Olva Maldonado Herlay 2009

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO

DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

COBB-DOUGLAS Y SU APLICACIÓN EN

EL SECTOR PRODUCTIVO MEXICANO

TESIS PROFESIONAL

Que como requisito parcial

para obtener el título de:

LICENCIADO EN ESTADÍSTICA

Presenta

HERLAY OLVA MALDONADO

GENERACIÓN 2008

CHAPINGO, MÉXICO, ABRIL 2009

I

“ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS Y SU

APLICACIÓN EN EL SECTOR PRODUCTIVO MEXICANO”1.

Herlay Olva Maldonado 2

José Artemio Cadena Meneses 3

RESUMEN

La función de producción de Cobb-Douglas, es una función muy empleada en el análisis

económico, para representar la relación que existe entre el producto obtenido y la

combinación de los factores o insumos que se utilizan en su obtención. El presente trabajo

realiza un análisis del modelo econométrico de la función de producción de Cobb-Douglas

y su aplicación al sector productivo mexicano.

La función de producción de Cobb-Douglas es no lineal en los parámetros y a través de la

transformación logarítmica se hace lineal. Para estimar los parámetros se usa el método de

regresión lineal; para ello se usaron el programa estadístico R (versión 2.6.2 (2008)), y

XLSTAT (Versión 2008.7.01).

En la estimación del modelo econométrico, se utilizaron series históricas de los años de

1980 a 2007, empleando las variables: producción agropecuaria, como el producto final

obtenido, el PIB agropecuario como factor capital y al personal ocupado remunerado en ese

sector como el factor mano de obra.

Realizada la aplicación, los resultados derivados para el sector agropecuario, desde 1980 a

2007, ha exhibido notables cambios en su producción; se obtuvieron rendimientos

crecientes a escala para este periodo en estudio, lo cual es de suma importancia, debido a la

gran trascendencia que este sector significa para la economía a nivel nacional.

1 Resumen de la tesis profesional presentada por el autor para obtener el titulo de Licenciado en Estadística. 2 Autor de la tesis.

3 Director de la tesis.

II

Palabras clave: Rendimientos crecientes a escala, Lineal, Parámetros, Factor capital,

Factor mano de obra, Producto final.

III

SUMMARY

The Cobb-Douglas production function is a widely used function in the economic analysis

to represent the relationship between the obtained product and the combination of factors or

inputs which are used to obtain it. This study carries out an analysis of the econometric

model of the Cobb-Douglas production function and its application for the Mexican

productive sector.

The Cobb-Douglas production function is non-linear in the parameters and became linear

through the logarithmic transformation. To estimate the parameters, linear regression

method have been used, for that the R statistical program (version 2.6.2 (2008)) and

XLSTAT software (Version 2008.7.01) were used.

In the estimation of the econometric model, historical series of the years 1980 to 2007 were

used, utilizing the variables: agriculture/livestock production, as the final obtained product,

the agriculture/livestock GDP as a capital factor and the remunerated personnel occupied in

that sector as the labor factor.

Once the application was done, the derived results for the agriculture/livestock sector, from

1980 to 2007, has exhibited remarkable changes; For this period under study yields at

increasing scale were obtained, which is of great importance because of great

transcendence this sector means for national level economy.

Key words: Increasing returns to scale, Linear, Parameters, Capital factor, Labor factor,

Final product.

IV

ÍNDICE GENERAL

RESUMEN 1 I

SUMMARY 1 III

ÍNDICE GENERAL 1 IV

ÍNDICE DE CUADROS 1 VI

ÍNDICE DE FIGURAS 1 VI

1. INTRODUCCIÓN 1 1

2. OBJETIVOS 3 3

2.1 OBJETIVO GENERAL 3 3

2.1.1 OBJETIVOS PARTICULARES 3 3

3. REVISIÓN DE LITERATURA 4 4

3.1 ESTUDIOS REALIZADOS SOBRE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

DE COBB-DOUGLAS 4

4

3.2 REVISIÓN DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE

COBB-DOUGLAS 5

5

3.2.1 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

DE COBB-DOUGLAS 1

9

3.2.1.1 PRODUCTO MEDIO DEL FACTOR PRODUCTIVO 1 9

3.2.1.2 PRODUCTO MARGINAL DEL FACTOR VARIABLE 1 11

3.2.1.3 GRADO DE HOMOGENEIDAD DE LA FUNCIÓN DE

PRODUCCIÓN 1

14

3.2.1.4 RENDIMIENTOS A ESCALA 1 15

3.2.1.5 TEOREMA DE EULER O DE LA ADICIÓN 1 17

3.3 REGRESIÓN LINEAL 1 18

3.3.1 SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL 1 19

3.4 ESTIMACIÓN EMPÍRICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

DE COBB-DOUGLAS Y PROBLEMAS DERIVADOS DE LA

V

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL 1 19

3.4.1 LINEALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE COBB-DOUGLAS 1 20

3.4.1.1 CUANDO LA FUNCIÓN ES RESTRINGIDA A

LINEAL HOMOGÉNEA 1

20

3.4.1.2 CUANDO LA FUNCIÓN NO ESTÁ RESTRINGIDA

A LINEAL HOMOGÉNEA 1

21

3.5 CARACTERÍSTICAS DE LOS ERRORES 1 22

4 METODOLOGÍA 1 25

4.1 INFORMACIÓN UTILIZADA 1 25

4.1.1 PRODUCTO INTERNO BRUTO (PIB) 1 25

4.1.1.1 MÉTODOS PARA CALCULAR EL PIB 1 26

4.1.1.2 PIB MEXICANO 1 28

4.1.1.3 PIB AGROPECUARIO 1 30

4.1.2 PRODUCCIÓN AGROPECUARIA 1 33

4.1.3 PERSONAL OCUPADO EN EL SECTOR AGROPECUARIO 1 36

4.2 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO 1 38

4.3 ESTIMACIÓN DEL MODELO 1 40

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS 1 43

5.1 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS 1 48

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 1 49

6.1 CONCLUSIÓN 1 49

6.2 RECOMENDACIONES 1 50

7. BIBLIOGRAFÍA 1 51

8. ANEXOS 1 57

8.1 ANEXO 1. CUADROS DE RESULTADOS 1 57

VI

8.2 ANEXO 2. GRÁFICAS DE RESULTADOS 1 58

8.3 ANEXO 3. LISTADO DEL PROGRAMA R PARA UNA FUNCIÓN DE

PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS AJUSTADA AL SECTOR

PRODUCTIVO MEXICANO (TOMADOS DEL CUADRO 5) 1

61

ÍNDICE DE CUADROS1

CUADRO 1. PIB TOTAL Y POR SECTORES DE ACTIVIDAD ECONÓMICA,

MÉXICO 980-2007 (MILLONES DE PESOS A PRECIOS DE 1993) 1

29

CUADRO 2. PRODUCCIÓN TOTAL AGROPECUARIA EN

TONELADAS. MÉXICO 1980-2007 1

35

CUADRO 3. PERSONAL OCUPADO REMUNERADO EN EL

SECTOR AGROPECUARIO, MÉXICO 1980-2007 (PROMEDIO ANUAL) 1

36

CUADRO 4. PRODUCCIÓN AGROPECUARIA, PIB AGROPECUARIO Y

PERSONAL OCUPADO REMUNERADO, EN EL SECTOR PRODUCTIVO

MEXICANO 1

39

CUADRO 5: LOGARITMO APLICADO A LAS VARIABLES 1 41

ÍNDICE DE FIGURAS 1

FIGURA 1. PIB PROMEDIO POR GRAN DIVISIÓN DE ACTIVIDAD

ECONÓMICA, MÉXICO 1980-2007 1

30

FIGURA 2. PIB TOTAL VS PIB AGROPECUARIO EN MILLONES DE PESOS A

PRECIOS DE 1993, MÉXICO 1980-2007 .

31

FIGURA 3. PIB POR ACTIVIDAD ECONÓMICA (MILLONES DE PESOS A

PRECIOS DE 1993), MÉXICO 1980-2007 1

31

FIGURA 4. MÉXICO: PARTICIPACIÓN DEL PIB AGROPECUARIO EN EL

PIB TOTAL, 1980-2007 (PORCENTAJE) 1

33

FIGURA 5. PERSONAL OCUPADO REMUNERADO EN EL SECTOR

AGROPECUARIO, MÉXICO 1980-2007 (PROMEDIO ANUAL) 1

37

1

1. INTRODUCCIÓN

Existen muchos factores que influyen de una u otra manera en la actividad productiva de

una empresa, región o país, de manera tal, que algunas veces es necesario determinar cómo

estos factores se relacionan para desenvolver alguna actividad específica.

Sin embargo, existen conceptos económicos y estadísticos que se conjugan para explicar la

relación que existe entre un producto obtenido y la combinación de los factores a través de

una expresión matemática, tal es el caso de las funciones de producción.

Entre las funciones más comunes tenemos a: La Función de Producción de Proporciones

Fijas, representada como , la Función de Producción de Elasticidad de

Sustitución Constante y la Función de

Producción de Cobb-Douglas (García, 2004).

La función de producción de Cobb-Douglas es quizá la función de producción más

utilizada en economía, basada su popularidad en el cumplimiento de las propiedades

básicas que los economistas consideran deseables. Es la función de producción neoclásica

por excelencia (Sanchoa, 2005).

El objetivo de este trabajo es hacer un análisis de la función de producción de Cobb-

Douglas, y exponer la aplicación de esta función con datos provenientes del sector

productivo mexicano.

