Olimpiada naţională de matematică

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Olimpiada naţională de matematică

etapa locală, 16.02.2019

Clasa a V-a

1. Se dau numerele: x = [3121 : 960 + (52)3 : ( 52)2]: 22

y = 102 : 23 + 34 : [(2 ⋅ 32)2 : 18 – 170 ⋅ 12012]

Arătaţi că numărul x + y + 1717 este cub perfect.

2. Fie A = 2019 + 2∙( 1 + 2+ 3 + …..+ 2018) şi B = 1 + 3 + 5 +……+ 2019 . Să se arate că:

a) A si B sunt pătrate perfecte;

b) Arătaţi că numărul C = 20193 – 20192 ∙ 2018 – 2019 ∙ 2018 + 6 este pătrat perfect.

3. Trei caiete, două pixuri și un stilou costă 21 lei; un caiet, trei pixuri și două stilouri costă 29 lei;

două caiete, un pix și trei stilouri costă 34 lei.

a) Aflați cât costă, împreună, un caiet, un pix și un stilou.

b) Determinați prețul unui caiet, prețul unui pix și prețul unui stilou.

4. a) Fie numărul natural A=1234 ... 673+2020. Determinați restul împărțirii lui A la 2019.

b) Numerele naturale a, b, c dau prin împărțire la 11 resturile 9, 8, respectiv 7. Determinați

restul împărțirii numărului natural n=6a+5b+4c la 11.

Notă: Timp de lucru 2 ore.

Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.

SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1.

Adottak a következő számok:

= : + : :

= : + : ∙ : − ∙

Igazold, hogy az + + köbszám.

2.

Legyen A = 2019 + 2 · (1 + 2 + 3 + …. + 2018) és

B = 1 + 3 + 5 + … + 2019.

Igazold, hogy:

a.) A és B számok teljes négyzetek.

b.) C = 20193 – 20192 · 2018 – 2019 · 2018 + 6 teljes négyzet.

3.

Három füzet, két ceruza és egy toll ára 21 lej; egy füzet, három ceruza és két toll ára 29 lej; két

füzet, egy ceruza és három toll ára 34 lej.

a.) Határozd meg mennyibe kerül összesen egy füzet, egy ceruza és egy toll.

b.) Határozd meg mennyibe kerül külön – külön egy füzet, egy ceruza és egy toll.

4.

a)Adott a következő természetes szám: A=1234 ... 673+2020. Határozd meg az A szám

2019 – cel való osztási maradékát.

b)Az a, b, c természetes számok 11 – gyel való osztási maradékai 9, 8 illetve 7. Határozd meg

az n=6a+5b+4c természetes szám 11 – gyel való osztási maradékát.



SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1. Gegeben sind die Zahlen: x = [3121 : 960 + (52)3 : ( 52)2]: 22

y = 102 : 23 + 34 : [(2 ⋅ 32)2 : 18 – 170 ⋅ 12012]

Zeigt, dass die Zahl x + y + 1717 Kubikzahl ist.

2. Es sei A = 2019 + 2∙( 1 + 2+ 3 + …..+ 2018) und B = 1 + 3 + 5 +……+ 2019 . Zeigt, dass:

a) A und B Quadratzahlen sind ;

b) Zeigt, dass die Zahl C = 20193 – 20192 ∙ 2018 – 2019 ∙ 2018 + 6 Quadratzahl ist.

3. Drei Hefte, zwei Stiften und ein Kugelschreiber kosten 21 Lei;ein Heft,drei Stiften und drei

Kugelschreiber kosten 29 Lei; zwei Hefte ,ein Stift und drei Kugelschreiber kosten 34 Lei.

a) Wieviel kosten insgesamt ein Heft, ein Stift und ein Kugelschreiber.

b) Bestimmt der Preis eines Heftes, eines Stiftes und eines Kugelschreibers.

4. Es sei die naturliche Zahl A=1234 ... 673+2020. Bestimmt den Rest der Division der Zahl

A durch 2019.

