Μηχανικέςιδιότητες υλικών...

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτωνυλικών: εφελκυσμός

Άλκης ΠαϊπέτηςΤμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ• Εκπόνηση διπλωματικών εργασιών στην ΕΑΒ, ΤανάγραΑττικής.– dispersion methodologies με σκοπό τη δημιουργία βάσηςδεδομένων για διάφορους τύπους ρητινών / συνδυασμών. Ηλεκτρικές και μηχανικές ιδιότητες υβριδικών συνθέτων

– Κατασκευή και μηχανικές δοκιμές υβριδικών συνθέτων μεδυνατότητες sensing,

– Διερεύνηση δυνατότητας διασποράς CNT σε θερμοπλαστικήμήτρα με απώτερο στόχο τη δημιουργία κάποιου thermoplastic film doped with CNTs το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθείως ενδιάμεσο layer σε διαδικασίες όπως RTM ή infusion γενικότερα όπου έχουμε προβλήματα filtration

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ (συνέχεια)• Εκπόνηση διπλωματικών εργασιών στην ΕΑΒ, Τανάγρα Αττικής.

– Ανάπτυξη των μεθόδων παραγωγής και σύγκριση ποιότητας κατασκευής (και απόμηχανικής απόψεως αλλά και από αισθητικής à συνδέεται και με θέματααεροδυναμικής –

– Χρήση των ανωτέρω μεθόδων παραγωγής με σκοπό την δημιουργία κομματιών μεπερίπλοκη γεωμετρία (μείωση των parts σε ένα assembly) ή μεγάλων κομματιώνμε infusion / RTM. Θα συνδυαστεί με χρήση flow simulation software (υπάρχειδιαθέσιμο στην ΕΑΒ) για την βελτιστοποίηση του infusion / injection process. Θαγίνει και σχεδιασμός και κατασκευή των αντίστοιχων καλουπιών. Θα χρειαστεί εδώεπίσης ο σχεδιασμός και κατασκευή καλουπών για μέτρηση βασικών παραμέτρων / δεδομένων για το simulation όπως το permeability. Χρήσιμο επίσης είναι να μπορείνα γίνει και πλήρης χαρακτηρισμός του κύκλου πολυμερισμού της ρητίνης(μέτρηση ιξώδους με το χρόνο και τη θερμοκρασία)

– Προσδιορισμός κρίσιμων παραμέτρων των ανωτέρω μεθόδων παραγωγής καιπροσπάθεια για standardization των διαφόρων μεθόδων με χρήση αισθητήρωνενσωματωμένων στα καλούπια (π.χ. έλεγχος πίεσης, θερμοκρασίας, ροής μετώπου, βαθμού πολυμερισμού κλπ). Σκοπός εδώ είναι κάποιες από τις μεθόδους αυτές (out of autoclave) να μπορέσουν να πιστοποιηθούν για παραγωγή.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

• Στοιχεία μηχανικής συνθέτων υλικών– Μακροσκοπική μηχανική συμπεριφορά στρώσεωςινώδους συνθέτου υλικού

– Γενικευμένος νόμος του Hooke– Γεωμετρική ερμηνεία τάσεων

• Ελαστικές ιδιότητες μονοδιεύθυντης στρώσης• Ενίσχυση παράλληλη στην φόρτιση• Ενίσχυση κάθετη στην φόρτιση• Ενίσχυση σε τυχαία γωνία σε σχέση με τη φόρτιση

• Δοκιμές εφελκυσμού

•Θεώρηση δομικών στοιχείων που χρησιμοποιούνται σε μορφή λεπτών στρώσεων απόπολυμερή πλαστικά ενισχυμένα με μακριές συνεχείς ίνες.

•Η συνήθως ορθότροπη στρώση (lamina) ινώδους συνθέτου υλικού, η οποία μπορεί να είναιεπίπεδη ή καμπύλη, αποτελείται από συνεχείς ίνες παράλληλες ή κατάλληλα διατεταγμένεςμεταξύ τους και συγκρατούμενες δια του συνδετικού υλικού (μήτρα).

Σύνθετα υλικά: …ποιά είναι και πώς είναι..!

Structural composites…1/25

2/25

Μακροσκοπική μηχανική συμπεριφορά στρώσεως ινώδους συνθέτου υλικού

1

3

2

Στρώση πολυμερούς ενισχυμένου μεσυνεχείς ίνες (lamina)

10μm

Τυπική διάταξη ινών σε διατομή στρώσης ΙΣΥ

Διακριτές φάσεις:

•ίνα

•μήτρα

πάχος: 100 – 250 μm

3/25

Plain weave (1 up, 1 down) glass fabric

Στρώσεις υαλοϋφασμάτων ή με ίνες carbon, aramid, κτλ.

