REPUBLICA DE MO çAMBIQUE AFRICAN MATHEMATICAL UNION

Ministério da Educaçâo Commission on Pan African Direcçâo de Recursos Mathematics olympiades

De Apolo Pedagôgico AMUPAMO

PAMO 2003 19 – 27, April 2003, Maputo

Première journée : 23 Avril 2003 Durée : 4 h 30

INSTRUCTIONS

1. Les instructions de calcul ( micro-ordinateurs, calculatrices, règles à calculer etc..) Et les documents ( notes manuscrites ou extraits de livres ) ne sont pas autorisés en salle d’examen. 2. Seuls les stylos, crayons, règles et compas peuvent être utilisés.

Exercice 1 On désigne par ℕ l’ensemble des entiers naturels ℕ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,….}

Trouver toutes les fonctions f : ℕ→ ℕ satisfaisant les trois conditions suivantes :

1) Pour n ∈ ℕ, f(n) < f(n+1) 2) f(2) = 2 et

3) Pour tous m, n ∈ ℕ, f(mn) = f(m) f(n).

Exercice 2 On divise arbitrairement la circonférence d’un cercle en quatre parties. On joint les milieux des quatre arcs ainsi obtenus par des segments de droite. Montrer que deux de ces segments sont perpendiculaires. Exercice 3 Existe-t-il une base dans laquelle les nombres de la forme 10101 ; 101010101 ; 1010101010101 ; etc… sont tous premiers ?

REPUBLICA DE MO çAMBIQUE AFRICAN MATHEMATICAL UNION

Ministério da Educaçâo Commission on Pan African Direcçâo de Recursos Mathematics olympiades

De Apolo Pedagôgico AMUPAMO

PAMO 2003

19 – 27, April 2003, Maputo

Deuxième journée : 24 Avril 2003 Durée : 4 h 30

Exercice 4 On désigne par ℕ l’ensemble des entiers naturels ℕ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,….}

Existe-t-il une fonction f : ℕ→ ℕ vérifiant, pour tout entier n : ?5)()2003( nnf = où )2003(f signifie ffff oooo ...... deux mille trois (2003) fois.

Exercice 5 Trouver tous les entiers n ∈ ℕ, tels que 21 divise 1222 ++ nn

Exercice 6 Trouver toutes les fonctions RRf →: telles que pour tous x, y dans on ait :

))()()(()'()'( yfxfyxyfxf −+=− .