Die naturlichen Zahlen a, b, c geteilt durch 11 den Rest 9, 8, und 7 ergibt. Bestimmt den Rest

der Division der naturliche Zahl n=6a+5b+4c durch 11.



SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1. Se dau numerele: x = [3121 : 960 + (52)3 : ( 52)2]: 22

y = 102 : 23 + 34 : [(2 ⋅ 32)2 : 18 – 170 ⋅ 12012]

Arătaţi că numărul x + y + 1717 este cub perfect.

prof. Moldovan Gherghe, Şcoala Gimnazială “George Cosbuc”, Mediesu Aurit

2. Fie A = 2019 + 2∙( 1 + 2+ 3 + …..+ 2018) şi B = 1 + 3 + 5 +……+ 2019 . Să se arate că:

a) A si B sunt pătrate perfecte;

b) Arătaţi că numărul C = 20193 – 20192 ∙ 2018 – 2019 ∙ 2018 + 6 este pătrat perfect.

prof. Şteţ Anca – Şcoala Gimnazială Nr. 1 Carei

3. Trei caiete, două pixuri și un stilou costă 21 lei; un caiet, trei pixuri și două stilouri costă 29 lei;

două caiete, un pix și trei stilouri costă 34 lei.

a) Aflați cât costă, împreună, un caiet, un pix și un stilou.

b) Determinați prețul unui caiet, prețul unui pix și prețul unui stilou.

prof. Ionela Turturean , Școala Gimnazială Culciu Mare

4. a) Fie numărul natural A=1234 ... 673+2020. Determinați restul împărțirii lui A la 2019.

b) Numerele naturale a, b, c dau prin împărțire la 11, resturile 9, 8, respectiv 7. Determinați restul

împărțirii numărului natural n=6a+5b+4c la 11.




SUCCES!

http://www.satmar.ro/

http://www.edu.ro/

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V -a

barem de corectare

punctaj

1. x=7

2 p

y=4 2 p

x+y=11 1 p

x+y+1717=1728 0,5 p

1728=(12)3 1,5 p

2. a) A = 2019 + 2 ∙ [ 2018 ( 2018 + 1) ] : 2 1 p

A= 2019 + 2018 ∙ 2019

A = 2019 ∙( 1 + 2018 )

0,5p

A= 2019 ∙ 2019

A= 20192 – este pătrat perfect

0,5 p

B= (1 + 2019) ∙ [ ( 2019 – 1) : 2 + 1] : 2

B= 1010 ∙ ( 1009 + 1 )

B= 1010 ∙1010

B=10102 este pătrat perfect

0,5 p

0,5 p

0,5 p

0,5 p

b) C = 20192 ( 2019 – 2018 ) – 2019∙2018 + 6

C = 20192 - 2019∙2018 + 6

C = 2019 ( 2019 – 2018) + 6

C = 2019 + 6

1p

0,5 p

0,5 p

0,5 p


http://www.edu.ro/

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


C = 2025

C = 452

0,5 p

3. a)

R1: 3 caiete____2 pixuri____1 stilou_____21 lei

R2: 1 caiet_____3 pixuri____2 stilouri____29 lei

R3: 2 caiete____1 pix ______3 stilouri____34 lei

Adunăm relațiile R1-3:

6 caiete____6 pixuri_____6 stilouri____84 lei / :6

1 p

R4: 1 caiet_____1 pix_______1 stilou_____14 lei

1 p

b)

R1: 3 caiete____2 pixuri____1 stilou_____21 lei


Scădem relațiile R1, R4:

R5: 2 caiete _____1 pix_______________21-14=7 lei

1 p

R3: 2 caiete____1 pix ______3 stilouri____34 lei

R5: 2 caiete _____1 pix_________________7 lei

Scădem relațiile: R3, R5: 3 stilouri_____34-7=27 lei

1 stilou___________________________27:3=9 lei

1 p


_____________________ 1 stilou_____9 lei 1 p

Scădem relațiile:

1 caiet ____1 pix__________________14-9=5 lei

2 caiete _____1 pix_________________7 lei 1 p

Scădem relațiile:

