OLM 2011 Sibiu

INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN SIBIU

OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL, 12.02.2011

Clasa a V-a

1. Se dau numerele:

( )[ ]{ } 159:47:25:175283627 +=x ; ( ) ( )330020112012 55555111111252012:2011:2011 =y ; ( ) ( ) y xyyxxa :22 33333 +++= + .

(4p) a) Calculai numerele x i y. (3p) b) Artai c numrul 2011a este cub perfect.

Liviu Ardelean

2. Se consider urmtorul tablou n care linia n conine n numere: 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...............................................

(3p) a) Calculai suma numerelor din primele 5 linii ale tabloului. (4p) b) Determinai primul element de pe linia 100.

Monica Pau

3. Numrul abx = este format din primele dou numere prime. (3p) a) Artai c x nu este ptrat perfect. (4p) b) Dac Nkbabkan

Barem de corectare OLM Clasa a V-a, 2011

1. a) { } 1159:43327 =+= xx ........................................(2p) ( ) 1555551111151 333 == yy .......(2p)

b) ( ) ( )3201120113201131:1222 3332733333 ====+++= aaa , deci a este cub perfect ...............................................................................................................(3p)

2. a) Elementele liniei a 5-a sunt: 11, 12, 13, 14, 15 .....................................(1p) S = 1 + 2 + 3 + ... + 15 = ( ) 120

211515

=

+........(2p)

b) Urmrind ultimul numr al fiecrei linii se obine: prima linie se termin n 1 a doua linie n 3 = 1 + 2 a treia linie n 6 = 1 + 2 + 3 ...................(1p)

----------------------------------

a n -a linie se va termina cu numrul ( )2

1..21 +=+++ nnn .........(1p)

a 99-a linie se va termina cu numrul 495021009999...21 ==+++ .....(1p)

Deci, primul element al liniei 100 este 4951 .................................................................(1p)

3. a) { }32,23x .....................................................................................................(2p) x nu poate fi ptrat perfect......................................................................................(1p)

b) 32 += kn ......................................................................................................(1p) ( ) ( )222322 3218222 =+=+=+ + kkkkkn aa .........................(3p)

4. Din condiia 2) A4;3 i B4;3 ...(1p) Din condiiile 3) i 1) A7;6;5 i B7;6;5 .......(2p) Din condiia 1) deducem c mai avem de rezolvat problema elementelor 1 i 2; 1 i 2 nu pot fi n ambele mulimi (se contrazice condiia 2)), dar cel puin unul dintre ele trebuie s se afle n B (vezi condiia 4)).............................................................................(1p) Avem posibilitile:

{ }4,3,2A = , { }7,6,5,4,3,1B = .............................................................................................(1p) { }4,3,1A = , { }7,6,5,4,3,2B = .............................................................................................(1p) { }4,3A = , { }7,6,5,4,3,2,1B = .............................................................................................(1p)


Clasa a VI-a

1. (7p) Determinai numrul natural nenul n, tiind c 2010 mprit la 2n d restul 10, 2011 mprit la 3n d restul 61 i 2012 mprit la 5n d restul 12.

Viorica David

2. (7p) Calculai suma: S = 2 + + + + ... +

Gazeta Matematic

3. Se dau punctele coliniare 0A , 1A , 2A ,..., nA , 1+nA , astfel nct cmAA 110 = , 21 AA = 102011 AA , 32 AA = 212011 AA , ... , =+1nn AA nn AA 12011 .

(3p) a) Calculai lungimea segmentului [MN], unde M este mijlocul segmentului [ 21 AA ] i N este mijlocul segmentului [ 32 AA ].

(4p) b) Aflai n pentru care 20121011 201120112010 =+ + AAAA n . Monica Guita

4. Unghiurile AOC i COB sunt adiacente suplementare, iar punctele C i D sunt de o parte i

de cealalt a dreptei AO, astfel nct m(COD)= 100 i m(BOD)=3m(AOC)< 180 . Aflai: (4p) a) Msurile unghiurilor AOC, COB i BOD. (3p) b) Msura unghiului format de bisectoarea AOD i semidreapta opus semidreptei [OC.