La función de producción de Cobb-Douglas es no lineal en los parámetros y a través de una

transformación logarítmica, se vuelve lineal. Por medio de regresión lineal es analizada e

interpretada para concretar los resultados obtenidos.

2

Los resultados presentan la situación de cada uno de los factores empleados en este análisis

para la serie de datos anuales de 1980 a 2007 y concluir la posición económica del país para

el sector productivo.

3

2. OBJETIVOS

2.1 OBJETIVO GENERAL

Analizar el modelo econométrico de la función de producción de Cobb-Douglas

desde un enfoque estadístico económico y aplicarlo a un conjunto de datos del

sector productivo mexicano y realizar un análisis de los resultados obtenidos.

2.1.1 OBJETIVOS PARTICULARES

Contribuir con los conocimientos estadísticos para indagar la función de

producción.

Demostrar cómo este modelo es útil en los cálculos de la econometría al

considerar una función de producción.

Analizar si la situación productiva del sector productivo para México fue

afectada por los factores en la situación económica, y más concretamente, sobre

la productividad, usando la función de Cobb-Douglas.

4

3. REVISIÓN DE LITERATURA

3.1 ESTUDIOS REALIZADOS SOBRE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE

COBB-DOUGLAS

Se citaron distintos contenidos bibliográficos, con el fin de sustentar el trabajo realizado y

llevar acabo el estudio del tema. A continuación, se mencionan algunos trabajos que tienen

relación con el tema que se está desarrollando.

Anido et al. (1996), presentan un análisis empírico de la producción de maíz en el estado

Barinas, Venezuela, empleando la función econométrica de Cobb-Douglas.

Bichara (1990), presenta información y aspectos relevante en cuanto a la utilización de esta

función de producción.

Castellanos (2004), realiza un estudio de la región confidencial para la obtención del

óptimo económico de una función de producción de Cobb-Douglas bivariada, empleando la

técnica de Wald descrita en Gallant (1987).

Gujarati (2004), hace uso del modelo y realiza la estimación de los parámetros con

información referente a la producción de Taiwán. Representando sus resultados a través del

paquete estadístico SAS (2004).

Mankiw (2004), hace referencia sobre algunas propiedades de la función de producción.

Romo (1990), emplea a la función de producción de Cobb-Douglas en el estudio sobre la

asignación optima de los recursos en los viveros forestales del estado de México.

5

3.2 REVISIÓN DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS

Las funciones de producción establecen, básicamente, relaciones entre combinaciones de

ciertos insumos relevantes con producción generada por éstos (Bichara, 1990).

Existen tres clases de métodos para encontrar el tipo de relación existente entre las

variables utilizadas en la función de producción.

1) Método de series de tiempo.

2) Corte transversal o datos atemporales.

3) Por experimentación controlada.

El primer método está basado en un análisis estadístico de datos en el tiempo, para varios

insumos utilizados, y la producción generada en cada una de las observaciones del periodo

de tiempo bajo estudio.

El segundo método mencionado es un análisis estadístico que relaciona las variables

tomando observaciones en un momento definido del tiempo.

El último método puede ser utilizado para observaciones temporales o atemporales, con la

diferencia de que la información se obtiene mediante experimentos sujetos a control. Por lo

mismo, el método de experimentación controlada es el único en el cual se cumple el

supuesto de modelo de regresión lineal que considera a variables independientes como no

estocásticas.

De manera general, la función de producción es un modelo que se utiliza para analizar la

relación entre los insumos empleados en un proceso productivo y el producto final, además

describe la tasa a la cual los recursos son transformados en un producto. Simbólicamente

puede ser escrita de la siguiente manera (Romo, 1990):

6

Donde:

: Es el producto.

: Los diferentes insumos considerados. Con .

Se supone además, que la función es continua y univoca, cuya primera y segunda derivadas

existen y también son continuas.

Una forma específica de la relación producto-insumos se puede establecer de la siguiente

manera (Bichara, 1990):

(1)

Donde:

: Es el producto.

: Los diferentes insumos considerados. Con .

: Es un valor que viene determinado parcialmente por las unidades de medida de las

variables consideradas ( y parcialmente por la eficiencia del proceso de

producción.

: Son los parámetros que representan el cambio porcentual en la producción al variar en

uno porciento la cantidad del insumo correspondiente empleado. Con .

Trabajos desarrollados por investigadores han demostrado que, tomando únicamente un

grupo reducido de insumos, éstos definen el valor del producto con un alto grado de

exactitud.

7

Suponiendo el caso de dos factores, este tipo de función quedaría establecida de forma

algebraica de la siguiente manera:

(2)

Conocida como la función de producción de Cobb Douglas.

Donde:

: Es el producto generado.

: Es el capital invertido.

: El trabajo empleado, y

y expresan los mismos coeficientes dados por la función en (1). Con .

Generalizando la fórmula anterior y cambiando las variables, matemáticamente, la función

de producción de Cobb-Douglas tiene la siguiente forma (Castellanos, 2004):

(3)

Donde es un vector de dimensión que denota la cantidad de producto obtenido,

) un vector de n insumos y un vector de n

parámetros desconocidos.

Así puede verse que si en la expresión anterior, a una variación

proporcional en las cantidades de insumo, el producto varia en la misma proporción. Una

función de este tipo se dice que es homogénea de grado 1.

Si ocurre que , a un incremento proporcional a todos los insumos,

el producto aumenta pero en menor proporción que éstos. Finalmente, cuando

8

, a un incremento proporcional en los insumos, el producto aumenta en

mayor proporción.

Para la función de producción anterior, el producto ( ) usualmente es el producto total

medido como valor agregado por año, aunque también puede medirse como cantidad física

de producción por año; en tanto que los insumos ) comúnmente son medidos

como cantidades disponibles o usadas en el proceso de producción (Velazco, 1988).

Los insumos que generalmente se consideran en una función de producción de Cobb-

Douglas, son el capital y el trabajo, principalmente; aunque también pueden considerarse

tierra, materias primas y combustible entre otros. De los insumos mencionados, la medición

del capital presenta problemas, en virtud de que, los datos generalmente no se encuentran

disponibles o son de dudosa confiabilidad; por lo que se recomienda evitar el uso de una

medida explicita del abasto de capital.

Transformando el modelo de Cobb-Douglas, dado por la ecuación (3), a un modelo

econométrico para su estimación, en donde es de suma importancia la forma, de cómo se

especifica el error (Castellanos, 2004).

El error puede ser multiplicativo:

(4)

Donde la es la base de los logaritmos naturales, entonces la función, es estimada, por

regresión lineal múltiple, después de tomar logaritmos en ambos lados de la ecuación (4).

También el error puede ser aditivo:

(5)

9

En tal caso, la función es estimada por mínimos cuadrados no lineales.

Tanto para los errores dados en (4) como en (5) se suponen:

(6)

Posteriormente se darán más detalles sobre las propiedades que tienen los errores.

3.2.1 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-

DOUGLAS

3.2.1.1 PRODUCTO MEDIO DEL FACTOR PRODUCTIVO

El producto medio de un insumo se define como el cociente de la producción total dividida

por la cantidad del insumo (Romo, 1990); reduciendo la ecuación (3) a dos factores:

El producto medio para cada uno, se representan por las siguientes expresiones (Bichara,

1990):

Producto medio del factor (capital).

10

Producto medio del factor (trabajo).

Restringiendo la función a lineal homogénea, lo cual implica que la suma de los exponentes

es igual a la unidad, se tiene:

Sustituyendo en los productos medios:

La productividad media de un insumo nos indica el producto por unidad de este insumo

(Romo, 1990).

Se observa que cuando la función no es lineal homogénea, el producto medio está en

función de las magnitudes absolutas de y a diferencia de cuando sí lo es, en el que

producto medio, está en función únicamente de la relación capital-trabajo (Bichara, 1990).

11

3.2.1.2 PRODUCTO MARGINAL DEL FACTOR VARIABLE

El producto marginal de un insumo se define como la adición en el producto total atribuible

a la adición de una unidad de insumo variable en el proceso productivo, cuando los demás

insumos permanecen constantes (Romo, 1990).

O bien se define como el cambio en el producto total al cambiar en una unidad el empleo de

uno de los factores productivos manteniendo constante la cantidad utilizada del otro factor

productivo. Éste se representa por medio de la derivada parcial de la función con respecto

al factor productivo en cuestión (Bichara, 1990).

Para el factor (capital) es:

Por la ecuación (8), entonces se tiene:

Y por la ecuación (10)

12

Para el factor (trabajo) es:

Por la ecuación (9), se tiene:

Y por la ecuación (10).

Restringiendo las funciones de los factores y a lineal homogénea, tenemos que:

Se dice que existen rendimientos marginales decrecientes cuando al agregar unidades

adicionales de un insumo, manteniendo la cantidad de los demás insumos constantes, el

producto total aumenta pero cada vez en menor cantidad o, lo que es lo mismo, cuando el

producto marginal disminuye. Esto se da fundamentalmente cuando:

13

Cuando la función, sí está sujeta a la restricción de ser lineal homogénea el producto

marginal estará en función únicamente de la relación capital-trabajo, independientemente

de las magnitudes de capital y trabajo.

Cuando , su producto medio tiende a cero. Como el producto marginal está en

función del producto medio de acuerdo a la formulación anterior, éste tenderá también a

cero cuando . El producto marginal por tanto, y basándose en la función de

producción de Cobb-Douglas, nunca será negativo.

Para el producto marginal del factor (Sala, 2000).

Para el producto marginal del factor .

Esto implica que un aumento de la cantidad de capital eleva el y reduce el .

