Ôn tập Toán học Tác giả: Thầy Nguyễn Đình Trí, 2010 (Tài liệu ôn thi cao học)

8/12/2019 Ôn tập Toán học Tác giả: Thầy Nguyễn Đình Trí, 2010 (Tài liệu ôn thi cao học)

http://slidepdf.com/reader/full/on-tap-toan-hoc-tac-gia-thay-nguyen-dinh-tri-2010-tai-lieu 1/77

Nguy ễn Đ ình Trí http://www.ebook.edu.vn 1

« tËp

To¸n häc

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




§Ò c ¬ng «n tËp thi cao häc

«n to¸n

I. «n tËp vÒ hμm mét biÕn sè1.1.§¹o hµm vµ vi ph©n

1.2. TÝch ph©n bÊt ®Þnh

1.3. TÝch ph©n x¸c ®Þnh

II. hμm nhiÒu biÕn2.I. §¹o hµm riªng2.2 §¹o hµm cña hµm Èn2.3. §¹o hµm cÊp cao2.4. Vi ph©n vµ vi ph©n cÊp cao2.5. Cùc trÞ cña hµm sè nhiÒu biÕn sè

III. TÝch ph©n 2 líp3.1. TÝnh tÝch ph©n hai líp trong hÖ täa ®é §Ò c¸c3.2. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n3.3. TÝch ph©n hai líp trong hÖ täa ®é cùc3.4. ø ng dông cña tÝch ph©n 2 líp

IV. TÝch ph©n ®− êng lo¹i 24.1. TÝnh trùc tiÕp4.2. C«ng thøc Green4.3. §iÒu kiÖn kh«ng phô thuéc ® − êng ®i

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




V. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n5.1. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 11. Ph− ¬ng tr×nh biÕn sè ph©n li:

2. Ph− ¬ng tr×nh ®¼ng cÊp cÊp 1:3. Ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 14. Ph− ¬ng tr×nh Bernoulli5.Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn

5.2. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2

1. Çc lo¹i ph− ¬ng tr×nh cÊp 2 cã thÓ gi¶m cÊp ® − îc2. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2

3. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè lµ h»ng sèa. Ph− ¬ng tr×nh thu©n nhÊtb. Ph− ¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt, vÕ ph¶I cã d¹ng ®Æc

biÖtc. Nguyªn lý chång chÊt nghiÖm:

VI.Lý thuyÕt chuçi6.1. Chuçi sè1. Çc ®Þnh lý vÒ chuçi héi tô

2. Chuçi sè d−

¬ngÇc tiªu chuÈn héi tô

a. Tiªu chuÈn so s¸nhb. Tiªu chuÈn Dalambec. Tiªu chuÈn Cauchy

3. Chuçi ®an dÊu vµ Chuçi cã dÊu bÊt kúa. Chuçi ®an dÊu

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




b. Chuçi sè cã dÊu bÊt kú

Sù héi tô tuyÖt ®èi v μ b¸n héi tô

6.2. Chuçi lòy thõa

1. Tiªu chuÈn héi tô2. Çch t×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa

a. Tiªu chuÈn Dalambe

b. Tiªu chuÈn C«si

Tμi liÖu tham kh¶o

1. G.M.Fichtengon,C¬ së gi¶i tÝch to¸n TËp 1, 2,

Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt.

2. Lª Ngäc L¨ng (chñ biªn) vµ çc t¸c gi¶ kh¸c,¤n thi häc kú vµthi vµo giai ®o¹n 2,

Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1997.

3. Liasko, Boiartruc, Gi¶i tÝch to¸n häc víi çc vÝ dô vµ bµi tËp,Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt 1995.

4. NguyÔn §×nh TrÝ vµ çc t¸c gi¶ kh¸c, To¸n häc cao cÊp TËp1,2,3,

Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999.5. NguyÔn §×nh TrÝ vµ çc t¸c gi¶ kh¸c, Bµi tËp to¸n häc cao cÊp,

Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999.

6. Bïi Minh TrÝ (Chñ biªn) Gi¶i tÝch to¸n häc,Nhµ xuÊt b¶n Thèng kª 2009.

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




B i

«n tËp vÒ h m mét biÕn sèI.®¹o h μ m vμ vi ph©n

1. B¶ng ®¹o hµm c¸c hµm sè s¬ cÊp

−

= = = =

= = = = −

= = = =

= = − = =

−= = = =

= = = =

= = = =−

−= = =

−

12

2

2

2

2

' 0 ; ' 11 1' ; '

1' ; sin ' cos2

1cos ' sin ; 'cos

1cotg ' ; 'sin 1' ln ; ln '

1 1 1log ' ; arcsin 'ln 1

1cos ' ;1

x x

x x

a

y C y y x y

y x y x y y

x x y x y y x y x

x

y x y x y tgx y x

y x y y e y e x

y a y a a y x y x

y x y y x y x a x

y ar x y y arctg x

α α α

=+

= = −+

2

2

1'1

1cot '1

x y x

y arc gx y x

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




2. C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm

( )( )

+ + = + +

= +

− =

'

2

' ' ' '

. ' ' '

' '

x u v w u v wu v u v uv

u u v uvv v

3. §¹o hµm cña hµm hîp vµ hµm ng − îc

a) §¹o hµm cña hµm hîp: ( ) ( ), y f u u x = = ,

' ' . ' x u x y y u=

VÝ dô 1: 2 2, x u y e y e u x = = =

( )= = =2' ,' .2 2 .u u x

x x u y e u e x x e

VÝ dô 2: ( )3

2 1 x

y x = +

( )

( ) ( )

( ) ( )

= + =

= + + = + ++ +

= + + +

+

3

3 2

42 2 3 2 2

2 2

42 2 2

2

'ln ln 1 ;

2 23 ln 1 3 ln 11 1

2' 1 3 ln 11

x

y y x x y

x x x x x x x x x

x y x x x x

b) §¹o hµm cña hµm ng − îc: y=y(x)

1'' y x

x y

=

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




7) 2arcsinx+C

1dx

x =

−∫ 8) 2 arctgx+C

1dx x

=+∫

9) 2 2xarcsina

dx Ca x

= +−

∫ 10) 2 21 xarctg

adx C

a x a= +

+∫

11) 2 21 ln

2dx a x C

a x a a x +

= +− −∫

12) 2 22 2 lndx x a C x a

= + ± +±∫

13)

22 2 2 2 xarcsin

2 2 a x aa x dx a x C− = − + +∫

14) 2 21 ln2

dx x a C x a a x a

−= +

− +∫

15)

22 2 2 2 2 2ln

2 2 x a x a dx x a x x a C± = ± ± + ± +∫

16) lnsin 2dx x tg C

x = +∫ 17) ln

osx 2 4dx x tg C

cπ

= + + ∫

18) ln osxtgxdx c C= − +∫

19) ln sinxcotgxdx C= +∫

20) ( ) ( ) ( ) ( )= = +∫ ∫1 1ax+b ax+b ax+b ax+b f dx f d F Ca a

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




21)( )( )

( )( )

( )'

ln f x df x

dx f x C f x f x

= = +∫ ∫

22)( )( ) ( ) ( ) ( )

12'

2 f x

dx f x df x f x C f x −

= = + ∫ ∫

23) ( ) ( ) ( )' f x dx f t t dt = ∫ ∫ (§æi xu«i)

24) ( ) ( ) ( )' f x x dx f t dt ψ ψ = ∫ ∫ (§æi ng− îc)

Muèn tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña mét hµm sè( ) f x tathùc hiÖn çc biÕn ®æi thÝch hîp ®Ó ®a nã vÒ d¹ng çc tÝchph©n c¬ b¶n.

3. Çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh

TÝnh chÊt 1: ( ) ( )=∫ ∫kf x dx k f x dx

TÝnh chÊt 2: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫

TÝnh chÊt 3: NÕu ( ) ( ) f x dx F x C= +∫ vµ ( )u u x = th×:

( ) ( )u du F u C= +∫

4. Çc ph − ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh

1) Ph− ¬ng ph¸p ®æi biÕn

a) §æi xu«i: §Æt ( ) = x t ; ( )' .dx t dt =

( ) ( ) ( ) ( )' f x dx f t t dt g t dt = = ∫ ∫ ∫

VÝ dô : =+

∫2(1 )

dx I x

§Æt x = t2 => dx = 2tdt

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




=+∫ 2

2(1 )tdt I

t =+ −

+∫ (1 1)1t dt

t =

∫ dt -= − + + => = − + +

+∫ln 1 ln( 1)

(1 )

dt t t C I x x Ct

b) §æi ng− îc: §Æt ( )ψ =t x ; ( )'dt x dx ψ =

( ) ( ) ( )' x x dx f t dt ψ ψ = ∫ ∫

VÝ dô: 2

dx I b

=+

∫

§Æt 2 x b x t + + =

21 x dx dt

x b

+ =

+

2

2

x x bdx dt x b

+ +=

+

2 2

tdx dx dt dt t x b x b

= =+ +

2ln lndt I t C x x b Ct

= = + = + + +∫

2) Ph− ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn

udv uv vdu= −∫ ∫

CÇn chó ý t¸ch biÓu thøc ( ) f x dx thÕ nµo ®Ó tÝch ph©n

vdu∫

®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©nudv∫

.

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




§Æt dv = P(x)dx, u lµ phÇn cßn l¹i; v tÝnh tuy cã t¨ngbËc, nh− ng khi t×m du ta l¹i cã hµm lòy thõa cña x ë mÉusè.

VÝ dô 2: I xarctgxdx = ∫

§Æt 2;1

dx u arctgx du= =+

= =2

2 x dv xdx v

( )+ −= − = −

+ +∫ ∫

22 2 2

2 2

1 11 1

2 2 1 2 2 1

x x x dx x I arctgx arctgx dx x x

2

21 1

2 2 2 1dx arctgx dx x

= − ++∫ ∫

2 12 2

x x arctgx C+= − +

Nhãm 3: α

β ∫ sin x

a xdx α

β ∫ cos x

a xdx

§Æt tïy ý v× ®Æt thÕ nµo th×v còng dÔ tÝnh.

