²Ì²ÜòÚ²È - IT-COLLEGE.AM · Գտնել y=tg54x ֆունկցիայի ածանցյալը:...
Transcript of ²Ì²ÜòÚ²È - IT-COLLEGE.AM · Գտնել y=tg54x ֆունկցիայի ածանցյալը:...
1
ºðºì²ÜÆ ÆÜüàðزîÆβÚÆ äºî²Î²Ü øàȺæ
²Ì²ÜòÚ²È
ºì Üð² ÎÆð²èàôÂÚàôÜܺðÀ
àôëáõÙݳٻÃá¹³Ï³Ý Ó»éݳñÏ
γ½Ù»ó` è.Ô³½³ñÛ³Ý
2015Ã.
2
3
Ածանցյալ
Դիտարկենք խնդիրներ, որոնք հագեցնում են ածանցյալի գաղափարին:
Ակնթարթային արագություն:
Դիցուք, նյութական կետը շարժվումէ OX-առանցքով ձախից աջ, և հայտնի է նրա
շարժման S(t) օրենքը, այսինքն՝ հայտնի է նրա կոորդինատը ժամանակի
ցանկացած t պահին :
Փորձենք պարզել, թե ինչ արագությամբ է շարժվում այդ մարմինը ժամանակի
պահին՝ -ն:
Կետը -ից ժամանակահատվածում անցնում է ճանապարհ:
Այդ ժամանակահատվածում նրա միջին արագությունը կլինի`
միջ
Որքան փոքր լինի ∆t ժամանակահատվածը, այնքան միջին արագությունը մոտ կլինի V(t0)
արագությանը, որն անվանում են t0 պահին ակնթարթային արագություն: Այսպիսով՝
միջ
Կորի շոշափող:
Ենթադրենք XOY կոորդինատային հարթությունում տրված է Γ անընդհատ կորը, որը
y անընդհատ ֆունկցիայի գրաֆիկն է:
Նկ. 1
4
Γ-կորի վրա վերցնենք A կետը և նրանից տարբեր B կետը: AB ուղիղը՝ S, կոչվում է կորի
հատող: Այժմ B կետը Γ կորի վրայով անվերջ մոտեցնենք A կետին: Այդ դեպքում S
հատողը պտտվում է A կետի շուրջը և հնարավոր է, որ այն գրավի որոշակի սահմանային
դիրք՝ T: Այդ T ուղիղը, եթե այն գոյություն ունի, կոչվում է Γ կորի շոշափող A կետում:
Եթե A կետի աբսցիսը x է, իսկ B կետի աբսցիսը` , ապա այդ կետերն ունեն A(x, f(x))
և B( կոորդինատները: OX առանցքի նկատմամբ S հատողի թեքման
անկյան տանգենսը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
Երբ ∆x-ը ձգտում է 0-ի, ∆f(x0)-ը նույնպես ձգտում է 0-ի, քանի որ f(x)-ը անընդհատ
ֆունկցիա է: Այդ դեպքում B կետը Γ կորի վրայով կձգտի A կետին: Եթե պարզվի, որ
ցանկացած ձևով ∆x-ը 0-ի ձգտելիս
հարաբերությունը ձգտում է միևնույն K սահմանին,
ապա β անկյունը կձգտի
-ից տարբեր α անկյան, որը կլինի T շոշափողի OX առանցքի
նկատմամբ թեքման անկյունը: Այսպիսով` շոշափողի անկյունային գործակիցը կարելի է
որոշել հետևյալ բանաձևով՝
Դիտարկված խնդիրները, չնայած նրանց տարբեր բնույթին, հանգեցնում են ինչ որ
ֆունկցիաների նկատմամբ միևնույն մաթեմատիկական գործողություններին:
Երկու դեպքում էլ պետք է հաշվել ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության
սահմանը, երբ արգումենտի աճը ձգտում է 0-ի: Այս գործողությանը մաթեմատիկայում
անվանում են դիֆերենցում կամ ածանցում:
Նկ. 2
5
Սահմանում: f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ (a, b) միջակայքի կետում կոչվում է այդ
կետում f(x) ֆունկցիայի աճի և արգումենտի համապատասխան աճի հարաբերության
սահմանը, երբ արգումենտի աճը կամայական ձևով ձգտում է 0-ի:
Ածանցյալը x0 կետում ընդունված է նշանակել f ′(x0) (կարդացվում է էֆ շտրիխ իքս զրո)
կամ
(կարդացվում է դե էֆ՝ ըստ դե իքսի), կամ
սիմվոլներով:
Այսպիսով` f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը x0 կետում սահմանվում է հետևյալ կերպ`
,իսկ կամայական x կետում`
x
)x(f)xx(flim)x('f
0x
Եթե f(x) ֆունկցիան (a, b) միջակայքի յուրաքանչյուր կետում ունի ածանցյալ, ապա այն
կոչվում է (a, b) միջակայքում ածանցելի կամ դիֆերենցելի:
Վերադառնալով դիտարկված խնդիրներին` կարող ենք ասել, որ
ա) t0 պահին շարժման V(t0) ակընթարթային արագությունը ճանապարհի ածանցյալն է
ըստ ժամանակի, այսինքն՝
բ)y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է նրա գրաֆիկի կետում
տարված շոշափողի և OX առանցքի դրական ուղղության հետ կազմած անկյան
տանգենսին՝
շոշ
հետևաբար կետում կորի շոշափողն ունի հետևյալ հավասարումը՝
Հաշվենք մի քանի ֆունկցիաների ածանցյալն ըստ ածանցյալի սահմանումի.
1. Դիտարկենք f(x)=C ֆունկցիան, որտեղ :
Ըստ սահմանումի գտնում ենք
:
Այսպիսով` հաստատունի ածանցյալը հավասար է 0-ի՝
C ′=0
2. Գտնենք f(x)=kx+b գծային ֆունկցիայի ածանցյալը ցանկացած կետում:
6
Նախ հաշվենք ֆունկցիայի ∆f(x) աճը`
Այնուհետև ըստ սահմանումի`
:
Օրինակ: (5x-4)′=5
Այստեղ k=5 և b=-4 :
Օրինակ: x′=1 (k=1, b=0):
3. Հաշվել f(x)=ax2 ֆունկցիայի ածանցյալը կետում:
Լուծում:
Հաշվենք ֆունկցիայի ∆f(x) աճը.
Ըստ ածանցյալի սահմանման.
:
Մասնավոր դեպքում, երբ a=1, ստանում ենք .
:
Ընդհանրապես ցանկացած իրական n-ի համար ճիշտ է հետևյալ կանոնը.
Կամ, մասնավոր դեպքում
Օրինակներ
1.
2.
3.
4. (√ ) (
)
√
5. (√ ) (
)
√
6. (
√ ) (
)
(
)
7. (
)
7
4. Դիցուք : Գտնենք նրա ածանցյալը կետում:
Ըստ սահմանումի՝
xxx
xx
x
x
xx
x
xxxx
coscos1)2
cos(lim
2
2sin
lim
)2
cos(2
sin2
lim)(sin000
:
Այստեղ օգտվեցինք
նշանավոր սահմանից և cosx ֆունկցիայի
անընդհատությունից:
Այսպիսով՝ :
Նույն կերպով ապացուցվում է, որ
:
5. Հաշվել ֆունկցիայի ածանցյալը կետում, որտեղ , a-ն
իրական թիվ է:
Գտնենք ֆունկցիայի աճը`
Ըստ սահմանումի`
Օգտվեցինք մեզ հայտնի 0h
lim
սահմանից :
Մասնավոր դեպքում, երբ a=e, ստանում ենք ՝
:
Կարելի է ցույց տալ, որ
8
Օրինակներ
1.
2.
3.
4.
6. Հաշվենք նաև f(x)=lnx ֆունկցիայի ածանցյալը կետում:
Լուծում:
Այսպիսով՝
:
Հեշտությամբ ստանում ենք
Թեորեմ:
Եթե f(x) ֆունկցիան ածանցելի է x կետում, ապա այն անընդհատ է այդ կետում:
Իսկապես, եթե գոյություն ունի
, ապա
, որտեղ , երբ : Այստեղից
ստանում ենք
Թեորեմն ապացուցված է :
Այսպիսով` ածանցյալի գոյության համար f(x) ֆունկցիայի անընդհատությունն
անհրաժեշտ պայման է, սակայն կարող է բավարար չլինել: Օրինակ, f(x)=|x| ֆունկցիան
x=0 կետում անընդհատ է, սակայն ածանցյալ չունի:
Իրոք՝
| | | |
| |
{
երբ
երբ :
9
Ուստի 0
limx
սահմանը գոյություն չունի, հետևաբար f(x)=|x| ֆունկցիայի ածանցյալը x=0
կետում գոյություն չունի:
Երկրաչափորեն սա նշանակում է, որ (0, 0) կետում y=|x| ֆունկցիան շոշափող չունի:
նկ. 3
Կան անընդհատ ֆունկցիաների օրինակներ, որոնք ոչ մի կետում ածանցյալ չունեն:
Վարժություններ
Օգտվելով ածանցյալի սահմանումից հաշվել հետևյալ ֆունկցիաների ածանցյալները:
Հաշվել ածանցյալները:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. √
17. √
18.
√
19.
√
20.
21.
√
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. √
x
y
0
y=|x|
10
Դիֆերենցման կանոնները
Թեորեմ: Եթե u(x) և v(x), , ֆունկցիաներն ունեն ածանցյալ (a, b) միջակայքի
բոլոր կետերում, ապա
1. ( ) կամ
2. ( ) կամ
3. ( ) կամ
Հետևանք`
4. եթե , ապա
(
)
կամ (
)
Ապացուցենք այս բանաձևերից առաջինը և 3)-ի հետևանքը:
Դիտարկենք f(x)=u(x)+v(x) ֆունկցիան: Ըստ ածանցյալի սահմանումի
Այժմ ապացուցենք հետևանքը.
( )
Բերենք ածացյալի հաշվման օրինակներ:
1.
2. (
√ √
)
(
)
√
√ :
3.
4.
:
5.
6. =20x4e3x+12x5e3x:
11
7.
:
8.
Եթե նշանակենք u=5sin4x և v=4x3, ապա
Ուստի
9. y=tgx
(
)
:
10. (
)
:
11.
Եթե և v=cost, ապա
:
:
12. Հաշվել
ֆունկցիայի ածանցյալը (0, 0) կետում:
(
)
(
)
:
12
Բարդ ֆունկցիա և նրա ածանցյալը
y=f(u(x)) տեսքի ֆունկցիան կոչվում է բարդ ֆունկցիա, կամ ֆունկցիայից ֆունկցիա, կամ
f և u ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա:
Oրինակ 1. ֆունկցիան , եթե նշանակենք u=2x+1, y=u5, բարդ ֆունկցիա է:
Օրինակ 2. ֆունկցիան բաղկացած է u=4x2-3 և y=cosu ֆունկցիաներից:
Թեորեմ: Եթե u=u(x) ֆունկցիան ածանցելի է որևէ x կետում, իսկ y=f(u) ֆունկցիան
որոշված է u ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում և ածանցելի է u=u(x) կետում, ապա
y=f(u(x)) բարդ ֆունկցիան տրված x կետում ունի ածանցյալ, որը որոշվում է՝
կամ
բանաձևով:
Օրինակ 1. Եթե y=(4x-3)5, ապա նշանակելով u=4x-3` կստանանք y=u5 :
Քանի որ
և
ուստի փոխարինելով u-ն 4x-3-ով` կստանանք
:
Օրինակ 2. Ածանցել y=4sin(2x3-5) ֆունկցիան:
Եթե u=2x3-5, ապա y=4sinu
Քանի որ
և
, ուստի
:
Օրինակ 3. Դիֆերենցել y=7cos(x2-3x) ֆունկցիան :
Ենթադրենք u=x2-3x և y=7cosu: Այդ դեպքում
և
:
Oգտագործելով բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնը` ստանում ենք՝
:
Օրինակ 4. √ : Գտնել ածանցյալը:
Նշանակենք u=x3+4x-3, √
:
Այս դեպքում
√ , իսկ
, ուստի
√
√ :
Օրինակ 5. Գտնել y=tg54x ֆունկցիայի ածանցյալը:
Եթե u=tg4x, ապա y=u5 :
Օրինակ 6. y=sin2x :
y=u2, որտեղ u=sinx, ուստի :
13
Օրինակ 7. Հաշվել ֆունկցիայի ածանցյալը:
y=4eu, որտեղ u=3x2, ուստի
:
Օրինակ 8.
:
Եթե , ապա
Օրինակ 9. y=ln(x2-5x+10) , y′=?
Ենթադրենք u=x2-5x+10, այդ դեպքում y=lnu:
Վարժություններ
Հաշվել տրված ֆունկցիաների ածանցյալները:
1. 2.
3. √
4. √
5. √
6. √ √
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
18. √
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
, y′(0)=?
29.
, y′(0)=?
30.
, y′(1)=?
31.
14
Հաշվել տրված բարդ ֆունկցիաների ածանցյալները:
1. 2.
3. √
4. √
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. y=2tg3x
15.
16.
17.
18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
28.
29. √ √ 30. 31.
32.
33.
34.