1 caiet __________________________2 lei

1 pix____________________________3 lei 1 p

4. a) 3673=2019, 1 p


http://www.edu.ro/

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


A=2019y+2019+1, r=1 1 p

b) a=11c1+9, b=11c2+8, c=11c3+7 1 p

n=66c1+54+55c2+40+44c3+28 1p

=11(6c1+5c2+4c3)+122 1 p

=11(6c1+5c2+4c3)+1111+1, r=1

2 p


http://www.edu.ro/

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1. Fie numerele naturale:

a= (1+221015):(20190+02019+12019+20191),

b= 241414

84161: -2(42+32)8:515

c=(20192018-20192015):673

Arătați că numerele naturale x= și y=a+b+c sunt pătrate perfecte.

2. Aflaţi numărul natural de trei cifre care împărţit la răsturnatul său dă câtul 6 şi restul 47, iar

diferenţa dintre cifra zecilor şi a unităţilor este 3.(specificăm că răsturnatul unui număr este

numărul dat citit de la dreapta la stânga, ex: răsturnatul numărului 7652 este numărul 2567)

3. O stradă are casele numerotate cu numere pare până la 110 inclusiv și cu numere impare până la

51 inclusiv.

a) Să se precizeze numărul de case de pe stradă.

b) Să se arate că suma numerelor impare de la 1 la 51 este un pătrat perfect.

4. Fie șirul de numere naturale : 1, 5, 9, 13, ….. . a) Completați șirul cu încă 3 termeni . b) Aflați al 99-lea și al 1000-lea termen al șirului. c) Justificați care din următoarele numere fac parte din șir: 501, 576, 2017. Precizați locul

lor în șir. d) Calculați suma primilor 100 de termeni ai șirului.



SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1.

Adottak a következő természetes számok:

a= (1+221015):(20190+02019+12019+20191),

b= 241414

84161: -2(42+32)8:515

c=(20192018-20192015):673

Igazold, hogy az x= és y=a+b+c természetes számok teljes négyzetek.

prof.Ionela Turturean, Şcoala Gimnazială Culciu Mare

2.

Határozd meg azt háromjegyű természetes számot amelyet, ha elosztunk a tükörszámával a

hányados 6, a maradék pedig 47, illetve a tízesek számjegye és az egyesek számjegye közötti

különbség 3. (Egy szám tükörszámát úgy kapjuk meg, hogy a szám számjegyeit jobbról balra

olvassuk, pl. a 7562 tükörszáma a 2657)

prof. Pop Virgil

3.

Egy utcában a páros oldalon az utolsó házszám a 110, a páratlan oldalon pedig 51.

a.) Határozd meg, hogy hány ház van az utcában.

b.) Igazold, hogy a páratlan számok összege 1 – től 51 – ig teljes négyzet

prof. Guţ Cristian, Liceul Teoretic Carei

4. Adott az 1; 5; 9; 13; …. Természetes számokból álló sorozat

a.) Egészítsd ki a fenti sorozatot még három taggal.

b.) Határozd meg a sorozat 99 – edik és 1000 – edik tagját.

c.) Ellenőrizd ,hogy az 501; 576 és 2017 számok közül melyek tartoznak a sorozathoz.

Határozd meg a sorozatban elfoglalt helyüket.

d.) Számítsd ki a sorozat első 100 tagjának az összegét.

prof.Moldovan Gheorghe, Şcoala Gimnazială “ Gheorghe Coşbuc” Medieşu Aurit



SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a VI-a

1. a) Findet die Anzahl der Quadratzahlen zwischen 200 und 400

b) Bestimmt die naturliche Zahlen x und y aus der Bedingung 40022 yx

2. Es sei die Menge 20183;...;2;1;A

a) Bestimmt die Anzahl der Teilmengen der Menge A gebildet von zwei Elemente deren

Summe 2019 ist.

b) Bestimmt die Anzahl der Teilmengen der Menge A, gebildet von 4 Elementen so, dass

die Summe zweier Elementen soll gleich sein, mit die Summe der anderen zwei

Elementen und diese 2019 ist.

