Ôn tập số phức và tổ hợp

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC

Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 1

CHñ §Ò: tæ hîp vμ sè phøc n¨m häc: 2010 - 2011

Hä vμ tªn: NguyÔn V¨n Loan

Tæ: To¸n � Tin

Tr¦êng THPT CÈm Lý



CCHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ:: SSỐỐ PPHHỨỨCC 11.. ĐĐỊỊNNHH NNGGHHĨĨAA PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC I> Khái niệm số phức: Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1.

Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b và 2i = –1}. Ta có . Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo.

II> Số phức bằng nhau:

Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z '

'

a a

b b

VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1)

(1) 2 3 2 1 2 2

3 1 3 7 2 0

x y x y x

y x x y y

III> Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục

hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:

Az = 1 + 4 i , Bz = –3 + 0. i , Cz = 0 –2 i , Dz = 4 – i

IV> Môđun của số phức: Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt

phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số

phức z. Kí hiệu 2 2z = a + bi = a + b

VD: z = 3 – 4 i có 2 23 4 3 ( 4)z i = 5

Chú ý: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 4z a b abi a b a b a b z

V> Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi .

z = a + bi z = a - bi ; z z , z = z * Chú ý

iiiiZZ nn ;;)()(

Z là số thực ZZ

Z là số ảo ZZ

* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R) zzbaOMZ .22 Chú ý: ZZ z C

Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. VI> Cộng, trừ số phức: Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i Cho z a bi và ' ' 'z a b i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.

VII> Phép nhân số phức: Cho hai số phức z a bi và ' ' 'z a b i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i = –1

và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i

k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z

z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 22 2z.z = a + b = z



VD: Phân tích 2z + 4 thành nhân tử. 2z + 4 = 2z – 2(2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ). Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.

VIII> Phép chia số phức:

Số nghịch đảo của số phức z a bi 0 là -12

1 zz = =

z z hay

2 2

1 a - bi=

a + bi a + b

Cho hai số phức z a bi 0 và ' ' 'z a b i thì 2

' '.z z z

z z hay

2 2

a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)=

a + bi a + b

VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i .

Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i z = 2 2

i

i

(2 2 ) 2 2 1 1

4 4 8 4 4

i i iz z z i

IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N 4k 4k+1 4k+2 4k+3i = 1; i = i; i = -1; i = -i

VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13(2 2 )i 62 6 6 6 19 19(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i

Phần thực a = 192 , phần ảo b = 192

22..BBÀÀII TTẬẬPP PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC..

1) Tìm các số thực x, y biết:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

Hướng dẫn: a) x = 3

2, y =

4

3 c) x =

1 5

2

, y =

1 3

3

b) x = 0, y = 1.

2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]. Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2

tính cả biên. 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 21 2a b , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không

tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 4)Thực hiện các phép tính sau:

b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c) 2 3(1 ) (2 )

2

i i

i

5)Giải phương trình sau:

c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 24 3

zi i

i



Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 8 9

5 5i c) z = 15 – 5i.

6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin6 6

F

nên F

biểu diễn số 3 1

2 2i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số

3 1

2 2i . E đối xứng F qua Ox

nên E biểu diễn số 3 1

2 2i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số

3 1

2 2i

7)Cho 1 3

2 2z i . Hãy tính: 2 3 21

; ; ; ( ) ;1z z z z zz

.

Hướng dẫn: Ta có 1z nên

1 1 3

2 2i z

z ; 2 1 3

2 2z i ; 3 2. 1z z z ; 21 0z z

8)Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng 1

2z z , phần ảo của số phức z bằng 1

2z z

i

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .

d) Với mọi số phức z, z, ta có ' ' , ' . 'z z z z zz z z và nếu z 0 thì ' 'z z

z z

Hướng dẫn: ,z a bi z a bi (1)

a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng 1

2z z . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức

z bằng 1

2z z

i .