Así mismo, un aumento de la cantidad de trabajo reduce el y eleva el . Un

avance tecnológico que aumenta el parámetro eleva el producto marginal de ambos

factores proporcionalmente.

14

3.2.1.3 GRADO DE HOMOGENEIDAD DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

El grado de homogeneidad de una función, depende de la reacción que tenga el producto a

cambios en la cantidad de insumos utilizados. Si al multiplicar cada uno de los insumos por

una constante el valor de la producción es multiplicado por entonces la función será

de grado (Bichara, 1990).

Partiendo de lo anterior definimos:

es una función homogénea de grado si

Entonces, dada la función de producción (7) de Cobb-Douglas:

Multiplicando cada factor por una constante y desarrollando, tenemos:

Donde es el grado de homogeneidad.

Ahora bien para nuestra función (7), restringida a lineal homogénea de grado uno; es decir:

Con

15

Sustituyendo:

Por tanto, el grado de homogeneidad es 1.

3.2.1.4 RENDIMIENTOS A ESCALA

La función de producción presenta rendimientos constantes a escala. Es decir, si el capital y

el trabajo se incrementan en la misma proporción, la producción también aumenta en esa

proporción. Que la podemos expresar también de la siguiente manera:

Cuando la suma de los exponentes de la función es igual a la unidad, significa que existen

rendimientos constantes a escala, es decir, que al aumentar en un mismo porcentaje la

cantidad de cada insumo utilizando la proporción se incrementará en un porcentaje igual al

del incremento de los insumos.

Para demostrar que la función de producción de Cobb-Douglas (7), tiene rendimientos a

escala, veamos qué ocurre cuando multiplicamos el capital y el trabajo ( ) por una

constante (Mankiw, 2004).

16

Expandiendo los términos al segundo miembro

Reordenando para agrupar los términos similares, se obtiene

Dado que , la función se convierte en

Pero , por lo que,

Por tanto, la cantidad de producción aumenta en el mismo factor, , lo que implica que

esta función de producción tiene rendimientos constantes a escala.

17

3.2.1.5 TEOREMA DE EULER O DE LA ADICIÓN

Considerando el equilibrio de largo plazo en condiciones de rendimientos constantes a

escala, y si cada factor es retribuido por el valor de su producto marginal, el producto total,

se agotará exactamente por la participación en la distribución total de todos los factores

(Bichara, 1990). Dada la función (7), si se restringe a lineal homogénea, suponemos que:

Al multiplicar los productos marginales por la cantidad de factores utilizados encontramos

la retribución de cada factor, sumándolos tenemos:

Factorizando y eliminando exponentes negativos encontramos:

Con esto queda demostrado que el producto total se agota al existir rendimientos constantes

a escala.

18

3.3 REGRESIÓN LINEAL

La regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre

una variable dependiente , las variables independientes y un término aleatorio . Este

modelo puede ser expresado como (Wikipedia, 2006):

Donde

: Es la intersección o término constante.

: Son los parámetros respectivos a cada variable independiente, con i=1,…,n.

: Es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión.

: Es la perturbación aleatoria, que recoge todos aquellos factores de la realidad no

controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al

modelo su carácter estocástico.

El problema de la regresión consiste en elegir los valores determinados para los parámetros

desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se

necesita un conjunto de observaciones.

Con

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de

regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso

generador; es decir:

19

3.3.1 SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL

a) La relación entre las variables es lineal (Wikipedia, 2006).

b) Los errores son independientes (Wikipedia, 2006).

c) La homoscedasticidad, lo que significa que los errores tienen varianza constante

(Bichara, 1990).

d) La esperanza matemática de los errores es igual a cero (Bichara, 1990).

e) El error total es la suma de todos los errores (Wikipedia, 2006).

3.4 ESTIMACIÓN EMPÍRICA DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DE COBB-

DOUGLAS Y PROBLEMAS DERIVADOS DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO

DE REGRESIÓN LINEAL

Para la estimación de los parámetros de la función de Cobb-Douglas, se utiliza el modelo

de regresión lineal que se basa en los supuestos anteriores (Bichara, 1990).

La estimación se efectúa por medio del método de mínimos cuadrados que consiste en

hacer mínima la suma del cuadrado de los errores; Aunque se puede hacer énfasis sobre

este método, para nuestro análisis, se empleará por conveniencia el programa estadístico R,

el cual es fácil de manejar para calcular nuestras estimaciones.

20

3.4.1 LINEALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE COBB-DOUGLAS

Como se mencionó en los supuestos de la regresión lineal, tanto para la aplicación del

método de mínimos cuadrados o en la utilización de un programa estadístico, es necesario

tener la ecuación de regresión en forma lineal y la función de producción de Cobb-Douglas

no se encuentra establecida en esa forma, por lo que se hace necesario utilizar un método

para la linealización de dicha función. El método utilizado es el empleo de logaritmos

naturales ya que es intrínsecamente lineal.

3.4.1.1 CUANDO LA FUNCIÓN ES RESTRINGIDA A LINEAL HOMOGÉNEA

Cuando la función es restringida a lineal homogénea, se suponen rendimientos constantes a

escala, y la suma de los exponentes debe ser igual a la unidad.

Tomando la función (7):

Recordando que:

Y dividiendo por (factor trabajo), se obtuvo así el producto medio de (10), es decir:

21

Ahora, aplicando logaritmos ( )4 se tiene:

Con lo cual la forma de estimación, se puede realizar por el método de regresión lineal

simple donde:

Es la variable dependiente.

Es la variable independiente,

Son los parámetros a estimar.

3.4.1.2 CUANDO LA FUNCIÓN NO ESTÁ RESTRINGIDA A LINEAL

HOMOGÉNEA

Otra forma de presentar la ecuación (7) con dos factores y el término aleatorio, dejando en

libertad el grado de homogeneidad, es:

Aplicando directamente logaritmos a la función, se tiene

4 Donde ln = log natural (logaritmo con base e, donde e=2.718)

22

3.5 CARACTERÍSTICAS DE LOS ERRORES

La desviación de dado en (4) y (5), es una variable aleatoria (perturbación estocástica o

término del error estocástico), no observable, que puede tomar valores positivos o

negativos. El término de perturbación sustituye a todas aquellas variables que han sido

excluidas del modelo, pero conjuntamente afectan a . Por tanto puede ser usada como

un sustituto de todas las variables excluidas del modelo (Gujarati, 1983).

Para los modelos anteriores (4) y (5), reducido a dos variables respetivamente, Goldfeld y

Quandt, (1976) citados por Velazco (1988), dan las siguientes características (Castellanos,

2004):

1) La esperanza condicional de la variable dependiente en el modelo con error

multiplicativo (4) es:

Mientras que para el error aditivo (5) es:

Donde: Es la base de logaritmo natural.

2) El error aditivo es homoscedástico, mientras que el modelo con error multiplicativo

es heteroscedástico.

23

A continuación se puntualiza sobre los supuestos ya mencionados (Gujarati, 1983), que

involucran a los errores en torno a la regresión lineal general o clásica.

1)

Es decir, que el valor esperado condicional de al dado, es cero

2)

Donde son dos observaciones diferentes y es la covarianza.

3)

Donde es la varianza.

Es decir, expresa que la varianza de para cada (la varianza condicional de es un

número positivo constante e igual a . Técnicamente representa el supuesto de

homoscedasticidad o igual (homos) dispersión (cedasticidad) o igual varianza, es decir, que

las poblaciones que corresponden a varios valores de tienen la misma varianza.

Y en contraparte tenemos a la heteroscedasticidad o dispersión desigual o varianza

desigual, en la que la varianza condicional de la población cambia a medida que

cambia igualmente, simbólicamente puede escribirse como:

El subíndice quiere decir que la varianza de la población ya no es constante.

24

4)

Vale la pena comentar que las variables también son aleatorias, ya que regularmente, en

regresión son fijas.

Este supuesto afirma que la perturbación y la variable explicatoria no están

correlacionadas.

Es común que en el análisis empírico alguno de los datos que se desea tener no se

encuentren a disposición, por lo que en ocasiones se excluyen algunas variables aunque se

sepa que son relevantes.

Es muy posible, que la influencia conjunta de todas o algunas de las variables excluidas,

sea insignificante o a lo mejor aleatoria o no sistemática, y que desde el punto de vista

práctico y por razones de costo, no se justifique su introducción explicita en el modelo.

Cuando así ocurre, el efecto combinado de todas estas variables, pueden ser tratados como

una variable aleatoria .

25

4. METODOLOGÍA

Con base en la revisión de la literatura consultada, el presente trabajo en relación a su

objetivo, exhibió como propósito dar una aplicación sobre el empleo de la función de

producción de Cobb-Douglas al sector productivo mexicano.

En la utilización de las variables a considerar, para la aplicación del modelo, se consideró

tomar una serie de datos históricos y analizar el comportamiento de dicho sector.

Para este trabajo se contaron con tres variables, las cuales fueron obtenidas de diversas

fuentes de investigación, por mencionar algunas, tales como la información proveniente de

la H. Cámara de Diputados a través del Instituto Nacional de Geografía y Estadística

(INEGI) recopilando las series del PIB mexicano para el sector agropecuario en miles de

pesos, series del personal ocupado remunerados por sector de actividad en promedio anual,

así como la producción total en toneladas del sector agropecuario.