Հակադարձ ֆունկցիա
Դիցուք y=f(x) ֆունկցիան որոշված է [a, b] հատվածում, անընդհատ է և մոնոտոն աճում,
կամ նվազում է: Եթե նշանակենք f(a)=c, f(b)=d, ապա y=f(x) ֆունկցիան [a, b] հատվածը
փոխմիարժեք կարտապատկերի [c, d] հատվածի վրա: Սա նշանակում է, որ [c, d]
հատվածի յուրաքանչյուր 0y արժեքի համար [a, b] հատվածում կգտնվի միակ x0կետ
այնպես, որ 00 y)x(f :
նկ. 4
15
Եթե y-ը դիտարկենք որպես անկախ փոփոխական, որը փոխվում է [c, d]-ում, իսկ x-ը՝
կախյալ փոփոխական, որի արժեքների տիրույթը [a, b]-ն է, ապա կստանանք մի
ֆունկցիա, որը կոչվում է y=f(x)-ի համար հակադարձ ֆունկցիա: Պարզ է, որ -ի
համար y=f(x)-ը կլինի հակադարձ ֆունկցիա:
Այդ ֆունկցիաները կոչվում են փոխհակադարձ ֆունկցիաներ: Այդ ֆունկցիաների
գրաֆիկները նույնն են: Սակայն, եթե հակադարձ ֆունկցիայի արգումենտը նորից
ընտրենք x-ը, իսկ ֆունկցիան y-ը, ապա նրանց գրաֆիկները կլինեն y=x ուղղի
նկատմամբ համաչափ:
Օրինակ 1. y=ex ֆունկցիան որոշված է միջակայքում, արժեքներ է ընդունում
միջակայքից և մոնոտոն աճող է:
Նրա հակադարձը գտնելու համար լուծում ենք y=ex հավասարումը x-ի նկատմամբ
x=lny, որտեղ 0<y< :
Այնուհետև, փոխելով x և y-ի տեղերը՝ կստանանք y=lnx, 0<x< , ֆունկցիան, որը y=ex-ի
հակադարձն է:
Օրինակ 2. y=x2 ֆունկցիան նվազում է (- ] միջակայքումև աճում` [0, ) միջակայքում,
հետևաբար այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրում ունի հակադարձ ֆունկցիա:
Եթե , ապա √ : Փոխենք x և y փոփոխականների տեղերը՝
√ , : Եթե , ապա հակադարձ ֆունկցիան կլինի √
նկ. 5
16
Պետք է նշել, որ y=x2 ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա հակադարձ
չունի:
Օրինակ 3. y=sinx ֆունկցիան [
] միջակայքում մոնոտոն աճող է, ուստի ունի
հակադարձ` x=arcsiny, որտեղ -1≤y≤1: Փոխելով x և y փոփոխականների տեղերը
ստանում ենք y=arcsinx, ֆունցիան (նկ. 8):
Օրինակ 4. y=cosx ֆունկցիան [0, π] միջակայքում մոնոտոն նվազող է, հետևաբար ունի
հակադարձ, որը նշանակվում է y=arccosx, x[-1, 1](նկ. 9):
Նկ. 6 Նկ. 7
նկ. 8 նկ. 9
17
Օրինակ 5. y=tgx ֆունկցիան x
2,
2
միջակայքում մոնոտոն աճող է: Նրա
հակադարձ ֆունկցիան այդ միջակայքում նշանակվում է y=arctgx, որտեղ x ),( : Այդ
ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը
2,
2
միջակայքն է (նկ. 10)
օրինակ 6. y=ctgx ֆունկցիան x ),0( միջակայքում մոնոտոն նվազող է, ուստի այդ
միջակայքում ունի նույնպես մոնոտոն նվազող հակադարձ, որը նշանակվում է y=arcctgx,
),0()y();,(x (նկ. 11)
Դիտողություն: Այս օրինակները ցույց են տալիս , որ մոնոտոն և անընդհատ ֆունկցիայի
հակադարձը նույնպես մոնոտոն և անընդհատ է:
Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը
Թեորեմ: Եթե y=f(x) ֆունկցիայի համար x = )(y ֆունկցիան հակադարձ է, որը y-կետում
ունի 0)( y ածանցյալ, ապա համապատասխան x-կետում y=f(x)ֆունկցիան ունի )(xf
ածանցյալ, որը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով.
նկ. 8 նկ. 8
նկ. 10 նկ. 11
18
)(xf =)(
1
y կամ xy =
yx
1:
Ապացույց: Եթե վերցնենք 0y աճը, ապա :)()( yyyx
Քանի որ մոնոտոն ֆունկցիայի հակադարձը նույնպես մոնոտոն ֆունկցիա է, ուստի
)()( yyy , այսինքն :0x Բայց անընդհատ ֆունկցիայի համար 0y
պայմանիցհետևումէ, որ 0x : Ուստիy
y
xx x
y
x
y
xx
yxf
1
lim
11limlim)(
0
00= :
)y(
1
Թեորեմն ապացուցված է:
Հաշվենք հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունցիաների ածանցյալները: Դիտարկենք
y=arcsinx ֆունկցիան x(-1, 1) միջակայքում: Տրված ֆունկցիան x=siny, y
2,
2
ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա է, ուստի x)(arcsinx =yy y cos
1
)(sin
1
:
Բայց |cosy|= 22 1sin1 xy :
Քանի որ - 2
arcsinx <
2
, իսկ cosy>0 այդ միջակայքում, ուստի |cosy|=cosy= 21 x :
Այսպիսով` ստանում ենք
)(arcsin x =21
1
x, -1<x<1:
Նույն ձևով ստանում ենք`
:11,1
1
cos1
1
sin
1
)(cos
1)(arccos
22
x
xyyyx
y
Այս բանաձևը կարելի է ստանալ նաև arcsinx+arccosx= 11,2
x
, հայտնի նույնությունից:
Իրոք ,1
1
1
10)(arcsin
2)arcsin
2()(arccos
22 xxxxx
երբ 11 x :
y=arctgx ֆունկցիայի համար x=tgy-ը հակադարձ է, ուստի
19
22
2
21
1
1
1cos
cos1
1
)(
11
xytgy
ytgyx
yy
x
:
Այսպիսով՝
,,1
1)(arctgx
2x
x:
Նույն ձևով ստանում ենք.
x,x1
1)(arcctgx
2 , :
Հաշվենք մի քանի ֆունկցիաների ածանցյալները:
օրինակ 1. y= arcsin3x, xy ?
Եթե նշանակենք u=3x, ապա 3)x3(u x , և օգտվելով բանաձևից կստանանք`
22 x91
33
)x3(1
1x3arcsin
;
օրինակ 2. y=arccos )1x( 2 , xy ?
Նշ. u= 1x 2 , կստանանք ,x2u x ուստի
24222x
2xx
x2x
x2
xx2
x2
)1x(1
x2u
u1
1)u(arccosy
;
օրինակ 3. y= arctg xy;x
1?
Տեղադրելով u=x
1, ստանում ենք y=arctgu բարդ ֆունկցիան: Քանի որ
2uu1
1y
և
,x
1
x
1u
2x
Ուստի ըստ (12) բանաձևի ստանում ենք՝1x
1
x
1
x
11
1u
u1
1
x
1arctg
2222
օրինակ 4. y= arcctg ;1x
1x
xy ?
Եթեu= ,1x
1x
ապա y=arcctgu: Քանի որ
2uu1
1)arcctgu(
, իսկ
20
222x)x1(
2
)x1(
1)x1()x1(1
)x1(
)x1)(x1()x1()x1(
x1
x1u
, ուստի
22222x2xuxx1
1
)x1()x1(
2
)x1(
2
x1
x11
1u
u1
1uyy
Ածանցման հիմնական բանաձևերի աղյուսակ
Նախորդ շարադրանքում ստացված ածանցման բոլոր կանոնները և բանաձևերը բերենք
մի աղյուսակի մեջ:
u, v, f, g տառերով կնշանակենք x-անկախ փոփոխականից ածանցելի ֆունկցիաները, իսկ
c, α, a տառերով՝ հաստատունները:
Ածանցման հիմնական կանոններն են.
1. 0c
2. vuvu
3. vuvuvu
4. uc)uc(
5. 2v
vuvu
v
u
6. uc)uc(
7. Եթե y=f(u), իսկ u= )x( , ապա )x()u(fy xux ( )uyy xux
:
Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցման բանաձևերն են՝
1. 1x)x( ; x
1 uu))x(u(
Մասնավոր դեպքում՝
,x2
1x
xx u
u2
1u
21
,x
1
x
12
x2
x
uu
1
u
1
2. ,xcosxsin
xx uucosusin
3. ,xsinxcos
xx uusinucos
4. ,xcos
1tgx
2
x2x
uucos
1tgu
5. ,xsin
1ctgx
2
x2
x uusin
1ctgu
6. aaa xx ln
, 1a,0a;ualna)a( x
ux
u
7. ,eе xx
x
u
x
u uee
8. ;x
1xln
xx uu
u1
||ln
9. ;x
log
alnx
1xlog
e
aa
1a,0a;log
u
u
alnu
uulog e
axx
xa
10. ;x1
1xsinаrc
2
x2
x uu1
1uarcsin
11. ;x1
1 (arcosx)
2
x
2x u
u1
1)u(arccos
12. ;x1
1)arctgx(
2
x2x u
u1
1)arctgu(
13. ;x1
1)arcctgx(
2
x2x u
u1
1)arcctgu(
Լոգարիթմական դիֆերենցում
Եթե ֆունկցիան կազմված է մի քանի արտահայտությունների արտադրյալից, քանորդից
կամ աստիճաններից, ապա ավելի հեշտ է նախ այդ ֆունկցիան լոգարիթմել, ապա նոր
միայն ածանցել:
Ենթանդրենք տրված է y=f(x) ֆունկցիան, որն ընդունում է միայն դրական արժեքներ`
f(x) :0 Լոգարիթմենք`lny=lnf(x), և երկու կողմն էլ դիֆերենցենք, հաշվի առնելով, որ y-ը
ֆունկցիա է x –ից.
22
))x(f(lny
y
Այստեղից ստանում ենք բանաձև`
x)y(lnyy
օրինակ 1. y=)5x)(1x(
)2x)(1x(
: Հաշվել xy -ը:
Նախ հաշվենք ln|y|-ը`
ln|y|=ln|x-1|+ln|x+2|-ln|x+1|-ln|x+5|
Այժմ ածանցենք ըստ x-ի`
5x
1
1x
1
2x
1
1x
1)y(ln x
5x
1
1x
1
2x
1
1x
1
)5x)(1x(
)2x)(1x()y(lnyy xx :
օրինակ 2. y=
x3
x4
y,5x2x
x3sine? , x :
2
5
ա) Հաշվենք ln|y|-ը`
ln|y|=ln 2
13x4 5x2lnxlnx3sinlne
ln|y|= 4x+ln|sin3x|-3ln|x|- )5x2ln(2
1
բ) ածանցենք ըստ x-ի`
5x2
)5x2(
2
1
x
3
x3sin
)x3(sin4
y
y
5x2
1
x
3
x3sin
x3cos34
y
y
գ) Գտնենք xy ը` տեղադրելով y-ի արժեքը`
:5x2
1
x
3x3ctg34
5x2x
x3siney
3
x4
x
23
օրինակ 3. y= x
x2 y;)x1( ?
ա) lny=ln x2 )x1( =xln )x1( 2
բ) y
y= ))x1(ln(x)x1ln(x 22
y
y=ln( 2x1 )+
2
2
x1
x2
գ)
2
22x2
x1
x2)x1ln()x1(y
Վարժություններ: Հաշվել ածանցյալը, նախօրոք լոգարիթմելով:
1. f(x)=4
23
)3x)(4x(
)1x3()2x(
2. f(x)=3)2x()3x(
1x)1x3(
3. y=3
4x3
5x4
)3x2(e
4. y= xcosxsinx3 32
5. y= )1(y;x x ?
6. y= )0(y;)2x( 1x ?
7. y= 0x;x5 2x4
8. y= u(x) )x(v , որտեղ u=sinx, v=3x+1
x ,0 :
Անբացահայտ ֆունկցիայի դիֆերենցումը
Եթե ֆունկցիան տրված է y=f(x) տեսքով, ապա ասում ենք այն տրված է բացահայտ
տեսքով:
Օրինակ: y= x3sinxy,2x3x 2 կամ y=3x
1x2
և այլն:
Շատ դեպքերում x և y փոփոխականները կապված են լինում հավասարումով, որից
հնարավոր չէ գտնել y-ը x-ից կախված ինչ որ բանաձևով:
Օրինակ: ,yx2xysinx2y 23 կամ 0xyx3y 325 և այլն:
24
Սիմվոլիկ կարելի է գրել, որ x և y-ը բավարում են F(x, y)=0 հավասարմանը: Եթե y=f(x)
ֆունկցիան, որը որոշված է (a, b) միջակայքում, այդ հավասարման մեջ y-ի փոխարեն
տեղադրելիս այն դարձնում է x-ի նկատմամբ նույնություն, ապա ասում են, որ y=f(x)
ֆունկցիան այդ հավասարումով որոշվող անբացահայտ ֆունկցիա է:
Օրինակ: 0Ryx 222 հավասարումը անբացահայտ կերպով որոշում է y= 22 xR և
y= 22 xR , R;Rx ֆունկցիաները:
Իրոք`եթե այդ արժեքները տեղադրենք հավասարման մեջ, ապա կստանանք
0RxRxR)xR(x 222222222 նույնությունը:
Օրինակ: 014
y
9
x 22
հավասարումը [-3, 3] հատվածում անբացահայտ կերպով որոշում
է հետևյալ տարրական ֆունկցիաները՝ y= 2x93
2 ևy=- 2x9
3
2 :
Իրոք՝ :01x99
4
4
1
9
x 22
Անբացահայտ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար ածանցում ենք տվյալ
հավասարումն ըստ x-ի, հաշվի առնելով, որ y-ը ֆունկցիա է x-ից:
Օրինակ: Տրված է (0, 0) կենտրոնով և R=5 շառավղով շրջանագծի հավասարումը՝
25yx 22 : Գտնել xy -ի արժեքը, երբ x=4:
Լուծում: Դիֆերենցենք հավասարման երկու կողմերն ըստ x-ի
նկ. 12 նկ. 13
25
52yxx
222x+2y 0yx
Այստեղից ստանում ենք՝ xy =- y
x
Որպեսզի ստանանք ածանցյալի արժեքը x=4 աբսցիսով կետերում, պետք է ունենանք նաև
y-ի արժեքը: Շրջանագծի հավասարման մեջ տեղադրելով x=4 գտնում ենք` ,25y4 22
որտեղից՝ :3y
Այսպիսով` ստանում ենք՝ xy = 3
4
3
4
Նույն արդյունքը կստանայինք, եթե հավասարումից y-ը գտնեինք բացահայտ տեսքով՝
222
22222
x25
x
x252
x2
x252
x25x25yx25yx25y
:
Երբ :3
4
425
4y4x
2
Օրինակ: :02x3yy2 3 Գտնել xy -ը:
Դիֆերենցենք հավասարման երկու կողմերը ըստ x-ի
22x
2
x
x
2
xx
3
y61
3
1y6
3y
31y6y
003yyy6
02x3yy2
Օրինակ: ;1b
y
a
x2
2
2
2
xy =?