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 0z z z z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 0z z z z . d) 2 2; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b là số thực

' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z

' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z

' '. '. '. '

. . .

z z z z z z z z

z z z z z z z z

9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 31; ; 1;m m m mi i i i i i

Hướng dẫn: Ta có 4 2 2. 1i i i

4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 31 1 . 1. . . 1 . 1.m m m m m m m m mi i i i i i i i i i i i i i i i i

10)Chứng minh rằng:

e) Nếu u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z

và từ đó nếu hai điểm 1 2,A A theo

thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1A A z z

;

f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z 0 thì '' zz

z z

g) Với mọi số phức z, z, ta có ' 'z z z z

Hướng dẫn:



a) z a bi thì 2 2z a b , u

biểu diễn số phức z thì u

= (a; b) 2 2u a b

do đó

| | | |u z

1 2,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1A A OA OA z z A A z z

b) z a bi , ' ' 'z a b i , . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i , 2 2 2 2, ' ' 'z a b z a b

Ta có 2 2 2 2 2 2. ' ' 'z z a b a b

Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b

Vậy |z.z| = |z|.|z|

Khi z 0 ta có 2 2

' . ' . '' '.

.

z z z z zz z z

z z z zz z

c) u

biểu diễn z, 'u

biểu diễn z thì 'u u

biểu diễn z + z và ' 'z z u u

Khi , ' 0u u

, ta có 22 2 22 2' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u

' 'u u u u

do đó ' 'z z z z

11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

h) 1z i b) 1z i

z i

c) 3 4z z i

Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.

a) Với z x yi 22 2 21 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.

b) Với z x yi 2 22 21 ( 1) ( 1) 1 1 0z i

x y i x y i x y x y yz i

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với z x yi 2 2 2 23 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y

6 8 25 0x y . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y

12)Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có 10

2 9 11 ...

1

zz z z

z

Hướng dẫn: Với z 1, 2 9 2 9 10 2 9 101 ... 1 ... 1 ... 1z z z z z z z z z z z z

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân) 13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?

2 2( )z z 3 3( )

z z

z z

2 2( )

1

z z

zz

Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi

Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i

Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b là số thực; 3 3 3 2( ) 3

z z bi

z z a ab

là số ảo;

2 2

2 2

( ) 4

1 . 1

z z abi

z z a b

là số

ảo. 13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

i) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1

z i là số ảo.

Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi

a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O



b) 2z là số ảo khi 2 2 0x y y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.

c) 2 2( )z z khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.

d) 1

z i=

2 2

1 ( 1)

( 1) ( 1)

x y i

x y i x y

là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;

14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau: j) 2 0iz i c) 2 4 0i z e) 2 4 0z

k) 2 3 1i z z d) 1 3 2 3 0iz z i z i

Hướng dẫn:

a) 1 2z i b) 1 3

10 10z i c)

8 4

5 5z i d) ; 3 ; 2 3i i i e) 2z i

2) Tìm :

15) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i

z i

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i

z i

là số

thực dương. Hướng dẫn:

a) Phần thực là 2 2

2 2

1

( 1)

x y

x y

, phần ảo 2 2

2

( 1)

x

x y

b) Là số thực dương khi 0x và 2 2 1 0x y Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,i i .

16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z thỏa 1 2 3z z z .

Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 3 0z z z

Hướng dẫn:

a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có 1 2 3

1 1

3 3OG OA OB OC z z z

vậy G biểu diễn số

phức 1 2 3

1

3z z z z

b) Vì OA OB OC

nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G

trùng O hay 1 2 3 0z z z .

33.. CCĂĂNN BBẬẬCC HHAAII CCỦỦAA SSỐỐ PPHHỨỨCC && PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC HHAAII.. I> Căn bậc hai của số phức:

Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2z = w được gọi là căn bậc hai của w. w là số thực: w = a a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0

a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i

w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi

2z w

2 22 x - y = a

(x + yi) = a + bi2xy = b

Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau. VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i .

Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có 2 2

2 2 3( ) 3 4

2 4

x yz w x yi i

xy



2 2 4 2 23 3 4 0 4

2 2 2

x y y y y

x x xy y y

2

1

y

x

hoặc 2

1

y

x

.

Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2 i , 2z = –1 – 2 i .

II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: 2 20 ( 0), 4ax bx c a b ac .

0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2

bx

a

< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2

| |.

2

b ix

a

VD: Giải phương trình 3 8 0x

3 3 3 2

2

28 0 2 0 ( 2)( 2 4) 0

2 4 0 (1)

xx x x x x

x x

(1) có = 1 – 4 = –3 = 2

3.i nên có 2 nghiệm phức 1,2 1 3.x i .

