On tap vao lop 10.doc

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10A. C¨n thøc vµ biÕn ®æi c¨n thøc

A.1. KiÕn thøc c¬ b¶nA.1.1. C¨n bËc hai

a. C¨n bËc hai sè häc- Víi sè d¬ng a, sè ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a- Sè 0 còng ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0

- Mét çch tæng qu¸t:

b. So s¸nh çc c¨n bËc hai sè häc - Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã:

A.1.2. C¨n thøc bËc hai vµ h»ng ®¼ng thøc a. C¨n thøc bËc hai- Víi A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè , ngêi ta gäi lµ c¨n thøc bËc hai cña A, A ®îc gäi

lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc díi dÊu c¨n- x¸c ®Þnh (hay cã nghÜa) A 0

b. H»ng ®¼ng thøc - Víi mäi A ta cã - Nh vËy: + nÕu A 0

+ nÕu A < 0A.1.3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng

a. §Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B 0 ta cã: + §Æc biÖt víi A 0 ta cã

b. Quy t¾c khai ph¬ng mét tÝch: Muèn khai ph¬ng mét tÝch cña çc thõa sè kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nh©n çc kÕt qu¶ víi nhau

c. Quy t¾c nh©n çc c¨n bËc hai: Muèn nh©n çc c¨n bËc hai cña çc sè kh«ng ©m, ta cã thÓ nh©n çc sè díi dÊu c¨n víi nhau råi khai ph¬ng kÕt qu¶ ®ã

A.1.4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng

a. §Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > 0 ta cã: b. Quy t¾c khai ph¬ng mét th¬ng: Muèn khai ph¬ng mét th¬ng a/b, trong ®ã a

kh«ng ©m vµ b d¬ng ta cã thÓ lÇn lît khai ph¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai.

c. Quy t¾c chia çc c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d¬ng ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai ph¬ng kÕt qu¶ ®ã.

A.1.5. BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc haia. §a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n- Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã , tøc lµ

+ NÕu A 0 vµ B 0 th× + NÕu A < 0 vµ B 0 th×

b. §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n+ NÕu A 0 vµ B 0 th× + NÕu A < 0 vµ B 0 th×

c. Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨nLª Thanh TÞnh 1


- Víi çc biÓu thøc A, B mµ A.B 0 vµ B 0, ta cã

d. Trôc c¨n thøc ë mÉu- Víi çc biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã

- Víi çc biÓu thøc A, B, C mµ vµ , ta cã

- Víi çc biÓu thøc A, B, C mµ vµ , ta cã

A.1.6. C¨n bËc ba

a. Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:- C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a- Víi mäi a th×

b. TÝnh chÊt- Víi a < b th× - Víi mäi a, b th×

- Víi mäi a vµ th× A.2. KiÕn thøc bæ xungA.2.1. C¨n bËc n

a. C¨n bËc n ( ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng ab. C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1)

Mäi sè ®Òu cã mét vµ chØ mét c¨n bËc lÎ C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0

c. C¨n bËc ch½n (n = 2k ) Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0 Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau kÝ hiÖu lµ vµ

d. Çc phÐp biÕn ®æi c¨n thøc. x¸c ®Þnh víi

x¸c ®Þnh víi víi A

víi A víi A, B

víi A, B mµ víi A, B

víi A, B mµ

Lª Thanh TÞnh 2


víi A, B mµ B 0

víi A, B mµ B 0,

víi A, mµ víi A, mµ

A.2.2. BÊt ®¼ng thøc vµ bÊt ph¬ng tr×nh BÊt ®¼ng thøc

BÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: f1(x), f2(x), …,fn(x) lµ c¸c biÓu thøc bÊt k×

. §¼ng thøc x¶y ra khi cïng dÊu

BÊt ®¼ng thøc C«si: a1, a2, …, an lµ c¸c sè kh«ng ©m, khi ®ã

§¼ng thøc x¶y ra khi a1 = a2 = … = an BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski: (a1, a2, …, an ) vµ (b1, b2, …, bn ) lµ hai bé sè bÊt

k×, khi ®ã

§¼ng thøc x¶y ra khi (quy íc bi == 0 th× ai = 0) BÊt ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

hoÆc A.2.3. DÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt vµ dÊu cña tam thøc bËc hai

a. Cho nhÞ thøc f(x) = ax + b (a 0). Khi ®ã ta cã.

x - -b/a +

f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a Cïng dÊu víi ab. Cho tam thøc f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi ®ã ta cã

NÕu x - -b/2a

+f(x) = ax2 + bx + c Cïng dÊu víi a 0 Cïng dÊu víi a

NÕu x - x1 x2

+f(x) Cïng dÊu a 0 Tr¸i dÊu a 0 Cïng dÊu

a A.2.4. BiÕn ®æi tam thøc bËc hai

Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi ®ã ta cã víi

Lª Thanh TÞnh 3


NÕu a > 0 th× nªn

NÕu a < 0 th× nªn

* Chó ý. NÕu (k lµ h»ng sè d¬ng) khi ®ã ta cã Amin A’max Amax A’min

A.3. VÝ dô minh häaA.4. Bµi tËp chän läc

Bµi 1. Cho biÓu thøc:

a. Rót gän Pb. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi

Bµi 2. Cho biÓu thøc

a. Rót gän Pb. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c. TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt cña a ®Ó P > a

Bµi 3. Cho biÓu thøc a. Rót gän Pb. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P

Bµi 4. Cho biÓu thøc :

a. Rót gän Mb. T×m x ®Ó M > 0c. T×m c¸c gi¸ trÞ cñ m ®Ó cã c¸c gi¸ trÞ cña x tháa m·n:

Bµi 5: Cho biÓu thøc:

a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa.b. Rót gän A.c. T×m x ®Ó .

Bµi 6: Cho .

a. Rót gän A.b. T×m x ®Ó A > -6.

Bµi 7: Cho .

a. Rót gän B.b. T×m x ®Ó B > 0.

Bµi 8: Cho C =

Lª Thanh TÞnh 4


a. Rót gän C.b. Chøng minh r»ng C < 1.

Bµi 9: Cho biÓu thøc: a. Rót gän A.b. T×m x ®Ó A = -15.

Bµi 10: Cho biÓu thøc: .a. Rót gän råi t×m gi¸ trÞ cña A khi a = -5.b. T×m x khi A = 15.

Bµi 11: Cho biÓu thøc: .

a. Rót gän M.b. T×m gi¸ trÞ cña M khi .

c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó .

Bµi 12: Cho biÓu thøc: .a. Rót gän biÓu thøc A.b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3.

Bµi 13: Rót gän biÓu thøc: råi t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3/2.

Bµi 14: Cho biÓu thøc: a. Rót gän råi t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó Q < 1.b. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 15: Cho biÓu thøc: a. Rót gän P.b. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 16: Cho biÓu thøc: a. Rót gän Q.b. BiÕt x > 1, h·y so s¸nh Q víi c. T×m x ®Ó Q = 2.d. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q?


, víi x 0 vµ x 9

a. Rót gän Pb. T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó P < -1/3c. T×m x ®Ó P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.


víi x > 0, y > 0

Lª Thanh TÞnh 5


a. Rót gän Ab. BiÕt xy = 16. T×m gi¸ trÞ cña x, y ®Ó A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ ®ã

Bµi 19. Cho biÓu thøc a. Rót gän biÓu thøc Ab. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = -3

Bµi 20: Cho biÓu thøc: .a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa.b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi

Bµi 21: Cho .a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa.b. Rót gän A.

Bµi 22: Cho .

a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó B cã nghÜa.b. TÜm x ®Ó B > 0.

Bµi 23: Cho biÓu thøc: .

a. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó E cã nghÜa.b. Rót gän E.

Bµi 24: Cho .

a. T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó A cã nghÜa.b. Rót gän A.

Bµi 25: Cho biÓu thøc: .a. Rót gän A.b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 1.


a. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña A.b. Rót gän A.c. T×m x ®Ó A < 2.

Bµi 27. XÐt biÓu thøc

a. Rót gän Bb. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho B > 1c. TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu


a. Rót gän A

Lª Thanh TÞnh 6


b. Cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc A sau khi ®· rót gän b»ng . Chøng minh r»ng a/b = 9/10


a. Rót gän Pb. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P > 0, P < 0c. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó |P| = 1

Bµi 30. Cho biÓu thøc a. Rót gän Ab. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 2/7

Bµi 31. Cho biÓu thøc a. Rót gän Bb. TÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó B = -9

Bµi 32: Cho biÓu thøc: a. Rót gän P.b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P.

Bµi 33: Cho .

a. Rót gän P.b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi .c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P.

B. HÖ ph¬ng tr×nhB.1. KiÕn thøc c¬ b¶nb.1.1. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn

a. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c víi a, b, c R (a2 + b2 0) TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:

Ph¬ng tr×nh bËc nh©t hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm. TËp nghiÖm cña nã ®îc biÓu diÔn bëi ®êng th¼ng (d): ax + by = c

- NÕu a 0, b 0 th× ®êng th¼ng (d) lµ ®å thÞ hµm sè - NÕu a 0, b = 0 th× ph¬ng tr×nh trë thµnh ax = c hay x = c/a vµ ®êng th¼ng

(d) song song hoÆc trïng víi trôc tung- NÕu a = 0, b 0 th× ph¬ng tr×nh trë thµnh by = c hay y = c/b vµ ®êng th¼ng

(d) song song hoÆc trïng víi trôc hoµnhb. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn

HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ R

Minh häa tËp nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gäi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ®ã ta cã

Lª Thanh TÞnh 7


(d) // (d’) th× hÖ v« nghiÖm (d) (d’) = th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (d) (d’) th× hÖ cã v« sè nghiÖm

HÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng HÖ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm

c. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ Quy t¾c thÕ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ

Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng tr×nh míi trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn

Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã råi suy ra nghiÖm cña hÖ d. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè

Quy t¾c céng Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ

Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho çc hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh b»ng nhau hoÆc ®èi nhau

¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (ph¬ng tr×nh mét Èn)

Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· chob.1.2. HÖ ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai

- NÕu hai sè x vµ y tháa m·n x + y = S, x.y = P (víi S2 4P) khi ®ã hai sè x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + SX + P = 0

B.2. KiÕn thøc bæ xungb.2.1. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1

a. §Þnh nghÜa:HÖ hai ph¬ng tr×nh hai Èn x vµ y ®îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i 1 nÕu ta ®æi chç hai Èn x vµ y ®ã th× tõng ph¬ng tr×nh cña hÖ kh«ng ®æi

b. Çch gi¶i §Æt S = x + y, P = x.y, §k: S2 4P Gi¶i hÖ ®Ó t×m S vµ P Víi mçi cÆp (S, P) th× x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

t2 – St + P = 0c. VÝ dô Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

b.2.2. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2a. §Þnh nghÜa HÖ hai ph¬ng tr×nh hai Èn x vµ y ®îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i 2 nÕu ta ®æi chç hai Èn x vµ y th× ph¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph¬ng tr×nh kia vµ ngîc l¹ib. Çch gi¶i Trõ vÕ theo vÕ hai ph¬ng tr×nh trong hÖ ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh hai Èn BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh hai Èn võa t×m ®îc thµnh ph¬ng tr×nh tÝch Gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch ë trªn ®Ó biÓu diÔn x theo y (hoÆc y theo x) ThÕ x bëi y (hoÆc y bëi x) vµo 1 trong 2 ph¬ng tr×nh trong hÖ ®Ó ®îc ph¬ng

tr×nh mét Èn Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa t×m ®îc rßi suy ra nghiÖm cña hÖ

c. VÝ dô Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Lª Thanh TÞnh 8


b.2.3. HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2a. §Þnh nghÜa

- HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai cã d¹ng:

b. Çch gi¶i- XÐt xem x = 0 cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng- NÕu x 0, ta ®Æt y = tx råi thay vµo hai ph¬ng tr×nh trong hÖ- Khö x råi gi¶i hÖ t×m t- Thay y = tx vµo mét trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh mét

Èn (Èn x)- Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn trªn ®Ó t×m x tõ ®ã suy ra y dùa vµo y = tx

* Lu ý: ta cã thÓ thay x bëi y vµ y bëi x trong phÇn trªn ®Ó cã çch gi¶i t¬ng tùc. VÝ dôGi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

B.3. VÝ dô minh häaB.4. Bµi tËp chän läcBµi 1. Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh

Bµi 2. Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh

.