x
y
(4,3)
(4,-3)
0
նկ. 14
26
y
x
a
by
0b
yy2
a
x2
1b
y
a
x
2
2
x
22
2
2
2
2
Վարժություններ
Գտնել անբացահայտ ֆունկցիայի ածանցյալը
ysinx2x5.4
0x7xy2y5.3
0x5x2y2y3.2
01y6x5yx.1
42
22
334
22
0y4sinx3yx.8
5x;19
y
16
x.7
5x;9yx.6
0xycosyxy2.5
2
22
22
3
Բարձր կարգի ածանցյալներ
Դիցուք y=f(x) ֆունկցիան ածանցելի է (a, b) միջակայքում: Ֆունկցիայի )x(fy
ածանցյալը, ընդհանրապես ասած, նույնպես ֆունկցիա է x-ից և, եթե այդ ֆունկցիան
նույնպես ունի ածանցյալ, ապա այն կոչվում է f(x) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալ
կամ երկրորդ ածանցյալ և նշանակվում է )x(f,y կամ :dx
yd2
2
Այսպիսով՝
)x(f)x(f;yy կամ
dx
dy
dx
d
dx
yd2
2
:
Օրինակ, եթե , 6x5xy 24 , ապա :10x12y,x10x4y 23
Երկրորդ կարգի ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է երրորդ կարգի ածանցյալ կամ երրորդ
ածանցյալ: Ընդհանրապես, f(x) –ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալ կոչվում է նրա (n-1)-րդ
կարգի ածանցյալի առաջին կարգի ածանցյալը և նշանակվում է y(n) կամ f(n)(x) սիմվոլով`
:)x(fx;yy 1nn1nn
f
Նկատենք, որ ածանցյալի կարգը նշված է փակագծերի
մեջ, այն աստիճանի ցուցիչի հետ չշփոթելու համար: Ածանցյալի կարգը հռոմեական
թվանշաններով նշելիս փակագծերը չեն դրվում՝ vvv y,y,y և այլն:
27
Օրինակ 1: y= 4x : Գտնել n-րդ կարգի ածանցյալը:
Լուծում: y=4 :0....yy,24y,x24y,x12y,x 6vIV23
Օրինակ 2: y= x2e , գտնել y n -ը:
Լուծում: :e2y,e2y,e2y x23x22x2
Հեշտ է հասկանալ, որ y n:e2 x2n
Օրինակ 3: y=sin3x : Գտնել y n -ը:
Լուծում:
23x3sin3
22x3
22x3cos3
22x3sin3y
22x3sin3
2x3cos9
2x3sin3y
2x3sin3x3cos3y
322
2
Նկատում ենք, որ y n = :2
nx3sin3n
Օրինակ 4: y=x
1: Գտնելy n -ը:
Լուծում: Նախ ֆունկցիան ներկայացնենք y= 1x տեսքով:
1n
n
1nnn
4342
323
21
x
!n1x!n1y
..........................................
x!31x3!21y
x!21x21y
x1xy
Օրինակ5: 2x3x
1y
2 : Գտնելy n -ը:
Լուծում: Նախ ձևափոխենք տրված ֆունկցիան՝
2x3x
1y
2 =
:1x2x
1x
1
2x
1
1x2x
1 11
28
Այժմ օգտվելով օրինակ 4-ում ստացված արդյունքից, կարող ենք գրել՝
n1ynn !
:
1x
1
2x
11n1n
Ակնհայտ է, որ բարձր կարգի ածանցյալի համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝
nnnvuvu և :uccu nn
Իսկ y=u v արտադրյալի համար տեղի ունի Լայբնիցի բանաձևը՝
:vu...vu21
1nnvnuvuvu n2n1nnn
Աջ կողմում Նյուտոնի երկանդամի բանաձևն է, որում u և v ֆունկցիաների աստիճանների
ցուցիչները փոխված են ածանցյալների կարգի ցուցիչներով ( vv,uu 00 ):
Օրինակ: y= :ex x32 Գտնել ny -ը:
Լուծում: 2x3 xv;eu
:)1n(n6nx6x93e
31nnx3n2x3e2e321
1nnx2e3ne3y
:3n,0ve3u
....................................
0ve27u
2ve9u
x2ve3u
22nx3
2n1n2nx3x32nx31nx3nn
nx3nn
x3
x3
x3
Գտնել n-րդ կարգի ածանցյալները.
x3cosxy.14x
1y.13
xcosxy.12x2sinxy.11
xsinxy.10xlnxy.9
xlny.8xy.7
2y.6x2cosy.5
xcosy.4xsiny.3
ey.2exy.1
2
2
2
x3
22
x3x2
29
3
2
x1y.183x2x
1y.17
4x
1y.16
1x
1y.15
2
22
0y;2xx
1y.19
2? 0y:xsinxy.20 42 =?
Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը
Եթե y=f(x), )b,a(x ֆունկցիան դիֆերենցելի է (a, b) միջակայքում, ապա նրա ածանցյալը
որևէ )b,a(x0 կետում որոշվում է x
ylimxf
0x0
սահմանով:
Եթե 0xf -ն վերջավորէ, ապա xxfx
y0
, որտեղ 0x , երբ 0x :
Այստեղից ստանում ենք ֆունկցիայի աճի ներկայացումը հետևյալ տեսքով՝
:)x(xxxfy 0 (1)
Աջ մասի գումարելիներից առաջինը փոխվում է արգումենտի x -աճին համեմատական
կերպով, իսկ երկրորդ գումարելին ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր է x -ի նկատմամբ,
քանի որ
:0xlim
x
xxlim
0x0x
Հետևաբար առաջին գումարելին ֆունկցիայի աճի <<գլխավոր>> մասն է: Այն անվանում
են f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակում dy-ով կամ df(x)-ով:
Այսպիսով`եթե f(x) ֆունկցիան x կետում ունի xf ածանցյալ, ապա f ’(x) ածանցյալի և
արգումենտի x - աճի արտադրյալը կոչվում է ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակվում է
dy սիմվոլով՝dy= xf x :
Եթե y=x, ապա dy=dx= x x = x կամ dx= x , այսինքն` x անկախ փոփոխականի
դիֆերենցիալը համընկնում է իր x աճի հետ: Այսպիսով`դիֆերենցիալի հաշվման
բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով.
dy= xf dx:
30
Այստեղից՝ xf =dx
dy, այսինքն ֆունկցիայի ածանցյալը նրա դիֆերենցիալի և անկախ
փոփոխականի դիֆերենցիալի հարաբերությունն է:
Օրինակ: Գտնել f(x)= 2x ֆունկցիայի դիֆերենցիալը:
Քանի որ x2xxf 2
, ուստի d(x 2 )=2xdx:
Օրինակ: y=sin3x ; dy=?
dy= :xdx3cos3dxx3sin
dy=3cos3xdx:
Օրինակ: Գտնել y=f(u) բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը, որտեղ u=u(x):
,)( duufdxufdxufdy xux քանի որ dudxu : Ստացվեց, որ ֆունկցիայի
դիֆերենցիալի տեսքը անփոփոխ է, կախված չէ այն բանից արգումենտը փոփոխական է,
թե± ֆունկցիա է այլ փոփոխականից: Այս հատկությունը կոչվում է ֆունկցիայի
դիֆերենցիալի տեսքի ինվարիանտություն:
Վարժություններ: Գտնել y=f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը
1. 5x2xy 23
2. x2cosxy
3. n xy
4. 1xlny 2
5. tgxxy 3
6. 40xcosxxsiny
7. 2x1lnxarctgxy
8. xsiny 2
9. xarcsiny
10. x23exy
Դիֆերենցիալն ունի պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն: Դիտարկենք y=f(x)
ֆունկցիայի գրաֆիկը և նրա A կետում տարված շոշափողը:
Քանի որ tgxf , որտեղ α-նշոշափողիև OX-
առանցքիկազմածանկյուննէ, ուստի ADC -
իցստանումենքDC=AC dyx)x(fxtgtg :
y
x
A
D
B
0
x x
C
x+ x
31
Այսպիսով`ֆունկցիայի դիֆերենցիալը x կետում հավասար է կորի այդ աբսցիսով կետում
տարված շոշափողի օրդինատի աճին (CD), որը համապատասխանում է արգումենտի x
աճին:
Դիֆերենցիալի համար տեղի ունեն հետևյալ կանոնները՝
2v
udvvdu
v
ud.5
cducud.4
vduudvvud.3
dvduvud.2
0dc.1
Դիֆերենցիալը կարելի է կիրառել մոտավոր հաշվումներ կատարելիս: Եթե
xxdyy հավասարության մեջ անտեսենք xx գումարելին, որը x -ի
նկատմամբ բարձր կարգի անվերջ փոքր է, ապա փոքր x աճերի դեպքում կստանանք
բավականաչափ լավ մոտավորություն՝
dyy կամ :dxxfy
Բայց 00xxxfxxfy
0
, ուստի 00 xfxxf dxxf 0
, որտեղից ստանում ենք
մոտավոր հաշվման բանաձև՝ 00 xfxxf xxf 0
Օրինակ: Հաշվել 605.2 -ի մոտավոր արժեքը:
Դիտարկենք f(x)= 6x ֆունկցիան և ընդունենք 2x 0 , իսկ :05,0x Քանի որ 5x6xf և
192326262fxf 5
0 , ուստի ըստ բանաձևի ստանում ենք՝
6,736,96405,0192205,02 66
Ընդհանրապես, f(x)= nx ֆունկցիայի մոտավոր արժեքները հաշվելու համար ստանում ենք
հետևյալ բանաձևը՝
xxnxx 1n
0
n
0
n , որտեղ :xxx 0
Օրինակ : Հաշվելf(x)= 4x ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը x=2, 99 կետում:
Լուծում: Եթե ընդունենք 0x =3, ապա 01,0399.2x և
նկ. 15
32
92,7908,18101,0343)99,2( 344
Օրինակ: Հաշվել 3 25 -ի մոտավոր արժեքը:
Դիտարկենք f(x)= 3 x ֆունցիան և ընդունենք 27x 0 : Այդ դեպքում :22725x
3 2
3
x3
1xxf
և 27
1
273
1xf
3 20
Ըստ բանաձևի գտնում ենք՝
93,227
232
27
12725 33
Օրինակ: Հաշվել 5 05.1 արմատի մոտավոր արժեքը:
Դիտարկենք f(x)= 5 x ֆունկցիան և գտնենք նրա ածանցյալը՝ x5
x
x5
1xf
5
5 4
Եթե 05,1x և ,05,0x,1x 00 ապա ըստ բանաձևի ստանում ենք՝
:01,105,015
1105,01
555
Ընդհանրապես, n x -ի մոտավոր արժեքները գտնելու համար ստանում ենք հետևյալ
բանաձևը՝
xnx
xxx
0
n0n
0n կամ :
nx
x1xx
0
n0
n
Այս բանաձևը առավել պարզ տեսք է ստանում, երբ 1x 0 և x=1+ x
n
x1x1n
Օրինակ: 99,044,04
1104,0196,0 44
Վարժություններ: Գտնել մոտավոր արժեքները:
33
1125lg.15102lg.1411lg.13
1,1.1201,1.112,1.10
18.9130.826.7
02,4.6975,0.5005,1.4
02.3.395,2.208,1.1
100105
43
4420
535
Շոշափողի և նորմալի հավասարումները
Ինչպես արդեն նշել ենք ածանցյալը սահմանելիս, y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի ( ))x(f,x 00
կետում շոշափողն ունի հետևյալ հավասարումը՝
y-f 000 xx)x(f)x( , կամ :)xx)(x(f)x(fy 000
Այստեղ )x(f 0 -ն շոշափողի անկյունային գործակիցն է՝ kշոշ= :)x(f 0
Օրինակ: Գրել f(x)=x2 ֆունկցիայի գրաֆիկին x0=2 աբսցիսով կետում տարված շոշափողի
հավասարումը:
Լուծում: Քանի որ 422fxf 2
0 և ,4222fxfx2xxf 0
2
ուստի
շոշափողի հավասարումը կլինի՝ y=4+4(x-2) կամ y=4x-4:
Սահմանում: y=f(x) կորի նորմալ, նրա 00 xf,x կետում կոչվում է այդ կետում
շոշափողին տարված ուղղահայաց ուղիղը:
Ուղիղների ուղղահայացության պայմանից` 1
2K
1K , հետևում է, որ նորմալի
անկյունային գործակիցը կարելի է գտնել KÝáñÙ³É= 0x'f
1
K
1
ßáß.
բանաձևով:
Հետևաբար, եթե 0)x('f 0 , ապա y=f(x) կորի (x0, f(x0)) կետում նորմալի հավասարումն
ունի հետևյալ տեսքը` )xx()x('f
1)x(fy 0
0
0
կամ ` )xx()x('f
1)x(fy 0
0
0 : Իսկ եթե
0)x('f 0 , ապա` x=x0:
Օրինակ. Գրել y=x3 կորի M(2, 8) կետում շոշափողի և նորմալի հավասարումները:
Լուծում. Քանի որ y’=3x2, ապա` Kßáß.=y’(2)=3•22=12 ¨ KÝáñÙ.=12
1 :
34
Հետևաբար, շոշափողի հավասարումը կլինի ` y-8=12(x-2), կամ y=12x-16:
Նորմալի հավասարումը կլինի `
)2x(12
18y , կամ 12y+x-98=0
Օրինակ: Գրել 1b
y
a
x2
2
2
2
էլիպսի (x0, y0) կետում տարված շոշափողի հավասարումը:
Լուծում: Նախ նկատենք, որ 1b
y
a
x2
2
0
2
2
0 :
Այնուհետև ածանցենք հավասարման երկու կողմերն ըստ x-ի, նկատի ունենալով, որ y-ը
ֆունկցիա է x-ից`
0'22
22
b
yy
a
x =>
y
x
a
b'y
2
2
Հետևաբար, Kßáß.=0
0
2
2
y
x
a
b, իսկ նրա հավասարումը`
)xx(y
x
a
byy 0
0
0
2
2
0 : Այստեղից ստանում ենք
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
a
x
a
xx
b
y
b
yy , կամ
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
b
y
a
x
b
yy
a
xx => 1
b
yy
a
xx2
0
2
0
Եթե a=b, ապա էլիպսը դառնում է շրջանագիծ, հետևաբար շրջանագծի շոշափողը նրա
(x0, yo) կետում ունի xx0+yyo=a2 հավասարումը:
Նույնձևով 1b
y
a
x2
2
2
2
Հիպերբոլի շոշափողի համար ստացվում է բանաձև` 1b
yy
a
xx2
0
2
0 :
Օրինակ. 1) Գրել x2+y2=169 շրջանագծի (5;12) կետում շոշափողի հավասարումը:
35
Լուծում: Այստեղ x0=5 ¨ y0=12, ուստի `
5x+12y=169
Օրինակ 2: Տրված է 19
y
16
x 22
էլիպսը: Գրել նրա x0=2 աբսցիսով կետերում
շոշափողների հավասարումները:
Լուծում: Նախ գտնենք էլիպսի այն կետերը, որոնց աբսցիսը 2 է:
19
y
16
2 22
=>4
3
9
y2
4
27y2 =>
2
33y
Այդ կետերն են`
M1 (2; )2
33
և M2 (2;2
33 ): Հետևաբար, շոշափողների հավասարումները կլինեն`
,1y92
33
16
x2
կամ 1y
6
3
8
x :
Վարժություններ: Գրել շոշափողի և նորմալի հավասարումները.