3. Es seien die Punkten A,B,C,D,E,F auf dem Kreis C(O,r) so, dass

m( )=m( )=m( )=m( )=m( )=60⁰.

a) Zeigt, dass AB || DE.

b) Zeigt, dass die Mittelsenkrechten der Sehnen AB,BC,CD,DE,EF,FA in denselben Punkt

sich schneiden.

4. Es seien die anliegenden Winkeln A1OA2, A2OA3, …, A15OA16 mit Masszahlen des Winkels

gleich mit 1, 2,….15.

a) Bestimmt die Masszahl des Winkels A1OA16.

b) Es sei OM die Winkelhalbierende des Winkels A1OA4 und ON die Winkelhalbierende des

Winkels A13OA16. Bestimmt die Masszahl des Winkels MON.



SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V-a

1. Fie numerele naturale:

a= (1+221015):(20190+02019+12019+20191),

b= 241414

84161: -2(42+32)8:515

c=(20192018-20192015):673

Arătați că numerele naturale x= și y=a+b+c sunt pătrate perfecte.


2. Aflaţi numărul natural de trei cifre care împărţit la răsturnatul său dă câtul 6 şi restul 47, iar

diferenţa dintre cifra zecilor şi a unităţilor este 3.(specificăm că răsturnatul unui număr este

numărul dat citit de la dreapta la stânga, ex: răsturnatul numărului 7652 este numărul 2567)

prof. Pop Virgil, Școala

3. O stradă are casele numerotate cu numere pare până la 110 inclusiv și cu numere impare până la

51 inclusiv.

a) Să se precizeze numărul de case de pe stradă.

b) Să se arate că suma numerelor impare de la 1 la 51 este un pătrat perfect.

prof. Gut Cristian,Liceul Teoretic Carei

4. Fie șirul de numere naturale : 1, 5, 9, 13, ….. .

a) Completați șirul cu încă 3 termeni .

b) Aflați al 99-lea și al 1000-lea termen al șirului.

c) Justificați care din următoarele numere fac parte din șir: 501, 576, 2017. Precizați locul lor în șir.

d) Calculați suma primilor 100 de termeni ai șirului.

prof. Moldovan Gherghe, Şcoala Gimnazială “George Cosbuc”, Mediesu Aurit



SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05




Clasa a V -a

barem de corectare

punctaj

1. a=(1+2020):(1+0+1+2019)

1 p

=2021:2021=1

1p

b=241228

21224:281 -2258:515

1p

=16-10=6

1p

c=20193:673=9

1p

x=169=132

1p

y=16=42 1p

2. 2 p

1 p

Dar b-c=3 atunci b= 3+c inlocuind avem

2 p

dar 94a este par atunci (649c + 147) trebuie sa fie un nr par, de unde rezulta ca

c trebuie sa fie o cifra impara

1 p

Singura varianta posibila este pt c = 1 atunci b = 4 si a = 9 atunci

=941

1 p

3. a) Numărul de case numerotate cu numere impare este 52:2=26

2 p

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________



Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05


Numărul de case numerotate cu numere pare este 110:2=55 1 p

Numărul total de case de pe stradă este 26+55=81 1 p

b) notăm cu n= 1+3 +5 +…+51

n=51+49+47+…+1

2n=(1+51)+(3+49)+(5+47)+…+(51+1)

1 p

2n=52+52+52+…+52 52:2=26 numere de 52 1 p

Deci, 2n=26*52 n=26*26

n= ,de unde rezultă că n este pătrat perfect.

1 p

4. a) 17,21,25 1p

b) a99=1+4∙98=393

a1000=1+999∙4=3997

1p

1p

c) 501=4∙125+1, este în șir pe locul 126

576=4∙144, nu este în șir

2017=4∙504+1 , este în șir pe locul 505

0,75 p

0,75p

0,75 p

d) S100=4(1+2+3+….+99)+100

S100=19900

1p

1p

Olimpiada naţională de matematică

Documents

Transcript of Olimpiada naţională de matematică