Lª Thanh TÞnh 9


Çc bµi HPT cã chøa tham sèBµi 1. Cho hÖ ph¬ng tr×nh

a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖmb. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm? Khi ®ã h·y t×m

d¹ng tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nhc. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

Bµi 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh

Cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn . Khi ®ã h·y t×m çc gi¸ trÞ cña x vµ y.Bµi 3. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh

Cã nghiÖm nguyªn, t×m nghiÖm nguyªn ®ã.Bµi 4. Cho hÖ ph¬ng tr×nh

a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho b»ng ph¬ng ph¸p ®å thÞb. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 3x - 7y

= - 8 kh«ng ?c. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 4,5x +

7,5y = 25 kh«ng ? Bµi 5. Cho hai ®êng th¼ng (d1): 2x - 3y = 8 vµ (d2): 7x - 5y = -5

T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó ®êng th¼ng y = ax ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2)Bµi 6. Cho ba ®êng th¼ng

(d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ba ®êng th¼ng ®ång quy

Bµi 7. Cho hÖ ph¬ng tr×nh T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn

x > 0, y < 0Bµi 8. T×m çc gi¸ trÞ cña a vµ b ®Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua ®iÓm A(-5; -3) vµ ®iÓm B(3; 1)

Lª Thanh TÞnh 10

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 9. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó

a. HÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0

b. HÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > 0Bµi 10. Cho hÖ ph¬ng tr×nh

T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x, y lµ çc sè nguyªnBµi 11. Cho hÖ ph¬ng tr×nh

T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 12. H·y t×m gi¸ trÞ cña m vµ n sao cho ®a thøc

P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n ®ång thêi chia hÕt cho (x - 1) vµ (x + 2). Bµi 13. Cho hÖ ph¬ng tr×nh

T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn: S = x + y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt

Bµi 14. Cho hÖ ph¬ng tr×nh m, n lµ çc tham sè

a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh b. trong trêng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt h·y t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña

ph¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0Bµi 15. T×m a vµ b ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖmcã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m

Bµi 16. T×m tham sè a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:

Bµi 17. BiÕt cÆp sè (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:

H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = xy + 2(x + y).

Bµi 18. Gi¶ sö (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ

cña tham sè a ®Ó hÖ tháa m·n tÝch xy nhá nhÊt.

Lª Thanh TÞnh 11


Bµi 19. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh biÕt r»ng x, y lµ ®é dµi çc c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhÊt.

Bµi 20. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m.b. T×m çc sè nguyªn m ®Ó cho hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x, y lµ çc sè

nguyªn.Bµi 21. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè).

a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m.b. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ cã nghiÖm (x; y) víi x, y lµ çc sè nguyªn d-

¬ng.Bµi 22. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

X¸c ®Þnh tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ S = x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi 23 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

X¸c ®Þnh tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x; y) mµ tÝch P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Bµi 24. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

a. Gi¶i hÖ khi m = -1.b. T×m m ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm, trong ®ã cã nghiÖm: x = 1, y = 1.

Bµi 25. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh sau ®©y theo tham sè m:

Bµi 26. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i hÖ khi m = 2.b. T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ x > 0 vµ y < 0.c. T×m sè nguyªn n ®Ó cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ x, y lµ çc sè nguyªn.

Bµi 27. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i hÖ khi m = - 3.b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ®· cho theo m.

Bµi 28. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè nguyªn).X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ x > 0, y < 0.

Bµi 29. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ®· cho.

Lª Thanh TÞnh 12


b. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tháa m·n hÖ thøc: .

Bµi 30. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Chøng minh r»ng nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) th× ®iÓm M(x; y) lu«n lu«n

thuéc mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi m thay ®æi.b. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc gãc vu«ng phÇn t thø nhÊt.c. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc ®êng trßn cã t©m lµ gèc täa ®é vµ b¸n kÝnh b»ng .

Bµi 31. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x; y lµ çc sè nguyªn.

Bµi 32. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m.b. T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x; y lµ çc sè nguyªn.c. Chøng minh r»ng khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y), ®iÓm M(x; y) lu«n lu«n ch¹y

trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.d. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc ®êng trßn cã t©m lµ gèc täa ®é vµ b¸n kÝnh b»ng .

Bµi 33. Gi¶i vµ biÖn çc hÖ ph¬ng tr×nh:

a. b. c.

Bµi 34. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lóc m = 1.b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè.

Bµi 35. Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè ): a. Chøng tá lóc m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.b. Gi¶i hÖ lóc m kh¸c 1.

Bµi 36. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y, z; ta cã ®¼ng thøc sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0.

Bµi 37. Víi gi¸ trÞ nµo cña m, hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm?

Bµi 38. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: . X¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n

biÖt. T×m çc nghiÖm ®ã.

Bµi 39. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: . X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

kÐp.

Lª Thanh TÞnh 13


Bµi 40. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: . X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. T×m

nghiÖm ®ã.

Bµi 41. Cho x, y lµ hai sè nguyªn d¬ng sao cho: . T×m gi¸ trÞ cña biÓu

thøc: M = x2 +y2.Bµi 42. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh trªn. b. Kh«ng gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, cho biÕt víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã

nghiÖm duy nhÊt?

Bµi 43. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a lµ tham sè).a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 2.b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh.c. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn.d. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó nghiÖm cña hÖ tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y nhá nhÊt.

Bµi 44. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua gèc O vµ song song víi AB biÕt: A(-1; 1), B(-1; 3).A(1; 2), B(3; 2).A(1; 5), B(4; 3).

Bµi 45. Cho ba ®iÓm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). T×m täa ®é ®Ønh D cña h×nh b×nh hµnh ABCD.Bµi 46. Cho bèn ®iÓm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D th¼ng hµng.Bµi 47. Cho bèn ®iÓm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). H·y x¸c ®Þnh tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×?Bµi 48. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm, v« sè nghiÖm:

Bµi 49. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè).a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn.b. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x < 0, y <

0.Bµi 50. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè)

a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. b. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn.c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt.

Bµi 51. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè)a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh.b. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn xy nhá

nhÊt.

Lª Thanh TÞnh 14


Bµi 52. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt:

Bµi 53. a.T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña tham sè a hoÆc m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã

nghiÖm lµ sè d¬ng, sè ©m.;

b. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau: cã nghiÖm x > 0 vµ y < 0.

c. Víi gi¸ trÞ kh¸c 0 nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm tháa m·n

Bµi 54.

1. Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 2.b. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.

2. T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm.

C. Ph¬ng tr×nhC.1. KiÕn thøc c¬ b¶nC.1.1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn

a. §Þnh nghÜa- Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0. Trong ®ã a, b R vµ a 0b. Çch gi¶i vµ biÖn luËn- NÕu a = 0. Khi ®ã: + b = 0 th× ph¬ng tr×nh cã VSN

+ b 0 th× phong tr×nh VN- NÕu a 0. Khi ®ã ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = - b/a

C.1.2. Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èna. §Þnh nghÜa- Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax2 + bx + c = 0. Trong ®ã a, b, c R vµ a 0b. Çch gi¶i vµ biÖn luËn- NÕu a = 0. Ph¬ng t×nh cã d¹ng bx + c = 0: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt - NÕu a 0. Khi ®ã (hoÆc )

+ (hoÆc ): Pt v« nghiÖm+ (hoÆc ): Pt cã nghiÖm kÐp (hoÆc )+ (hoÆc ): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt

(hoÆc ) Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 th× ta cã thÓ

viÕtax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2)

§Þnh lÝ Vieta. §Þnh lÝ thuËn

Lª Thanh TÞnh 15


- NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 th× tæng vµ tÝch hai nghiÖm ®ã lµ vµ b. §Þnh lÝ ®¶o

- NÕu hai sè x vµ y cã tæng vµ tÝch tháa m·n th× hai sè x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - St + P = 0

Đại 9 – Chương IV

Phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a # 0 ) x1 + x2 = S ; x1.x2 = P

1) Phương trình có 2 nghiệm đối nhau: ∆ > 0 P > 0 x1.x2 < 0 S = 0 S = 0 x1 + x2 =0 2) phương trình có 2 nghiệm nghịch đảo: ∆ > 0 ∆ > 0 P = 1 x1.x2 = 1 3) phương trình có 2 nghiệm cùng dấu: ∆ > 0 ∆ > 0 P > 0 x1.x2 > 0 4) phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 x1.x2

5) phương trình có 2 nghiệm dương: ∆ > 0 ∆ > 0 P > 0 x1.x2 > 0 S > 0 x1 + x2 > 0 6) phương trình có 2 nghiệm âm: ∆ > 0 ∆ > 0 P > 0 x1.x2 > 0 S < 0 x1 + x2 < 0 7) phương trình có 2 nghiệm không dương: ∆ > 0 ∆ > 0 P > 0 x1.x2 > 0 S < 0 x1 + x2 < 0 8) phương trình có 2 nghiệm không âm: ∆ > 0 ∆ > 0 P > 0 x1.x2 > 0 S > 0 x1 + x2 > 0

9) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt

Lª Thanh TÞnh 16


đối của nghiệm dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm. P < 0 x1.x2 < 0 S > 0 x1 + x2 > 0 10) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối của nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm. P > 0 x1.x2 < 0 S < 0 x1 + x2 < 0 11) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối. P > 0 x1.x2 < 0 S = 0 x1 + x2 = 0 * NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG: 1) x1

2 + x2 2 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2

2) x12 - x2 2 = (x1 + x2) . (x1 – x2) => x1 – x2 =

=> (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2

3) (x1 + x2)2 = (x1 – x2)2 + 4x1.x2

4) x13

+ x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)

5) A2 > a (a > 0) /A/ > a A < - a hoặc A > a 6) A2 < a (a > 0) => /A/ < a - a < A < a* Ví dụ: 5) x2 > 2 x < - 2 hoặc x > 2 6) x2 < 2 - 2 < x < 2

Bµi tËp chän läcBµi 1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung

x2 + mx + 1 = 0; x2 + x + m = 0Bµi 2. Cho hai ph¬ng tr×nh x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0

Chøng minh r»ng nÕu th× Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖmBµi 3. Víi gi¸ trÞ bµo cña k th× hai ph¬ng tr×nh sau:

2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = 0Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung, t×m nghiÖm chung ®ã

Bµi 4. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi a, b, cLª Thanh TÞnh 17


(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0 Bµi 5. Cho a, b, c lµ sè ®o ®é dµi 3 c¹nh cña m ét tam gi¸c. Chøng minh ph¬ng tr×nh

sau v« nghiÖm: a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = 0

Bµi 6. Cho ba ph¬ng tr×nh x2 + 2ax + ac = 0; x2 - 2bx + ab - c = 0; x2 + 2cx + c = 0

Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong ba ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖmBµi 7. Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã

nghiÖm nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn sau ®îc tháa m·na. a(a + 2b + c) < 0b. 5a + 3b + 2c = 0

Bµi 8. T×m çc gi¸ trÞ cña k ®Ó ph¬ng tr×nh: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 cã nghiÖm lµ sè h÷u tØ.

Bµi 9. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 - 3x + 1 = 0. Gäi x1, x2 lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ çc biÓu thøc sau:a. b. c. d.

Bµi 10. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (2m - 1)x - m = 0a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi mb. Gäi x1, x2 lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc

®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 11. Gäi x1, x2 lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 + 5x - 6 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng

tr×nh h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã çc nghiÖm ;

Bµi 12. Cho ph¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

a. b. Bµi 13. Cho ph¬ng tr×nh (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn, h·y lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo kBµi 14. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó çc nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh:

a. x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 tháa m·n b. x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 tháa m·n x1 = 2x2c. x2 - mx + m + 1 = 0 tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0

Bµi 15. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0a. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhaub. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o

cña nhauBµi 16. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hai nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tháa m·n ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ãBµi 17. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2|

Bµi 18. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m - 1 = 0a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m

Lª Thanh TÞnh 18


b. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

Bµi 19. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = 0T×m çc gi¸ trÞ cña p vµ q sao cho hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n

Bµi 20. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 2x - m2 = 0 cã çc nghiÖm x1, x2. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc nghiÖm y1, y2 sao cho:

a. y1 = x1 - 3, y2 = x2 - 3b. y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - 1

Bµi 21. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc nghiÖm tháa m·n:

Bµi 22. Chøng minh r»ng trong ba ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

x2 + ax + b - 1 = 0x2 + bx + c - 1 = 0x2 + cx + a - 1 = 0

Bµi 23. Cho 2 ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + a = 0 (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2)Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng

tr×nh (2) v« nghiÖm.Bµi 24. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0.

a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi mb. Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron ®ã x1, x2 lµ hai

nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo mBµi 25. Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0

a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi mb. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cã tÝch b»ng 5, tõ ®ã

h·y tÝnh tæng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh c. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo md. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n ®¼ng

thøc: Bµi 26. T×m çc gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau t¬ng ®¬ng

x2 + (4m + 3n)x - 9 = 0.x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0

Bµi 27. Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cx2 + bx + a = 0 còng cã hai nghiÖm d¬ng

ph©n biÖtb. Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x4 4

Bµi 28. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0a. BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 2,t×m m råi t×m nghiÖm cßn l¹ib. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n bÊt ®¼ng

thøc -2 < x1 < x2 < 4

Lª Thanh TÞnh 19

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 29. T×m a sao cho nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0. §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 30. Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng kh¸c nhau cã tæng b»ng 12. Chøng minh r»ng trong ba ph¬ng tr×nh sau:

x2 + ax + b = 0 x2 + bx + c = 0 x2 + cx + a = 0.

Cã mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm, mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖmBµi 31. Cho biÕt ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0, víi b, c lµ çc sè h÷u tØ cã mét nghiÖm

lµ . T×m çc cÆp sè (b, c)Bµi 32. BiÕt sè ®o ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0. T×m m ®Ó sè ®o chiÒu cao øng víi c¹nh huyÒn lµ Bµi 33. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó çc nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn: :Bµi 34. Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).

1. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.2. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiÖm,

nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n.3. X¸c ®Þnh m ®Ó çc nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tháa m·n x1 + 4x2 = 3.4. T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 35. Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tháa m·n .

-Bµi 36. Cho ph¬ng tr×nh x2 + 5x - 1 = 0 (1)Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh (1), h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc nghiÖm lµ

lòy thõa bËc bèn cña çc nghiÖm ph¬ng tr×nh (1).Bµi 37. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b:

(a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0.Bµi 38. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi m:

x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0.

Bµi 39. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:

Bµi 40. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung: x2 + ax + 8 = 0 (1) vµ x2 + x + a = 0 (2).

Bµi 41. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0.

Bµi 42. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 cã hai nghiÖm cïng ©m, cïng d¬ng, vµ tr¸i dÊu nhauBµi 43. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt: x3 - m(x + 1) + 1 = 0.Bµi 44. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a, b vµ c:

x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0.

Lª Thanh TÞnh 20

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 45. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm nÕu

.Bµi 46. Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nÕu bm = 2(c + n):

x2 + bx + c = 0 vµ x2 + mx + n = 0.Bµi 47. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè thùc α mµ af(α) ≤ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.Bµi 48. Cho biÕt çc ph¬ng tr×nh ax2 + bx +2 c = 0 vµ ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) cã nghiÖm. VËn dông bµi 22 ®Ó chøng minh ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm.

Bµi 50. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:

Bµi 51. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung:x2 + 2x + m = 0 (1) vµ x2 + mx + 2 = 0 (2).

Bµi 52. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung:x2 + (m - 2)x + 3 = 0 vµ 2x2 + mx + m + 2 = 0.

Bµi 53. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung:2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 vµ 6x2 + (7m-15)x -19 = 0.

Bµi 54. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung:

2x2 + (3m - 1)x - 3 = 0 vµ 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0.Bµi 55. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2x2 - 13x + 2m = 0 (1) gÊp ®«i mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 4x + m = 0 (2).Bµi 56. Cho çc sè a, b, c kh¸c nhau ®«i mét, c ≠ 0. BiÕt r»ng çc ph¬ng tr×nh x2 + ax + bc = 0(1) vµ x2 + bx + ca = 0 (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã.Bµi 57. Cho çc ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2).

1. BiÕt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm d¬ng m, 2. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm n sao cho m + n ≥ 2.

Bµi 58. Cho çc ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2).T×m liªn hÖ gi÷a çc sè a, b, c biÕt r»ng çc nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh (1),

çc nghiÖm x3, x4 cña ph¬ng tr×nh (2) tháa m·n ®¼ng thøc: .Bµi 59. Ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0 cã nghiÖm x1, x2. Ph¬ng tr×nh x2 - b2x + bc = 0 cã nghiÖm x3, x4.

BiÕt x3 - x1 = x4 - x2 = 1. X¸c ®Þnh b vµ c.Bµi 60. T×m çc sè a, b sao cho çc ph¬ng tr×nh: x2 + ax + 6 = 0 vµ x2 + bx + 12 = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung vµ nhá nhÊt.Bµi 61. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh x2 + mx + 2m - 4 = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm kh«ng ©m.Bµi 62. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.Bµi 63. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt nhá h¬n 2.Bµi 64. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lín h¬n -1.Bµi 65. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 + x + m = 0 ®Òu lín h¬n m?Bµi 66. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã ba nghiÖm ph©n biÖt:

x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + 3 = 0.Bµi 67. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = 0.

Lª Thanh TÞnh 21

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 68. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh: mx4 - 10mx2 + m + 8 = 0

1. Cã bèn nghiÖm ph©n biÖt.2. Cã bèn nghiÖm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) tháa m·n ®iÒu kiÖn:x4 - x3 = x3 - x2

= x2 - x1.Bµi 76. Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.

1. Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè víi mäi m.2. T×m m sao cho nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn: .

Bµi 78. Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = 0.a. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp nµy.b. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m.

Bµi 79. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.a. Chøng minh r»ng, ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm khi m thay ®æi.b. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n: 1 < x1 < x2 < 6.

Bµi 80. Cho hai ph¬ng tr×nh:x2 + x + a = 0 (1)x2 + ax + 1 = 0 (2)

T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó hai ph¬ng tr×nh:a. T¬ng ®¬ng víi nhau.b. Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.

Bµi 81 a. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2

b. Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -1.

Bµi 84. Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0.1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m.2. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,

x2 vµ khi ®ã h·y t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm nµy gÊp hai lÇn nghiÖm kia.Bµi 85. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x + m + 1 = 0.

1. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.2. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n: .

Bµi 85. Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx + m + 2 = 0.1. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm kh«ng ©m.2. Khi ®ã h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: theo m.

Bµi 87. Cho ph¬ng tr×nh: 3x2 - mx + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n: 3x1x2 = 2x2 - 2.Bµi 88. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x - m = 0.

1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m.2. Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tháa m·n: , .

Bµi 89. Cho ph¬ng tr×nh: 3x2 - 5x + m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n: .Bµi 90. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n:

A = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.Bµi 91. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0.

1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 víi mäi m.

Lª Thanh TÞnh 22


2. X¸c ®Þnh m ®Ó: .Bµi 92. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + ax + 1 = 0. X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm

x1, x2 tháa m·n:

Bµi 93. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0.1. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2.2. Chøng minh r»ng çc nghiÖm x1, x2 tháa m·n bÊt ®¼ng thøc:

.

Bµi 94. Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chøng minh r»ng, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia lµ: 9ac = 2b2.Bµi 95. Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chøng minh r»ng, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ: kb2 = (k + 1)2 ac.Bµi 96. Cho hai ph¬ng tr×nh:x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)

a. §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.b. §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng.c. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = 0 cã 4 nghiÖm

ph©n biÖt.Bµi 100. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 víi a, b, c lµ çc sè h÷u tØ, a ≠ 0. Cho biÕt ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm . H·y t×m nghiÖm cßn l¹i.Bµi 101. T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn k ®Ó ph¬ng tr×nh: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 lu«n lu«n cã nghiÖm sè h÷u tû.Bµi 102. Cho ph¬ng tr×nh: 3x2 + 4(a - 1)x + a2 - 4a + 1 = 0 x¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n hÖ thøc: .Bµi 105. Cho hai ph¬ng tr×nh: 2x2 + mx - 1 = 0 (1) mx2 - x + 2 = 0 (2)Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm chung.Bµi 106. Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 - cx + 2c -1 = 0. TÝnh theo c gi¸ trÞ cña biÓu thøc: .Bµi 107. X¸c ®Þnh a ®Ó 2 ph¬ng tr×nh: x2 + ax + 8 = 0 vµ x2 + x + a = 0 cã nghiÖm chung.Bµi 108. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 6x + m = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n: .Bµi 109. Cho biÕt x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 cña ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( ). H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc nghiÖm lµ: .Bµi 110. BiÕt r»ng x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0. H·y viÕt ph-¬ng tr×nh bËc hai nhËn lµm hai nghiÖm.Bµi 111. Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1.

1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m.2. §Æt x = t + 2. TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh

f(x) = 0 cã hai nghiÖm lín h¬n 2.Bµi 112. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6.

1. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®Òu ©m.

Lª Thanh TÞnh 23


2. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n: .Bµi 114. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 6x + m = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n .Bµi 116. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0.

1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m.2. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, biÓu thøc: ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi 117. Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + a1x + b1 = 0 vµ x2 + a2x + b2 = 0Cho biÕt a1a2 ≥ 2(b1 + b2). Chøng minh Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.Bµi 119. Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0.

1. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n: .

2. LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 ®éc lËp víi m.Bµi 120. Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + 3 - m = 0.

1. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n: .2. LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m3. LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc nghiÖm lµ: .

Bµi 121. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (m + 1)x + m = 0.1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m.2. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, biÓu thøc: ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi 122. Cho ph¬ng tr×nh: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0.1. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a = 13. 2. X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi 123. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0.1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m.2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. T×m nghiÖm ®ã.3. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n: -1 < x1

< x2 < 1.4. Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, h·y lËp mét hÖ

thøc gi÷a x1, x2 kh«ng cã m.Bµi 124. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0.

1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m.2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau.

Bµi 125. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + ax + b = 0. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n: x1 - x2 = 5 vµ . TÝnh çc nghiÖm ®ã.Bµi 126. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c kh¸c 0) cã hai nghiÖm ph©n biÖt trong ®ã cã ®óng mét nghiÖm d¬ng x1 th× ph¬ng tr×nh: ct2 + bt + a = 0 còng cã hai nghiÖm ph©n biÖt trong ®ã t1 > 0 tháa m·n: x1 + t1 ≥ 2.Bµi 130. Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0.

1. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 9.2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.3. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ mét nghiÖm gÊp ®«i nghiÖm

cßn l¹i. T×m çc nghiÖm ®ã.Bµi 131. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + ax + b = 0. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ a vµ b.Bµi 132. Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1).

Lª Thanh TÞnh 24


1. Khi m = 1, t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x) = 0.2. X¸c ®Þnh m ®Ó f(x) viÕt ®îc díi d¹ng mét b×nh ph¬ng.3. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2. LËp mét hÖ thøc

gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.Bµi 138. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2. X¸c ®Þnh m ®Ó biÓu thøc: ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. TÝnh min E.Bµi 140. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0

a. Chøng minh r»ng víi mäi m, ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm. T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. T×m nghiÖm kÐp ®ã.

b. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4. TÝnh nghiÖm cßn l¹i.Bµi 141. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m -1 = 0. Cã 2 nghiÖm x1, x2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m, biÓu thøc: ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.Bµi 142. Cho a lµ sè thùc kh¸c -1. H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n c¸c hÖ thøc: a. 4x1x2 + 4 = 5(x1 + x2) (1) b. (2)Bµi 145. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a. Víi gi¸ trÞ nµo cña a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh c¸c nghiÖm kÐp.b. X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiªm ph©n biÖt lín h¬n -1.

Bµi 146. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - ax + a + 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 vµ x2.a. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: .

b. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó: ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.Bµi 147. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1= 0.

a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m.b. Chøng minh r»ng cã mét hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 148. Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + (ab + 1)x + b = 0.a. Chøng minh r»ng víi mäi a, b ph¬ng tr×nh ®· cho ®Òu cã nghiÖm.b. Muèn cho ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt b»ng 1/2 th× a vµ b ph¶i

b»ng bao nhiªu?Bµi 149. Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2mx - 2m - 1 = 0.

a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m.b. T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m.c. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n: .

Bµi 150. Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0. a. Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m.b. Khi ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2:

T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. T×m m sao cho: .

Bµi 151. Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = 0.a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.b. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m.c. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm. X¸c ®Þnh m ®Ó biÓu thøc: ®¹t gi¸ trÞ lín

nhÊt.Bµi 152. Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0.

a. Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.Lª Thanh TÞnh 25


b. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n: .Bµi 153. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - 3x + a = 0

Gäi t1, t2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - 12t + b = 0Cho biÕt: . TÝnh a vµ b.

D. Hµm sè vµ ®å thÞKiÕn thøc c¬ b¶nHµm sè

a. Kh¸i niÖm hµm sè- NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x ta

lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè t¬ng øng cña x vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè

- Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøcb. §å thÞ hµm sè- §å thÞ hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M trong mÆt ph¼ng täa ®é cã täa ®é tháa m·n ph¬ng tr×nh y = f(x) (Nh÷ng ®iÓm M(x, f(x)) trªn mÆt ph¼ng täa ®é)c. Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn

* Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R- NÕu x1 < x2 mµ f(x1) < f(x2) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R- NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R* Tæng qu¸t + Hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn D

+ Hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn DHµm sè bËc nhÊt

a. Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt- Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b. Trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tríc vµ a 0b. TÝnh chÊt

Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R vµ cã tÝnh chÊt sau:- §ång biÕn trªn R khi a > 0- NghÞch biÕn trªn R khi a < 0

c. §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0)§å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) lµ mét ®êng th¼ng- C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b- Song song víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu b 0, trïng víi ®êng th¼ng y = ax, nÕu

b = 0* C¸ch vÏ ®å thÞ hµm sè y = ax + b (a 0)

Bíc 1. Cho x = 0 th× y = b ta ®îc ®iÓm P(0; b) thuéc trôc tung Oy. Cho y = 0 th× x = -b/a ta ®îc ®iÓm Q(-b/a; 0) thuéc trôc hoµnhBíc 2. VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm P vµ Q ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax + bd. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng Cho hai ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi ®ã

Lª Thanh TÞnh 26


+

+

+ + e. HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b (a 0)

Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox. - Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, trong ®ã A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox, T lµ ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax + b vµ cã tung ®é d¬ng

HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax + b- HÖ sè a trong ph¬ng tr×nh y = ax + b ®îc gäi lµ hÖ sè gãc cña ®êng th¼ng y = ax +b f. Mét sè ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng

- §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x - x0) + y0

- §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ Hµm sè bËc hai

a. §Þnh nghÜa- Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0)b. TÝnh chÊt- Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ:

+ NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0, ®ång biÕn khi x > 0+ NÕu a < 0 th× hµm sè ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0

c. §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0)- §å thÞ hµm sè y = ax2 (a 0) lµ mét Parabol ®i qua gèc täa ®é nhËn trôc Oy lµm

trôc ®èi xøng + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa dêi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ

KiÕn thøc bæ xungC«ng thøc tÝnh to¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng

Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A víi B víi A(x1, y1) vµ B(x2, y2). Khi ®ã- §é dµi ®o¹n th¼ng AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc

- Täa ®é trung ®iÓm M cña AB ®îc tÝnh bëi c«ng thøc

Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m 0)Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã- Täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh

- Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*)

- Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*)+ NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung

Lª Thanh TÞnh 27


+ NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau+ NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

Mét sè phÐp biÕn ®æi ®å thÞ Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C)

- §å thÞ (C1): y = f(x) + b ®îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕc (C) däc theo trôc tung b ®¬n vÞ

- §å thÞ (C2): y = f(x + a) ®îc suy ra b»ng c¸ch tÞnh tiÕn (C) däc theo trôc hoµnh –a ®¬n vÞ

- §å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn ph¶i Oy, bá phÇn (C) n»m bªn tr¸i Oy+ LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn ph¶i Oy qua Oy

- §å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ (C) n»m bªn trªn Ox, bá phÇn (C) n»m bªn díi Ox+ LÊy ®èi xøng phÇn (C) n»m bªn treen Ox qua Ox

Hµm sè ch½n, hµm sè lÎd. Hµm sè ch½n, Hµm sè lÎ

- Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ ch½n nÕu+ + f(-x) = f(x)

- Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ lÎ nÕu+ + f(-x) = - f(x)

e. Chó ý- §å thÞ cña hµm sè ch½n ®èi xøng nhau qua trôc tung - §å thÞ cña hµm sè lÎ ®èi xøng nhau qua gèc täa ®é

S¬ lîc vÒ hµm bËc hai tæng qu¸t y = ax2 + bx + c (a 0)a. TÝnh chÊt Hµm bËc hai y = ax2 + bx + c (a 0) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ x thuéc R- NÕu a > 0: Hµm sè nghÞch biÕn , ®ång biÕn

- NÕu a < 0: Hµm sè ®ång biÕn , nghÞch biÕn a. §å thÞ §å thÞ cña hµm sè y = ax2 + bx + c (a 0) lµ mét Parabol cã ®Ønh cã

trôc ®èi xøng - NÕu a > 0: Parabol cã bÒ lâm quay lªn trªn nhËn S lµm ®iÓm thÊp nhÊt- NÕu a < 0: Parabol cã bÒ lâm quay xuèng díi nhËn S lµm ®iÓm cao nhÊt nhÊt

a. Chó ý- Täa ®é giao ®iÓm cña (P): y = ax2 + bx + c (a 0) vµ (D): y = mx + n lµ

nghiÖm cña hÖ

- Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P): y = ax2 + bx + c (a 0) vµ (D): y = mx + n lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = mx + n

- Giao ®iÓm cña (P): y = ax2 + bx + c (a 0) vµ trôc hoµnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0

VÝ dô minh häc

Lª Thanh TÞnh 28

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi tËp chän läcBµi 1. Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x

a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®ã trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxyb. §êng th¼ng song song víi trôc Ox, c¾t Oy t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 6, c¾t

çc ®êng th¼ng: y = x vµ y = 3x lÇn lît ë A vµ B. T×m täa ®é çc ®iÓm A vµ B, tÝnh chu vi, diÖn tÝch tam gi¸c OAB

Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ .a. VÏ trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy ®å thÞ cña hai hµm sè trªn; b. Qua ®iÓm (0; 2) vÏ ®êng th¼ng song song víi trôc Ox c¾t ®êng th¼ng

vµ y = - 2x lÇn lît t¹i A vµ B. Chøng minh tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c vu«ng vµ tÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã.

Bµi 3: Cho hµm sè .a. VÏ ®å thÞ hµm sè;b. VÏ ®êng th¼ng y = 2, c¾t ®å thÞ hµm sè ë A vµ B. Tam gi¸c OAB lµ tam

gi¸c g×? V× sao? TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã.Bµi 4: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + 6 (d).

a. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn.b. T×m çc gi¸ trÞ cña m, biÕt r»ng ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1; 2). VÏ ®å

thÞ cña hµm sè víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m.c. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× çc ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n ®i qua

mét ®iÓm cè ®Þnh.Bµi 5: Cho hµm sè: y = (3m – 2)x – 2m.

a. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2.b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 2.c. X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ øng víi gi¸ trÞ cña m t×m ®îc ë

c©u a, b.Bµi 6: Cho ba ®êng th¼ng y = -x + 1, y = x + 1 vµ y = -1.

a. VÏ ba ®êng th¼ng ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy.b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 lµ A, giao ®iÓm cña

®êng th¼ng y = -1 víi hai ®êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 theo thø tù lµ B vµ C. T×m täa ®é çc ®iÓm A, B, C.

c. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.Bµi 7: Cho ®êng th¼ng (d): ;y = - 2x + 3.

a. X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®êng th¼ng d víi hai trôc Ox, Oy, tÝnh kho¶ng çch tõ ®iÓm O(0; 0) ®Õn ®êng th¼ng d.

b. TÝnh kho¶ng çch tõ ®iÓm C(0; -2) ®Õn ®êng th¼ng d.Bµi 9: T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó ba ®êng th¼ng:

y = 2x + 7 (d1) (d2) (d3) ®ång quy trong mÆt ph¼ng täa ®é.

Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng: y = (m + 1)x - 3 vµ y = (2m - 1)x + 4.a. Chøng minh r»ng khi th× hai ®êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau.b. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau.

Bµi 11: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b trong mçi trêng hîp sau: a. Khi , ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng .b. Khi a = - 5, ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm A(- 2; 3).c. §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(1; 3) vµ N(- 2; 6).

Lª Thanh TÞnh 29


d. §å thÞ hµm sè song song víi ®êng th¼ng vµ ®i qua ®iÓm .Bµi 12: Cho ®êng th¼ng: y = 4x (d).

a. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) song song víi ®êng th¼ng (d) vµ cã tung ®é gèc b»ng 10.

b. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d2) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng – 8.

c. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d3) song song víi ®êng th¼ng (d) c¾t trôc Ox t¹i A, c¾t trôc Oy t¹i B vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOB b»ng 8.

Bµi 13: Cho hµm sè: y = 2x + 2 (d1) (d2).a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy.b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) víi trôc Oy lµ A, giao ®iÓm cña ®êng

th¼ng (d2) víi trôc Ox lµ B, cßn giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) lµ C. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? T×m täa ®é çc ®iÓm A, B, C.

c. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.Bµi 14: Cho çc hµm sè sau: y = - x - 5 (d1) ; (d2) ; y = 4x (d3)

a. VÏ ®å thÞ cña çc hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy.b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) víi ®êng th¼ng (d2) vµ (d3) lÇn lît lµ A vµ

B. T×m täa ®é çc ®iÓm A, B.c. Tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g×? V× sao?d. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB.

Bµi 15: Cho hai ®êng th¼ng: y = x + 3 (d1) vµ y = 3x + 7 (d2).a. VÏ ®å thÞ cña çc hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy.b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) víi trôc Oy lÇn lît lµ A vµ B. T×m

täa ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n AB.c. Gäi J lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2). Chøng minh tam gi¸c OIJ lµ

tam gi¸c vu«ng. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã.Bµi 16: Cho hai ®êng th¼ng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).

T×m çc gi¸ trÞ cña k ®Ó: a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau.b. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung.c. (d1) vµ (d2) song song víi nhau.d. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau.e. (d1) vµ (d2) trïng nhau.

Bµi 17: Cho hµm sè y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d). T×m çc gi¸ trÞ cña m, n ®Ó ®êng th¼ng (d):

a. §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3).b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng , c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã

hoµnh ®é .c. C¾t ®êng th¼ng 3y - x - 4 = 0.d. Song song víi ®êng th¼ng 2x + 5y = - 1.e. Trïng víi ®êng th¼ng y - 3x - 7 = 0.

Bµi 18: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho ®iÓm vµ ®êng th¼ng (d): (a ≠ 0). Gäi M(x; y) lµ mét ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng, H lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn ®-êng th¼ng (d).

a. TÝnh MF2 vµ MH2 theo x, y lµ täa ®é cña ®iÓm M.b. BiÕt MF = MH, h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y.

Lª Thanh TÞnh 30

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 19: Cho hµm sè: y = (m2 - 6m + 12)x2.

a. Chøng tá r»ng hµm sè nghÞch biÕn trong kho¶ng (-2005; 0), ®ång biÕn trong kho¶ng (0; 2005).

b. Khi m = 2, h·y t×m x ®Ó y = 8; y = 2 vµ y = - 2.c. Khi m = 5, h·y t×m gi¸ trÞ cña y, biÕt vµ .

Bµi 20: Cho hµm sè: y = - (k2 – 2k + 3)x2.a. Chøng tá r»ng hµm sè ®ång biÕn trong kho¶ng (0; +∞), hµm sè nghÞch biÕn

trong kho¶ng (-∞; 0).b. Khi k = 1, tÝnh gi¸ trÞ cña y, biÕt , vµ .c. T×m çc gi¸ trÞ cña k khi x = 2, y = 10.

Bµi 21: Cho hµm sè: y = (2m + 1)x2.a. T×m m, biÕt r»ng ®å thÞ hµm sè c¾t ®êng th¼ng y = 4x – 2 t¹i ®iÓm A cã

hoµnh ®é 1.b. Víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m h·y vÏ ®å thÞ hµm sè y = (2m + 1)x2 vµ ®å thÞ y =

4x – 2 trªn cïng mét mÆt ph¼ng täa ®é.c. B»ng ®å thÞ, h·y x¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm thø hai cña hai ®å thÞ vÏ trong

ý b.Bµi 22. Cho hµm sè y = ax2 + bx + c (a 0). T×m çc gi¸ trÞ cña a, b, c biÕt ®å thÞ cña hµm sè tháa m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn sau:

a. Hµm sè nhËn gi¸ trÞ – 1 khi x = 0, x = 1 vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng 1 khi x = -1b. §å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i

®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1/2 vµ 1c. §å thÞ hµm sè ®i qua çc ®iÓm A(-1, 0), B(1, 3) vµ C(3, 2).

Bµi 23. Cho ®êng th¼ng (d): y = (k - 2)x + q. T×m çc gi¸ trÞ cña k vµ q biÕt r»ng ®-êng th¼ng (d) tháa m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn sau:

a. §i qua ®iÓm A(-1; 2) vµ B(3; 4)b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh

®é c. C¾t ®êng th¼ng -2y + x - 3 = 0d. Song song víi ®êng th¼ng 3x + 2y = 1

Bµi 24. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho ®iÓm A(-2; 2) vµ ®êng th¼ng (d): y = -2x - 2.

a. Chøng minh A (d)b. T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó Parabol: y = ax2 ®i qua Ac. T×m ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d)d. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng t×m ®îc trong c©u c, vµ C lµ

giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) víi trôc Oy. T×m täa ®é çc ®iÓm B, C vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.

Bµi 25. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho parabol (P): y = x2/4 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. T×m çc gi¸ trÞ cña m vµ n biÕt ®êng th¼ng (d) tháa m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn sau:

a. Song song víi ®êng th¼ng y = x vµ tiÕp xóc víi (P)b. §i qua ®iÓm A(1,5; -1) vµ tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm cña (P) vµ (d) trong mçi trêng hîp trªn.

Bµi 26. Cho hµm sè: .1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn.

Lª Thanh TÞnh 31


2. Trªn (P) lÊy hai ®iÓm M vµ N lÇn lît cã hoµnh ®é lµ - 2; 1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng MN.

3. X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ (D) cña nã song song víi ®êng th¼ng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i 1 ®iÓm.

Bµi 27. Cho hµm sè .1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn.2. LËp phong tr×nh ®êng th¼ng (D) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P).

Bµi 28. Cho hµm sè: .1. VÏ ®å thÞ hµm sè trªn.2. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña x sao cho f(x) ≤ 1.

Bµi 29. Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè).1. T×m m sao cho ®å thÞ (P) cña hµm sè y = x2 vµ ®å thÞ (D) cña y = x + m cã hai

giao ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.2. T×m phong tr×nh cña ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (D) vµ (d) tiÕp xóc víi (P).3. a). ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm theo täa ®é cña hai

®iÓm Êy.b). ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ .

Bµi 30. Trong cïng hÖ trôc täa ®é gäi (P) lµ ®å thÞ hµm sè y = ax2 vµ (D) lµ ®å thÞ hµm sè y = - x + m.

