Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a CLASA a IX-a subiecte si bareme etapa...Olimpiada Nat˘ional a...
Transcript of Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a CLASA a IX-a subiecte si bareme etapa...Olimpiada Nat˘ional a...
Societatea de �tiin �eMatematice din România
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 18 martie 2017
CLASA a IX-a
Problema 1. Fie A1, B1, C1 picioarele ınaltimilor triunghiului ascutitunghic ABC.Pe segmentele B1C1, C1A1, A1B1 se considera punctele X, Y , respectiv Z, astfel ıncat
C1X
XB1
=b cosC
c cosB,A1Y
Y C1
=c cosA
a cosCsiB1Z
ZA1
=a cosB
b cosA.
Aratati ca dreptele AX,BY si CZ sunt concurente.Gazeta Matematica
Problema 2. Fie ABC un triunghi ın care O si I sunt respectiv centrul cerculuicircumscris si centrul cercului ınscris. Mediatoarele segmentelor IA, IB, IC se intersectezadoua cate doua formand triunghiul A1B1C1. Aratati ca
−→OI =
−−→OA1 +
−−→OB1 +
−−→OC1.
Problema 3. Fie (an)n≥1 o progresie aritmetica de numere naturale nenule. NotamSn = a21 + a22 + · · ·+ a2n, n ∈ N∗. Aratati ca:
a) Daca p este un numar prim, p ≥ 5, atunci Sp se divide cu p;b) S5 nu este patrat perfect.
Problema 4. Fie a, b, c numere reale pozitive cu proprietatea ab+ bc+ ca+abc = 4.Aratati ca √
ab +√bc +
√ca ≤ 3 ≤ a + b + c.
Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.