1. f(x)=x2-3x+2, x0=1
2. f(x)=ex+2x, x0=0
3. f(x)=xsin2x, x0=
4. f(x)=x2ex+1, x0=-1
5. f(x)=3+lnx, x0=1
6. f(x)= )1x(4
arctgx2
, x=1
7. x2+y2=25, x0=-3 y0=4
8. 19
y
25
x 22
M )5
3,4(
Դիֆերենցիալ հաշվի մի քանի կարևորագույն թեորեմներ.
Սահմանում: f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներքին c կետը կոչվում է մաքսիմումի
կետ, եթե կգտնվի c կետի այնպիսի ( c;c ) շրջակայք, որ այդ շրջակայքի բոլոր cx
կետերում տեղի ունի )c(f)x(f անհավասարությունը:
36
Նույն կերպ սահմանվում է մինիմումի կետըª
Եթե 0 այնպես, որ )c;c(x ¨ cx => )c(f)x(f , ապա c-ն կոչվում է
մինիմումի կետ:
Մինիմումի և մաքսիմումի կետերը կոչվում են էքստրեմումի կետեր, իսկ ֆունկցիայի
արժեքները այդ կետերումª ֆունկցիայի էքստրեմումներ:
Պարզ է, որ f(x) ֆունկցիայի որոշման [a, b] տիրույթի x=a և x=b ծայրակետերը
էքստրեմումի կետեր լինել չեն կարող, քանի որ չունեն լրիվ շրջակայք այդ տիրույթից:
Նկ. (16)-ում x1 ¨ x3 կետերը մաքսիմումի, իսկ x2 և x4 կետերը մինիմումի կետեր են:
Ֆերմայի թեորեմը: Եթե c-ն f(x) ֆունկցիայի էքստրեմումի կետ է և այդ կետում ֆունկցիան
ունի f’(c) ածանցյալը, ապա f’(c)=0:
Ապացույց: Ենթադրենք c-ն մաքսիմումի կետ է: Ըստ ածանցյալի սահմանումիª
x
)c(f)xc(f)c('f lim
0x
Բայց, շատ փոքր x -երի համար )xc(f)c(f => :0)c(f)xc(f
Ուստի, եթե 0x , ապա ,0x
)c(f)xc(f
իսկ եթե 0x , ապա 0
x
)c(f)xc(f
:
Անցնելով սահմանի, երբ 0x ,ստանում ենք 0)0c('f ¨ 0)0c('f :
Բայց, քանի որ c կետում f(x)-ը ունի ածանցյալ, ուստի f’(c)=f’(c+0)=f’(c-0):
Իսկ դա հնարավոր է, եթե f’(c)=0:
Եթե c-ն մինիմումի կետ է, ապա ապացույցը համանման է տրվածին:
նկ. 16
b x30 a x1 x2 x4
x 0 a c1 c2 b x
նկ. 17
37
Այս թեորեմի երկրաչափական մեկնաբանությունը հետևյալն է`
Եթե y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x=c աբսցիսով էքստրեմումի կետում ունի շոշափող,
ապա այդ շոշափողը զուգահեռ է աբսցիսների առանցքին (k2=tg=0=> )0 :
Նկար 17-ում c1և c2 կետերը մաքսիմումի և մինիմումի կետեր են և կորի
համապատասխան կետերում շոշափողները զուգահեռ են OX առանցքին:
Սահմանում: f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներքին այն կետերը, որտեղ ֆունկցիայի
ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի, կոչվում են առաջին սեռի կրիտիկական կետեր:
Նկ. 16-ում այդպիսին են x1, x2, x3, x4 կետերը: Ցանկացած էքստրեմումի կետ նաև
կրիտիկական կետ է: Սակայն ոչ բոլոր կրիտիկական կետերն են պարտադիր
էքստրեմումի կետ:
Օրինակ: y=x3 ֆունկցիայի համար x=0-ն կրիտիկական կետ է, քանի որ y’=3x2 ¨ y’(0)=0:
Սակայն, երբ x<0 => x3<0 և երբ x>0=>x3>0, այսինքն, չկա x0=0 կետի շրջակայք, որտեղ
x -Ç համար 0)x(y կամ 0)x(y
(նկար 18):
Օրինակ. 3 xy ֆունկցիայի ածանցյալը x0=0 կետում գոյություն չունի `
նկ. 18 նկ. 19
38
3 2
3
2
3
1
x3
1x
3
1)'x('y
x0=0 կետը կրիտիկական կետ է, բայց էքստրեմումի կետ չէ (նկ. 19):
Նկ. 16-ում x3-ը կրիտիկական կետ է, քանի որ այդ կետում y=f(x) ֆունկցիան չունի
վերջավոր ածանցյալ:
Բայց x=x3-ը էքստրեմումի կետ է (մաքսիմում): Այս խնդիրներին մենք դեռ
կանդրադառնանք:
Ռոլլի թեորեմը: Եթե f(x) ֆունկցիան անընդհատ է [a, b] հատվածում, դիֆերենցելի է (a, b)
միջակայքումև f(a)=f(b), ապա գոյություն ունի այնպիսի )b,a(c կետ, որտեղ f’(c)=0:
Ապացույց: Եթե f(x)-ը հաստատուն է [a, b]-ում, ապա f’(c)=0, )b,a(c :
Եթե f(x)-ը հաստատուն չէ, ապա այն, ըստ Վայերշտրասի թեորեմի, ընդունում է իր M
մեծագույն և m փոքրագույն արժեքները [a, b] հատվածում, այսինքն`
]b,a[x1 ¨ ]b,a[x
2 , այնպես, որ M=f(x1) ¨ m=f(x2):
x1 և x2 կետերը չեն կարող միաժամանակ համընկնել a և b կետերի հետ, քանի որ այդ
դեպքում կստացվեր M=m և ֆունկցիան կլիներ հաստատուն: Ենթադրենք x1-ը (a, b)
միջակայքի ներքին կետ է: Քանի որ f(x1)-ը ֆունկցիայի մեծագույն արժեքն է, ուստի
)x(f)xx(f11
, ինչպես ,0x այնպես էլ 0x դեպքում:
Սա նշանակում է, որ x1-Á մաքսիմումի կետ է: Հետևաբար, ըստ Ֆերմայի թեորեմի` f’(x1)=0
(x1-Á Ñ»Ýó c Ï»ïÝ ¿):
Թեորեմը ճիշտ է նաև այն դեպքում, երբ ֆունկցիան որոշված է (a, b)-ում, բայց
axax
lim
f(x)=bxbx
lim
f(x):
Թեորեմն ունի պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն. Եթե յուրաքանչյուր կետում
շոշափող ունեցող կորը a և b աբսցիս ունեցող կետերում ընդունում է հավասար
արժեքներ, ապա այդ կորի վրա կգտնվի գոնե մեկ a<c<b աբսցիս ունեցող կետ, որտեղ
կորի շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին (նկ. 20 և նկ. 21):
39
Օրինակ. 2x4)x(f ֆունկցիան[-2;2] հատվածի ծայրակետերում ընդունում է
f(-2)=f(2)=0 հավասար արժեքներ: Այն դիֆերենցելի է (-2;2) միջակայքում՝
2x4
x)x('f
:
Ինչպես տեսնում ենք՝ f'(0)=0 ևթեորեմի պնդումը ճիշտ է (c=0):
Սակայն, եթե թեորեմի պայմաններից որևէ մեկը տեղի չունի, ապա թեորեմը կարող է
ճիշտ չլինել:
Օրինակ: y=x2ֆունկցիան անընդհատ է և դիֆերենցելի բոլոր x-երի համար :Rx Բայց
[1, 2] հատվածի ծայրակետերում՝ )2(f)1(f և նրա ածանցալը` 2x-ը, այդ միջակայքում
զրո չի դառնում:
Օրինակ. 3 2x1y ֆունկցիան [-1;1] հատվածում անընդհատ է և f(1)=f(1)=0: Բայց նրա
ածանցյալը x=0 կետում վերջավոր չէ: Քանի որ 0x համար x3
2'y , ինչպես տեսնում
ենք ածանցյալը (-1;1) միջակայքում զրո չի դառնում (նկ. 22):
Օրինակ: f(x)=|x-2| ֆունկցիան [0, 4] միջակայքում անընդհատ է, f(0)=f(4)=2, բայց նրա
ածանցյալը )4,0(2x -ում գոյություն չունի (նկ. 23), այդ պատճառով թեորեմի պնդումը
ճիշտ չէ:
c b
y
a x 0
նկ.21
a 0 x c1 c2 c3
f(a)=f(b) y=f(x)
y
նկ.20
40
Վարժություններ: Պարզել Ռոլլի թեորեմը տեղի ունի, թե ոչ:
1. 3 2 ,)5x()x(f ]10;0[x
2. f(x)=x3-x2-x+1, ]1;1[x
3. f(x)=5sinx+4, ];0[x
4. f(x)=2cos3x+28, ]2
;2
[x
5. f(x)=3-|x-3|, ]6;0[x
6. f(x)=|sinx|, ]4
;4
[x
7. f(x)=x4-8x2+5 ]3;3[x
Ռոլլի թեորեմից հետևում է, որ դիֆերենցելի ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի հարևան
զրոների միջև առնվազն մեկ անգամ դառնում է զրո, այսինքն ունի գոնե մեկ արմատ:
Լագրանժի թեորեմը: Եթե f(x) ֆունկցիան անընդհատ է [a, b] հատվածում և դիֆերենցելի է
(a, b) միջակայքում, ապա կգտնվի այնպիսի )b,a(c կետ, որի համար տեղի ունի հետևյալ
հավասարությունը
f(b)-f(a)=f'(c)•(b-a)
Այս բանաձևը կոչվում է վերջավոր աճերի բանաձև:
Ապացույց: Եթե f(b)=f(a), ապա դա Ռոլլի թեորեմն է: Ենթադրենք :)a(f)b(f Նշանակենք
նկ. 22 նկ. 23
41
ab
)a(f)b(fQ
և կազմենք օժանդակ ֆունկցիա՝
F(x)=f(x)-f(a)-Q(x-a):
F(x) ֆունկցիան բավարարում է Ռոլլի թեորեմի բոլոր պայմաններին, իրոք՝
1. անընդհատ է, որպես անընդհատ ֆունկցիաների գումար
2. դիֆերենցելի է (a, b)-ում և F'(x)=f'(x)-Q
3. F(a)=0, F(b)=0, ուստի, ըստ Ռոլլի թեորեմի )b,a(c կետ, որտեղ F'(c)=0; =>f ′(c)-Q=0
=>
ab
)a(f)b(f)c('f f(b)-f(a)=f'(c)(b-a): Թեորեմն ապացուցված է:
f ′(c)-ն կորի շոշափողի անկյունային գործակիցն է c աբսցիսով կետում, իսկ
ab
)a(f)b(f
-ն՝կորի A(a, f(a)) և B(b;f(b)) կետերը միացնող լարի անկյունային գործակիցը:
Լագրանժի թեորեմը պնդում է, որ կորի վրա կա այնպիսի (c, f(c)) կետ, որտեղ կորի
շոշափողը զուգահեռ է AB լարին (նկ. 24):
BD=f(b)-f(a)
AD=b-a
KAB=tg =Q
Kշոշ.=f'(c),
իսկ զուգահեռության պայմանն է՝ f'(c)=Q:
Օրինակ. f(x)=x2կորիAB աղեղի վրա գտնել M կետ, որտեղ կորի շոշափողը զուգահեռ է
AB լարին, եթե A(1;1) և B(3;9):
Լուծում. Ըստ Լագրանժի թեորեմի՝
f(3)-f(1)=f’(c)(3-1)
Բայց f'(x)=(x2)'=2x, f'(c)=2c,
f(3)=32=9, f(1)=12=1: Այսպիսով՝ 9-1=2•c•2, որտեղից ստանում ենք. c=2, f(2)=22=4 և
որոնելի կետն է ՝M(2;4):
Օրինակներ: Գտնել M-ը, եթե
1. f(x)=x2-2x, ]4;1[x
A
x c
D
B f(b)
f(a)
a նկ. 24
y
0 b
b-a
42
2. f(x)=x3 ]3;0[x
3. f(x)=x3-3x ]4;1[x
4. 2x16)x(f A(0;4) և B(4;0):
Կոշիի թեորեմը: Եթե f(x) և g(x) ֆունկցիաները անընդհատ են [a, b] հատվածում,
դիֆերենցելի են (a, b) միջակայքում և g'(x) 0 (a, b)-ում, ապա կգտնվի այնպիսի )b,a(c
կետ, որտեղ
)c('g
)c('f
)a(g)b(g
)a(f)b(f
:
Ապացույց: Նկատենք, որ )a(g)b(g , քանի որ հակառակ դեպքում, ըստ Ռոլլի թեորեմի,
ինչ որ x0կետում g′(x0) =0, որը հակասում է թեորեմի 0)x('g պայմանին: Եթե
նշանակենք)a(g)b(g
)a(f)b(fQ
և կազմենք օժանդակ ֆունկցիա: F(x)=f(x)-f(a)-Q(g(x)-g(a)),
ապա հեշտ է տեսնել, որ F(a)=F(b)=0 և F'(x)=f'(x)-Q•q'(x):
Ռոլլի թեորեմի բոլոր պայմանները բավարարված են, ուստի )b,a(c , որտեղ F'(c)=0 =>
f'(c)-Qg'(c)=0 =>)c('g
)c('fQ : Թեորեմն ապացուցված է:
Անորոշությունների բացումը
Ենթադրենք, որ f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված են a կետի որոշ շրջակայքում,
բացի թերևս x=a կետի և limax f(x)= lim
axg(x)=0:
Այդ դեպքում ասում ենք, որ)x(g
)x(flim
ax
սահմանը հաշվելիս ունենք 0
0 տիպի անորոշություն:
Բացել այդ անորոշությունը նշանակում է հաշվել )(
)(lim
xg
xf
ax
սահմանը, եթե այն գոյություն
ունի:
Թեորեմ1 (Լոպիտալի կանոնը). Ենթադրենք f(x) և g(x) ֆունկցիաները որոշված և
դիֆերենցելի են a կետի որոշ շրջակայքում, բացի թերևս a կետից: Ենթադրենք
43
)(lim xfax
= limaxg(x)=0, 0)x('g և 0)( xg այդ շրջակայքում: Այդ դեպքում, եթե գոյություն ունի
)x(g
)x(flim
ax
ածանցյալների հարաբերության սահմանը, ապա գոյություն ունի նաև )(
)(lim xg
xf
ax
սահմանը, ընդ որում՝ )x(g
)x(flim
ax
= )(
)(lim xg
xf
ax
:
Ապացույց: Ենթադրենք a-ն վերջավոր է, և սահմանափակվենք այն դեպքով, երբ
f(a)=g(a)=0: Այդ դեպքում f(x) և g(x) ֆունկցիաները անընդհատ են [a;x] հատվածում, որտեղ
ax և a կետի նշված շրջակայքից է:
Ըստ Կոշիի թեորեմի )x,a(c , այնպես, որ)a(g)x(g
)a(f)x(f
=)c('g
)c('f, կամ
)('
)('
)(
)(
cg
cf
xg
xf :
Եթե x a, ապա c a, ուստի :)c('g
)x('flim
)x(g
)x(flim
acax Այստեղ c-ն կախված է x-ից, բայց, քանի որ ըստ
թեորեմի պայմանի` )x('g
)x('flim
ax , ուստի
)c('g
)x('flim
ac=
)x('g
)x('flim
ax : Այսպիսով`
)x(g
)x(flim
ax =
)x('g
)x('flim
ax :
Առանց ապացույցի նշենք, որ ճիշտ են նաև հետևյալ թեորեմները՝
Թեորեմ 2. (
): Եթեf(x) ևg(x) ֆունկցիաները որոշված և անընդհատ են x=a կետի որոշ
շրջակայքում և )x(flimax
= )x(glimax
= , ընդ որում 0)( xg և 0)(' xg այդշրջակայքում, ևեթե
)x('g
)x('flim
ax
, ապա )x(g
)x(flim
ax
և :)x('g
)x('f
)x(g
)x(flimlim
axax
Թեորեմ 1-ը և թեորեմ 2-ը ճիշտ են նաև a դեպքում: Իրոք` եթե a , ապա
փոխարինելով t
1x -ով, ստանում ենք`
:)('
)('
)1
('
)1
('
)1
()1
('
)'1
()1
('
)'1
()1
('
)'1
()1
('
))'1
((
))'1
((
)1
(
)1
(
)(
)(limlimlimlimlimlimlim
02
2
0000 xg
xf
tg
tf
ttg
ttf
ttg
ttf
tg
tf
tg
tf
xg
xf
xtttttax
Դիտողություն: Եթե)x('g
)x('flim
ax
սահմանը գոյություն չունի, դա դեռ չինշանակում, որ
)x(g
)x(flim
ax
սահմանը նույնպես գոյություն չունի: Օրինակ, եթե f(x)=x+sinx, g(x)=x, ապա
44
)x(g
)x(flim
x
=x
ssinxlim
x
= :1)x
xsin1(lim
x
Բայց :2
xcos2
1
xcos1
'x
)'xsinx( 2
Ածանցյալների հարաբերությունը, երբ x , սահման
չունի: Այն տատանվում է 0-ից 2 միջակայքում և չի ձգտում որևէ սահմանի (Եթե
դիտարկենք n,n2Xn հաջորդականությունը, ապա 2n22 )1((2ncos22
xcos2 և
,22lim2
xcos2lim
n
n2
n
իսկեթե ,n4xn ապա
:0)2
(coslim2)n22
(coslim2)2
n4(cos2lim
2
n
2
n
2
n
Լոպիտալի կանոնով հաշվել հետևյալ սահմանները.