1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua A(2; -1) vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc.2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 1) vµ t×m täa ®é tiÕp ®iÓm.3. Gäi B lµ giao ®iÓm cña (D) (ë c©u 2) víi tung ®é. C lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua

trôc tung. Chøng tá r»ng C n»m trªn (P) vµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n.Bµi 31. Trong cïng mÆt ph¼ng täa ®é cho hai ®êng th¼ng:

(D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + 4 = 01. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña (D1) vµ (D2) b»ng ®å thÞ vµ kiÓm tra l¹i b»ng

phÐp to¸n.2. T×m a trong hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) qua A. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) víi a

võa t×m ®îc.3. T×m phong tr×nh cña ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) t¹i A.

Bµi 32. Cho (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 vµ ®iÓm A(- 2; -1) trong cïng hÖ trôc.1. T×m a sao cho A thuéc (P). VÏ (P) víi a t×m ®îc.2. Gäi B lµ ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lµ 4. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng AB.3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB.

Bµi 33. Cho parabol (P): vµ ®êng th¼ng (D) qua 2 ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ - 2 vµ 4.

1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn.2. ViÕt phong tr×nh cña (D).3. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) (t¬ng øng hoµnh ®é) sao cho tam

gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt.Bµi 34. Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): vµ ®êng th¼ng (D): y = mx - 2m - 1.

1. VÏ (P).2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P).3. Chøng tá r»ng (D) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh A thuéc (P).

Lª Thanh TÞnh 32


Bµi 35.Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc cã parabol (P): vµ ®êng th¼ng (D) qua

®iÓm cã hÖ sè gãc m.1. VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cña (D).2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P).3. T×m m sao cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt.

Bµi 36. Trong cïng hÖ trôc täa ®é cho parabol (P): vµ ®êng th¼ng (D):

.1. VÏ (P) vµ (D).2. B»ng phÐp to¸n, t×m täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D).3. T×m täa ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song

song víi (D).Bµi 37. Cho hä ®êng th¼ng cã phong tr×nh: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1).

1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(2; 1).2. Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng trªn lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M víi mäi

m. T×m täa ®é cña M.Bµi 38. Cho hµm sè: .

1. T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè.2. VÏ ®å thÞ (D) cña hµm sè.3. Qua ®iÓm M(2; 2) cã thÓ vÏ ®îc mÊy ®êng th¼ng kh«ng c¾t ®å thÞ (D) cña

hµm sè?Bµi 39. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3.

1. Chøng minh ®êng th¼ng y = 2x - 6 tiÕp xóc víi (P).2. Gi¶i b»ng ®å thÞ bÊt phong tr×nh: x2 - 4x + 3 > 2x - 4.

Bµi 40. Cho parabol (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m ≠ 0.1. VÏ (P).2. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) ®i qua hai ®iÓm M, I.3. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B

víi mäi m ≠ 0.4. Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh. Chøng minh r»ng tam gi¸c

IHK lµ tam gi¸c vu«ng.5. Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n AB > 4 víi mäi m ≠ 0.

Bµi 41. Trong mÆt ph¼ng täa ®é vu«ng gãc Oxy, cho parbol (P): vµ ®iÓm I(0; -2). Gäi (D) lµ ®êng th¼ng ®i qua I vµ cã hÖ sè gãc m.

1. VÏ ®å thÞ (P).2. Chøng tá r»ng víi mäi m, (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.

T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AB.3. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× AB ng¾n nhÊt? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.

Bµi 42. Cho hµm sè y = 2x2 cã ®å thÞ (P).1. VÏ ®å thÞ (P).2. T×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M qua ®ã cã thÓ vÏ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng gãc

víi nhau vµ cïng tiÕp xóc víi (P).Bµi 43. Trong cïng hÖ trôc täa ®é, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng (D):

y = kx + b.

Lª Thanh TÞnh 33


1. T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; -1).2. T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa t×m ®îc ë c©u 1).3. VÏ (D) vµ (P) võa t×m ®îc ë c©u 1) vµ 2).4. Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm vµ cã hÖ sè gãc m.

a. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng cña (d).b. Chøng tá r»ng qua ®iÓm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 2) vµ

vu«ng gãc víi nhau.Bµi 44. Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ (P) trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy.

1. VÏ (P).2. Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm n»m trªn (P) lÇn lît cã hoµnh ®é -1 vµ 2. Chøng minh

r»ng; tam gi¸c OAB vu«ng.3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P).4. Cho ®êng th¼ng (d): y = mx + 1 (víi m lµ tham sè).

a. Chøng minh r»ng; (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m.b. T×m m sao cho (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é x1, x2 tháa m·n:

. VÏ (d) víi m t×m ®îc.

Bµi 45. Cho hµm sè: .1. VÏ ®å thÞ cña hµm sè.2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y vµ çc gi¸ trÞ cña x t¬ng øng.3. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× y ≥ 4.

Bµi 46. Cho hµm sè: cã ®å thÞ (P).1. VÏ (P).2. ViÕt phong tr×nh çc ®êng tiÕp tuyÕn tõ ®iÓm A(2; - 2) ®Õn (P).3. T×m tËp hîp çc ®iÓm mµ qua ®ã cã hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc ®Õn (P).

Bµi 47. Cho hµm sè: y = 2x2 (P).1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè.2. T×m quü tÝch çc ®iÓm M sao cho qua M cã thÓ kÎ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng

gãc vµ cïng tiÕp xóc víi (P).Bµi 48. Trong cïng mÆt ph¼ng täa ®é cho parabol (P): y = - x2 + 4x - 3 vµ ®êng th¼ng (D); 2y + 4x - 17 = 0.

1. VÏ (P) vµ (D).2. T×m vÞ trÝ cña A thuéc (P) vµ B thuéc (D) sao cho ®é dµi ®o¹n AB ng¾n nhÊt.

Bµi 49. Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - 5. Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua A(3; 2) vµ cã hÖ sè gãc m.

1. Chøng tá r»ng víi mäi m, ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt B, C.

2. X¸c ®Þnh ®êng th¼ng (d) sao cho ®é dµi ®o¹n BC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.Bµi 50. Cho parabol (P): vµ ®êng th¼ng (d) cã phong tr×nh: .

1. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.2. Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N.

T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN.Bµi 51. Cho hai ®êng th¼ng (d1): y = (m2 + 2m)x vµ (d2): y = ax (a 0).

1. §Þnh a ®Ó (d2) ®i qua A(3; -1).2. T×m çc gi¸ trÞ m ®Ó cho (d1) vu«ng gãc víi (d2) ë c©u 1).

Bµi 52. Cho hµm sè: y = ax + b.

Lª Thanh TÞnh 34


1. T×m a vµ b cho biÕt ®å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(- 1; 1) vµ N(2; 4). VÏ ®å thÞ (d1) cña hµm sè víi a, b t×m ®îc.

2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = (2m2 – m)x + m2 + m lµ mét ®êng th¼ng song song víi (d1). VÏ (d2) võa t×m ®îc.

3. Gäi A lµ ®iÓm trªn ®êng th¼ng (d1) cã hoµnh ®é x = 2. T×m phong tr×nh ®êng th¼ng (d3) ®i qua A vu«ng gãc víi c¶ hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2). TÝnh kho¶ng çch gi÷a (d1) vµ (d2).

Bµi 53. Cho hµm sè: y = mx - 2m - 1 (1) (m 0).1. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua gèc täa ®é O. VÏ ®å thÞ (d1) võa t×m ®-

îc.2. TÝnh theo m täa ®é çc giao ®iÓm A, B cña ®å thÞ hµm sè (1) lÇn lît víi çc trôc

Ox vµ Oy. X¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c AOB cã diÖn tÝch b»ng 2 (®.v.d.t).3. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (1) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi m

thay ®æi.Bµi 54. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0).

1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua ®iÓm M(1; 2). Kh¶o s¸t vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc.2. T×m phong tr×nh ®êng th¼ng AB råi t×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng nµy víi

(P) (ë c©u 1).3. Gäi C lµ giao ®iÓm cã hoµnh ®é d¬ng. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng qua C vµ

cã víi (P) mét ®iÓm chung duy nhÊt.Bµi 55.

1. Cho parabol (P): y = ax2; cho biÕt A(1; -1) (P). X¸c ®Þnh a vµ vÏ (P) víi a t×m ®-îc.

2. BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng (d): y = 2mx - m + 2.3. Chøng tá r»ng, thuéc (d) víi mäi m. T×m phong tr×nh çc ®êng th¼ng ®i

qua I vµ cã víi (P) ®iÓm chung duy nhÊt.Bµi 56.

1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè vµ ®êng th¼ng (d): .2. Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P).3. BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d’): y = x - m b»ng hai çch (®å thÞ vµ phÐp

to¸n).Bµi 57. Cho parabol (P): vµ ®êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A vµ B thuéc (P) cã

hoµnh ®é lÇn lît lµ 2 vµ - 4.1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P).2. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (d).3. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) sao cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt.4. T×m trªn trôc Ox ®iÓm N sao cho NA + NB nhá nhÊt.

Bµi 58. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5). 1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng AB. X¸c ®Þnh a ®Ó ®êng th¼ng AB tiÕp xóc víi

(P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm.2. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) víi a võa t×m ®îc.3. Mét ®êng th¼ng (D) di ®éng lu«n lu«n vu«ng gãc víi AB vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm

M vµ N. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña (D) ®Ó .Bµi 59. Cho hµm sè: y = x2 - 2x + m - 1 cã ®å thÞ (P).

1. VÏ ®å thÞ (P) khi m = 1.2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh.

Lª Thanh TÞnh 35


3. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè c¾t ®êng th¼ng (d) cã phong tr×nh: y = x + 1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.

Bµi 60. Cho ®êng th¼ng (D1): y = mx - 3.(D2): y = 2mx + 1 - m.

1. VÏ trªn cïng mÆt ph¼ng täa ®é Oxy çc ®êng th¼ng (D1) vµ (D2) øng víi m = 1. T×m täa ®é giao ®iÓm B cña chóng. Qua O viÕt phong tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (D1) t¹i A. X¸c ®Þnh A vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB.

2. Chøng tá r»ng çc ®êng th¼ng (D1) vµ (D2) ®Òu ®i qua nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh. T×m täa ®é cña ®iÓm cè ®Þnh.

Bµi 61. Cho hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã phong tr×nh:(d1): vµ (d2): .

1. Chøng minh r»ng (d1) vµ (d2) ®i qua çc ®iÓm cè ®Þnh. T×m täa ®é ®iÓm cè ®Þnh.

2. ViÕt phong tr×nh çc ®êng th¼ng (d1) vµ (d2); cho biÕt (d1) th¼ng gãc víi (d2).3. ViÕt phong tr×nh çc ®êng th¼ng (d1) vµ (d2); cho biÕt (d1) song song víi (d2).

Bµi 62. Cho parabol (P): .1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm A trªn trôc hoµnh

cã hoµnh ®é lµ 1, ®êng th¼ng nµy gäi lµ (D).2. BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (P) vµ (D).3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm.4. Trong trêng hîp (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung

®iÓm I cña AB.5. T×m trªn (P) çc ®iÓm mµ ®êng th¼ng (D) kh«ng ®i qua víi mäi m.

Bµi 63. Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 vµ ®iÓm A(2; 1). Gäi (D) lµ ®êng th¼ng ®i qua A vµ cã hÖ sè gãc m.

1. Chøng minh r»ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N.2. X¸c ®Þnh m ®Ó MN ng¾n nhÊt.

Bµi 64. Cho hµm sè: y = x2 - 2mx + m2 - 1 cã ®å thÞ lµ (P).1. Chøng minh r»ng; víi mäi m, ®å thÞ (P) lu«n lu«n c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm

ph©n biÖt.2. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi, ®Ønh cña parabol lu«n lu«n ch¹y trªn mét ®-

êng th¼ng song song víi trôc hoµnh.