VÝ dô 3: sin x I e xdx = ∫

§Æt sin ; cos ; x x u x du xdx dv e dx v e= = = =

sin cos x x I xe e xdx = − ∫

§Æt cos ; sin ; x x u x du xdx dv e dx v e= = − = =

sin cos sin x x x I xe e x e xdx = − − ∫

( )2 sin cos x

I e x x C = − + WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( )2

22 2

M MP x p N I

x px q

+ + − =

+ +∫

( )2

2 2 22

2 22 2

pd x d x px q M MPN x px q p p x q

+ + + = + − + + + + −

∫ ∫

( )+

= + + + − + −

222ln2 2

4

p x M MP x px q N arctg C pq

d) ( )2 k Mx N I dx

x px q+

=+ +

∫

( )( ) 22 2

2 22 2

2 4

k k

pd x x p dx M MPN

x px q p p x q

+ + = + − + +

+ + +

∫ ∫

( )( )

12

2 22 1 2

k

k

x px q M MP dt N k t a

− ++ +

= + − − + +∫

Gäi ( )2 2k k dt I

t a=

+∫ ta cã thÓ truy håi theo 1k I − … råi

®Õn 1 I víi 1 2 21dt t I arctg C

t a a a= = +

+∫ .

VÝ dô: TÝnh ( )( )22

2

1 1

xdx x x + +∫ W

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




( )( ) ( ) ( )1 1 2 2

2 222 2

21 11 1 1

M x N M x N x A x x x x x

+ += + +

+ ++ + +

( ) ( )( )( ) ( )( )22 2

1 1 2 22 1 1 1 1 x A x M x N x x M x N x = + + + + + + + +

Khi 1 x = − , ta cã:

12 42

A A− = = −

VËy:

( ) ( )( ) ( )( )4 2 3 2

1 1 2 21

2 2 1 2 12 x x x M x N x x M x N x = − + + + + + + + + +

( ) ( )4 3 21 1 1 2 1 1

12 12

x M x M N x M M N x = − + + + + − + + + +

( )2 2 1 1 2 112

M N M N x N N + + + + + − + +

1 1

1 1 1

2 1 1 2

2 2 1 1 2

2 1

1 102 2

102

1 12 1

1 02

M M

M N N

M M N M M N M N N

N N

− + = =

+ = = −

+ + = =

+ + + = =

− + + =

( )( ) ( ) ( ) ( )2 222 2

2 1 1 12 1 2 11 1 1

xdx x x x x x x x − − +

= + ++ ++ + +

∫ ∫ ∫ ∫

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22 2 2

1 11 1 1 1ln 12 4 1 2 2 1 1

d x d x dx x arctgx x x x

+ += − + + − + +

+ + +∫ ∫ ∫

( )222

1 1 1 1 1ln ln 14 2 2 11

x arctgx I x x

= + + − − +++

( )( )

( )( )

2 2 2

2 2 222 2

1 111 21 1

x x d x dx I dx x x x x

+ − += = −

++ +∫ ∫ ∫

§Æt

( )( )

+= = = −

++2

2

22

1 1 vµ11

d x u x dv v

x x

= + − = + + + + + ∫2 2 2 2

1 1 12 1 2 1 2 1

x dx x I arctgx artgx C x x x

4) TÝch ph©n c¸c hµm l− îng gi¸c

a) Ph− ¬ng ph¸p chung

* §æi biÕn chuyÓn vÒ hµm h÷u tû:

( )sinx,cosx I R dx = ∫ trong ®ã ( ), R u v lµ mét hµm h÷u tû®èi víi ,u v.

§æi biÕn v¹n n¨ng: = = =+ 222

2 1 x dt tg t x artgx dx

t

( )−= =

+ +

2

2 2

12sin ,cos1 1

t t x x t t

VÝ dô: 4sin 3cos 5dx I

x x =

+ +∫

§Æt

2 x

tg t = WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




+= = =− + + + +

+ ++ +

∫ ∫2

2 2 2

2 2

21 2

2 1 2 8 8 4 44 3 51 1

dt dt dt t I

t t t t t t t t

( )( )2

2 1 122 2

2

d t C C x t t tg

+= = − + = − +

++ +∫

b) C¸c tr − êng hîp ®Æc biÖt

(1) ( ) ( )sin , cos sin , cos R x x R x x − − = , hµm ch½n ®èi

víi sin , cos . x §Æt t tgx = .

VÝ dô: 2 2sin 2sin cos cosdx I

x x x x =

+ −∫

§Æt 21dt t tgx x arctgt dx

t = = =

+ ;

= = =+ + +2 2 2

1 1cos ;sin1 1 1

t x x tg x t t

2

2

2 22 2

11 12

1 11 1

dt t I

t t t t t t

+=+ −

+ ++ +

∫

( )

( ) ( )22 2

1 1 1 2ln2 1 2 2 1 21 2

d t dt t Ct t t t

+ + −= = = +

+ − + ++ −∫ ∫

+ − + −= + = +

+ + + +

1 1 2 1 1 2ln ln2 2 1 2 2 2 1 2

t tgx I C ct tgx

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




(2) ( ) ( )sin , cos sin , cos , R x x R x x − = − hµm lÎ ®èi víicos x , ®Æt sint x =

VÝdô:

( ) ( )3 5 2 2

2 4 2 4

cos cos cos 1 cos cossin sin sin sin

x x dx x x xdx I

x x x x + +

= =+ +∫ ∫

§Æt sin cost x dt xdx = =

( )( ) ( )( )( )

2 2 2 2

2 4 2 2

1 1 1 1 2

1

t t dt t t I dt

t t t t − + − − −

= =+ +

∫ ∫

BiÕn ®æi

( )( )( ) ( )

2 2 4 2

2 2 2 2

1 2 3 21 1

t t t t t t t t − − − +

=+ +

( ) ( )

( )

2 2 2 2

22 2

1 2 1 6 2 6111

t t t t

t t t t

+ + + −= = + −

++

2 22 6 21 6

1 I dt t arctgt C

t t t

= + − = − − + + ∫

( )2sin 6 sinsin

arctg x C x

= − − +

(3) ( ) ( )sin , cos sin , cos R x x R x x − = − , hµm lÎ ®èi víi sin , ®Ætcost x = .

(4) sin cosm n x xdx ∫

* NÕum lÎ th× ®Æt cost x = * NÕun lÎ th× ®Æt sint x =

* NÕu ,m n ®Òu ch½n vµ Ýt nhÊt mét trong hai sè lµ ©m th×

®ÆtWW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




t tgx = .

*NÕu ,m n ®Òu ch½n vµ d− ¬ng th× h¹ bËc

2 1 cos2sin ,2

x x

−=

2 1 cos2

cos 2 x +

= ,

VÝ dô: ( )22 4 2sin cos sin cos cos I x xdx x x xdx = =∫ ∫

21 1 cos2sin22 2

x x dx + = ∫

( )= +∫ ∫2 21 1 1

sin 2 sin 2 sin 28 8 2 xdx x d x

( ) ( )21 11 cos4 sin 2 sin 216 16

dx xd x = − +∫ ∫

31 1 1sin 4 sin 216 64 48

x x x C= − + +

4) TÝch ph©n mét sè hµm v« tû

VÝ dô 1: 311 1

dx I x x

+=

− +∫

§Æt ( )+ + −

= = = + =− − −−

3 2 33

23 33

1 1 6 2; 11 1 11

x t t dt t t x dx x x t t t

( )3 2

23 3 23

1 6 1 232 1 1 11

t t dt t I t dt dt t t t t t t − − − + = = − = + − − + + −

∫ ∫ ∫

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( )22 2

12 11 3 2ln 1

2 1 2 1 32 2

d t t dt t

t t

t

+ + = − − + +

+ + + +

∫ ∫

( )2

11 1 2ln ln 1 3

1 2 32

t t t arctg

t

+= + + + +

−

2 1 2 1ln 31 3

t t t arctg Ct

+ + += + +− ®Õn ®©y chØ cÇn thay

311

x t x

+=

−

VÝ dô 2: ( ) ( )3 3

22 22 5 1 2

dx dx I x x x

= =

+ + + +

∫ ∫

§Æt 221 2 víi ;

2 2 cosdt x tgt t dx

t π π + = − < < =

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 22

21 2 2 2 2 1cos

x tg t tg t s t

+ + = + = + =

32

2 1 1cos sin4 42 cos

cos

dt I tdt t Ct

t = = = +

∫ ∫

+= = =

+ +2

2 sin 1cos ,cos 22 5

t x t tgt t x x

2 2

1 1sin2 5 4 2 5

x x t I x x x x

+ + = =

+ + + +

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




III. TÝch ph©n x¸c ®Þnh1. Kh¸i niÖm

1) TÝch ph©n x¸c ®Þnh lµ mét con sè, nã kh«ng phô thuécvµo biÕn tÝch ph©n:

( ) ( ) ( )b b b

a a a f x dx f u du f t dt = =∫ ∫ ∫

2) NÕu ( ) 1 f x = th×: = = −∫ ∫1.b b

a adx dx b a

3) NÕu ®æi chiÒu lÊy tÝch ph©n th× tÝch ph©n ®æi dÊu:

( ) ( )b a

a b f x dx f x dx = −∫ ∫ NÕua b= th×: ( ) 0

b

a f x dx =∫

2. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh

TÝnh chÊt 1: ( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx =∫ ∫

TÝnh chÊt 2:

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫

TÝnh chÊt 3: ( ) ( ) ( )b c b

a a c x dx f x dx f x dx = +∫ ∫ ∫

3. C«ng thøc Newton - Leibnitz (Niuton - Lepnit)

( ) ( ) ( ) ( )|b b

aa f x dx F b F a F x = − =∫

4. C¸c ph − ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh

a. Ph− ¬ng ph¸p ®æi biÕn

Sau khi ®æi biÕn kh«ng cÇn quay vÒ biÕn cò nh− ng ph¶i

®æi cËn cho biÕn míi.

a. §æi xu«i:

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




§Æt ( ) x t = ; ( ) ( ) ( )'b

a I f x dx f t t dt

β

α = = ∫ ∫

VÝ dô: ( )

1

20 2

1

dx I =+

∫

§Æt π = =

= = =

0 0

14

x t x tgt

x t

( )22 1

cos

dt dx tg t dt t

= = +

( )( )

π π π += = =

++∫ ∫ ∫

224 4 4

2 20 0 02

1cos

11

tg t dt dt I tdt tg t tg t

( )

= + = + = + ∫ 4 400

1 1 1 11 cos2 sin 2 |2 2 2 8 4t dt t t

π π π

b. §æi ng− îc:§Æt ( )t x =

( ) ( ), x a t a x b t b = = = =

( )'dt x dx =

( ) ( ) ( )( )

( )'

b b

a a f x x dx f t dt

= ∫ ∫

VÝ dô: 220

cos1 sin

x I dx x

π

=+∫ , §Æt t=φ(x)= sinx

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




0 0, 12

x t x t π = = = = cosdt xdx =

1 102

0

|1 4

dt I arctgt t

π = = =+

∫

b. Ph− ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn

|b bb

aa audv uv vdu= −∫ ∫

VÝ dô: 220 sin I x xdx π

= ∫ §Æt 2 2u x du xdx = =

sin cosdv xdx v x = = −

2 220 0

cos | 2 cos I x x x xdx π π

= − + ∫22 2

0 002 sin | 2 sin 2 cos | 2 I x x xdx x

π π π

π π = − = + = −∫

(u x du dx = = = =cos sindv xdx v x )

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




B i 2

h m nhiÒu biÕnI. §¹o h μ m riªng

1) Hµm 2 biÕn ( , )z f x y= .Khi tÝnh ®¹o hµm riªng®èi víi biÕn nµo th× biÕn kh¸c lµ h»ng sè => trë vÒ tr− ênghîp ®¹o hµm cña hµm mét biÕn.