Օրինակ. 31
x3cos3
)'x(
)'x3(sin)
0
0(
x
x3sinlimlimlim
0x0x0x
Օրինակ. 5
2
5cos
2cos
5
2
5cos5
2cos2
)'5(sin
)'2(sin
)'5(sin
)'2(sin)
0
0(
5sin
2sin
lim
limlimlimlimlim
0
0
0000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
Օրինակ. :1x1
1lim
1
1x
1
lim'x
))'x1ln(lim)
0
0(
x
)x1ln(lim
0x0x0x0x
Օրինակ. lim)'x2(
)'1e(lim)
0
0(
x2
1elim
0x
x
0x
x
0x
2
1
2
ex
Օրինակ. 0x
1lim
1
x
1
lim'x
)'x(lnlim)(
x
xlnlim
xxxx
Օրինակ. a>1, Հաշվելx
2
x a
xlim
սահմանը:
)(a
xx
2
xlim limlim
xx
2
x )'a(
)'x(
alna
x2x
= 0)a(lna
2
)'alna(
)'x2()(
2xx
xx
limlim
:
Ընդհանրապես, և a>1 թվերիհամար
:0a
xx
xlim
Օրինակ. 32
3sin31
x3sin3
)'x2
(
)'x3(cos)
0
0(
x2
x3coslimlimlim
2x
2x
2x
Դիտողություն. Բացի դիտարկված 0
0և
դեպքերից, հանդիպում են նաև այլ տիպի
անորոշություններ՝ 0• , - , 00, 0, 1 : Այս անորոշությունները հանրահաշվական
ձևափոխություններով բերվում են 0
0 կամ
տեսքի անորոշությունների:
Օրինակ. 0• տեսքի անորոշություն ստացվում է, եթեf(x) 0 և g(x) , երբ :ax
45
f(x)•g(x)=f(x)• ),0
0(
)x(g
1
)x(f
)x(g
1
1
կամ f(x)•g(x)=
)x(f
1
)x(g)(
:
Օրինակ. Հաշվել սահմանը՝ :xlnxlim00x
Քանի որ ,xlnlim0x
ուստի ունենք 0.
տիպի անորոշություն:
2
0x0x0x0x
x
1x
1
)'x
1(
)'x(ln)(
x
1
xln:).0()xlnx( limlimlimlim
= lim0x
(-x)=0
Ընդհանրապես՝ 0xlnx0 lim0x
:0xlim1
x
x
1
lim)(x
xlnlim).0(xlnxlim
0x1
0x0x
a
0x
Օրինակ. (f(x))g(x) արտահայտությունը, որտեղ f(x)>0, ձևափոխում ենք fln*gg ef տեսքի: Եթե
,Kflnglimax
ապա Kg
ax
eflim
:
Հաշվենք, xsin
1
2
0x
2
)x1(lim
սահմանը:
Այստեղ f(x)=1+x2>0 և g(x)= :xsin
12
Ունենք 1 տիպի անորոշություն:
lim0x
g•lnf= )0
0(
xsin
)x1ln(lim 2
2
0x
=
1xcos
11
)'x(sin
'x
xcos)x1(
1
xsin
x
xcosxsin2
x1
x2
)'x(sin
))'x1(ln(limlimlimlimlimlim
0x0x2
0x0x
2
0x2
2
0x
Ուստի՝ :e)x1(lim xsin
1
2
0x
2
Օրինակ. Հաշվել x
0x
xlim
սահմանը:
Ունենք 00 տիպի անորոշություն.
:1eeelimxlim0
xlnxxlnx
0x
x
0x
lim0x
Եթե f և g , երբ ax , ապա f-g=
qf
qf
qf
11
11
1
1
1
1
, որը
0
0տեսքի է:
46
Լոպիտալի կանոնով հաշվել հետևյալ սահմանները.
1. 6x5x
9xlim 2
2
3x
2. 10x3x
8xlim 2
3
2x
3. 1x2x
4x5xlim 34
3
1x
4. 30x x
xsinxlim
5. 1x
1xlim 2
3
1x
6. xsin
eelim
xx
0x
7. x
34lim
xx
0x
8. 2x
2sinxsinlim
2x
9. 3
2x
0x x
2
xx1e
lim
10. 30x x
xsinxcosxlim
13. x
x a
xlnlim
, a>1
14. x
1
x
0x
)xe(lim
15. x2
x
exlim
16. 2x
2
0x
)x3(coslim
17. x3
1
x
)x5tg(lim
18. x2xctglim0x
19. )x1ln(
2
xtg
lim1x
20. )ctgxx
1(lim
0x
21. )xsin
1
x
1(lim 22
0x
22. )xe(lim2x
x
47
11. xsinx
x2eelim
xx
0x
12. xln
xlimx
23. x
1
0x
xlim
24. xcos
1
2x
)x(sinlim
Ֆունկցիաների վարքի հետազոտությունը
Թեորեմ. Եթե (a, b) միջակայքում ածանցելի f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը այդ միջակայքի
բոլոր կետերում զրո է, ապա ֆունկցիան (a, b)-ում հաստատուն է:
Ապացույց. Ենթադրենք x0 )`b,a( որևէ կետ է, իսկ x )`b,a( ցանկացած կետ:
Ըստ Լագրանժի թեորեմի`
f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0), որտեղ c (x0, x) ինչ որ կետ է, որը կախված է x և x0կետերից: Քանի որ
f'(x)=0 ),b,a(x ուստի f ′(c)=0: Հետևաբար՝
f(x)-f(x0)=0=>f(x)=f(x0)=Const:
Թեորեմ. Եթե (a, b) միջակայքում դիֆերենցելի ֆունկցիան մոնոտոն աճում է (նվազում է),
ապա նրա ածանցյալը այդ միջակայքում բացասական չէ (դրական չէ), այսինքն
f ′(x) 0 :)0)x('f(
Ապացույց. Ապացույցը տանք մոնոտոն աճող ֆունկցիայի համար.
Ենթ. )b,a(x և :)b,a()xx(
Կազմենք x
)x(f)xx(f
հարաբերությունը:
Եթե x >0, ապա 0)x(f)xx(f , եթե x <0, ապա f(x+ x )-f(x)<0:
Երկու դեպքում էլ 0x
)x(fxx(f
:
Հաշվելով այդ հարաբերության սահմանը ստանում ենք՝
:0x
)x(f)xx(flim)x('f
0x
48
Մոնոտոն նվազող ֆունկցիայի համար ապացույցը համանման է տրվածին:
Թեորեմ. Եթե [a, b] հատվածում որոշված և անընդհատ f(x) ֆունկցիան (a, b) միջակայքում
ունի դրական (բացասական) ածանցյալ, ապա նա [a, b] հատվածում մոնոտոն աճում է
(նվազում է):
Ապացույց: Եթե ]b,a[x,x 21 և x2>x1, ապա f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1):
Եթե f ′(c)>0 => f(x2)-f(x1)>0=>f(x2)>f(x1), այսինքն`f(x)-ըմոնոտոն աճում է:
Եթե f ′(c)<0 => f(x2)-f(x1)<0 => f(x2)<f(x1), այսինքն` f(x)-ը մոնոտոն նվազում է:
Մոնոտոն աճող ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած (x, f(x)) կետում շոշափողը OX
առանցքի հետ կազմում է սուր անկյուն, իսկ որոշ կետերում շոշափողը զուգահեռ է OX
առանցքին (նկ. 25): Եթե f(x) ֆունկցիան [a, b] հատվածում նվազում է, ապա այդ անկյունը
բութ է, կամ որոշ կետերում շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին (նկ. 26):
Օրինակ. Գտնել f(x)=x3-6x2 ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը.
Լուծում. f(x) ֆունկցիան որոշված և անընդհատ է ամբողջ իրական առանցքի վրա:
Հաշվենք նրա ածանցյալը՝ f '(x)=3x2-12x:
Գտնենք ածանցյալի զրոները՝
3x2-12x=0 => 3x(x-4)=0 => x=0 կամ x=4:
Որոշման տիրույթը այդ կետերով բաժանվում է միջակայքերի,որոնցից յուրաքանչյուրում
f′(x) ածանցյալը պահպանում է նշանըª
a b նկ. 25 նկ. 26
b a
x
նկ.27
- y'
y 0
+ +
4
49
Այսպիսով` f(x) ֆունկցիան աճում է (-∞;0] և [4;∞) միջակայքերում և նվազում է [0;4]-
հատվածում:
Օրինակ : Գտնել մոնոտոնության միջակայքերը:
Լուծում Գտնենք ´ ը`
Գտնենք ածանցյալի զրոները` կամ
Ֆունկցիան աճում է և միջակայքերից յուրաքանչյուրում և նվազում է
հատվածում:
Օրինակ: Գտնենք ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը:
Ֆունկցիայի ածանցյալն է`
Քանի որ և միջակայքերում f´(x)>0 և 0- կետում ֆունկցիան անընդհատ է,
հետևաբար ֆունկցիան աճում է ամբողջ իրական առանցքի վրա (նկ.29):
Օրինակ: | | ֆունկցիան անընդհատ է և x=3 կետում ածանցյալ չունի: Բայց
| | {
երբ
երբ
երբ {
երբ
երբ
Ինչպես տեսնում ենք և ը միակ կրիտիկական կետն է:
ֆունկցիան միջակայքում աճում է, իսկ միջակայքում` նվազում (նկ. 30):
Օրինակ | | | | ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝
y'
y
+ - +
1 3
f'(x)
f(x)
+ +
x 0
նկ.28
նկ.29
երբ x≤1
երբ 1<x<5/2
երբ x≥5/2
50
f(x)=
,63
,4
,63
x
x
x
Ֆունկցիան և կետերում ածանցյալ չունի, իսկ մնացած կետերում`
{
երբ
երբ
երբ
և կրիտիկական կետերը միայն կետերն են: Իրական առանցքը այդ
կետերով տրոհենք մասերի և յուրաքանչյուր մասում որոշենք ածանցյալի նշանը`
Քանի որ կետում ֆունկցիան անընդհատ է, ուստի միջակայքւմ ֆունկցիան
նվազող է,իսկ –ում` աճող (նկ. 31):
Վարժություններ: Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը.
1. 2.