Do đó phương trình có 3 nghiệm 1 2 31 3. , 1 3. , 2x i x i x

2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 20 ( 0), 4Ax Bx C A B AC , a bi

= 0: Phương trình có nghiệm kép 2

Bx

A

0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2

Bx

A

với là 1 căn bậc hai của .

VD: Giải phương trình: a) 2 1 02z iz ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i

a) 2 1 02z iz có = –1 – 8 = – 9 = 2(3 )i .

Phương trình có 2 nghiệm phức 1

3

4

i iz i

, 2

3 1

4 2

i iz i

b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i có = 2 2(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i =

2(1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức 1

3 2 1 41 3

2

i iz i

;

2

3 2 1 42

2

i iz i

44..BBÀÀII TTẬẬPP PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC HHAAII

1) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 23 2 1 0z z b) 27 3 2 0z z ; c) 25 7 11 0z z Hướng dẫn:

a) 1 2

3

i b)

3 47

14

i c)

7 171

10

i

2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 4 2 6 0z z b) 4 27 10 0z z Hướng dẫn: a) 2; 3i b) 2; 5i i

3) Cho a, b, c R, a 0, 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c . Hãy tính 1 2z z và 1 2z z

theo các hệ số a, b, c.

Hướng dẫn: 1 2z z = b

a , 1 2z z =

c

a

4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm.



Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 2 ( ) 0x z z x zz .

Với z + z = 2a, z z = 2 2a b . Vậy phương trình đó là 2 2 22 0x ax a b

5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w

Hướng dẫn: z a bi là một căn bậc hai của w 22 2z w z w z w z w

VD: 23 4 2i i tức 2z i là một căn bậc hai của 3 4w i thì z w

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) 2 1z z b) 2 2 5 0z z c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i Hướng dẫn:

a) 2

2 1 1 5 1 5 1 52. .

2 4 4 2 4 2 2z z z z

b) 2 2 22 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i

c) 2 21 3 8 1 2 1i i i i Phương trình có hai nghiệm phức là 1 22 ; 1z i z i .

7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn:

a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là 2 21,2 4

2

Bz B AC

A

nên

1 2 1 2;B C

z z z zA A

.

b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình 2 4 5 1 0z i z i

Có 25 12 2 3i i nên hai số cần tìm là 1 23 ; 1 2z i z i .

c) Phương trình 2 0z Bz C có hai nghiệm là ;z a bi z a bi thì 2B z z a là số

thực và 2 2.C z z a b là số thực. Điều ngược lại không đúng.

8) a) Giải phương trình sau: 2 2 2 1 0z i z iz

b) Tìm số phức B để phương trình 2 3 0z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn:

a) 22 0z i z i có 3 nghiệm là 2 2 2 2

; ;2 2 2 2

i i i .

b) Ta có 1 2 1 2; . 3z z B z z i nên

2 22 2 2 21 2 1 2 1 28 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i

9) Tìm nghiệm của phương trình 1

z kz

trong các trường hợp sau:

a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.

Hướng dẫn: 211 0z k z kz

z có 2 nghiệm 2 2

1,2 42

kz k

a) k = 1 thì 1,2

1 3

2 2z i b) k = 2 thì 1,2

2 2

2 2z i c) 1,22 1 2k i z i

10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) 3 1 0z ; b) 4 1 0z ; c) 4 4 0z ; d) 4 38 8 1z z z Hướng dẫn:



a) 3 2 1 3 1 31 0 1 1 0 1, ,

2 2 2 2z z z z z z i z i .

b) 4 4 21 0 1 1 1,z z z z z i

c) 4 4 24 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i

d) 3 2 1 1 31 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, ,

2 4 4z z z z z z z z z i

11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c nhận 1z i làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 3 2 0z az bz c nhận 1z i và z = 2 làm nghiệm. Hướng dẫn:

a) 21 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c

bb)) Lần lượt thay 1z i và z = 2 vào phương trình, ta được

2 (2 2 ) 0

8 4 2 0

b c a b i

a b c

2 4

2 2 6

4 2 8 4

b c a

a b b

a b c c

55.. DDẠẠNNGG LLƯƯỢỢNNGG GGIIÁÁCC CCỦỦAA SSỐỐ PPHHỨỨCC((tthhaamm kkhhảảoo)) I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z 0: Cho số phức z = a + b i 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)

của góc ( , )Ox OM

được gọi là một acgumen của z.

Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng + k2 (k )

(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).

VD: Biết z 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; 1

z.

z biểu diễn bởi OM

thì –z biểu diễn bởi –OM

nên có acgumen là + (2k + 1)

z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2

– z biểu diễn bởi – 'OM

nên có acgumen là – + (2k + 1)

1

z = 1

2| |

zz

z , vì

2

1

| |z là một số thực nên 1z có cùng acgumen với z là – + k2.

2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i : Dạng lượng giác của số phức z 0 là z = r (cos + i sin ) với là một acgumen của z.

Vôùi 2 2 a bz = a + bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =

r r

VD: Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin

Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = 1

2 và sin =

3

2. Lấy =

3

thì 1 + 3 i = 2(cos

3

+ i sin

3

)

Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin ) Chú ý: Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + ) Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– )

Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – ) II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:

Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r 0



z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')] và z r

= [cos(φ -φ')+ isin(φ -φ')]z' r'

( r 0)

Ta có 1

'z và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên

1 1[cos( ') sin( ')]

' 'i

z r .

Do đó [cos( - ') sin( - ')]' '

z ri

z r ( r ’ 0)

VD: 1

3 32 cos sin

4 4z i

và 2

5 52 sin cos

12 12z i

. Tính 1 2.z z và 1

2

z

z

Với 2 2 cos sin12 12

z i

; 1 2.z z =

5 5 3 12 2 cos sin 2 2 6 2.

6 6 2 2i i i

và 1

2

z

z =

2 2 2 1 3 2 6cos sin 2

3 3 2 2 2 22i i i

III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin )

n nr(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ) (n * )

2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:` Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là

φ φr cos + isin

2 2 và 2 2cos sin

2 2r i

φ φ

r cos + π + isin + π2 2

VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1001 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

Ta có 1 + i = 1 1

2 2 cos sin4 42 2

i i

.

Do đó 1001 i =

100

502 cos sin 2 cos 25 sin 254 4

i i

w = 1 + 3.i = 2 cos sin3 3

i

có 2 căn bậc hai là 2 cos sin

6 6i

và

7 72 cos sin

6 6i

.

1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 191 i và công thức Moavrơ để tính

0 2 4 16 1819 19 19 19 19... ð ð ð ð ð .

Hướng dẫn: 1 2 cos sin4 4

i i

Ta có 19

19 0 0 1 1 2 2 18 18 19 1919 19 19 19 19

0

1 ...n

k kn

k

i i i i i i i

ð ð ð ð ð ð với phần thực là

0 2 4 16 1819 19 19 19 19... ð ð ð ð ð

19 1919 9 919 19 2 2

1 2 cos sin 2 2 24 4 2 2

i i i i

có phần thực 92 512

Vậy 0 2 4 16 1819 19 19 19 19... ð ð ð ð ð = –512.

2) Tính:

2120045 3 3

;1 1 2 3

i i

i i

Hướng dẫn:



20042004 2004

1002 1002

1 2 1 1cos sin cos sin

1 2 2 4 4 2 2

i ii i

i

21 21

2121 215 3 3 2 2

1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 23 31 2 3

ii i i

i

3) Cho số phức 11 3

2w i . Tìm các số nguyên dương n để nw là số thực. Hỏi có số nguyên

dương m để mw là số ảo?

Hướng dẫn: 1 4 4 4 41 3 cos sin cos sin

2 3 3 3 3n n n

w i i w i

W là số thực khi 4

sin 03

n , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.

Không có m nào để mw là số ảo.

