11

ΔΙΑΛΕΞΗ1Β – CHIANG ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Ιδιότητες των πράξεων • Μεταθετική ιδιότητα (commutative law)

Α∪Β=Β∪Α Α∩Β=Β∩Α

παρόμοια με αbbααbbα ×=×+=+ • Προσεταιριστική ιδιότητα (associative law)

CΒ)(ΑC)(ΒΑ ∪∪=∪∪

Παρόμοια με cb)(αc)(bα ++=++

CΒ)(ΑC)(ΒΑ ∩∩=∩∩ Παρόμοια με cb)(αc)(bα ××=×× • Επιμεριστική ιδιότητα (distributive law)

C)(ΑΒ)(ΑC)(ΒΑ ∪∩∪=∩∪

C)(ΑΒ)(ΑC)(ΒΑ ∩∪∩=∪∩

Παρόμοια με c)(αb)(αc)(bα ×+×=+×

12

Επαλήθευση της επιμεριστικής ιδιότητας

{ }5,4A= { }7,6,3B= { }3,2C=

C)(AB)(AC)(BA ∪∩∪=∩∪

{ } { } { }5 4,3,354,C)(BA =∪=∩∪

{ } { } { }54, 3,54,3,2,76,5,4,3,C)(AB)(A =∩=∪∩∪

C)(AB)(AC)(BA ∩∪∩=∪∩

{ } { } ∅=∩=∪∩ 76, 3, 2,54,C)(BA

∅=∅∪∅=∩∪∩ C)(AB)(A

13

2.4. Σχέσεις και Συναρτήσεις • Διατεταγμένα ζεύγη { }bα,x =

Όταν η διάταξη των α και b έχει σημασία έχουμε δύο διατεταγμένα ζεύγη. ( ) bαεάνεκτόςα)(b,b α, =≠ Εάν { } { }43,yκαι21,x == , βρείτε τα πιθανά διατεταγμένα ζεύγη για τα οποία το πρώτο στοιχείο ∈ x και το δεύτερο στοιχείο ∈y

)4,2(,)3,2(,)4,1(,)3,1( • Καρτεσιανό γινόμενο (σύνολο διατεταγμένων ζευγών)

{ }4)(2,3),(2,4),(1,3), (1,yx =×

ή ( ){ }ybκαιxαbα,yx ∈∈=×

Αν τα σύνολα x, y, z αποτελούνται από όλους τους πραγματικούς αριθμούς

2RRRyx =×=× (σύνολο σημείων στον

δισδιάστατο χώρο) 3RRRRzyx =××=×× (σύνολο σημείων στον

τρισδιάστατο χώρο).

14

Συνάρτηση (απεικόνιση ή μετασχηματισμός) Το y είναι συνάρτηση του x, y = f (x). Σύνολο διατεταγμένων ζευγών με την ιδιότητα ότι κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μια μοναδική τιμή του y. ΟΧΙ απαραίτητα το αντίστροφο. y y = f (x) y0

0 x1 x2 x f: ερμηνεύεται ως ο κανόνας με τον οποίο το σύνολο x απεικονίζεται (μετασχηματίζεται) στο σύνολο y f : x → y Συμβολισμός κανόνα συνάρτησης: f, g, φ, ψ, F, G, Φ, Ψ, ή y = y(x)

15

y = f (x) x : μεταβλητή της συνάρτησης, ανεξάρτητη η εξωγενής μεταβλητή. y : τιμή της συνάρτησης, εξηρτημένη η ενδογενής μεταβλητή. Πεδίο Ορισμού (Π.Ο.) σύνολο αποδεκτών τιμών του x. Πεδίο Τιμών (Π.Τ.) σύνολο αποδεκτών τιμών της y. Π.χ. Το συνολικό κόστος C μιας επιχείρησης ανά ημέρα είναι συνάρτηση της ημερήσιας παραγωγής Q C = 150 + 7 Q. Η επιχείρηση έχει όριο στην ικανότητα παραγωγής 100 μονάδων την ημέρα

{ }100Q0QΠ.Ο. ≤≤=

{ }.850C150CΠ.Τ. ≤≤=

16

2.5. Τύποι Συναρτήσεων • Σταθερές - Το πεδίο τιμών έχει μόνο ένα

στοιχείο.

( ) 7αfy == • Πολυωνυμικές (πολλοί όροι)

y = α0 x0 + α1x1 + α2x2 +……..+αnxn = α0 + α1x + α2 x2 +………+αnxn

n = 0 y = α0 Σταθερή n = 1 y = α0 + α1x Γραμμική n = 2 y = α0 + α1x + α2x2 Δευτεροβάθμια n = 3 y = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 Κυβική Η τιμή του n ονομάζεται βαθμός της πολυωνυμικής συνάρτησης.

17

• Ρητές

Το y εκφράζεται ως το πηλίκο δύο πολυωνύμων της μεταβλητής x

.42xx

1xy 2 ++−

=

Κάθε πολυωνυμική είναι η ίδια ρητή καθώς μπορεί να εκφραστεί ως το πηλίκο του εαυτού της και του 1 που είναι σταθερή συνάρτηση. Ειδική περίπτωση ρητής

αyxήxαy =⋅=

• Μη αλγεβρικές συναρτήσεις (υπερβατικές)

Εκθετικές y = bx Λογαριθμικές y = logbx.

18

Γραμμική Τετραγωνική y y y = α0 + α1 x y = α0 + α1x + α2x2 α2< 0 α1 κλίση α0 α0 0 x 0 x

Κυβική Ορθογώνια Υπερβολή

y y y = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 y = α/x α > 0 α0 0 x 0 x Εκθετική Λογαριθμική y = bx logbx

b>1 1 0 x 0 1 x

19

Εκθέτες 62 = 6·6 = 36

xxxxxx n ⋅⋅⋅= n όροι Κανόνες

I 743nmnm xxxχ.π.xxx =⋅=⋅ +

II xxx0)(xx

xx

3

4n-m

n

m

=≠=

III 0)(xx1x n

n ≠=−

IV έκφραση)αόριστη(0 0)(x1x 00 ≠=

V xxxxx 21/2n1/n === 331 xx =

VI 124343nmnm xx)(xx)(x === ⋅⋅

VII

222mmm y)(xyxy)(xyx ⋅=⋅⋅=

20

2.6. Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών z = g (x, y) π.χ. z = αx + by z = α0 + α1x + α2x2 + b1y + b2y2 Πεδίο Ορισμού: Σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Απεικόνιση στον τρισδιάστατο χώρο.