, 4}∪{2, 5, 6, 7, 8},najkraci put je 110: 1− 2− 7− 6− 8)

91

6. Zadana je matrica transportne mreze:

M =

0 30 40 50 0 0 0 0 0 00 0 0 0 20 0 60 0 0 00 40 0 0 0 50 0 0 0 00 0 30 0 0 20 0 0 30 00 0 0 0 0 10 10 30 0 00 0 0 0 0 0 0 20 0 00 0 0 0 0 0 0 30 0 100 0 0 0 0 0 0 0 10 400 0 0 0 0 0 0 0 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nacrtajte transportnu mrezu odredite najkraci put kroz mrezu i mak-simalni tok.(rjesenje: najkraci put l = 70 : 1 − 2 − 5 − 7 − 10, maksimalni tok:T = 70; rez minimalnog kapaciteta: {1, . . . , 9} ∪ {10}. )

7. U transportnoj mrezi zadanoj matricno odredite najkraci put, najvecimoguci tok i rez minimalnog kapaciteta.

T =

0 50 60 0 0 0 0 0 00 0 40 30 20 0 0 0 00 0 0 0 10 10 0 0 00 0 0 0 0 0 40 0 00 0 0 30 0 15 25 10 00 0 0 0 0 0 0 45 00 0 0 0 0 0 0 10 350 0 0 0 0 0 5 0 450 0 0 0 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 120 : 1− 2− 5− 8− 7− 9, T = 70, rez: {1, 2, 3} ∪{4, 5, 6, 7, 8, 9})

92

8. Zadana je matrica A transportne mreze. Nacrtajte mrezu. Odreditenajkraci put, nadite maksimalni tok i rez minimalnog kapaciteta.

A =

0 20 40 60 0 0 00 0 50 20 30 0 00 0 0 70 20 0 00 0 0 0 15 20 00 0 0 30 0 50 00 0 0 0 0 0 1200 0 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 180, 1− 2− 4− 6− 7; T = 60, rez: {1, 2, 3, 4, 5} ∪{6, 7})

9. Zadana je matrica A transportne mreze. Nacrtajte mrezu i odreditenajkraci put, maksimalni tok i rez minimalnog kapaciteta.

A =

0 30 12 80 0 0 0 00 0 30 25 30 0 0 00 18 0 30 50 0 0 00 0 0 0 25 0 50 00 0 0 25 0 20 25 00 0 0 0 0 0 28 350 0 0 0 0 25 0 500 0 0 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 115, 1−2−5−6−8; T = 85, rez: {1, . . . , 7}∪{8})

10. Matrica transportne mreze zadana je s A. Odredite rez minimalnogkapaciteta, maksimalni tok i najkraci put kroz mrezu.

A =

0 30 45 0 0 00 0 15 20 0 00 0 0 10 15 00 0 0 0 0 350 0 0 20 0 250 0 0 0 0 0

(rjesenje: rez minimalnog kapaciteta: {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6}, tok: T = 50,najkraci put l = 85, 1− 2− 4− 6.)

93

11. Interpretirajuci elemente matrice kao duljine lukova transportne mreze,odredite najkraci put. Zatim, tumaceci clanove matrice A kao kapa-citete lukova, odredite maksimalni tok i rez minimalnog kapaciteta.Matrica je zadana:

A =

0 30 45 0 0 00 0 0 10 35 00 25 0 0 10 00 0 0 0 20 400 0 0 0 0 450 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 80, 1− 2− 4− 6; T = 55, rez: {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6})

12. U transportnoj mrezi zadanoj matricom odredite najkraci put, maksi-malni tok i rez minimalnog kapaciteta.

M =

0 25 30 0 0 0 0 0 00 0 30 15 10 0 0 0 00 0 0 0 15 5 0 0 00 0 0 0 0 0 30 0 00 0 0 25 0 5 15 10 00 0 0 0 0 0 0 35 00 0 0 0 0 0 0 10 350 0 0 0 0 0 15 0 450 0 0 0 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 85, 1 − 2 − 5 − 7 − 9; T = 45, rez: {1, 2, 3} ∪{4, . . . , 9})

94

13. Matricom je zadana transportna mreza. Nacrtajte mrezu. Odreditenajkraci put, a zatim i maksimalan tok, tako da elemente matrice po-istovjetite s udaljenostima medju cvorovima, a zatim ih interpretirajtekao kapacitete prometnica u jedinici vremena.