Eight-harness satin weave (1 up, 7 down)

warp direction(1)

weft direction(2)

(1) In the fabric industry, those fibers or threads in awoven fabric which run lengthwise, or which areparallel to the selvedge

(2) Filling yarn, running the width of a wovenfabric at right angles to the warp

4/25

Πολύστρωτες διατάξεις από UD στρώσεις

SEM photograph of a typical composite after exposure to water at 333 K for one day (c=0.59%)subjected to 45% of its UTS [O. Gillat, L.J. Broutman, STP 658 (1978)]

Στις πολύστρωτες διατάξεις απόUD στρώσεις η ανομοιογένεια τουσυνθέτου παίζει κυρίαρχο ρόλοστους παρατηρούμενους τρόπουςαστοχίας

Intraply crack (matrix crack)

Interply crack (delamination)

5/25

Και για μία στρώση UD, η ανομοιογένεια του συνθέτου (σε επίπεδο ίνας-μήτρας) παίζεικυρίαρχο ρόλο στους παρατηρούμενους μικρομηχανισμούς αστοχίας

6/25

Typical microstructures of fractured specimens [A.G.Miller, A.L.Wingert, STP 696 (1979)]

7/25

το σύνολο των μέσων φαινομένων μηχανικών ιδιοτήτων της ορθοτρόπου στρώσεωςή του πολυστρώτου κελύφους αντιστοίχως

μακροσκοπική συμπεριφορά:

Άρα, η στρώση θα θεωρείται μακροσκοπικώς ως ομογενές ανισότροπο υλικό

(υπόθεση που πειραματικώς υποστηρίζεται ικανοποιητικά όσον αφορά μεγέθη γενικώνμηχανικών ιδιοτήτων όπως οι τεχνικές ελαστικές σταθερές ή οι τάσεις αστοχίας )

Οσον αφορά την καταστατική σχέση τάσεων-παραμορφώσεων τουανισότροπου ινώδους συνθέτου υλικού, αυτό θα θεωρείταιγραμμικώς ελαστικό μέσο έως της αστοχίας του

8/25

Νόμος Hooke: αξίωμα;

η ισχύς του στηρίζεται σε ενεργειακές αρχές;

εμπειρική σχέση;

Robert Hooke (1635-1703)

•“De Potentia restitutivâ” or “Of Spring” (1678)

“CEIIINOSSSTTUV”C E I I I N O S S S T T U V

TENSIO SIC VIS”“UT

Η σημερινή μορφή του νόμου Hooke καθώςκαι η έννοια του τανυστού τάσης, εξισώσειςισορροπίας, κ.τ.λ οφείλονται:

Augustin Cauchy (1789-1875)

9/25

Ανισότροπο γραμμικώς ελαστικό μέσο:

Γενικευμένος νόμος Hooke: εCσ klijklij = klijklij σSε =ή

Λόγω της συμμετρίας όλων των τανυστών, χρησιμοποιούνται συνιστώσες με συστολή δεικτών και όλες οιανωτέρω σχέσεις γράφονται σε μητρωϊκή μορφή:

6,...,1 = j,i , σSεεCσ

jiji

jiji

=

=jiijjiij SS , CC ==

ΠΡΟΣΟΧΗ..!! στούς δείκτες

11/25

Αναπτύσσοντας τον νόμο Hooke σε μητρωϊκή γραφή:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

εεεεεε

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

12

13

23

33

22

11

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

σσσσσσ

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

12

13

23

33

22

11

6

5

4

3

2

1

ε2ε2ε2εεε

εεεεεε

όχι τανυστικές συνιστώσες, αλλά τεχνικές διατμητικές παραμορφώσεις. Π.χ. ε4=γ23

12/25

x1

x2

x3

σ11

σ12

σ13 σ22

σ21

σ23

σ33

σ31

σ32

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Γεωμετρική ερμηνεία συνιστωσών τανυστού τάσης

13/25

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Γεωμετρική ερμηνεία συνιστωσών τανυστού μικρών παραμορφώσεων

x1

x2

L

δ/2

ζ/2

hhζε ,

Lδε 2211 ==

x1

x2

β rad) σε (β ,β2πε2γ 1212 −==

14/25

Νόμος Hooke γιά το γενικώς ανισότροπο γραμμικό ελαστικό μέσο:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ


εεεεεε

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

6

5

4

3

2

1

εεεεεε

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

σσσσσσ

ή

21 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές: καμμία ελαστική συμμετρία: Τρικλινές ελαστικό μέσο