4.1 INFORMACIÓN UTILIZADA

4.1.1 PRODUCTO INTERNO BRUTO (PIB)

Es el valor total (suma de los valores monetarios) de los bienes y servicios producidos en el

territorio de un país en un período determinado (trimestre, año, etc.), libre de

duplicaciones. Se define como la diferencia entre el valor bruto de producción menos el

valor de los bienes y servicios consumidos durante el propio proceso productivo, a precios

comprador (consumo intermedio). Esta variable se puede obtener también en términos

netos al deducirle al PIB el valor agregado y el consumo de capital fijo de los bienes de

capital utilizados en la producción (Solano, 2008).

26

En este trabajo, los datos del PIB se expresan en términos reales a precios constantes de

1993, y en términos nominales o precios corrientes; y corresponden al total de la

economía, así como a cada una de las 9 grandes divisiones que la componen (INEGI,

Calculo de PIB, base 1993).

1. Agropecuario, silvicultura y pesca

2. Minería

3. Industria manufacturera

4. Construcción

5. Electricidad, gas y agua

6. Comercio, restaurantes y hoteles

7. Transporte, almacenaje y comunicaciones

8. Servicios financieros, seguros, actividades inmobiliarias y de alquiler

9. Servicios comunales, sociales y personales

4.1.1.1 MÉTODOS PARA CALCULAR EL PIB

a) Método del gasto

Se utiliza para medir la demanda de bienes y servicios de utilización final, pero no por

actividad económica de los productores. Éstos se efectúan mediante cálculos

independientes de las variables: consumo final de los hogares, consumo del gobierno, de la

variación de existencias, de la formación bruta de capital fijo y de las exportaciones netas,

que constituyen la demanda final de los valores del comprador y se expresa en la fórmula

(Solano, 2008).

27

Donde

= Producto Interno Bruto

= Consumo Privado

= Consumo de Gobierno

= Formación Bruta de Capital Fijo

= Variación de Existencias

= Exportación de Bienes y servicios

= Importación de bienes y servicios

Los métodos que se utilizan para calcular el PIB por rama de actividad económica de los

productores de bienes y servicios, son el método de la producción y el método del pago a

los factores de la producción.

b) Método de la producción

Consiste en deducir el consumo intermedio del valor bruto de la producción, los cálculos de

valor bruto de la producción se realizan a precios básicos y el consumo intermedio se

valora a precios comprador. La fórmula del PIB para este método es:

Donde

= Producto Interno Bruto

= Consumo Intermedio

= Valor Bruto de la Producción

28

c) Método del pago a los factores

Consiste en calcular y sumar los componentes del valor agregado: las remuneraciones, el

consumo de capital fijo y el excedente neto de operación, que incluye el ingreso de los

trabajadores por cuenta propia, los intereses, las regalías, las utilidades y las

remuneraciones a los empresarios, entre otros conceptos. La fórmula para el cálculo del

PIB en valores básicos, por este método es:

Donde

= Producto Interno bruto

= Remuneraciones

= Excedente bruto de operación

Para el total de la economía, el PIB calculado por el método de gasto, debe coincidir con el

producto calculado por el método de la producción y con el obtenido por el método del

pago a los factores de la producción.

4.1.1.2 PIB MEXICANO

Para analizar el comportamiento del PIB de México correspondiente al periodo de 1980-

2007 se obtuvieron los datos que se presentan en el Cuadro15; así mismo podemos apreciar,

en cuanto a la participación (Figura 1) de los sectores por actividad económica, que el

sector de servicios comunales (incluye sociales y personales) es el de mayor aporte a la

economía al contribuir en promedio con 20.06% del total6, seguido en importancia por el

PIB de comercio (más restaurantes y hoteles) con un promedio de 19.95% y el

5 Únicamente se incluyen seis sectores, el resto se contabiliza en el INEGI por el BIE. 6 Además se incluye Cargo por los servicios bancarios imputados en promedio igual a -2.58703979

29

agropecuario (considerando silvicultura y pesca) con un 5.84% durante los últimos 28 años

(Espinoza, et al (2001). Contexto y Tendencias en los apoyos a la Investigación

Agropecuaria en México).

Cuadro 1. PIB total y por sectores de actividad económica, México 1980-2007

(Millones de pesos a precios de 1993).

Año PIB Agropecuario Industria

M.

Electricidad,

Gas y Agua Comercio

Servicios

Financieros

Servicios

Comunales

1980 948,607.30 61,671.80 167,548.50 10,041.90 205,245.40 105,291.60 195,950.30

1981 1,029,481.80 66,444.00 178,637.50 11,207.90 225,800.10 112,545.50 210,387.10

1982 1,024,120.20 64,876.50 173,609.00 12,290.90 224,798.70 118,326.70 216,996.50

1983 988,415.10 66,121.00 158,990.70 12,430.40 208,428.20 123,120.60 222,585.60

1984 1,022,128.10 67,176.00 167,057.90 13,052.30 211,146.40 130,300.10 228,316.10

1985 1,044,489.10 69,239.30 177,961.20 14,137.10 210,741.60 134,848.80 227,291.70

1986 1,012,329.70 68,410.00 168,067.90 14,651.30 197,649.00 139,802.80 225,419.10

1987 1,029,766.50 69,174.30 172,365.30 15,199.20 199,346.70 144,729.90 225,312.40

1988 1,042,981.10 66,720.00 178,416.10 16,114.40 202,530.50 146,785.20 226,562.00

1989 1,085,800.80 65,730.30 192,500.90 16,834.80 211,892.40 151,916.50 233,484.10

1990 1,141,999.30 70,208.50 205,524.50 17,270.30 225,058.20 158,670.30 240,835.20

1991 1,190,131.80 71,918.30 212,578.00 17,336.80 238,749.80 166,125.40 251,629.30

1992 1,232,275.60 70,438.80 221,427.40 17,868.70 251,401.70 173,740.20 255,443.10

1993 1,256,196.00 72,629.00 219,934.00 18,326.50 251,628.70 183,208.10 263,922.00

1994 1,312,200.40 73,222.30 228,891.60 19,200.90 268,696.10 193,145.80 267,243.00

1995 1,230,608.00 74,101.80 217,581.70 19,613.80 226,959.90 192,526.50 261,055.70

1996 1,293,859.10 76,706.50 241,151.90 20,511.70 237,859.00 193,626.50 263,651.70

1997 1,381,525.20 76,821.80 265,113.40 21,580.20 263,313.30 200,847.20 272,473.70

1998 1,449,310.10 77,334.00 284,642.70 21,979.50 278,161.40 210,097.10 280,287.90

1999 1,505,445.50 80,031.50 296,631.30 25,456.90 286,818.40 217,704.40 286,213.70

2000 1,604,834.80 80,529.50 317,091.60 26,216.90 321,838.50 229,780.80 294,484.70

2001 1,602,315.50 83,348.80 304,990.50 26,817.50 318,035.40 240,224.30 293,709.40

2002 1,615,561.60 83,581.30 303,003.90 27,077.30 318,079.30 250,385.70 296,355.30

2003 1,637,396.40 86,221.80 299,156.90 27,481.70 322,732.30 260,249.80 294,700.60

2004 1,705,798.40 89,120.50 311,013.70 28,250.60 340,379.30 270,407.60 296,540.80

2005 1,753,594.90 87,714.30 315,314.10 28,743.50 349,518.00 286,045.00 302,021.00

2006 1,837,925.60 91,848.50 330,026.60 30,332.40 362,349.50 301,398.40 310,720.00

2007 1,898,397.80 93,730.00 333,406.10 31,521.30 372,181.00 316,557.00 318,028.90

Fuente: Elaboración propia con datos reunidos del INEGI por el BIE.

30

Figura 1. PIB promedio por gran división de actividad económica, México 1980-2007 Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI (BIE).

4.1.1.3 PIB AGROPECUARIO

A principios de los años ochenta, en la evolución del PIB agropecuario y el PIB nacional

(Cuadro1 y Figura 2) se observa que ambas series mantienen un comportamiento cíclico (es

decir, tiene años buenos, malos y regulares), fuertemente autocorrelacionado en torno a una

tendencia poco a poco ascendente. Posteriormente se aprecia una reducción paulatina en la

trayectoria de ambas series que corresponde a una fase de crisis y de aplicación de políticas

orientadas a un cambio estructural de la economía mexicana, que modificó las relaciones

entre los distintos sectores de la economía. Finalmente se observa que el PIB total presentó

una caída en 1995 (Escalante, 2006) (Figura 2). Esta caída se derivó en gran parte de la

abrupta devaluación del peso frente al dólar lo que ocasionó aumentos en la inflación y en

las tasas de interés, deprimiéndose así las actividades de consumo, ahorro e inversión

(Espinoza et al (2001). Contexto y Tendencias en los apoyos a la Investigación

Agropecuaria en México). En contraparte, el sector agropecuario, a partir de 1995, presenta

una tendencia diferente, con un ritmo de crecimiento menor respecto al conjunto de la

-

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

Imp

ues

tos

Agro

pec

uar

io

Min

ería

Indust

ria

M.

Con

stru

cció

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, G.

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S. F

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S. C

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ales

C. S

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anca

rios

8.05 5.84

1.32

17.89

4.23 1.49

19.95

9.51

14.25

20.06

-2.59

Porcen

taje

del

PIB

tota

l

1980-2007

31

economía lo que se manifiesta también en una menor participación en el PIB nacional

(Escalante, 2006) (Figura 3).

Figura 2. PIB total vs PIB agropecuario en Millones de pesos a precios de 1993,

México 1980-2007. Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI por el BIE.

Figura 3. PIB por actividad económica (Millones de pesos a precios de 1993), México

1980-2007. Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI por el BIE.