T =

0 50 85 65 0 0 0 0 0 00 0 20 0 35 0 10 0 0 00 0 0 20 45 0 0 60 0 00 0 0 0 0 30 0 0 35 00 0 0 0 0 0 0 45 0 00 0 20 0 0 0 0 0 40 00 0 0 0 25 0 0 45 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 60 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(rjesenje: l = 100, 1−2−7−10; T = 90, rez: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}∪{7, 10})

95


1. Zadana je matrica A transportne mreze. Nacrtajte mrezu. Odreditenajkraci put, nadite maksimalni tok i rez minimalnog kapaciteta.

A =

0 30 45 0 0 00 0 15 20 0 00 0 0 10 15 00 0 0 0 0 350 0 0 20 0 250 0 0 0 0 0

2. Zadana je matrica transportne mreze. Naci maksimalni tok i najkraci

put.

T =

0 12 14 22 0 0 0 0 00 0 10 0 11 0 0 0 00 0 0 0 9 20 0 0 00 0 27 0 0 21 0 0 00 0 0 0 0 0 24 32 00 0 0 0 23 0 0 42 00 0 0 0 0 0 0 20 270 0 0 0 0 0 0 0 370 0 0 0 0 0 0 0 0

3. Zadana je matrica A transportne mreze. Nacrtajte mrezu. Odredite

najkraci put, nadjite maksimalni tok i rez minimalnog kapaciteta.

A =

0 30 45 0 0 00 0 0 10 35 00 25 0 0 10 00 0 0 0 20 400 0 0 0 0 450 0 0 0 0 0

96


1. Najkraci put iznosi 85 duljinskih jedinica, maksimalni tok je 45, dok jerez minimalnog kapaciteta {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6}.

2. Maksimalni tok je 48, najkraci put 74.

3. Najkraci put je 80, maksimalni tok 55, a rez minimalnog kapaciteta:{1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6}.

97

8 Primjeri pismenih zadaca

Najvaznija stvar za vecinu studenata su ispiti. Ispit iz Matematickih metodau prometu sastoji se od pismenog i usmenog dijela.

Za izlazak na usmeni, potrebno je zadovoljiti na pismenom dijelu ispita.Pismeni dio ispita sastoji se od cetiri zadatka. Prvi zadatak vezan je uzgraficko rjesavanje linearnog problema. Drugi zadatak linearnog programi-ranja rjesava se numericki. Treci je transportni problem, a cetvrti je vezanuz transportnu mrezu.

Buduci se radi o racunanju, inzistira se na tocnosti, pa se gledaju samozadaci koji imaju tocna rjesenja.

Prvi zadatak donosi jedan bod, drugi i treci po dva i cetvrti jedan bod.Student koji je skupio barem tri boda zadovoljio je na pismenom dijelu ispita.

98

Matematicke metode u prometu

1. Rijesite problem linearnog programiranja grafickom metodom:

max(4x+ 10y)

x+ 4y ≤ 24

6x+ 2y ≤ 42

x+ y ≤ 9

x, y ≥ 0

2. Rijesite linearni problem numericki:

max(6x+ 12y + 3z)

x+ 3y ≤ 4

2x+ y ≤ 3

y + 4z ≤ 3

x, y, z ≥ 0

3. Rijesite transportni problem i izracunajte ukupni trosak transporta:

O1 O2 O3 aiI1 6 14 8 100I2 6 10 18 140I3 3 1 4 150bj 130 180 90

4. Zadana je matrica transportne mreze:

M =

0 40 24 40 0 0 00 0 16 0 18 0 00 0 0 0 14 36 00 0 50 0 0 0 380 0 0 0 0 44 600 0 0 0 42 0 800 0 0 0 0 0 0

.

Elemente matrice interpretirajte kao udaljenosti cvorova i izracunajtenajkraci put kroz mrezu. Zatim elemente matrice interpretirajte kaokapacitete lukova i nadjite maksimalni tok kroz mrezu.

