okl-mlp3-lakier2007 - images.nexto.plimages.nexto.pl/upload/publisher/Gwo/public/mlp3_gratis.pdf ·...
Transcript of okl-mlp3-lakier2007 - images.nexto.plimages.nexto.pl/upload/publisher/Gwo/public/mlp3_gratis.pdf ·...
22-03-2007
06-05-2005
grzbiet-11
Pow
tórz
enie. Prz
yg
oto
wan
ie do m
atury
Przyg
oto
wan
ie do m
atury
Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.
Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.
Ksi¹¿ka ta jest przeznaczona dla wszystkich, którzy chc¹ siê dobrze
przygotowaæ do egzaminu maturalnego, niezale¿nie od tego, z jakich
programów nauczania korzystali do tej pory.
W pierwszej czêœci ksi¹¿ki proponujemy solidne i systematyczne
powtórzenie wiadomoœci z poszczególnych dzia³ów matematyki.
W drugiej czêœci mo¿na znaleŸæ zestawy maturalne dla zakresu
podstawowego i rozszerzonego, wœród nich zestaw zadañ z egzaminu
maturalnego 2005.
kod-ok.
83-7420-003-0 978-83-7420-003-5 MLP3 X 16 EAN: 9788374200035
ISBN 978-83-7420-003-5
Spis treści
Powtórzenie wiadomości .......................................................................................... 9
Zadania i zbiory ................................................................................... 10
Obliczenia ............................................................................................. 18
Ciągi ....................................................................................................... 27
Własności funkcji ................................................................................. 31
Funkcje liniowe i kwadratowe ........................................................... 39
Wielomiany i wyrażenia wymierne ................................................... 45
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne .............................................. 51
Trygonometria ...................................................................................... 55
Granice i pochodne ............................................................................. 62
Statystyka .............................................................................................. 69
Rachunek prawdopodobieństwa ....................................................... 74
Planimetria ............................................................................................ 81
Planimetria (cd.) ................................................................................... 89
Stereometria ......................................................................................... 96
Zestawy zadań maturalnych ................................................................................ 105
Zestaw maturalny 2005 ........................................................................................ 125
Wskazówki i szkice rozwiązań ............................................................................. 131
Odpowiedzi ........................................................................................................... 169
Ciągi
Podstawowe pojęcia
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich (ciąg nie-skończony) lub na jego skończonym podzbiorze {1, 2, 3, . . . ,k} (ciąg skończo-ny). Wartości takiej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.
Ciąg, w którym dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów an i an+1 zacho-dzi nierówność an < an+1, nazywamy rosnącym, a gdy zachodzi nierównośćan+1 < an, to ciąg nazywamy malejącym. Ciąg, w którym dla każdego n zacho-dzi równość an+1 = an, nazywamy stałym.
zob. II str. 162 198
Ciąg arytmetyczny
Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym,jeśli ma co najmniej trzy wyrazyi każdy jego wyraz, z wyjątkiem pier-wszego, powstaje przez dodaniepewnej stałej liczby r do poprzed-niego wyrazu.
Wzór rekurencyjny:
an+1 = an + rr — różnica ciągu arytmetycznego
Wzór ogólny:
an = a1 + (n − 1)r
Ciąg geometryczny
Ciąg (an) nazywamy geometrycznym,jeśli ma co najmniej trzy wyrazyi każdy, z wyjątkiem pierwszego, po-wstaje w wyniku pomnożenia po-przedniego wyrazu przez pewną sta-łą liczbę q.
Wzór rekurencyjny:
an+1 = an · qq — iloraz ciągu geometrycznego
Wzór ogólny:
an = a1 · qn−1
Suma n początkowych wyrazów:
Sn =a1 + an
2· nzob. II str. 171 207
Suma n początkowych wyrazów:
Sn = a1 · 1 − qn
1 − q, gdy q �= 1
zob. II str. 180 216
Szereg geometryczny
Niech (an) oznacza ciąg geometryczny o ilorazie q. Ciąg sum częściowych (Sn),czyli S1 = a1, S2 = a1 + a1q, S3 = a1 + a1q + a1q2, . . . nazywamy szeregiemgeometrycznym.
Jeśli |q| < 1, to ciąg (Sn) jest zbieżny, a liczbę S = limn→+∞Sn nazywamy sumą
szeregu geometrycznego. Mówimy też, że S jest sumą wszystkich wyrazów
nieskończonego ciągu geometrycznego (an).
S =a1
1 − q zob. II str. 245
28 C I Ą G I
Zadania kontrolne
I. Ciąg (an) określony jest wzorem an = n(3n+1). Liczba 200 jest jednym z wyrazówtego ciągu. Którym?
II. Zapisz dziesiąty, jedenasty i dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym:
zob. II str. 173 209a) a1 = −2, r = 5 b) a3 = 8, a7 = 6
III. Wykaż, że liczby (√
3)4 − 2√
3, 9, 32 +√
3 tworzą ciąg geometryczny. Czy iloraz tegociągu jest liczbą większą od 3?
IV. Zbadaj monotoniczność ciągu an = 3nn + 2
.zob. II str. 166 202
V. Liczby 1 +√
2, 1, 1 −√
2 to trzy początkowe wyrazy nieskończonego ciąguarytmetycznego. Zapisz wzór ogólny i wzór rekurencyjny tego ciągu.