-10,000.0 20,000.0 30,000.0 40,000.0 50,000.0 60,000.0 70,000.0 80,000.0 90,000.0 100,000.0

-200,000.0 400,000.0 600,000.0 800,000.0

1,000,000.0 1,200,000.0 1,400,000.0 1,600,000.0 1,800,000.0 2,000,000.0

19

80

19

82

19

84

19

86

19

88

19

90

19

92

19

94

19

96

19

98

20

00

20

02

20

04

20

06

Mill

on

es

de

pe

sos

PIB Agropecuario

-

50,000.0

100,000.0

150,000.0

200,000.0

250,000.0

300,000.0

350,000.0

400,000.0

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Mill

on

es d

e p

eso

s

Años

Agropecuario Industria M. Electricidad, Gas y AguaComercio S. Financieros S. Comunales

32

El sector agropecuario de México ha disminuido su importancia relativa en la economía

nacional en términos de su participación en el PIB (Figura 4) por el avance que han tenido

otros sectores, por mencionar: el de servicios comunales, el de industria manufacturarera, el

de comercio, entre otros. Este proceso se aceleró en las ultimas dos décadas debido a la

reducción y/o eliminación de una serie de apoyo al sector entre los que destacan los precios

de garantía y los subsidios a insumos básicos.

Los rubros más importantes del sector agrícola en términos de valor son las hortalizas, los

frutales, los cereales y los forrajes. La importancia de estos grupos de cultivos ha variado a

través de los años con cereales y cultivos industriales perdiendo importancia relativa,

mientras que frutas, hortalizas y forrajes han mejorado su situación. Entre los años de 1980

y 1999 la importancia de los cereales pasó de 30.5% en 1980 (cuando ocupaban el primer

lugar) a 19.6% en 1999 (cuando ocuparon el tercer lugar). Para el mismo período la

participación de los cultivos industriales (entre ellos el algodonero) pasó de 19.1% a 14.8%.

La disminución de estos cultivos se debe, en gran parte, a sus bajas cotizaciones en los

mercados nacional e internacional. Sólo durante el período de 1982-1999 los precios reales

del maíz y trigo cayeron en 52.7% y 41.9%, respetivamente. Por otra parte hay que destacar

que el desarrollo de las cuencas lecheras intensivas en varias regiones del país ha

estimulado la demanda y precios de varios cultivos forrajeros, destacando la alfalfa, el maíz

forrajero y el sorgo forrajero (Espinoza, 2001. Contexto y Tendencias en los apoyos a la

Investigación Agropecuaria en México) (Figura 4).

33

Figura 4. México: Participación del PIB agropecuario en el PIB total, 1980-2007

(Porcentaje). Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI por el BIE.

4.1.2 PRODUCCIÓN AGROPECUARIA

En México, la producción agropecuaria ha dependido de diversos factores, entre los que

destacan las condiciones y fenómenos climatológicos, en virtud que la mayor parte de la

superficie cultivada es de temporal, sin dejar a un lado las políticas agrícolas y pecuarias

que han afectado adversamente la evolución de la producción y la balanza comercial de

estas mismas, y con ello también el empleo e ingresos rurales.

No obstante, con base en la participación de la producción agropecuaria en el PIB total,

para los últimos años, la estructura subsectorial agropecuaria se ha mantenido relativamente

invariable, ya que la participación de la agricultura ha oscilado en torno al 65% del

producto total agropecuario, la ganadería al 27%, la silvicultura al 4.5% y la pesca 3.5%.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Porcen

taje

Años

34

La producción de los granos básicos también ha permanecido relativamente constante pues

representó el 23% de la producción agrícola en 1980, el 24% en 1994 y el 22.4% en 20017.

Para tener un enfoque de esto, ver Cuadro 2 donde se presenta una reunión de datos con

series de la producción agrícola8 y la producción pecuaria, de 1980-2007. Cabe aclarar que

en la producción pecuaria, está conformado por:

Ganado en pie: bovino, porcino, ovino y caprino.

Ave9 y guajolote en pie: ave y guajolote.

Carne en canal: bovino, porcino, ovino, caprino, ave y guajolote.

Leche10

: bovino y caprino.

Otros productos: Huevo para plato, miel, cera en greña y lana sucia.

Los datos referentes a la producción agrícola, fueron obtenidos a través, del Centro de

Estudios de las Finanzas Públicas de la H. Cámara de diputados, con datos de la

Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación (FAO), Datos

Agrícolas de FAOSTAT, Instituto Nacional de Estadística, y Geografía (INEGI) y Anexo

estadístico del segundo informe de gobierno, 2002; para los años 2003-2007, las

información fue recabada del Servicio de Información Agroalimentaria y Pesquera (SIAP).

Para la producción pecuaria, los datos fueron obtenidos por el paquete básico de

información SIAP la cual proporciona un anuario estadístico con una base de datos de la

producción pecuaria de los Estados Unidos Mexicanos correspondiente a los años de 1980-

2007, con el fin de que los productores y otros agentes económicos dispongan de

información de estas estadísticas básicas sobre este subsector para la toma de decisiones

productivas y comerciales.

7 Información de la Cámara de Diputados. 2003. Indicadores macroeconómicos, 1980-2003. 8 Incluye los 10 principales cultivos: arroz, frijol, maíz, trigo, ajonjolí, cártamo, semilla de algodón, soya,

cebada y sorgo. 9 Ave: se refiere a pollo, gallina ligera y pesada que ha finalizado su ciclo productivo. 10

Leche: producción en miles de litros, convertidos a toneladas.

35

Cuadro 2. Producción total agropecuaria en toneladas. México 1980-2007.

AÑO TOTAL PRODUCCIÓN

AGRICOLA

PRODUCCIÓN PECUARIA

Ganado

en pie

Ave y

guajolote

en pie

Carne en

canal Leche

Otros

productos

1980 37,641,114 22,790,319 3,846,398 490,967 2,767,675 7,021,245 724,510

1981 42,620,804 27,140,953 4,077,271 549,974 2,952,062 7,150,615 749,929

1982 37,989,413 22,124,101 4,228,182 585,786 3,073,332 7,224,133 753,879

1983 40,464,915 24,911,819 4,045,007 613,170 3,039,406 7,057,004 798,509

1984 41,002,031 25,571,317 3,899,742 631,069 2,960,330 7,140,504 799,069

1985 45,135,601 29,490,698 3,660,937 707,212 2,920,860 7,474,405 881,489

1986 39,748,030 24,654,507 3,794,294 766,242 2,911,028 6,538,519 1,083,440

1987 40,708,136 25,867,180 3,771,696 780,273 2,891,134 6,349,739 1,048,114

1988 37,171,183 22,592,458 3,590,353 781,346 2,768,062 6,280,896 1,158,068

1989 36,728,430 23,178,233 3,400,104 766,847 2,562,228 5,703,959 1,117,059

1990 41,901,143 27,646,456 3,274,476 947,856 2,682,494 6,265,936 1,083,925

1991 41,503,828 25,994,959 3,466,359 1,051,322 2,924,109 6,847,772 1,219,307

1992 44,329,866 28,231,944 3,626,819 1,088,091 3,036,237 7,114,088 1,232,687

1993 43,924,072 26,966,092 3,612,488 1,299,009 3,188,253 7,555,222 1,303,008

1994 46,334,199 28,851,489 3,888,176 1,391,002 3,432,599 7,461,543 1,309,390

1995 46,697,539 28,670,288 3,928,036 1,579,042 3,685,344 7,537,647 1,297,182

1996 48,888,741 31,024,001 3,744,001 1,550,559 3,569,925 7,709,347 1,290,908

1997 48,141,320 29,483,282 3,751,713 1,762,178 3,786,651 7,968,633 1,388,863

1998 50,883,107 30,864,079 3,985,990 2,036,199 4,030,465 8,443,455 1,522,919

1999 50,084,943 28,756,510 4,142,561 2,264,806 4,216,520 9,008,312 1,696,234

2000 51,429,861 29,207,000 4,207,648 2,359,742 4,359,457 9,442,621 1,853,393

2001 55,248,539 32,392,100 4,304,083 2,452,695 4,529,812 9,612,166 1,957,683

2002 55,048,964 31,579,100 4,360,211 2,617,836 4,720,917 9,804,750 1,966,150

2003 57,174,488 33,419,000 4,368,925 2,709,618 4,804,397 9,936,197 1,936,351

2004 58,391,982 33,994,200 4,442,492 2,866,021 4,998,607 10,025,261 2,065,401

2005 55,159,985 30,268,300 4,497,375 3,070,628 5,209,581 10,032,549 2,081,552

2006 54,484,149 28,804,400 4,624,354 3,152,710 5,297,680 10,252,509 2,352,496

2007 61,912,943 35,620,900 4,735,411 3,247,720 5,442,649 10,513,405 2,352,858

Fuente: Elaboración propia con datos del Servicio de Información Agroalimentaria y Pesquera (SIAP), con

información de las delegaciones de la SAGARPA.

36

4.1.3 PERSONAL OCUPADO EN EL SECTOR AGROPECUARIO

En el sector primario, tanto en términos absolutos como relativos se han registrados

descensos. Con lo que se reitera que el paulatino descenso, de las actividades del sector

primario como porcentaje total es una manifestación del proceso mismo de desarrollo

económico del país, al sustituir por tecnología la mano de obra (ver Cuadro 3).

Cuadro 3. Personal ocupado remunerado en el sector agropecuario, México 1980-2007

(promedio anual).