Αντιστοιχία συνιστωσών ελαστικών μητρώων και τανυστών:

nm, CC3n,m όταν S4S

3n XOR m όταν S2S3n,m όταν SS

ijklmn

ijklmn

ijklmn

ijklmn

∀=

>=

>=

≤=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

12

13

23

33

22

11

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

σσσσσσ

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

12

13

23

33

22

11

6

5

4

3

2

1

ε2ε2ε2εεε

εεεεεε

15/25

Υπενθύμιση:

x1

x2

x3

Οι συνιστώσες όμως των τανυστών αλλάζουν βάσει του νόμου τανυστικού μετασχηματισμού:

x’1

x’2

x’3

Τανυστικός νόμος: εCσ klijklij = εCσ klijklij ′′=′Παραμένει αναλλοίωτος

mnpqlqkpjnimijkl

mnpqlqkpjnimijkl

mnjnimij

mnjnimij

jiji

SααααSCααααC

εααεσαασ

xαx

=′

=′

=′

=′

=′

i, j, k, l, m, n, p, q=1,…,3

( ) 1,...,3=j i, , j,icosαij ′=όπου:

ijjkik δαα =

⎩⎨⎧

≠=

=ji if 0ji if 1

δij

Για τα συνημίτονα κατεύθυνσης ισχύει ότι:

Kronecker δέλτα:

16/25

•Επομένως: ‘Οταν είναι γνωστές οι ελαστικές σταθερές κάποιου μέσου, ως προς κάποιο σύστημασυντεταγμένων, τότε μπορούν εύκολα να υπολογισθούν μέσω του τανυστικού μετασχηματισμού και γιαοποιοδήποτε άλλο

•Επίσης: Οι σχέσεις μετασχηματισμού τανυστικών συνιστωσών εύκολα μετατρέπονται σε αντίστοιχες γιατις μητρωϊκές συνιστώσες

ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ:

‘Εστω ότι ελαστικό μέσο αναφέρεται ως προς σύστημα συντεταγμένων (x1, x2, x3) και ως προς το (x'1 x'2, x'3),συμμετρικό ως προς το πρώτο (η συμμετρία των δύο συστημάτων αναφοράς θα είναι ίδια με αυτήν πουπαρατηρείται στην δομή του μέσου). Οι διευθύνσεις των αξόνων x1, x2, x3 και x'1 x'2, x'3, θα είναι ισοδύναμες από πλευράς ελαστικών ιδιοτήτωνκαι άρα ο γενικευμένος νόμος Ηooke θα είναι ο ίδιος για τα δύο συμμετρικά συστήματα(το μητρώο Cij ή Sij θα έχει δηλ. τις ίδιες συνιστώσες ως προς τα δύο συστήματα συντεταγμένων).

Υπάρχουν φυσικά (ξύλο, οστά, ιστοί) και σύνθετα υλικά (FRP, knitted PMC’s) που παρουσιάζουν μεγάληποικιλία τύπων ανισοτροπίας.Οσον αφορά τα Ι.Σ.Υ. που μελετούμε, μεγαλύτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα μονοκλινή,ορθότροπα, εγκαρσίως ισότροπα και ισότροπα ελαστικά μέσα

17/25

Μονοκλινές μέσο

Εστω ελαστικό ανισότροπο μέσο από κάθε σημείο του οποίου περνά επίπεδο με την ιδιότητα:διευθύνσεις συμμετρικές ως προς αυτό είναι ελαστικώς ισοδύναμες.Το ανωτέρω επίπεδο είναι επίπεδο ελαστικής συμμετρίας.

x1

x2

x3Εστω επίπεδο ελαστ.συμ. παράλληλο στο (x1-x2)μπορεί τότε να αποδειχθεί ότι ο γενικευμένος νόμοςHooke παίρνει την μορφή:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

S00SSS0SS0000SS000

S00SSSS00SSSS00SSS

εεεεεε

και άρα ο αριθμός των ανεξαρτήτων Sij μειώνεται σε 13(τα ίδια ακριβώς ισχύουν και για τις συνιστώσες Cij)

ΠΡΟΣΟΧΗ..!!! Η συγκεκριμένη μορφή του μητρώου οφείλεται στο ότι επελέγη το επίπεδο (x1-x2)ως ελαστικό επίπεδο συμμετρίας

18/25

Ορθότροπο μέσο

Έστω ελαστικό ανισότροπο μέσο από κάθε σημείο του οποίου περνούν δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδαελαστικής συμμετρίας.Μπορεί να αποδειχθεί τότε ότι υπάρχει και τρίτο επίπεδο ελαστικής συμμετρίας, κάθετο προς τα δύοπροηγούμενα.

Το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων που ορίζεται από την τομή τωνεπιπέδων ελαστικής συμμετρίας ονομάζεται κύριο σύστημα αξόνωνή σύστημα συμμετρίας του μέσου.