Çc d¹ng bµi «n tËp vµo líp 10 ( Su tËp )

PhÇn 1: Çc lo¹i bµi tËp vÒ biÓu thøc Bµi 1: Cho biÓu thøc :

a) Rót gän Pb) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P<1

Bµi 2: Cho biÓu thøc: P=

Lª Thanh TÞnh 36

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) Rót gän P

b)T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P<0


a) Rót gän Pb) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P=

Bµi 4: Cho biÓu thøc : P=

a) Rót gän Pb) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P<1c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu

Bµi 5: Cho biÓu thøc;

P=

a) Rót gän Pb) XÐt dÊu cña biÓu thøc M=a.(P- )


a) Rót gän Pb) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x


a) Rót gän Pb) T×m x ®Ó P 0


P=

a) Rót gän Pb) XÐt dÊu cña biÓu thøc P.


a. Rót gän P

Lª Thanh TÞnh 37


b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c. TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt cña a ®Ó P > a


a) Rót gän Pb) T×m a ®Ó P<


a) Rót gän Pb) T×m x ®Ó P<c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P


a) Rót gän Pb) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P<1


a) Rót gän Pb) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P=

c) Chøng minh P

Bµi 14: Cho biÓu thøc: P= víi m>0a) Rót gän Pb) TÝnh x theo m ®Ó P=0.c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x>1


a) Rót gän Pb) BiÕt a>1 H·y so s¸nh víi c) T×m a ®Ó P=2d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P

Bµi 16: Cho biÓu thøc

Lª Thanh TÞnh 38


P= a) Rót gän Pb) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a= vµ b=c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu


a) Rót gän Pb) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P=7c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P>6


a) Rót gän Pb) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P<0c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P=-2


a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa.b) Rót gän Pc) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a= vµ b=

Bµi 20: Cho biÓu thøc : P=a) Rót gän Pb) Chøng minh r»ng P>0 x


a) Rót gän Pb) TÝnh khi x=


P=

a) Rót gän Pb) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P=20

Bµi 23: Cho biÓu thøc :

Lª Thanh TÞnh 39


P=a) Rót gän Pb) Chøng minh P

Bµi 24: Cho biÓu thøc : P=a) Rót gän Pb) TÝnh P khi a=16 vµ b=4


a) Rót gän Pb) Cho P= t×m gi¸ trÞ cña a

c) Chøng minh r»ng P>


a) Rót gän Pb) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P<1


a) Rót gän Pb) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn

Bµi 28: Cho biÓu thøc: P=a) Rót gän Pb) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P>

Bµi 29: Cho biÓu thøc: P=a) Rót gän Pb) Cho x.y=16. X¸c ®Þnh x,y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt


Lª Thanh TÞnh 40

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 a) Rót gän Pb) T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn d¬ng x ®Ó y=625 vµ P<0,2

PhÇn 2: Çc bµi tËp vÒ hÖ ph ¬ng tr×nh bËc 2: Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt

Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn )

a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm .T×m nghiÖm cßn l¹i b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm ph©n biÖt c) TÝnh theo m

Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn )a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm tr¸i dÊu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi mc) Chøng minh biÓu thøc M= kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 34: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : a) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu

Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh :

a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi ab) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 .T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

Bµi 36: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc:

CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm

Bµi 37:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung:

Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh : a) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖtb) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph-

¬ng tr×nh

Lª Thanh TÞnh 41


Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m :

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

Bµi 40: Cho ph¬ng tr×nh

a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi mb) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cung dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu

g× ?

Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh (víi m lµ tham sè )

a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nhb) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ ; h·y t×m mét hÖ

thøc liªn hÖ gi÷a mµ kh«ng phô thuéc vµo mc) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

Bµi 42: Cho ph¬ng tr×nh víi m lµ tham sèa) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m dÓ ph¬ng tr×nh cã tÝch hai nghiÖm b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh

tæng hai nghiªm cña ph¬ng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo md) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc:

Bµi 43: A) Cho ph¬ng tr×nh : (m lµ tham sè)a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu

cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt

Chøng minh T×m m ®Ó A=8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng

c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia B) Cho ph¬ng tr×nh a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm víi mäi m. b) §Æt A=

CMR A= T×m m sao cho A=27

c)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia.

Lª Thanh TÞnh 42

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 44: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt .§Æt (n nguyªn d¬ng)a) CMR b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A=

Bµi 45: Cho f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi mb) §Æt x=t+2 .TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) =

0 cã 2 nghiÖm lín h¬n 2 Bµi 46: Cho ph¬ng tr×nh : a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖmb) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ngc) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng

nhau vµ tr¸i dÊu nhau d) Gäi lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh . TÝnh theo m

Bµi 47: Cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh

, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

Bµi 48: Cho ph¬ng tr×nh

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m= b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) Gäi lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó :

Bµi 49: Cho ph¬ng tr×nh (1) (n , m lµ tham sè)

Cho n=0 . CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m T×m m vµ n ®Ó hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n hÖ :

Bµi 50: Cho ph¬ng tr×nh: ( k lµ tham sè)a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña kb) Gäi lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho

Bµi 51: Cho ph¬ng tr×nh (1)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m=1Lª Thanh TÞnh 43


b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k×c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng m

Bµi 52:Cho ph¬ng tr×nh :

a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi mb) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n

PhÇn 3: HÖ ph ¬ng tr×nh:

Bµi53: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ; Cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y nhá nhÊt

Bµi 54: Gi¶i hÖ ph¬nh tr×nh vµ minh ho¹ b»mg ®å thÞ

a) b) c)

Bµi 55: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : a)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi b)X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm : * (1;-2) * ( ) *§Ó hÖ cã v« sè nghiÖm

Bµi 56:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m:

Bµi 57: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh :

a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt b) V« nghiÖm

Bµi 58 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:

Bµi 59*: T×m m sao cho hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: Bµi 60 :Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh:

Lª Thanh TÞnh 44

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 61*: Cho a vµ b tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : .TÝnh

Bµi 61:Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

a) Gi¶i hÖ ph¬ng r×nh khi a=-b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y>0

PhÇn 4: Hµm sè vµ ®å thÞ Bµi 62: Cho hµm sè :

y= (m-2)x+n (d) T×m gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®å thÞ (d) cña hµm sè :

a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4)b) C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cãtung ®é b»ng 1- vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã

hoµnh ®é b»ng 2+ .c) C¾t ®êng th¼ng -2y+x-3=0d) Song song vèi ®êng th¼ng 3x+2y=1

Bµi 63: Cho hµm sè : (P)a) VÏ ®å thÞ (P)b) T×m trªn ®å thÞ çc ®iÓm çch ®Òu hai trôc to¹ ®é c) XÐt sè giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng (d) theo md) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') ®i qua ®iÓm M(0;-2) vµ tiÕp xóc víi (P)

Bµi 64 : Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) 1.X¸c ®Þnh m ®Ó hai ®êng ®ã :

a) TiÕp xóc nhau . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm b) C¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B , mét ®iÓm cã hoµnh ®é x=-1.

T×m hoµnh ®é ®iÓm cßn l¹i . T×m to¹ ®é A vµ B 2.Trong trêng hîp tæng qu¸t , gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n MN theo m vµ t×m quü tÝch cña ®iÓm I khi m thay ®æi.

Bµi 65: Cho ®êng th¼ng (d) a) T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ Bb) T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n AB theo mc) T×m m ®Ó (d) çch gèc to¹ ®é mét kho¶ng Maxd) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ (d) ®i qua khi m thay ®æi

Bµi 66: Cho (P) a) T×m tËp hîp çc ®iÓm M sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng

gãc víi nhau vµ tiÕp xóc víi (P)b) T×m trªn (P) çc ®iÓm sao cho kho¶ng çch tíi gèc to¹ ®é b»ng

Bµi 67: Cho ®êng th¼ng (d) a) VÏ (d)b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®îc t¹o thµnh gi÷a (d) vµ hai trôc to¹ ®é

Lª Thanh TÞnh 45


c) TÝnh kho¶ng çch tõ gèc O ®Õn (d)

Bµi 68: Cho hµm sè (d)a) NhËn xÐt d¹ng cña ®å thÞ. VÏ ®å thÞ (d)b) Dïng ®å thÞ , biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Bµi 69: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ®êng th¼ng : (d) (d')

a) Song song víi nhaub) C¾t nhau c) Vu«ng gãc víi nhau

Bµi 70: T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ba ®êng th¼ng :

®ång quy t¹i mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é

Bµi 71: CMR khi m thay ®æi th× (d) 2x+(m-1)y=1 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh

Bµi 72: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) y=a.x+b .X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®I qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).

Bµi 73: Cho hµm sè a) VÏ ®å thÞ hµn sè trªnb) Dïng ®å thÞ c©u a biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Bµi 74: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) y=2x+ma) VÏ (P)b) T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d)

Bµi 75: Cho (P) vµ (d) y=x+ma) VÏ (P)b) X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ Bc) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') song song víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t (P)

t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4d) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm

cña (d') vµ (P)

Bµi 76: Cho hµm sè (P) vµ hµm sè y=x+m (d)a) T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ Bb) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P)c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. ¸p dông: T×m m sao

cho kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng

Bµi 77: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng ( ) y=-2(x+1)a) §iÓm A cã thuéc ( ) ? V× sao ?b) T×m a ®Ó hµm sè (P) ®i qua A

Lª Thanh TÞnh 46

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 c) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( )d) Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( ) víi trôc tung . T×m

to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC

Bµi 78: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇm lît lµ -2 vµ 4

a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªnb) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) c) T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é sao cho tam gi¸c

MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. (Gîi ý: cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é cã nghÜa lµ A(-2; ) vµ B(4;

) tÝnh )

Bµi 79: Cho (P) vµ ®iÓm M (1;-2)a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ mb) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi c) Gäi lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ

nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ ®ãd) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø

gi¸c AA'B'B. *TÝnh S theo m *X¸c ®Þnh m ®Ó S=

Bµi 80: Cho hµm sè (P)a) VÏ (P)b) Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph¬ng tr×nh

®êng th¼ng ABc) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)

Bµi 81: Trong hÖ to¹ ®é xoy cho Parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d)

a) VÏ (P)b) T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm c) Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh

Bµi 82: Cho (P) vµ ®iÓm I(0;-2) .Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m.

a) VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt

Bµi 83: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ) cã hÖ sè gãc lµ ma) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt

Lª Thanh TÞnh 47


Bµi 84: Cho (P) vµ ®êng th¼ng (d) a) VÏ (P) vµ (d) b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) c) T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song

song víi (d)

Bµi 85: Cho (P) a) VÏ (P) b) Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2 . ViÕt ph¬ng tr×nh

®êng th¼ng AB c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)

Bµi 86: Cho (P) a) VÏ (P) b) Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x=1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x=2 . X¸c ®Þnh

çc gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®êng th¼ng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB

Bµi 87: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn (P)

PhÇn 5: Gi¶i to¸n b»ng çch lËp ph ¬ng tr×nh 1. chuyÓn ®éng

Bµi 88: Hai tØnh A vµ B çch nhau 180 km . Cïng mét lóc , mét «t« ®i tõ A ®Õn B vµ mét xe m¸y ®i tõ B vÒ A . Hai xe gÆp nhau t¹i thÞ trÊn C . Tõ C ®Õn B «t« ®i hÕt 2 giê , cßn tõ C vÒ A xe m¸y ®i hÕt 4 giê 30 phót . TÝnh vËn tèc cña mçi xe biÕt r»ng trªn ®êng AB hai xe ®Òu ch¹y víi vËn tèc kh«ng ®æi

Bµi 89: Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B råi l¹i ngîc dßng tõ bÕn B vÒ bÕn A mÊt tÊt c¶ 4 giê . TÝnh vËn tèc cña ca n« khi níc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ 4 km/h.

Bµi 90: Mét ca n« xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B víi vËn tèc 30 km/h , sau ®ã l¹i ngù¬c tõ B trë vÒ A .Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc 1 giê 20 phót . TÝnh kho¶ng çch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h

Bµi 91: Mét ngêi chuyÓn ®éng ®Òu trªn mét qu·ng ®êng gåm mét ®o¹n ®êng b»ng vµ mét ®o¹n ®êng dèc . VËn tèc trªn ®o¹n ®êng b»ng vµ trªn ®o¹n ®êng dèc t¬ng øng lµ 40 km/h vµ 20 km/h . BiÕt r»ng ®o¹n ®êng dèc ng¾n h¬n ®o¹n ®êng b»ng lµ 110km vµ thêi gian ®Ó ngêi ®ã ®i c¶ qu·ng ®êng lµ 3 giê 30 phót . TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®êng ngêi ®ã ®· ®i.

Bµi 92: Mét xe t¶i vµ mét xe con cïng khëi hµnh tõ A ®Õn B . Xe t¶I ®i víi vËn tèc 30 Km/h , xe con ®i víi vËn tèc 45 Km/h. Sau khi ®i ®îc qu·ng ®êng AB , xe con t¨ng vËn tèc thªm 5 Km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i . TÝnh qu·ng ®êng AB biÕt r»ng xe con ®Õn B sím h¬n xe t¶i 2giê 20 phót.

Lª Thanh TÞnh 48

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 93: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B çch nhau 33 Km víi mét vËn tèc x¸c ®Þnh . Khi tõ B vÒ A ngêi ®ã ®i b»ng con ®êng kh¸c dµi h¬n tríc 29 Km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i , biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 1 giê 30 phót.

Bµi 94:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B çch nhau 85 Km ®i ngîc chiÒu nhau . Sau 1h40’ th× gÆp nhau . TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc 9Km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 Km/h.

Bµi 95: Hai ®Þa ®iÓm A,B çch nhau 56 Km . Lóc 6h45phót mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A víi vËn tèc 10 Km/h . Sau ®ã 2 giê mét ngêi ®i xe ®¹p tõ B ®Õn A víi vËn tèc 14 Km/h . Hái ®Õn mÊy giê hä gÆp nhau vµ chç gÆp nhau çch A bao nhiªu Km ?

Bµi 96: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 15 Km/h . Sau ®ã mét thêi gian, mét ngêi ®i xe m¸y còng xuÊt ph¸t tõ A víi vËn tèc 30 Km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× sÏ ®uæi kÞp ngêi ®i xe m¸y t¹i B . Nhng sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng AB , ngêi ®i xe ®¹p gi¶m bít vËn tèc 3 Km/h nªn hai ngßi gÆp nhau t¹i C çch B 10 Km . TÝnh qu·ng ®êng AB

Bµi 97: Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh lµ 30 Km/h . Khi ®Õn B ngêi ®ã nghØ 20 phót råi quay trë vÒ A víi vËn tèc trung b×nh lµ 24 Km/h . TÝnh qu·ng ®êng AB biÕt r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ 5 giê 50 phót. Bµi 98: Mét ca n« xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B víi vËn tèc trung b×nh 30 Km/h , sau ®ã ngîc tõ B vÒ A . Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40 phót . TÝnh kho¶ng çch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 3 Km/h vµ vËn tèc riªng cña ca n« lµ kh«ng ®æi .