AÑOS

PERSONAL OCUPADO

REMUNERADO EN EL

SECTOR AGROPECUARIO

1980-2007

AÑOS

PERSONAL OCUPADO

REMUNERADO EN EL

SECTOR AGROPECUARIO

1980-2007

198011

5,700,000.00 1994 6,318,703.00

1981 5,989,000.00 1995 6,193,512.00

1982 5,637,000.00 1996 6,309,359.00

1983 5,874,000.00 1997 6,116,378.00

1984 5,931,000.00 1998 6,345,504.00

1985 6,096,000.00 1999 6,392,005.00

1986 5,890,000.00 2000 6,286,195.00

1987 5,930,000.00 2001 6,356,448.00

1988 5,911,000.00 2002 6,281,631.00

1989 6,058,000.00 2003 6,394,984.00

1990 5,779,000.00 2004 6,547,140.00

199112

6,214,512.00 200513

6,279,000.00

1992 6,157,699.00 2006 5,995,000.00

1993 6,244,883.00 2007 5,843,000.00

Fuente: Elaboración propia con datos de Nacional Financiera, S.N.C., Sistema de Cuentas Nacionales de

México, Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos (INEGI) y de la Encuesta Nacional de

Ocupación y Empleo. STPS-INEGI.

11 Datos de Nacional Financiera, S.N.C de La Economía Mexicana en Cifras, edición 1984,1986 y 1992. 12 Serie histórica 1991-2004 elaborada con base al Sistema de Cuentas Nacionales de México (Metodología y

año base 1993) de la Cámara de Diputados. Banco de información, Estadísticas históricas, Indicadores

macroeconómicos 1980, Empleo y Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos, edición 1999 y

2005. 13

Datos de la Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo. STPS-INEGI.

37

Entre 1986 y 2001 la participación del empleo agropecuario en el empleo total disminuyó

del 26.8 al 18.1 por ciento. Esto significa que, pese a la menor participación de la

producción agropecuaria en el PIB total, la estructura del PIB agropecuario no ha variado

en gran medida, mientras que el empleo agrícola disminuyó casi 9%. El hecho de que el

65% del PIB agropecuario corresponda a la agricultura implica que esta actividad es la

principal generadora de empleos e ingresos en las zonas rurales14

.

De 1980 a 2007, el monto de personas que se dedicaban como principal ocupación, a

laborar en el sector agropecuario, presenta algunas variaciones, para los primeros años de la

década de los años ochenta y aumentando el número de personas en este sector para los

años noventa, y con una baja nuevamente para los años 2005, 2006 y 2007 (Figura 5).

Figura 5. Personal ocupado remunerado en el sector agropecuario, México 1980-2007

(Promedio anual). Fuente: Elaboración propia con datos de Nacional Financiera, S.N.C., Sistema de Cuentas Nacionales de

México, Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos (INEGI) y de la Encuesta Nacional de

Ocupación y Empleo. STPS-INEGI.

14 Información recabada de: Flores, A. M. L., 2005. “Los granos básicos en México ante la apertura

comercial, 1980-2001”. 13 pp.

5,000,000.0

5,200,000.0

5,400,000.0

5,600,000.0

5,800,000.0

6,000,000.0

6,200,000.0

6,400,000.0

6,600,000.0

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Perso

na

s

Años

38

4.2 ESPECIFICACIÓN DEL MODELO

Para la realización de este trabajo, se procedió con la estructuración del modelo; en el cual

se utilizó la función de producción de Cobb Duglas, haciendo uso de la información antes

descrita (apartado 4.1) y aplicado al sistema económico, más concretamente al sector

productivo mexicano.

El modelo es:

De manera particular se definieron tres variables: a como el producto final, y a y

como los factores de producción capital y mano de obra respetivamente.

Sobre la base de este modelo, especificando las variables empleadas (Cuadro 4), éstas se

describieron de la siguiente manera:

a) Variable dependiente ( )

Producto final: Se definió como la producción total (toneladas) entre el sector agrícola y

pecuario para los años de 1980 a 2007.

b) Variables independientes ( y )

Factor capital ( ): Se definió al PIB sobre la rama del sector agropecuario (Cifras

anuales en miles de pesos a precios constantes; (año base de 1993) de 1980 hasta el 2007).

Factor mano de obra ( ): Se consideró un total de personas que laboran en dicho sector

agropecuario (personas ocupadas remuneradas, promedio anual de 1980 a 2007).

39

Cuadro 4. Producción agropecuaria, PIB agropecuario y personal ocupado

remunerado, en el sector productivo mexicano.

Años

Producción

agropecuaria

(Toneladas)

PIB agropecuario

(miles de pesos

(año base=1993))

Personal ocupado

remunerado

(Promedio anual)

1980 37,641,114.00 61,671,750.00 5,700,000.00

1981 42,620,804.00 66,444,000.00 5,989,000.00

1982 37,989,413.00 64,876,500.00 5,637,000.00

1983 40,464,915.00 66,121,000.00 5,874,000.00

1984 41,002,031.00 67,176,000.00 5,931,000.00

1985 45,135,601.00 69,239,250.00 6,096,000.00

1986 39,748,030.00 68,410,000.00 5,890,000.00

1987 40,708,136.00 69,174,250.00 5,930,000.00

1988 37,171,183.00 66,720,000.00 5,911,000.00

1989 36,728,430.00 65,730,250.00 6,058,000.00

1990 41,901,143.00 70,208,500.00 5,779,000.00

1991 41,503,828.00 71,918,250.00 6,214,512.00

1992 44,329,866.00 70,438,750.00 6,157,699.00

1993 43,924,072.00 72,629,000.00 6,244,883.00

1994 46,334,199.00 73,222,250.00 6,318,703.00

1995 46,697,539.00 74,101,750.00 6,193,512.00

1996 48,888,741.00 76,706,500.00 6,309,359.00

1997 48,141,320.00 76,821,750.00 6,116,378.00

1998 50,883,107.00 77,334,000.00 6,345,504.00

1999 50,084,943.00 80,031,500.00 6,392,005.00

2000 51,429,861.00 80,529,500.00 6,286,195.00

2001 55,248,539.00 83,348,750.00 6,356,448.00

2002 55,048,964.00 83,581,250.00 6,281,631.00

2003 57,174,488.00 86,221,750.00 6,394,984.00

2004 58,391,982.00 89,120,500.00 6,547,140.00

2005 55,159,985.00 87,714,250.00 6,279,000.00

2006 54,484,149.00 91,848,500.00 5,995,000.00

2007 61,912,943.00 93,730,000.00 5,843,000.00

Fuente: Elaboración propia con la información recabada del apartado 4.1

40

4.3 ESTIMACIÓN DEL MODELO

Una vez especificado el modelo econométrico, la siguiente tarea consistió en la estimación

(valores numéricos) de los parámetros del modelo a partir de los datos disponibles,

proporcionados por las series anteriormente mencionadas.

Para la estimación del modelo fue necesario partir de una función lineal en los parámetros.

Dado que la función de producción de Cobb-Douglas es un modelo no lineal, no cumple

con esta condición, por lo que fue necesario realizar un proceso de linealización. La

transformación más usual es la de aplicar logaritmos a la función y así hacer que el modelo

transformado sea lineal en los parámetros donde cada uno de los coeficientes y , es

la elasticidad parcial de con respecto a las variables y respectivamente.

Entonces, partiendo del modelo (14), y aplicando logaritmos, el modelo transformado es:

Este modelo es lineal en los parámetros y y lineal en los logaritmos de las

variables , y . El modelo nos afirma que la producción agropecuaria, está

relacionada linealmente con el PIB de ese sector y el personal ocupado. Ahora bien, ya

tenido el modelo, a nuestra tabla de datos, se le procede a sacar logaritmos (Cuadro 5)15

.

15 Estos datos están calculado con la información del Cuadro 4, únicamente de redujeron a miles de toneladas

( ), millones de pesos ( ) y miles de personas ( ).

41

Cuadro 5: Logaritmo aplicado a las variables

Años

1980 10.53585219 11.02958124 8.64822145

1981 10.66009777 11.10411477 8.69767973

1982 10.54506279 11.08024074 8.63710729

1983 10.60819058 11.09924168 8.67829111

1984 10.62137688 11.11507132 8.68794811

1985 10.71742659 11.14532318 8.71538810

1986 10.59031556 11.13327429 8.68101128

1987 10.61418325 11.14438396 8.68777949

1988 10.52328909 11.10826004 8.68457030

1989 10.51130639 11.09331452 8.70913499

1990 10.64306838 11.15922467 8.66198594

1991 10.63354094 11.18328534 8.73464248

1992 10.69941390 11.16249882 8.72545845

1993 10.69021779 11.19311957 8.73951769

1994 10.74363561 11.20125462 8.75126924

1995 10.75144674 11.21319443 8.73125757

1996 10.79730240 11.24774173 8.74978937

1997 10.78189613 11.24924308 8.71872537

1998 10.83728626 11.25588898 8.75550181

1999 10.82147570 11.29017559 8.76280327

2000 10.84797424 11.29637886 8.74611124

2001 10.91959718 11.33078889 8.75722501

2002 10.91597832 11.33357449 8.74538494

2003 10.95386306 11.36467775 8.76326921

2004 10.97493386 11.39774467 8.78678359

2005 10.91799306 11.38183965 8.74496601

2006 10.90566509 11.42789576 8.69868107

2007 11.03348453 11.44817359 8.67299964

Fuente: Elaboración propia, con datos obtenidos del Cuadro 4.