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

55

44

332313

232212

131211

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

S000000S000000S000000SSS000SSS000SSS

εεεεεε

Ο αριθμός των ανεξαρτήτων Sij μειώνεται σε 9 (τα ίδιαακριβώς ισχύουν και για τις συνιστώσες Cij)

ΠΡΟΣΟΧΗ..!!! Η συγκεκριμένη μορφή του μητρώου ισχύει για το κύριο σύστημα αξόνωνx1

x2

x3

19/25

Τυπικό παράδειγμα ορθοτρόπου μέσου : woven fabric

x1

x2

x3Κύριο σύστημα αξόνωνή συμμετρίας του μέσου

20/25

Εγκαρσίως ισότροπο μέσο

Το ελαστικό μέσο με ένα άξονα απείρου ελαστικής συμμετρίας:Αυτός για τον οποίο όλες οι κάθετες διευθύνσεις είναι ελαστικά ισοδύναμες και άρα κάθε κάθετο σε αυτόνεπίπεδο έχει ισότροπες ιδιότητες

άξονας απείρουελαστικής συμμετρίας

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

66

66

2322

222312

232212

121211

6

5

4

3

2

1

σσσσσσ

S000000S000000SS2000000SSS000SSS000SSS

εεεεεε

Ο αριθμός των ανεξαρτήτων Sij μειώνεται σε 5 (τα ίδιαακριβώς ισχύουν και για τις συνιστώσες Cij)

ΠΡΟΣΟΧΗ..!!! Η συγκεκριμμένη μορφή του μητρώου ισχύει γιά το κύριο σύστημα αξόνων

x2

x3

x1

x’2

x’3

x’1

θ

θ

21/25

x2

x3

x1 άξονας απείρουελαστικής συμμετρίας

Τυπικό παράδειγμα εγκαρσίως ισοτρόπου μέσου

x’2

x’3

x’1

22/25

x2

x3

Ισότροπο επίπεδο εγκαρσίωςισοτρόπου μέσου

x’ 2

x’ 3

θ

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

′−′′′′′′′′′′

66

66

2322

222312

232212

121211

66

66

2322

222312

232212

121211

S000000S000000SS2000000SSS000SSS000SSS

S000000S000000SS2000000SSS000SSS000SSS

23/25

Ισότροπο μέσο

το ελαστικό μέσο του οποίου όλες οι διευθύνσεις είναι (ελαστικά) ισοδύναμες.Εναλλακτικά, ισότροπο καλείται το μέσο γιά το οποίο ο οποιοσδήποτε τυχαίος μετασχηματισμόςτου συστήματος συντεταγμένων αφήνει αναλλοίωτες τις συνιστώσες των ελαστικών μητρώων

x1

x2

x3

x’1

x’2

x’3

εCσ klijklij =

εCσ klijklij ′=′

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

)SS(20)SS(200)SS(2000S000SS000SSS

1211

1211

1211

11

1211

121211

Κύριο σύστημα αξόνων;

24/25

Συνοψίζοντας:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

)SS(20)SS(200)SS(2000S000SS000SSS

1211

1211

1211

11

1211

121211

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

33

2322

131211

S0S00S000S000SS000SSS

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

33

2322

131211

S0S00S000S000SS000SSS

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

4544

3633

262322

16131211

S0S0SS

S00SS00SSS00SSS

τρικλινές, 21 μονοκλινές, 13

ορθότροπο, 9

εγκαρσίως ισότροπο, 5ισότροπο, 2

τα ίδια ακριβώς ισχύουν και για τις συνιστώσες Cij(…1/2 (C11-C12)…)

25/25

Ελαστικές ιδιότητεςμονοδιεύθυντης στρώσης

• Ενίσχυση παράλληλη στην φόρτιση• Ενίσχυση κάθετη στην φόρτιση• Ενίσχυση σε τυχαία γωνία σε σχέση με τηφόρτιση

Φόρτιση στον άξονα της ενίσχυσης


1εσ ff E= 1εσ mm E=

Έστω εφελκυστική παράλληλα προς τις ίνες σε μία στρώση με παράλληλες ίνες και ότι:• δεσμός μεταξύ ίνας και μήτρας είναι τέλειoς,• η παραμόρφωση ε1 που αναπτύσσεται στην μήτρα θα είναι η ίδια με την

παραμόρφωση που αναπτύσσεται στην ίνα. • ίνα και μήτρα είναι γραμμικά ελαστικά σώματα:

και

Ποιά φάση του συνθέτου παραλαμβάνει την μεγαλύτερη τάση;

Φόρτιση κάθετα στον άξονα τηςενίσχυσης

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΙΓΜΑΤΩΝ

• Καλή πρόβλεψη για || φόρτιση• Η απόκλιση οφείλεται στη διαφορά τουλόγου Poisson που δημιουργεί διατμητικέςτάσεις στο υλικό.