§¹o hµm riªng theo biÕn x '( , ) hay hay . x

f x y zz x

∂ ∂

∂ ∂

§¹o hµm riªng theo biÕn y∂ ∂

∂ ∂'( , ); ; y

f x y zhayz hay y y

VÝ dô : Cho hµm

2 2 ' 'xcos( ) cot . TÝnh z , y

x z x y g z y

= + −

2) §¹o hµm cña hµm hîp

Gi¶ sö cho( , ) trong ®ã , lµ hµm cña , :z f u v u v x y=( , ); ( , )u u x y v v x y= =

= − + +

= − + + −

, 2 2

2

' 2 22

2

12 s in ( )s in

12 s in ( ) .s i n

x

y

z x x y x y y

x z y x y x y

y

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




F ,x = y2 z ex+y - yz cos(xyz)

F ,y = 2yz ex+y + y2 z ex+y - zx cos(xyz)

F ,z = y2 ex+y - xy cos(xyz)

Z’ x =( ( )

cos( )

+

+

−−

−

x y

x y

z ye cos xyz ye x xyz

Z’y =( 2) ( )

cos( )

+

+

+ − − −

x y

x y

z y y e xcos xyz

y ye x xyz

II. ®¹o hμ m cÊp cao

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

2

2 f

x x ;

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂

2

2

2

f f y x y x

f f y y y

f f

x y x y ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂

2

NÕu c¸c ®¹o hµm hçn hîp ®Òu liªn tôc th× chóngb»ng nhau

VÝ dô: Cho2 2 2 2

2 2. TÝnh ; ; ; x z z z zz arctg y x x y y x x

∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ∂ ∂

= = = = − ∂ + ∂ + ++

+ − +∂ ∂ + − − = = = ∂ ∂ + + +

'2

2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2. .....

1

( )'( ) ( ) 2( ) ( ) ( )

x

y

z y z y xy x y x y x x y x x y

y

y x y y x yz x y y x y y x x y x y x y

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( )

'

2 2 2

222 2 2

2 2 2 2 ' 2 2

2 2 2 2 2 2

1 .1

2

( )'( ) ( )( ) ( )

y

x

z x x y y x y x

y

z z xy y y y x y

x x y x x yz x y y x y x y

∂= = − ∂ +

+

∂ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∂ +

+ − +∂ ∂ −= − = ∂ ∂ + +

II. vi ph©n vμ vi ph©n cÊp cao1. Vi ph©n

∂ ∂= +

∂ ∂( , ) ( , ) f x y f x ydz dx dy x y

VÝ dô: Cho ( , )z f x y= x¸c ®Þnh bëi ph− ¬ng

tr×nh:

2 2 2( , , ) 2 0z F x y z x z yz xe xy= + + − =

' 2

' 2

' 2

' 2

2 22

2

42 2

41 (2 ) (2 2 )

4

z x

z

z

yz

z

Fz xz e y

x F x yz xe Fz z xy y F x yz xe

dz xz ez y dx z xy dy x yz xez

∂ + −= − = −

∂ + +

∂ −= − = −

∂ + +

= − + − + − + +

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




2. Vi ph©n cÊp cao

2 2 2 22 2 2

2 2z z z zd z dx dxdy dydx dy

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

NÕu2z y

∂∂ ∂ vµ

2z y x ∂

∂ ∂ liªn tôc th×:

2 2 22 2 2

2 22z z zd z dx dxdy dy x x y y∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

IV. Cùc trÞ cña h μ m sè nhiÒu biÕn sè1. §Þnh nghÜa : Hµm sè gäi lµ ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓmM0(x0,y0)

≥0 0nÕu ( , ) ( , ) f x y f x y 0 0, ( , ) l©n cËn ( , ) x y x y

Hµm sè ( , )z f x y= ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm 1 1 1( , ) M x y

nÕu:

1 1( , ) ( , ) f x y f x y≤ ,

1 1( , ) thuéc l©n cËn ( , ) x y x y

2. §iÒu kiÖn cÇn cña cùc trÞ

§Þnh lý 1: Hµm sè ( , )z f x y= kh¶ vi ®¹t cùc trÞ (cùctiÓu,

(cùc ®¹i) t¹i ®iÓm 0 0( , ) x y th×:

0 0

0 0

( , ) 0(*)

( , ) 0

f x y x

f x y y

∂=

∂∂

=∂

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




3. §iÒu kiÖn ®ñ

Gi¶ sö ®iÓm 0 0 0( , ) M x y tháa m·n ph − ¬ng tr×nh (*) tagäi:

0 0 00 0 0

2 2 2

2 2( , ) ( , ) ( , ); ;

x x x x x x y y y y y y

f x y f x y f x y A B C x x y y= = =

= = =

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂

- NÕu 2 0 B AC− < th× hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm

0 0 0( , ) M x y :

* NÕu 0 A< th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i.

* NÕu 0 A > th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu.

- NÕu 2 0 B AC− > th× t¹i ®iÓm 0 0 0( , ) M x y hµm sè kh«ngcã cùc trÞ.

- NÕu 2 0 B AC− = th× kh«ng kÕt luËn ®− îc lµ cã hay

kh«ng. Lóc dã ta xÐt cô thÓ hµm ( , )z f x y= .4. Qui t¾c t×m cùc trÞ cña hµm sè z= f(x, y)

a) TÝnh çc ®¹o hµm riªng ( , ) ( , ); f x y f x y x y

∂ ∂∂ ∂

b) Gi¶i hÖ ph− ¬ng tr×nh: ( , ) ( , )0 vµ 0 f x y f x y x y

∂ ∂= =

∂ ∂ ®Ó t×m

çc ®iÓm dõngc) TÝnh çc ®¹o hµm riªng cÊp II:

2 2 2

2 2; ; f f f x x y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

d) T¹i mçi ®iÓm dõng xÐt riªng tõng ®iÓm mét0 1 2( , , ,...) M M M . T×m ®¹i l− îng , , A B C vµ tÝnh lu«n 2 B AC− .

e) KÕt luËn:2 0 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i

0 0 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu A

B AC A<

− < > WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




Thay gi¸ trÞ vµo hµm ( , )z f x y= . TÝnh max min, .z z

* 2 0 B AC− > lµ kh«ng cã cùc trÞ.

* 2 0 B AC− = th× ch− a kÕt luËn ®− îc.

VÝ dô : 3 22 4z x xy x = + − 2 2

' 2 2

'

6 4 06 4 00

2 00

x

y

x yz x y x

z xy y

+ − = = + − =

= = = =

HÖ ph−

¬ng tr×nh trªn t−

¬ng ®−

¬ng víi 2 hÖ ph−

¬ng tr×nh:2 2 2 26 4 0 6 4 0(1) vµ (2)0 0

x y x y x y + − = + − =

= =

Gi¶i (1) vµ (2) ta cã:

1 2 3 42 2(0,2); (0, 2); ,0 ; ,03 3

M M M M

− −

'' '' ''12 ; 2 ; 2 xx xy yyz x z y z x = = =

= = = − = >21(0,2) 0; 4; 0 16 0 kh«ng ®¹t cùc trÞ.

M A B C B AC

2

1(0, 2) 0; 4; 0 16 0 M A B C B AC− = = − = − = >

kh«ng ®¹t cùc trÞ.

23

2 2 2,0 12 ; 0; 2 16 03 3 3

M A B C B AC

= = = − = − <

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




320 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ,0 :3

A M

>

3

min2 2 8 2

2 43 3 3 3z = − = −

− = − = = −

− = − <

4

2

2 2 2,0 12 ; 0; 23 3 3

16 0

M A B C

B AC

42

0 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ,0 :3 A M

< −

3

max2 2 8 22 43 3 3 3

z = − + =

5. Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn

* §Þnh nghÜa T×m cùc trÞ cña hµm sè ( , )z f x y= trong ®ã x, y kh«ng biÕn thiªn ®éc lËp víi nhau mµ rµngbuéc víi nhau bëi ®iÒu kiÖn nµo ®ã, vÝ dô bëi ph− ¬ngtr×nh: ( , ) 0 hay ( ) y y y x = =

*C¸ch t×m: V× ( ) y y x = nªn z lµ mét hµm cña biÕn sè x,

[ ], ( )z f x y x = vµ ta trë vÒ t×m cùc trÞ cña hµm mét biÕnsè.

VÝ dô: T×m cùc trÞ cña hµm sè 2 21z x y= − − víi®iÒu kiÖn y x = .