VI. Liczby 3√
3, 3,√
3 są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonegociągu geometrycznego. Zapisz wzór ogólny i wzór rekurencyjny tego ciągu.
zob. II str. 182 218
VII. Liczby −2 i 4 to odpowiednio drugi i piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego(an). Oblicz sumę a20 + a21 + . . . + a30.
zob. II str. 174 210
VIII. Składniki sumy 2 + 2√
2 + 4 + . . . + 16√
2 są kolejnymi wyrazami ciągu geome-trycznego. Oblicz tę sumę.
zob. II str. 184 220
IX. Który z podanych ciągów jest rosnący, który malejący, a który nie jest ani ro-snący, ani malejący?
an = 3 − 2n
bn = n2 − 2n cn = n + 12n
dn = |7 − n|
X. Poniżej podano wzory ogólne kilku ciągów. Który z tych ciągów jest ciągiemarytmetycznym, a który geometrycznym?
an = n3 cn = 3n en = |n + 2| bn = 3n dn = 1 − n4
fn = |n − 2|
XI. Czwarty wyraz pewnego ciągu jest równy 9, a ósmy jest równy 81. Podaj pierw-sze dwa wyrazy tego ciągu, jeśli wiadomo, że jest to:
a) ciąg arytmetyczny, b) ciąg geometryczny.
XII. Sprawdź, że ciąg an = 45n−1 jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę wszyst-
kich wyrazów tego ciągu.
134 WSKAZÓWKI I SZKICE ROZWIĄZAŃ
Ciągi
str. 28 XII. Wskazówka. Ciąg (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznymo ilorazie q = 1
5.
str. 29 3. Wskazówka. Wszystkie trzycyfrowe parzyste liczby naturalne tworząciąg arytmetyczny, w którym a1 = 100 oraz r = 2. Ostatnim wyrazem tegociągu jest a450 = 998. Wystarczy zatem obliczyć S450.
4. a) Wskazówka. Liczby miejsc w kolejnych rzędach tworzą ciąg arytme-tyczny (an), w którym r = 3. Aby znaleźć a1, należy rozwiązać równanieS25 = 1250.b) Wskazówka. Należy sprawdzić, czy zachodzi nierówność S16 > 625.
5. Liczby osób, które po kolejnych dniach znają plotkę, tworzą ciąg:
15, 15 + 3 · 15 = 4 · 15, 4 · 15 + 3 · 4 · 15 = 42 · 15, . . . , 46 · 15
Zatem w niedzielę plotkę znało 46 · 15 = 61 440 osób. Liczba mieszkańcówmiasteczka wynosi więc 61 446 osób.
6. Wskazówka. Kolejne wyrazy ciągu można zapisać w postaci:
log2 10, 2 log2 10, 3 log2 10, . . .
7. Wskazówka. W ciągu powtarza się sekwencja sześciu wyrazów: 5, 8, 3,−5, −8, −3.
8. Wskazówka. Rozwiąż równanie a1 + a1q + a1q2 = 3a1. Ponieważ ciąg niejest stały, więc a1 �= 0 i q �= 1.
9. Wskazówka. Zob. zadanie 2 na str. 15.
Własności funkcji
str. 34 IV. c) Funkcja jest rosnąca w przedziale (−∞; 5〉 i malejąca w przedziale〈5; +∞), zatem z warunków zadania wynika, że:
f (−2) < f (1) = f (7) < f (6)
str. 35 XII. a) Aby wykazać, że funkcja f (x) = 3x2 −5x nie jest różnowartościowa,wystarczy wskazać takie dwa argumenty x1 i x2, dla których spełniony jest
warunek f (x1) = f (x2)(
np. x1 = 0, x2 = 53
).
b) Dziedziną funkcji g jest zbiór D = �, zatem jeśli x ∈ D, to −x ∈ D.Ponadto:
g(−x) = 3 − (−x)2
5 + |−x| = 3 − x2
5 + |x| = g(x)
Zatem funkcja g jest parzysta.
22-03-2007
06-05-2005
grzbiet-11
Pow
tórz
enie. Prz
yg
oto
wan
ie do m
atury
Przyg
oto
wan
ie do m
atury
Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.
Uwaga. Ksi¹¿ka zawiera m.in. arkusze maturalne z roku 2005.
Ksi¹¿ka ta jest przeznaczona dla wszystkich, którzy chc¹ siê dobrze
przygotowaæ do egzaminu maturalnego, niezale¿nie od tego, z jakich
programów nauczania korzystali do tej pory.
W pierwszej czêœci ksi¹¿ki proponujemy solidne i systematyczne
powtórzenie wiadomoœci z poszczególnych dzia³ów matematyki.
W drugiej czêœci mo¿na znaleŸæ zestawy maturalne dla zakresu
podstawowego i rozszerzonego, wœród nich zestaw zadañ z egzaminu
maturalnego 2005.
kod-ok.
83-7420-003-0 978-83-7420-003-5 MLP3 X 16 EAN: 9788374200035
ISBN 978-83-7420-003-5