Bµi 99: Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vvËn tèc trung b×nh lµ 40 Km/h . Lóc ®Çu « t« ®i víi vËn tèc ®ã , khi cßn 60 Km n÷a th× ®îc mét nöa qu·ng ®-êng AB , ngêi l¸i xe t¨ng vËn tèc thªm 10 Km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i . Do ®ã « t« ®Õn tØnh B sím h¬n 1 giê so víi dù ®Þnh . TÝnh qu·ng ®êng AB.

Bµi 100: Hai ca n« khëi hµnh cïng mét lóc vµ ch¹y tõ bÕn A ®Õn bÕn B . Ca n« I ch¹y víi vËn tèc 20 Km/h , ca n« II ch¹y víi vËn tèc 24 Km/h . Trªn ®êng ®i ca n« II dõng l¹i 40 phót , sau ®ã tiÕp tôc ch¹y . TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®êng s«ng AB biÕt r»ng hai ca n« ®Õn B cïng mét lóc . Bµi 101: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B çch nhau 50 Km . Sau ®ã 1 giê 30 phót , mét ngêi ®i xe m¸y còng ®i tõ A vµ ®Õn B sím h¬n 1 giê . TÝnh vËn tèc cña mçi xe , biÕt r»ng vËn tèc cña xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc xe ®¹p.

Bµi 102: Mét ca n« ch¹y trªn s«ng trong 7 giê , xu«i dßng 108 Km vµ ngîc dßng 63 Km. Mét lÇn kh¸c , ca n« ®ã còng ch¹y trong 7 giê, xu«i dßng 81 Km vµ ngîc dßng 84 Km . TÝnh vËn tèc dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng ( thùc ) cña ca n«.

Bµi103: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót . TÝnh vËn tèc cña tÇu khi níc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 4 Km/h.

Bµi 104: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn s«ng A . Sau ®ã 5 giê 20 phót mét chiÕc ca n« ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm çch bÕn A 20 Km. Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h.

Lª Thanh TÞnh 49


Bµi 105: Mét «t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®· ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu·ng ®êng dµi 120 Km trong mét thêi gian ®· ®Þnh . §i ®îc mét nöa qu·ng ®êng xe nghØ 3 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê , xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 2 Km/h trªn nöa qu·ng ®êng cßn l¹i . TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®êng .

Bµi 106: Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ðn B çch nhau 120 Km trong mét thêi gian quy ®Þnh . Sau khi ®i ®îc 1 giê «t« bÞ ch¾n ®êng bëi xe ho¶ 10 phót . Do ®ã , ®Ó ®Õn B ®óng h¹n , xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t«.

Bµi107: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian ®· ®Þnh . Khi cßn çch B 30 Km , ngêi ®ã nhËn thÊy r»ng sÏ ®Õn B chËm nöa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®ang ®i , nhng nÕu t¨ng vËn tèc thªm 5 Km/h th× sÏ tíi ®Ých sím h¬n nöa giê .TÝnh vËn tèc cña xe ®¹p tren qu·ng ®êng ®· ®i lóc ®Çu.

2. N¨ng xuÊt Bµi 108: Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm mét c«ng viÖc th× lµm xong trong 4 giê . NÕu mçi ®éi lµm mét m×nh ®Ó lµm xong c«ng viÖc Êy , th× ®éi thø nhÊt cÇn thêi gian Ýt h¬n so víi ®éi thø hai lµ 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh xong c«ng viÖc Êy trong bao l©u? Bµi 109: Mét xÝ nghiÖp ®ãng giÇy dù ®Þnh hoµn thµnh kÕ ho¹ch trong 26 ngµy . Nhng do c¶i tiÕn kü thuËt nªn mçi ngµy ®· vît møc 6000 ®«i giÇy do ®ã ch¼ng nh÷ng ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch ®· ®Þnh trong 24 ngµy mµ cßn vît møc 104 000 ®«i giÇy . TÝnh sè ®«i giÇy ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch.

Bµi 110: Mét c¬ së ®¸nh ç dù ®Þnh trung b×nh mçi tuÇn ®¸nh b¾t ®îc 20 tÊn ç , nhng ®· vît møc ®îc 6 tÊn mçi tuÇn nªn ch¼ng nh÷ng ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím 1 tuÇn mµ cßn vît møc kÕ ho¹ch 10 tÊn . TÝnh møc kÕ ho¹ch ®· ®Þnh Bµi 111: Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 36 tÊn hµng . Trøoc khi lµm viÖc ®éi xe ®ã ®-îc bæ xung thªm 3 xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n 1 tÊn so víi dù ®Þnh . Hái ®éi xe lóc ®Çu cã bao nhiªu xe ? BiÕt r»ng sè hµng chë trªn tÊt c¶ çc xe cã khèi lîng b»ng nhau. Bµi 112: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n . NÕu lµm chung trong 4 giê th× hoµn thµnh ®îc møc kho¸n . NÕu ®Ó mçi tæ lµm riªng th× tæ nµy sÏ lµm xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm trong bao l©u ?

Bµi 113: Hai tæ c«ng nh©n lµm chung trong 12 giê sÏ hoµn thµnh xong c«ng viÖc ®· ®Þnh . Hä lµm chung víi nhau trong 4 giê th× tæ thø nhÊt ®îc ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c , tæ thø hai lµm nèt c«ng viÖc cßn l¹i trong 10 giê . Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc.

Bµi 114: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ngêi thø hai lµm 6 giê th× hä lµm ®îc 25% c«ngviÖc . Hái mçi ngêi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong .

3. ThÓ tÝch Bµi 115: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét çi bÓ kh«ng chøa níc ®· lµm ®Çy bÓ trong 5 giê 50 phót . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bÓ ?

Lª Thanh TÞnh 50

Çc d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét çi bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt 1 giê 48 phót . NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ?

Bµi 117: Mét m¸y b¬m muèn b¬m ®Çy níc vµo mét bÓ chøa trong mét thêi gian quy ®Þnh th× mçi giê ph¶i b¬m ®îc 10 m3 . Sau khi b¬m ®îc thÓ tÝch bÓ chøa , m¸y b¬m ho¹t ®éng víi c«ng suÊt lín h¬n , mçi giê b¬m ®îc 15 m3 . Do vËy so víi quy ®Þnh , bÓ chøa ®îc b¬m ®Çy tríc 48 phót. TÝnh thÓ tÝch bÓ chøa.

Bµi 118: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét çi bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 1 giê 30 phót sÏ ®Çy bÓ . NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y tiÕp trong 20 phót th× sÏ ®îc bÓ . Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét çi bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ?

PhÇn 6 : H×nh häc Bµi120: Cho hai ®êng trßn t©m O vµ O’ cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi t¹i C . KÎ çc ®êng kÝnh COA vµ CO’B. Qua trung ®iÓm M cña AB , dùng DE AB.

a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i sao ?b) Nèi D víi C c¾t ®êng trßn t©m O’ t¹i F . CMR ba ®iÓm B , F , E th¼ng hµng c) Nèi D víi B c¾t ®êng trßn t©m O’ t¹i G . CMR EC ®i qua Gd) *XÐt vÞ trÝ cña MF ®èi víi ®êng trßn t©m O’ , vÞ trÝ cña AE víi ®êng trßn ngo¹i

tiÕp tø gi¸c MCFE

Bµi 121: Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh COD = 2R . Dùng Cx , Dy vu«ng gãc víi CD . Tõ ®iÓm E bÊt k× trªn nöa ®êng trßn , dùng tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn , c¾t Cx t¹i P , c¾t Dy t¹i Q.

a) Chøng minh POQ vu«ng ; POQ ®ång d¹ng víi CED b) TÝnh tÝch CP.DQ theo Rc) Khi PC= . CMR d) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh giíi h¹n bëi nöa ®êng trßn t©m O vµ h×nh thang vu«ng

CPQD khi chóng cïng quay theo mét chiÒu vµ trän mét vßng quanh CD

Bµi 122: Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AOB , COD vu«ng gãc víi nhau. LÊy ®iÓm E bÊt k× trªn OA , nèi CE c¾t ®êng trßn t¹i F . Qua F dùng tiÕp tuyÕn Fx víi ®êng trßn , qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA . Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey .

a) Chøng minh I,F,E,O cïng n»m trªn mét ®êng trßn.b) Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g× ? c) Khi E chuyÓn ®éng trªn AB th× I chuyÓn ®éng trªn ®êng nµo ?

Bµi 123: Cho ®êng trßn t©m O vµ mét ®iÓm A trªn ®êng trßn . Qua A dùng tiÕp tuyÕn Ax . Trªn Ax lÊy mét ®iÓm Q bÊt k× , dùng tiÕp tuyÕn QB .

a) CMR tø gi¸c QBOA néi tiÕp ®îc b) Gäi E lµ trung ®iÓm cña QO , t×m quü tÝch cña E khi Q chuyÓn ®éng trªn Ax.

Lª Thanh TÞnh 51


c) H¹ BK Ax , BK c¾t QO t¹i H . CMR tø gi¸c OBHA lµ h×nh thoi vµ suy ra quü tÝch cña ®iÓm H

Bµi 124: Cho ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O . Çc ®êng cao AD , BK c¾t nhau t¹i H , BK kÐo dµi c¾t ®êng trong t¹i F . VÏ ®êng kÝnh BOE .

a) Tø gi¸c AFEC lµ h×nh g× ? T¹i sao ?b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC , chøng minh H , I , E th¼ng hµng c) CMR OI = vµ H ; F ®èi xøng nhau qua AC

Bµi 125: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ) (víi R>R’ ) tiÕp xóc trong t¹i A . §êng nèi t©m c¾t ®-êng trßn O’ vµ ®êng trßn O t¹i B vµ C . Qua trung ®iÓm P cña BC dùng d©y MN vu«ng gãc víi BC . Nèi A víi M c¾t ®êng trßn O’ t¹i E . a) So s¸nh AMO víi NMC ( - ®äc lµ gãc) b) Chøng minh N , B , E th¼ng hµng vµ O’P = R ; OP = R’ c) XÐt vÞ trÝ cña PE víi ®êng trßn t©m O’

Bµi 126: Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB . LÊy B lµm t©m vÏ ®êng trßn b¸n kÝnh OB . §êng trßn nµy c¾t ®êng trßn O t¹i C vµ D

a) Tø gi¸c ODBC lµ h×nh g× ? T¹i sao ?b) CMR OC AD ; OD ACc) CMR trùc t©m cña tam gi¸c CDB n»m trªn ®êng trßn t©m B

Bµi 127: Cho ®êng trßn t©m O vµ mét ®êng th¼ng d c¾t ®êng trßn ®ã t¹i hai ®iÓm cè ®Þnh A vµ B . Tõ mét ®iÓm M bÊt k× trªn ®êng th¼ng d n»m ngoµi ®o¹n AB ngêi ta kÎ hai tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn lµ MP vµ MQ ( P, Q lµ çc tiÕp ®iÓm ) .

a) TÝnh çc gãc cña biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45 . b) Gäi I lµ trung ®iÓm AB . CMR 5 ®iÓm M , P , Q , O , I cïng n»m trªn mét ®êng

trßn .c) T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp MPQ khi M ch¹y trªn d

Bµi 128: Cho ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O , tia ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i M .

a) CMR OM BC b) Dùng tia ph©n gi¸c ngoµi Ax cña gãc A . CMR Ax ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh c) KÐo dµi Ax c¾t CB kÐo dµi t¹i F . CMR FB . EC = FC . EB

( Híng dÉn : ¸p dông tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c )

Bµi 129: Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), mét cung trßn BC n»m trong ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC t¹i B vµ C . Trªn cung BC lÊy ®iÓm M råi h¹ çc ®êng vu«ng gãc MI , MH , MK xuèng çc c¹nh t¬ng øng BC , CA , AB . Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB , IK vµ Q lµ giao ®iÓm cña MC , IH.

a) CMR çc tø gi¸c BIMK , CIMH néi tiÕp ®îc b) CMR tia ®èi cña tia MI lµ ph©n gi¸c HMKc) CMR tø gi¸c MPIQ néi tiÕp ®îc . Suy ra PQ BC

Bµi 130: Cho ABC ( AC > AB ; > 900 ) . I , K theo thø tù lµ çc trung ®iÓm cña AB , AC . Çc ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai D ; tia BA c¾t ®êng trßn (K) t¹i ®iÓm thø hai E ; tia CA c¾t ®êng trßn (I) t¹i ®iÓm thø hai F.

a) CMR ba ®iÓm B , C , D th¼ng hµng b) CMR tø gi¸c BFEC néi tiÕp ®îc

Lª Thanh TÞnh 52


c) Chøng minh ba ®êng th¼ng AD , BF , CE ®ång quyd) Gäi H lµ giao ®iÓm thø hai cña tia DF víi ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF . H·y so s¸nh

®é dµi çc ®o¹n th¼ng DH , DE . Bµi 131: Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A víi OA = , mét ®êng th¼ng (d) quay quanh A c¾t (O) t¹i M , N ; gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN .

a) CMR OI MN. Suy ra I di chuyÓn trªn mét cung trßn cè ®Þnh víi hai ®iÓm giíi h¹n B , C thuéc (O)

b) TÝnh theo R ®é dµi AB , AC . Suy ra A , O , B , C lµ bèn ®Ønh cña h×nh vu«ngc) TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi ®o¹n AB , AC vµ cung nhá BC

cña (O) Bµi132: Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R , C lµ trung ®iÓm cña cung AB . Trªn cung AC lÊy ®iÓm F bÊt k× . Trªn d©y BF lÊy ®iÓm E sao cho BE = AF.

a) AFC vµ BEC cã quan hÖ víi nhau nh thÕ nµo ? T¹i sao ?b) CMR FEC vu«ng c©nc) Gäi D lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AC víi tiÕp tuyÕn t¹i B cña nöa ®êng trßn .