Doina Tatu

Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 2 ore.

www.mategl.com

Barem de corectare OLM Clasa a VI-a, 2011

1. ......(2p)

Avem 20>n ........................(2p)

( ) 50400,650,1000 =n , { }50,25,10,5,2,150 =D .....................................(2p) { }50,25n ........................................................................................................................(1p)

2. S = 2 + + + + + + + ... + + ..................................................(2p)

S = 2 + + + + + ... + ..........................................................(2p)

= + + + ... + = 1 ..........................................................................(2p)

Finalizare S = 13 ...........(1p)

3. a) M mijlocul [ 21 AA ] MA1 = 2MA = 221 AA

=

22011

....................................................(1p)

N mijlocul [ 32 AA ] NA2 = 3NA = 232 AA

=

220112

...........................................................(1p)

MN = 2MA + NA2 = 22011

+2

20112= 20111006 = 2023066..............................................(1p)

b) nnAA 2011...20112011 211 +++=+ ...............................................................................(1p) 201120112010 111 =

++

n

nAA ..........................................................................................(1p) Inlocuind obinem n = 2011...............................................................................................(2p) 4. a) Desen......................................................................................(1p) Dac notm m( AOC)=x, m( AOD)=y, m( BOD)=3x, avem x+y=100 i 3x+y=180 ............................................................................................................................................(1p) Dup calcule 00 60,40 == yx ..........................................................................................(1p) m( AOC) = 40 , m( BOC) = 140 , m( BOD) = 120 ....................................(1p) b) Construcia bisectoarei [OF i a semidreptei [OE opuse lui [OC..................................(1p) m( AOD) = 60 , m( DOE) = 80 ..................................................................................(1p) m( FOE) = 110 ...............................................................................................................(1p)

OLIMPIADA DE MATEMATIC

FAZA LOCAL, 13.02.2011 Clasa a VII-a

1. (3p) a) Artai c:

( ) ( )

+

+=

++ ++

121

121

21

12122

11

1

nnnn

n

.

(4p) b) Aflai numrul natural nenul n, astfel nct:

( ) ( ) ( )12312

12122

...

1794

952

531

2011

2010

1

1

+

=

++++

+

+

+

nn

n

.

Gazeta Matematic

2. (3p) a) Comparai numerele reale:

761+

=a i 85

1+

=b .

(4p) b) Se d suma: ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnS 515253545...10987654321 ++++++++++++= .

Determinai numrul natural n pentru care 175=S . Simona Dumitrescu

3. (7p) Medianele [ ]CE i [ ]BD ale triunghiului ABC ( )( )090 =Am se intersecteaz n G. Dac 15=BC cm i { }PEDAG = , calculai lungimile segmentelor AG i PG.

***

4. ABCD este un paralelogram, M i N dou puncte pe latura [ ]BC , astfel nct NCMNBM == , iar P un punct pe latura [ ]CD , astfel nct PDCP = . Dac { } { } { }GBCAPFCDANECDAM === ,, , demonstrai c:

(3p) a) MDNP || i GFBP || . (2p) b) GE nu este paralel cu MD. (2p) c) dreptele AN, BP i DM sunt concurente ntr-un punct O.

Teodor Mrcu


www.mategl.com

Barem de corectare OLM Clasa a VII-a, 2011

1. a) ( )( ) ( )( )12122

1212222

121

121

21

1

1

1

1

1 ++=

++

=

+

+

+

+

+

+ nn

n

nn

nn

nn.....................................(3p)

b) Folosind a), avem:

=

51

31

21

531

=

91

51

21

952

...

( )( )

+

+=

++ ++

121

121

21

12122

11

1

nnnn

n

...........................................(2p)

( )( ) ( )12312

121

31

21

12122

...