16. 17.
f'(x)
f(x)
- - + 1 5/2
նկ. 30 նկ. 31
51
Ֆունկ
ցիայի
Էքստր
եմում
ները
Ֆերմայի թեորեմը քննարկելիս մենք տեսանք,որc–կետում էքստրեմումի գոյության
համար անհրաժեշտ է,որc–ն լինի կրիտիկական կետ: Բայց ոչ բոլոր կրիտիկական կետերն
են էքստրեմումի կետեր: Էքստրեմումի գոյության բավարար պայման է տալիս հետևյալ
թեորեմը.
Թեորեմ: Դիցուք ֆունկցիան անընդհատ է 0 կրիտիկական կետում և
դիֆերենցելի է այդ կետն ընդգրկող որևէ միջակայքում բացի, թերևս X0– կետից:
1) Եթե x0 կետի վրայով ձախից աջ անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը պլյուսից
մինուսի,ապա X0–կետում ֆունկցիան ունի մաքսիմում:
2) Եթե 0կետի վրայով ձախից աջ անցնելիս ածանցյալը նշանը փոխում է մինուսից
պլյուսի, ապա ֆունկցիան X0–կետում ունի մինիմում:
3) Եթե 0կետի վրայով ձախից աջ անցնելիս ածանցյալը նշանը չի փոխում, ապա X0–
կետը էքստրեմումի կետ չէ:
Ապացույց: Ըստ Լագրանժի թեորեմի 0 0 ,որտեղ c– ն և 0 ի միջև
ընկած կետ է:
Ենթադրենք երբ 0և , երբ 0 : Այդ դեպքեւմ ,երբ
0 0 և 0 : Հետևաբար 0 0 Եթե
ապա և, քանի որ 0 և 0 Հետևաբար
0 0
Այսպիսով` 0 –կետին բավականաչափ մոտ x-ի բոլոր արժեքների համար 0),
այսինքն` –ն մաքսիմումի կետ է: Նույն կերպ ապացուցվում է թեորեմի երկրորդ մասը:
Իսկ երբ ածանցյալը նշանը չի փոխում (ենթադրենք ապա
0 0 երբ 0և 0 0 երբ 0:
Այստեղից ստանում ենք
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
18. | | 19. | | 20. | | | | 21. | | | | 22. 23. 24. 25. 26.
27. √
28. | |
29. | | 30. | |
52
) 0 երբ 0 և f 0 , երբ 0, այսինքն`x0- կետի շրջակայքում
ֆունկցիան ընդունում է 0 -ից և′ մեծ,և′ փոքր արժեքներ, հետևաբար 0–ն էքստրեմումի
կետ չէ:
Այսպիսով` կարելի է ձևակերպել էքստրեմումի հետազոտման հետևյալ կանոնը.
1. Գտնում ենք y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը, այսինքն ` f ′(x)-ը:
2. Գտնում ենք x արգումենտի կրիտիկական արժեքները, որոնց համար`
ա) Գտնում ենք f ′(x)=0 հավասարման արմատները:
բ) Գտնում ենքx–ի այն արժեքները, որոնց դեպքում f(x) ֆունկցիան որոշված է, բայց f ′(x)–ը
գոյություն չունի կամ անվերջ է:
3. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհում ենք միջակայքերի,
որոնցից յուրաքանչյուրում f′(x) –ը պահպանում է նշանը:
4. Որոշում ենք ածանցյալի նշանը,որի համար յուրաքանչյուր միջակայքից վերցնում ենք
մի որևէ X0-կետ և որոշում f ′(x0) -ի նշանը:
5. Եթե պարզվում է, որ կրիտիկական կետը մաքսիմումի կամ մինիմումի կետ է, հաշվում
ենք ֆունկցիայի արժեքը այդ կետում:
Օրինակ: Հետազոտել f(x)=x2-4x+9 ֆունկցիան ըստ էքստրեմումի:
Լուծում: 1.Գտնում ենք ածանցյալը` f ′(x)=2x-4
2.Գտնում ենք կրիտիկական կետերը`` f ′(x)=0 => 2x-4=0 => x=2:
3.Քանի որ ֆունկցիան և նրա ածանցյալը որոշված են x R-ում, և x=2-ը միակ
կրիտիկական կետն է,իրական թվային առանցքը տրոհվում է երկու միջակայքերի`(-∞;2) և
(2;∞)
նկ. 33
f (x)
f'(x) - +
2
=f(x0)
f′(x)<0 f'(x)>0 f'(x)>0
f′(x)>0
x0= x0=
ymin=f(x0) f'(x)>0
f'(x)<0
նկ. 32
53
4.Փորձնական կետերով որոշենք ածանցյալի նշանը այդ միջակայքերից
յուրաքանչյուրում`
=1 ,
=3 ,
5.Այսպիսով` x=2 կետը մինիմումի կետ է և fmin=f(Xmin)= 2 :
Դա մեզ քաջածանոթ պարաբոլն է (նկ. 34):
Օրինակ4: f(x)=x3+3x2-9x-17 : Հետազոտել ըստ էքստրեմումի:
1. Հաշվենք ածանցյալը՝
f ′(x)=3x2+6x-9
2. Լուծենք f ′(x)=0 հավասարումը՝x2+2x-3=0 => x1=-3 , x2=1:
Այլ կրիտիկական կետեր չկան:
3. Հետազոտենք կրիտիկական կետերը:
Նշենք թվային ուղղի վրա x=-3 և x=1 կետերը:
1
f '(x) -
+ +
f (x) -3
x
Նկ. 35
նկ. 34
54
4. Որոշենք ածանցյալի նշանները և միջակայքերում.
:
x=
Ըստ էքստրեմումի գոյության բավարարման պայմանի x=-3 կետը մաքսիմումի, իսկ x=1
կետը մինիմումի կետ է:
Ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտավորապես ունի (նկ.36- ում նշված տեսքը):
Օրինակ:
Գտնել ֆունկցիայի էքստրեումի կետերը և էքստրեմումները:
Լուծում:
1.
2.
f' - + - +
-1 0 3 f
նկ. 38
նկ. 36
նկ. 37
նկ. 37
55
3.
4. և կետերը մինիմումի, իսկ –ն` մաքսիմումի կետեր են
(նկ.37):
Օրինակ:
Հետազոտել √ ֆունկցիան ըստ էքստրեմումների:
Լուծում:
Ֆունկցիան որոշված և անընդհատ է –ում
1. Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը`
√ (√
) √
√
√
2. Գտնենք կրիտիկական կետերը.
ա)
√
բ) կետում ածանցյալը խզվում է, բայց ֆունկցիան անընդհատ է: Հետևաբար -ն
կրիտիկական կետ է:
3. Թվային ուղիղը տրոհենք միջակայքերի` և
4. Որոշենք ածանցյալի նշանները.
երբ (
√ )
երբ (
√ )
երբ (
√ )
5. Ըստ թեորեմի պարզ է, որ
և
Հաշվենք ֆունկցիայի արժեքները այդ կետերում
√
√
√
f
)
f (x)
)
+ - +
0 2
Նկար 39-ում տրված է ֆունկցիայի
գրաֆիկի մոտավոր տեսքը
56
Վարժություններ: Գտնել ֆունկցիաների կրիտիկական կետերը և էքստրեմումները.
1) 2)
3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) | | 14) | |
15)
16)
17)
18)
19) 20)
Դիտողություն: էքստրեմումի գոյության նշված բավարար պայմանը ամենևին էլ
անհրաժեշտ չէ:
Օրինակ: Դիտարկենք (
) երբ և ֆունկցիան: Պարզ է, որ
այսինքն -ն մաքսիմումի կետ է`
Բայց (
)
Երբ առաջին գումարելին ձգտում է 0- ի, իսկ
-
ը,տատանվում է [-1,1] – ում, հետևաբարx=0 կետի շրջակայքում ընդունում է և´ դրական, և´
բացասական արժեքներ:
Կորի ուռուցիկությունը: Շրջման կետ:
Դիտարկենք (a,b) միջակայքում անընդհատ և դիֆերենցելի y=f(x) ֆունկցիան: Նրա
գրաֆիկը մի կոր է, որը ցանկացած կետում ունի շոշափող:
Սահմանում 1. Կորը կոչվում է (a,b) միջակայքում ուռուցիկությամբ ուղղված դեպի վեր,
եթե կորի բոլոր կետերն ընկած են այդ միջակայքում նրա ցանկացած շոշափողից ներքև
(նկ. 40)
նկ.39
57
Սահմանում 2. Կորը կոչվում է (a,b) միջակայքում ուռուցիկությամբ ուղղված դեպի ներքև,
եթե կորի բոլոր կետերն ընկած են այդ միջակայքում նրա ցանկացած շոշափողից վերև (նկ.
41)
Առաջին դեպքում կասենք կորը (a,b)- ում ուռուցիկ է, իսկ երկրորդ դեպքում ` գոգավոր:
Սահմանում 3. Կորի ուռուցիկ մասը գոգավորից բաժանող կետը կոչվում է շրջման կետ
(նկ. 42- ում M0- կետը):
Պարզ է, որ շրջման կետում տարված շոշափողը, եթե այն գոյություն ունի, հատում է այդ
կորը:
Ինչպես նկատում ենք նկ. 40 և նկ. 41 – ից, ուռուցիկության միջակայքում ֆունկցիայի
ածանցյալը նվազում է (շոշափողի անկյունային գործակիցը փոքրանում է), իսկ գոգավորության
միջակայքում աճում Այսփաստն օգտագործենք ուռուցիկության հետևյալ բավարար պայմանն
ապացուցելու համար:
Թեորեմ: Եթե (a,b) միջակայքում կրկնակի ածանցելի ֆունկցիայի երկրորդ կարգի
ածանցյալը բացասական (դրական) է, այսինքն` ,ապա ֆունկցիայի
գրաֆիկն ուռուցիկ (գոգավոր) է:
Ապացույց: Քննարկենք այն դեպքը, երբ :
ֆունկցիայի - ածանցյալը նույնպես ֆունկցիա է, որի առաջին ածանցյալը` ( )
, ըստ պայմանի: Բայց դա նշանակում է, որ - ֆունկցիան միջակայքում
նվազում է, հետևաբար, նրա գրաֆիկն - ում ուռուցիկությամբ ուղղված է դեպի վեր:
Երբ -ը աճող է -ի գրաֆիկը գոգավոր է:
Դիտողություն: Ապացուցված թեորեմը ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության բավարար
պայման է, բայց անհրաժեշտ չէ: Օրինակ` - ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է, սակայն
նրա երկրորդ ածանցյալը` կետում դառնոմ է զրո`
Այն միջակայքերը, որոնցում ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ կամ գոգավոր է, կոչվում են
ուռուցիկության միջակայքեր: Պարզ է, որ այդ միջակայքերում - ը պահպանում է իր
նշանը:
Y=f(x)
x
y
0
b
a
նկ.40
y
x
Y=f(x)
նկ.42
x
Y=f(x)
a b
y
նկ.41
58
Բայց - ը իր նշանը փոխվում է միայն այն կետերում, որտեղ այն դառնում է զրո, կամ
գոյություն չունի: Ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ներքին այդպիսի կետերը ընդունված է
անվանել երկրորդ սեռի կրիտիկական կետեր:
Ենթադրենք (a,b) ֆունկցիան ունի ածանցյալներ մինչև երկրորդ կարգը ներառյալ, բացի, թերևս,
վերջավոր թվով կետերից, և - ը (a,b) միջակայքում ունի վերջավոր թվով զրոներ:
Որպեսզի գտնենք –ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության միջակայքերը, հարկավոր է.
1. Գտնել (a,b) միջակայքում ֆունկցիայի երկրորդ սեռի կրիտիկական կետերը
այսինքն` այն կետերը, որտեղ կամ -ը գոյություն չունի:
2. Այդ կրիտիկական կետերով (a,b) միջակայքը բաժանել մասերի:
3. Ստացված յուրաքանչյուր միջակայքում որոշել -ի նշանը:
4. Որ միջակայքում , ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է, որտեղ , այնտեղ
գոգավոր է:
Օրինակ: 2 ֆունկցիան անընդհատ է ∞ ∞ և ունի ածանցյալներ մինչև
երկրորդ կարգը ներառյալ՝
′ 2 ′ և ′′ ′
Քանի որ f ′′ , ∞ ∞ ուստի ամբողջ թվային ուղղի վրա նրա գրաֆիկը
գոգավոր է: (նկ.43)
Օրինակ: Դիտարկենք, 3 ∞ ∞ ֆունկցիան, որն անընդհատ է և ունի
ածանցյալներ՝
2և
նկ. 43 նկ. 44
59
1. ′′ –ը որոշված է ∞ ∞ –ում, ուստի կրիտիկական (երկրորդ սեռի) կլինեն
միայն այն կետերը, որտեղ ′′
Տվյալ դեպքում ֆունկցիան ունի մեկ կրիտիկական կետ՝ :
2. x=0 կետով թվային ուղիղը բաժավում է ∞ և ∞ երկու միջակայքերի:
3. Փորձնական կետերի մեթոդով որոշենք երկրորդ ածանցյալի նշանը՝
x=-1 ∞ ′′
x=1 ∞ ′′
4. Քանի որ ,ուստի ֆունկցիայի գրաֆիկը (-
միջակայքում ուռուցիկ է: Ֆունկցիայի գրաֆիկը (0; –միջակայքում գոգավոր է, քանի որ
-ում նկ.44)
Օրինակ: f
-3 , x
1.Գտնենք ածանցյալը՝
և
Միակ երկրորդ սեռի կրիտիկական կետը x=3–ն է:
2. Հետևաբար –ում
ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է, իսկ (3; –ում` գոգավոր (նկ.46):
f ''
f
- +
0
նկ. 45
նկ.46
նկ.47
նկ.47
60
Օրինակ:
+6 -2, D(f)=
1. Գտնենք և ածանցյալները.
-9 և
2. Գտնենք երկրորդ սեռի կրիտիկական կետերը.