Gi¶i: Bµi to¸n dÉn vÒ t×m cùc trÞ cña hµm sè:2 2 2

1 1 2z x y x = − − = −

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




MX§:2 2 1 2 21 2 0

2 2 2 x x x − ≥ ≤ − ≤ ≤

'

2

2 0 khi 01 2 x

x z x x

= − = =−

B¶ng xÐt dÊu:

VËy t¹i 0, 0 x y= = hµm sè

®¹t cùc ®¹i vµ max 1z = (®å thÞ 6)

x ' x z

x

22

− 2

2 0

0

0 max 0

+ −

10

1

1-1

x

y

z

§å thÞ .8

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




B i 3

TÝch ph©n 2 líp

1. §Þnh nghÜa

( ), D

I f x y dxdy= ∫∫ D lµ miÒn lÊy tÝch ph©n

2. Çc tÝnh chÊt cña tÝch ph©n hai líp

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2

1. , , lµ h»ng sè

2. , , , ,

3. , , ,

D D

D D D

D D D

Cf x y dxdy C f x y dxdy C

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

=

± = ±

= +

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫

3. Çch tÝnh tÝch ph©n hai líp trong hÖ täa ®é §Ò çc

Tr − êng hîp 1

( ) ( )

( ) ( )( )

( )2

1

1 2

:

, ,b y x

a y x D

a x b D

y x y y x

I f x y dxdy dx f x y dy

≤ ≤

≤ ≤

= =∫∫ ∫ ∫

VÝ dô 1`: TÝnh §å thÞ 1

= ∫∫ 2 víi : D

I x ydxdy D

0≤x≤2;2

4 x ≤y≤x2

Minh häa trªn ®å thÞ 2

Râ rµng nªn tÝnh theo y tr − íc

x

aD

y x = 2 x =2

4 y =

-2 -1 0 1

1

4

§å thÞ 2

( )1 y x

b

( )2 y x y

0

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




= =

− = = =

=

∫ ∫ ∫

∫∫

22

22

2 22 22

0 04

426 6 72

62 0

00

2

15 152 32 32 32 7607

x x x

x

x y I dx x ydy dx

x x x dx x dx

Tr − êng hîp 2

( ) ( ) ≤ ≤≤ ≤

1 2: y x x y Dc y d

Minh häa trªn ®å thÞ 3

( ) ( )( )

( )2

1, ,

d x y

c x y D

I f x y dxdy dy f x y dx = =∫∫ ∫ ∫

VÝ dô 2:TÝnh

( )2 2

D x y dxdy= +∫∫

12

0

y x y

D y

x

=

==

=

=

Minh häa trªn §å thÞ 4

Râ rµng nªn tÝnh theo x tr − íc

2

1

0 1 x

y = 2

y =

y = x

§å th .4

d

c

0 x

1( ) x y 2( ) x y

§å th 3

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( )

= + = + =

+ = = = − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

32 22 2 2

1 0 10

23 42 23 3

1 11

3

4 4 16 1 53 3 3 4 3 3

y y x I dy x y dx y x dy

y y y dy y dy

4. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n

( )( )

( )= ∫ ∫ 2

1,

d x y

c x y I dy f x y dx

( )( )( )= ∫ ∫ 2

1,b y x

a y x dx f x y dy

VÝ dô 3. I =

2 2

0

( , ) x

x

dx f x y dy∫ ∫

D {0≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x §å thÞ 5(xem ®å thÞ 5)

I=2 4 2

0 /2 2 /2

( , ) ( , ) y

y y

dy f x y dx dy f x y dx+∫ ∫ ∫ ∫

VÝ dô 4.

I =

21 1

1 1

( , ) x

x

dx f x y dy−

− − −

∫ ∫

D { -1≤ x ≤ 1 , 21 x− − ≤ y ≤ 1- x2

(xem ®å thÞ 6)§å thÞ 6

I=

2

2

10

1 1

( , ) y

y

dy f x y dx−

− − −

+∫ ∫11

0 1

( , ) y

y

dy f x y dx−

− −

∫ ∫

y

0 2 x

y = 2x

y = x

4

2

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




5. TÝch ph©n kÐp trong hÖ täa ®é cùc

XÐt tÝch ph©n ( ), D

f x y dS ∫∫ §å thÞ .7

Gi¶ sö D giíi h¹n bëi çc ® − êng cong

( ) ( )1 2vµr r r r = = vµ çc tia 1 = , 2 =

Ta xÐt yÕu tè diÖn tÝch .dS

Chia D thµnh çc miÒn nhá bëi çc vßng trßn ®ång t©mconst vµ çc tia = constr = (§å thÞ 9). Xem mçi m¶nh nhá

nh− mét h×nh ch÷ nhËt cã kÝch th− íc lµ

AB drdS rdrd

BC rd

=

==

§å thÞ 8

r

M x,

π

= >

= ≤ ≤cos 0sin 0 2

x r r y r

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




Khi ®ã

( ) ( )( )

( )2 2

1 1

, cos , sinr

r D f x y dS f r r rdrd

=∫∫ ∫ ∫

( )( )

( )2 2

1 1cos , sin

r

rd f r r rdr

= ∫ ∫

VÝ dô 5: TÝnh2 24

D y dxdy− −∫∫ trong ®ã

VÝ dô 5: TÝnh2 2

4 D x y dxdy− −∫∫

Trong ®ã

( )2 2 lµ nöa trªn cña h×nh trßn 1 1 D x y− + ≤

(Xem §å thÞ 9).

§å thÞ 9

.cos 2cos

cos 02

sin 0 2cos

OM OA

x r

y r r

π

= =

= ≤ ≤

= ≤ ≤

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

= − = − − −

−= − = − −

= − − − =

− − +

= − =

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

12cos 2cos2 2 222 20 0 0 0

2cos32 2 2cos

32 22 2

0 00

0

3 32 2 220

3222 2

0 0

232 22

00

14 4 12

41 1432 32

1 4 4cos 43

1 84 1 cos3 3

8 1 4sin3 3

8 8. si3 2 3

I d r rdr r d r d

rd r d

d

d d

d

π π

π π

π

π π

π π

π

( ) ( )

( )

= − =

+ −

= + − = − −

= −

∫

∫

∫

∫

320

220

220

3 2222

00 0

n

4 8 sin sin3 3

4 81 cos cos3 3

4 8 8 4 8 8 coscos cos cos3 3 3 3 3 3 3

4 163 9

d

d

d

d

π

π

π

π π π

π

π

π π

π

6. ø ng dông cña tÝch ph©n kÐp

a. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ :VËt thÓ h×nh

trô , ®¸y lµ miÒn ph¼ngOz D n»m trong mÆt ph¼ngOy vµ phÝa trªn giíi h¹n bëi mÆt cong

( ) ( )( ), víi , 0z f x y f x y= ≥ ( ), D

V f x y dxdy= ∫∫

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




VÝ dô 6:TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi çc mÆt (§å thÞ9)

( )

( )

+ = = − − == − −

= −

= − = − =

∫∫

∫ ∫

∫

2 2 2 2

2 2

2 2 2

0 0

242 2

00

2, 4 vµ 04

4

42 2 4 64 4

D

x y z x y zV x y dxdy

V d r rdr

rV r d

π

π

π π

b. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng

Theo tÝnh chÊt 4 cña tÝch ph©n kÐp, diÖn tÝch

cña h×nh ph¼ng S D ®− îc cho bëi

D S dxdy= ∫∫

VÝ dô 7: TÝnh diÖn tÝch cña h×nh giíi h¹n bëi çc ®− êngth¼ng 1 x = , 2 x = vµ çc ®− êng hypebol

( )2 22, 0a a y y a

x x = = > (§å thÞ 10).

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




=

= −

= = =

∫ ∫

∫

∫

2

2

22

1

2 22

1

222 2

1 1

2

2

1 ln

ln2

a x

a x

S dx dy

a a dx x x

a dx a x x

a

§å thÞ 10

0 1 2 x

y

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




B i 4TÝch ph©n ® êng lo¹i 2

Cho c¸c hµm sè ( ) ( ), vµ , P x y Q x y liªn tôc trªn ® − êng cong AB tr¬n (hay tr¬n tõng khóc), ta cã tÝch ph©n ®− êng lo¹ihai

( ) ( ), , AB

P x y dx Q x y dy+∫

TÝch ph©n ®− êng lo¹i hai cã tÝnh chÊt nh− tÝch ph©n x¸c®Þnh. §Ó tÝnh tÝch ph©n ®− êng lo¹i hai, ta ®− a vÒ tÝchph©n x¸c ®Þnh.

I. TÝnh trùc tiÕp

1) NÕu ®− êng cong AB cho bëi ( ), y f x a x b= ≤ ≤ th×c«ng thøc trªn cã thÓ viÕt thµnh

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + = + ∫ ∫ ', , , ,b

x a AB

P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f dx

T− ¬ng tù khi cho ph− ¬ng tr×nh x=g(y), c≤ y ≤ d

( , ) ( , ) AB

x y dx Q x y dy+

∫ =

[ ]dy y y g Q y g y y g P d

c∫ +′ )),(()()),((

VÝ dô 1: TÝnh ( ) ( )2 22 2C

I x xy dx y xy dy= − + −∫ ,

trong ®ã C lµ ®− êng parabol2

, 1 1. y x x = − ≤ ≤ WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




Gi¶i:

Tõ 2 y x = , ta cã 2dy xdx = vµ

( )( )1 2 2 4 2

1

142 . 2 . 2 15 I x x x x x x x dx −= − + − = −∫

VÝ dô 2. TÝnh

( ) ( ) ( )21 lÊy tõ 1,0 ®Õn 0,2 AB

I xy dx x ydy A B= − +∫

theo c¸c ®− êng

a. § − êng th¼ng AmB

b. § − êng parabol

cã trôc ®èi xøng lµ trôc AnB Ox .

