Tanım:

f(x) , f(x)>0

If(x)I= 0 , f(x)=0

-f(x) , f(x)<0

f: R { -1,0,1 }

= 1 , g(x)>0

F(x)= sgn(g(x)) = 0 , g(x)=0

= -1 , g(x)<0

Biçiminde tanımlanan f(x) fonksiyonuna g(x9 in işaret fonksiyonu denir ve sgn(g(x)) şeklinde gösterilir.

x € R olsun, x’den küçük olan en büyük tamsayıya tamdeğer x denir.

Diziler yardımıyla limit

Epsilon tekniği ile limit

Sağdan ve Soldan limit

Mutlak değer fonksiyonunda limit

İşaret (sgn) fonksiyonunda limit

Tamdeğer fonksiyonunun limiti

Trigonometrik fonksiyonların limiti

Limit f(x)’sağdan incelersek elde ettiğimiz değer ile,soldan incelediğimizde elde edeceğimiz değer eşit olmalı ki limit olsun

1

2

Limit olması için sağ ve sol limitler eşit olmalıdır.Limit varsa tektir.Sağ ve sol limitler eşit değilse limit yoktur.Bir noktada limit olması için fonksiyonun o noktada Tanımlı olması gerekmez.

Tanım:A R Olmak üzere,f:A R fonksiyonu verilmiş olsun.Terimleri A kümesinin elemanı olan bir dizisinin f fonk-siyonuna göre görüntü dizisi denir.

)( nx

.),...)(),...,(),(),(())((

))((,,...),...,,()(

321

321

dirxfxfxfxfxf

görüntüsüxfdizisiiçinxxxxxx

nn

nnn

Tanım:A R,f:A R bir fonksiyon a R,L R, olmak üzere önermesine uyan a bağlı varsa x, a ya yakınsarken f nin limiti L dir, denir ve biçminde yazılır.

R << Lxfax )(

RLxf

ax

)(lim

Yani x ler a ayısına yaklaşırken , x lerin ordinatları olan f(/x) ler L reelsayısına yaklaşıyora,”x ler a ya yakınsarken f(x)ler L ye yakınsar.” denir.

)(lim xf

axL şeklinde gösterilir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEKLER:

ÖRNEKLER

BİR NOKTADA SÜREKLİLİKBİR NOKTADA SÜREKLİLİK

SOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİKSOLDAN VE SAĞDAN SÜREKLİLİK

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİSÜREKLİLİĞİ

EKSTREMUM DEĞERİEKSTREMUM DEĞERİ

Tanım:Tanım: , olmak üzere ye tanımlanan f(x) fonksiyonunda, ise, f fonksiyonu x=a noktasında süreklidir, denir.

Bu tanıma göre, f fonksiyonunun x=a noktasında sürekli olması için:

1. f fonksiyonu x= a’da tanımlı olmalıdır.2. f fonksiyonunun x=a için reel bir limiti olmalıdır.3. f fonksiyonunun a noktasındaki limiti, fonksiyonun x=a noktasındaki görüntüsüne eşit olmalıdır.Bu üç koşuldan biri gerçekleşmez ise f fonksiyonu x=a noktasında süreksizdir denir.

RA Aa RA:f f(a)f(x)lim ax

Tanım:Tanım: , olmak üzere fonksiyonunda:1. ise f fonksiyonu x= a noktasında soldansüreklidir, denir.

2. ise f fonksiyonu x=a noktasında sağdan süreklidir, denir.

RA Aa RA:f

f(a)f(x)lim -ax

f(a)f(x)lim ax

1. f(x) = sinx için;

olduğundan, sinx fonksiyonu R’de süreklidir. Yandaki grafiğinhiçbir noktada kesilme ve sıçrama yapmadığı görülmektedir.

2. f(x) = cosx için;

olduğundan, cosx fonksiyonu R’de süreklidir. Grafiği inceleyiniz.

R x -1

0

y

x2

2

1 f(x) = sinx

y

x

1

2

2

0

f(x) =cosx

asin)a(fxsinlim)x(flim a xa x

sinx2

xcos

cosx-1

sinxf(x)

Fonksiyonunun sürekliliğini hesaplayınız.

Zk ,2kx:xÇ ÇÇÇ

0Ç-2sinx0sinx2

Zk ,2kx:xÇ1cosx0cosx1

21

2

1

f(x) fonksiyonunda paydaları 0 yapan noktalarda fonksiyon süreksizdir.

olduğundan kümesinde fonksiyon süreksizdir.

O halde kümesinde fonksiyon süreksizdir.

Zk ,2kx:x-R

fonksiyonu sürekli ise f fonksiyonunun bu aralıkta bir en küçük (minimum), bir en büyük (maksimum) değeri vardır.

•Teoreme göre olacak biçimde m ve M sayıları vardır. F fonksiyonunun aralığında aldığı en küçük (minimum) değer m, en büyük (maksimum) değer M’dir. m ve M değerlerine, fonksiyonun aralığında ekstremum değerleri denir.

Rba,:f

Mm,)ba,f( ba,

ba,

m

f(b)

f(a)

M

a bx

y

0 1x 2x

max

min