CMR tø gi¸c BECD néi tiÕp ®îc

Bµi133: Cho ®êng trßn (O;R) vµ hai ®êng kÝnh AB , CD vu«ng gãc víi nhau . E lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá BD ( ) . EC c¾t AB ë M , EA c¾t CD ë N.

a) CMR AMC ®ång d¹ng ANC . b) CMR : AM.CN = 2R2 c) Gi¶ sö AM=3MB . TÝnh tØ sè Bµi 134: Mét ®iÓm M n»m trªn ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB . Gäi H , I lÇn lît lµ hai ®iÓm chÝnh gi÷a çc cungAM , MB ; gäi Q lµ trung ®iÓm cña d©y MB , K lµ giao ®iÓm cña AM , HI.a) TÝnh ®é lín gãc HKMb) VÏ IP AM t¹i P , CMR IP tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) c) Dùng h×nh b×nh hµnh APQR . T×m tËp hîp çc ®iÓm R khi M di ®éng trªn nöa ®-

êng trßn (O) ®êng kÝnh AB

Bµi 135: Gäi O lµ trung ®iÓm c¹nh BC cña ABC ®Òu . VÏ gãc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy c¾t c¹nh AB , AC lÇn lît t¹i M, N . a) CMR OBM ®ång d¹ng NCO , tõ ®ã suy ra BC2 = 4 BM.CN . b) CMR : MO, NO theo thø tù lµ tia ph©n gi¸c çc gãc BMN, MNC . c) CMR ®êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh , khi gãc xOy quay xung quanh O sao cho çc tia Ox,Oy vÉn c¾t çc c¹nh AB, AC cña tam gi¸c ®Òu ABC

Bµi136: Cho M lµ ®iÓm bÊt k× trªn nöa ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB=2R (). VÏ çc tiÕp tuyÕn Ax , By , Mz cña nöa ®êng trßn ®ã . §êng Mz c¾t Ax , By

lÇn lît t¹i N vµ P . §êng th¼ng AM c¾t By t¹i C vµ ®êng th¼ng BM c¾t Ax t¹i D . Chøng minh : a) Tø gi¸c AOMN néi tiÕp ®êng trßn vµ NP = AN + BP b) N vµ P lÇn lît lµ trung ®iÓm çc ®o¹n th¼ng AD vµ BC c) AD.BC = 4R2

d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó t gi¸c ABCD cã diÖn tÝch nhá nhÊt

Bµi 137: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng t©m (O) vµ I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB (cung AB kh«ng chøa C vµ D ). D©y ID , IC c¾t AB lÇn lît t¹i M vµ N .

a) CMR tø gi¸c DMNC néi tiÕp trong ®êng trßn b) IC vµ AD c¾t nhau t¹i E ; ID vµ BC c¾t nhau t¹i F . CMR EF // AB

Lª Thanh TÞnh 53


Bµi 138: Cho ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AC . Trªn ®o¹n OC lÊy ®iÓm B ( ) vµ vÏ ®êng trßn t©m (O’) ®êng kÝnh BC . Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB . Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB , DC c¾t ®êng trßn (O’) t¹i I .

a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i sao ?b) Chøng minh ba ®iÓm I , B , E th¼ng hµngc) CMR: MI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O’) vµ MI2 = MB.MC

(Líp10- bé ®Ò to¸n)

Bµi 139: Cho ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn mét nöa ®êng trßn . Ngêi ta vÏ mét ®êng trßn t©m (E) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i M vµ tiÕp xóc víi ®êng kÝnh AB t¹i N . §êng trßn nµy c¾t MA , MB lÇn lît t¹i çc ®iÓm thø hai C , Da) Chøng minh : CD // AB .b) Chøng minh MN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMB vµ ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét

®iÓm K cè ®Þnh.c) CMR : KM.KN kh«ng ®æi

Bµi 140: Cho mét ®êng trßn ®êng kÝnh AB , çc ®iÓm C , D ë trªn ®êng trßn sao cho C , D kh«ng n»m trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB ®ång thêi AD > AC. Gäi çc ®iÓm chÝnh gi÷a çc cung AC , AD lÇn lît lµ M , N ; giao ®iÓm cña MN víi AC , AD lÇn lît lµ H , I ; giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K

a) CMR: c©nb) CMR tø gi¸c MCKH néi tiÕp ®îc . Suy ra KH // ADc) So s¸nh gãc CAK víi gãc DAK

Bµi 141: Cho ba ®iÓm A , B , C trªn mét ®êng th¼ng theo thø tù Êy vµ ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi AC t¹i A . VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh BC vµ trªn ®ã lÊy ®iÓm M bÊt k× . Tia CM c¾t ®êng th¼ng d t¹i D ; tia AM c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai N ; tia DB c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai P.

a) CMR tø gi¸c ABMD néi tiÕp ®îc b) CMR : CM.CD kh«ng phô thuéc vÞ trÝ cña M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g× ? T¹i sao ?d) Chøng minh träng t©m G cña tam gi¸c MAC ch¹y trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh khi

M di ®éng.

Bµi 142: Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB . Mét ®iÓm M n»m trªn cung AB ; gäi H lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM . Tia BH c¾t AM t¹i mét ®iÓm I vµ c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm K . Çc tia AH ; BM c¾t nhau t¹i S .

a) Tam gi¸c BAS lµ tam gi¸c g× ? T¹i sao ? Suy ra ®iÓm S n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh .

b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ tong ®èi cña ®êng th¼ng KS víi ®êng trßn (B;BA)c) §êng trßn ®i qua B , I , S c¾t ®êng trßn (B;BA) t¹i mét ®iÓm N . CMR ®êng

th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung AB.d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M sao cho .

Bµi 143: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong mét ®êng trßn vµ P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB kh«ng chøa C vµ D . Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F . Çc d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I ; çc d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K . CMR:

a) Gãc CID b»ng gãc CKDb) Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®îc c) IK // AB

Lª Thanh TÞnh 54


d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AFD tiÕp xóc víi PA t¹i A

Bµi 144: Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) tiÕp xóc ngoµi víi nhau t¹i A , kÎ tiÕp tuyÕn chung Ax. Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi (O1) , (O2) lÇn lît t¹i çc ®iÓm B , C vµ c¾t Ax t¹i ®iÓm M . KÎ çc ®êng kÝnh BO1D vµ CO2E.

a) CMR: M lµ trung ®iÓm cña BCb) CMR: O1MO2 vu«ngc) Chøng minh B , A , E th¼ng hµng ; C , A , D th¼ng hµngd) Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE . CMR ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c IO1O2 tiÕp xóc

víi ®êng th¼ng d

Bµi 145: Cho (O;R) trªn ®ã cã mét d©y AB = R cè ®Þnh vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn cung lín AB sao cho tam gi¸c MAB cã ba gãc nhän . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB ; P , Q lÇn lît lµ çc giao ®iÓm thø hai cña çc ®êng th¼ng AH , BH víi ®êng trßn (O) ; S lµ giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng PB , QA.

a) CMR : PQ lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O) b) Tø gi¸c AMBS lµ h×nh g× ? T¹i sao ?c) Chøng minh ®é dµi SH kh«ng ®æi d) Gäi I lµ giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng SH , PQ . Chøng minh I ch¹y trªn mét ®-

êng trßn cè ®Þnh.

Bµi 146: Cho ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB , kÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ trªn ®ã lÊy ®iÓm P sao cho AP > R . KÎ tiÕp tuyÕn PM (M lµ tiÕp ®iÓm ) .

a) CMR : BM // OPb) §êngth¼ng vu«ng gãcvíi AB t¹i O c¾t tia BM t¹i N . Tø gi¸c OBNP lµ h×nh g× ? T¹i

sao ?c) Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN víi OP ; I lµ giao ®iÓm cña ON víi PM ; J lµ giao ®iÓm

cña PN víi OM . CMR : K , I , J th¼ng hµng d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P sao cho K n»m trªn ®êng trßn (O)

Bµi 147: Cho ®êng trßn (O;R) , hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc nhau . Trong ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M ( kh¸c ®iÓm O ) , ®êng th¼ng CM c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai N . §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N víi ®êng trßn (O) ë ®iÓm P .

a) CMR tø gi¸c OMNP néi tiÕp ®îc b) Tø gi¸c CMPO lµ h×nh g× ? T¹i sao ?c) CMR : CM.CN kh«ng ®æi d) CMR : khi M di ®éng trªn ®o¹n AB th× P ch¹y trªn mét®êng th¼ng cè ®Þnh

Bµi 148: Cho hai ®êng trßn (O) , (O’) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B . Çc ®êng th¼ng AO , AO’ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i çc ®iÓm thø hai C , D vµ c¾t ®êng trßn (O’) lÇn lît t¹i çc ®iÓm thø hai E , F .

a) CMR: B , F , C th¼ng hµng b) Tø gi¸c CDEF néi tiÕp ®îc c) Chøng minh A lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BDEd) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó DE lµ tiÕp tuyÕn chung cña çc ®êng trßn (O) , (O’)

Bµi 149: Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R vµ mét ®iÓm M bÊt kú trªn nöa ®-êng trßn ( M kh¸c A vµ B ) . §êng th¼ng d tiÕp xóc víi nöa ®êng trßn t¹i M vµ c¾t ®êng trung trùc cña ®o¹n AB t¹i I . §êng trßn (I) tiÕp xóc víi AB c¾t ®êng th¼ng d t¹i C vµ D ( D n»m trong gãc BOM ).

a) CMR çc tia OC , OD lµ çc tia ph©n gi¸c cña çc gãc AOM , BOM.Lª Thanh TÞnh 55


b) CMR : CA vµ DB vu«ng gãc víi ABc) CMR : ®ång d¹ng d) CMR : AC.BD = R2

Bµi 150: Cho ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm M bÊt kú trªn ®êng trßn . Gäi çc ®iÓm chÝnh gi÷a cña çc cung AM , MB lÇn lît lµ H , I . C·c d©y AM vµ HI c¾t nhau t¹i K .

a) Chøng minh gãc HKM cã ®é lín kh«ng ®æi b) H¹ . Chøng minh IP lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R)c) Gäi Q lµ trung ®iÓm cña d©y MB . VÏ h×nh b×nh hµnh APQS . Chøng minh S

thuéc ®êng trßn (O;R)d) CMR kkhi M di ®éng th× th× ®êng th¼ng HI lu«n lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng

trßn cè ®Þnh.

Bµi 151: Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ hai ®iÓm C , D thuéc nöa ®êng trßn sao cho cung AC < 900 vµ . Gäi M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn sao cho C lµ ®iÓm chÝnh chÝnh gi÷a cung AM . Çc d©y AM , BM c¾t OC , OD lÇn lît t¹i E vµ F .

a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g× ? T¹i sao ?b) CMR : D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung MB.c) Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nöa ®êng trßn t¹i M vµ c¾t çc tia OC , OD lÇn l-

ît t¹i I , K . CMR çc tø gi¸c OBKM ; OAIM néi tiÕp ®îc.d) Gi¶ sö tia AM c¾t tia BD t¹i S . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C vµ D sao cho 5 ®iÓm M ,

O , B , K , S cïng thuéc mét ®êng trßn

Bµi 152: Cho (AB = AC ) , mét cung trßn BC n»m bªn trong tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC t¹i B , C sao cho A vµ t©m cña cung BC n»m kh¸c phÝa ®èi víi BC . Trªn cung BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ çc ®êng vu«ng gãc MI , MH , MK xuèng çc c¹nh t-¬ng øng BC , CA , AB . Gäi giao ®iÓm cña BM , IK lµ P ; giao ®iÓm cña CM , IH lµ Q.

a) CMR çc tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp ®îc .b) CMR : MI2 = MH . MKc) CMR tø gi¸c IPMQ néi tiÕp ®îc . Suy ra PQ MId) CMR nÕu KI = KB th× IH = IC

Lª Thanh TÞnh 56


Lª Thanh TÞnh 57

On tap vao lop 10.doc

Documents

Transcript of On tap vao lop 10.doc