Gi¶i: Ph− ¬ng tr×nh

®− êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm

, lµ 2 2 A B y x = −

( ) ( )( ){ }( )

0 2

1

0 3 2

1

' 2

2 2 1 2 2 2

4 6 2 1 1

y

I x x x x dx

x x x dx

= −

= − − + − −

= − + − =

∫∫

Parabol cã trôc ®èi xøng lµ Ox , ®i qua hai ®iÓm , A B cã

ph− ¬ng tr×nh lµ ( )2

2 4 1 hay 14

y y x x = − = − . Ta cã

'2 y x = − vµ do vËy

0 x

y

(1,0) A

(0,2) B

mn

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




22 22

0

5 4 3 22

0

1 1 14 2 4

3 1716 8 2 2 2 15

y y y I y y dy

y y y y ydy

= − − − + −

= + − − + =

∫

∫

2)NÕu ®− êng cong AB ®− îc cho bëi

( ) ( ) 0 1, , x t y t t t t ψ = = ≤ ≤ th×

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+ =

+

∫

∫ 1

0

, ,

, ' , '

AB

t t

P x y dx Q x y dy

P t t t Q t t t dt ψ ψ ψ

VÝ dô 3: TÝnh tÝch ph©n

I = 2 2 AB

xdy ydx x y

−+∫ trong ®ã AB lµ

cung 1

4

®− êng trßn x 2 + y2 = 4

x¸c ®Þnh bëi : x= 2cost dx= -2sint dt

y= 2sint dy = 2cost dt

x = 2 -> t = 0 , x = 0 -> t =2π

I =2 22 2

0 0(2 cost) (2sin )4 2t dt dt

π π

π +

= =∫ ∫

NÕu ta tÝnh theo kiÓu :x : 2-> 0 y = 24 x− th×rÊt phøc t¹p

II. c«ng thøc green

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




NÕu L lµ ®− êng cong ph¼ng kÝn, ta quy− íc chän chiÒud− ¬ng trªn L lµ chiÒu sao cho mét ng− êi ®i däc theo chiÒuÊy sÏ thÊy miÒn D giíi h¹n bëi L gÇn nhÊt vÒ phÝa taytr¸i. Trªn D D L= cho c¸c hµm ( ) ( ), , , P x y Q x y x¸c ®Þnhvµ liªn tôc cïng víi ®¹o hµm cÊp 1, ta cã c«ng thøc Greenliªn hÖ gi÷a tÝch ph©n ®− êng lo¹i hai vµ tÝch ph©n hai líp

D L

Q P dxdy Pdx Qdy x y

∂ ∂− = + ∂ ∂

∫∫ ∫

VÝ dô : Dïng c«ng thøc Green tÝnh

( ) ( )2 2

2 2 2

2

2 cos sin xy xy

x y x

I ye x y x y dx xe x y xy xy dy+ =

= + − + − + +∫

Gi¶i: §Æt 22 cos xy P ye x y x y= + − 2 2sin xyQ xe x y xy xy= − + +

Ta cã 2' 2 sin xy xy y P e xye x y x = + − −

2' 2 sin xy xy x Q e xye x y y y= + − + +

Tõ ®ã 2 2' ' y x P Q x y y− = − − − .

¸p dông c«ng thøc Green, ta cã

( )2 2

2 2

2 x y x I x y y dxdy+ ≤= + +∫∫

Do tÝnh ®èi xøng cña miÒn vµ tÝnh lÎ cña hµm lÊy tÝchph©n nªn

( )2 2

2 2

2 x y x

I x y dxdy+ ≤

= +∫∫

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




§Ó tÝnh tÝch ph©n trªn ta chuyÓn sang täa ®é cùc2 2 2,dxdy rdrd x y r = + =

cos , sin x r y r = = , ta cã vµ

[ ]

= =

+ = = =

+ + = →

+ →+ + =

= + − → =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

2cos2cos 2 42 20 0 0 0

2

242

00

2 2 20

0

220

0

20

12 .2

16 1 cos2cos 82 2

2 1 2cos2 cos 2 2

2sin2 1 cos4

1 3sin42 4 2

I d r rdr r d

d d

d

d

π π

π π

π

π

π π

π

π π π

III. ®iÒu kiÖn kh«ng phô thuéc ® − êng ®i

NÕu D lµ miÒn ®ãng ®¬n liªn tháa m·n hÖ thøc P Q y x

∂ ∂=

∂ ∂,

th× d¹ng vi ph©n Pdx Qdy+ lµ vi ph©n toµn phÇn cñamét hµm nµo ®ã ( ), F x y vµ tÝch ph©n

AB Pdx Qdy+∫ kh«ng

phô thuéc vµo ®− êng ®i tõ ®Õn vµ n»m trong ; A B D

khi ®ã, nèi ( ) ( )0 0 1 1, , , A x y B x y

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( ) ( )

+ =

= +

∫

∫ ∫1 1

0 00 1, ,

AB x y

x y

Pdx Qdy

P x y dx Q x y dy

V× tÝch ph©n kh«ng phô thuéc ®− êng ®i, ta cã thÓ ®i theo®− êng ®¬n gi¶n nhÊt, nh− çc ®− êng gÊp khóc song songvíi çc trôc, ® − êng th¼ng ; nh− ng kh«ng ®− îc ®i qua®iÓm mµ t¹i ®ã çc hµm P,Q kh«ng x¸c ®Þnh.

VÝ dô : TÝnh ( ) ( )( )

( )3,0 4 3 2 2 4

2, 14 6 5 I x xy dx x y y dy

− −= + + −∫ .

Gi¶i: §Æt4 3 2 2 4

4 , 6 5 P x xy Q x y y= + = − Ta cã 2 2' 12 , ' 12 y x P xy Q xy= =

Ta lÊy y = -1 vµ x = 3:

( ) ( )3 04 2 4

2 1

3264 54 55

I x x dx y y dy− −

= − + − =∫ ∫

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




B i 5

Ph ¬ng tr×nh vi ph©n

I. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1

D¹ng 0( , , ') F x y y = hoÆc ' ( , ) y f x y= hoÆc ( , )dy f x ydx

=

NghiÖm tæng qu¸t cã d¹ng y= φ (x.C)

* NÕu nghiÖm cho d− íi d¹ng Èn 0( , , ) x y CΦ = th× gäi lµtÝch ph©n tæng qu¸t cña ph− ¬ng tr×nh.

1. Ph− ¬ng tr×nh biÕn sè ph©n li

Cã d¹ng: 1 2 0( ) ( ) f x dx f y dy+ =

Cßn hay gÆp

d¹ng: 1 1 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) M x N y dx M x N y dy+ = , ta nh©n 2 vÕcña ph − ¬ng tr×nh víi

1 2

1( ) ( )N y M x sÏ ®− a vÒ ph− ¬ng tr×nh

biÕn sè ph©n li.

TÝch ph©n 2 vÕ, ta nhËn ®− îc nghiÖm tæng qu¸t hoÆctÝch ph©n tæng qu¸t.

VÝ dô:2 2 2

23

3 2 0 3 2 0 3 2

23

2 3

+ = + = = −

= − +

' dy yy x y x ydy x dx dx

y x C

lµ tÝch ph©n tæng qu¸t cÇn t×m

2. Ph− ¬ng tr×nh ®¼ng cÊp cÊp 1:WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




' ( , ) ( / ) y f x y y x = = Φ (®iÒu kiÖn ®Ó ®¼ng cÊp) (1)

C¸ch gi¶i:

B− íc 1: §Æt'

x

y duu y u x dx =

= +

B− íc 2: Thay vµo ph− ¬ng tr×nh ®· cho (1) ®− îc:

( )duu x udx

+ =

B− íc 3: § − a tíi ph − ¬ng tr×nh biÕn sè ph©n li cña hµm

u. B− íc 4: Cã u t×m ®− îc y

VÝ dô: Gi¶i ph− ¬ng tr×nh

2( ) x y ydx x dy− = →2

2 2( )dy x y y y y

dx x x x −

= = −

§Æt , y

u y xu x = = ;

= + = −

− = = → =

2

2

' '

1 ln ln

y u x u u udu dx x Cx Cx u x u y

3. Ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1D¹ng: ' ( ) ( ) y p x y q x + = (1)

NÕu q(x) = 0 ta cã y’+ p(x)y = 0(2)

(1) lµ ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn

nhÊt.WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




(2) lµ ph− ¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t− ¬ng øng cña (1).

C¸ch gi¶i (2): 0' ( ) y p x y+ = ta cã( ) p x dx y Ce−∫=

C¸ch gi¶i(1): T×m nghiÖm d− íi d¹ng nghiÖm tæng qu¸tcña (1) nh− ng C lµ hµm sè.

1 1

pdx y Cy víi y e−∫= =

Thay vµo (1) ta cã C’y1 - C p y1 + p Cy1 = q(x)

1' ( )C y q x =

1

∫ = =

∫= +∫

( )

( )

( )' ( ) ( )

( ) ( )

p x dx

p x dx

q x C C x q x e y

C x q x e dx ζ

VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph− ¬ng tr×nh (1):

( ) ( ) ( )( )

p x dx p x dx p x dx y e e q x e dx ζ − −∫ ∫ ∫= + ∫

VÝ dô : 2

21 2 1 2

1' x y y x q x

x − = + = +

+

Gi¶i ph− ¬ng tr×nh thuÇn nhÊt

2 2

2 20

1 1' x y y p

x − = = −

+ +

NghiÖm tæng qu¸t lµ:

222

11

21

ln( )

( )

x x x y Ce Ce

y C x

++∫= =

= + WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




Gi¶i ph− ¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt

212 2

1 21

1 1' ln( ) x C C arctgx x

x x ζ = + → = + + +

+ +

VËy nghiÖm tæng qu¸t cÇn t×m lµ:

2 211 1ln( ) ( ) y arctgx x x ζ = + + + +

4. Ph− ¬ng tr×nh Bernoulli

D¹ng ' ( ) ( ) y p x y q x yα + =

víi

0

1

α

α

≠

≠

VÝ dô: 3 22' y xy x y− =

B− íc 1: Chia c¶ 2 vÕ cho y2 ®− îc:2 1 32' y y xy x − −− =

B− íc 2: §Æt 1 21' 'z y z y y− −= = −

B− íc 3: NhËn ®− îc:

3 32 2− − = → + = −'z xz x z xz x

Ta gÆp ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 cña hµm z,biÕn x. Cã z sÏ t×m ®− îc y.

5. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn

+ =

=, ,

( , ) ( , ) 0D¹ng

víi x y

P x y dx Q x y dyQ P

TÝch ph©n tæng qu¸t cã d¹ng u(x,y) = C

T×m u(x,y) tõ mét trong hai c«ng thøc sau:WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




0 0

0 0

0

0

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

x y

x y

x y

x y

u x y P x y dx Q x y dy

u x y P x y dx Q x y dy

= +

= +

∫ ∫∫ ∫

x0, y0 chän trong miÒn kh¶ tÝch cña P vµ Q, th− êngchän x0 = 0, y0 = 0.

VÝ dô:

+ + − =

= + → = = − → =

→ =

'

'

' '

(2 ) ( 4 ) 0

2 14 1

nªn lµ ph− ¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn.

y

x

y x

x y dx x y dy

P x y PQ x y Q

P Q

= + + − = + −∫ ∫ 2 2

0 0(2 ) (0 4 ) 2

x yu x y dx y dy x yx y

VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cÇn t×m lµ:

+ − =2 22 x xy y C

II. Ph − ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2

( , , ', '') 0 hoÆc '' ( , , ') F x y y y y f x y y= =

1 2( , , ) y x C C = lµ d¹ng nghiÖm tæng qu¸t.