6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

i

iiii

i 132321

1

1 102

2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

a. ;2

31

1

2

i

iz

i

i

b. ;02

1.32

iizizi

c. ;0||2 zz d. 022 zz ;

3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3++……+i2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3| zz b. ;2|1| izz

c. ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz

5. Các vectơ

',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.

a. Chứng minh rằng tích vô hướng '.'.2

1'. zzzzuu

;

b. Chứng minh rằng

',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

,kiz

z

(k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời

11

iz

z và .1

3

iz

iz

8. Tìm số phức z thỏa mãn

14

iz

iz

9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:1 tan

1 tan

i

i

10. Giải các phương trình sau trên C :



a. 012

234 z

zzz bằng cách đặt ẩn số phụ

zzw

1 ;

b. 0363263 2222 zzzzzz

c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. 01 32 izziz d. .0124 222 zzzz 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21, zz sau :

a/

izz

izz

25

422

21

21 b/

izz

izz

25

5522

21

21

12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :

a.-1-i 3 ; b. 4

sin4

cos

i ; c. ;8

cos8

sin

i d. cossin1 i

;2

0

13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

điều kiện sau : 2 1 3z z i z

15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

a. ;313

sin3

cos75 iii

b.

9

10

3

1

i

i

; c.

20002000 1

zz biết rằng .1

1

zz

18. CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007

19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức n

i

i

33

33 là số thực, là số ảo?

20.Viết dạng lượng giác số z=1 3

2 2i .Suy ra căn bậc hai số phức z

BBÀÀII TTẬẬPP TTỰỰ RRÈÈNN

1) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i. Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3

2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.

Hướng dẫn: z = a + bi |z| = 2 2a b . Ta có |z| 2a = a và |z| 2b = b 3) Giải phương trình sau trên tập phức:

a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz. Hướng dẫn:

a) 7 4

5 5i b)

18 13

7 7i

4) Giải phương trình sau trên tập phức: a) 23 7 8 0z z b) 4 8 0z c) 4 1 0z Hướng dẫn:

a) 7 47

6

i b) 4 8 , 4 8i c) 1, i

5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.



Hướng dẫn: 1 2 1 23, 4z z z z 1 2,z z là nghiệm phương trình 2 3 4 0z z với = 2( 7 )i

1,2

3 7

2

iz

6) Cho hai số phức 1 2,z z . Biết rằng 1 2 1 2,z z z z là hai số thực. Chứng tỏ 1 2,z z là hai nghiệm một

phương trình bậc hai với hệ số thực. Hướng dẫn: Đặt 1 2 1 2,z z a z z b với a, b R. Khi 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 1 2( )( ) 0z z z z hay

21 2 1 2( ) 0z z z z z z 2 0z az b

7) Chứng minh rằng nếu 1z w thì số 1 01

z wzw

zw

là số thực.

Hướng dẫn: Ta có 2

. 1z z z

1 1

11 11 1 1

z w z w z w z wz wzw zwzw zw

zw

nên 1 0

1

z wzw

zw

là số thực.

8) Giải phương trình:

a) 23 6 3 13 0z i z i b)

23 3

3 4 02 2

iz iz

z i z i

c)

2 22 1 3 0z z

Hướng dẫn:

a) 2 3 3 23 6 3 13 0

3 3 2 3

z i i z iz i z i

z i i z i

b) 2

3 1 51

(1 ) 3 23 3 2 2 23 4 04 353 (4 ) 3 82 2

417 172

izz i

i z iiz iz z iiz i z iz i z i

z iz i

c) 2 22 2 21 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i

Phương trình 2 1 3 0z iz i có nghiệm 1 21 2 ; 1z i z i

Phương trình 2 1 3 0z iz i có nghiệm 3 41 2 ; 1z i z i

BBààii 11.. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2( ) 2( ) 5x yi x yi . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. Hướng dẫn: Phần thực là 2 2 2 5x y x , phần ảo là 2( )xy y . Số phức trên là số thực khi y =

0 hoặc x = 1. BBààii 22.. Thực hiện các phép tính:

a) d) 3 3(1 2 ) (1 2 )i i ; g) 2010 2009(1 ) (1 )i i e) 2 2 1 2

1 2 2 2

i i

i i

BBààii 33.. Tìm z, biết:

a) (1 5 ) 10 2 1 5i z i i ; b) (3 2 ) 1 4i z i z c) 1 31

z ii i

i

d) 2 3

1 3 2 11

iz i z

i

; e) ( 2 3) 2 3 2 2i z i i ; f)

2 1 3

1 2

i iz

i i

g) 21 1 2 2

1

z iz i i

i

h)

1 22 3

1 1

i z iz i

i i

i) 2 2

1 5 51

iz ii z i

i

Hướng dẫn:

a) 1 2z i ; b) 1 3

5 5z i ; c) 2 3z i ; d)

1

5z i ;



e) i ; f) 2 4

5 5i g) 3z i h) 3z i i) 2 3z i

BBààii 44.. Biết 1z và 2z là hai nghiệm của phương trình 2 3 3 0z z . Hãy tính:

a) 2 21 2z z ; b) 3 3

1 2z z ; c) 1 2

2 1

z z

z z ; d)

2 2

1 2z z

Hướng dẫn:

a) 2 21 2z z = –3; b) 3 3

1 2z z = 6 3 ; c) 1 2

2 1

z z

z z = –1; d)

2 2

1 2z z = 6.