42

Las variables de Producción, PIB agropecuario y Personal ocupado están transformadas a

logaritmos naturales para contribuir a que los errores cumplan con el supuesto de la

distribución normal y homoscedasticidad del método de mínimos cuadrados ordinarios.

Con la finalidad de simplificar los cálculos para la obtención de los estimadores y con la

ventaja de contar con el programa estadístico R (versión 2.6.2 (2008)), y XLSTAT (Versión

2008.7.01), aunque se pudo haber calculado por medio de mínimos cuadrados ordinarios;

se utilizaron estos dos programa con el objeto de hacer más fácil el cálculo de la estimación

de los parámetros, por la desenvoltura y facilidad que poseen estos programas con

herramientas estadísticas muy eficientes en el manejo de los datos y cálculo de los valores

estimados.

Entonces, haciendo uso de los programas R y XLSTAT, tomando los datos del Cuadro 5

(los códigos empleados se pueden citar en el Anexo 3), y ejecutando una regresión lineal,

para así obtener los estimadores de los parámetros y ajustando la función de producción de

Cobb-Douglas a estos datos, se obtuvo la siguiente expresión (Anexo 1, Cuadro 2):

(16)

43

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Con base en los resultados obtenidos de la estimación y al llevar a cabo la regresión (Anexo

3) para la función de producción de Cobb-Douglas (16) para todo el sector agropecuario

durante el periodo de 1980 a 2007. En general se obtuvieron buenos resultados, es decir, se

observa que:

Este resultado del coeficiente de determinación, dice qué tan exactamente la línea de

regresión muestral se ajusta a los datos, por lo que se considera que el ajuste es bueno.

En otras palabras, podemos indicar que el 93.04% de las variaciones que ocurren en la

Producción total agropecuaria ( ) se explicarían por las variaciones en la variable PIB

agropecuario y el Personal remunerado que labora en ese sector ( ).

En el análisis de los residuos, el histograma de los residuos estandarizados (Anexo 2,

Histograma 1), podemos observar que los valores no están fuera del intervalo [-2, 2]. Se

podría especular que se presenta heteroscedasticidad, por algunas observaciones (10, 27 y

28) que alcanzarían ser potencialmente influyentes como nos indica la Gráfica 1 (cuarta

figura, distancia de Cook), y en la Gráfica 2 de las observaciones potenciales16

(Anexo 3).

Para verificar lo anterior, y determinar si eran influyentes tales observaciones, con la

aplicación de la prueba cooks.distance17

(Anexo 3), se noto que ninguna observación supera

el valor de referencia, 1; ninguna observación es potencialmente influyente (Anexo1,

Cuadro 1).

16 Si el potencial de una observación es alto, tiene mucho peso a la hora de dar la predicción. Ver anexo, como

se obtienes matricialmente en R (Vaquerizo, 2005). 17 La distancia de Cook del caso i-ésimo consiste en buscar la distancia entre los parámetros estimados si

incluyen la observación i-ésima y si no la incluyen. Cada observación tiene su distancia y se considera

significativa si es mayor que 1 (Vaquerizo, 2005).

44

Prestando atención particular a los residuos centrados (Anexo 2, Grafica 3), y dado que los

supuestos vinculados a la regresión lineal, estos habrán de tener una distribución normal de

media cero y varianza constante ( . Eso significa, entre otras cosas, que el

95% de los residuos deben encontrarse en el intervalo [-1.96, 1.96]. Lo cual por nuestra

gráfica podemos afirmar que sí satisface tal supuesto, observando además las predicciones

con las observaciones. Por lo que el modelo (16), sí cumple las condiciones de distribución

normal de los residuos (Anexo 3).

En el cuadro sobre los parámetros del modelo (Anexo 1, Cuadro 2), se proporcionan los

detalles relativos al modelo. Para nuestro análisis respecto a los coeficientes obtenidos para

la producción ( ), vemos que el p-value asociado a la prueba de t de student para es

aproximadamente de 0.0001, y que el intervalo de confianza de 95% asociado esta entre

cero y 1. Eso corrobora el peso que tiene esta variable con respecto a la variable sobre

el modelo (16).

Lo anterior, establece que en los límites proporcionados por las observaciones del intervalo

de la variable y de la variable , cada vez que aumenta en mil personas,

aumenta 0.43 miles de toneladas, y cada vez que aumenta en un millón de pesos,

aumenta 1.17 miles de toneladas.

En la prueba de F de Fisher dada (Anexo 1, Cuadro 4) igual a 167.1, podemos observar,

que la probabilidad asociada a F, en este caso, es inferior de 0.0001, significa que nos

arriesgamos en menos del 0.01% concluyendo que las variables explicativas originan una

cantidad de información significativa al modelo, que al compararlo por ejemplo con el F de

tablas con un nivel de significancia del 5%, el valor critico de F para 2 y 25 grados de

libertad ( ) es igual a 3.385; y si el nivel de significancia fuera 0.005,

= 6.598, lo que nos explica que aún así, el F calculado, exceden en gran

margen el valor critico de la F de tablas. Por otro lado, la suma de cuadrados índica que las

45

variables explicativas poseen información significativa una vez que todas las variables han

sido incluidas en el modelo (Anexo 1, Cuadro 3).

= Total de betas (incluyendo el intercepto)

= Suma de cuadrados de regresión18

.

= Suma de cuadrados de residuos.

= Total de observaciones.

En general se obtuvieron buenos resultados de ajuste, como se pueden ver en los anexos,

los estadísticos tradicionales ( , y ajustado y su estadístico F, los residuales, los p-

values, el estadístico t, las predicciones y los residuos estandarizados), arrojan resultados

satisfactorios.

Continuando con el análisis, el modelo (16) y la línea de regresión asociada que se deriva

de la ecuación misma, indican que cada punto de la línea de regresión proporciona una

estimación del valor esperado o valor medio de correspondiente al valor escogido de ,

es decir es una estimación de . Así:

El valor de o intercepto de la línea se interpreta como el efecto medio o

promedio sobre Y de todas las variables omitidas del modelo de regresión lineal, indica el

nivel promedio de la producción agropecuaria, cuando el PIB agropecuario y el personal

18 SCReg y SCres son obtenidos del análisis de varianza calculados con el programa XLSTAT. Para el

programa R la notación sería: anova(reg).

46

ocupado remunerado son iguales a cero. Pero en este caso, sólo representa una constante de

ajuste del modelo.

El valor de que mide la pendiente de la recta e indica que dentro del rango de

entre 61,671,750 miles de pesos y 93,730,000 miles de pesos anuales respectivamente,

a medida que aumenta, digamos en mil pesos, el aumento estimado en el valor medio o

promedio del PIB agropecuario es aproximadamente en 1.13652 mil pesos. Es decir, mide

el cambio en el valor medio de , por cambio de una unidad en ,

manteniéndose constante. En otras palabras, nos da la pendiente de con

respecto a , manteniéndose constante19

.

En forma semejante, mide el cambio en el valor medio de por unidad de cambio en

, manteniendo constante.

Al utilizar la función de producción de Cobb-Douglas, y para poder analizar mejor los

resultados, podemos definir lo siguiente:

1) 1 es la elasticidad (parcial) del producto final (Producción agropecuaria ( )) con

respecto al insumo capital o factor capital (PIB agropecuario ( )), es decir, mide el

cambio porcentual en la producción debido, a una variación del 1% en el insumo

capital, manteniendo el insumo trabajo (Personal ocupado remunerado ( ))

constante.

2) 2 es la elasticidad (parcial) de la producción agropecuaria ( ) con respecto al

factor trabajo ( ), manteniendo constante el factor capital ( ).

3) Así la suma de ( ) nos da la información sobre los rendimientos a escala es

decir, la respuesta de la Producción agropecuaria a un cambio proporcional a los

19

son derivadas parciales de con respecto a (Gujarati, 1983).

47

factores. Si esta suma es 1, entonces existen rendimientos constantes a escala, es

decir, la duplicación de los insumos duplicará la producción, la triplicación de los

insumos triplicará la producción y así sucesivamente. Si la suma es menor que 1,

existen rendimientos decrecientes a escala: duplicando los insumos, la producción

crecerá en menos del doble. Finalmente, si la suma es mayor que 1, habrá

rendimientos crecientes a escala; la duplicación de los insumos aumentará el

producto en más del doble.

Entonces con base en lo anterior y por los resultados previstos (Anexos y modelo 16), se ve

que el sector productivo mexicano (para el área del sector agropecuario) durante el periodo

de 1980-2007, las elasticidades de la producción agropecuaria (toneladas) con respecto al

PIB agropecuario expresado en miles de pesos y al personal ocupado remunerado fueron de

1.1709 y 0.4357 respectivamente.

En otras palabras, durante este periodo en estudio, manteniendo constante el personal

ocupado remunerado, un incremento de 1% en el PIB agropecuario, condujo, en promedio,

a un incremento de cerca del 1.2% en la producción agropecuaria.

En forma similar, manteniendo constante el PIB para el sector agropecuario, un incremento

del 1% en el personal ocupado, condujo, en promedio, a un incremento de cerca de 0.5% en

la producción; todo esto para el sector agropecuario.

Sumando las dos elasticidades de la producción agropecuaria, se obtuvo un valor de 1.6066,

que da el valor del parámetro de rendimientos a escala. Como es evidente, durante el

periodo en estudio, el sector productivo mexicano para la división agropecuaria, se

caracterizó por rendimientos crecientes a escala.

48

5.1 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

Uno de los objetivos principales de este trabajo fue el analizar la situación del sector

productivo mexicano, dado, los factores de producción en la economía del país.