1 2( , , , ) 0 x y C CΦ = tÝch ph©n tæng qu¸t.

Chóng chøa 2 h»ng sè tïy ý

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




1. C¸c lo¹i ph − ¬ng tr×nh cÊp 2 cã thÓ gi¶m cÊp ®− îc

Lo¹i 1: '' ( ) v¾ng y,y y f x =

VÝ dô: '' cos y x x = + 2

1' sin2

x y x C= + + →3

1 2cos6

x y x C x C= − + + +

ChØ cÇn tÝch ph©n 2 lÇn tíi ®− îc nghiÖm tæng qu¸t.

Lo¹i 2: '' ( , ') v¾ng y y f x y=

§Æt ' '' ' vµ cã ' ( , ) y p y p p f x y= = = lµph− ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 cña p.

Cã p t×m ®− îc y.

VÝ dô:

''' y y x

x

= −

§Æt ' ' ''1 1' '

p y p y

p x p p p x x

= =

= − → + =

Ta nhËn ®− îc ph − ¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 tuyÕn tÝnh cñahµm p (§· biÕt c¸ch gi¶i).

Lo¹i 3: '' ( , ') v¾ng x y f y y=

§Æt' ' '' '' . . x y x

dp y p y p p y pdy

= = = =

VËy cã: . ( , )dp p f y pdy

= lµ ph− ¬ng tr×nh cÊp 1 cña

hµm p ®èi víi Èn sè y.WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




VÝ dô:

+ =2,, ,2 0 yy y

20

2 02 0 (*)

pdp yp p dp y pdy

dy

=+ =

+ =

(*)2

dp dy

p y

= −

lµ ph− ¬ng tr×nh biÕn sè ph©n li ®· biÕt c¸ch gi¶i.

2. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2D¹ng

'' ( ) ' ( ) ( ) (1)

'' ( ) ' ( ) 0 (2)

y p x y q x y f x

y p x y q x y

+ + =

+ + =

(2) lµ ph− ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cña (1).

● C¸ch gi¶i '' ' 0 (2) y py qy+ + =

NÕu cã 1 2( ) vµ ( ) y x y x tháa m·n (2) vµ1

2

y y

≠ h»ng sè th×

1 2( ) vµ ( ) y x y x lµ 2 nghiÖm riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnhcña (2) vµ nghiÖm tæng qu¸t cña (2) l

1 1 2 2 y C y C y= +

Chó ý: Khi hÖ sè p, q lµ nh÷ng hµm sè th× nÕu biÕt tr− íc 1

nghiÖm riªng 1 2( ) th× ( ) y x y x t×m ®− îc tõ d¹ng:

2 1( ) ( ). ( ) y x u x y x = WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




● C¸ch gi¶i ph − ¬ng tr×nh:

'' ( ) ' ( ) ( ) y p x y q x f x + + =

Còng t×m nghiÖm d− íi d¹ng nghiÖm tæng qu¸t cñaph− ¬ng tr×nh (2) lµ:

1 1 2 2 y C y C y= +

Nh− ng 1 2,C C lµ 2 hÖ sè t×m ®− îc tõ hÖ:

' '1 1 2 2' ' ' '

1 1 2 2

0

( )

C y C y

C y C y f x

+ =

+ =

Th× hÖ nµy t×m ®− îc ' '1 2vµC C råi t×m tiÕp ®− îc 1 2,C C nhê

tÝch ph©n. §ã lµ ph− ¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sèLagrange.

VÝ dô: Gi¶i − =,1'' y y x x

a)Ph− ¬ng tr×nh1'' 0 y y− = cã nghiÖm tæng

qu¸t 2 21 2 1 2.1 , 1. y C x C y x y= + = =

b)Ph − ¬ng tr×nh1'' y y x x

− = cã nghiÖm tæng qu¸t d¹ng

1 1 2 2 y C y C y= + . T×m 1 2,C C .Gi¶i hÖ

'' 2 ' 11 2' ' ' 21 2 2

1 2.1 012 02

CC x CC x C x C x

= + =

+ = = −

1 1

3

2 2

2

6

x C

x C

ζ

ζ

= +

= − +

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




1 2

32

1 22 6c c

x x y x ζ ζ

= + + − + 14243 14243

→ 32 *

1 2( .1)3

x y x y yζ ζ = + + = +

ThÊy3

*

3 x y = còng tháa m·n

1'' y y x x

− = nªn lµ nghiÖm

riªng cña (1).

Tæng qu¸t cã:

*

*

: tæng qu¸t cña (1)

: tæng qu¸t cña (2)y : nghiÖm riªng cña (1)

y y y y y= +

3. Ph− ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè lµ h»ng sè

a. Ph−

¬ng tr×nh thu©n nhÊt:'' ' 0 y py qy+ + = trong ®ã , p q lµ h»ng sè

Cã ph − ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng sau:

+ + = → ∆ = −2 20 4k pk q p q • NÕu 1 2

1 2 1 20 k x k x k k y C e C e∆ > ≠ = +

• NÕu

1 20 cã nghiÖm kÐp kx kx y C e C xe∆ = = +

• NÕu− ± ∆

∆ < = = ±02

p ik a ib

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




Víi∆

= − =,2 2 pa b vµ nghiÖm

( )= +1 2cos sinax y e C bx C bx

VÝ dô 1: '' 4 ' 3 0 y y y− + =

12

2

14 3 0

3k

k k k

=− + =

=

NghiÖm cña ph− ¬ng tr×nh: 31 2

x x y C e C e= +

VÝ dô 2: '' 4 ' 4 0 y y y− + = 2 4 4 0k k − + = lµ ph− ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng

Ph− ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp 2k = nghiÖm lµ:2 2

1 2 x x y C e C xe= +

VÝ dô 3: '' 4 ' 13 0 y y y− + = → 2 4 13 0k k − + =

[ ]= ±

∆ = − = += =

' 21 2

2 39 cos3 sin3

2, 3 x k i

y e C x C x a b

b. Ph− ¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt:

'' ' ( ) y py qy f x + + =

C¸ch gi¶i: Dùa vµo ph− ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng ta t×m ®− îcnghiÖm tæng qu¸t y cña ph − ¬ng tr×nh kh«ng cã vÕ ph¶ilµ: 1 1 2 2 y C y C y= +

D¹ng ph − ¬ng ph¸p biÕn thiªn Lagrange coi 1 2,C C lµ hµm.Ta t×m ®− îc nghiÖm tæng qu¸t cña ph − ¬ng tr×nh cã vÕph¶i. (§· tr×nh bµy ë phÇn tr − íc).

§©y cã thÓ coi lµ ph−

¬ng ph¸p tæng qu¸t ®Ó gi¶i lo¹iph− ¬ng tr×nh nµy.

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Víi mét sè tr − êng hîp ®Æc biÖt ta cã nh÷ng ph− ¬ng ph¸priªng.

Tr − êng hîp 1:VÕ ph¶i ( ) ( )ax n x e P x =

y lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph− ¬ng tr×nh kh«ng cã vÕph¶i (dÕ dµng t×m ®− îc nhê ph − ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng).

Ta cÇn t×m * y . Dùa vµo vÕ ph¶i cã d¹ng cña * y nh− sau:

• =* ( ) x n y e Q x α

nÕu a kh¸c nghiÖm cña ph− ¬ngtr×nh ®Æc tr− ng.

• =* ( ) x n y xe Q x α nÕu a trïng nghiÖm ®¬n cña

ph− ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng (khi 0∆ > ).

• =* 2 ( ) x n y x e Q x α nÕuα trïng nghiÖm kÐp cña

ph− ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng (khi 0∆ = ).

( )nQ x lµ ®a thøc cïng bËc víi ( )n P x . C¸c hÖ sè cÇn x¸c®Þnh b»ng ph− ¬ng ph¸p ®ång nhÊt.

VÝ dô 1: '' 2 ' 1 y y y x − + = + 2 2 1 0k k − + =

Ph− ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp 1 21 x x k y C e C xe= = +

VÕ ph¶i:0

( ) 1 ( 1) x

f x x e x = + = + = ≠ =0 1k α , y* = A x + B

= =,* *'', vµ 0 y A y

Thay vµo ph− ¬ng tr×nh ®· cho ®− îc:

− + + = +0 2( ) 1 A Ax B x

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




1

2 12 1 3

A Ax B A x

B A B=

+ − = + − = =

VËy* 3 y x = +

NghiÖm tæng qu¸t cÇn t×m lµ:

*1 2 3 x x y y y C e C xe x = + = + + +

VÝ dô 2: '' 4 ' 3 (2 ) x y y y e x − + =

= =1; ( ) 2 P x x α

2 14 3 0

3k

k k k

=− + = =

31 2

x x y C e C e = +

* . ( ) x y x e Ax B= +

VÝ dô 3: '' 2 ' x y y y e− + = 2 22 1 0 ( 1) 0 1 (kÐp)k k k k − + = − = =

1 2 x x y C e C xe= +

( ) x f x e=

* 2 1. .

1 lµ nghiÖm kÐp x a

y x e Ak

==

=

Cã d¹ng y, tÝnh*' *'', y y ®em thay vµo ph− ¬ng tr×nh ®·

cho ta cã ®iÒu kiÖn ®Ó t×m ®− îc h»ng sè A. NÕu cã A th×cã:

* 21 2

x x y y y C x C xe x e A= + = + +

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Tr − êng hîp 2: [ ]( ) ( )cos ( )sin x n m x e P x x Q x x α β β = +

NÕu max( , )l n m= th× y* cã d¹ng sau:

a) nÕu iα β ± kh¸c nghiÖm phøc a ib± cña ph − ¬ngtr×nh ®Æc tr− ng

[ ]α β β +*1 1= ( )cos ( )sin x y e R x x S x x

b) khi i a ibα β ± ≡ ± lµ nghiÖm phøc cña ph− ¬ng tr×nh

®Æc tr− ng,[ ]*

1 1( )cos ( )sinax y xe R x x S x x β β = +

1 1( ) vµ ( ) R x S x lµ c¸c ®a thøc bËc 1 cã hÖ sè cÇn x¸c®Þnh.