և =2
3. D(f)–ը բաժանենք միջակայքերի՝ (- (1;2) և (2;
4. Որոշենք –ի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում ՝
5. Ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է և միջակայքերում և ուռուցիկ
է՝ միջակայքում:
Այժմ ձևակերպենք շրջման կետի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանները:
Թեորեմ: Եթե կետը y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի շրջման կետ է, և կետում
գոյություն ունի f –երկրորդ կարգի ածանցյալը,ապա անհրաժեշտ է,որ այն հավասար
լինի զրոյի` x0 =0:
Սա նշանակում է, որ գործնականում շրջման կետի աբսցիսը պետք է փնտրել երկրորդ
սեռի կրիտիկական կետերի մեջ:
Թեորեմ (բավարար պայմանը): Եթե y=f(x) ֆունկցիան կրկնակի ածանցելի է (a,b)
միջակայքում, բացի, թերևս a,b)-կետի, և -կետի վրայով անցնելիս 0 երկրորդ
ածանցյալը փոխում է նշանը,ապա կորի 0 0 կետը շրջման կետ է:
Այս թեորեմների ապացույցը թողնում ենք ընթերցողին:
Վարժություններ:
Գտնել հետևյալ ֆունկցիաների գրաֆիկների ուռուցիկության միջակայքերը և շրջման
կետերը:
1. 2. 3. 4. 5.
10.
11.
12. 13.
+ - + y’’
y 2
61
6. 7. 8. 9.
14. Y=cosx
15. Y= -2
16. Y=6 -
Ասիմպտոտներ
Ուսումնասիրենք ֆունկցիայի վարքը և հետևաբար,նրա գրաֆիկի ձևը, երբ
գրաֆիկի վրայով կետը անվերջ հեռանում է կոորդինատների սկզբնակետից:
Առանձնապես հետաքրքիր է այն դեպքը, երբ կորի M -փոփոխական կետի
հեռավորությունը ինչ որ ուղղից անվերջ փոքրանում է: Նման ուղիղները կոչվում են կորի
ասիմպտոտներ: Ասիմպտոտները լինում են երկու տիպի՝ուղղաձիգ և թեք:
Սահմանում: ուղիղը կոչվում է անընդհատ ֆունկցիայի գրաֆիկի
ուղղաձիգ ասիմպտոտ, եթե
)x(flim0ax
կամ
)x(flim0ax
:
ՈՒղղաձիգ ասիմպտոտները փնտրելու համար պետք է գտնել -ի այն արժեքները, որոնց
մոտենալիս ֆունկցիան ձգտում է անվերջության: Այդ կետերը կարող են լինել
ֆունկցիայի երկրորդ սեռի խզման կետերը:
Օրինակ՝
ֆունկցիան x=0 կետում որոշված չէ: հաշվենք այդ կետում աջ և ձախ
սահմաները: x
1lim
00x և
x
1lim
00x,hետևաբար x=0 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է :
Օրինակ`
ֆունկցիան x= կետերում որոշված չէ: Հաշվենք այդ կետերում աջ և
ձախ սահմաները: 4x
1lim
202x,
4x
1lim
202xհետևաբար x=-2 ուղիղը ուղղաձիգ
ասիմպտոտ է: 4x
1lim
202xև
4x
1lim
202xx=2-ը նույնպես ուղղաձիգ
ասիմպտոտ է (նկ. 49):
62
Օրինակ:
ֆունկցիան նույնպես x=0 կետում խզվող է ( որոշված չէ):
Սակայն x=0 ուղիղը ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտ չէ, քանի որ 1x
xsinlim
0x
, (որը մեզ
լավ հայտնի առաջին նշանավոր սահմանն է):
Ենթադրենք y=f(x) ֆունկցիան որոշված է x>M(x<M) միջակայքում :
Սահմանում: y=kx+b ուղիղը կոչվում է f(x)–ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտ, երբ x-
> (x->- , եթե 0)bkx)x(f(lim)x(
x
:
Որոշենք k և b թվերը:
Եթե 0)bkx)x(f(limx
, ապա f(x)-kx-b= , որտեղ -ը անվերջ փոքր է,
երբ x->+ այսինքն՝ 0)x(limx
:
Այստեղից ստանում ենք՝
f(x)=kx+b+ :
xlim
=
xlim (
)=k
k-ն որոշելուց հետո գտնում ենք b-ն`
)kx)x(f(lim)x(lim)kx)x(f(lim))x(kx)x(f(limbxxxx
Նույն ձևով որոշում ենք y=kx+b ասիմպտոտը, երբ x : Այսպիսով` թեք ասիմպտոտի
համար ստանում ենք k և b թվերը որոշելու հետևյալ բանաձևերը`
x
)x(flimk
)x(x
և )kx)x(f(limb)x(
x
:
Երբ k=0, ապա ասիմպտոտի հավասարումը կընդունի y=b տեսքը: Այդպիսի
ասիմպտոտները կոչվում են հորիզոնական ասիմպտոտներ:
Օրինակ: Գտնել1x
1x2y
2
2
ֆունկցիայի ասիմպտոտները:
Այս Ֆունկցիան անընդհատ է իրական թվային առանցքի վրա, հետևաբար նրա գրաֆիկը
ուղղաձիգ ասիմպտոտներ չունի: Գտնենք թեք ասիմպտոտները:
06
4lim
)13(
)4(lim
13
4lim
)(
)12(lim
)1(
12lim
)(lim
223
2
2
2
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xfk
xxxxxx:
նկ.49 նկ.48
63
2x2
x4lim
)1x(
)1x2(limx0
1x
1x2lim)kx)x(f(limb
x2
2
x2
2
xx
Այսպիսով`ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ` y=2 (նկ. 50):
Օրինակ: Գտնել 2x
x)x(f
2
կորի ասիմպտոտները:
Լուծում: Նախ գտնենք ուղղաձիգ ասիմպտոտները: Ֆունկցիան x=2 կետում որոշված չէ:
Հաշվենք ֆունկցիայի աջակողմյան և ձախակողմյան սահմաները այդ կետում.
2x
xlim
2
02x և
2x
xlim
2
02x:
Այսպիսով` x=2 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է: Գտնենք թեք ասիմպտոտները:
Հաշվենք`
12x
xlim
)2x(x
xlim
x
)x(flimk
x
2
xx
21
2lim
)2x(
)x2(lim
2x
x2limx
2x
xlim)kx)x(f(limb
xxx
2
xx
:
Այսպիսով` y=x+2 ուղիղը տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտն է, երբ x
(նկ. 51):
Օրինակx
xsinxy , x ≠ 0: Գտնել թեք ասիմպտոտները:
Լուծում: Ենթադրենք y=kx+b-ն թեք ասիմպտոտ է: Գտնենք`
1x
xsin1lim
x
x
xsinx
limx
)x(flimk
2xxx
0x
xsinlim)kx)x(f(limbxx
:
Այսպիսով` y=xուղիղը թեք ասիմպտոտ է (նկ. 52):
նկ. 50 նկ. 51
64
Օրինակ: Գտնել
xy ֆունկցիայի ասիմպտոտները:
Լուծում: 0x
1lim
x
xlimk
xx
:
xlim)x0x(limbxx
:
Քանի որ b=∞, ուստի xy ֆունկցիան թեք ասիմպտոտներ չունի: Ակնհայտ է, որ
ուղղաձիգ ասիմպտոտներ նույնպես չունի:
Օրինակ: Գտնել x
ey
x
ֆունկցիայի ասիմպտոտները:
Լուծում: 1) Որոնենք ուղղաձիգ ասիմպտոտները.
x
elim
x
00x և
x
elim
x
00x:
x=0 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է:
2) Այժմ որոնենք թեք ասիմպտոտները.
2
elim
)x2(
)e(lim
x2
elim
)x(
)e(lim
x
elim
x
)x(flimk
x
x
x
x
x
x2
x
x2
x
xx
Երբ x , ուղիղը թեք ասիմպտոտ չունի:
0lim2
x
ek
x
x, քանի որ 0ex , երբ x
0x
elim)kx)x(f(limb
x
xx
:
Այսպիսով` y=0 ուղիղը հորիզոնական ասիմպտոտ է, երբ x (նկ. 53):
Վարժություններ:
Գտնել տրված ֆունկցիաների ասիմպտոտները.
1. x
1xy 2.
1x
xy
2
3. 1x
4x3x2y
2
4.
4x
xy
2
3
նկ. 52 նկ. 53
65
5. 2x
3x2xy
2
6.
5x2
1xy
2
7. x
1xy 8. xxey
9. arctgxxy 10. 2x
3x2y
Ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման ընդհանուր սխեման
Ֆունկցիայի գրաֆիկի մասին մոտավոր պատկերացում կազմելու համար
առաջարկվում են հետևյալ ցուցումները.
1. Գտնել ֆունկցիայի որոշման բնական տիրույթը:
2. Գտնել ֆունկցիայի խզման կետերը և, եթե այդպիսի կետեր կան, պարզել խզման
բնույթը: Դրա համար հաշվել այդ կետերում աջակողմյան և ձախակողմյան
սահմանները:
3. Գտնել Ֆուկցիայի աճման և նվազման միջակայքերը, որի համար գտնել առաջին
սեռի կրիտակական կետերը:
4. Գտնել մաքսիմումի և մինումումի կետերը և այդ կետերում ֆունկցիայի արժեքները:
5. Գտնել գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը և շրջման կետեը:
6. Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտները:
7. Գտնել կոորդինատային առանցքների հետ գրաֆիկի հատման կետերը (եթե
հնարավոր է) և պարզել ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը:
Կատարված հետազոտությունների հիման վրա կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Դիտողություն: Երբեմն օգտակար է պարզել ֆունկցիայի զույգ, կենտ, կամ պարբերական
լինելը: Այսպես, օրինակ, եթե ֆունկցիան զույգ է`f(-x)=f(x), ապա գրաֆիկը կարելի է
կառուցել x>0 արժեքների համար, այնուհետև x<0 արժեքների դեպքում օգտվել oy-
առանցքի նկատմամբ զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկի համաչափությունից: Կենտ ֆունկցիայի
գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ: Պարբերական
ֆունկցիայի դեպքում ուսումնասիրությունը կատարվում է մեկ պարբերության մեջ և
կառուցված գրաֆիկը պարբերաբար կրկնվում է:
Նշենք նաև, որը ցուցումների նշված հաջորդականությունը և քանակը պահպանելը
պարտադիր չէ:
Օրինակ. Կառուցել 4x
x)x(f
2
3
ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Լուծում: 1) Տրված ֆունկցիան որոշված է ամբողջ թվային ուղղի վրա, բացի x=-2 և x=2
կետերից, որոնք խզման կետեր են:
66
2) Ֆունկցիան կենտ է` )x(f4x
x
4)x(
)x()x(f
2
3
2
3
ուստի ուսումնասիրենք x≥0
դեպքում:
Պարզենք x=2 կետում խզման բնույթը.
)2x)(2x(
xlim
4x
xlim)x(flim
3
02x2
3
02x02x
4x
xlim)x(flim
2
3
02x02x:
Խզումը x=2 կետում երկրորդ սեռի է և x=2 ուղիղը ուղղաձիգ ասիմպտոտ է:
3) Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը`
22
22
22
2323
2
3
)4x(
)12x(x
)4x(
)4x(x)4x()x(
4x
x)x(f
:
00)( xxf կամ 32x , իսկ 2x կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը գոյություն
չունի: Այսպիսով` 0x դեպքում x=0, և 32x կետերը առաջին սեռի կրիտիկական
կետեր են, իսկ x=2-ը` խզման կետ:
4) Որոշենք ածանցյալի նշանը (0;2), (2; 2√3) և (2√3;∞) միջակայքերից յուրաքանչյուրում.
Ֆունկցիան [0;2) և (2;2√3] միջակայքերում նվազում է, իսկ [2√3; ∞)-միջակայքում աճում է:
5) 32x կետում ֆունկցիան ունի մինումում` 334)32(
)32()32(fy
2
3
min
:
6) Գտնենք ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը: Հաշվենք )x(f -ը`
32
2
)4x(
)12x(x8)x(f
:
Քանի որ 0)x(f , երբ x=0 և x=±2 կետերում )x(f -ը գոյություն չունի, ուստի x=0(x≥0
դեպքում) կետը երկրորդ սեռի կրիտիկական կետ է( )(2 fDx ):
Պարզենք )x(f -ի նշանը (0,2) և (2,∞) միջակայքերում`
(0;2) միջակայքում ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկությամբ ուղղված է դեպի վերև, իսկ
(2;∞)-ում` դեպի ներքև:
7) Գտնենք թեք ասիմպտոտները:
1)4x(x
xlim
x
)x(flimk
2
3
xx
և 04x
x4limx
4x
xlim)kx)x(f(limb
2x2
3
xx
:
_
_
0 2 2√3 x
_ +
_
+ _
0 2
67
Հետևաբար, y=x ուղիղը թեք ասիմպտոտ է:
8) Ֆունկցիայի գրաֆիկը կոորդինատային առանցքները հատում է (0,0) կետում:
Ստացված տվյալները գրենք աղյուսակի տեսքով և կառուցենք գրաֆիկը:
x 0 (0;2) 2 (2;2√3) 2√3 (2√3;∞) )x(f 0 _ գոյություն
չունի
_ 0 +
)x(f 0 նվազում է
նվազում
է
3√3 աճում է
)x(f 0 _ գոյություն
չունի
+ + +
)x(f (0;0) ուռուցիկ է
խզման
կետ է
գոգավոր
է
մինիմումի
կետ է
գոգավոր
է
Օրինակ: Հետազոտել 1x
x6)x(f
2 ֆունկցիան և կառուցել գրաֆիկը:
նկ. 56 նկ. 57
68
Լուծում: 1) D(f)=(-∞;∞):
Նշենք, որ երբ x<0 => f(x)<0 և x>0=> f(x)>0
2) Ֆունկցիան անընդհատ է ամենուրեք, և f(0)=0:
3) Գտնենք կրիտիկական կետերը, մոնոտոնության միջակայքերը և էքստրեմումի կետերը
22
2
22
22
2 )1x(
)x1(6
)1x(
)1x(x)1x(x6
1x
x6)x(f
:1x0x10)x(f 2
Որոշենք ածանցյալի նշանները (-∞;-1), (-1;1) և (1;∞) միջակայքերում.
x=-1-ը մինիմումի, իսկ x=1-ը մաքսիմումի կետ է:
4) Գտնենք ֆունկցիայի էքստրեմումները.
31)1(
)1(6)1(ff
2min
3)1(ffmax
5) Որոշենք ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերն ու շրջման կետերը.
32
2
22
2
)x1(
)3x(x12
)1x
x1(6y
:
0y =>x=0, x=-√3, x=√3-կետերը երկրորդ սեռի կրիտիկական կետեր են:
Որոշենք )(xy -ի նշանները (-∞;-√3), (-√3;0), (0;√3) և (√3;∞) միջակայքերում.