BBààii 55.. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là 1

3 7

2 2z i và 2

3 7

2 2z i

BBààii 66.. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 8(1 ) 12 16 0z i z i ; b) 2 2 2 0z i z i ;

c) 2 2 1 4 0iz i z ; d) 2 5 8 0z i z i

Hướng dẫn: a) 2 , 8 6z i z i ; b) 1 22;z z i ; c) 1 22; 2z z i ; d)

1 22 ; 3 2z i z i

BBààii 77.. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 4 26 25 0x x ; b) 4 216 100 0x x ; c) 4 23 3 3 0x x i d) 4 23(1 2 ) 8 6 0x i x i ; e) 4 7 24 0x i ; f) 4 28 96 0x i Hướng dẫn: a) 1 2 , 1 2x i x i ; b) 3 , 3x i x i ; c) 2 , 1x i x i

d) 2 , 1x i x i ; e) 2 , 1 2x i x i ; f) 3 , 1 3x i x i

BBààii 88.. Tìm z biết:

a) 2z z ; b) 2 2 4z z i c) 2 1 2z i z i và 1 10

10z

Hướng dẫn: Gọi z = x + y i z = x – y i và 2 2 2 2z x y xyi .

a) 2z z 2 2 (1)

2 (2)

x y x

xy y

(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) x = 0 hoặc x = 1

Nếu y 0 (2) có nhiệm x = –1

2 thay vào (1) y =

3

2

Vậy nghiệm của hệ là các cặp số 1 3 1 3

(0;0), (1;0), ; , ;2 2 2 2

Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = 1 3

2 2i ; z =

1 3

2 2i

b) 2

43

z i c) 1 3 ; 1 3z i z i

BBààii 99.. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:

a) 2z i ; b) 3

13

z i

z i

; c) 1z z i ; d) (2 3 ) 2 0i z i m (m là tham số)

Hướng dẫn:

a) 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.



b) 2 2

2 2

( 3)3 ( 3)1 1 1 0

3 ( 3) ( 3)

x yz i x y iy

z i x y i x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.

c) 2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

d)

2 62 2 6 3 4 13(2 3 ) 2 0 3 2 2 0

3 42 3 13 13

13

mx

m i m mi z i m z z i x y

miy

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.

BBààii 1100.. Dùng công thức Moa-vrơ để tính 5(1 )i , 6

3 i .

Hướng dẫn: 4 1 i .

BBààii 1111.. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 8

3 i .

Hướng dẫn: 3 1

3 2 2 cos sin2 2 6 6

i i i

.

Bài 12. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z . Tính giá trị của biểu thức

2 2

1 2

2

1 2

z zA

z z

. ĐS: A=11/4

Bài 14. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.

ĐS: 2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i .

Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn:

11 1

31 2

z

z i

z i

z i

. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.

Bài 16. Giải phương trình: 4

1z i

z i

. ĐS: z{0;1;1}

Bài 17. Giải phương trình: 2 0z z .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z. ĐS: z{0;i;i}

1. Giải phương trình: 2 0z z .

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z. ĐS: z=0, z=1, 1 3

2 2z i

Bài 18. Giải phương trình: 2

4 3 1 02

zz z z .

HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, 1 1

2 2z i .

Bài 19. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.

HD: Đặt thừa số chung ĐS:1 3 1 3

1, ,2 2 2 2

z z i z i .

Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:

a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.



Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:

a. = 25i b. = 2i 3 c. = 3 - 2i Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0.

Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i . ĐS: 2

4

xy .

Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn 3

2 32

z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

HD: *Gọi z=x+yi. 3

2 32

z i … 2 2 92 3

4x y .

Vẽ hình |z|min z.