VÝ dô 1: '' 4 4 sin y y x x + =

Gi¶i: Ph− ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng:2 24 0 4 0 2k k k i+ = = − = ± Cã = 0 = 2.vµ ba

VËy 1 2cos2 sin2 y C x C x = +

VÕ ph¶i:

[ ] α

β

==

=0 0

( ) 4 sin1

x f x e x x → ( ) ( )a ib iα β ± ≠ ±

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

* 01 1 2 2

*'1 1 1 2 2 2

2 2 1 2 1 1

*''2 2 2 1 2 1 1 1

*''1 2 1 2 1 2

( )cos ( )sin

cos ( )sin sin ( )cos

cos sincos ( )sin ( )cos sin

2 cos 2 sin

x y e A x B x A x B x y A x A x B x A x A x B x

A x B A x A B A x x y A x A x B A x A A A x x A y A x A B x A x A B x

= + + +

= − + + + +

= + + + − −

= − + + + − − −

= − + − − + +

§em * *'' vµ y y thay vµo ph− ¬ng tr×nh ®− îc:

[ ] [ ][ ] [ ]

1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

2 cos 2 sin4 4 cos 4 4 sin 4 sin

A x A B x A x A B x A x B x A B x x x

− + − − + + ++ + + + =

§ång nhÊt hÖ sè ta cã hÖ sau:

1

1 2 1 2 1

2 2 1 2

2 1

3 03 2 3 0 2 3 0

3 3 2 4 3 43 2 0

A A x A B A B

A x B A x A B A

=

+ + = + =

+ − = = − =

1 1

2 2

0 8 94 3 0

A B A B

= = −

= =* 8 4cos sin

9 3 y x x = − +

NghiÖm tæng qu¸t lµ:

*1 2

8 4cos2 sin2 cos sin9 3

y y y C x C x x x = + = + + − +

VÝ dô 2: 2'' 4 5 x y y e+ =

Ph− ¬ng tr×nh ®Æc tr− ng

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




+ = = 0, =→ = +

2

1 2 4 0 2 cos2 sin2k a b y C x C x

ë ®©y α = 2 , β = 0 nªn* 2 . T×m A x y Ae= :

= → =*' 2 *'' 22 4 x x y Ae y Ae

Thay vµo 2'' 4 5 x y y e+ =

®− îc2 2 2 54 4 5 8 5

8 x x x Ae Ae e A A+ = = = Cã

* 258 x y e=

NghiÖm tæng

qu¸t:* 2

1 25cos2 sin28

x y y y C x C x e= + = + +

Nguyªn lý chång chÊt nghiÖm: (C«ng nhËn kh«ng chøng

minh).NÕu cã 1 2'' ' ( ) ( ) y py qy f x f x + + = + th× nghiÖm tæng qu¸tcã d¹ng:

* *1 2 y y y y= + +

ë ®©y:

• lµ nghiÖm tæng qu¸t cña '' ' 0 y y py qy+ + =

• *1 1lµ nghiÖm riªng cña '' ' ( ) y y py qy f x + + =

• *

2 2lµ nghiÖm riªng cña '' ' ( ) y y py qy f x + + =

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




VÝ dô 3: 2'' 4 4 sin 5 x y y x x e+ = +

Theo kÕt qu¶ 2 vÝ dô trªn ta cã:

= +

= − + =

1 2

* * 21 2

cos2 sin28 4 5cos sin ;9 3 8

x

y C x C x

y x x y e

VËy ta cã :

y = C1 cos2x + C2 sin2x - 89

cosx + 43

sinx + 58

e2x

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




B i 6

Lý thuyÕt chuçiI. Chuçi sè

1. C¸c kh¸i niÖm

Chuçi sè ký hiÖu lµ1

(1)nn

a∞

=∑

* Ta gäi tæng h÷u h¹n1

n

n ii

S a=

= ∑ lµ tæng riªng thø n cña

chuçi sè.

- NÕulim nn S S

→∞= (h÷u h¹n) th× ta nãi chuçi sè héi tô vµ cã

tæng lµ S

NÕu n S kh«ng dÇn tíi mét giíi h¹n h÷u h¹n khin → ∞ th× ta nãi chuçi sè ph©n kú.

VÝ dô: XÐt chuçi sè

( ) ( )∞

=

→∞ →∞

→ = + + +− +

= − + − + − + + − = − + +

= − = +

∑1

1 1 1 1...1 1.2 2.3 1

1 1 1 1 1 1 1 11 ... 12 2 3 3 4 1 1

1lim lim 1 11

nn

nn n

S n n n n

n n n

S n

VËy chuçi sè ®· cho héi tô vµ cã tæng 1 S = .

2. C¸c ®Þnh lý vÒ chuçi héi tô

§Þnh lý 1: (§iÒu kiÖn cÇn cña chuçi héi tô)

NÕu chuçi sè (1) héi tô th×lim 0nn a→∞= .

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




* NÕulim 0nna

→∞≠ th× chuçi sè ph©n kú.

* NÕu lim 0nna

→∞= th× ch− a biÕt chuçi sè (1) héi tô hay

ph©n kú.

VÝ dô:XÐt chuçi sè1

11n

n n∞

=

+

∑

1lim lim 1 0n

nn na e

n→∞ →∞

= + = ≠ .

VËy chuçi ph©n kú. §Þnh lý .2:TÝnh héi tô hay ph©n kú cña mét chuçi sèkh«ng thay ®æi khi ta bít ®i mét sè h÷u h¹n sè h¹ng ®Çutiªn.

§Þnh lý .3:NÕu chuçi sè1

nn

a∞

=∑ héi tô vµ cã tæng lµ S th×

chuçi sè1

nn

aα ∞

=∑ còng héi tô vµ cã tæng lµ . S α

§Þnh lý .4: NÕu c¸c chuçi1 1

,n nn n

a b∞ ∞

= =∑ ∑ héi tô vµ cã tæng

t−

¬ng øng lµ 1 2, S S th× chuçi tæng( )

1 n nna b

∞

=

+

∑ còng héi tôvµ cã tæng lµ 1 2 S S + .

3. Chuçi sè d − ¬ng

§Þnh nghÜa 1:Chuçi sè d − ¬ng lµ chuçi sè cã

d¹ng n

1

trong ®ã a 0 (2)n

n

a∞

=

>∑

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




V× 1 1 n+10 nªn Sn n n n S S a S + +− = > > .

VËy { }n S lµ mét d·y sè t¨ng. Do ®ã, nÕu d·y sè { }n S bÞchÆn trªn th× tån t¹i lim n

n

S →∞

vµ chuçi sè héi tô.NÕu d·y { }n S

kh«ng bÞ chÆn trªn th×lim nn S

→∞= ∞ nªn chuçi sè ph©n kú.

C¸c tiªu chuÈn héi tôa. Tiªu chuÈn so s¸nh

§Þnh lý .5:Cho 2 chuçi sè d− ¬ng∞

=

∑1

(3)n

n

a Vµ

∞

=

∑1

(4)n

n

b

Gi¶ sö n na b n≤ . Khi ®ã:

- NÕu chuçi (4) héi tô th× chuçi (3) héi tô.

- NÕu chuçi (3) ph©n kú th× chuçi (4) ph©n kú.

Trong phÐp so s¸nh, ng− êi ta hay sö dông chuçi

1

1 (5)n nα

∞

=∑

- NÕu 1α > th× chuçi (5) héi tô.

- NÕu 1α ≤ th× chuçi (5) ph©n kú.

Khi 1α = ta cã chuçi sè1

1n n

∞

=∑ gäi lµ chuçi ®iÒu hßa hay

chuçi ®iÒu hßa ph©n kú.

VÝ dô: XÐt sù héi tô cña chuçi sè ( )1

12n n n

∞

= +∑

NhËn xÐt:( ) 32

1 1 12n n n n n< =+ W

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




( )( )

( )

212

1 33 1

3 13 ;1 2 1 1 2

nn

n nn n

nna an n

+

+ +

+= =

+ + +

( )( )

( )

( ) ( )( )

+

+

→∞ →∞ +

→∞ →∞

++= + +

+ += = =

+ +

2 311

3 21

2 3 5

3 52

1 23 1lim lim .3 .1 1 2

1 13 3 3lim lim2 2 21 1

nnn

nn n nn

n n

nnaa nn

n n nnn n

VËy chuçi ph©n kú.

c. Tiªu chuÈn Cauchy

§Þnh lý .8:NÕu lim nnn

a ρ →∞

= th×

- Chuçi sè héi tô khi 1 ρ < . - Chuçi sè ph©n kú khi 1 ρ > .

(Khi 1 ρ = th× kh«ng kÕt luËn ®− îc).

VÝ dô: XÐt chuçi sè

2 2

1

1 11 1,

3 3

n n

nn nn

n na∞

=

+ + =∑

11lim lim 1

3 3

n

n

nn n

ena→∞ →∞

+ = = <

. VËy chuçi héi tô.4. Chuçi ®an dÊu – Chuçi cã dÊu bÊt kú

a. Chuçi ®an dÊu* §Þnh nghÜa .2:Chuçi ®an dÊu lµ chuçi cã d¹ng

( ) 11 2 3 4 ... 1 ...n

na a a a a+− + − + + − +

Ký hiÖu bëi

WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




( ) ( )1n

11 , trong ®ã a 0 6n

nn

a n∞

+

=

− > ∑

* Tiªu chuÈn héi tô (Tiªu chuÈn Lepnit)

NÕu chuçi ®an dÊu (6) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:

( ) ( )+ →∞> =11 , ; 2 lim 0n n nn

a a n a

Th× chuçi héi tô vµ cã tæng kh«ng v− ît qu¸ 1.a

VÝ dô: XÐt chuçi ( )1

1

11

n

n n

∞ +

= −∑

1

1 1, .1n na a

n n+= =+ Ta cã

1

1lim lim 0

n n

nn n

a a

an

+

→∞ →∞

>

= =

Chuçi ®· cho tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña tiªu chuÈnLepnit, vËy chuçi héi tô.

b. Chuçi sè cã dÊu bÊt kú §Þnh nghÜa .3:Chuçi sè cã dÊu bÊt kú lµ chuçi sè cã d¹ng

( )1 , trong ®ã cã dÊu bÊt kú 7n nn a a∞

=∑

Cïng víi chuçi (7), ta xÐt chuçi sè

( )1

8nn

a∞

=∑

§Þnh lý .9: NÕu chuçi (8) héi tô th× chuçi (7) còng héitô vµ ®− îc gäi lµ héi tô tuyÖt ®èi.WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




VÝ dô:Chuçi sè

( )( )1

cos2

1 2n

n

n n

π ∞

= + +∑ héi tô tuyÖt ®èi v×

( )( ) 2

cos 121 2

n

n n n

π

≤+ + mµ chuçi 2

1

1n n∞

=∑ héi tô.