Διόρθωση για την επίδραση τουΛόγου Poisson

Διόρθωση για την επίδρασηχαρακτηριστικών της ίνας

• Παραμετρική προσέγγιση ξ:– Σχήμα– Λόγος l/d– Συσσώρευση– Διάταξη– Συνθήκες φόρτισης

Εξισώσεις Halpin-Tsai

Μ : ιδιότητα του υλικού (Ε2, G12, ν23) και

Νόμος των μιγμάτων

Διόρθωση Poisson

Halpin Tsai

Συγκέντρωση τάσης καιΜεγέθυνση παραμόρφωσης

Μεγέθυνση παραμόρφωσης

Μεγέθυνση παραμόρφωσης: Αναλυτική προσέγγιση (Kies)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

f

mx

x

EE

rs

rs

2

2

εε

2

4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

RrVf

π

Μεγέθυνση παραμόρφωσης: Αναλυτική προσέγγιση (Kies)

f

m

f

f

x

x

EE

V

V

⋅+−=

22π

π

εε

Μεγέθυνση παραμόρφωσης: Glass polyester

20=m

f

EE

Ελαστικές Ιδιότητες μίας Στρώσης με ΊνεςΜεγάλου Μήκους και Τυχαίου

Προσανατολισμού (Nielsen και Chen 1968)

( )∫=2

0

2π

θθπ dEE

Ε(θ): μέτρο ελαστικότητας UD στρώσης το οποίο εξαρτάταιαπό την γωνία προσανατολισμού θ για σταθερό Vf.

( )4

2

22

1

12

12

4

1

12111 SE

SCEG

CEE

⋅+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅=

νθ

όπου: C=cοsθ, S=sinθ


Προσανατολισμού (Akasaka (1974)

( )( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅+++⋅

⋅−⋅+−+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++

=12211221221

12211221221

2112

21221

1423142

12

GEEEGEEEEEEE

νννννν

ννν

( ) 2182 12

2112

21221 GEEEG +−−+

=ννν

12

−=GEν

• Εμπειρικές σχέσεις:


Προσανατολισμού

21 85

83 EEE += 21 4

181 EEG +=

Η επίδραση της περιεκτικότητας των ινών Vf στιςεξισώσεις αυτές υπεισέρχεται μέσω τηςεξάρτησης των Ε1 και Ε2 από το Vf.


Προσανατολισμού

Τυπικές τιμές των Ε1, Ε2, G12 και ν12για διάφορα συστήματασύνθετων υλικών

ΥΛΙΚΟ Ε1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) ν12

Glass-polyester 35 - 40 8-12 3,5-5,5 0,26Type I carbon-epoxy 190-240 5-8 3 - 6 0,26

Kevlar 49 - epoxy 65 - 75 4 - 5 2 - 3 0,35

Επίδραση του προσανατολισμού των ινών στο μέτροελαστικότητας ινώδους συνθέτου υλικού gΙαs fibre- polyester

resin με ίνες παράλληλες και Vf=0.30 [D. Hull, 1981]

Ελαστικές Ιδιότητες κοντόινων συνθέτωνυλικών

• Πως επηρεάζει ηπαρουσία τουανενεργού μήκους;

distance x

σf

τ

)

τx

Shear lag (Cox 1952)

• Διόρθωση για μικρό μήκος ίνας:

( )fmffl VEVEEE −+=≡ 1//1 η

2

2tanh

1 l

l

l β

β

η −= lcont

short

EE η=

Shear lag (Cox 1952)

Τιμές του διορθωτικού παράγοντα μήκους ηlγια δύο σύνθετα υλικά

Υλικόl

(mm)Gm / Ef r

(μm)Vf ηl

Carbon-epoxy 0,11,010,0

0,0050,0050,005

888

0,30,30,3

0,200,890,99

Glass-nylon 0,11,010,0

0,0100,0100,010

111111

0,30,30,3

0,210,890,99

Πρόβλεψη ελαστικών ιδιοτήτων[Dingle, 1974]

Μέτρα Ελαστικότητας για μακρόινα και κοντόινα Carbon fiber/Εpoxy σύνθετα υλικά

Μήκος ίνας1

(mm)

Vf

E//Θεωρητικήπρόβλεψη για

μακρόινα σύνθεταυλικά (GPa)

Ε//Πειραματικές τιμές

γιακοντόινα σύνθεταυλικά (GPa)

η l

1 0,49 194 155 0,804 0,32 128 112 0,876 0,42 167 141 0,84

Επίδραση προσανατολισμού[Krenchel 1964]

• Για γραμμικά ελαστική ίνα και μήτρα• Για ίδια παραμόρφωση ίνας και μήτρας

• Όπου Δαf η συνολική διατομή ινών πουσχηματίζουν γωνία θ με τον άξοναφόρτισης

θαα 4' cos⋅Δ=Δ ff

Επίδραση προσανατολισμού[Krenchel 1964]

• Για ομάδες ινών που είναι προσανατολισμένεςπρος διαφορετικές κατευθύνσεις

• Όπου Δαf ΄ η ισοδύναμη επιφάνεια του συνόλουτης ενίσχυσης

• Ο παράγων προσανατολισμού ηο ορίζεται ως

∑ ⋅Δ= θαα 4' cosff

f

f

f

fo α

θααα

η ∑ ⋅Δ==

4' cos

• Ανισοτροπία– Μεγάλη διαφορά ανάμεσα στην || και την ⊥διεύθυνση

– Πολύστρωτα ΣΥ σε διαφορετικές διευθύνσεις– Πρόβλεψη αντοχής της στρώσης και εφαρμογήσε πολύστρωτες πλάκες