ĐS: 26 3 13 78 9 13

13 26z i

.

2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1.

CCÁÁCC ĐĐỀỀ TTHHII ĐĐẠẠII HHỌỌCC –– CCAAOO ĐĐẲẲNNGG

BBààii 11.. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z . Tìm phần

thực và phần ảo của z.

b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình 4 3 7

2z i

z iz i

trên tập .

Hướng dẫn: a) 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z 2(1 ) (2 ) (1 2 ) 8i i i z i 2 (2 ) 1 2 8i i i z i

8

1 2

iz

i

(8 )(1 2 )

1 4

i iz

10 152 3

5

iz i

. Phần thực là 2, phần ảo –3

b) 4 3 7

2z i

z iz i

2 (4 3 ) 1 7 0z i z i

Ta có = 2 2(4 3 ) 4(1 7 ) 3 4 (2 )i i i i . Phương trình có 2 nghiệm:

1

4 3 23

2

i iz i

và 2

4 3 21 2

2

i iz i

BBààii 22.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | (3 4 ) | 2z i . Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y ) (3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i

Ta có | (3 4 ) | 2z i 2 2( 3) ( 4)x y = 2 2 2( 3) ( 4)x y = 4

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 BBààii 33.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)

Tìm số phức z thoả: | (2 ) | 10z i và .z z = 25. Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y ) (2 ) 2 ( 2) ( 1)z i x yi i x y i

Ta có | (2 ) | 10z i 2 2( 2) ( 1) 10x y 2 2 4 2 5 0x y x y (1)

Ta có .z z = 25 (x + y i )( x – y i ) = 25 2 2 25x y (2)



Từ (1) và (2), ta có 2 2

2 2

4 2 5 0

25

x y x y

x y

2 2

10 2

25

y x

x y

2

10 2

8 15 0

y x

x x

3

4

x

y

hoặc 5

0

x

y

. Vậy z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i .

BBààii 44.. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm

phức của phương trình 2 2 10 0z z . Tính giá trị của biểu thức 2 2

1 2A z z .

Hướng dẫn: 2 2 10 0z z có = 1 – 10 = –9 = 2(3 )i . Nghiệm là 1 1 3z i , 2 1 3z i

Ta có: 1 1 9 10z và 2 1 9 10z nên 2 2

1 2 20A z z

BBààii 55.. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:

22 3 4 1 3i z i z i

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình 2 1 6 3 0z i z i

Hướng dẫn:

a) Gọi z = a + bi, ta có: 22 3 4 1 3i z i z i

2 6 4 8 22 3 ( ) 4 ( ) 1 3 6 4 (2 2 ) 8 6

2 2 6 5

a b ai a bi i a bi i a b a b i i

a b b

Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5. b) 2 1 6 3 0z i z i có = 2 2(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i

Do đó phương trình có 2 nghiệm: 1

1 1 51 2

2

i iz i

; 2

1 1 53

2

i iz i

BBààii 66.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)

Tìm số phức z thỏa: 2z và 2z là số thuần ảo

Hướng dẫn:

Gọi z = a + bi 2 2

2 2 2 2

z a b

z a b abi

. Theo đề ta có:

2 2 22 2

2 22 2 2 22 2

1 12 12

1 10 00

1 1 1 1

1 1 1 1

hoaëc

hoaëc hoaëc hoaëc

a aa b aa b

b ba b a ba b

a a a a

b b b b

Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i. BBààii 77.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm

tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa 1 (1 )z i z

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi, ta có 2 2 2 2( 1) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )x y i i x yi x y x y x y 2 2 2 22 1 0 ( 1) 2x y y x y . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2 .

BBààii 88.. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 2( 2 ) (1 2 )z i i

b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: 3(1 3 )

1

iz

i

. Tìm môđun của số phức

z iz Hướng dẫn:



a) Gọi z = a + bi, ta có: 2( 2 ) (1 2 )z i i 1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i .

5, 2a b . Vậy phần phần ảo b = – 2 .

b) Gọi z = a + bi, ta có: 3(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )

4 41 1 1 1 1

i i i iz i

i i i

z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i z iz = –8 – 8i. Do đó : 2 28 8 8 2z iz .

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT

1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0.

2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: !!

kn

nAk

n , n≥k>0.

3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: !!

