Olympe 2007

African Mathematical Union Federal Ministry of Education Nigeria Pan African Mathematics Olympiad National Mathematical center 17 th Pan African Mathematical Olympiad PAMOS 2007 Abuja, Nigeria, 7 – 15 April 2007 Première journée : 10 avril 2007 Durée : 4 h 30 INSTRUCTIONS 1. Les instruments de calcul et autres documents tels que notes manuscrites ou extraits de livres ne sont pas autorisés en salle d’examen. 2. Seuls les stylos, crayons, règles et compas peuvent être utilisés. ………………………………………………………………………………....... Exercice 1 Trouver tous les nombres naturels N (en notation décimale) à 1112 chiffres tels que : (a) La somme des chiffres de N est divisible par 2000 ; (b) La somme des chiffres de N+1 est divisible par 2000 ; (c) 1 est un chiffre de N. Exercice 2 Soit trois points A, B et C fixés, non alignés. On considère tous les triangles AB’C’ où B’ se déplace sur une droite donnée (qui ne passe pas par A), et C’est tel que : ^ ^ ^ ^ ' ' C C et B B = = . Trouver le lieu géométrique de C’. Exercice 3 Dans un pays les villes sont reliées par des routes. Chaque ville est reliée directement à exactement trois autres villes. Montrer qu’il y a une ville à partir de laquelle on peut faire un tour complet, sans emprunter deux fois la même route, de sorte que le nombre de routes empruntées n’est pas divisible par 3. (il n’est pas nécessaire de passer par toutes les villes)

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Sujet olympia 2007

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African Mathematical Union Federal Ministry of Education Nigeria Pan African Mathematics Olympiad National Mathematical center

17th Pan African Mathematical Olympiad PAMOS 2007 Abuja, Nigeria, 7 – 15 April 2007

Première journée : 10 avril 2007 Durée : 4 h 30

INSTRUCTIONS

1. Les instruments de calcul et autres documents tels que notes manuscrites ou extraits de livres ne sont pas autorisés en salle d’examen.

2. Seuls les stylos, crayons, règles et compas peuvent être utilisés.

……………………………………………………………………………….......

Exercice 1

Trouver tous les nombres naturels N (en notation décimale) à 1112 chiffres tels que : (a) La somme des chiffres de N est divisible par 2000 ; (b) La somme des chiffres de N+1 est divisible par 2000 ; (c) 1 est un chiffre de N.

Exercice 2

Soit trois points A, B et C fixés, non alignés. On considère tous les triangles AB’C’ où B’ se déplace sur une droite donnée (qui ne passe pas par A), et C’est tel que :

^^^^

'' CCetBB == . Trouver le lieu géométrique de C’.

Exercice 3

Dans un pays les villes sont reliées par des routes. Chaque ville est reliée directement à exactement trois autres villes. Montrer qu’il y a une ville à partir de laquelle on peut faire un tour complet, sans emprunter deux fois la même route, de sorte que le nombre de routes empruntées n’est pas divisible par 3. (il n’est pas nécessaire de passer par toutes les villes)

African Mathematical Union Federal Ministry of Education Nigeria Pan African Mathematics Olympiad National Mathematical center

17th Pan African Mathematical Olympiad PAMOS 2007 Abuja, Nigeria, 7 – 15 April 2007

Deuxième journée : 11 avril 2007 Durée : 4 h 30

INSTRUCTIONS

3. Les instruments de calcul et autres documents tels que notes manuscrites ou extraits de livres ne sont pas autorisés en salle d’examen.

4. Seuls les stylos, crayons, règles et compas peuvent être utilisés.

……………………………………………………………………………….......

Exercice 4

Résoudre le système d’équations suivant où x et y sont des réels :

+=+=+=

Exercice 5

Pour quels entiers positifs n le nombre 182222 −−− nnn est divisible par 2007 ?

Exercice 6

Un triangle équilatéral de côté 2 est divisé en quatre parties par deux droites perpendiculaires passant par son centre de gravité. Quelle peut-être l’aire maximale d’une partie ?