• Σημ. Η αντοχή της φάσης σημειώνεται με εκθέτη (*)

Αντοχή σε Εφελκυσμό Ινωδών ΣυνθέτωνΥλικών με Παράλληλες Μεγάλου Μήκους

Ίνες

Αντοχή Ινωδών Συνθέτων Υλικών μεΠαράλληλες Μεγάλου Μήκους Ίνες

Τυπικές ιδιότητες αντοχής μονοαξονικών στρώσεωνινωδών συνθέτων υλικών (Vf 0.50)

Υλικόσ*//Τ(ΜPa)

σ*// C(MPa)

σ*⊥Τ(ΜPa)

σ*⊥C(MPa)

τ*# (ΜPa)

Glass-polyester 650-750 600-900 20-25 90-120 45-60Type I

carbon-epoxy850-1100 700-900 35-40 130-190 60-75

Kevlar 49-epoxy 1100-1250 240-290 20-30 110-140 40-60

Τ: Εφελκυσμός (Tension), C: Θλίψη (Compression)

• Από τον κανόνα των μιγμάτων:

σ|| = σf Vf + σm (1-Vf )

σ|| = Ef ε\\Vf + Εm ε⊥(1-Vf )

Πιθανές εκδοχές παραμόρφωσης για θραύση:

1. ε*f > ε*m

2. ε*f < ε*m

Ομοιόμορφη Αντοχή Ινών

Ομοιόμορφη Αντοχή ΙνώνΠαραδοχή παραμόρφωσης για θραύση:

1. ε*f > ε*mΜικρές τιμές του Vf:

•η αντοχή της στρώσης σ*// εξαρτάται κυρίως από την τιμή τουσ*m. •Η θραύση της μήτρας προηγείται•το φορτίο μεταφέρεται στις ίνες•οι ίνες δεν μπορούν να φέρουν το φορτίο που τους μεταβιβάζεται•οι ίνες θραύονται:

( )fmff VV −+= 1*'*// σσσ

Aveston & Kelly (1973)Παραδοχή παραμόρφωσης για θραύση:

1. ε*f > ε*m


Παραδοχή παραμόρφωσης για θραύση:

1. ε*f > ε*m

μεγάλες τιμές του Vf και αφού Εf >>Em ⇒• η μήτρα παραλαμβάνει μόνο ένα μικρό κλάσμα του

φορτίου• η μήτρα αστοχεί• το φορτίο μεταφέρεται στις ίνες ΧΩΡΙΣ θραύση των

ινών. συνεχίζεται η μεταφορά του φορτίου στις ίνες• το φορτίο που αναπτύσσεται στο σύνθετο• θραύση των ινών:

ff V**

// σσ =

Aveston & Kelly (1973)

Αντοχή σε θραύση του συνθέτου γιαε*f > ε*m

• Κοινή λύση ως προς Vf:

*'*

*'

mff

mfV

σσσσ

+−=

Αντοχή σε θραύση του συνθέτου γιαε*f > ε*m

Παραμόρφωση

Τάση

*mε

*fε

*mσ

*f σ

'f σ

Ινα

Μήτρα *mσ

0 1

( )f *mf

*f

*// V1V −σ+σ=σ

f*f

*// Vσ=σ

κ.ο. Περιεκτικότητα

*fσ

Τάση


Παραδοχή παραμόρφωσηςγια θραύση:

2. ε*f < ε*m



2. ε*f < ε*m

για μικρές τιμές του Vf

το επιπλέον φορτίο στη μήτρα δεν είναι ικανό να προκαλέσειθραύση στην μήτρα.

η ενεργή διατομή της μήτρας έχει μειωθεί λόγω της ύπαρξηςτων "οπών" στα άκρα της ίνας,

η τάση στο σύνθετο θα είναι μικρότερη από την τιμή σ*m κατάένα ποσοστό ανάλογο του Vf :

( )fmmm VV −== 1***// σσσ



2. ε*f < ε*m

για μεγάλες τιμές του Vf

το φορτίο που μεταβιβάζεται στην μήτρα μετά την θραύση τωνινών είναι πολύ μεγάλο

η μήτρα αδυνατεί να το φέρει

η μήτρα θραύεται αμέσως μετά την θραύση των ινών:

( )fmmm VV −== 1***// σσσ

Αντοχή σε θραύση του συνθέτου γιαε*f < ε*m

• Κοινή λύση ως προς Vf:

( )( )'**

'*'

mmf

mmfV

σσσσσ−+

−=

Αντοχή σε θραύση του συνθέτου γιαε*f < ε*m

Ινα

Μήτρα

*fε *

mε

*fσ

*mσ 'mσ

0

Τάση

*mσ

κ.ο. Περιεκτικότητα V f

*fσ

( ) f'mf

*f

*// V 1 V − σ + σ = σ

( ) f*m

*// V 1 − σ = σ

Ίνες με Μεταβλητή Αντοχή

• Η ίνα είναι ψαθυρή– Η θραύση συμβαίνει λόγω της συγκέντρωσης τάσηςστην περιοχή ελαττωμάτων