Se puede decir que el sector ha sido eficiente en cuanto al nivel de producción indicada. El

efecto observado en cada una de las variables empleadas en este análisis, ha sido

preponderante. Podemos resaltar a la variable del factor mano de obra ( ), en donde el

número de trabajadores que laboran en este sector es reducido en comparación a otros

sectores económicos (ya sea por el sueldo que estos puedan percibir o por la tarea a

desempeñar en esta actividad (por mencionar: hay un mayor desgaste físico, el trabajar

durante muchas horas en el campo, etc.)) y a pesar de ello, el sector productivo mexicano se

ha caracterizado como unos de los mejores aportes a la economía mexicana.

Con la utilización de la función de producción de Cobb-Douglas, y el empleo de los

factores, capital ( ) y mano de obra ( ) en la producción ( ). Podemos decir que este

sector exhibe buenos resultados (aceptables), pues presentó rendimientos crecientes a

escala durante los años de 1980 a 2007.

49

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 CONCLUSIÓN

El objetivo fundamental de este trabajo, se ha enfocado al análisis de la función de

producción de Cobb-Douglas, así como su aplicación al sector productivo mexicano.

En particular se ha considerado el uso de tres variables (Producto final ( ), Factor capital

( ) y Factor mano de obra ( )) para el ajuste del modelo econométrico. Y con técnicas de

regresión lineal, se ha podido analizar dicha aplicación para la interpretación y

determinación de los resultados.

Como resultado del análisis desarrollado en la aplicación de la función de producción de

Cobb-Douglas, nos ha permitido comprender la situación productiva del sector, así como la

influencia de cada unos de los factores de producción.

Sin duda, el mayor componente de este sector, lo aporta el área agrícola, de ahí depende en

gran parte que el desarrollo y crecimiento productivo se vea manifestado en la economía

mexicana. Actualmente, debe brindarse más apoyos a este sector, ya sea directa o

indirectamente a los productores que cada vez son menores los que se dedican a laborar en

este campo de la producción.

Como conclusión final, la aplicación de esta función de producción al sector productivo

mexicano, proporcionó información de la productividad media de los factores, que a juicio

del que escribe, podría ser un elemento para comparar el desempeño sectorial de los

recursos productivos, capital y mano de obra, pues los resultados obtenidos, pueden ser una

base para evaluar el crecimiento del país en cuanto al sector productivo mexicano.

50

6.2 RECOMENDACIONES

a) Una de las limitaciones principales de ésta investigación, consistió en que la

información obtenida, provino de diferentes fuentes, debido a que algunas de ellas,

contenían la información para series calculadas a diferentes años bases y eso

implicó a que se presentara inestabilidad de las cantidades hacia las variables

utilizadas. Por lo que una recomendación que se deriva de esto, es que, convendría

elaborar las series de datos a utilizar en una misma base para todos los años.

b) La obtención de los datos es un problema, ya que como el sector se subdivide en

otras ramas productivas, para algunos años, se contaba con la información total y

para otros, únicamente para los subsectores más representativos como el agrícola.

Con ello, se recomienda usar la información de todos los subsectores obviamente

que estén presentes en todos los años para tener una mejor relación entre las

variables empleadas.

51

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57

8. ANEXOS

8.1 ANEXO 1. CUADROS DE RESULTADOS

Cuadro 1: Observaciones significativas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


21 22 23 24 25 26 27 28

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE Calculado con el Programa R

Cuadro 2: Parámetros del modelo

Fuente Valor

Desviación

típica t Pr > |t|

Límite inferior

(95%)

Límite superior

(95%)

Intersección -6.195 1.837 -3.373 0.002 -9.978 -2.413

X1 1.171 0.085 13.834 < 0.0001 0.997 1.346

X2 0.436 0.254 1.713 0.099 -0.088 0.959

Calculado con el Programa XLSTAT y corroborados con R.

Cuadro 3: Análisis Type III Sum of quares.

Fuente GDL Suma de los cuadrados

Media de los

cuadrados F Pr > F

X1 1 0.332 0.332 191.389 < 0.0001

X2 1 0.005 0.005 2.933 0.099

Calculado con el Programa XLSTAT

58

Cuadro 4: Análisis de varianza.

Fuente GDL

Suma de los

cuadrados

Media de los

cuadrados F Pr > F

Modelo 2 0.579 0.290 167.1 < 0.0001

Error 25 0.043 0.002

Total corregido 27 0.623

Calculado con el Programa XLSTAT (Calculado contra el modelo Y=Media (Y)) y R.

8.2 ANEXO 2. GRÁFICAS DE RESULTADOS

Gráfica 1: Análisis de residuos.

Calculado con el programa R.

59

Grafica 2: Observaciones potenciales

Calculado con el programa R.

Grafica 3: Predicciones (Y) vs observaciones (Y)

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

11

11.1

10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 11.1

Y

Pred(Y)

Pred(Y) / Y

60

Histograma 1: Residuos estandarizados.

Calculado con el programa XLSTAT

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Obs1

Obs3

Obs5

Obs7

Obs9

Obs11

Obs13

Obs15

Obs17

Obs19

Obs21

Obs23

Obs25

Obs27

Residuos estandarizados

Ob

servacio

nes

Residuos estandarizados / Y

61

8.3 ANEXO 3. LISTADO DEL PROGRAMA R PARA UNA FUNCIÓN DE

PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS AJUSTADA AL SECTOR PRODUCTIVO

MEXICANO (TOMADOS DEL CUADRO 5)

> a<-read.table(file="clipboard",head=T) # Comandos para leer los datos., después de copiar los datos.

> attach(a) # attach comando que establece el conjunto de datos a utilizar

> a

Y X1 X2

1 10.53585 11.02958 8.648221

2 10.66010 11.10411 8.697680 3 10.54506 11.08024 8.637107

4 10.60819 11.09924 8.678291

5 10.62138 11.11507 8.687948

6 10.71743 11.14532 8.715388

7 10.59032 11.13327 8.681011

8 10.61418 11.14438 8.687779

9 10.52329 11.10826 8.684570

10 10.51131 11.09331 8.709135

11 10.64307 11.15922 8.661986

12 10.63354 11.18329 8.734642

13 10.69941 11.16250 8.725458 14 10.69022 11.19312 8.739518

15 10.74364 11.20125 8.751269

16 10.75145 11.21319 8.731258

17 10.79730 11.24774 8.749789

18 10.78190 11.24924 8.718725

19 10.83729 11.25589 8.755502

20 10.82148 11.29018 8.762803

21 10.84797 11.29638 8.746111

22 10.91960 11.33079 8.757225

23 10.91598 11.33357 8.745385

24 10.95386 11.36468 8.763269 25 10.97493 11.39774 8.786784

26 10.91799 11.38184 8.744966

27 10.90567 11.42790 8.698681

28 11.03348 11.44817 8.673000

> reg<-lm(Y~X1+X2) # Utilizando la función lm que define el modelo de regresión múltiple (reg)

> reg

Call:

lm(formula = Y ~ X1 + X2)

Coefficients: (Intercept) X1 X2

-6.1950 1.1709 0.4358

> resumen<-summary(reg) # Obteniendo los datos importantes de la función summary, nos da el resumen

de la misma.

> resumen

62

Call:

lm(formula = Y ~ X1 + X2)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-0.078440 -0.025424 0.007202 0.025985 0.064056

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -6.19496 1.83682 -3.373 0.00243 **

X1 1.17094 0.08467 13.830 3.24e-13 *** X2 0.43576 0.25436 1.713 0.09905 .

---

Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „ ‟ 1

Residual standard error: 0.04163 on 25 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9304, Adjusted R-squared: 0.9248

F-statistic: 167.1 on 2 and 25 DF, p-value: 3.402e-15

>par(mfrow=c(2,2)) #con esto ponemos los 4 gráficos en la misma

ventana

> plot(reg) #Pidiendo los gráficos del modelo

> matriz.modelo<-model.matrix(reg) #creamos la matriz de diseño

> potenciales<-hat(matriz.modelo) #creamos potenciales que

contiene la matriz hat del modelo

> plot(potenciales) #hacemos un

gráfico de potenciales para ver las

observaciones altas.

> identify(potenciales) #creamos potenciales que contiene la

matriz hat del modelo

> cook<-cooks.distance(reg) #distancia de las observaciones.

> significativas<-cook>1 #vector significativas para cook

> significativas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


21 22 23 24 25 26 27 28

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

> atributos<- names(reg) # Accediendo a otros valores de reg y resumen, de forma directa, podemos

escribir:

> atributos

[1] "coefficients" "residuals" "effects" "rank"

[5] "fitted.values" "assign" "qr" "df.residual"

63

[9] "xlevels" "call" "terms" "model" > names(summary(reg))

[1] "call" "terms" "residuals" "coefficients"

[5] "aliased" "sigma" "df" "r.squared"

[9] "adj.r.squared" "fstatistic" "cov.unscaled"

> reg$coefficients # Accediendo a los coeficientes de los parámetros (betas)

(Intercept) X1 X2

-6.194957 1.170940 0.435760

> median(resumen$residuals) # La media de los residuales [1] 0.00720157

> sse<-sum(fitted.values$residuals^2) # Para obtener la suma de cuadrados de los residuales (sse)

> sse

[1] 0

> resumen$sigma # valor de sigma

[1] 0.04162714

> resumen$sigma^2 # sigma cuadrada

[1] 0.001732819

> resumen$fstatistic # El valor del estadístico F con 2 y 25 grados de libertad:

value numdf dendf

167.1274 2.0000 25.0000

Olva Maldonado Herlay 2009

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