Կորը ուռուցիկ է (-∞;- 3 ) և (0; 3 ) միջակայքերում և գոգավոր է (- 3 ;0) և ( 3 ;∞)
միջակայքերում:
2
33;3 , )0;0( և
2
33;3 կետերը շրջման կետեր են:
y
y -√3 0 √3
_ _ + +
-1 1 x
_ + _ y
y
նկ. 58
նկ. 59
69
6) Կորը ուղղաձիգ ասիմպտոտներ չունի, քանի որ x-ի որևէ վերջավոր արժեքի դեպքում
ֆունկցիան անվերջության չի ձգտում: Գտնենք թեք ասիմպտոտները.
0)1x(x
xlim
x
)x(flimk
2xx
,
01x
xlim)kx)x(f(limb
2xx
:
Հետևաբար, y=0 ուղիղը միակ ասիմպտոտն է: Կառուցում ենք գրաֆիկը (նկ. 60)
Օրինակ: Հետազոտել 3 32 xx6y ֆունկցիան և կառուցել գրաֆիկը:
Լուծում: 1) D(f)=(-∞;∞)
2) Ֆունկցիան ամենուրեք անընդհատ է:
3) x=0 և x=6 կետերում ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է ox-առանցքը` y(0)=y(6)=0:
4) Գտնենքկրիտիկական կետերը:
3 23 232
23
2
3231
32
)x6(x
x4
)xx6(
)x4(x)x3x12()xx6(
3
1))xx6((y
4x0y
x=0 և x=6 կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը գոյություն չունի, հետևաբար x=0,x=4 և x=6
կետերը կրիտիկական կետեր են:
նկ. 60
70
Թվային ուղիղը այդ կետերով տրոհենք միջակայքերի և յուրաքանչյուր միջակայքում
որոշենք ածանցյալի նշանը.
5) x=0 կետը մինիմումի կետ է և 0)0(yymin
x=4 կետը մաքսիմումի կետ է և 3333 32
max 42326496446)4(yy
x=6-կետը էքստրեմումի կետ չէ և
3 206x06x )x6(x
x4lim)x(ylim :
(6;0) կետում գրաֆիկի շոշոփողը զուգահեռ է oy-առանցքին:
6) Գտնենք ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը: Հաշվենք y -ը.
35
34
3 2)x6(x
8
)x6(x
x4y
0y , բայց x=0 և x=6 կետերում y -ը որոշված չէ: Այդ կետերը միակ երկրորդ սեռի
կրիտիկական կետերն են: Որոշենք y -ի նշանները այդ կետերի շրջակայքում.
x=0 կետում y -ը չի փոխում նշանը, հետևաբար, այդ աբսցիսով կորի կետը շրջման կետ չէ:
(6;0) կետը շրջման կետ է: (-∞;0) և (0;6) միջակայքերում կորը ուռուցիկ է, իսկ (6;∞)-
միջակայքում` գոգավոր:
Գտնենք կորի թեք ասիմպտոտները.
11x
6lim
x
xx6lim
x
ylimk 3
x
3 32
xx
2
11x
61
x
6
6lim
x)xx6x)xx6(
xxx6lim)xxx6(lim)kxy(limb
33
2x
23 323 232
332
x
3 32
xx
_ _
0 6
+ y
y
0 4 6
y
y
_ +
_ _
Նկ. 61
Նկ. 62
71
Հետևաբար, y=-x+2 ուղիղը թեք
ասիմպտոտ է: Հաշվի առնելով վերը
բերված բոլոր պարզաբանումները`
կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ.
63)
Վարժություններ:
Հետազոտել հետևյալ ֆունկցիաները և կառուցել նրանց գրաֆիկները:
1) 23 x3xy 2) 23 x2xy 3) x93
xy
3
4) )4x()1x(y 2 5) x3xy 3 6) 34 x2x4
1y
7) x
1xy
2 8)
2x
xy
2
9)
4x
xy
2
3
10) 24 x6x4
1y 11)
2x3
4x6xy
2
12) xe)2x(y
13) x2exy 14) arctgx4
xy
15) 2x2exy
16) 2xey 17) 3 32 xx2y
Ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները հատվածում
Ինչպես հայտնի է Վայերշտրասի թեորեմից, [a,b]-հատվածում անընդհատ ֆունկցիան
այդ միջակայքում հասնում է իր M մեծագույն և m փոքրագույն արժեքներին, այսինքն և
b,a այնպես, որ f(α)=M և f(β)=m: Ենթադրենք f(x)-ը [a,b] հատվածում ունի վերջավոր
թվով առաջին սեռի կրիտիկական կետեր:
նկ. 63
72
Եթե f(x)-ը մոնոտոն աճող կամ մոնոտոն նվազող է [a,b]-հատվածում, ապա պարզ է, որ
մեծագույն և փոքրագույն արժեքներին ֆունկցիան հասնում է x=a և x=b կետերում (նկ.
64ա,բ):
Եթե ֆունկցիան մոնոտոն չէ, ապա այդ արժեքներին նա հասնում է կամ [a;b] հատվածի
ծայրակետերում, կամ կրիտիկական կետերում (նկ. 64գ):
Եթե nxxx ,...,, 21 -կետերը f(x) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերն են [a,b]-հատվածում, ապա
)x(f),...,x(f),b(f),a(fmax)x(fmax n1
b,ax
)x(f),...,x(f),b(f),a(fmin)x(fmin n1
b,ax
:
Նշենք, որ կարիք չկա պարզելու կրիտիկական կետերի բնույթը ըստ էքստրեմումի:
Օրինակ: Գտնել 5x3x)x(f 23 ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները [-1;3]
հատվածում:
Լուծում: Գտնենք կրիտիկական կետերը.
)2x(x3x6x3)x(f 2
0x0)x(f և 2x :
Այս երկու կետերն էլ [-2;3]-հատվածի կետեր են:
Հաշվում ենք` 155)2(3)2()2(f 23
5)0(f
15232)2(f 23
55333)3(f 23
5)x(fmax
3;2x
;
15)x(fmin
5;2x
fմեծ=5, fփոքր=-15:
Օրինակ: Որոշել 7x4x4x)x(f 234 ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն
արժեքները [1;4] հատվածում:
Լուծում: Գտնենք f(x) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը [1;4]-հատվածում.
x8x12x4)x(f 23
0)2x3x(x0)x(f 2
նկ. 64բ նկ. 64ա նկ. 64գ
yմեծ
yփոքր
b
y=f(x)
a a b
y=f(x) yմեծ
yփոքր
a b
yմեծ
yփոքր
73
0x1 , 1x 2 , 2x3 :
Այս կետերից միայն 12 x և 23 x կետերն են [1;4]-հատվածից:
Գտնում ենք` f(1)=8, f(2)=7, f(4)=71:
Հետևաբար, fմեծ=71 և fփոքր=7:
Օրինակ: Գտնել 3 2xx3
2)x(f ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները [-1;3]
հատվածում:
Լուծում: Ֆունկցիան որոշված է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Գտնենք կրիտիկական
կետերը [-1;3]-հատվածում.
3
3
3 x
1x
3
2
x3
2
3
2)x(f
:
1x0x
1x0)x(f
3
3
:
x=0-կետը ածանցյալի խզման կետ է, հետևաբար, կրիտիկական կետերը երկուսն են` x=0 և
x=1: Քանի որ
,92)3(f
,3
1)1(f
,0)0(f
,3
5)1(f
3
ուստի` 0)x(fmax]3;1[
, 3
5)x(fmin
3;1
Օրինակ: Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը a-է, իսկ բարձրությունը` h: Ինչ մեծագույն
մակերես կարող է ունենալ այն ուղղանկյունը, որի երկու գագաթները հիմքի, իսկ մյուս
երկուսը` սրունքների վրա են (նկ. 65):
Լուծում: Նշանակենք ուղղանկյան EM-կողմը x-ով: Պարզ է, որ
0<x<h:
BH=BD-HD=BD-EM=h-x
Գտնենք ուղղանկյան EF կողմը.
BEF BD
BH
AC
EFABC :
Այստեղից ստանում ենք` )xh(h
aEF
h
xh
a
EF
:
Հետևաբար` EFNM-ուղղանկյան մակերեսը կլինի x)xh(h
a)x(S , 0<x<h: Գտնենք այդ
ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը (0;h) միջակայքում: Դրա համար գտնենք ֆունկցիայի
կրիտիկական կետերը.
նկ. 65
E F H
A M D N C
B
74
)x2h(h
a)xhx(
h
a)x(S 2
Լուծելով 0)( xS հավասարումը ստանում ենք` 2
hx0)x2h(
h
a միակ կրիտիկական
կետը: Քանի որ
0)h(S)0(S , իսկ4
ah
2
hS
, ուստի S(x) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [0,h]-հատվածում,
և հետևաբար` (0,h) միջակայքում` 4
ah
2
hS
-է:
Նկատենք, որ EF-ը ABC եռանկյան միջին գիծն է:
Օրինակ: a-կողմով քառակուսի թիթեղից պատրաստել մեծագույն ծավալով վերևից բաց
արկղ, որի հիմքը քառակուսի է (նկ. 66)
Լուծում: Թիթեղի անկյուններից կտրենք 2
ax0 կողմով
քառակուսիներ և ծալելով կառուցենք արկղ: Ստացված
արկղի
ծավալը կլինի` x)x2a()x(V 2 , 2
ax0 :
Գտնենք V(x) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը
2
a;0 հատվածում: Քանի որ
02
aV)0(V
, ուստի այն կլինի մեծագույնը նաև
2
a;0 միջակայքում:
Գտնենք V(x) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը. 22322 x12ax8a)x4ax4xa()x(V
0aax8x120)x(V 22 , որտեղից գտնում ենք 6
ax և
2
ax :
Հաշվենք V(x) ֆունկցիայի արժեքը նաև 6
ax կետում`
27
a2
6
a
6
a2a
6
aV
32
:
Այսպիսով` արկղը կունենա մեծագույն ծավալը, եթե կտրվող քառակուսու կողմը 6
a-է:
a-2x
a
նկ. 66
x
x
75
Օրինակ: Գտնել f(x)=asinx+bcosx ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները [0;2π]
հատվածում:
Լուծում: Գտնենք f(x)-ի կրիտիկական կետերը.
xsinbxcosa)x(f :
Լուծենք 0)( xf հավասարումը.
b
atgx0xsinbxcosa , քանի որ cosx ≠ 0, (հակառակ դեպքում կհետևի որ sinx=0, իսկ
դա անհնար է sin2x+cos2x=1 նույնության պատճառով):
Եթե 0x -ն կրիտիկական կետ է, ապա b
atgx 0 : Հաշվենք )0(f);x(f 0 և )2(f -արժեքները.
76
2222
22
2
20
0
200000
bab
ba
ba
b
)bb
aa(
b
a1
1)batgx(
xtg1
1)btgxa(xcosxcosbxsina)x(f
a)2(f)0(f
Բայց aba 22 , հետևաբար 22
]2;0[ba)x(fmax
և
22
2;0ba)x(fmin
: f(x)-ը 2π -
պարբերությամբ ֆունկցիա է, ուստի նրա մեծագույն և փոքրագույն արժեքները ամբողջ
թվային առանցքի վրա համընկնում են ստացված արժեքներին:
Վարժություններ
Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները նշված միջակայքում
1) 7x4x)x(f 2 , [0;3]
2) 3x2x)x(f 2 , [0;4]
3) 23 x3x)x(f , [-1;4]
4) 5x
2x)x(f
2
, [-2;2]
5) x42)4x3()x(f 14 ,
3
5;0
6) x40)4x5()x(f 8 , [0,6;1,2]
7) 2x3x)x(f 2 , [-3;3]
8) 3 32 xx3)x(f , [-1;3]
9) )xcosx(sine)x(f x , [-π;π]
10) 6xcos2xcos)x(f 2 , [0;2π]
Խնդիրներ
1. 16-ը ներկայացնել երկու ոչ բացասական թվերի գումարով այնպես, որ այդ թվերի
ա) քառակուսիների գումարը լինի փոքրագույնը,
բ) այդ թվերի արտադրյալը լինի մեծագույնը:
2. Ինչպիսին պետք է լինեն S-մակերես ունեցող ուղղանկյան չափերը, որպեսզի նրա
պարագիծը լինի փոքրագույնը:
3. Գտնել R-շառավղով շրջանին ներգծած այն ուղղանկյան չափերը, որն ունի
ա) ամենամեծ մակերեսը
բ) ամենամեծ պարագիծը:
4. ABC եռանկյանը ներգծած է մեծագույն մակերեսով զուգահեռագիծ, որի մի գագաթը
A-ն է, մյուս գագաթները գտնվում են եռանկյան կողմերի վրա: Գտնել
զուգահեռագծի կողմերը, եթե AB=c, AC=b:
77
5. AD=2R տրամագծով կիսաշրջանին ներգծված է ամենամեծ մակերեսով ABCD-
սեղանը: Գտնել նրա BC-հիմքը:
6. Ուղղանկյունաձև հողամասի մի կողմը երկար պարիսպ է: Ինչպես ցանկապատել
հողամասըl-երկարությամբ ցանցով այնպես, որ նրա մակերեսը լինի մեծագույնը:
7. R-հիմքի շառավղով և H-բարձրությամբ կոնին ներգծված է ամենամեծ ծավալով
գլան: Գտնել գլանի ծավալը:
8. y=x2 պարաբոլի վրա գտնել այն կետը, որն ամենափոքր հեռավորությունն ունի
y=2x-4 ուղղից:
9. Գտնել (1;14) կետի փոքրագույն հեռավորությունը xy ֆունկցիայի գրաֆիկին
պատկանող կետերից:
10. Գտեք R-շառավղով գնդին արտագծած փոքրագույն ծավալով կոնի հիմքի
շառավիղը:
Գրականություն Ի. Ի. Վալուցե,
Գ. Դ. Դիլիգոլ Մաթեմատիկա տեխնիկումների համար
Ն. Ս. Պիսկունով “Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներ”
Я. С. Бугров,
С. М. Никольский “Дифференциальное и интегральное исчисление”
Գ. Ն. Յակովլեվի
խմբագրությամբ “Հանրահաշիվ և անալիզի հիմունքները”
Գ. Գ. Գևորգյան,
Ա. Ա. Սահակյան “Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրերը”
И.П. Натансон “Краткий курс высшей математики”