– Η περιοχή αυτή είναι μειωμένης αντοχής– Η μείωση της αντοχής είναι στοχαστικό μέγεθος

• Πώς εξαρτάται η αντοχή της ίνας από το μέγεθόςτης (όγκος ή μήκος για σταθερή διατομή);

Ίνες με Μεταβλητή Αντοχή

• Πειραματική μελέτη:– Κατανομή αντοχής για διαφορετικά μήκη ίνας

• Ορισμοί:– σ*f αντοχή της ίνας– 2r διάμετρος, – l μήκος– σ1 ελάχιστη τιμή αντοχής της ίνας– σu μεγιστη τιμή αντοχής της ίνας

Συνάρτηση κατανομής Weibull

( )ω

σσσσσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=m

lu

lG 11G (σ)

Αντοχή σε θραύση, σ

σu σl

rl

2=ω

s 5 6σ

=m

Παράμετρος μεγέθους

Παράμετρος σχήματος

Όπου:

( )21

1

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=∑=

Ns

N

ii σσ

NN

ii /

1∑=

= σσ και

Αντοχή σε θραύση δέσμης ινών(Coleman 1958)

• Παραδοχές:– α) οι ίνες της δέσμης είναι διακριτές η μία απότην άλλη και έχουν την ίδια διατομή,

– β) για τιμές τάσεις σi<σl οι ίνες παρουσιάζουντην ίδια επιμήκυνση και δεν θραύονται ,

– γ) καθώς το φορτίο αυξάνει, οι ασθενέστερεςίνες θραύονται η μία μετά την άλλη και τοφορτίο μεταβιβάζεται στις άθραυστες ίνες.


• Το μέγιστο φορτίο θραύσης της δέσμης συμβαίνει όταν ητάση που αναπτύσσεται στις ίνες που έχουν εναπομείνειπάρει την τιμή σu οπότε επέρχεται η πλήρης θραύση τηςδέσμης. – η αντοχή θραύσης, σb, της δέσμης είναι μικρότερη της μέσης τιμής– η μείωση εξαρτάται από την διασπορά των τιμών αντοχής τωνμεμονωμένων ινών :

( )mme

mb

/1111 1

+Γ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

σσ

Μοντέλλο σωρευτικής εξασθένισης(Rosen)

• Η στατιστική διαπορά τωνθραύσεων στο σύνθετο οδηγείσε εξασθένιση και θραύση

• σcum: αντοχή ίνας• lc: κρίσιμο μήκος

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mmel

m

c

cum

11

111*

σσ

Στατιστική Μελέτη Αντοχής(Carbon / Epoxy)

EWS EDW 24/11/2008

Μοντέλλο διάδοσης θραύσης

• Η συγκέντρωσητάσης οδηγεί σεεγκάρσια θραύση

• Πιθανές εκδοχές– α) Η ρωγμή στην ίνα να διαδοθεί στην περιβάλλουσα μήτρα.– β) Η μήτρα γύρω από τη ρωγμή να διαρρεύσει και η ζώνηδιαρροής να διαδοθεί στην μήτρα κατά μήκος της ίνας.

– γ) Η διεπιφάνεια ίνας-μήτρας να αστοχήσει σε διάτμηση και ηαποφορτισμένη ίνα να συρρικνωθεί μέσα στην μήτρα.

Διάδοση ρωγμής• Η συγκέντρωσητάσης στο άκροτης ρωγμήςείναι ανάλογητου (c/ρ)1/2

– ρ είναι ηακτίνακαμπυλότηταςστο άκρο τηςρωγμής

– 2c είναι τομήκος τηςρωγμής

Εντατικό πεδίο στην περιοχή τηςρωγμής

• Η μέγιστη τάση εφελκυσμούσ1max που αναπτύσσεταικάθετα προς την διεύθυνσητης ρωγμής και η μέγιστητάση εφελκυσμού σ2max πουαναπτύσσεται παράλληλαπρος τη διεύθυνση τηςρωγμής συμβαίνουν ακριβώςμπροστά από το άκρο τηςρωγμής.

Εντατικό πεδίο στην περιοχή τηςρωγμής

• Για ισότροπα υλικά, – σ1max/σ2max ~ 5

• Για ανισότροπα υλικά, οιλόγοι των τάσεωνεξαρτώνται απο τονπροσανατολισμό τηςρωγμής και τον βαθμόανισοτροπίας. – Για carbon fibre-epoxy με

Vf = 0.5 – σ1max/σ2max ~ 48 – σ1max /τmax=11– τmax/σ2max =4.4.