!

knk

nC k

n , n≥k≥0.

4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton

nnn

nnn

nnn

nn

nn

nn

n bCabCbaCbaCbaCaCba 11222222110 .

0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1( 1) ( 1) ( 1)n n n n n n n n n n n n n

n n n n n na b C a C a b C a b C a b C ab C b

6. Hoán vị ! nnP n A

7. , n k 0, n,k Nk n kn nC C

8. 11

k k kn n nC C C

9. 11k kn n

n kC C

k

10. 1 1 1 11 2 3 1......k k k k k

n n n n kC C C C C (k<n)

Công thức số hạng tổng quát: kknknk baCT

1 , 0≤k≤n.

Hệ số khai triển thứ k+1: 1k

k na C

Một số tổng cơ bản: dựa theo 1 ......n

x sau đó thay x = …. 1 2 ........ ( 1) ...... ( 1) 0, o k k n n

n n n n nC C C C C vì (0-0) ...n 2 4 2 1 3 5 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2.............. .............. =2 o n n nn n n n n n n nC C C C C C C C Dựa theo 2

1n

x .. và

21

nx ……… Sau đó thay x = 1 cộng trừ vế với vế

1 2 32 3 ........ ( 1) ...... ( 1) 0, k k n nn n n n nC C C kC nC Sử dụng đạo hàm 1 2 3 12 3 ........ ...... 2 , k n nn n n n nC C C kC nC n

Bài toán trong khai triển:

0 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1........n n n n n n n n n n n n n n

n n n n nax by C a x C a x by C a x b y C axb y C b y (x,y là biến,

a,b là hằng só thực) Loại 1 : Tìm số hạng 1

k n k n k k kk nT C a x b y

Loại 2: Tìm hệ số đa thức khai triển 1k n k k

k na C a b , ..đạt max, hoặc hệ số nhị thức

1 2, , ,........, ,......, ( 1) o k n nn n n n nC C C C C



B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18

5

12

xx , (x>0). ĐS: 6528

2. (ĐH_Khối D 2004)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7

4

3 1

xx với x>0. ĐS: 35

3. (ĐH_Khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của n

xx

5

3

1, biết rằng

37314 nCC n

nnn , (n nguyên dương, x>0, ( k

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495

4. (ĐH_Khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức !1

3 341

n

AAM nn , biết rằng 14922 2

42

32

22

1 nnnn CCCC (n là số nguyên

dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS: 4

3M

5. (ĐH_Khối A 2006)

Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n

xx

7

4

1, biết rằng

122012

212

112

nnnn CCC , (n nguyên dương và k

nC là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 204812

232

12 n

nnn CCC . ( knC là số tổ hợp chập k của n

phần tử). ĐS: n=6

7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243n nn n n nC C C C . ĐS: n=5

10. (ĐH_Khối B 2008)

Chứng minh rằng kn

kn

kn CCCn

n 111

2

1111

(n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k

của n phần tử).

11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn

03n1Cn1+3n2Cn

23n3Cn3+ … +(1)nCn

n=2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của

n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2003)

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn

n

nnn Cn

CCC1

12

3

12

2

12 12

31

20

, ( knC là số tổ hợp

chập k của n phần tử). ĐS: 1

23 11

n

nn



13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anx

n, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức

409622

10

nnaa

a . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. ĐS: a8=126720

14. (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng 2

1 3 5 2 12 2 2 2

1 1 1 1 2 1

2 4 6 2 2 1

nn

n n n nC C C Cn n

, ( k

nC là số tổ hợp chập k của n

phần tử).

15. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho 20052.122.42.32.2 12

1224

1233

1222

121

12

nn

nnnnn CnCCCC ,

( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002

16. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. ĐS: 238 17. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức

nxnn

nxxnn

xnx

n

nx

n

nxx

CCCC

3

1

32

113

1

2

112

1032

1

22222222

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.

ĐS: n=7, x=4

18. Cho số phức z=1+i.

a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.

b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn

4Cn6+… S2=Cn

1Cn3+Cn

5…

19. Chứng minh rằng C1000–C100

2+C1004–C100

6+ … –C10098+C100

100= –250. o0o

Ôn tập số phức và tổ hợp

Documents

Transcript of Ôn tập số phức và tổ hợp