952

531

111

1

+

=

+=

++++

+

+++

n

n

nnn

n

.....................................(1p)

Formm ecuaia: ( ) ( )12312

12312

2011

2010

1 +

=

+

+n

n

, a crei soluie este 2010=n ..........................(1p)

2. a) Compararea numerelor a i b revine la compararea numerele 76 + i 85 + , deci a numerelor 56 i 78 ...........................................................................................(1p) Avem

+>+>+

>+

+

CPFCCDFC

NBCN

NAFNABCF

NAFN

CDFCDACN

ThalesT

ThalesT

==

==

=

21

21||

||.

.

(1)

( ) CBDACGULUCPGDPA == (2) Din (1) i (2) BPGF este paralelogram, deci GFBP || ...................................................(1p)

b) 22||

||.

.

=

==

=

CDEC

MBCM

MAEMCEAB

MAEM

CDECDACM

ThalesT

ThalesT

Presupunnd 232|| ===

CMGC

CDECDMGE (contradicie)..............................................(2p)

c) [ ] [ ] ABPFABPFABPF ,|| este paralelogram. Fie { }OBPAF = . n triunghiul PBN, [ ]OM este linie mijlocie, deci PNOM || i cum de la punctul a) avem PNDM || , rezult c punctele D, O i M sunt coliniare, deci { }ODMBPAN = ...........................(2p)

D

A B

C

G

M

P F E

O N


Clasa a VIII-a

1. Se consider expresia , unde . (4p) a) Demonstrai c este ptrat perfect. (3p) b) Artai c .

***

2. (7p) Determinai numerele naturale , tiind c . Gazeta Matematic

3. ABCD este un tetraedru i G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor DBC, DAC respectiv DAB. (4p) a) Demonstrai c . (3p) b) Calculai raportul dintre ariile triunghiurilor i .

***

4. ABCD este un paralelogram cu i M este mijlocul laturii . n punctul P, , se ridic perpendiculara PQ pe planul paralelogramului

ABCD, astfel nct . (2p) a) Aflai aria paralelogramului ABCD. (5p) b) Calculai distanele de la punctul Q la punctul C, respectiv la dreapta BC.

Gheorghe Floarea


www.mategl.com

Barem de corectare OLM Clasa a VIII-a, 2011

1. a) .....(2p) ....(2p)

b) ........................................................................................................(1p) ...(2p)

2. Prin ridicare la ptrat avem .....................................................(1p) ...............................................................(1p)

....................................................................................(4p) ....................................................................................................(1p)

3. a) Fie mijloacele laturilor respectiv centre de greutate ............................................................(2p)

i ...........................(2p) b) ............................................................................................................................(1p)

.............................................................................................................................(1p) .............................................................................................................(1p)

4. a) ..............................................................................................(1p) ....................................................................................(1p)

b) Se arat c .........................................................................................(1p) ...................................................................................................(1p)

.......................................................................................................(1p)

Din teorema celor trei perpendiculare deducem c , deci .....................................................................................................................

...................(2p)


A

C D

Q

P 6

B M

Clasa a IX-a

1. (7p) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia:

[ ]xx =

11

11

.

Neculai Stanciu

2. (7p) Fie a, b > 0, astfel nct 31 ++ab

ba . Demonstrai c:

(4p) a) 21 + ba . (3p) b) 1

41 ba .

Alin Pop

3. (7p) Artai c:

nn

nn

n

n

+

++=

+

+

+

2

2

3

3

3

3

3

3 132

11

.....

1313

1212

, ( ) .2, nNn ***

4. Se consider patrulaterul convex ABCD i O intersecia diagonalelor. Demonstrai c: (3p) a) dac ABCD este paralelogram, atunci 0=+++ ODOCOBOA . (4p) b) dac 0=+++ ODOCOBOA , atunci ABCD este paralelogram.

***


www.mategl.com

Barem de corectare OLM Clasa a IX-a, 2011

1. [ ]x11

Z rezulta 1-[ ]x = 1 sau 1- [ ]x = -1.... (2p)

In primul caz [ ]x = 0, de unde 1x1

1=

2x1

11

OLM 2011 Sibiu

Documents

Transcript of OLM 2011 Sibiu