Αστοχία στην περιοχήτης ρωγμής

• Οι διαδικασίες που θα συμβούν εξαρτώνται από τις τιμέςτων κρίσιμων τάσεων σ//*, σ⊥*, τ#*. :– α) σ//*/ σ⊥* > σ1max /σ2max : η θραύση λόγω εφελκυσμούπαράλληλα πρός τη διεπιφάνεια θα προηγηθεί της θραύσης τωνινών,

– β) σ//* / τ#* > σ1max / τmax : η θραύση λόγω διάτμησης θαπροηγηθεί της θραύσης των ινών,

– γ) τ#* / σ ⊥ * > τmax / σ2max : η θραύση λόγω εφελκυσμού στηνδιεπιφάνεια είναι πιο πιθανή από τη θραύση λόγω διάτμησης.

Τυπικές αντοχές για μακρόινα ΣΥ

Αντοχή σε εφελκυσμό στηνεγκάρσια διεύθυνση

• Προηγμένα σύνθετα υλικά: – η μεγάλη αντοχή παράληλα στην ενίσχυση συνήθωςσυνοδεύεται από χαμηλή αντοχή στην εγκάρσιαδιεύθυνση

• Πολυπαραμετρική ιδιότητα– Εγκάρσια αντοχή ίνας – μήτρας - διεπιφάνεια– Κατανομή ελαττωμάτων

• Συχνά τα παραπάνω οδηγούν σε υποδεέστερηαντοχή για το σύνθετο σε σχέση με τη μήτρα


• Συχνά τα παραπάνω οδηγούν σευποδεέστερη αντοχή για το σύνθετο σεσχέση με τη μήτρα– Παραδοχές:

• Μηδενική αντοχή διεπιφάνειας στην εγκάρσιαδιεύθυνση

• Μήτρα μεγάλης δυσθραυστότητας (με αντίστασηστη διάδοση ρωγμών)


• Η αντοχή υπογίζεται απλά ως άντοχή τουμητρικού υλικού με μείωση της ενεργούδιατομής κατά τον παράγοντα:

• Για τετραγωνική διατομή


• Αλληλεπίδρασηδιεπιφάνειας καικενών:

Geometry of test specimens

MATERIAL CODE NAME LAYUP

GOBU [0]T

GOBM [902]T

GOBR [±45]S

HEXU [02]T

HEXM [903]T

HEXR [±45]S

HEX

GOB

CRP materials

10/30

500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500

Strain (x-axis)

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130Stress (MPa)

-3.055 + 0.05005*x

Axial stress vs. axial strain for coupon GOBU01

500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500

Strain (x-axis)

-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

Strain (y-axis)

21.38 - 0.3843*x

Transverse strain vs. axial strain for coupon GOBU0111/30

Failed GOBU coupons

Failed HEXU coupons

12/30

Failed GOBM coupons

13/30

Failed HEXM coupons

14/30

GRP materials

Geometry of test coupons: (a) Tensile specimen

24/30

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

strain (x-axis)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

axial stress (MPa)

D1T01D1T02D1T03D1T04D1T05

Axial stress vs. axial strain from the D1 (tensile) specimens

25/30

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

strain (x-axis)

0

5

10

15

20

25

30

35

axial stress (MPa)

D2T01D2T02D2T03D2T04D2T05

Axial stress vs. axial strain from the D2 (tensile) specimens

26/30

500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

strain (x-axis)

10

20

30

40

50

60

70

80axial stress (MPa)

D1T01D1T02D1T03D1T04D1T05Y=0.1717+0.02689XY=-0.5059+0.02494XY=1.377+0.02986XY=0.09953+0.02805XY=-0.05656+0.02775X

500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

axial strain (x-axis)

-600

-500

-400

-300

-200

-100

transverse strain (y-axis)

D1T01D1T02D1T03D1T04D1T05Y=-4.285-0.2256XY=-6.009-0.2184XY=-13.14-0.2361XY=-6.514-0.2233XY=-2.522-0.2356X

27/30

500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

strain (x-axis)

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5

20.0

22.5

25.0axial stress (MPa)

D2T01D2T02D2T03D2T04D2T05Y=1.015+0.00908XY=0.435+0.007462XY=0.673+0.008992XY=2.355+0.008431XY=-0.5025+0.008921X

500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

axial strain (x-axis)

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

transverse strain (y-axis)

D2T01D2T02D2T03D2T04D2T05Y=-22.45-0.1249XY=-7.687-0.1151XY=-14.44-0.1205XY=-16.31-0.126XY=-1.778-0.1254X

28/30

Coupons D1, failed in tension

29/30

Coupons D2, failed in tension

30/30

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Σύνθετα Υλικά, Γ. Παπανικολάου, Δ. Μουζάκης, Κλειδάριθμος 2007.

2. Παρουσιάσεις για το μάθημα Πειραματική μηχανικήσυνθέτων Υλικών, Θ. Π. Φιλιππιδης Πάτρα 2003.

3. An Introduction to Composite Materials, D. Hull, Cambridge Univ. Press 1981.

Μηχανικέςιδιότητες υλικών...

Documents

Transcript of Μηχανικέςιδιότητες υλικών...