NÕu chuçi (7) héi tô cßn chuçi (8) ph©n kú th× chuçi (7)

gäi lµ b¸n héi tô (héi tô kh«ng tuyÖt ®èi).

VÝ dô:Chuçi sè ( ) 1

1

11 n

n n∞ +

=

−∑ héi tô

XÐt chuçi sè

( )1

1 1

1 11

n

n nn n

∞ ∞+

= =− =∑ ∑ .

§©y lµ chuçi ®iÒu hßa ph©n kú, vËy chuçi ( )1

1

11 n

n n∞ +

=

−∑ lµ

b¸n héi tô.

Chó ý: NÕu dïng tiªu chuÈn Dalambe hay Cosi mµ biÕt®− îc chuçi sè

n1 1

ph©n kú th× chuçi sè a còng ph©n kúnn n

a∞ ∞

= =∑ ∑ .

VÝ dô: XÐt chuçi sè ( ) 31

31n

n

n n∞

=

−∑ .

Dïng tiªu chuÈn Dalambe ®Ó xÐt chuçi sèWW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( ) 3 31 1

3 31n n

n

n nn n∞ ∞

= =

− =∑ ∑

( )

1 3 3

1 3 33lim lim 3lim 3 131

n

nnn n n

na n na nn

+

+→∞ →∞ →∞= = = >

+

Chuçi 31

3n

n n∞

=∑ ph©n kú theo tiªu chuÈn Dalambe, vËy

chuçi ®· cho còng ph©n kú.

II. Chuçi lòy thõa 1. §Þnh nghÜa .5Chuçi lòy thõa lµ chuçi hµm cã d¹ng

( )21 2 ... ... 3n

n na a x a x a x + + + + +

Trong ®ã 1 2, ,..., ,...na a a lµ c¸c h»ng sè

2. Tiªu chuÈn héi tô §Þnh lý Abel: NÕu chuçi lòy thõa (3) héi tô t¹i

0 0 x x = ≠

th× nã tuyÖt ®èi t¹i mäi x tháa m·n

0 0 0hay lµ x x x x x < − < < .

HÖ qu¶:NÕu chuçi lòy thõa 10

ph©n kú t¹innn

a x x x ∞

==∑

th× nã ph©n kú t¹i mäi 1tháa m·n . x x x >

3. C¸ch t×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa

Tiªu chuÈn Dalambe: Chuçi (3) héi tô tuyÖt ®èi nÕu

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




+++ + +

→∞ →∞ →∞< = <

111 1 1lim 1 lim lim 1

nnn n n

nnn n nn nn

a x a x a x a x aa x

§Æt1

lim . Ta cã 1n

nn

a

x a ρ ρ +

→∞= <

.→

Chuçi (3) héi tô1: x x R ρ

< =

Gäi R lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa (3) th×

( )( )( )

1nÕu 0,nÕu 0

0 nÕu =

R ρ ρ ρ ρ

ρ

≠ ≠ ∞

= ∞ =

∞

VËy chuçi ®· cho héi tô tuyÖt ®èi víi mäi x trong kho¶ng. R x R− < <

VÝ dô T×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

ρ

∞

+=

+

→∞ →∞ →∞

= =+ + + +

+= = = =

+ + +

∑ 11

1

1 1, ,1 1 1 2

11lim lim lim 11 2 1 2

n

n nn

n

n n nn

x a an n n n n n

a n n na n n n

VËy chuçi héi tô 1 1 x x − < <

+ XÐt t¹i 1 x = , ta cã chuçi sè

( ) 21 1

1 1 cïng lo¹i víi héi tô1 nn nn n

∞ ∞

= =+∑ ∑

+ XÐt t¹i 1 x = − , ta cã chuçi sè

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( )( )1

11

n

n n n∞

=

−

+∑ chuçi ®an dÊu

( ) ( )( )

( )

1

1 11 1 2

1lim lim 01

n n

nn n

a an n n n

an n

+

→∞ →∞

= > =+ + +

= =+

VËy theo tiªu chuÈn Lepnit chuçi ®an dÊu héi tô.

KÕt luËn:MiÒn héi tô cña chuçi lòy thõa ®· cho lµ

1 1. x − ≤ ≤

Theo tiªu chuÈn C«si Chuçi (3) héi tô tuyÖt ®èi nÕu

lim 1 lim 1n nnn nn n

a x a x →∞ →∞

< <

→∞= <

< =

Ký hiÖu lim , ta cã 11Chuçi (3) héi tô :

nnn a x

x R ρ ρ

ρ

Gäi R lµ b¸n kÝnh héi tô cña chuçi lòy thõa (3) th×

( )

( )( )

1 nÕu 0,

nÕu 0

0 nÕu =

R

ρ ρ ρ

ρ

ρ

≠ ≠ ∞

= ∞ =

∞

VËy chuçi ®· cho héi tô tuyÖt ®èi víi mäi x trong kho¶ng. R x R− < <

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




§Ó t×m miÒn héi tô ®Çy ®ñ, ta cßn ph¶i xÐt tÝnh héi tô cñachuçi (3) t¹i x R= ± .

VÝ dô:T×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa

∞

=

→∞ →∞

=

+ +

= = = =

+

= =

∑1

3 3,1 11 1

3 3lim lim 3111

1 13

n n nn nn

n

nnnn n

x a

n n

a

n

R

ρ

ρ

Chuçi ®· cho héi tô1 1:3 3

x x − < <

+ XÐt t¹i

13 x

=, ta cã chuçi sè

1 1

3 1 131 11 1

nn

n nn n

n n

∞ ∞

= =

=

+ +

∑ ∑

Ta xÐt

1 1lim 011

nn en

→∞= ≠

+

chuçi ph©n kú.

+ XÐt t¹i13

x = − , ta cã chuçi sè

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




( )1 1

13 131 11 1

nnn

n nn n

n n

∞ ∞

= =

− − =

+ +

∑ ∑ chuçi ®an dÊu

Chuçi ph©n kú v× sè h¹ng tæng qu¸t kh«ng dÇn tíi 0 khin → ∞ .

VËy miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa ®· cho lµ1 13 3

x − < <

Chó ý NÕu chuçi lòy thõa cã d¹ng ( )1

n

nn a x α

∞

=

−∑

Th× ta ®Æt n1

, chuçi sÏ trë thµnh a n

n X x X α

∞

=

= − ∑

vµ c¸ch t×m miÒn héi tô t− ¬ng tù nh− trªn, ta

cã: R X R R x Rα − < < − < − < .Ta cßn ph¶i xÐt

t¹i X R= ±

VÝ dô:T×m miÒn héi tô cña chuçi( )

1

22 .

n

nn

x n

∞

=

−∑

§Æt 2, X x = − ta cã chuçi lòy thõa

( )

( ) ρ

∞

+ +=

+

+→∞ →∞ →∞

= = +

= = = =+ +

∑ 1 11

11

1 1, ,2 . 2 . 2 1

1 2 . 1 1lim lim lim2 1 1 2 1 2

n

n nn n nn

nn

nn n nn

X a an n na n na n n

VËy1 2 R ρ

= =

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




+ XÐt t¹in

1 1

2 12, ta cã chuçi sè ph©n kú2 .n

n n X

n n∞ ∞

= =

= =∑ ∑

+ XÐt t¹i

( )1

-12, ta cã chuçi sè chuçi héi tô theo Lepnit

n

n X

n∞

=

= − ∑.

VËy

2 2 2 2 2 0 4 X x x − ≤ ≤ − ≤ − ≤ ≤ ≤ .

KÕt luËn:MiÒn héi tô cña chuçi ®· cho lµ 0 4 x ≤ ≤ .

VÝ dô:T×m miÒn héi tô cña chuçi

1

1 1 n

n

x n x

∞

=

+

∑

§Æt ( ) 1, ®iÒu kiÖn x 0 x f x += ≠

1 1lim lim 11 1

n

n nn

a na n

ρ +

→∞ →∞= = =

+

VËy ( )1 1 f x − < < .

+ XÐt khi1

1 11, ta cã chuçi sè ph©n kúnn

x x

∞

=

+= ∑

+ XÐt khi

( )1

1 11, ta cã chuçi sè 1 héi tô theo Lepnitn

n

x x n

∞

=

+= − −∑ .

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM




VËy11 1 x

x +

− ≤ <

Gi¶i hÖ bÊt ph− ¬ng tr×nh

1 1 11 1 0 0 0

1 1 2 11 1 0 0

x x x x x x

x x x x x

+ +< − < < <

+ + + ≥ − + ≥ ≥

x≤ -1/2

WW

W D Y

KEMQU

YNHON UCO

Z COM



Tμ i liÖu tham kh¶o

1. G.M.Fichtengon, C¬ së gi¶i tÝch to¸n TËp 1, 2, NhµxuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt.

2. Lª Ngäc L¨ng (chñ biªn) vµ çc t¸c gi¶ kh¸c, ¤n thihäc kú vµ thi vµo giai ®o¹n 2,Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1997.

3. Liasko, Boiartruc, Gi¶i tÝch to¸n häc víi çc vÝ dô vµ bµitËp,Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt 1995.

4. NguyÔn §×nh TrÝ vµ çc t¸c gi¶ kh¸c,To¸n häc cao cÊpTËp 1,2,3,Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999.

5. NguyÔn §×nh TrÝ vµ çc t¸c gi¶ kh¸c, Bµi tËp to¸n häccao cÊp, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999.

6. Bïi Minh TrÝ (chñ biªn)

Gi¶i tÝch to¸n häc,Nhµ xuÊt b¶n Thèng kª 2005.

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M

Ôn tập Toán học Tác giả: Thầy Nguyễn Đình Trí, 2010 (Tài liệu ôn thi cao học)

Documents

Transcript of Ôn tập Toán học Tác giả: Thầy Nguyễn Đình Trí, 2010 (Tài liệu ôn thi cao học)