99

Matematicke metode u prometu

1. Poduzece izraduje dva tipa proizvoda od tri sirovine. Od prve sirovine imana raspolaganju 15, od druge 7 i od trece 5 jedinica. Pri izradi jedinice prvogproizvoda potrosi po jednu jedinicu svake sirovine, pri izradi jedinice drugogproizvoda potrosi tri jedinice prve i jednu jedinicu druge sirovine. Prodajvacijena prvog proizvoda je dvije, a drugoga jednu novcanu jedinicu. Kakoplanirati proizvodnju, da bi utrzak od prodaje proizvoda bio najveci?

2. Na trzistu imamo tri vrste teretnih zrakoplova razlicitih nosivosti:40t, 50t, 10t.Prijevoz jedne tone tereta donosi dobit od 7500kn. Tereta ima u izobilju,ali je ogranicen broj strucnjaka za dnevno servisiranje letjelica.

Od 130 raspolozivih mehanicara po tri su potrebna za pregled najvecih le-tjelica, dok je po jedan potreban za svaku manju letjelicu.

Od 100 elektricara, dvojica trebaju za svaki zrakoplov od 50t, a po trojicaza svaki zrakoplov od 40t.

Strucnjaka za pregled navigacionih uredjaja ima 110, od kojih za letjelice od40t treba po jedan, a za 50-tonce trebaju po cetvorica.

Koliko kojih trakoplova kupiti, ako svi imaju istu cijenu, a zelimo zaraditisto je moguce vise? Svaki zrakoplov dnevno napravi po jedan let.

3. Na skladistima se nalazi redom po 60, 70 i 55 tona robe mjesecno. Sest robnihkuca mjesecno potrazuju redom po 20, 40, 30, 55, 15 i 35 tona robe. Jedinicnitroskovi prijevoza iz prvog skladista u svaku od prodavaonica iznose redom3, 2, 2, 3, 3 i 1 kunu. Iz drugog skladista 2, 0, 1, 1, 0 i 1 kunu. Iz treceg:1, 4, 3, 4, 2 i 0 kuna. Odredite optimalni plan prijevoza i ukupni trosak.

4. Zadana je matrica kapaciteta lukova transportne mreze.

T =

0 25 26 34 0 0 0 0 00 0 13 0 14 0 0 0 00 0 0 0 10 23 0 0 00 0 38 0 0 28 0 0 00 0 0 0 0 0 27 40 00 0 0 0 26 0 0 45 00 0 0 0 0 0 0 23 300 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0

.

Nadjite rez minimalnog kapaciteta.

100

Rjesenja prvog oglednog primjera ispita:

1. x = 4; y = 5;max = 66

2. x = y = 1; z = 12


4. l = 78;T = 98; rez: {1, 2} ∪ {3, 4, 5, 6, 7}.

Rjesenja drugog oglednog primjera:

1. Mudro je proizvesti 5 komada prvog i dva drugog proizvoda, uz mak-simalni utrzak od 12 novcanih jedinica.

2. Ako se nabavi 18 letjelica od 40t, 23 od 50t i 43 od 10t, tada oni moguprevest 2300t i maksimalno zaraditi 17, 250.000kn.

3. T = 185

4. Rez: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} ∪ {7, 9}.

Literatura

[1] Pasagic H.:Matematicke metode u prometu, FPZ, Zagreb, 2003.

[2] Proskurjakov I.V.: Sbornik zadac po lineinoi algebre, Nauka, Moskva,1984.

[3] Stosic V.:Matematicka natjecanja ucenika osnovnih skola, HMD, Zagreb,1994.

[4] Horvatic K.:Linearna Algebra I, II, III, Matematicki odjel PMF-aSveucilista u Zagrebu i HMD, Zagreb, 1995.

[5] Kovac Striko E.: Matematika II, Fakultet prometnih znanosti, Zagreb,1999.

[6] Pavkovic-Svrtan-Veljan: Matematika-zbirka zadataka s uputama irjesenjima, Skolska knjiga, Zagreb, 1983.

101

Operacijska istrazivanja u prometu zbirka zadataka

Documents

Transcript of Operacijska istrazivanja u prometu zbirka zadataka